随机过程例题.

1 2
2 i j E[ X i ] 1 / 3 , r E [ X X ] Xi 的自相关函数： ij i j E[ X i ] E[ X j ] 1 / 4 , i j
均值向量
1 / 2 MX 1 / 2 1 / 2
2随机过程的基本概念
例 求在[0, 1]区间均匀分布的独立随机序列的均值
向量、自相关阵和协方差阵，设N=3。
解：
1, 0 x 1 Xi 的一维概率密度函数为： f X i ( x) 其它 0,
1
i i
Xi 的均值： m X E[ X i ] - x f X ( x)dx 0 x dx
自相关阵
1 / 3 1 / 4 1 / 4 RX 1 / 4 1 / 3 1 / 4 1 / 4 1 / 4 1 / 3
协方差阵
0 0 1 / 12 CX 0 1 / 12 0 0 1 / 12 0
2随机过程的基本概念
例3
来自百度文库
2随机过程的基本概念
例2
• 设 X (t) 为信号过程，Y (t) 为噪声过程，令 W ( t) = X ( t) + Y ( t) ，
则 W (t) 的均值函数为
其相关函数为
mW (t ) mX (t ) mY (t )
RW ( s, t ) E[W ( s )W (t )] E{[ X ( s ) Y ( s )][ X (t ) Y (t )]} E[ X ( s ) X (t )] E[ X ( s )Y (t )] E[Y ( s ) X (t )] E[Y ( s )Y (t )] R X ( s, t ) R XY ( s, t ) RYX ( s, t ) RY ( s, t )
4谱分析
[例1] 设有随机过程 X (t) = a cos(0t + )， 其中 a, 0 为常数， 在下列情况下，求 X (t) 的平均功率： (1) 是在( 0, 2 ) 上服从均匀分布的随机变量；
(2) 是在( 0, /2 ) 上服从均匀分布的随机变量。
[ 解]
(1) 随机过程 X (t) 是平稳过程， a2 相关函数： RX ( ) cos( 0 ) 2 平均功率： (2)
[解]
E[ X (t )] E[Y (t )] 0
RX (t, t ) a2 cos RX ( )
2
RY (t, t )
b2 2
cos RY ( )
故 X (t)和 Y (t)均是平稳过程。
RXY (t , t ) E[ X (t )Y (t )] E{a cos(t )b sin[ (t ) ]} ab sin RXY ( ) 2 所以 X (t)和 Y (t) 是联合平稳的。
因此 X (t)是平稳随机过程。
3平稳过程
例2（白噪声序列）
• 设 { Xn , n = 0, 1, 2, } 是实的互不相关随机变量 序列，且 E[Xn] = 0，D[Xn] = 2 ，试讨论随机序列的 平稳性 。 [解] 因为: (1) E[Xn] = 0
2 , 0 (2) RX (n, n ) E[ X n X n ] 0, 0
2随机过程的基本概念
例1
• 已知随机相位正弦波 X (t) = a cos(t + )，其
中 a >0， 为常数，为在（0, 2）内均匀分
布的随机变量。
求随机过程 { X (t), t (0, ) } 的均值函数 mX (t) 和相关函数 RX (s, t) 。
m X (t ) 0 a2 a2 R X ( s, t ) cos[ (t s )] cos , ( t s ) 2 2
2 RZ ( s, t ) k e jk ( s t ) k 1 n
3平稳过程
例1
• 设有随机相位过程 X (t) = a sin(t+)，a, 为常数， 为 (0, 2)上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机过程 X (t) 的平稳性。 [ 解]
E[ X (t )] E[ a sin(t )] a 2
2
a2 RX ( ) cos( ) X (t ) X (t ) 2
故 X (t) 是为各态历经过程。
3平稳过程 [例4] 设有两个随机过程X (t) = a cos(t+) 和Y (t) = b sin(t+)，其中a, b, 为常 数， 为(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，分析X (t)和Y (t)是否联合平稳。
故 随机序列的均值为常数，相关函数仅与有关， 因此它是平稳随机序列。
3平稳过程
例3
• 设有随机相位过程 X (t) = a cos(t+)，a, 为常数， 为(0, 2)上服从均匀分布的随机变量，试问 X (t) 是 否为各态历经过程。
1 E[ X (t )] a cos( t ) d 0 0 2 1 T X (t ) lim a cos( t )dt 0 T 2T T
2 0
a sin(t ) f ( )d
0
2
sin(t )d 0
RX (t , t ) E[ X (t ) X (t )]
2 0
a2 a2 sin(t ) sin[ (t ) ]d cos 2 2

jk t Z A e , t 0 ，其中A1, 设复随机过程 t k n
A2, … , An 是相互独立且服从 N(0, k2 )的随
k 1
机变量，1, 2, … , n 为常数，求 { Zt , t
0 } 的均值函数 mZ (t) 和相关函数 RZ (s, t) 。
mZ (t ) 0