线段和差最值问题-经典模型

线段和（差）的最值问题

此类问题特点：1.两个定点，一个定点； 2. 线段

和最小值，线段差最大值

一、线段和最小值问题

若在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小；

（1）两侧/异侧型：定点A 、B 在直线m （动点P 所在直线）两侧：直接连接A 、B 两点交直线m 于一点P ，该点P 即为所求点。（PA+PB=AB

）

（2）同侧型：定点A 、B 在动点P 所在直线m 同侧：（方法：一找二作三连）：

一找：找定点A 、B ，动点P 及动点所在的直线m ；二作：任选一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线于一点P ，该点P 即为所求。（

PA+PB=PA’+PB=A’B ）

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二、线段差最大值问题

若在一条直线m 上，求一点P ，使得最大

（1）同侧型：定点A 、B 在直线m （动点P 所在直线）两侧：直接连接

A 、

B 两点交直线

m 于一点P ，该点P 即为所求点。()

（2）两侧/异侧型：定点A 、B 在直线m （动点P 所在直线）两侧：任选

一个定点做对称；三连：连接对称点与另一个定点，其连线交动点所在直线m于一点P，该点P即为所求点。()

线段和最小值练习题

1．如图1，在锐角三角形ABC中，AB=,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC 于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，

则BM+MN的最小值为．

2. 如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .

3.如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为

__________．

图1 图2 图3 图4

4. 如图4，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．

5. 如图5，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．

6.已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB

+PE的最小值是

7. 如图6，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC

上的一个动点，则DN+MN的最小值为．

8.如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值

为 cm．（结果不取近似值）

图5 图6 图7

9. 如图8，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．

10. 如图9，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B 为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为______.

如图8 如图9

解答题

1.如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点

A（3，6）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；

（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．

2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，△AOB的面积是.

（1）求点B的坐标；

（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由；

3. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点

A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

4. 如图，已知直线y＝x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y＝x 2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M 的坐标．

5.抛物线的解析式为，交x轴与A与B,交y轴于C。

⑴在其对称轴上是否存在一点P，使⊿APC周长最小，若存在，求其坐标。

⑵在其对称轴上是否存在一点Q，使∣QB—QC∣的值最大，若存在求其坐标。