实验指导7 线性方程组的应用

实验指导7 线性方程组的应用

一、实验目的

了解线性方程组的应用，增强学生的应用数学解决实际问题的能力。

二、实验内容

1.交通流量问题

2.闭合经济问题

3.生产计划的安排问题

4.世界人口预测问题

三、实验仪器和设备

1.计算机若干台（装有matlab6.5及以上版本软件）

2.打印机

四、实验要求

1.独立完成各个实验任务；

2.实验的过程保存成 .m 文件，以备检查；

3.实验结果保存成 .mat 文件

五、实验原理

根据实际情况可将线性方程组分为三类，适定方程组、不定方程组和超定方程组。

当方程组中实际的方程数等于未知数个数时，这一类方程组称为适定方程组。如果其系数矩阵可逆，适定方程组有唯一的解。求解适定方程组的方法有克莱姆方法、消元法、矩阵分解法、迭代法等。

当方程组中实际的方程数少于未知数个数时，这一类方程组称为不定方程组。当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，不定方程组有无穷多组解。根据线性代数的理论和方法，可求得方程组的通解。

当方程组中实际的方程数多于实际的未知数个数时，这一类方程组称为超定方程组。超定方程组没有准确解，但可以求广义解，例如超定方程组的最小二乘解。

本次实验介绍交通流量问题、闭合经济问题、生产计划安排问题、世界人口预测问题。 （一）交通流量问题

下图给出了某城市部分单行街道的交通流量（每小时通过的车辆数）

图中有6个路口，已有9条街道记录了当天的平均车流量。另有7处的平均车流量未知，试利用每个路口的进出车流量相等关系推算这7处的平均车流量。

1.问题分析与数学模型

在图1中的任何一个路口（十字路口或丁字路口）处，都有车辆流进和流出。当一天结束后，流进的车辆数和流出的车辆数应该相等以达到平衡。在图中有的街道车流量有数据记录，而有的没有数据记录。我们可以理解为有数据记录的街道有专人（或设备）记录了当天的车流量情况，而没有记录的街道是由于人力不足（或设备的经费还没到位）造成的。为了填补空白，在没有数据记录的街道处假设车流量是未知数。在每一个路口处可根据进出的车流量相等关系，建立一个线性代数方程。图1中有六个路口，可建立含六个方程的线性方程组。问题的答案应该是在所列的线性方程组

的通解中去寻找。将方程组写成矩阵向量形式为AX = b

其中

， ,

X = [x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7]T

显然，在这一方程组中，未知数个数多于方程的个数，是不定方程组。所以，当方程组的系数矩阵A的秩与增广矩阵[A b]的秩相等时，该问题有无穷多组解。由于图1中街道都是单行道，每一街道上的车流量只能是正数或者是零。故应在方程组的解集合中寻找非负解，如果方程组没有解或者没有非负解，则说明问题所给的数据有误。求解问题分三步：第一步，判断方程组是否有解；第二步，如果有解则求出方程组的通解；第三步，在通解中找非负特解。

2 . 程序和计算结果

在MATLAB环境中，首先输入方程组的系数矩阵A和方程组右端向量b

A=[1 0 1 0 0 0 0；1 –1 0 1 0 0 0；0 1 0 0 –1 0 0；0 0 1 0 0 1 0；0 0 0 1 0 1 –1；

0 0 0 0 1 0 -1]

b = [700；200；200；500；0；-200]

然后用命令

r1=rank(A)

r2=rank([A b])

计算系数矩阵的秩r1，和增广矩阵[A b]的秩r2，得

r1= 5

r2 = 5

这说明系数矩阵和增广矩阵的秩相等。最后，用命令

rref([A b])

将增广矩阵化为最简行阶梯形矩阵，得数据

ans =

1 0 0 0 0 -1 0 200

0 1 0 0 0 0 -1 0

0 0 1 0 0 1 0 500

0 0 0 1 0 1 -1 0

0 0 0 0 1 0 -1 -200

0 0 0 0 0 0 0 0

由此可确定对应的齐次方程组的基础解系以及非齐次方程组的通解。由于增广矩阵的秩为5，而方程组含有7个未知数x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，故方程组的通解中含有两个自由未知数。最后的数据结果是与增广矩阵等价的最简行阶梯形矩阵。由最简行阶梯形矩阵，可得与原方程组等价的简化后的方程组

取x6，x7为自由未知数，直接可得原方程组的通解形式

3 .问题解答

由上面所得的方程组通解表达式，取适当的k1和k2使特解为非负数，即得一组满足问题条件的解。例如，取k-1 = 0，k2 = 200，得

[ x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7] = [200 200 500 200 0 0 200]

将对应数据填写，得下图

显然，这一问题的解是不唯一的。

（二）闭合经济问题

一个木工，一个电工，一个油漆工，三人相互同意彼此装修他们自己的房子。在装修之前，他们达成了如下协议：（1）每人总共工作十天（包括给自已家干活在内）； （2）每人的日工资根

据一般的市价在60元～80元之间；（3）每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等。下面的表是他们协商后制定出的工作天数的分配方案： 表1

1 ．问题分析与数学模型

根据协议中每人总支出与总收入相等的原则，分别考虑木工、电工及油漆工的总收入和总支出。设木工的日工资为x 1，电工的日工资为x 2，油漆工的日工资为x 3。则木工的10个工作日总收入应该为 10x1 ,而木工、电工及油漆工三人在木工家工作的天数分别为：2天， 1天， 6天，按日工资累计木工的总支出为 2x 1 + x 2 + 6x 3。于是木工的收支平衡可描述为等式

同理，可建立描述电工，油漆工各自的收支平衡关系的另外两个等式，将三个等式联立，可得描述实际问题的方程组。

整理，得

这是一个齐次线性方程组问题。 2 ．算法与数学模型求解 写出齐次方程组的系数矩阵如下

木工 电工 油漆工 在木工家的工作天数 2 1 6 在电工家的工作天数 4 5 1 在油漆工家的工作天数

4 4 3