高三-平抛运动、圆周运动的临界问题(学)

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平抛运动的临界问题

平抛运动的临界问题平抛运动的临界问题，解决这类问题有三点：1.是明确运动平抛运动的基本性质公式；基本规律及公式:①速度：，合速度方向：tanθ=②位移x=vot y=合位移大小：s=方向：tanα=③时间由y=得t=（由下落的高度y决定）④竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立。

2.是确定临界状态；3.是确定临界轨迹——在轨迹示意图寻找出几何关系。

模型讲解：(排球不触网且不越界问题)模型简化（运动简化）：将排球看成质点，把排球在空中的运动看成平抛运动。

问题：标准排球场场总长为l1=18m，宽l2=9m女排网高h=2.24m如上图所示。

若运动员在3m线上方水平击球，则认为排球做类平抛运动。

分析方法：设击球高度为H，击球后球的速度水平为v0。

当击球点高度为H 一定时，击球速度为υ1时恰好触网；击球速度为υ2时恰好出界。

当击球点高度为h时，击球速度为υ时，恰好不会触网，恰好不会出界，其运动轨迹分别如下图中的（a）、（b）、（c）所示。

如图（a）、(b)当击球点高度为H一定时，要不越界，需飞行的水平距离由于结论：1 若H一定时，则v0越大越易越界，要不越界，需2 若v0一定时，则H越大越易越界，越不越界，需如图（c）要不触网，则需竖直高度：水平距离：以上二式联立得：结论：1) 若H一定（）时，则v0越小，越易触网。

要不触网，需2) 若v0一定时，则H越小，越易触网。

要不触网，需总结论：1 当H一定时，不触网也不越界的条件是：（即当H一定时，速度太大太小均不行，太小会触网，太大又易越界）2 若v0一定时，且v0在之外则无论初速度多大，结果是或越界或触网。

简言之：时，无论初速度多大，结果是或越界或触网。

例：如图所示，排球场总长为18m，设网的高度为2m，运动员站在离网3m远的线上正对网前竖直向上跳起把球垂直于网水平击出。

(g＝10)（1）设击球点的高度为2.5m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界。

平抛运动的临界问题(解析版)

平抛运动临界问题平抛运动受到某种条件的限制时就构成了平抛运动的临界问题，其限制条件一般有水平位移和竖直高度两种。

求解这类问题的关键是确定临界轨迹，当受水平位移限制时，其临界轨迹为自抛出点到水平位移端点的一条抛物线；当受竖直高度限制时，其临界轨迹为自抛出点到竖直高度端点的一条抛物线。

确定轨迹后再结合平抛运动的规律即可求解。

审题技巧1.有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。

2.若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。

3.若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。

解题技巧1. 分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件。

2. 求解平抛运动中的临界问题的关键(1)确定临界状态．确定临界状态一般用极限法分析，即把平抛运动的初速度增大或减小，使临界状态呈现出来．(2)确定临界状态的运动轨迹，并画出轨迹示意图．画示意图可以使抽象的物理情景变得直观，更可以使有些隐藏于问题深处的条件暴露出来．【典例1】在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的两个球，球1和球2，如图所示，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是()A．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率B．球1的速度变化率小于球2的速度变化率C．球1的飞行时间大于球2的飞行时间D．过网时球1的速度大于球2的速度【答案】AD【解析】乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动。

重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v2＝2gh得，起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A 正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相等，B 错误；由h ＝12gt 2可得两球飞行时间相同，C 错误；由题图可知，球1的水平位移较大，由x ＝vt 可知，运动时间相同，则球1的水平速度较大，D 正确。

平抛运动、圆周运动的临界问题 Word版含解析

[A组·基础题]1. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是( )A. 5 rad/s B． 3 rad/sC．1.0 rad/s D．5 rad/s2. 一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M与m(M＞m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为l(l＜R)的轻绳连在一起，如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间接线刚好沿半径方向拉直，要使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大值不得超过( )A.μ(M－m)gml B．μ(M－m)gMlC.μ(M＋m)gMl D．μ(M＋m)gml3. (2019·河南中原名校考评)如图所示，半径分别为R、2R的两个水平圆盘，小圆盘转动时会带动大圆盘不打滑的一起转动．质量为m的小物块甲放置在大圆盘上距离转轴R处，质量为2m的小物块放置在小圆盘的边缘处．它们与盘面间的动摩擦因数相同，当小圆盘以角速度转动时，两物块均相对圆盘静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( )A ．二者线速度大小相等B ．甲受到的摩擦力大小为14mω2RC ．在ω逐渐增大的过程中，甲先滑动D ．在ω逐渐增大但未相对滑动的过程中，物块所受摩擦力仍沿半径指向圆心4. (2018·广东七校联考)如图所示，半径为R 的圆轮在竖直面内绕O 轴匀速转动，轮上A 、B 两点各粘有一小物体，当B 点转至最低位置时，此时O 、A 、B 、P 四点在同一竖直线上，已知：OA ＝AB ，P 是地面上的一点．此时A 、B 两点处的小物体同时脱落，最终落到水平地面上同一点．不计空气阻力，则OP 的距离是( )A.76RB ．52RC ．5RD ．7R5．(多选) 水平面上有倾角为θ、质量为M 的斜面体，质量为m 的小物块放在斜面上，现用一平行于斜面、大小恒定的拉力F 作用于小物块上，绕小物块旋转一周，这个过程中斜面体和小物块始终保持静止状态．下列说法中正确的是( )A ．小物块受到斜面的最大摩擦力为F ＋mg sin θB ．小物块受到斜面的最大摩擦力为F －mg sin θC ．斜面体受到地面的最大摩擦力为FD ．斜面体受到地面的最大摩擦力为F cos θ6．(多选) (2018·山西省吕梁市期中)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( )A．小球通过最高点时的最小速度v min＝g(R＋r)B．小球通过最高点时的最小速度v min＝0C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力7. 如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L ＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g取10 m/s2.求：(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；(2)小球落在空地上的最小速度．[B组·能力题]8. (多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块B到轴的距离为物块A到轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐慢慢增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是( )A．A受到的静摩擦力一直增大B．B受到的静摩擦力先增大后保持不变C．A受到的静摩擦力先增大后减小再增大D．B受到的合外力先增大后保持不变9. (多选)(2016·浙江卷)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，则赛车( )A．在绕过小圆弧弯道后加速B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s10．如图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图，参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道．选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上跑道．选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.(1)若选手以速度v0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v0的最小值；(2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间．11. (2017·河南开封模拟)如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN调节其与水平面所成的倾角．板上一根长为l＝0.60 m的轻细绳，它的一端系住一质量为m的小球P，另一端固定在板上的O点．当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v0＝3.0 m/s.若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？(取重力加速度g＝10 m/s2)。

高中物理【习题课圆周运动的临界问题】教学优秀课件

2
向上的支持力作用,根据牛顿第二定律有 mg-F1=m ,解得 F1=16 N,根据牛
顿第三定律,小球对杆的作用力大小为 16 N,方向向下。
(2)当 A 在最高点的速度为 v2=4 m/s 时,因大于 v0= 5 m/s,此时物体 A 受到杆
2
向下的拉力作用,根据牛顿第二定律有 mg+F2=m ,解得 F2=44 N,根据牛顿
摩擦力达到最大值时。
迁移应用
例2(多选)如图所示,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平
圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴的距离为2l。木块与圆盘的最大静
摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g,若圆盘从静止开始绕转
轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度。下列说法正确的是(
习题课:圆周运动的临界问题
学习目标
1.掌握水平面内圆周
运动临界问题的分析
方法。(科学思维)
2.掌握竖直面内圆周
运动临界问题的分析
方法。(科学思维)
思维导图
课堂篇探究学习
探究一
圆周运动的多解性问题
知识归纳
1.问题特点
(1)研究对象:匀速圆周运动的多解问题包含有两个做不同运动的物体。
(2)运动特点:一个物体做匀速圆周运动,另一个物体做其他形式的运动(比

经过轨道末端时的速度大小为 v= =3 m/s。

2
(2)小球受到的支持力和重力的合力提供向心力,即 FN-mg=m ,则 FN=4 N,
根据牛顿第三定律可得,小球对轨道的压力为 4 N,方向竖直向下。
规律方法此类问题的处理技巧
(1)找到两个运动的衔接点,前一运动的末速度是后一运动的初速度。

第四章第四讲平抛运动圆周运动的临界极值问题

随堂练· 知能提升
课后练·知能提升
[跟踪训练] 1.(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，
半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆
的直径与地面垂直．一小物块以速度v从轨
道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到
轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道
半径为(重力加速度大小为g)(
v2 A.16g
到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限
度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受
的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0.
第四章
第四讲平抛运动圆周运动的临界极值问题
研考向·热点探究
随堂练· 知能提升
质
点的相同木块A和B放在转盘上，且木块A、B与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动．开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止转动，使角速度ω缓慢增大．为使细绳有弹力，而木块A和B又能相对转盘保持静止，求角速度ω的取值范围和细绳张力的最大值．
研考向·热点探究
随堂练· 知能提升
课后练·知能提升
[方法技巧] 极端分析法处理临界极值问题
所谓极端分析法，是指两个变量之间的关系，若是单调上升或单调下降的函数关系，可以通过连续地改变某个变量甚至达到变化的极端，来对另一个变量进行判断的研究方法．
第四章
第四讲平抛运动圆周运动的临界极值问题
研考向·热点探究
第四章
第四讲平抛运动圆周运动的临界极值问题
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平抛运动、圆周运动的临界问题：水平面内圆周运动的临界问题-高三物理一轮总复习课件

＝AB,现通过转动竖直杆,使水平杆在水平面内做匀速圆周运动,三角形
OAB 始终在竖直平面内,若转动过程 OB、AB 两绳始终处于拉直状态,则
下列说法正确的是( )
A．OB
绳的拉力范围为
0～
3 3 mg
B．OB
绳的拉力范围为
33mg～2
3
3 mg
C．AB
绳的拉力范围为
33mg～2
3
3 mg
D．AB
绳的拉力范围为
第四章曲线运动万有引力与航天
热点突破：
水平面内圆周运动的临界问题
1.热点透析 2.典例剖析 3.规律方法 4.跟踪训练
1.热点透析
题
水平面内圆周运动的临界极值问题
型分
1.与摩擦力有关的临界问题
类 2.与弹力有关的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有Ffm＝mv2/r，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他
2. 典例剖析
【例 2】如图示，水平转台上放有质量均为 m 的两个小物块 A、B，A 离转轴中心的距离为 L，A、B 间用长为 L 的细线相连。开始时，A、B 与轴心在同一直线上，细线刚好被拉直，A、B 与水平转台间的动摩擦因数均为 μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求： (1)当转台的角速度达到多大时细线上开始出现张力？ (2)当转台的角速度达到多大时 A 物块开始滑动？
0～2
3 3 mg
审题设疑
1.转速为零时,OA、AB拉力大小各怎样？ 2.随转速增大,OA、AB绳拉力大小如何变化？ 3.当转速增大到某值时,两绳拉力会有何突变？

核心素养微专题2 “平抛运动+圆周运动”模型

2
二轮 ·物理
2．突破方法 (1)分析临界点：对于物体在临界点相关的多个物理量，需要区分哪些物理量能够突变，哪些物理量不能突变，而不能突变的物理量(一般指线速度)往往是解决问题的突破口。 (2)分析运动过程：对于物体参与的多个运动过程，要仔细分析每个运动过程做何种运动。若为圆周运动，应明确是水平面的匀速圆周运动，还是竖直平面的变速圆周运动，机械能是否守恒；若为抛体运动，应明确是平抛运动，还是类平抛运动，垂直于初速度方向的力是哪个力。
………………………………………………………………………………… (1)运动阶段的划分，如典例中分成三个阶段； (2)运动阶段的衔接，尤其注意速度方向，如典例中，小球运动到B点时的速度方向； (3)两个运动阶段在时间和空间上的联系； (4)对于平抛运动或类平抛运动与圆周运动组合的问题，应用合成与分解的思想分析，这两种运动转折点的速度是解题的关键。
为vy＝gt＝4 m/s；由小球恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰可知，小球从 B点水平射出的速度v＝vytan 45°＝4 m/s，故小球在斜面上的相碰点C与 B点的水平距离为x＝vt＝1.6 m，小球在斜面上的相碰点C与B点的竖直
平滑地冲上粗糙斜面，已知小球与粗糙斜面间的动摩擦因数μ＝0.6，g
取10 m/s2，则：
4
(1)小球从O点的正上方某处A点水平抛出的初速度v0为多少？OA的距离为多少？ (2)小球在圆管中运动时对圆管的压力是多少？ (3)小球在CD斜面上运动的最大位移是多少？
5
二轮 ·物理
二轮 ·物理
[思路点拨] 解此题的关键是做好过程分析和受力分析。 (1)小球从A到B做平抛运动，vB为平抛运动与圆周运动的关联速度。 (2)小球从B到C做匀速圆周运动，所施加外力F与重力平衡，圆管对小球的弹力提供向心力。 (3)小球由C点沿斜面匀减速上滑到最高点。

物理高考专题平抛运动与圆周运动组合中的双临界问题(解析版)

尖子生的自我修养系列(一)曲线运动中的一个难点——双临界问题(细化题型)平抛运动和圆周运动是两种典型的曲线运动模型，均是高考的重点，两者巧妙地结合对学生的推理能力提出更高要求，成为高考的难点。

双临界问题能有效地考查学生的分析能力和创新能力，从而成为高考命题的重要素材。

下面分三类情况进行分析。

[例1] [多选](2020·将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用刀片飞快地削下一片片很薄的面片儿，面片便水平飞向锅里，若面团到锅上沿的竖直距离为0.8 m ，面团离锅上沿最近的水平距离为0.4 m ，锅的直径为0.4 m 。

若削出的面片能落入锅中，则面片的水平初速度可能是(g ＝10 m/s 2)( )A ．0.8 m/sB ．1.2 m/sC ．1.8 m/sD ．3.0 m/s【解析】水平飞出的面片发生的运动可看成平抛运动，根据平抛运动规律，水平方向：x ＝v 0t ①，竖直方向：y ＝12gt 2 ②，其中水平位移大小的范围是0.4 m≤x ≤0.8 m ，联立①②代入数据解得1 m/s≤v 0≤2 m/s ，故B 、C 项正确。

【答案】BC[方法规律] 解决平抛运动中双临界问题的一般思路(1)从题意中提取出重要的临界条件，如“恰好”“不大于”等关键词，准确理解其含义。

(2)作出草图，确定物体的临界位置，标注速度、高度、位移等临界值。

(3)在图中画出临界轨迹，运用平抛运动的规律进行解答。

[集训冲关]1．(2020·济南模拟)套圈游戏是一项很受欢迎的群众运动，要求每次从同一位置水平抛出圆环，套住与圆环前端水平距离为3 m 的20 cm 高的竖直细杆，即为获胜。

一身高1.7 m 的人从距地面1 m 高度水平抛出圆环，圆环半径为8 cm ，要想套住细杆，他水平抛出圆环的速度可能为(g 取10 m/s 2)( ) A ．7.4 m/s B ．7.8 m/s C ．8.2 m/s D ．8.6 m/s 【解析】选B 根据h 1－h 2＝12gt 2得，t ＝2(h 1－h 2)g＝2×(1.0－0.2)10s ＝0.4 s 。

高考物理专题四圆周运动中的临界问题[配套课件] 大赛获奖精美课件PPT

突破三竖直平面内的圆周运动与能量的综合例 3：过山车是游乐场中常见的设施．如图 Z4-6 所示是一
种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆
形轨道组成，B、C、D 分别是三个圆形轨道的最低点，B、C 间距与 C、D 间距相等，半径 R1＝2.0 m、R2＝1.4 m．一个质量为 m＝1.0 kg 的小球(可视为质点)，从轨道的左侧 A 点以 v0＝ 12.0 m/s 的初速度沿轨道向右运动，A、B 间距 L1＝6.0 m．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，圆形轨道是光滑的．假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠．重力加速度取 g＝ 10 m/s2，计算结果保留小数点后一位数字．试求：
临界
(实际上球还没到最高点
2．轻杆模型
甲乙图 Z4-3 如图 Z4-3 所示，球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况：
(1)当 v＝0 时，FN＝mg(FN 为支持力)． (2)当 0＜v＜ Rg时，FN 随 v 增大而减小，且 mg＞FN＞0， FN 为支持力． (3)当 v＝ Rg时，FN＝0. (4)当 v＞ Rg时，FN 为拉力，FN 随 v 的增大而增大．
专题提升四
圆周运动中的临界问题
突破一水平面内的匀速圆周运动的临界问题 1．此类问题的解题思路 (1)明确研究对象的受力情况． (2)抓住合力提供向心力这一关键点．
2．注意临界问题，往往都是被动力的临界问题
如：绳子达到最大拉力，恰好达到最大摩擦力等．解题的关键是：确定临界状态并找出满足临界状态的条件．
图 Z4-5
解：铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力 mg 与轮对它的压力 F 的合力．由圆周运动的规律可知：当 m 转到最低点时 F 最大，当 m 转到最高点时 F 最小．设铁块在最高点和最低点时，电机对其用力分别为 F1 和 F2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有在最高点：mg＋F1＝mω2r ① 在最低点：F2－mg＝mω2r ② 电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块 m 位于最低点和最高点，且压力差的大小为ΔFN＝F2＋F1 ③ 由①②③式可解得ΔFN＝2mω2r 思维提升：通过本例说明在竖直平面内物体做圆周运动通过最高点和最低点时向心力的来源，以及在最高点的临界条件的判断和临界问题分析方法．

(完整版)圆周运动中的临界问题

圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。

1、与绳的拉力有关的临界问题例1 如图1示，两绳系一质量为kg m 1.0=的小球，上面绳长m l 2=，两端都拉直时与轴的夹角分别为o30与o45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为s rad /3时，上、下两绳拉力分别为多大？2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题例2 如图2所示，细绳一端系着质量为kg M 6.0= 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量为kg m 3.0=的物体，M 的中心与圆孔距离为m 2.0并知M 与水平面间的最大静摩擦力为N 2，现让此平面绕中心轴匀速转动，问转动的角速度ω满足什么条件可让m 处于静止状态。

（2/10s m g =）3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。

1、轻绳模型过最高点如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。

临界条件：假设小球到达最高点时速度为0v ，此时绳子的拉力（轨道的弹力）C图1图2刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即rvm mg 20=，gr v =0，式中的0v 是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。

（1）0v v = （刚好到最高点，轻绳无拉力）（2）0v v > （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用）（3）0v v < （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道）例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为kg m 1=的小球，绳的长度m l 4.0=，轻绳能够承受的最大拉力为N F 100max =，现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端O 为圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（10m g =2、轻杆模型过最高点如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。

第四讲平抛运动、圆周运动的临界问题

能力提升课第四讲平抛运动、圆周运动的临界问题热点一平抛运动中的临界问题 (师生共研)1．有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．2．若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点．3．若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点．[典例1] (2015·全国卷Ⅰ)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )A.L 12g6h ＜v ＜L 1g6hB.L 14gh ＜v ＜ (4L 21＋L 22)g6h C.L 12g 6h ＜v ＜12 (4L 21＋L 22)g6h D.L 14g h ＜v ＜12(4L 21＋L 22)g6h解析：当发射机正对右侧台面发射，乒乓球恰好过网时，发射速度最小．由平抛运动规律得L 12＝v 1t,2h ＝12gt 2，联立解得v 1＝L 14gh .当发射机正对右侧台面的某个角发射，乒乓球恰好到达角上时，发射速度最大．由平抛运动规律得 L 21＋(L 22)2＝v2t′，3h＝12gt′2，联立解得v2＝12(4L21＋L22)g6h.即速度v的最大取值范围为L1 4gh＜v＜12(4L21＋L22)g6h，D正确，选项A、B、C错误．答案：D[反思总结]处理平抛运动临界问题应抓住两点1．分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界状态的条件．2．要用分解速度或者分解位移的方法分析平抛运动的临界问题．如图，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m．某人在离墙壁距离L＝1.4 m，距窗子上沿高h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以速度v垂直于墙壁水平抛出，小物体直接穿过窗口并落在水平地面上，g取10 m/s2，则v的取值范围是()A．v＞7 m/sB．v＞2.3 m/sC．3 m/s＜v＜7 m/sD．2.3 m/s＜v＜3 m/s解析：小物体穿过窗口并落在地上，需满足的条件为能穿过窗口的右上沿和左下沿，结合公式h＝12gt2，x＝v t，沿右上沿时，x1＝L＝1.4 m，h1＝h＝0.2 m时，代入数据得v1＝7 m/s，沿左下沿时，x2＝L＋d＝1.8 m，h2＝H＋h＝1.8 m时，代入数据得v2＝3 m/s，则3 m/s＜v＜7 m/s，故选C.答案：C热点二水平面内圆周运动的临界问题(自主学习)水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题． 1．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有f m ＝m v 2r ，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心． 2．与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等．2－1. [摩擦力有关的临界问题] 如图所示，叠放在水平转台上的小物体A 、B 、C 能随转台一起以角速度ω匀速转动，A 、B 、C 的质量分别为3m 、2m 、m ，A 与B 、B 与转台、C 与转台间的动摩擦因数都为μ，B 、C 离转台中心的距离分别为r 、1.5r .设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以下说法中正确的是( )A ．B 对A 的摩擦力一定为3μmgB ．C 与转台间的摩擦力大于A 与B 间的摩擦力 C ．转台的角速度一定满足ω≤ 2μg3r D ．转台的角速度一定满足ω≤ μg 3r答案：C2－2.[绳子张力的临界问题] (2019·山东滕州一中检测)质量为m 的小球由轻绳a 、b 分别系于一轻质木架上的A 和C 点，绳长分别为l a 、l b (且l a ≠l b )，如图所示，当轻杆绕轴BC 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a 在竖直方向，绳b 在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b 被烧断的同时轻杆停止转动，则( )A ．小球仍在水平面内做匀速圆周运动B ．在绳b 被烧断瞬间，绳a 中张力突然增大到 mg ＋mω2l aC ．无论角速度ω多大，小球都不可能再做完整的圆周运动D ．绳b 未被烧断时，绳a 的拉力等于 mg ，绳b 的拉力为 mω2l b解析：绳子断开前，小球做匀速圆周运动，合力指向C 点，对小球受力分析，受重力G ，a 绳子的拉力F 1，b 绳子的拉力F 2，根据牛顿第二定律有：F 1＝ mg ；F 2＝mω2l b ；小球的线速度为：v ＝ωl b ；绳子断开后，杆停止转动，由于惯性，小球将绕A 点转动，若速度较小，小球将在垂直于平面ABC 的竖直平面内摆动，若速度较大，也有可能在垂直于平面ABC 的竖直平面内绕A 点做完整的圆周运动，故A 、C 错误，D 正确；在最低点时：F a － mg ＝m (ωl b )2l a；解得：F a ＝mg ＋m (ωl b )2l a，则a 绳中张力突然增大到 mg ＋m (ωl b )2l a，B 错误．答案：D2－3.[接触与脱离的临界问题] 用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥顶上，如图甲所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，线的张力为F T ，则F T 随ω2变化的图象是图乙中的( )解析：设绳长为L ，锥面与竖直方向夹角为θ，当ω＝0时，小球静止，受重力mg 、支持力F N 和绳的拉力F T 而平衡，F T ＝mg cos θ≠0，A 错误；ω增大时，F T 增大，F N 减小，当F N ＝0时，角速度为ω0，当ω＜ω0时，由牛顿第二定律得F T sin θ－F N cos θ＝mω2L sin θ，F T cos θ＋F N sin θ＝mg ，解得F T ＝mω2L sin 2 θ＋mg cos θ，当ω＞ω0时，小球离开锥面，绳与竖直方向夹角变大，设为β，由牛顿第二定律得F T sin β＝mω2L sin β，所以F T＝mLω2，可知F T－ω2图线的斜率变大，所以B正确，C、D错误．答案：B热点三竖直面内圆周运动的临界问题(师生共研)1．轻绳和轻杆模型概述在竖直平面内做圆周运动的物体，运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“轻绳模型”；二是有支撑(如球与杆连接，小球在弯管内运动等)，称为“轻杆模型”．2．两类模型对比弹力可能向下，可能向上，也直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是()A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B ．小球过最高点的最小速度是gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小解析：轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v ＝gR 时，杆所受的弹力等于零，A 正确，B 错误；若v ＜gR ，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg －F ＝m v 2R ，随v 增大，F 减小，若v ＞gR ，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg ＋F ＝m v 2R ，随v 增大，F 增大，故C 、D 均错误．答案：A [反思总结]3－1.[过山车问题] 乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m 的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是( )A ．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来B ．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg 的压力C ．人在最低点时对座位的压力等于mgD ．人在最低点时对座位的压力大于mg解析：人过最高点时，F N ＋mg ＝m v 2R ，当v ≥gR 时，不用保险带，人也不会掉下来，当v ＝2gR 时，人在最高点时对座位产生的压力为mg ，A 、B 均错误；人在最低点具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于mg ，C 错误，D 正确．答案：D3－2.[绳模型问题] 如图所示，轻绳的一端固定在O 点，另一端系一质量为m 的小球(可视为质点)．当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力F T 、轻绳与竖直线OP 的夹角θ满足关系式F T ＝a ＋b cos θ，式中a 、b 为常数．若不计空气阻力，则当地的重力加速度为( )A.b2m B ．2bm C.3b m D ．b 3m答案：D3－3. [杆模型问题] 如图所示，长为3L 的轻杆可绕光滑水平转轴O 转动，在杆两端分别固定质量均为m 的球A 、B ，球A 距轴O 的距离为L .现给系统一定能量，使杆和球在竖直平面内转动．当球B 运动到最高点时，水平转轴O 对杆的作用力恰好为零，忽略空气阻力，已知重力加速度为g ，则球B 在最高点时，下列说法正确的是( )A ．球B 的速度为零 B ．球B 的速度为2gLC ．球A 的速度为2gLD ．杆对球B 的弹力方向竖直向下答案：B3－4.[斜面上的轻杆模型分析] 如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L ＝0.8 m 的轻杆，一端固定在O 点，另一端系一质量为m ＝0.2 kg 的小球，沿斜面做圆周运动，取g＝10 m/s2，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是()A．4 m/s B．210 m/sC．2 5 m/s D．2 2 m/s解析：小球受轻杆控制，在A点的最小速度为零，由2mgL sin α＝12m v2B可得v B＝4 m/s，A正确.答案：A1. (多选)如图所示是网球比赛场地，已知底线到网的距离为L，运动员在网前截击，若他在球网正上方距地面H处，将球以水平速度沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．将球的运动视为平抛运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是( ABD )A．根据题目条件能求出球的水平速度vB．根据题目条件能求出球从击出至落地所用时间tC．球从击球点至落地点的位移等于LD．球从击球点至落地点的位移与球的质量无关2. (2019·河南滑县联考)螺旋测微器是常见的长度测量工具，如图所示，旋动旋钮一圈，旋钮同时会随测微螺杆沿着旋转轴线方向前进或后退一个螺距的距离，已知旋钮上的可动刻度“0”刻线处A点的旋转半径为R＝5.0mm，内部螺纹的螺距x ＝0.5mm，若匀速旋动旋钮，则A点绕轴线转动的线速度和沿轴线水平移动的速度大小之比为( C )A ．10∶1B ．10π∶1C ．20π∶1D ．20∶1解析：旋动旋钮一圈，测微螺杆便沿着旋转轴线方向前进或后退一个螺距的距离，A 点做圆周运动的线速度为：v A 1＝2πR T ，A 点水平移动的速度为：v A 2＝xT ，带入数据得：v A 1v A 2＝20π∶1，选项C正确．3. (2018·安徽六安舒城中学仿真卷)如图所示，一倾斜的圆筒绕固定轴OO 1以恒定的角速度ω转动，圆筒的半径r ＝1.5 m ．筒壁内有一小物体与圆筒始终保持相对静止，小物体与圆筒间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，转动轴与水平面间的夹角为60° ，重力加速度g 取10 m/s 2，则ω的最小值是( C )A ．1 rad/sB ．303rad/s C.10 rad/sD ．5 rad/s解析：受力分析如图，受重力G ，弹力N ，静摩擦力f .由牛顿第二定律可知，mg cos θ＋N ＝m ω2r ，在平行于桶壁方向上，f max ＝μN ≥mg sin θ.由以上式子，可得ω≥10rad/s ，则ω最小值是10 rad/s ，故C 正确．[A 组·基础题]1. 如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2.则ω的最大值是( C )A. 5 rad/s B． 3 rad/sC．1.0 rad/s D．5 rad/s2. 一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，圆盘半径为R，甲、乙两物体的质量分别为M与m(M＞m)，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为l(l＜R)的轻绳连在一起，如图所示，若将甲物体放在转轴的位置上，甲、乙之间接线刚好沿半径方向拉直，要使两物体与转盘之间不发生相对滑动，则转盘旋转的角速度最大值不得超过( D )A.μ(M－m)gml B．μ(M－m)gMlC.μ(M＋m)gMl D．μ(M＋m)gml3. (2019·河南中原名校考评)如图所示，半径分别为R、2R的两个水平圆盘，小圆盘转动时会带动大圆盘不打滑的一起转动．质量为m的小物块甲放置在大圆盘上距离转轴R处，质量为2m的小物块放置在小圆盘的边缘处．它们与盘面间的动摩擦因数相同，当小圆盘以角速度转动时，两物块均相对圆盘静止，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是( B )A．二者线速度大小相等B ．甲受到的摩擦力大小为14mω2RC ．在ω逐渐增大的过程中，甲先滑动D ．在ω逐渐增大但未相对滑动的过程中，物块所受摩擦力仍沿半径指向圆心解析：大圆盘和小圆盘边缘上的线速度大小相等，当小圆盘以角速度ω转动时，大圆盘以ω2转动；两物块做圆周运动的半径相等，但是角速度不同，则线速度大小不等，A 错误；根据v ＝ωr 知，大圆盘以ω2转动，则小物块甲受到的摩擦力f＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω22R ＝14mω2R ，B 正确；根据μmg ＝mω2r 知，临界角速度ω＝μg r ，两物块的半径相等，知临界角速度相等，在角速度ω逐渐增大的过程中，ω大＝12ω小，可知物块乙先滑动，C 错误；在角速度ω逐渐增大的过程中，甲乙的线速度逐渐增大，根据动能定理知，摩擦力对两物块均做正功，可知摩擦力一定有沿线速度方向的分力，所以物块受到的摩擦力的方向一定不是指向圆心，D 错误．4. (2018·广东七校联考)如图所示，半径为R 的圆轮在竖直面内绕O 轴匀速转动，轮上A 、B 两点各粘有一小物体，当B 点转至最低位置时，此时O 、A 、B 、P 四点在同一竖直线上，已知：OA ＝AB ，P 是地面上的一点．此时A 、B 两点处的小物体同时脱落，最终落到水平地面上同一点．不计空气阻力，则OP 的距离是( A )A.76RB ．52RC ．5RD ．7R解析：设OP 之间的距离为h ，则A 下落的高度为h －12R ，A 随圆轮运动的线速度为12ωR ，设A 下落的时间为t 1，水平位移为s ，则有：在竖直方向上有：h －12R ＝12gt 21在水平方向上有：s＝12ωRt1B下落的高度为h－R，B随圆轮运动的线速度为ωR，设B下落的时间为t2，水平位移也为s，则有：在竖直方向上有：h－R＝12gt22在水平方向上有：s＝ωRt2联立上式解得：h＝7 6R选项A正确，B、C、D错误．5．(多选) 水平面上有倾角为θ、质量为M的斜面体，质量为m的小物块放在斜面上，现用一平行于斜面、大小恒定的拉力F作用于小物块上，绕小物块旋转一周，这个过程中斜面体和小物块始终保持静止状态．下列说法中正确的是( AC )A．小物块受到斜面的最大摩擦力为F＋mg sin θB．小物块受到斜面的最大摩擦力为F－mg sin θC．斜面体受到地面的最大摩擦力为FD．斜面体受到地面的最大摩擦力为F cos θ6．(多选) (2018·山西省吕梁市期中)如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法正确的是( BC )A．小球通过最高点时的最小速度v min＝g(R＋r)B．小球通过最高点时的最小速度v min＝0C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力解析：小球过最高点时可能受到外壁对其向下的压力或内壁对其向上的支持力，类似于轻杆端点的小球过最高点，则其通过最高点的最小速度为零．故A项错误，B项正确；小球在管道中运动时，向心力的方向要指向圆心；小球在水平线ab以下时，重力沿半径的分量背离圆心，则管壁必然提供指向圆心的支持力，只有外侧管壁才能提供此力，内侧管壁对小球一定无作用力，C项正确；同理在水平线ab以上时，重力沿半径的分量指向圆心，外侧管壁对小球可能没有作用力，D项错误．7. 如图所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L ＝3 m，围墙外空地宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g取10 m/s2.求：(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；(2)小球落在空地上的最小速度．解析：(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v01，则小球的水平位移：L＋x＝v01t1小球的竖直位移：H＝12gt21解以上两式得v01＝(L＋x)g2H＝13 m/s设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v02，则此过程中小球的水平位移：L＝v02t2小球的竖直位移：H－h＝12gt22解以上两式得：v02＝Lg2(H－h)＝5 m/s小球离开屋顶时的速度大小为5 m/s≤v0≤13 m/s.(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越好围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小．竖直方向：v2y＝2gH又有：v min＝v202＋v2y解得：v min＝5 5 m/s.答案：(1)5 m/s≤v0≤13 m/s(2)5 5 m/s[B组·能力题]8. (多选)如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度(绳子恰好伸直但无弹力)，物块B到轴的距离为物块A到轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐慢慢增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是( BC )A．A受到的静摩擦力一直增大B．B受到的静摩擦力先增大后保持不变C．A受到的静摩擦力先增大后减小再增大D．B受到的合外力先增大后保持不变9. (多选)(2016·浙江卷)如图所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90 m的大圆弧和r＝40 m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100 m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10 m/s2，π＝3.14)，则赛车( AB )A．在绕过小圆弧弯道后加速B．在大圆弧弯道上的速率为45 m/sC．在直道上的加速度大小为5.63 m/s2D．通过小圆弧弯道的时间为5.58 s10．如图为“快乐大冲关”节目中某个环节的示意图，参与游戏的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道．选手可以自A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上跑道．选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.(1)若选手以速度v 0水平跳出后，能跳在水平跑道上，求v 0的最小值；(2)若选手以速度v 1＝4 m/s 水平跳出，求该选手在空中的运动时间．解析：(1)运动员从A 到B 点做平抛运动，设刚好能到达B 点，水平方向上h sin 60°＝v 0t竖直方向上h cos 60°＝12gt 2计算可得v 0＝3102 m/sv 0的最小值为3102 m/s.(2)若选手以速度v 1＝4 m/s 水平跳出，v 1＜v 0，选手会落到圆弧上，水平方向上x ＝v 1t 1竖直方向上y ＝12gt 21根据几何关系x 2＋y 2＝h 2计算可得t 1＝0.6 s.答案：(1)3102 m/s (2)0.6 s11. (2017·河南开封模拟)如图所示，一块足够大的光滑平板放置在水平面上，能绕水平固定轴MN 调节其与水平面所成的倾角．板上一根长为l ＝0.60 m 的轻细绳，它的一端系住一质量为m 的小球P ，另一端固定在板上的O 点．当平板的倾角固定为α时，先将轻绳平行于水平轴MN 拉直，然后给小球一沿着平板并与轻绳垂直的初速度v 0＝3.0 m/s.若小球能保持在板面内做圆周运动，倾角α的值应在什么范围内？(取重力加速度g ＝10 m/s 2)解析：小球在倾斜平板上运动时受到绳子拉力、平板弹力、重力．在垂直平板方向上合力为0，重力在沿平板方向的分量为mg sin α小球在最高点时，由绳子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力，有F T＋mg sin α＝m v21 l①研究小球从释放到最高点的过程，根据动能定理有－mgl sin α＝12m v21－12m v2②若恰好能通过最高点，则绳子拉力F T＝0③联立①②③解得sin α＝12，解得α＝30°故α的范围为0°≤α≤30°. 答案：0°≤α≤30°。

高考物理热点：平抛运动中的临界问题

D．若石子不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大
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4.备选训练
平抛运动与日常生活紧密联系，如乒乓球、足球、排球等运动模型，飞
镖、射击、飞机投弹模型等。这些模型经常受到边界条件的制约，如网
球是否触网或越界、飞镖是否能击中靶心、飞机投弹是否能命中目标等。解题的关键是能准确地运用平抛运动规律分析对应的运动特征。
目录
的初速度分别从 A、B 两点相差 1 s 先后水平相向抛出，a 小球从 A 点抛出后，经过时间 t，a、b 两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，取 g＝10m/s2，则抛出点 A、B 间的水平距离是( )
A．80 5 m B．100 m C．200 m D．180 5 m
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Contents Page
热点突破：平抛运动中的临界问题
1.热点透析
2.典例剖析
3.规律方法
4.备选训练 5.高考模拟演练
基础课
目录
1.热点透析
平抛运动中的临界问题 1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。 2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。 3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。
6gh＜v＜L1
g ＋L22）g 6h
C.L21 D.L41
6gh＜v＜12 hg＜v＜12
（4L21＋L22）g 6h
（4L21＋L22）g 6h
提示：球速最小时，射程最小；球速最大

2020年高考物理十年真题精解(全国Ⅰ卷)专题03 抛体运动与圆周运动(解析版)

三观一统十年高考真题精解03 抛体运动与圆周运动十年树木，百年树人，十年磨一剑。

本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性。

三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。

（一）2020考纲（二）本节考向题型研究汇总一、考向题型研究一：物体作曲线运动的条件（2016年新课标Ⅰ卷T20）如图，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直平面（纸面）内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。

忽略空气阻力。

由此可知（）A．Q点的电势比P点高B．油滴在Q点的动能比它在P点的大C．油滴在Q点的电势能比它在P点的大D．油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小【答案】AB【解析】试题分析：带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直平面（纸面）内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称，可以判断合力的方向竖直向上，而重力方向竖直向下，可知电场力的方向竖直向上，运动电荷是负电荷，所以匀强电场的方向竖直向下，所以Q点的电势比P点高，带负电的油滴在Q点的电势能比它在P点的小，在Q点的动能比它在P点的大，故AB正确，C错误。

在匀强电场中电场力是恒力，重力也是恒力，所以合力是恒力，所以油滴的加速度恒定，故D错误。

（2016年新课标Ⅰ卷T18）一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来作用在质点上的力不发生改变，则（）A．质点速度的方向总是与该恒力的方向相同B．质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直C．质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同D．质点单位时间内速率的变化量总是不变【答案】BC【解析】试题分析：因为原来质点做匀速直线运动，合外力为0，现在施加一恒力，质点所受的合力就是这个恒力，所以质点可能做匀变速直线运动，也有可能做匀变速曲线运动，这个过程中加速度不变，速度的变化率不变。

高考物理一轮复习：平抛运动和圆周运动部分圆周运动的临界问题

C.
是b开始滑动的临界角速度
D.
时，a所受摩擦力的大小为kmg
提示：静摩擦力大小有范围。分析同时刻ab的受力情况时需考虑它们所需向心力的大小关系。
例题——静摩擦力产生的临界问题
解析因圆盘从静止开始绕轴缓慢加速转动，在某一时刻，木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，两木块转动过程中角速度相等，则由牛顿第二定律可得Ff＝m R，由于小木块b的轨道半径大于a的轨道半径，故b做圆周运动需要的向心力较大，选项B错误；因为两木块的最大静摩擦力相等，故b一定比a先开始滑动，选项A正确；
提示：AB两物体的向心力由摩擦力和绳子拉力的合力提供。
例题——静摩擦力产生的临界问题
解：AB都做匀速圆周运动，合外力提供向心力，则
对A有：
对B有：
，
当角速度较小时，静摩擦力可以提供向心力，这时，绳子拉力为零，AB所受摩
擦力都指向圆心，随着角速度增大，A先达到最大静摩擦力，绳子开始拉直且
有作用力，所以A的摩擦力方向一定指向圆心，此时B还没有达到最大静摩擦力
知识梳理
水平面上圆周运动的临界问题静摩擦力大小有范围，方向可以改变。
如图，物块a放在水平转动的圆盘上，随圆盘一起做匀速圆周运动。试分析随着圆盘角速度ω的增加，a的运动状态及对应的受力情况。（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）
ω较小时，静摩擦力提供向心力 ω增大到某一时刻，静摩擦力达到最大
ω继续增大，静摩擦力已不能提供其所需的向心力，物块将开始发生滑动，做离心运动。
提示：静摩擦力大小有范围。分析同时刻AB的受力情况时需考虑它们所需向心力的大小关系。
例题——静摩擦力产生的临界问题
解析假设轮盘乙的半径为R，由题意可知两轮盘边缘的线速度大小相等，有ω甲·3R ＝ω乙R，得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为 1∶3，A正确；滑块相对轮盘滑动前，根据an＝ r得A、B的向心加速度之比为 aA∶aB＝2∶9，B正确；据题意可得滑块A、B的最大静摩擦力分别为FfA＝μmAg， FfB＝μmBg，最大静摩擦力之比为FfA∶FfB＝mA∶mB，滑块相对轮盘滑动前所受的静摩擦力之比为FfA′∶FfB′＝(mAaA)∶(mBaB)＝mA∶(4.5mB)，综上分析可得滑块B先达到最大静摩擦力，先开始滑动，C正确，D错误.

2023届高考物理二轮曲线运动临界问题(学生版)

2023届高考物理二轮曲线运动临界问题（学生版）曲线运动临界问题一、平抛运动的临界：一般对于平抛运动过程中存在要求问题落点存在范围，即平抛运动初速度在最小值到最大值之间，关键问题是找到最小速度，最大速度。

【例】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。

水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h 。

发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h 。

不计空气的作用，重力加速度大小为g 。

若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的取值范围是（） 1A.h g L v h g L 66211<< B.h g L L v h g L 6)4(422211+<< C.h g L L v h g L6)4(216222211+<< D.h g L L v h g L 6)4(21422211+<<【析】乒乓球的最小速度是刚好垂直于球网方向且擦着网，此时球下落的高度211212gt h h ==，乒乓球的水平位移111121t v L x ==，解得hgL v 411=；乒乓球的最大速度时落点恰好在球桌的角落处，此时球下落的高度222213gt h h ==，水平位移如图所示，所以其大小为2222212)2(t v L L x =+=，解得hg L L v 6)4(2122212+=，则速度v 的范围：21v v v <<。

所以D 选项正确。

【答案】D二、圆周运动临界： 1.弹力临界：①当弹簧恰好处于原长时，出现临界状态； ①当细绳上的拉力恰好为零时，出现临界状态； ①当接触面之间的支持力恰好为零时，出现临界状态。

【例】如图所示，一根原长为l 0的轻弹簧套在光滑直杆AB 上，其下端固定在杆的A 端，质量为m 的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连，球和杆一起绕经过杆A 端的竖直轴OO ，匀速转动，且杆与水平面间始终保持30°角。

专题十二平抛运动、圆周运动的临界问题

专题十二平抛运动、圆周运动的临界问题1．如图1所示，在光滑水平面上，钉有两个钉子A 和B ，一根长细绳的一端系一个小球，另一端固定在钉子A 上，开始时小球与钉子A 、B 均在一条直线上(图示位置)，且细绳的一大部分沿俯视顺时针方向缠绕在两钉子上，现使小球以初速度v 0在水平面上沿俯视逆时针方向做圆周运动，使两钉子之间缠绕的绳子逐渐释放，在绳子完全被释放后与释放前相比，下列说法正确的是( )A ．小球的线速度变大B ．小球的角速度变大C ．小球的加速度变大D ．细绳对小球的拉力变小2．荡秋千一直是小朋友们喜爱的运动，秋千上端吊环之间不断磨损，能承受的拉力逐渐减小。

如图2所示，一质量为m 的小朋友在吊绳长为l 的秋千上，如果小朋友从与吊环水平位置开始下落，运动到最低点时，吊绳突然断裂，小朋友最后落在地板上。

如果吊绳的长度l 可以改变，则( )A ．吊绳越长，小朋友在最低点越容易断裂B ．吊绳越短，小朋友在最低点越容易断裂C ．吊绳越长，小朋友落地点越远D ．吊绳长度是吊绳悬挂点高度的一半时，小朋友落地点最远3．(2015·湖北黄冈二模)如图3所示，在投球游戏中，某人将小球从P 点以速度v 水平抛向固定在水平地面上的塑料筐，小球恰好沿着筐的上沿入筐并打在筐的底角，若要让小球进入筐中并直接击中筐底正中间，下列说法可行的是( )A ．在P 点将小球以小于v 的速度水平抛出B ．在P 点将小球以大于v 的速度水平抛出C ．在P 点正上方某位置将小球以小于v 的速度水平抛出D ．在P 点正下方某位置将小球以小于v 的速度水平抛出4．一水平放置的圆盘可以绕中心O 点旋转，盘上放一个质量为m 的铁块(可视为质点)，轻质弹簧一端连接铁块，另一端系于O 点，铁块与圆盘间的动摩擦因数为μ，如图4所示。

铁块随圆盘一起匀速转动，铁块距中心O 点的距离为r ，这时弹簧的拉力大小为F ，重力加速度为g ，已知铁块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则圆盘的角速度可能是( )A ．ω≥F ＋μmg mrB ．ω≤F －μmg mrC.F －μmg mr ＜ω＜F ＋μmg mrD.F －μmg mr ≤ω≤F ＋μmg mr二、多项选择题5．(2016·东城区模拟)长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v ，下列说法中正确的是( )A ．当v 的值为gL 时，杆对小球的弹力为零B ．当v 由gL 逐渐增大时，杆对小球的拉力逐渐增大C ．当v 由gL 逐渐减小时，杆对小球的支持力逐渐减小D ．当v 由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大6．质量为m 的小球由轻绳a 、b 分别系于一轻质木架上的A 和C 点，绳长分别为l a 、l b ，如图5所示，当木架绕轴BC 以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，绳a 在竖直方向，绳b 在水平方向，当小球运动到图示位置时，绳b 被烧断，同时木架停止转动，则( )A ．小球仍在水平面内做匀速圆周运动B ．在绳b 被烧断瞬间，绳a 中张力突然增大C ．若角速度ω较小，小球可能在垂直于平面ABC 的竖直平面内摆动D ．绳b 未被烧断时，绳a 的拉力大于mg ，绳b 的拉力为mω2l b7．(2016·山西吕梁模拟)如图6所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R ，小球半径为r ，则下列说法正确的是( )A ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝g （R ＋r ）B ．小球通过最高点时的最小速度v min ＝0C ．小球在水平线ab 以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D ．小球在水平线ab 以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力8．如图7所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m 的两个物体A 和B ，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A ＝r ，R B ＝2r ，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )A ．此时绳子张力为3μmgB ．此时圆盘的角速度为2μg rC ．此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆外D ．此时烧断绳子，A 仍相对盘静止，B 将做离心运动三、非选择题9．为了研究过山车的原理，某物理小组提出了下列的设想：取一个与水平方向夹角为θ＝60°，长为L 1＝2 3 m 的倾斜轨道AB ，通过微小圆弧与长为L 2＝32m 的水平轨道BC 相连，然后在C 处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道D ，如图8所示。

专题22 平抛运动的图像问题、相遇问题、临界问题、与圆周运动结合问题(解析版)

2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题22 平抛运动的图像问题、相遇问题、临界问题、与圆周运动结合问题特训目标特训内容目标1 平抛运动的图像问题（1T—4T）目标2 平抛运动的相遇问题（5T—8T）目标3 平抛运动的临界问题（9T—12T）目标4 平抛运动与周期性圆周运动相结合问题（13T—16T）一、平抛运动的图像问题1．如图，在倾角为的斜面顶端，将小球以v0的初速度水平向左抛出，经过一定时间小球发生第一次撞击。

自小球抛出至第一次撞击过程中小球水平方向的位移为x，忽略空气阻力，则下列图像正确的是（）A．B．C ．D ．【答案】D【详解】如果小球落在斜面上，小球位移方向与水平方向夹角为α，则有0tan 2y gt x v α==则水平位移200002tan v x v t v v gα==∝小球落水平面上，小球飞行时间恒定，水平位移正比于0v ，故D 正确，ABC 错误。

故选D 。

2．如图甲所示，挡板OA 与水平面的夹角为θ，小球从O 点的正上方高度为H 的P 点以水平速度0v 水平抛出，落到斜面时，小球的位移与斜面垂直；让挡板绕定的O 点转动，改变挡板的倾角θ，小球平抛运动的初速度0v 也改变，每次平抛运动，使小球的位移与斜面总垂直，22011tan v θ-函数关系图像如图乙所示，重力加速度210m/s g =，下列说法正确的是（）A ．图乙的函数关系图像对应的方程式220111tan 2gH v θ=⨯+ B ．图乙中a 的数值2-C ．当图乙中1b =，H 的值为0.1mD ．当45θ=︒，图乙中1b =2【答案】D 【详解】A ．设平抛运动的时间为t ，如图所示把平抛运动的位移分别沿水平和竖直方向分解，由几何关系02tan 12v tgt θ=解得0an 2t v t g θ=根据几何关系有201tan 2H gt v t θ-=⨯联立整理220111tan 2gH v θ=⨯-故A 错误； B ．结合图乙22011tan v θ-函数关系图像可得1a =-故B 错误； C ．由图乙可得22011tan v θ-函数关系图像的斜率2a gH kb =-=又有1a =-，1b =可得0.2m H =故C 错误；D ．当45θ︒=，0.2m H =根据220111tan 2gH v θ=⨯-解得02v =根据0an 2t v t g θ=解得2t =故D 正确。