电磁感应综合问题

理)。
【例 1】如图所示，宽度为 L 的平行光滑的金属轨道，左端为半径为 r1 的四分之一圆弧轨道，右端为半径 为 r2 的半圆轨道，中部为与它们相切的水平轨道．水平轨道所在的区域有磁感应强度为 B 的方向竖直向上 的匀强磁场．一根质量为 m 的金属杆 a 置于水平轨道上，另一根质量为 M 的金属杆 b 由静止开始自左端轨 道最高点滑下．当 b 滑入水平轨道某位置时，a 就滑上了右端半圆轨道最高点(b 始终运动且 a、b 未相撞)， 并且 a 在最高点对轨道的压力大小为 mg，此过程中通过 a 的电荷量为 q，a、b 棒的电阻分别为 R1、R2，其 余部分电阻不计．在 b 由静止释放到 a 运动到右端半圆轨道最高点过程中，求： (1)在水平轨道上运动时，b 的最大加速度是多大？
电磁感应综合问题
类型一 ：以“单棒＋导轨”模型为载体，考查电磁感应中的力、电综合问题
类型二 ：以“双棒＋导轨”模型为载体，考查电磁感应中的能量、动量等问题
类型三：以“导体框”为载体，考查电磁感应定律的综合应用
类型四：以“电容”式单棒模型考查电磁感应综合问题
典例
典例
1 / 16
先源后路，先电后力，运动，能量
4 例2
2 / 16
3 / 16
类型一 ：以“单棒＋导轨”模型为载体，考查电磁感应中的力、电综合问题
【要点概述】一、电磁感应中的动力学问题 感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起．解决这类问题需要 综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运 动定律、动能定理等)．
【例 2】．如图甲所示，有一竖直方向的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，区域的上下边缘间距为 H ＝85 cm，磁感应强度 B 随时间 t 的变化关系如图乙所示。有一长 L1＝20 cm、宽 L2＝10 cm、匝数 n＝5 的 矩形线圈，其总电阻 R＝0.2 Ω、质量 m＝0.5 kg，在 t＝0 时刻，线圈从离磁场区域的上边缘高为 h＝5 cm 处 由静止开始下落，0.2 s 时线圈刚好全部进入磁场，0.5 s 时线圈刚好开始从磁场中出来。不计空气阻力，重 力加速度 g 取 10 m/s2。求： (1)线圈穿过磁场区域所经历的时间 t； (2)线圈穿过磁场区域产生的热量 Q。
【例 2】如图所示，有一间距为 L 且与水平方向成 θ 角的光滑平行轨道，轨道上端接有电容器和定值电阻， S 为单刀双掷开关，空间存在垂直轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度为 B。将单刀双掷开关接到 a 点， 一根电阻不计、质量为 m 的导体棒在轨道底端获得初速度 v0 后沿着轨道向上运动，到达最高点时，单刀双 掷开关接 b 点，经过一段时间导体棒又回到轨道底端，已知定值电阻的阻值为 R，电容器的电容为 C，重力 加速度为 g，轨道足够长，轨道电阻不计。求： (1)导体棒上滑过程中加速度的大小； (2)若已知导体棒到达轨道底端时的速度为 v，求导体棒下滑过程中定值电阻产生的热量和导体棒运动的时间。
(1)匀强磁场的磁感应强度 B 的大小； (2)从开始到 t＝2.5 s 过程中电阻 R 上产生的热量。
2.足够长的平行金属轨道 M、N，相距 L＝0.5 m，且水平放置；M、N 左端与半径 R＝0.4 m 的光滑竖直半圆 轨道相连，金属棒 b 和 c 可在轨道上无摩擦地滑动，两金属棒的质量 mb＝mc＝0.1 kg，电阻 Rb＝Rc＝1 Ω， 轨道的电阻不计．平行水平金属轨道 M、N 处于磁感应强度 B＝1 T 的匀强磁场中，磁场方向与轨道平面垂 直，光滑竖直半圆轨道在磁场外，如图所示，若使 b 棒以初速度 v0＝10 m/s 开始向左运动．g 取 10 m/s2.求：
(2)a 刚到达右端半圆轨道最低点时 b 的速度是多大？
(3)自 b 释放到 a 到达右端半圆轨道最高点过程中系统产生的焦耳热是多少？
8 / 16
【例 2】如图所示，空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度 B＝0.5 T。在匀强磁场区域内，有一对光滑 平行金属导轨，处于同一水平面内，导轨足够长，导轨间距 L＝1 m，电阻可忽略不计。质量均为 m＝1 kg， 电阻均为 R＝2.5 Ω 的金属导体棒 MN 和 PQ 垂直放置于导轨上，且与导轨接触良好。先将 PQ 暂时锁定， 金属棒 MN 在垂直于棒的拉力 F 作用下，由静止开始以加速度 a＝0.4 m/s2 向右做匀加速直线运动，5 s 后保 持拉力 F 的功率不变，直到棒以最大速度 vm 做匀速直线运动。 (1)求棒 MN 的最大速度 vm； (2)当棒 MN 达到最大速度 vm 时，解除 PQ 锁定，同时撤去拉力 F，两棒最终均匀速运动。求解除 PQ 棒锁 定后，到两棒最终匀速运动的过程中，电路中产生的总焦耳热； (3)若 PQ 始终不解除锁定，当棒 MN 达到最大速度 vm 时，撤去拉力 F，棒 MN 继续运动多远后停下来？(运 算结果可用根式表示)
(4)导体棒克服安培力做的功
等于电容器储存的电能：
W = 1 C ( Blv)2
2 图
像
观
点
匀速运动时此时电容器带电 匀速运动时此时电容器带电量 导体棒做初速度为零匀加速
运
量不为零
动
vm
=
m
BlCE + B2l2C
状
不为零
v=
v0
−
B 2l 2C m
运动
a
=
m
+
F B 2l 2C
态 变加速最终匀速运动
如：B－I LΔt＝Δp，q＝－I ·Δt，可得 q＝BΔLp。
B2RL总2－v Δt＝Δp，x＝－v Δt，可得
ΔpR总 x＝ B2L2 。
(2)利用动量守恒定律分析双导体杆问题 在相互平行的光滑水平轨道间的双棒做切割磁感线运动时，由于这两根导体棒所受的安培力等大反向，合
外力为零，若不受其他外力，两导体棒的总动量守恒(上面双杆模型的第二种情况动量不守恒，须用动量定
9 / 16
类型三：以“导体框”为载体，考查电磁感应定律的综合应用
【例 1】．如图所示，条形磁场组方向水平向里，磁场边界与地面平行，磁场区域 宽度为 L＝0.1 m，磁场间距为 2L，一正方形金属线框质量为 m＝0.1 kg，边长也为 L，总电阻为 R＝0.02 Ω.现将金属线框置于磁场区域 1 上方某一高度 h 处自由释放， 线框在经过磁场区域时 bc 边始终与磁场边界平行．当 h＝2L 时，bc 边进入磁场时 金属线框刚好能做匀速运动．不计空气阻力，重力加速度 g 取 10 m/s2. (1)求磁感应强度 B 的大小； (2)若 h>2L，磁场不变，金属线框 bc 边每次出磁场时都刚好做匀速运动，求此情形 中金属线框释放的高度 h； (3)求在(2)情形中，金属线框经过前 n 个磁场区域过程中线框中产生的总焦耳热．
变减速最终匀速运动
11 / 16
【例 1】电磁轨道炮利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，其原理可用来研制新武器和航天运载 器．电磁轨道炮示意图如图，图中直流电源电动势为 E，电容器的电容为 C.两根固定于水平面内的光滑平 行金属导轨间距为 l，电阻不计．炮弹可视为一质量为 m、电阻为 R 的金属棒 MN，垂直放在两导轨间处于 静止状态，并与导轨良好接触．首先开关 S 接 1，使电容器完全充电．然后将 S 接至 2，导轨间存在垂直于 导轨平面、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场(图中未画出)，MN 开始向右加速运动．当 MN 上的感应电动势 与电容器两极板间的电压相等时，回路中电流为零，MN 达到最大速度，之后离开导轨．求： (1)磁场的方向； (2)MN 刚开始运动时加速度 a 的大小； (3)MN 离开导轨后电容器上剩余的电荷量 Q 是多少．
10 / 16
类型四：以“电容”式单棒模型考查电磁感应综合问题
类型
电容放电型
电容无外力充电型
示
意
图
电容有外力充电型
导体为发电边；电容器被充
电。
力
电容器放电，相当于电
导体棒相当于电源；电容器 (1)导体棒做初速度为零匀加
学 源；导体棒受安培力而运动。 被充电 UC 渐大，阻碍电流。 速运动：
观
电容器放电时，导体棒在
点 安培力作用下开始运动，同时
产生阻碍放电的反电动势，导
致电流减小，直至电流为零，
此时 UC=Blv
当 Blv=UC 时，I=0， F 安=0，棒匀速运动。
a
=
m
+
F B 2l 2C
(2)回路中的电流恒定：
=I ∆= Q C∆=E CBl= ∆v CBla
∆t ∆t
∆t
(3)导体棒受安培力恒定：
FB = CB2l 2a
6 / 16
【例 2】如图所示，两根正对的平行金属直轨道 MN、M′N′位于同一水平面上，两轨道之间的距离 l＝0.50 m．轨 道的 MM′端接一阻值为 R＝0.50 Ω 的定值电阻，直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度大小为 B＝0.60 T 的匀强磁场中，磁场区域右边界为 NN′、宽度 d＝0.80 m；水平轨道的最右端与两条位于竖直面内的半圆形 光滑金属轨道 NP、N′P′平滑连接，两半圆形轨道的半径均为 R0＝0.50 m．现有一导体杆 ab 静止在距磁场的 左边界 s＝2.0 m 处，其质量 m＝0.20 kg、电阻 r＝0.10 Ω.ab 杆在与杆垂直的、大小为 2.0 N 的水平恒力 F 的 作用下开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去 F，杆穿过磁场区域后，沿半圆形轨道运动，结果恰好能通 过半圆形轨道的最高位置 PP′.已知杆始终与轨道垂直，杆与直轨道之间的动摩擦因数 μ＝0.10，轨道电阻忽 略不计，取 g＝10 m/s2.求： (1)导体杆刚进入磁场时，通过导体杆的电流的大小和方向； (2)在导体杆穿过磁场的过程中，通过电阻 R 的电荷量； (3)在导体杆穿过磁场的过程中，整个电路产生的焦耳热．
7 / 16
类型二 ：以“双棒＋导轨”模型为载体，考查电磁感应中的能量、动量等问题
【要点概述】1.双杆模型的常见情况 应用动量观点解决电磁感应综合问题可分为两类：
Hale Waihona Puke Baidu
(1)利用动量定理求感应电荷量或运动位移 应用动量定理可以由动量变化来求解变力的冲量，如在导体棒做非匀变速运动的问题中，应用动量定理可
以解决牛顿运动定律不易解答的问题。
4
4 / 16
典例 5 / 16
【例 1】如图甲所示，相距 d 的两根足够长的金属制成的导轨，水平部分左端 ef 间连接一阻值为 2R 的定值 电阻，并用电压传感器实际监测两端电压，倾斜部分与水平面夹角为 37°.长度也为 d、质量为 m 的金属棒 ab 电阻为 R，通过固定在棒两端的金属轻滑环套在导轨上，滑环与导轨上 MG、NH 段动摩擦因数 μ＝18(其 余部分摩擦不计)．MN、PQ、GH 相距为 L，MN、PQ 间有垂直轨道平面向下、磁感应强度为 B1 的匀强磁 场，PQ、GH 间有平行于斜面但大小、方向未知的匀强磁场 B2，其他区域无磁场，除金属棒及定值电阻， 其余电阻均不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，当 ab 棒从 MN 上方一定距离由静止释放通过 MN、PQ 区域(运 动过程中 ab 棒始终保持水平)，电压传感器监测到 U－t 关系如图乙所示． (1)求 ab 棒刚进入磁场 B1 时的速度大小． (2)求定值电阻上产生的热量 Q1. (3)多次操作发现，当 ab 棒从 MN 以某一特定速度进入 MNQP 区域的同时，另一质量为 2m，电阻为 2R 的 金属棒 cd 只要以等大的速度从 PQ 进入 PQHG 区域，两棒均可同时匀速通过各自场区，试求 B2 的大小和方 向．
12 / 16
最新模拟冲刺练习
1.如图甲所示，将一间距为 L＝1 m 的足够长 U 形导轨固定，倾角为 θ＝37°，导轨上端连接一阻值为 R＝2.0 Ω 的电阻，整个空间存在垂直于轨道平面向上的匀强磁场。质量为 m＝0.01 kg、电阻为 r＝1.0 Ω 的金属棒 ab 垂直紧贴在导轨上且不会滑出导轨，导轨与金属棒之间的动摩擦因数 μ＝0.5，金属棒 ab 从静止开始下滑， 下滑的 x－t 图象如图乙所示，图象中的 OA 段为曲线，AB 段为直线，导轨电阻不计且金属棒下滑过程中始 终与导轨垂直且紧密接触，重力加速度 g 取 10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：