大数定律与中心极限定理PPT课件

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第11讲 大数定律与中心极限定理
三、中心极限定理
2.李雅普诺夫中心极限定理
,
若EX( X1，kn)X2，k, D，( XXkn，) ，若，k2 存为0在独, B正立n2 Z数同nk分n，1 X布kn使k12随X当机kn变kn量1时序，i 列
则随机变量B标n12准k化n1 E量{|ZXn的k 分布k |函2数} Fn0(x)对于任k1意 k2x满足
.
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P{ V 100 0.387} 20 100 /12
1 P{ V 100 0.387} 20 100 /12
1 (0.387) 0.384
所以
P(V 105) 0.384
P(V 105) P{ V 100 105 100 } 20 100 /12 20 100 /12
Xk
~
N (0,1)
/ n 近似
X
1 n
n k 1
Xk
~ N(, 2 )
近似
n
n
Xk n
lim
n
Fn (
x)
lim
n
P{
k 1
n
x}
x
1
t2
e 2 dt
2
.
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例1 一个加法器同时收到20个噪声电压Vk,(k=1,2,
,20),设他们是相互独立的随机变量,且都在区间(0,10)
20
lim P{| nA p | } 1
n
n
或
lim P{| nA p | } 0
n
n
.
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证设
1, A在第 k 次试验中发生， Xk 0, A在第 k 次试验中未发生.
那么 X1, X2 , 相, 互Xn独立，且服从参数为p的0—1分布， E(Xk)=p，D(Xk)=p(1-p).
nA X1 X2 Xn 由切比雪夫大数定理,有
x
lim
n
Fn
(
x
)
P{Zn
x}
1
t2
e 2 dt ( x)
2
.
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n
n
Xk i
Z k1
k 1
n
n
~ N (0,1)
近似
2 k
k 1
n
n
n
X
k
~
近似
N
(
i ,
2 k
)
k 1
k1 k1
说明：无论各随机变量Xk(k=1,2,)服从什么分布， 只要满足定理的条件，那么他们的和当n很大时，就近 似服从正态分布，这就是为什么正态随机变量在概 率论中占有非常重要地位的一个基本原因.
P{|
1 n
n k 1
Xk
|
)
1
又
2
lim(1
n
n
2
)
1
所以
lPim{|
n
XP{|
n1Ek.(nX1 X) |k
}
|1}
D( X
12
)
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第11讲 大数定律与中心极限定理
二、大数定律
3.伯努例大数定理
设nA为是n次独立重复试验中事 件A发生的次数, p是事件A在每次
试验中发生的概率,则对任意的
正数 >0,有
第11讲 大数定律与中心极限定理
一、背景
二、大数定律
1.切比雪夫不等式
2.切比雪夫大数定律
3.贝努力大数定律
4.辛钦大数定律
三、中心极限定理
1.独立同分布中心极限定理
2. Lyapunov中心极限定理
3. De-Moivere-Laplace中心极限定理
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1
第11讲 大数定律与中心极限定理
一、背景
定义2 设X1，X2，，Xn， 是一随机变量序
列Yn
1 n
n
.X若k存在常数列{an}使对任意给定的正数，恒
k 1
有
lim
n
P{| Yn
an
|
}
,1
则称随机变量序列{Yn}
服从大数定律．
.
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第11讲 大数定律与中心极限定理
三、中心极限定理
1.独立同分布中心极限定理 若X1，X2，，Xn，，为独立同分布随机变量序列
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第11讲 大数定律与中心极限定理
三、中心极限定理
3.棣莫弗——拉普拉斯中心极限定理
设随机变量服 n(n 1,2, )
从参数为n,p的二项分布，则对任
意x，有
1.为何能以某事件发生的频率作为该事件的概率的估 计？
2.为何能以样本均值作为总体期望的估计？ 3.为何正态分布在概率论中占有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础是什么？
.
2
第11讲 大数定律与中心极限定理
二、大数定律
1.切比雪夫不等式
设随机变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=2,则对任
意的正数，不等式
或 成立.
P{|
X
|
}
D( X )
2
P{|
X
|
}
1
D( X
2
)
.
3
第11讲 大数定律与中心极限定理
二、大数定律
2.切比雪夫大数定理
若X1，X2，，Xn，，为独立
同分布随机变量序列, E(Xk)=
D(Xk)= 2 (k=1, 2, … )，则对任意
的正数 >0,有
lim
n
P{|
1 n
lim
n
P{|
1 n
n k 1
Xk
|
}
1
即
lim P{| nA p | } 1
n
n
.
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第11讲 大数定律与中心极限定理
二、大数定律
4.辛钦大数定理
若X1，X2，，Xn，，为独立
同分布随机变量序列, E(Xk)= (k=1, 2, … )，则对任意的正数
>0,有
或
lim
n
P{|
1 n
n k 1
n k 1
Xk
|
}
1
或
lim
n
P{|
1 n
n k 1
X
k
.
|
}
0
4
证 根据已知条件
E( 1
n
n k 1
Xk )
1 n
n
E(
k 1
Xk )
1 n
n k 1
E(Xk )
D( 1
n
n k 1
Xk )
1 n2
n
D(
k 1
Xk )
1 n2
n k 1
D( Xk )
2
n
由切比雪夫不等式，有
1
2 n 2
Xk
|
}
1
lim
n
P{|
1 n
n k 1
X
k
.
|
}
0
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第11讲 大数定律与中心极限定理
二、大数定律
定义1 设Y1，Y2，，Yn，, 是一随机变量序列，a
为一常数. 若对任意给定正数>0,有
n l im P {|Y n a|} 1
则称随机变量序列Y1,Y2 ,, Yn, , 依概率收敛于a．
, E(Xk)= D(Xk)= 2 (k=1, 2,… )，则随机变量标准化量
n
Xk n
的分布函数FnY(xn )对k于1 任n意 x满足
x
lim
n
Fn
(
x
)
1
t2
e 2 dt ( x)
2
.
10
n
Xk n
n
k 1
n
~ N (0,1)
近似
X
k
~
近似
N
(n
,
n
2
)
k 1
1
nห้องสมุดไป่ตู้
n k 1
内服从均匀分布. 记 V ，V求k
P.{V 105}
解 由题意
k 1
100 E(Vk ) 5, D(Vk ) 12 (k 1,2, ,20)
随机变量
n
20
Vk n Vk 20 5
Z k1
k1
~ N (0,1)
n
20 100 / 12 近似
于是 P(V 105) P{ V 100 105 100 } 20 100 /12 20 100 /12