初中数学比例线段
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跟踪训练参考答案
一、填空题：
1、 ，4，8，14；2、2或－1；3、 或 或12等；4、2∶5；
二、选择题：CBBB
三、解答题：
1、 ；
2、证明 即可；
3、（1） ；（2）直线EF垂直平分AB；（3）E不能是BC的中点；
4、 的值不变化，为定值ห้องสมุดไป่ตู้ 。
分析：要证 ，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似，现在B、D、C在同一条直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、CD、AB的第四比例项AE，这样，证明 就可以转化为证AE＝AC。
A、1∶3 B、1∶4 C、1∶5 D、1∶6
4、如图， ∥ ， ，BC＝4CD，若 ，则 ＝（）
A、 B、2 C、 D、4
三、解答题：
1、已知如图，AD＝DE＝EC，且AB∥DF∥EH，AH交DF于K，求 的值。
2、如图，□ABCD中，EF交AB的延长线于E，交BC于M，交AC于P，交AD于N，交CD的延长线于F。求证： 。
答案： cm
评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。
跟踪训练：
一、填空题：
1、若 ，则 ＝；若 ，且 ，则 ＝， ＝， ＝。
2、若 ，则 ＝。
3、已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，则这个数是。
4、如图，在□ABCD中，E为BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶FD＝。
3、如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点， （ 、 ＞0），取CF的中点D，连结AD，并延长交BC于E。
（1）求 的值；
（2）如果BE＝2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？并证明你的结论；
（3）E点能否为BC的中点？如果能，求出相应的 的值；如果不能，说明理由。
4、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝3，P为BC上一点，PE∥AB交AC于E，PF∥CD交BD于F，设PE、PF的长分别为 、 ， 。那么当点P在BC边上移动时， 的值是否变化？若变化，求出 的范围；若不变，求出 的值，并说明理由。
本例为了实现将比CF∶BE转换成比CD∶BD的目的，还有多种不同的添画平行线的方法，它们的共同特征都是构造平行线截得的线段成比例的基本图形，请你们参考图形，自己去构思证明。
变式1：已知如图，D是△ABC的边BC的中点，且 ，求 的值。
变式2：如图，BD∶DC＝5∶3，E为AD的中点，求BE∶EF的值。
证明：过C作CE∥AD交BA的延长线于E
CE∥AD ∠E＝∠3
AE＝AC
CE∥AD
∴
（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；
（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（）
①数形结合思想②转化思想③分类讨论思想
答案：②转化思想
（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm，求BD的长。
答案：
变式1：已知 ，若 ，则 ＝。
变式2：已知 ，求 的值。
变式3：已知 ，则 的值为。
答案：（1） ；（2）3；（3）1或－2；
【例2】如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，且AE＝AF，EF的延长线交BC的延长线于点D。求证：CD∶BD＝CF∶BE。
分析：在题设中，没有平行的条件，要证明线段成比例，可考虑添加平行线，观察图形，对照结论，需要变换比CF∶BE，为了变换比CF∶BE，可以过点C作BE的平行线交ED于G，并设法证明CG＝CF即可获证。
答案：（1） ；（2）13∶3；
【例3】如图，在△ABC中，P为中线AM上任一点，CP的延长线交AB于D，BP的延长线交AC于E，连结DE。
（1）求证：DE∥BC；
（2）如图，在△ABC中，DE∥BC，DC、BE交于P，连结AP并延长交BC于M，试问：M是否为BC的中点？
解析：（1）延长AM至Q，使MQ＝MP
一、授课目的：
1,理解和应用比例的性质、
2，掌握平行线分线段成比例定理，并能熟练应用
二、授课内容：
知识考点：
本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。
精典例题：
【例1】已知 ，那么 ＝。
分析：此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解；二是利用方程的观点求解，将已知条件转化为 ， ，代入所求式子即可得解；三是设“ ”值法求解，这种方法对于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这一技巧。
二、选择题：
1、已知如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，则下列比例式中正确的是（）
A、 B、 C、 D、
2、如图，在△ABC中，AD＝DF＝FB，AE＝EG＝GC，FG＝4，则（）
A、DE＝1，BC＝7 B、DE＝2，BC＝6
C、DE＝3，BC＝5 D、DE＝2，BC＝8
3、如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ∶BC＝（）
∵BM＝MC，∴四边形BPCQ是平行四边形
∴CD∥BQ，BE∥QC
∴
∴DE∥BC
（2）过B作BQ∥CD交AM的延长线于Q
∵DE∥BC，∴
∴ ，∴BE∥QC
∴四边形BPCQ是平行四边形
∴M是BC的中点
探索与创新：
【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC中，AD是角平分线。求证： 。
一、填空题：
1、 ，4，8，14；2、2或－1；3、 或 或12等；4、2∶5；
二、选择题：CBBB
三、解答题：
1、 ；
2、证明 即可；
3、（1） ；（2）直线EF垂直平分AB；（3）E不能是BC的中点；
4、 的值不变化，为定值ห้องสมุดไป่ตู้ 。
分析：要证 ，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在三角形相似，现在B、D、C在同一条直线上，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。我们注意到在比例式 中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、CD、AB的第四比例项AE，这样，证明 就可以转化为证AE＝AC。
A、1∶3 B、1∶4 C、1∶5 D、1∶6
4、如图， ∥ ， ，BC＝4CD，若 ，则 ＝（）
A、 B、2 C、 D、4
三、解答题：
1、已知如图，AD＝DE＝EC，且AB∥DF∥EH，AH交DF于K，求 的值。
2、如图，□ABCD中，EF交AB的延长线于E，交BC于M，交AC于P，交AD于N，交CD的延长线于F。求证： 。
答案： cm
评注：本题的目的主要在于考查学生的阅读理解能力。
跟踪训练：
一、填空题：
1、若 ，则 ＝；若 ，且 ，则 ＝， ＝， ＝。
2、若 ，则 ＝。
3、已知数3、6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，则这个数是。
4、如图，在□ABCD中，E为BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶FD＝。
3、如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点， （ 、 ＞0），取CF的中点D，连结AD，并延长交BC于E。
（1）求 的值；
（2）如果BE＝2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？并证明你的结论；
（3）E点能否为BC的中点？如果能，求出相应的 的值；如果不能，说明理由。
4、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝3，P为BC上一点，PE∥AB交AC于E，PF∥CD交BD于F，设PE、PF的长分别为 、 ， 。那么当点P在BC边上移动时， 的值是否变化？若变化，求出 的范围；若不变，求出 的值，并说明理由。
本例为了实现将比CF∶BE转换成比CD∶BD的目的，还有多种不同的添画平行线的方法，它们的共同特征都是构造平行线截得的线段成比例的基本图形，请你们参考图形，自己去构思证明。
变式1：已知如图，D是△ABC的边BC的中点，且 ，求 的值。
变式2：如图，BD∶DC＝5∶3，E为AD的中点，求BE∶EF的值。
证明：过C作CE∥AD交BA的延长线于E
CE∥AD ∠E＝∠3
AE＝AC
CE∥AD
∴
（1）上述证明过程中，用了哪些定理（写出两个定理即可）；
（2）在上述分析、证明过程中，主要用到了三种数学思想的哪一种？选出一个填入后面的括号内（）
①数形结合思想②转化思想③分类讨论思想
答案：②转化思想
（3）用三角形内角平分线性质定理解答问题：已知AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝7cm，求BD的长。
答案：
变式1：已知 ，若 ，则 ＝。
变式2：已知 ，求 的值。
变式3：已知 ，则 的值为。
答案：（1） ；（2）3；（3）1或－2；
【例2】如图，在△ABC中，点E、F分别在AB、AC上，且AE＝AF，EF的延长线交BC的延长线于点D。求证：CD∶BD＝CF∶BE。
分析：在题设中，没有平行的条件，要证明线段成比例，可考虑添加平行线，观察图形，对照结论，需要变换比CF∶BE，为了变换比CF∶BE，可以过点C作BE的平行线交ED于G，并设法证明CG＝CF即可获证。
答案：（1） ；（2）13∶3；
【例3】如图，在△ABC中，P为中线AM上任一点，CP的延长线交AB于D，BP的延长线交AC于E，连结DE。
（1）求证：DE∥BC；
（2）如图，在△ABC中，DE∥BC，DC、BE交于P，连结AP并延长交BC于M，试问：M是否为BC的中点？
解析：（1）延长AM至Q，使MQ＝MP
一、授课目的：
1,理解和应用比例的性质、
2，掌握平行线分线段成比例定理，并能熟练应用
二、授课内容：
知识考点：
本节知识在历年中考的考题中，主要涉及用比例的性质、平行线分线段成比例定理。由于比例的性质在应用时有其限制条件，一些中考题又以此为背景设计分类求解题。
精典例题：
【例1】已知 ，那么 ＝。
分析：此类问题有多种解法，一是善于观察所求式子的特点，灵活运用等比性质求解；二是利用方程的观点求解，将已知条件转化为 ， ，代入所求式子即可得解；三是设“ ”值法求解，这种方法对于解有关连比的问题十分方便有效，要掌握好这一技巧。
二、选择题：
1、已知如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，则下列比例式中正确的是（）
A、 B、 C、 D、
2、如图，在△ABC中，AD＝DF＝FB，AE＝EG＝GC，FG＝4，则（）
A、DE＝1，BC＝7 B、DE＝2，BC＝6
C、DE＝3，BC＝5 D、DE＝2，BC＝8
3、如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ∶BC＝（）
∵BM＝MC，∴四边形BPCQ是平行四边形
∴CD∥BQ，BE∥QC
∴
∴DE∥BC
（2）过B作BQ∥CD交AM的延长线于Q
∵DE∥BC，∴
∴ ，∴BE∥QC
∴四边形BPCQ是平行四边形
∴M是BC的中点
探索与创新：
【问题】请阅读下面材料，并回答所提出的问题：
三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，△ABC中，AD是角平分线。求证： 。