多边形的内角和与外角和 (2)

（A）1个
（B）2个
（C）3个
（D）4个
【解析】选D.探索多边形内角和的思路是把多边形划分
成三角形，利用三角形Βιβλιοθήκη Baidu内角和为180°求得，由图形
作法可知： 图①为n·180°-360°＝（n-2）×180°， 图②为(n-2)×180°, 图③为（n-1）×180°-180°=(n-2)×180°,
A 探究3 E B
D C
F
180°× 4 – 180° = 540°
A 探究4 E
B
C 180°+ 360° = 540°
D
1.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，
这个多边形是几边形？它的内角和是多少？
答案：七边形 900°
2.如图：(1)作多边形过顶点A的所有对角线，并分别用字母表达出 来。(2)求这个多边形的内角和。
1 2
180° 360° 540° 720° 900° …
(3－2) ·180° (4－2) ·180° (5－2) ·180° (6－2) ·180° (7－2) ·180° …
3 4
5 … n-2
…
(n－2) ·180° (n－2) ·180°
探究2
A
O B
E
D C 180°× 5 – 360°= 540°
小明沿五边形的
边缘跑一周，一 共会转过多少度 呢？本节课我们 将共同来探究多 边形的内角和和 外角和问题.
看一看
三角形
四边形
五边形
……
六边形 八边形
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 这 里 所 说 的 多 边 形 都 指 凸 多 边 形 对角线 内角 (连接不相邻两个顶点的线段)
观察图中的多边形,它们的边、角有什么特点？
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
正八边形
在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形.
（1）一个多边形的边都相等，它的内角
一定都相等吗？
菱形
（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？ 矩形 （3）正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正
六边形、正八边形的内角分别是多少度？正n边形呢？
n = 10
3.在四边形ABCD中，∠A=120度，∠B:∠C:∠D=3:4:5,求 ∠B，∠C，∠D的度数。 解：设∠B，∠C，∠D的度数分别是3x, 4x, 5x度，由四 边形的内角和等于360度可得： 120 + 3x + 4x + 5x = 360 12x = 240 x = 20 所以 3x = 60 4x = 80
解:(1)过顶点A的对角线共有三 条，
分别是AC、AD和AE. (2)这个多边形的内角和是： (6-2) · 180 = 720(度).
A B F
C D
E
3.如果一个多边形的内角和是1440度，那么这是___ 十 边形。 解：由多边形的内角和公式可得: （n-2）· 180 = 1440 (n - 2) = 8 n = 10 所以这是十边形。
（2）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角
和的结论？
例
一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它
是几边形？ 解：设这个多边形是n边形，由题意得 （n-2)·180=360×3 解得 n=8
答:这个多边形是8边形.
【解析】
答案：
【解析】
【解析】
2.（自贡·中考）一个多边形截取一个角后，形成的另 一个多边形的内角和是1 620°，则原来多边形的边数 是( （A）10 （C）12 ) （B）11 （D）以上都有可能
你能动手做一做吗?
你能想出几种不同的解法？（A层至少想出1种解法， B层至少想出2种解法，C层至少想出3种以上解法。） A E B
C
D
探究1
A
E B
C 180°×3 = 540°
D
多边形
边数
分成三角 形的个数
图形
内角和
计算规律
三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 … n边形
3
4 5 6 7 … n
E'
D'
结论：1，2，3，4，5的和等于360°
如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做
这个多边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这 个多边形的外角和。 任意多边形的外角和都等于360° （1）还有什么方法可以推导出多边形的外角和公式？
n 2 180 （分别是60°，90°，108°，120°，135°， ） n
1.如果12边形的每一个内角都相等，那么每个内角是 150 度。 ______ 10 2.若正n边形的一个内角是144度，则n=_______. 解：由多边形的内角和公式可得： (n -2) · 180 = 144n 180n – 360 = 144n 180n -144n=360 36n = 360
5x = 100 答：∠B，∠C，∠D的度数分别为60度，80度,100度。
4.问题解决 （1）小明每从一条街 道转到下一条街道时，
身体转过的角是哪个角？
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）在上图中，你能求出1+2+3+4+5=?吗？你是 怎样得到的？
A B 2 1 5 E α C 3 D C' B' 4 β O θ δ γ A'
【解析】选D.设截去一个角后的多边形的边数为n，则有 (n-2)×180°=1 620°解得n=11 由于多边形被截取一个角后有三种情况，一是边数减少一条，
二是边数不变，三是边数增加一条，所以多边形的边数可能
是10，11，12.
3.如图，能够利用下面图形说明n边形的内角和为 (n-2)·180°的有( )
1.通过具体情境了解多边形的概念，掌握四边形和多边 形的内角和，会利用多边形的内角和进行计算。
2.通过多边形内角和公式的推导过程，培养学生的发散
思维能力，逐步提高推理的能力。 3.了解多边形外角和的概念、掌握多边形外角和公式。 4.了解正多边形的概念;了解四边形的不稳定性及生活中 的应用。
广场中心的边缘 是一个五边形，
顶点
边
我们现在研究的是如图1所示的多边形，是凸多边形； 如图2所示的多边形，是凹多边形，但不在现在研究的范
围内。今后如果不说明，我们讲的多边形都是凸多边形。
图1
图 2
下面让我们共同来探求五边形的的五个内角的和.
180 度,四边形的内 我们知道，三角形的内角和等于______ 角和等于 360 度，那这个五边形的内角和呢？