三角形三边关系的案例
三角形三边之间的关系教案
《三角形边的关系》教学案例一、三角形边的关系一课教学设计的研究背景与理论依据。
《数学课程标准》在数学教学活动要求中明确指出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究、合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
建构主义学习理论也强调学习过程中学生主动地建构知识，强调学习过程应以学生为中心，教师不再是以自己的看法及课本现有的知识来直接教给学生，学习者必须通过自己主动的、互动的方式学习新的知识，学生在学习的过程中是自主的、能动的、富于创造性的。
因此，学生必须主动地参与到整个学习过程中，要根据自己先前的经验来建构新知识的意义，这样，传统的老师“说”、学生“听”的学习方式就不复存在。
现代教学论观点认为数学教师不能充当数学知识施舍者的角色。
教师不该是至高无上的权威。
事实上，学生的数学素质是通过数学活动而得到，即学生自己通过研究、比较、建构，逐步形成自己的知识框架。
所以，应多设计一些数学活动课，让学生真正动起来，非常有必要。
实践证明，数学学习对于学生来说不但需要观察，更需要实验。
事实上，孩子并不喜欢老师给他们一些结论，他们更喜欢通过实验、操作等手段进行学习。
因此我将这节课设计为活动课，引导学生在实验中发现数学，欣赏数学。
通过学生参与猜一猜、摆一摆等实验活动，创造性地使用教材。
本课内容是根据《标准》要求，让学生在实验活动中体验探索的过程。
目的是使学生认识到数学与现实世界联系，认识数学知识之间的内在联系，同时又提高学生自主探究、动手实践、合作交流等能力。
二、教学背景分析：本课内容是学生已经通过观察、操作、比较、概括等学习方法体验了长方形、正方形的基础上，对三角形的三边特点进行研究的。
学生之前具备了一定的观察、操作能力，掌握了一定的数学技能，初步具备了观察分析、总结概括的能力。
但是由于受到学生心智发展水平和生活经验等诸方面的影响，加上三角形边的特点与正方形和长方形等四边形的特点还有一定的差异性的，更不容易直接观察出来。
华东师大版八年级数学上册14.1.1直角三角形三边的关系优秀教学案例
4.反思与评价：引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法和经验，提高他们的自我认知能力。组织学生进行评价，让他们学会欣赏他人，培养他们的公平竞争意识。通过评价，让学生了解自己的不足，激发他们的学习动力，促进他们的全面发展。
1.引导学生观察直角三角形模型，发现三边之间的关系。
2.通过讲解勾股定理的推导过程，使学生理解并掌握直角三角形三边的关系。
3.运用举例、讲解等方法，让学生明确直角三角形三边关系的应用。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论，如：“你能用勾股定理解决实际问题吗？”
2.组织学生分享讨论成果，培养他们的合作意识和团队精神。
3.在讨论过程中，关注学生的个体差异，给予他们个性化的指导。
（四）总结归纳
1.引导学生总结直角三角形三边关系的知识点，加深他们对知识的理解。
2.总结本节课的学习方法，培养学生独立思考、合作交流的能力。
3.强调直角三角形三边关系在实际生活中的应用，提高学生的数学素养。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，让学生巩固直角三角形三边关系的知识。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过房屋测量、篮球架高度等实际生活中的例子，引导学生关注直角三角形三边关系在现实生活中的应用，使学生认识到数学与生活的紧密联系，提高他们的学习兴趣。
2.问题导向：设计一系列具有启发性的问题，引导学生独立思考，发现直角三角形三边之间的关系。在解决问题的过程中，培养学生运用已学的知识解决实际问题的能力，提升他们的知识运用水平。
三角形的三边关系教学案例及反思
三角形的三边关系教学案例及教学反思教学内容：四年级下册建材62-63页教学目标：1、知道“两点间的距离”，结合具体情境理解两点间所有的连线中线段最短。
2、在动手操作、讨论等数学活动中，经历探索三角形的三边关系的过程，并且能根据三角形的三边关系解决简单的问题。
3、体验数学活动的挑战性，积累发现数学规律的基本经验。
重难点：理解三角形三边的关系。
.会判断三条线段能否组成三角形。
准备：4组小棒、实验记录表、PPT课件教学过程：一、复习导入1、说说什么叫做三角形2、判断下面图形是不是三角形。
为什么；×√×3、导入这节课我们继续认识三角形，研究三角形的秘密。
二、探究新知（一）认识两点间的距离1、观察路线图，说说小明从家到学校有几条路线哪条最近说说你的想法。
2、交流（1）认识曲线、折线、线段@板书：曲线折线线段质疑：为什么1、2不是最近的路线!（2）认识两点间的距离两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。
（板书：两点间的距离）（二）研究三角形的三边关系1、问题导入（1）变化路线图。
剩下的两条路线围成一个三角形，1是三角形两条边的和，2是三角形第三条边，比较三角形两条边的和与第三条边的长度，你发现了什么用字母怎样表示板书：三角形两条边的和大于第三条边：a +b > c（2）质疑：在任意一个三角形里三角形两条边的和大于第三条边吗怎样证明我们的发现是否具有广泛性呢（板书揭题：三角形的三边关系）2、探究活动（1）实验动手摆一摆：用任意三根小棒摆三角形，能否围成一个三角形①猜测②动手实验每个小组任意选择4组小棒中的其中一组小棒摆一摆看。
把摆出的图形贴在卡纸上。
③!④交流说说哪些能摆出三角形哪些不能1、4能摆出三角形（不管怎么摆三角形的形状都相同，因为具有稳定性）2、3不能摆出三角形质疑：为什么不是三角形PPT演示不能摆出三角形的是什么样的图形。
④自己再用其他三组小棒摆一摆，能否围成一个三角形汇报结果。
开展探究学习 促进学生发展——《三角形三边关系》教学案例与反思
【 反思 】数 学来源于生活 ， 生活中处处有数 学。 教师
联 系生 活 实 际 创 设 “ 明 走 哪 一 条 上 学 路 线 最 近 ” 一 小 这 问题 情 境 ． 发 了学 生 的 学 习兴 趣 ． 活 了学 生 的 生 活 激 激
经验 ， 引 导 学 生观 察 发 现 ， 述 生 活 问 题 与 三 角 形 三 并 上 边 关 系有 联 系。 样 自然 而然 地 实现 了 生活 问题 的 数 学 这
角形 三 边 关 系 的 奥 秘 。
生 ２准 确 地 说 ， 两 根 加 起 来 的 和 都 比 第 三 根 也 发 现 了 ， ： 当两根塑料管 长度和小 于第三根时 ， 就不能围成 三角形 。 ～ 师 ： 么 你 觉 得 两 根 塑 料 管 长 度 和 是 多 长 时 ． 能 那 就
师 ： 大 家 看 ． 接 小 明 家 、 店 、 校 三 地 的 三 条 请 连 商 学 路 围成 的 图形 ． 近似 于 一 个 什 么 图 形 ？ 连 接 小 明 家 、 再 邮 局 、 校 三地 围成 的图 形 近 似 于 一 个 什 么 图形 ？ 学 生 【 口同 声】三 角 形 。 异 ： 师 ： 来 我 们 今 天 所 研 究 的 哪 条 路 线 最 近 的 问 题 与 看 三 角 形 三 条 边 的关 系有 联 系 ， 面 我 们 就 一 起 去 探 索 三 下
师： 同学 们 的猜 想 是 否 正确 呢 ？下 面 我 们 来 动 手 做 实验 。 小组 合 作 。 据 实 验 记 录 单 上 的 要求 ， 成 两 个 实 根 完
验。
对 两根 塑料 管 长 度 之 和 等 于 第 三 根 长度 也 能 围成 三 角 形 深 信 不 疑 或 迷 惑 不 解 。 显 然是 塑料 管 较 粗 引起 操 作 这 误 差 所 致 ， 简 单 解释 又 难 以 让 学 生信 服 ． 是 借 助 课 但 于
案例：勾股定理有关背景情境的寻求
案例23：勾股定理有关背景情境的寻求从形式上看，勾股定理是关于直角三角形三边长度关系的。
因此，利用勾股定理，根据直角三角形的任意两条边的长度，可以求另外一条边的长度。
将直角三角形嵌入到某个具体背景中，即可设计出有关勾股定理运用的情境。
例1：一次强台风中，一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。
旗杆折断之前有多高？当然，有时直角三角形并不显见，需要根据问题需要作辅助线得出：例2：某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能顺利通过该隧道吗？例3：如图，ABC 中，AB=13，BC=11，CA=20，求其面积。
实际上，本质上，勾股定理是用以求两点距离的最直接定理，这样的距离可以向空间拓展：例4：小明家住在一栋高楼上，购买了一根3.1米长的好太太凉衣架，如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么，这根凉衣架能放进电梯内吗？甚至变成曲面上的距离问题，如“蚂蚁怎么走最近”：例5：圆柱高30厘米，底面直径10厘米，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从下底面的A 处爬到上底面的B 处，它怎么爬最近，最近距离是多少？例6：为了庆祝国庆，学校要在教学楼大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面直径是1m ，高4m ，（1）现在要将彩带从柱子底端的A 处绕柱子1圈后到达B 处，那么应购买彩带多少米？你是怎么算的，与同伴交流。
*（2）如果要求彩带绕柱子4圈，那么又应购买彩带多少米呢？例7：如图是一个旋转楼梯，提出一个方案，计算其中扶手的长度。
生活中，当某个量不便直接求（或者测量）时，在平面内构造关于这个量的直角三角形，通过求（或者测量）其他两个量也可以得到要求的量：例8：《九章算术》中“引蕸入岸”：仅有方池一丈，蕸生其中央，出水一尺，引蕸赴岸，适与岸齐。
水深、蕸长各几何？其中的尺是长度单位，1丈=10尺。
有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺。
三角形三边关系内角和
三三角角形形三三边边关之系间和的内关角系和
③ 然后将三个三角形的三个角拼接在一起。为方便显 示，可以将这三个三角形填充成不同的颜色。
三三角角形形三三边边关之系间和的内关角系和
交流分享
请同学们展示一下，你是如何将 三角形的三个角拼接在一起的？
6cm
2cm
4cm (2)
8cm
6cm
(4)
8cm
10cm
三三角角形形三三边边关之系间和的内关角系和
交流分享
想一想，3根什么样的拼接杆能围成一个三角形？与同伴说一说。
三条边的长度(厘米)
2cm
4cm
6cm
2cm
4cm
8cm
4cm
4cm
6cm
6cm
8cm
10cm
能否拼成
不能 不能
能 能
三三角角形形三三边边关之系间和的内关角系和
我们发现：
当两边长之和小于第三条边时，不能形成三角形； 当两边长之和等于第三条边时，不能形成三角形； 当两边长之和大于第三条边时，能形成三角形。
三三角角形形三三边边关之系间和的内关角系和
你能用字母表示出三角形三边之间的关系吗？
ɑ
b
c
ɑ+b＞c b+c＞ɑ ɑ+c＞b
结论：三角形任意两边长度的和大于第三边。
探究活动（三）
探究三角形内角关系
活动要求： 打开2D转3D软件，打开“三角形素材3”文件，任
意选择一个三角形为例进行拼接。
三三角角形形三三边边关之系间和的内关角系和
活动案例
核心素养培育背景下的小学数学教学案例——以“三角形的三边关系
———以“三角形的三边关系”一课为例
沈小玉
(安徽省宿州市萧县龙城镇郝店小学,安徽 宿州 ２３５２００)
摘 要:当前教育改革中,要求中国学生具备和发展学科核心素养是新时期、新 形 势 下 同 国 际 教 育 接 轨,提 升 我国教育国际竞争力的迫切需要.在此背景下,如何 培 育 小 学 生 的 数 学 核 心 素 养 是 广 大 一 线 教 师 所 必 须 面 对 的 问 题 . 有 鉴 于 此 ,文 章 以 “三 角 形 的 三 边 关 系 ”为 例 ,分 析 教 学 案 例 ,提 出 培 育 小 学 数 学 核 心 素 养 的 有 效 方 式 .
在具体教学过程中,通过 引 导 学 生 观 察 周 边 生 活、 实际进行实验操作、比较不 同 线 段 能 否 围 城 三 角 形、归 纳围城三角形 的 所 需 条 件、推 理 三 角 形 的 三 边 关 系 等 方式初步尝试进行小学数学核心素养的培育.在上述 方式中,最易被 教 师 所 忽 略 的 就 是 对 三 角 形 三 边 关 系 的逻辑推 理 上. 在 本 次 教 学 中,特 意 加 大 对 于 逻 辑 推 理能力的培育,把 握 教 学 过 程 中 每 一 次 的 学 生 推 理 机 会.本节课在能围成和不能围成的教学即将结束时, 借助２个追问:验 证 以 下 黑 板 上 另 外 ２ 组 数 据 是 否 满 足? 请不能围成(或围成)的 同 学 再 验 证 一 下 你 们 刚 才 记录的数 据,是 不 是 也 符 合? 以 及 几 何 画 板 这 一 信 息 技术,对逻辑推 理 这 一 核 心 素 养 的 培 育 进 行 了 有 益 的 尝试.
在这一节 课 上,作 者 针 对 小 学 数 学 核 心 素 养 的 基 础要求,以及三角形三边关 系 的 教 学 内 容,设 计 了 三 个 练 习 ,具 体 如 下 :
人教版数学八年级下册17.1《勾股定理(直角三角形三边的关系)》教案
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的表达式：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
-学会运用勾股定理计算直角三角形的边长。
-熟悉勾股定理的证明方法，如构造法、割补法等。
-能够识别和判断勾股数。
-掌握勾股定理在实际问题中的应用。
举例：在教学过程中，教师应通过多种例题和图形，反复强调勾股定理的表达式和应用方法，确保学生能够准确记忆并熟练运用。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决直角三角形边长计算问题的关键，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算一个直角三角形的边长，展示勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式和证明方法这两个重点。对于难点部分，如证明过程的理解，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如构造直角三角形模型，演示勾股定理的基本原理。
其次，在实践活动环节，我发现学生们在分组讨论时，有些小组的讨论并不充分，部分学生参与度不高。为了提高学生的参与度，我打算在接下来的课程中，尝试采取一些激励措施，如设立小组竞赛，鼓励学生积极发言，提高他们的讨论热情。
此外，在学生小组讨论环节，我发现有些学生对于勾股定理在实际生活中的应用了解不够深入。这可能是因为他们在生活中观察不够仔细，或者是对数学知识的应用意识不够强烈。针对这个问题，我计划在今后的教学中，多引入一些生活中的实际案例，让学生感受到数学知识的实用价值，激发他们学习数学的兴趣。
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》优秀教学案例
五、案例亮点
1.生活化的情景导入
本案例从学生熟悉的生活场景出发，将三角形三条重要线段与实际生活紧密结合，让学生在轻松愉快的氛围中感受数学的魅力。这种生活化的情景导入，有助于激发学生的学习兴趣，使他们更容易理解和接受新知识。
（四）反思与评价
1.在教学过程中，我将引导学生进行自我反思，如：“我在本节课中学到了什么？”“我还有哪些地方需要改进？”等，帮助学生总结学习经验，提高自我认知。
2.采用多元化的评价方式，如课堂问答、小组讨论、课后作业等，全面了解学生的学习情况。在评价过程中，注重鼓励性原则，充分肯定学生的优点，同时指出不足，并提出改进建议。
a.如何准确地找到三角形的内心、外心和重心？
b.这些线段在三角形中有哪些应用？
c.你能举例说明三角形内心、外心和重心的性质在实际问题中的应用吗？
2.学生在小组内展开讨论，分享自己的发现和心得，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（四）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学内容，总结三角形内心、外心和重心的定义及性质。
3.定期组织学生进行阶段性的自我评价和同伴评价，培养他们客观、公正地评价他人和自我反思的能力。
4.教师要关注学生在学习过程中的情感态度与价值观，引导他们形成正确的数学观念，激发他们对数学学科的兴趣。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的三角形物体，如三角板、自行车三角架等，引导学生观察这些物体中的三角形特点。
七年级数学下册《三角形的三条重要线段》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，三角形的相关知识一直是教学的重点和难点。七年级数学下册的《三角形的三条重要线段》章节，旨在帮助学生理解并掌握三角形的内心、外心、重心这三条重要线段的概念及其性质。为了提高学生的学习兴趣，激发他们的探究欲望，本教学案例将采用生活实例导入、合作探究、分层练习等多样化的教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中掌握知识，提高解决问题的能力。
九年级数学上册《三条边对应成比例的两个三角形相似》优秀教学案例
本案例中，教师关注学生的个体差异，针对不同层次的学生布置难易适度的习题。这种差异化教学策略使每个学生都能在课堂上找到适合自己的学习节奏，提高学习效果。
5.反思与评价相结合，促进学生的自主学习
本案例强调反思与评价的重要性，教师通过课堂观察、学生自评和互评等多种方式，全面评估学生的学习效果。这种评价方式有助于学生认识到自己的优点和不足，培养自我反思、自主学习的习惯，为学生的终身学习打下坚实基础。
此外，我还会要求学生在课后进行自我反思，总结自己在课堂上的收获和不足，为下一节课的学习做好准备。通过这样的方式，使学生在完成作业的过程中，进一步巩固和深化对相似三角形性质的理解。
五、案例亮点
1.生活化的情景创设
本教学案例的最大亮点之一是紧密联系学生的生活实际，通过展示校园内外的三角形物体，引导学生从生活中发现数学问题。这种情景创设使得学生对相似三角形的概念有了更直观、生动的认识，激发了他们的学习兴趣，提高了课堂的吸引力。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论的环节，我会将学生分成小组，每组挑选一道具有代表性的习题进行讨论。讨论过程中，学生需要共同分析问题，探讨解题思路，并尝试用相似三角形的性质来解决问题。
我会在各组之间巡回指导，提供必要的帮助和提示，鼓励学生发表自己的观点，倾听他人的意见，通过合作交流，共同解决问题。
（四）总结归纳
（二）过程与方法
1.通过观察、发现、讨论等教学活动，培养学生独立思考、合作交流的能力。
2.引导学生运用已学的几何知识和方法，探索相似三角形的性质，培养学生的创新精神和实践能力。
3.通过解答例题、习题，让学生掌握相似三角形性质的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。
4.鼓励学生将所学知识运用到实际生活中，培养学生的数学应用意识和实际操作能力。
华师大版八年级数学上册14.1.3直角三角形三边的关系优秀教学案例
（二）讲授新知
1.讲解直角三角形的定义和性质，引导学生理解直角三角形的特点。
2.介绍勾股定理的定义及其证明过程，让学生掌握直角三角形三边的关系。
3.通过示例，讲解如何运用直角三角形三边的关系解决实际问题，如测量物体长度、计算三角形面积等。
（二）问题导向
1.提出引导性问题，如“直角三角形的三边有什么特殊关系？”，“如何利用直角三角形的三边关系解决实际问题？”等。
2.引导学生通过观察、猜想、推理等方法，自主探索直角三角形三边的关系。
3.鼓励学生提出问题，培养学生的提问意识和问题解决能力。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，分享各自的观察和思考，培养学生的合作意识和沟通能力。
3.小组合作：组织学生进行小组讨论和实验活动，让学生在合作中交流思想，分享成果，提高学生的沟通能力和团队协作能力。
4.反思与评价：教师引导学生对自己的学习过程进行反思，让学生学会欣赏他人的优点，发现自己的不足，促进学生的个性发展。
5.作业小结：布置实际问题解决的作业，让学生运用所学知识解决实际问题，巩固所学知识，同时撰写学习心得，明确今后的学习目标。
2.生亲身参与，提高实践能力。
3.鼓励学生互相评价、互相学习，培养学生的自我反思和团队精神。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，如自己在解决问题时的思路、方法等，提高学生的自我认知能力。
2.组织学生进行互评和自评，让学生学会欣赏他人的优点，发现自己的不足，促进学生的个性发展。
3.教师对学生的作业和小结进行评价，关注学生的知识掌握程度、思维能力、合作意识等，为学生提供反馈和指导。
《三角形边的关系》教学案例与反思
数学知识来源于生活 ” 。 师： 同学们真 了不起 ， 能探索和发现三角形 三边 的 “ 其次， 我设计 了摆 三 角形 的探 索性 学 习活动 。三 关系 了。那 么请 同学 们拿 出信 封 中的三 根小 棒 ， 说说 为什么这三根小棒 围不成 三角形呢 ？ 度和没有第三根长 ， 所 以围不成 。 度和等于第三根 ， 所 以也 围不成 。 角形两条边 长度 的和大于第三边 ， 是本课 的教学 重点 ， 教学 时采用 的一般操 作 活动是 生 １ ： 我 的信封 中的三根 小棒 中有 两根 小棒 的长 是三角形 内在 的特征 ， 很难让学生 自主体验 的 ， 因此 ， 我由指向明确的问题 导 是不是任 意长 度 的三 条线 段都 能 围成 三 角形 呢？ 生２ ： 我 的信封 中的三根小 棒 中 的两根小 棒 的长 入 ： 继而组织学生展 开探 索性学 习活 动 ， 把探索 结果 记 录
② 能用一句话说说 你 的发现 吗？（ 三 角形 任意 两 索 意 识 。
边之 和都大于第三边 ）
２ 、 归纳结论 ：
同学们 ， 祝贺你们探 索和发现 了三角形边 的关 系 ， 使 学生积极主动参与操 作 活动 ， 进行 探索 。通 过小 熊 让我们 自豪地再 说一遍这个结论 。
３ ｃ ｍ ３ｃ ｍ ３ｃ ｍ、 ４ｃ ｍ ５ｃ ｍ ６ｃ ｍ ９ｃ ｍ
第
一
边长度 ｅ ｍ
第二 边 长度 ｃ ｍ
第三 边 长 度 ｃ ｍ
能 否 围 成 （ 能、 ／ 否 Ｘ）
，
比较三条边关 系
３＋４ｏ ５
３
４
５
４＋５Ｏ ３ ５＋３Ｏ ４
２ 、 小组 内分析数据 ， 交流探 究结 果。
小学数学“综合与实践”《三角形的三边关系》案例分析
小学数学“综合与实践”《三角形的三边关系》案例分析【课程背景】目前小学数学课堂教学中存在着一些需要改善的问题。
如学生学习方式单一、被动，缺少实践操作、自主探索、合作学习、独立获取知识的机会。
小学数学教学在一定程度上存在着“以课堂为中心、以教师为中心和以课本为中心”的情况。
学生学习是被动地接受知识、记忆知识的过程，轻视了知识形成的过程。
这样的教学过程既不适应以知识创新为基础的社会发展的需要，更不利于培养全面发展的人。
《数学课程标准》中“以学生发展为本”这一现代教育思想作为基本理念，从根本上关注学生学习的环境、策略、方式和途径。
“以学生发展为本”就是要以学生为主体，通过教师创设一定的学习环境，采用适当的教学方法与策略，让学生亲自参与数学实践活动，从而获得体验，并在思维能力、情感态度与价值观等方面小学综合与实践活动教学就是以学生发展为本，教师充分利用自身素养与外在资源结合小学生有关数学方面的生活经验和知识体系来展开教学。
现在已经把综合与实践归为小学数学教学的四大领域之一，它存在的意义是引导学生自主探索与合作交流。
是小学阶段必须学习的一项活动领域，综合与实践这一教学领域可以培养学生的综合思想、动手操作能力、独立思考能力、对数学产生兴趣等方面。
本文根据新课程背景下小学数学课堂教学的有效性与提高教师的综合能力这一理念来探讨，综合与实践如何在小学数学课堂发挥它的有效性、如何组织教学基于这些思考来讨论，并结合相关教学案例分析。
《三角形的三边关系》案例分析一、课标要求与分析《数学课程标准》对第二学段图形与几何这一部分内容做了如下要求：1．体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离。
本条要求中维度目标既有过程性目标又有结果性目标，体会两点间所有连线中线段最短是过程性目标，行为动词是体会，学习水平是经历，学习内容是两点间所有连线中线段最短；知道两点间的距离为结果性目标，行为动词是知道，学习水平为了解，学习内容是两点间的距离。
苏版五年级上册：《三角形边的关系》教学案例
苏版五年级上册：《三角形边的关系》教学案例一、教学目标：1、通过摆一摆等操作活动，探究并发觉三角形任意两边的和大于第三边，并应用这一性质判定指定的三条线段能否组成三角形。
2、引导学生参与探究和发觉活动，经历操作、发觉、验证的探究过程，培养自主探究、合作交流的能力。
3、激发学生探究的愿望和爱好，培养学生参与数学活动的积极性和严谨的科学态度。
二、教学重点：探究发觉三角形任意两边的和大于第三边。
三、教学难点：能应用发觉的结论，来判定指定长度的三条线段能否组成三角形,并能灵活实际运用生活。
四、教学预备：直尺，小棒，统计表，课件、实物投影等五、教学过程：（一）实践操作，问题引入1、游戏导入[出示两根小棒]请看，我那个地点有两根小棒，猜一猜，这是干什么用的？但是今天我想用这两根小棒围成一个三角形，能围成吗？什么缘故？围成一个三角形最少需要几根小棒？那谁能说一说什么叫做三角形？（三角形是由三条线段首尾相接围成的平面图形。
）那我们就再加一根，围一个三角形，好吗？那个盒子里面有专门多根长度不同的小棒，是不是随便取出一根就能和这两根小棒围成三角形呢？（谁情愿来试一试：围两个三角形）2、问题的提出：是不是任意三根小棒都能够围成一个三角形呢？你想亲自动手试一试吗？要想操作得快乐、顺利，我们要先读明白规则，读明白规则是顺利进行探究与发觉的关键。
请看屏幕（试验表格，默读）（二）合理猜想，探究发觉。
初步体验，提出猜想1、学生小组合作活动活动工具：四根小棒，其长度分别是3厘米、4厘米、7厘米、9厘米。
活动要求：（课件出示）①每次实验选出3根小棒来围三角形，实验完毕后放回原处，以便下次实验。
②4人为一组，组长负责组织成员合作完成实验，并指派一名同学为记录员，填写实验报告。
③全部实验完毕后，小组内同学说一说哪三根小棒能围成一个三角形。
师巡视，参与小组活动，并给予适当指导。
全班讨论交流：光顾着研究也不行，我们还得善于将自己的发觉和大伙儿一起交流、一起分享，你们说是吗？（是）谁情愿把你们摆的情形给大伙儿介绍一下？（1）[实物投影]展现实验报告，摆的情形有：①3、4、7 ②3、4、9③3、7、9 ④4、7、9[电脑动画演示四种围三角形的情形]（2）讨论：这四组小棒，有的围成了三角形，有的没有围成三角形，这是如何回事呢？能否围成一个三角形和什么有直截了当的关系？（板书课题）(先小组交流，然后共同分享)大胆猜想一下，这三条边之间存在着什么样的关系？（3）提出猜想：三角形的三条边，一定要有任意两条边的长度加起来比第三条边长，否则不能围成三角形。
《三角形三边关系》教学评一致性优秀教学案例模板
2.能理解不是任意三条线段都能组成三角形
3.能理解不是任意三条线段都能组成三角形，并想去探究围成三角形的三条线段具备什么条件。
板块二
探究活动
呈现任务:取5组小棒（每组3根），拼三角形，记录小棒的长度和拼的结果，并发现规律。
学生活动：学生拼三角形，记录数据，分析数据。
技能目标：通过量、剪、拼、折、撕等操作活动，探索三角形三边关系，渗透透过数据进行归纳总结的意识。
理解目标：不同类型的三角形中均具有“三角形任意两边之和大于第三边。”
评价任务
评价任务1（检测目标1）：
任取三根小棒，尝试拼成三角形
问题：三角形是由三条线段围成的，为什么用了三根小棒围不成呢？
评价任务2（检测目标2）：
2.探究性学习活动由于让学生直接参与探索，在教学中强调学生动眼、动手、动口、动脑，重视学生之间的交流与合作，通过外在的行为活动促进学生内在思维活动的发展，是培养学生创新思维的一种重要途径，对迎合当前的教改潮流，推进素质教育大有帮助。本节课我是按照游戏操作引入——激趣产生问题——操作进行猜想——需要进行验证——推广运用这一主线组织教学的。学生在行动中产生问题，由问题产生猜想，由猜想产生价值。学生动手活动过程中给学生充分的时间和空间去亲自摆一摆、画一画、算一算。虽然学生自主探索的过程花的时间比较多，导致本节课全部教学任务未完成，很是遗憾，但我认为这一探究过程的培养对学生是很值得的。教学不能是仅仅把知识结果传授给学生，而应该尊重学生知识的形成过程，让学生经历疑问、探究、收获的过程，从而培养学生科学的探究态度和初步的探究能力，让学生的思维得到充分的发展。
2.呈现任务2:现有8分米和6分米长的木条各一根，再拿一根几分米（取整分米）长的木条就可以钉成三角形？，并说明判断方法和依据。
《三角形三边的关系》ppt课件
遥感技术 在遥感技术中，三角形不等式可用于处理和分析 卫星图像数据，提取地物信息和进行地形分析。
其他领域中的实际应用案例
机器人路径规划
在机器人技术领域，三角形不等式可用于规划机器人的行动路径， 确保其以最短距离到达目的地。
通过测量或计算三角形的三条边， 验证两边之和是否大于第三边。
三角形两边之差小于第三边
01
02
03
定理内容
在任意三角形中，任意两 边之差小于第三边。
几何意义
确保三条边能够形成一个 稳定的三角形，避免过长 或过短的边导致三角形变 形。
验证方法
通过测量或计算三角形的 三条边，验证两边之差是 否小于第三边。
面积的影响。
面积最大化问题
03
在给定周长或某些边长的条件下，探讨如何使三角形面积最大
化。
面积最大化问题探讨
等周长的三角形面积最大化
对于周长一定的三角形，探讨其面积最大化的条件及求解方法。
等腰三角形的面积最大化
对于等腰三角形，在给定底边和腰长的情况下，探讨其面积最大化 的条件及求解方法。
直角三角形面积最大化
三边长度可以求出相似比。
在全等三角形中，已知三边长度 可以直接判定两个三角形全等， 或者已知两边和夹角可以求出第
三边长度。
通过比较相似三角形或全等三角 形的三边长度，可以解决一些与 三角形有关的实际问题，如测量、
建筑设计等。
06
三角形不等式在实 际问题中的应用
城市规划与建筑设计中的应用
道路设计
在道路规划中，利用三角形不等 式原理可以确定最短路径，优化
等边三角形边长案例
等边三角形边长案例等边三角形是一种特殊的三角形，其三条边长度相等。
在几何学中，等边三角形具有一些独特的性质和特点，今天我们将通过一些实际案例来探讨等边三角形的边长及其相关问题。
我们要了解等边三角形的定义和性质。
等边三角形的特点包括三条边长度相等，三个角度也相等，每个角度都是60度。
对于任何一个等边三角形，如果我们知道其中一条边的长度，我们就可以确定其余两条边的长度，因为它们都相等。
接下来，我们来看一些关于等边三角形边长的案例。
假设我们有一个等边三角形，其中一条边长为6厘米，我们可以利用等边三角形的特性来求出其他两条边的长度。
由于三角形的三个边相等，所以其他两条边也是6厘米。
再举一个例子，假设我们需要制作一个等边三角形的木制模型，要求每条边的长度为10厘米。
我们可以测量出10厘米的长度，然后利用这个长度来绘制三条边，保证它们相等，从而构成一个等边三角形。
等边三角形还经常出现在建筑和设计中。
如果一个建筑师需要设计一个等边三角形的几何图形作为建筑结构的一部分，他们就需要考虑等边三角形的边长，以确保所设计的结构符合建筑要求。
我们还可以通过一些数学问题来深入探讨等边三角形的边长。
给定一个等边三角形的周长，我们可以利用周长与边长的关系来求出每条边的长度。
根据周长的定义，等边三角形的周长等于三条边的长度之和，所以我们可以将周长除以3得到每条边的长度。
等边三角形还可以与其他图形和形状进行比较和关联。
等边三角形可以与等腰三角形进行比较，等边三角形的特点是三条边都相等，而等腰三角形是两条边相等。
通过比较这两种三角形，我们可以更好地理解等边三角形的边长性质。
在实际生活中，我们也可以通过测量或观察来应用等边三角形的知识。
比如在制作饰品或者工艺品时，我们可能需要设计出一个等边三角形的图案，这就需要我们准确地知道等边三角形的边长。
等边三角形是一种特殊的几何形状，其边长具有一些独特的性质和特点。
通过一些实际案例和数学问题，我们可以更好地理解等边三角形的边长及其相关问题，同时也能更好地应用这些知识到我们的日常生活和工作中。
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1、尊重学生的认知规律
三角形“任意两边的和大于第三边”是在熟悉了什么是三角形的基础上进行教学的。
我力求从实验入手，让学生通过摆小棒，判定如何才能搭成三角形，引导学生经历“发现问题、大胆猜测、操作验证、修改完善、得出结论”的探究过程，最终发现三角形中三边之间的这一特殊关系。
这样的设计符合学生的认知规律，既增加学生的学习兴趣，又使学生积累了大量的操作经验和研究经验。
2、以活动为基础，在活动中探究新知
“自主探究、合作交流、亲身实践”是学习数学的一种重要的方式，本节课的设计我改变了“教师重讲知识、学生轻听知识”的模式，而是改为教师指导学生动手操作，自主探索，发现三角形任意两边的和大于第三边作为目的，使学生的主题地位得到了落实，学生真正地成了学习的主人。
教学目标：
1、使学生知道三角形任意两边之和大于第三边。
2、让学生经历探究数学的过程：猜测----实验----结论，感受数学思想在生活、学习中的应用。
3、通过学生动手操作、想象猜测，近一步深化空间概念，提高观察能力和动手操作能力。
教学重、难点：
引导学生想象、猜测、实验，研究什么样的三条线段能围成三角形，发现三角形三条边的关系。
教法方法：
采用问题性教学模式.“以学生为主体、以问题为中心、以活动为基础、以培养分析问题和解决问题能力为目标”。
并结合先进手段实施教学，突出重点，突破难点。
学法指导：
通过学生动手、动口、动脑等活动，达到主动探索，发现问题的目的；引导学生分析、讨论，得出解决问题的方法，使他们的思维得到了锻炼；增强数学应用意识，合作意识，养成及时回纳总结的良好学习习惯。
教学准备：
课件、小棒若干
教学过程：
一、创设情景，引渗透新课
师：今天我们打开课本的82页来认识一位小朋友——小明，你们看，他在干什么？
生：他去上学。
师：小明从家到学校有几条路线？（观察后指名说）
生：3条。
师：现在小明遇到麻烦了，我们帮帮他的忙好吗？
生：好。
师：小明今天想快一点去学校走哪一条路最近？（把你的想法和小组内的同学说一说，然后指名说）
生：走中间哪一条路最近。
师：同意吗？
师:为什么呢？谁来说一下自己的理由？
生：我量出来的。
师：谁还有别的方法吗？
生：直走进，拐弯走远。
生：我们以前学过了，两点之间线段最短。
师：同学们都有自己的想法，有的是用测量的方法知道的，有的是结合自己的生活经验，有的是用以前学过的知识。
但是生活中的这些路线我们是不可能用尺子去量出他的长度的，这个时候我们该怎么办？
师：下面我们就用数学的眼光、数学知识看看能不能解决这个问题？请同学们仔细观从小明到邮局再到学校近似于一个什么图形呢？
生：三角形。
师：那中间这条路线是三角形的一条边，走旁边的路线实际是三角形的什么呢？孩子们仔细看一下？
生：另外两条边的和。
师：根据大家的判断，走过的三角形两条边的和要比第三条边长。
那么是不是所有的三角形的三条边都有这样的关系呢？下面我们来做个实验。
【设计说明：从学生已有的生活经验出发，给学生创设出认识的生活情景，很自然的引入课题，容易产生亲近感。
但后来的知识障碍让学生感到用以前的知识解决不了这个问题，必须用一种新的知识来解决，从而激发求知欲望，为下一步的探索新知做好铺垫。
】
二、小组合作，探究新知
1、实验一：从准备好的小棒中任意取出三根摆一个三角形，观观你能发现什么？
学生动手操作。
交流结果。
生：能。
生：不能。
师：有的同学用三根小棒摆成了一个三角形，而有的同学没有，这到底是什么原因呢？下面我们就对这两种情况做一个深入的研究。
【设计说明：学生自然已经知道什么样的图形是三角形，但对于什么样的三根小棒能摆成一个三角形还处于模糊状态。
此时的两种结果正可以激发学生的探究热情。
】
2、实验二：进一步研究在什么情况下能组成三角形？
（1）从小棒中任意拿出三根，看观能不能摆成一个三角形？把能摆成三角形和不能摆成三角形的情况分别填写在表格实验内。
小棒的长度（厘米）
能否摆成三角形
（2）汇报实验结果
（3）分析探究：
师：观察自己的实验表格，说一说不能摆成三角形的情况有几种？能摆成三角形的情况有几种？能组成三角形的三条边有什么关系？是不是只要有两条边的和大于第三边的都能组成三角形？
师：现在你们算一下任意两边的和与第三边的大小关系？你们发现了什么？（小组讨论一下，）
生：能摆成三角形，任意两边的和大于第三边。
不能摆成三角形，任意两边的和小于第三边。
（4）小结：三角形任意两条边的和都大于第三边。
（5）是不是每一个三角形的任意两条边的和都大于第三边呢？请你们自己摆三角形来验证一下。
（6）交流验证结果。
【设计说明：放手让学生自己尝试，获得初步结论，在进行实验验证结论，获得“三角形任意两边的和大于第三边”的结论。
学生经历了获取数学知识的全过程，在这个过程中体验了数学知识的科学性、严谨性，提高了学习能力，积累了从事数学活动的经验。
】
三、运用知识，解决生活问题
1、解释小明选择上学的路线。
2、游戏：你问我答。
游戏规则：老师先说出一组数，找一名学生回答，答对的可以找一名学生你出题他回答，答错的找一名学生出题他回答，答不出可以找个小帮手。
3、找朋友：要求：下面的这些线段里面能组成三角形的三条线段是一组好朋友，找找看，哪三条线段是好朋友？
2厘米4厘米5厘米8厘米10厘米
4、猜一猜：
现在有两根长分别为3厘米、6厘米的小棒，能与它们组成三角形的第三根小棒长几厘米？
【设计说明：练习的形式多种多样，让学生感到不枯燥，提高积极性。
通过不同形式、不同层次的练习，使不同程度的学生在练习中都能巩固知识、发展能力，充分体验到成功的喜悦。
】
四、反馈、总结
通过这节课的学习，你有什么收获？
五、教学反思
1、创设问题情景，以疑激思。
学生的积极思维往往是由问题开始，又在解决问题中得到发展。
因此，课堂一开始，我是让学生通过看课本上的图，提出问题引发学生探究欲望，从而探解决问题的方法。
2、实现数学知识的再创造。
“再创造”是指创设合适的条件，让学生在学习数学的过程中，经历发现、创新的过程，即根据自己的体验，用自己的思维方式重新创造有关的数学知识。
它是数学学习活动的灵魂。
因此在教学中，我有意设置一些动手操作，共同探讨的活动，尽可能多些时间给学生创造展示自己思维的空间和时间，千方百计地让学生参与到知识形成的全过程，从而实现数学知识的“再创造”。
如这节课中我设计了让学生动手拼三角形，小组讨论三角形边的关系，通过实践操作、观察、思考学生亲自体验“任意两边之和大于第三边”这一结论的普遍性。
使学习真正成为学生自主的活动，也为学生提供了获得成功的机会。