23随机变量的分布函数与连续型随机变量
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连续型随机变量及其分布函数
0.9974
正态分布与标准正态分布之间具有下面的关系：
第34页，共40页。
引理
证明
若X ~ N ( μ,σ 2 ),则 Z X μ ~ N (0,1). σ
Z X μ的分布函数为 σ
P{Z
x}
P
X
σ
μ
x
P{
X
μ
σx}
1
(t μ)2
e μσx 2σ2 d t ,
2σ
令 t μ u,得 P{Z x} 1
p( x)
1
( x μ)2
e 2σ2 , x ,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为 μ, σ
的正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
第24页，共40页。
正态分布概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称;
(2)当x μ时, p( x)取得最大值 1 ; 2 πσ
因而有Βιβλιοθήκη P{Y2} 3 2 21 2 3
2 3
3 2 31 3 3
2 0 3
20 . 27
第18页，共40页。
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
ex , x 0,
p(x)
0,
x 0.
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为 的指数
分布.
第19页，共40页。
0,
其它,
则称 X 在区间 (a, b)区间上服从均匀分布 ,
记为 X ~ U (a, b).
概率密度
函数图形
a
p( x)
o
b
第15页，共40页。
分布函数
正态分布与标准正态分布之间具有下面的关系：
第34页，共40页。
引理
证明
若X ~ N ( μ,σ 2 ),则 Z X μ ~ N (0,1). σ
Z X μ的分布函数为 σ
P{Z
x}
P
X
σ
μ
x
P{
X
μ
σx}
1
(t μ)2
e μσx 2σ2 d t ,
2σ
令 t μ u,得 P{Z x} 1
p( x)
1
( x μ)2
e 2σ2 , x ,
2 πσ
其中 μ, σ(σ 0) 为常数,则称 X 服从参数为 μ, σ
的正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
第24页，共40页。
正态分布概率密度函数的几何特征
(1)曲线关于 x μ 对称;
(2)当x μ时, p( x)取得最大值 1 ; 2 πσ
因而有Βιβλιοθήκη P{Y2} 3 2 21 2 3
2 3
3 2 31 3 3
2 0 3
20 . 27
第18页，共40页。
2. 指数分布
定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为
ex , x 0,
p(x)
0,
x 0.
其中 0 为常数,则称 X 服从参数为 的指数
分布.
第19页，共40页。
0,
其它,
则称 X 在区间 (a, b)区间上服从均匀分布 ,
记为 X ~ U (a, b).
概率密度
函数图形
a
p( x)
o
b
第15页，共40页。
分布函数
随机变量及其分布
记
p(xi)P{Xxi}, i1, 2,
(21)
则称{p(xi) i1 2 }为X的概率分布 有时也将p(xi)记为pi 用
下列表格形式来表示 并称之为X 的概率分布表
4
概率分布的性质
任何一个离散型随机变量的概率分布{p(xi)}必然满足下 列性质
1 p(xi)0 i1 2
(22)
((22))ii pp((xxi)i)11
事件的概率与密度函数的关系
(1)连续型随机变量X落于区间(a b]上的概率为
b
P{a X b} F(b) F(a)a f (x)dx
(2)连续型随机变量X落于点x上的概率为
P{Xx}0
(212)
(213)
19
例28 设X是在[a b]上等可能投点的位置 其分布函数为
0, F (x) bx1,aa ,
x
x
F(x) 0 F() lim F(x)1
若函数Fx)满足上述三
x
条性质 则它一定是某个随
(3)右连续性 F(x0)F(x) 机变量X的分布函数
10
三、分布函数
定义24(分布函数) 设X是一随机变量 则称函数
F(x)P{Xx} x( )
(29)
为随机变量X的分布函数 记作X ~F(x)
分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质
0 x1, x1.
14
四、离散型随机变量的分布函数
离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是 F(x)是一 个阶梯形的函数 它在X的可能取值点处发生跳跃跳跃高度 等于相应点处的概率 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值 保持不变
反过来 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函 数 则X一定是一个离散型随机变量 其概率分布可由分布函 数F(x)惟一确定 F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值 每 一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率
连续型随机变量及其分布
P(X ) F() 1 F() P(X )
1 2
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
-6 -5 -4 -3 -2 -1
f (x) 的两个参数：
— 位置参数 即固定 , 对于不同的 , 对应的 f (x)
的形状不变化，只是位置不同．
— 形状参数
固定 ，对于不同的 ，f ( x) 的形状不同．
§2.3 连续型随机变量及其分布
连续型随机变量的概念
定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负 可积函数 f ( x ), 使得
x
F (x) f (t)dt x
其中F ( x )是它的分布函数， 则称 X 是连续型随机变量，f ( x )是它的概 率密度函数( p.d.f. )，简称为密度函数或概率 密度．
F
(
x)
1
0, ex
,
x0 x0
f ( x)
0
x
F( x) 1
0
x
对于任意的 0 < a < b,
P(a X b) b exd x a F (b) F (a) ea eb
应用场合 用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间；
电话问题中的通话时间；
无线电元件的寿命； 动物的寿命．
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
-6 -5 -4 -3 -2 -1
3
f (x) 的性质
图形关于直线x= 对称： f ( + x) = f ( - x)
在 x = 时, f (x) 取得最大值
1
2 在 x = ± 时, 曲线 y = f(x) 在对应的 点处有拐点．
随机变量及其分布
A = {ω | X(ω) ∈ L} = {X ∈ L}
也可以是等式或是不等式。 X ∈ L 也可以是等式或是不等式。
如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 如在掷骰子试验中， 表示出现的点数, A=“出现偶数点”可表示为： X=2} X=4} X=6} A=“出现偶数点”可表示为：{X=2}∪ {X=4} ∪{X=6} 出现偶数点 B=“出现的点数小于４ 可表示为： 4} {X≤ B=“出现的点数小于４”可表示为：{X< 4}或{X≤3} 出现的点数小于
F(x) = P( X ≤ x)
为随机变量X的分布函数 随机变量X
F(x)是一个 F(x)是一个 普通的函数！ 值域为 值域为 ［０，１］。
定义域为 定义域为
（－∞，＋ ）； （－ ，＋∞）； ，＋
分布函数的性质
单调不减性 右连续性 非负有界性 规范性
若x1 < x2 , 则F ( x1 ) ≤ F ( x2 )
2)
∑p
k =1
∞
k = 1, 2,
k
=1
设离散型随机变量X的分布律为 例3 设离散型随机变量 的分布律为 P（X= xi） = pi i = 1、2、… （ 、 、 其中 0 ＜ p ＜1 ，求 p 值。
解：
1= ∵ ∑ P ( X = xi )
i =1
+∞
p =∑p = 1 p i =1
i
一般地， 一般地，对离散型随机变量 X～P（X= xk）＝ k, k＝1, 2, … ～ （ ）＝p ＝ 其分布函数为
F ( x) = P ( X ≤ x ) =
k : xk ≤ x
∑
pk
分布律确定事件的概率 例2中，得到 的分布律为 中 得到X的分布律为
也可以是等式或是不等式。 X ∈ L 也可以是等式或是不等式。
如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 如在掷骰子试验中， 表示出现的点数, A=“出现偶数点”可表示为： X=2} X=4} X=6} A=“出现偶数点”可表示为：{X=2}∪ {X=4} ∪{X=6} 出现偶数点 B=“出现的点数小于４ 可表示为： 4} {X≤ B=“出现的点数小于４”可表示为：{X< 4}或{X≤3} 出现的点数小于
F(x) = P( X ≤ x)
为随机变量X的分布函数 随机变量X
F(x)是一个 F(x)是一个 普通的函数！ 值域为 值域为 ［０，１］。
定义域为 定义域为
（－∞，＋ ）； （－ ，＋∞）； ，＋
分布函数的性质
单调不减性 右连续性 非负有界性 规范性
若x1 < x2 , 则F ( x1 ) ≤ F ( x2 )
2)
∑p
k =1
∞
k = 1, 2,
k
=1
设离散型随机变量X的分布律为 例3 设离散型随机变量 的分布律为 P（X= xi） = pi i = 1、2、… （ 、 、 其中 0 ＜ p ＜1 ，求 p 值。
解：
1= ∵ ∑ P ( X = xi )
i =1
+∞
p =∑p = 1 p i =1
i
一般地， 一般地，对离散型随机变量 X～P（X= xk）＝ k, k＝1, 2, … ～ （ ）＝p ＝ 其分布函数为
F ( x) = P ( X ≤ x ) =
k : xk ≤ x
∑
pk
分布律确定事件的概率 例2中，得到 的分布律为 中 得到X的分布律为
第2章 随机变量与分布函数 0.
第2章 随机变量与分布函数
【要点详解】
§2.1 随机变量与分布函数
1．随机变量
（1）定义
①设E为随机试验， {} 为其样本空间，若对任意 ，有唯一实数X（ω）与之对应，则称X（ω）为随
机变量。
②设X为一个随机变量，对任意实数x，事件“X≤x”的概率是x的函数，记为F（x）=P(X≤x），这个函数称为X
X
x1
x2
…
xi
…
P
p1
p2
…
pi
…
说明：随机变量的分布列与随机变量的分布函数不是同一个概念，但它们可相互确定。
③离散型随机变量X的分布函数的计算公式：F (x ) P (X x )p i, x x i x
【例题2.3】设离散型随机变量X的概率分布列如下所示。
X
பைடு நூலகம்
0
1
2
3
P
0.3
0.1
a
正态密度函数式的性质：
☞f（x）关于x=μ对称；
☞
。
☞对任何a<b，当X～N（μ，σ2），有
④伽马（Gamma）分布 设α，β是正常数，由积分
定义，它有如下性质：
☞ (1)1,(12)； ☞ (1)()（用分布积分法可得），当α取整数n时， (n 1 )n (n )n ! ；
☞ x 1exdx ()/ （用变量替换法可得）。 0
x 1
x 1
P ( 0 . 3 X 0 . 7 ) F ( 0 . 7 ) F ( 0 . 3 ) 0 . 7 2 0 . 3 2 0 . 4 0
（
【 例 题 2.7】 已 知 连 续 型 随 机 变 量 X 的 密 度 函 数 为 ）。
2.3连续型随机变量及其分布
2、指数分布 定义3 设连续型随机变量X的概率密度为
ex, x0,
f (x)0,
其它 ,
其中λ >0为常数,则称随机变量X服从参数为θ 的 指数分布.
分布函数为
1ex, x0,
F(x) 0,
其它 .
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
可得：
（1）P(Xt)et(t0) （2）P ( t 1 X t2 ) e t 1 e t2 ( 0 t 1 t2 )
P ( 1 0 X 1 5 ) P ( 2 5 X 3 0 ) 1 5 1 d x 3 0 1 d x 1
1 0 3 0 2 5 3 0 3
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
练习 设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程
4 x24 K x K 20
(1)P{X10}0 10P{X10}00 1F(10)00
0,
x 1b,
a a
,
x a, a x b, x b.
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
均匀分布的概率密度的图形
均匀分布的特点是:随机变量X落入(a,b)中任意等长 度的小区间内的概率都相等；此概率与子区间的长度 成正比，而与子区间的起点无关。
均匀分布的分布函数的图形
概率论与数理统计
数学与计算科学学院 徐 鑫
例3 设公交车站从上午7时起，每15分钟来一班车. 某乘客在7时到7时半之间随机到达该站，试求 他的候车时间不超过5分钟的概率.
解：该乘客于7时过X分到达该车站.依题意 X U(0,30) 候车时间不超过5分钟，即10X15或 25X30
连续型随机变量及其概率分布
0,
t 0, t 0.
7
二、连续型随机变量的密度函数 随机变量X 在区间( x, x x)上的平均概率分布密度:
P( x X x x) x
随机变量X 在点 x 处的概率分布密度(或概率密度)为:
P( x X x x)
f ( x) lim
x0
x
连续型随机变量的分布函数F x 与概率密度f x 有如下关系：
复习
§2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
基本事件
二、随机变量的分布函数
F(x) PX x
X ()
(1) 0 F(x) 1 (2) F(x) 是单调不减的函数；
(3) F() 1 F() 0
(4) F(x) 是右连续的函数.
(5) Px1 X x2 F(x2 ) F(x1 )
P(10 X 30) P(40 X 60) 30 1 dx 60 1 dx 2 .
10 60
40 60 3
19
均匀分布在实际中经常用到，比如一个半径为r的汽 车轮胎，当司机刹车时，轮胎接触地面的点与地面摩 擦会有一定的磨损. 轮胎的圆周长为2r，则刹车时与 地面接触的点的位置X应服从[0, 2r]上的均匀分布， 即 X～Ｕ[0, 2r] ，即在 [0, 2r] 上任一等长的小区间 上发生磨损的可能性是相同的，这只要看一看报废轮 胎的整个圆周上磨损的程度几乎是相同的就可以明白 均匀分布的含义了.
对任意实数 x ，有
x
F(x) f (t)dt
则 X 称为连续型随机变量，称 f (x)为 X 的概率密度函数
或分布密度函数，简称为概率密度或密度函数.
利用上述定义，我们可以很容易地推出概率密度的性质
11
t 0, t 0.
7
二、连续型随机变量的密度函数 随机变量X 在区间( x, x x)上的平均概率分布密度:
P( x X x x) x
随机变量X 在点 x 处的概率分布密度(或概率密度)为:
P( x X x x)
f ( x) lim
x0
x
连续型随机变量的分布函数F x 与概率密度f x 有如下关系：
复习
§2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的概念
基本事件
二、随机变量的分布函数
F(x) PX x
X ()
(1) 0 F(x) 1 (2) F(x) 是单调不减的函数；
(3) F() 1 F() 0
(4) F(x) 是右连续的函数.
(5) Px1 X x2 F(x2 ) F(x1 )
P(10 X 30) P(40 X 60) 30 1 dx 60 1 dx 2 .
10 60
40 60 3
19
均匀分布在实际中经常用到，比如一个半径为r的汽 车轮胎，当司机刹车时，轮胎接触地面的点与地面摩 擦会有一定的磨损. 轮胎的圆周长为2r，则刹车时与 地面接触的点的位置X应服从[0, 2r]上的均匀分布， 即 X～Ｕ[0, 2r] ，即在 [0, 2r] 上任一等长的小区间 上发生磨损的可能性是相同的，这只要看一看报废轮 胎的整个圆周上磨损的程度几乎是相同的就可以明白 均匀分布的含义了.
对任意实数 x ，有
x
F(x) f (t)dt
则 X 称为连续型随机变量，称 f (x)为 X 的概率密度函数
或分布密度函数，简称为概率密度或密度函数.
利用上述定义，我们可以很容易地推出概率密度的性质
11
随机变量的分布函数、连续型
02
偏度是描述数据分布不对称性的量，即三阶中心矩与三阶原点矩的比值。偏度 大于0表示分布右偏，偏度小于0表示分布左偏。
03
峰度是描述数据分布形态陡峭或扁平程度的量，即四阶中心矩与四阶原点矩的 比值。峰度大于3表示分布比正态分布更陡峭，峰度小于3表示分布比正态分布 更扁平。
PART 04
连续型随机变量的应用
用。
PART 03
连续型随机变量的性质
REPORTING
WENKU DESIGN
概率密度函数（PDF）
概率密度函数（PDF）描述了随机变量取值在 某个区间的概率，即密度函数值与该区间长度 之积等于该区间内事件发生的概率。
PDF具有非负性，即对于所有实数x， PDF(x)≥0。
整个实数轴上的概率总和为1，即 ∫∞−∞f(x)dx=1，其中f(x)是随机变量的概率密 度函数。
在模拟连续型随机变量时，蒙特卡洛方法通过产生大 量随机样本，并计算其统计量，来估计随机变量的分
布函数和概率密度函数。
蒙特卡洛方法的优点是简单易行，适用于各种类型的 分布函数，但缺点是精度取决于样本数量，样本数量
越多，精度越高。
逆变换采样法
逆变换采样法是一种基于概率分布的反向抽样方法，即先从均匀分布的随机数中抽取样本，再通过概 率分布的反函数变换得到所需的随机变量。
THANKS
感谢观看
REPORTING
https://
正态分布的实际应用案例
金融领域
正态分布被广泛用于描述金融数据的分布，如股 票价格、收益率等。
自然现象
许多自然现象的分布呈现正态分布特征，如人类 的身高、智商等。
统计学
在统计学中，正态分布是最常用的分布之一，用 于描述数据的集中趋势和离散程度。
§3、连续型随机变量及其分布
综上所述，即得随机变量X的分布函数为
0, 当x 0时 1 F ( x) x 2 , 当0 x 2时 4 1, 当x 2时
对F(x)求导数，可得 x 2时 f ( x) F ( x) 2 0, 其它
P{a X b} F (b) F (a ) b a .
x
x
x 2 a x 2 a x dx a x arcsin C . 2 2 a
2 2
2
8
③当
x x 1 时，
1
F ( x)
f (t )dt
2 0 1 t 2 dt 0 1 1;
注：积分 所以
1
1
1 1 t dt 12 为单位圆面积一半． 2
19
正态分布密度函数 图形曲线的几何性质： (1)概率密度曲线 关于 x =μ为轴对称； (2)密度函数的 最大值为
f max ( x ) f ( )
(3)在点 x±μ处有拐点，凸凹区间为 (, ), ( , ), ( ,); (4)概率密度曲线以 x 轴为水平渐近线． 参数μ (X的数学期望)是其位置参数；参数σ (X的均方差)是其形状参数．
注：分布函数F(x)的不可导点仅两个，……
6
【例1】设随机变量X的概率密度为
求X的分布函数． 【解】 注意到其概率密度 f(x)是分段函数，因此 根据其分段定义区间(-∞,-1],(-1,1],(1,+∞)，分段 求其分布函数F(x)． ①当
x
2 1 x 2 , 1 x 1, f ( x) 其它, 0,
随机变量的分布函数
1 1 x arcsin x 2
2
x
1
对 x>1， F (x) = 1
即
x 1 0, x 1 1 2 F ( x) 1 x arcsin x , 1 x 1 2 1, x 1 (3).
1 1 2 2 P( X ) 1 x dx 2 2 sin 2t 6 1 1 1 3 (t ) F( ) F( ) . 2 6 2 2 3 2 1
分布函数是一个普通的函数，正是 通过它，我们可以用数学分析的工具来 研究 随机变量.
二、离散型 r.v的分布函数
设离散型r.vX 的概率分布列是 P{ X=xk } = pk , 则 F(x) = P(X x) = k =1,2,3,…
xk x
p
k
由于F(x) 是 X 取 x 的诸值 xk 的概率之和， 故又称 F(x) 为累积概率函数.
• 例3.2.4
设§是某台仪器从时刻零开始持 续工作的时间。假设在时刻t以前没有损坏， 而在时间间隔（t，t+△t）中损坏的条件概 率为 (t )t (t ), (t )是与t有关的正值函数， 求 §的分布函数为。
3.4
连续型随机变量
连续型随机变量X所有可能取值充满 一个区间, 对这种类型的随机变量, 不能 象离散型随机变量那样, 以指定它取每个 值概率的方式, 去给出其概率分布, 而是 通过给出所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量 的描述方法.
x1 x2
y
f (x)
o x1
x2
x
4. 对 f(x)的进一步理解:P79中
若x是 f(x)的连续点，则： x x f ( t )dt P ( x X x x ) lim lim x x 0 x 0 x x =f(x) 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 ( x, x x ]上的概率与区间长度 x 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.
讲连续型随机变量分布及随机变量的函数的分布
第七讲连续型随机变量（续）及随机变量的函数的分布3. 三种重要的连续型随机变量 （1）均匀分布设连续型随机变量X 具有概率密度)5.4(,,0,,1)(⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它b x a ab x f则称X 在区间(a,b)上服从均匀分布, 记为X~U(a,b).X 的分布函数为)6.4(.,1,,,,0)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F（2）指数分布设连续型随机变量X 的概率密度为)7.4(,,0,0,e1)(/⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它x x f x θθ其中θ>0为常数, 则称X 服从参数为θ的指数分布.容易得到X 的分布函数为第二章 随机变量及其分布§4 连续型随机变量及其概率密度=2)8.4(.,0,0,1)(/⎩⎨⎧>-=-其它x e x F x θ如X 服从指数分布, 则任给s,t>0, 有 P{X>s+t | X > s}=P{X > t} (4.9)事实上}.{e ee)(1)(1}{}{}{)}(){(}|{//)(t X P s F t s F s X P t s X P s X P s X t s X P s X t s X P t s t s >===-+-=>+>=>>⋂+>=>+>--+-θθθ性质(4.9)称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用. （3）正态分布设连续型随机变量X 的概率密度为)10.4(,,e21)(222)(∞<<-∞=--x x f x σμσπ其中μ,σ(σ>0)为常数, 则称X 服从参数为μ,σ的正态分布或高斯(Gauss)分布, 记为X~N(μ,2σ).显然f(x)≥0, 下面来证明1d )(=⎰+∞∞-x x f令t x =-σμ/)(, 得到dx edx et x 22)(2222121-∞+∞---∞+∞-⎰⎰=πσπσμf (x )的图形:1.5.1d 21d 21)11.4(π2d d e,,d d ,d e22)(20222/)(22/2222222======⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞--∞∞---∞-+∞∞-+∞∞-+-∞∞--x ex e r r I u t e I t I t x r u tt πσπθσμπ于是得转换为极坐标则有记f(x)具有的性质:（1）.曲线关于x=μ对称. 这表明对于任意h>0有P{μ-h<X ≤μ}=P{μ<X ≤μ+h}. （2）.当x=μ时取到最大值.π21)(σμ=f x 离μ越远, f(x)的值越小. 这表明对于同样长度的区间, 当区间离μ越远, X 落在这个区间上的概率越小。
3-3二维连续型随机变量及其分布
1 1 x2 y 2 2 8
1 y [ x2 ] 2 2
2
，
1 故进而 1 1, 2 2 ，所以 ( X , Y ) ~ N (0,0,1, 4,0) ，且 k ． 4 •10
1．二维均匀分布 定义 3.2 设平面有界区域 D 的面积为 A ，如果二维随机变量
1 , ( x, y ) D, ( X , Y ) 的密度函数为 f ( x, y ) A 0, ( x, y ) D, 就称 ( X , Y ) 服从区域 D 上（内） 的 均匀分布， 记为 ( X , Y ) ~ U ( D) ．
【1】 ( X , Y ) 落入某平面区域 G 内（上）的概率为
G D的面积 P{( X , Y ) G} P{( X , Y ) G D} 。 A 【 2】 ( X , Y ) ~ U ( D) ， 区域 G 为 D 的任意子区域， 则 P{( X , Y ) G} 1 与 G 的面积成正比， 比例系数为 ， 而与 G 的位置和形状无关． A
f ( x, y)
1 2 1 2 1 2
e
x , y ，
其中 1 , 2 , 1 , 2 , 均为常数，且满足:
(3.1)
1 , 2 , 1 0, 2 0 ， 1 1 ，
f ( x, y)dxdy ．
D
【注】概率 P{( X , Y ) D}的数值等于以 D 为底，曲面 z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体的体积．
结论 3.2
如果 L 为平面上任一曲线，则 P{( X , Y ) L} 0 ．
ke x , 0 y x, 例 3.1 设 ( X , Y ) 的密度函数为 f ( x, y ) ⑴ 求常数 其它. 0,
随机变量函数的分布
1 1 2
三、连续型随机变量函数的分布 一般 地，连续型随机变量的函数不一定是连续型随 机变量， 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还 是连续型随机变量的情形， 此时我们不仅希望求出 随机变量函数的分布函数， 而且还希望求出其概率 密度函数. 设已知 X 的分布函数 FX ( x ) 或概率密度函数 f X ( x ), 则随机变量函数 Y g( X ) 的分布函数
1 y b fX ( ). k k
例
设X ~ N ( , 2 ), Y aX b,(a, b为常数, 且a 0), 则Y ~ N (a b, a 2 2 ).
f X ( x)
1 2
1
e
( x )2 2 2
,( x )
1 2 a
2
P{Y x } P{ X 2 x } P{ X x } P{ X x }.
完
二、离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量， 其概率分布已知。 Y g( X )为X的函数.
若X 为D.r .v.
问题
Y g( X ) 为D.r .v .
如何根据随机变量 X 的分布 求得随机变量 Y g( X )的分布 ?
一、随机变量的函数 主要 我们讨论变量间的函数关系时， 在微积分中， 注： 研究函数关系的确定性特征， 例如： 导数、积分等. 而 在概率论中，我们主要研究的是随机变量函数的随机
即由自变量 X 的统计规律性出发研究因变量 Y 特征，
的统计性规律. 一般地， 对任意区间 I , 令 C { x | g( x ) I }, 则
( y ( a b ))2 2 a 2 2
1 yb 1 fY ( y ) fX ( ) k k a
第二章4随机变量的分布函数
(3)
1 2
)
xe 2 f (x) F x 0
x
e
2
2
x 0 x 0
例 5、设随机变量
X 的密度函数为
0 x 1 1 x 2 其它
x f x 2 x 0
试求 X 的分布函数．
x
解： x 0 时， F x 当
( 3 ) F ( ) lim F ( x ) 0 ;
x
F ( ) lim F ( x ) 1
x
( 4 ) F ( x ) 至多有可列个第一类间 处右连续 .
断点，且在间断点
1
F(x)
-1 x
0
1
2
3
0 3
1
2
例1、设随机变量X的分布函数为 F x A Barctgx
0 x 1 1 x 2 其它
x f x 2 x 0
试求 X 的分布函数．
当 x 2 时，
F x
x
f t dt
f t dt f t dt f t dt f t dt
1 2 0 1 2
第二章 第四节 随机 变量的分布函数
§2.4 随机变量的分布函数 本节要点： 分布函数 离散型随机变量的分布函数 连续型随机变量的分布函数
一 分布函数的定义和性质
1 分布函数的定义 定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F ( x ) P{ X x }
x
P { X 3} 1 C5
3
1 10
P { X 4}
1 2
)
xe 2 f (x) F x 0
x
e
2
2
x 0 x 0
例 5、设随机变量
X 的密度函数为
0 x 1 1 x 2 其它
x f x 2 x 0
试求 X 的分布函数．
x
解： x 0 时， F x 当
( 3 ) F ( ) lim F ( x ) 0 ;
x
F ( ) lim F ( x ) 1
x
( 4 ) F ( x ) 至多有可列个第一类间 处右连续 .
断点，且在间断点
1
F(x)
-1 x
0
1
2
3
0 3
1
2
例1、设随机变量X的分布函数为 F x A Barctgx
0 x 1 1 x 2 其它
x f x 2 x 0
试求 X 的分布函数．
当 x 2 时，
F x
x
f t dt
f t dt f t dt f t dt f t dt
1 2 0 1 2
第二章 第四节 随机 变量的分布函数
§2.4 随机变量的分布函数 本节要点： 分布函数 离散型随机变量的分布函数 连续型随机变量的分布函数
一 分布函数的定义和性质
1 分布函数的定义 定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F ( x ) P{ X x }
x
P { X 3} 1 C5
3
1 10
P { X 4}
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20
1
1 x
e 10 dx
e1
e2
10 10
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19
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例： 设连续型随机变量的分布函数为
A Be2x，x 0
F(x)
1.求常数A,B；
0, x 0
2. 求X的概率密度函数 。
解：1.由分布函数的性质：F( ) 1
即 lim (A Be2x ) 1 x
一、均匀分布
定义：若连续型随机变量X的概率密度为
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它.
则称X服从 a,b 上的均匀分布。记为 X : U a,b
意义：X“等可能”地取区间 a,b中的值，这里的“等可能” 理解为： X落在区间 a,b中任意等长度的子区间内的可能性是
相同的。即等长度，等概率。
2e2x， x 0 f (x)
0, x 0
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指数分布的无记忆性：
对于一个非负的随机变量，如果对于一切s,t≥0，有
PX s t | X t PX s
则称这个随机变量具有无记忆性。
直观理解：若X表示仪器的寿命，那么上式说明:已 知此仪器已使用t时，它总共能工作s+t小时的概率等于 从开始使用时算起，它至少能工作s小时的概率．
1 3
2 3
[1
1 3
]
0.7486 (1 0.6293) 0.3779
2. PX 01 PX 01 (1) (1) 0.8413
3. P X 3 6 PX 9 PX 3
1 PX 9 PX 3
1 (2) (2) 2[1 (2)]
2(1 0.9972) 0.0456
d1
d c
P(c
X
d) c
dx ba
,[c, d] [a,b] ba
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13
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分布函数：
0,
F
(
x)
x b
a a
,
1,
x a, a x b,
x b.
均匀分布的概率密度和分布函数图形如下：
f (x)
1 ba
F ( x)
1
Oa
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bx
14
Oa
bx
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例：设某公共汽车站从早上7:00开始每隔15分钟到站 一辆汽车，即7:00，7:15，7:30，7:45等时刻有汽车达 到此站．如果一个乘客到达该站的时刻服从7:00到7:30 之间的均匀分布．求他等待时间不超过5分钟的概率．
解：设X表示乘客到达该车站的时间，则 X : U 0,30
F(x) P(X x)
称为随机变量X的分布函数。 从而
P(x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1) F (x2 ) F (x1)
也就是说，可以通过分布函数，计算随机变量落在任意
一个区间的概率。
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2
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不加证明地给出分布函数的一些性质:
也就是说：它对之前工作过t小时无记忆。
容易验证：指数分布是无记忆的。
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三、正态分布
定义：若连续型随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
,
x
,
2
其中μ， 2 ( 0)为常数,则称X服从参数为μ和 2 的正态分布
记为 X : N (, 2 )
P(x1 X x2) F(x2) F(x1)
x2 f (x)dx
x1
y
从图形上来看，性质3表示
f (x)
1 O x1 x2
X落在区域 (x1, x2 ]的概率 等于相应的曲边梯形的面 x 积。
4.若f(x)在点x处连续，则 F(x) f (x)
对于连续型随机变量X 来说，通过F(x)求导得f(x) ，
31 1
P(X 2)
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5 4 4 2 目录
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二、连续型随机变量的定义及其概率密度的性质
定义：设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负 可积函数f(x),使得对任意实数x，有
x
F (x) f (t)dt
称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，或 密度函数，也称概率密度。
布（第四章的大数定律和中心极限定理）
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f (x) f () 1
2
正态分布的图形具有如下特点： 1. f(x)为关于x=μ的对称钟形曲线 2. f(x)为在x=μ取得最大值
a a x
μ，σ对概率密度曲线的影响
f (x)
f (x)
1
2π1
1 0.75
• 正态分布最早由Gauss在研究测量误差时所得到，所以正态分布
又称为Gauss分布。
•正态分布是概率论中最具有应用价值的分布之一，大量的随机变 量都服从正态分布． 如人的身高、体重，气体分子向任一方向运
动的速度，测量误差等许多随机变量，都服从正态分布．
•大量相互独立且有相同分布的随机变量的累积也近似服从正态分
第三节 随机变量的分布函数 与连续型随机变量
➢分布函数的定义及其性质 ➢连续型随机变量的定义及其概率密度的性质 ➢几种重要的连续型随机变量
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1
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一、分布函数的定义及性质
由于 P(x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1)
为此我们引入随机变量的分布函数的概念如下： 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
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例：若随机变量X的概率密度为
C(4x 2x2 ), 0 x 2,
f (x) 0,
其它.
(1)求C的值； (2)X的分布函数；(3)P{X>1}.
解：(1)由于 f (x)dx 1，有
C 2 (4x 2x2 )dx 1 0
得
C3
8
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1
2π 2
2 1.25
o
1 2
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x
24
o
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x
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正态分布的分布函数：
F ( x)
1
x
F(x)
1
e dt
(t )2 2 2
2π
1 2
O
x
特别地，当 0, 2 1 时，称X服从标准正态分布。
记为 X : N(0,1)
其概率密度为： (x)
1
x2
e 2 , x ,
2020年6通月过16日f(星x)期积二分得F(x)。 8
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5.连续型随机变量取任一指定实数值的概率为零．
即
PX x0 0
由性质5，易得：
P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 )
P(x1 X x2)
x2 f (x)dx
x1
注：对离散型随机变量，上式不成立。
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6
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性质：1. f (x) 0
y
2. f (x)dx 1
f (x)
1 1
O
x
从图形上来看，性质1表示X的概率密度f(x)位于x轴上方， 性质2表示f(x)与x轴所围区域面积等于1.
2020年6月16日星期二
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3.对于任意实数 x1, x2 , (x1 x2 )，有
f
(
x)
1 30
,
0 x 30,
0, 其它.
乘客等待时间不超过5分钟当且仅当他在7:10到7:15
之间或在7:25到7:30之间到达车站．因此所求概率为
P10 X 15 P20 X 25
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15
15 1 dx 10 30
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25 1 dx
20 30 上页
1
3
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设ξ在[-1，5]上服从均匀分布，求方程
x2 2 x 1 0
有实根的概率。
解 方程有实数根
4 2 4 0
即 1
1
而 的密度函数为 f (x) 6
0
故所求概率为
(1 x 5) 其它
P{ 1}
1
f (x)dx
f (x)dx 2
1
3
2020年6月16日星期二
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二、指数分布
定义：若连续型随机变量X的概率密度为
ex , x 0,
f (x) 0, x 0.
其中λ >0,则称X服从参数为λ的指数分布。记为 X～E(λ)
背景：在实际应用中，到某个特定事件发生所需等待的时间
往往服从指数分布．例如，从现在开始到下一次地震发生、到爆
发一场新的战争、到一个元件的损坏、到你接到一次拨错号码的
(1)(单调性) 对于任意实数 x1, x2 , (x1 x2 ) ，有