函数的对应法则求法

• 9、相关点法：一般的，设出两个点，一点已知，
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一点未知，根据已知找到两点之间的联系，把已 知点用未知点表示，最后代入已知点的解析式整 理出即可。（轨迹法） 例：已知函数y=f(x)的图像与y=x2+x的图像关于 点（-2，3）对称，求f(x)的解析式。 解：设（x,y）为f(x)上与y=x2+x关于（-2，3） 的对称点，（a,b）为y=x2+x上的点 故（x+a）/2=-2;(y+b)/2=3，所以a=-4-x,b=6-y， 代入y=x2+x,得 6-y=(-4-x)2+(-4-x),所以y=-x2-7x-6
• 4、特殊值代入法：令变量取某些特殊值， 从而减少未知元，求出函数解析式. • 例：已知f(x)是定义在R上的函数，且 f(0)=1，f(y-x)=f(y)-xe3x+y，求函数f(x)解 析式。 • 解：取x=y，则由已知等式，有f(0)=f(x)xe4x， • ∵f(0)=1，∴f(x)=1+xe4x.
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• 7、数列法：求定义在正整数集N上的函数f(n)，实际
• • • • • • 上就是数列{f(n)}(n=1，2，…)的通项.数列法就是利用等 比、等差数列的有关知识(通项公式、求和公式等)求定义 在N上的函数f(n). 例：已知f(1)=1，且对任意正整数n，都有 f(n+1)=3f(n)+2，求f(n). 解 由f(n+1)=3f(n)+2，有 f(n+1)+1=3［f(n)+1)］. ∴f(n+1)+1[]f(n)+1=3. {f(n)+1}为公比是3的等比数列，其首项为 f(1)+1=1+1=2. ∴f(n)+1=2・3n-1，即f(n)=2・3n-1-1.
• 3、解方程组法：求抽象函数的解析式， 往往通过变换变量构造一个方程，组 成方程组，利用消元法求f（x）的解 析式。
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例：已知af(x)+bf(-x)=cx; af(-x)+bf(x)=-cx; 求f(x) 解：af(x)+bf(-x)=cx; 1 af(-x)+bf(x)=-cx; 2 1式*a 2式*b 得a^2f(x)+abf(-x)=acx 3 abf(-x)+b^2f(x)=-bcx 4 3-4 (a^2-b^2)f(x)=(ac+bc)x 所以f(x)=cx/(a-b)
• 8、参数法：一般地，通过设参数、消参数 得出函数的对应关系，从而求出f(x)的表达 式. • 例：已知f(2-cosx)=5-sin2x，求f(x). • 解 ：设所求函数y=f(x)的参数表达式为 x=2-cost, • y=5-sin2t;cost=2-x， ① • sin2t=5-y.② • ①2+②，消去参数t，得y=x2-4x+8,即 f(x)=x2-4x+8,x∈［1,3］
函数对应法则的求法
• 1.待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二 次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解 析式，根据已知条件代入求系数 。
• 例：是否存在满足下列条件的函数：是三次 函数，且 如存在，求 出的表达式；若不存在，说明理由． • 分析：首先假设函数存在，用字母设出函数 的解析式，利用已知的条件建立方程或方程 组，解方程组，求出未知数，写出函数解析 式．
第六小组组长：杨丹 组员：陈静、严英、田晓东、黄以纯、郑美艳、冯 康欣、杨琴、袁杰、宋慧玲
函数的对应法则定义
就是指“送数”的方式，它决定了函数的对 应法则将对应法则的作用对象以何种方式 “送”出去，送出去后又成为什么结果 （表达式）．对于函数 y＝f(x)(x∈R， y∈R)，对应法则，“f”只是个代号，重要 的是要弄清对应法则的实质，如函数f(x)＝ 2x2－x－3的对应法则的含义是指“对象的 平方的两倍与对象的差，再与3的差”，明 确了“自变量”x与“应变量”2x2－x－3 的对应关系．而2x2－x－3是函数f(x)的表 达式，2x2＋3x－2是函数f(x＋1)的表达 式．
解：设 ，则 • 由题意可建立方程式，得
．
• 解以上方程组，得
• • • 故存在满足条件的的函数 存在 ，表达式为
• 2、换元法：已知f（g(x)）,求f(x)的解 析式，一般的可用换元法。具体为： 令t=g(x),在求出f(t)可得f（x）的解析 式。换元后要确定新元t的取值范围。
• 例：已知f（1/x）=x/（1-x），求f（x）的 解析式？ • 解：令t=1/x(t≠0),则x=1/t • 所以f(t)=(1/t)/(1-1/t)=1/(t-1) • 所以f(x)=1/(x-1)(x≠0)
• 5、配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整 体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形 式，再把g(x)用x代替。 一般的利用完全平 方公式。 • 例：已知f(x-1/x)=x2+1/x2,求f(x)解析式。 • 解：f(x-1/x)=(x-1/x)2+2 • 则f(x)=x2+2
• 6、归纳递推法：若函数的定义域为N，且函数关系式是由
• • • • • • • • • • • 递推关系给出的，可用递推法求出f(x). 例： 已知函数f(x)定义域为N，且对任意的n∈N，都满足 f(n+1)=f(n)+2n+1，f(1)=1，求f(x). 解 由f(n+1)=f(n)+2n+1， 依次令n=1，2，…，n-1，有 f(2)=f(1)+3， f(3)=f(2)+5， …… f(n)=f(n-1)+2n-1, 以上n-1个式子相加，得 f(n)=f(1)+3+5+…+(2n-1) =1+3+5+…+(2n-1)=n2，故f(x)=x2(x∈N).