分式的化简求值
第9章 分式—分式的化简求值 22--23学年沪科版数学七年级下册
=
1
1
(代入 + = 4)
1
15
1
配方常见的式子有 + = ， − = ， 2 +
1
2
1
1
= ( + )2 −2 = ( − )2 +2等，要熟练掌握
并会灵活运用配方法. 次数高的要降幂，构造完
1
所以原分式的值为 15 .
全平方式，代入求值即可.
【例】若 + = 2019, + = 2020, + = 2021,且 =
分式化简的基
本理论知识
分式的基本性质：分子分母同乘除一个
不为0的整式，分式不变.
约分：把分式的分子和分母的公因式约去
通分：把异分母化成同分母
分式的四则运算
化简：用因式分解的方法化简分子分母
分式的化简求值
分式化简的
基本步骤
分式化简求值
的常见方法
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的
分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分
− 2
−
1
将 = 4代入得
2(−)
+3 2×1+3
4
−
1
−2
−2
4
=
= −2， 所以原分式的值为−2
方法总结：一般题干给出条件难以得出可以直接代入的简易结论，我们可以将整个条件看成一个整体，
化简分式时向着这个式子的方向去化简，然后整体直接代入即可求值.
配方法
1
【例】已知 + =
将条件等式整
体代入即可求
值
方法总结：当条件式为等式时，
分式的化简与求值
分式的化简与求值一、分式的概念及性质若用A 、B 表示两个整式，则BA 就叫做分式，其中：B 中含有字母且B ≠0。
分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
即：MB M A B A ⨯⨯=，MB M A BA ÷÷=（M 是不为零的整式）。
（1） 分式中分子、分母与分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变。
即：BA BA =--，BA BA BA -=-=-。
（2） 在分式运算中，可以把一个分式的分子、分母的公因式约去，我们称这一过程叫分式的约分。
（3） 在分式运算中，可以把n 个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母的分式，我们称这一过程叫分式的通分。
二、例题与练习：（一）巩固概念例1 当x 取何范围内取值时，下列分式有意义？（1）4422+-+x x x ，（2）1222-++x x例2 当x 取何值时，分式212---x x x 的值为零？例3 将分式3243-++x x x 分解成部分分式。
例4 当x 取何整数时，下列各式中的y 值也是整数？（1）16-=x y ； （2）31+-=x x y ； （3）131++=x x y ；（5）222-+-=x x x y （6）13122-+-=x x x y（二）化简与求值 例5 化简下列分式： （1）1132--++x xx x （2）⎪⎭⎫⎝⎛-++÷⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-b a bb a b b a b a ba b a（3）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-222)(11)2(11)1(11n x x x （4）168421161814121111aa aaaa--++++++++-（5）1271651231222++++++++x x x x x x（6）4192372252132+++++-++-++x x x x x x x x（7）abbc ac c b a c acbc ab b a c b bcac ab a c b a +----++----++----222222 （a 、b 、c 两两不相等）（8）()()()()()()199919972532312+++++++++x x x x x x（9）()()()()()d c b a c b a dc b a b a cb a a b +++++++++++（10）⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a c a c b c b a b a c a c b c b a 111111111111222例6 若abc ＝1，求111++++++++c ca c b bc b a ab a 的值。
分式的化简与求值
数学八年级5．分式的化简与求值分式的化简与求值是紧密相连的，化简的目的通常是为了求值，而求值之前必须先化简，先化简后求值是解分式化简与求值的基本策略，分式的化简与求值一般可分为无条件和有条件两类问题。
解分式的化简与求值问题时，除了要用到整式变形求值的知识方法外，还经常用到以下技巧：1．取倒数或利用倒数关系；2．拆项变形或拆分变形；3．整体代入；4．引入参数等。
例1．已知a 2－3a ＋1=0，则代数式361a a +的值为___________. 解题思路 目前不能求出a 的值，但可得出a+1a =3，需要对所求的代数式变形含“a+1a”。
例2．已知一列数a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，且a 1=8，a 7=5832，123456234567a a a a a a a a a a a a =====，则a 5为( ) A ．648 B ．832 C ．1168 D ．1944解题思路 引入参数k ，把a 1~ a 7用k 的代数式表示，这是解答比问题的基本思路。
例3．已知x+y+z=3a(a ≠0)求222()()()()()()()()()x a y a y a z a z a x a x a y a z a --+--+---+-+-的值解题思路 观察发现，所求式是关于x －a 、y －a 、z －a 的代数式，而条件可分拆成x －a ，y －a ，z －a 的等式，因此，很自然地想到用换元法来简化解题过程。
例4．已知xy x y +=1,yz y z +=2,zx z x+=3,求x 的值。
解题思路 注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元二次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式。
例5．不等于0的三个正数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反数。
解题思路 要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(a+c)=0。
分式化简求值55道练习题
分式化简求值55道练习题1.先化简，再求值：$\frac{12}{2x-1}-\frac{x-1}{x-1}$，其中$x=-2$。
2.先化简，再求值：$\frac{a^2-b^2}{a-b}$，其中$a=-1$。
3.先化简，再求值：$\frac{x^2-2x+1}{x^2+x-2}$，其中$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。
4.先化简，再求值：$\frac{a-3b}{a+b}+\frac{a+b}{a-b}$，其中$a=1$。
5.先化简，再求值：$\frac{a-3b}{a+b}-\frac{a-b}{a+b}$，其中$b=2$。
6.化简：$\frac{(x+1)(x-1)}{x(x-1)}$。
7.先化简，再求值：$\frac{a^2-1}{a^2+1}$，其中$a=\frac{1}{2}$。
8.先化简：$\frac{x^2-1}{2x-1}$，其中$a=2$，代入求值。
9.先化简，再求值：$\frac{(x+1)}{(x-2)^2}$，其中$x=2$。
10.先化简，再求值：$\frac{3x+1}{x+3}$，其中$x=-3$。
11.先化简下列式子：$\frac{2}{x+2}-\frac{3}{x-1}$，再从2，-2，1，-1中选择一个合适的数进行计算。
12.先化简，再求值：$\frac{x}{x-1}$，其中$x=-2$。
13.先化简，再求值：$\begin{cases} -x-2\leq 3x \\ x\leq2x^2 \end{cases}$，其中$x=1$。
14.先化简，然后从不等式组$\begin{cases} x-5\leq -x \\x^2-2x-25\leq 2x+12 \end{cases}$的解集中，选取一个你认为符合题意的$x$的值代入求值。
15.先化简，再求值：$\frac{a^2-4a-2}{2a^2+6a+9}$，其中$a=-5$。
16.先化简，再求值：$\frac{3x-x^2}{x^2-2}$，其中$x=\frac{3}{\sqrt{2}}$。
初中竞赛辅导之四：第四讲 分式的化简与求值
第四讲分式的化简与求值姓名
分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．
例1 化简分式：
例2 求分式当a=2时的值．
例3 若abc=1，求
例4 化简分式：
例5 化简计算(a，b，c两两不等)：
例6 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求
例7 化简分式：
例8 3819-=x 若，求分式15
82318262234+-++--x x x x x x 的值。
例9 若
a c
b a b
c b a c c b a ++-=+-=-+，求abc c b c a b a ))()((+++的值。
例
10
练 习 四
1．化简分式：
2．计算：)101)(100(1)4)(3(1)3)(2(1)2)(1(1++++++++++++x x x x x x x x
3．已知：(y -z)2+(z -x)2+(x -y)2=(x+y -2z)2+(y+z -2x)2+(z+x -2y)2，
4、已知b a ab x b a b a b a +=≠+≠≠≠4,0,0,0,，求b
x b x a x a 22222-++-+的值。
分式的化简求值经典练习题(带答案)
精心整理分式的化简内容基本要求略高要求较高要求分式的概念了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题一、比例的性质：⑴比例的基本性质：a c adbc bd，比例的两外项之积等于两内项之积.⑵更比性（交换比例的内项或外项）：( ) ( )( )ab c d a c d c bdb a d bc a 交换内项交换外项同时交换内外项⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c ⑷合比性：a c abcd bd b d ，推广：acakb ckd b d b d（k 为任意实数）⑸等比性：如果....a c mb d n，那么......a c m a bdnb（...0bdn）二、基本运算分式的乘法：a ca cb d b d 分式的除法：ac ad a d bd bcb c 乘方：()n n n nn a a a a a a a a bb bb b bbb个个n 个＝(n 为正整数)整数指数幂运算性质：⑴m n m na a a (m 、n 为整数)⑵()m n mna a (m 、n 为整数)⑶()n n nab a b (n 为整数) ⑷m n m n a a a (0a ，m 、n 为整数)知识点睛中考要求负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1nnaa(0a )，即na(0a )是na的倒数分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bccc 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcbdbdbdbd 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、分式的化简求值【例1】先化简再求值：2111x xx，其中2x 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州【解析】原式111x x x x x 111x x x x当2x时，原式112x【答案】12【例2】已知：2221()111a aa a aa a ，其中3a 【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a aa a a aaa a 【答案】4【例3】先化简，再求值：22144(1)1aa aaa，其中1a 例题精讲【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考【解析】2221144211122a a aa aa a aaa a a当1a时，原式112123a a【答案】13【例4】先化简，再求值：2291333x xxxx其中13x.【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，湖南省长沙市中考试题【解析】原式33133xx xx x当13x时，原式3【答案】3【例5】先化简，再求值：211(1)(2)11xxx，其中6x.【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题【解析】原式111121x xx x x 当6x时，原式2624．【答案】4【例6】先化简，后求值：22121(1)24xx xx，其中5x．【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24xx x x=221(1)2(2)(2)x x xxx =21(2)(2)2(1)x x x x x =21xx 当5x时，原式21x x521512.【答案】12【例7】先化简，再求值：532224x x xx，其中23x ．【考点】分式的化简求值【难度】2星【题型】解答【关键词】2010年，湖北省武汉市中考试题【解析】原式2453(3)(3)2(2)22(2)22(3)3xx x x x xxxx x，当23x时，原式22。
分式化简求值
1. 先化简，再求值：221443(1)21x x x x x x x -+-÷+-+--，其中x 满足2240x x +-=. 2. 先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+---÷-1121122x x x x x ，其中072=+x x x 满足． 3. 先化简，再求值：24)2122(+-÷+--x x x x ，其中x 满足方程123x x =+． 4．先化简，再求值：2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中a 满足220a a --=. 5. 先化简，再求值：222144112x x x x x x x x +-++⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中x 为不等式组243(1)9x x x ⎧⎨+≤+⎩的整数解。
6. 先化简，再求值:11454)1221(22----÷----+x x x x x x x x ,其中x 满足07222=--x x . 7. 先化简，再求值：221242()121x x x x x x x x +++-÷--+，其中x 满足方程121=--x x x 8. 先化简，再求值：xx x x x x 41)111(22+÷-+++，其中x 满足方程0122=--x x ． 9. 先化简，再求值：aa a a a a 4)4822(222-÷-+-+，其中a 满足方程0142=++a a ． 10. 先化简代数式再求值：121132+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x x x ，其中x 满足方程x x －1 ＋ 1 x ＝1． 11. 已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根，求代数式：⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷--2526332x x x x x 的值． 12. 先化简，再求值：224431(1)12x x x x x x x -+÷-+++++，其中x 为方程2+210x x -=的解.13. 先化简，再求值：3325222x x x x x ++⎛⎫÷-+ ⎪++⎝⎭，其中o o 45tan 45cos -=x . 14. 先化简，再求值：3434421222--÷-+--+x x xx x x x ，其中x 满足x 2＋2x-3=0．15. 先化简，再求值：1)1212(2-÷+--+a a a a a ，其中a 是方程121=--x x x 的解. 16. 先化简，再求值：2222(2),442x x x x x x x -÷---+- 其中x 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤--x x x x 22154)2(3的整数解.17. 先化简，再求值：2121441(2)11x x x x x x --+--÷++，其中x 是方程210x x --=的根. 18. 先化简，再求值：22212()1x x x x x x x x----÷++，其中x 是方程2231x x +=-的根． 19. 化简求值：235(2)362m m m m m -÷+---，其中m 是方程2310x x +-=的解． 20. 先化简，再求值．，其中a 2﹣2a ﹣1=0． 21. 先化简，再求值：222221(),11a a a a a a a -+-÷-+- 其中a 是方程09222=--x x 的解. 22. 先化简，再求值：22212()211a a a a a a a a ---÷++-+ 其中13a a += 23. 先化简，再求值：2211211x x x x x x x +⎛⎫-÷ ⎪--+-⎝⎭，其中x 满足方程220x x --=。
分式的化简求值经典练习题(带答案)
精心整理精心整理分式的化简乘方：()n n n nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数)整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)中考要求精心整理精心整理负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n na a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b ccc+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc bdbdbdbd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．【例1【例2【题型】解答 【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【例3】 先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中1a =-..【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考【解析】()()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭-当1a =-时，原式112123a a -===---【答案】13【例4】 先化简，再求值：2291333x x x x x⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭其中13x =.【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南省长沙市中考试题 【解析】原式()()()33133x x x x x +-=⋅-+ 当13x =时，原式3=【答案】3【例5】 先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =. 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题 【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+当x时，原式224=-=．【答案】4精心整理精心整理【例6】 先化简，后求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中5x =-． 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+-【例7。
第三章分式的化简求值问题
第三章：分式一、中考要求：1 •经历用字母表示现实情境中数量关系（分式、分式方程）的过程，了解分式、分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号感.2•经历通过观察、归纳、类比、猜想、获得分式的基本性质、分式乘除运算法则、分式加减运算法则的过程，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力.3•熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）会检验分式方程的根.4.能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识.5 •通过学习，能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值.二、中考卷研究（一）中考对知识点的考查：本章多考查分式的意义、性质，运算也是中考热点之一，另外分式方程及其应用也是热点考题.本章还多考查方程思想和转化思想以及学生收集和处理信息的能力，获取新知识的能力、分析问题和解决问题的能力.三、中考命题趋势及复习对策本章内容是中考命题的重要内容之一，在中考中占有一定的比例，命题的形式有填空、选择、计算、解答题，占4〜12分，主要考查学生对概念的理解和运用基础知识、计算、分析判断的能力.针对中考命题趋势，在复习时应夯实基础知识，锻炼计算能力，还应在方程的应用上多下功夫、加大力度，多观察日常生活中的实际问题.★★★ （I ）考点突破★★★考点1：分式的运算、考点讲解：A1.分式：整式A除以整式B，可以表示成g的形式，如果除式B中含有字母，那么称令错误!为分式. 注：（1 ）若B z 0，则错误！有意义；（2）若B=0，则错误！无意义；（2）若A=0且B z0,则错误!=02 .分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.3 .约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分.4 .通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.5 •分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.6 •分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.7 .通分注意事项：（1 ）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉.8 .分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.9 .对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值.二、经典考题剖析：【考题1 - 1】（2004、南宁，2分）当x 时，分式错误！有意义.解：z 1点拨：考查分式有意义的条件 1 - x z 0,即X z 1.解：一1【考题1 —2】（2004、青岛）化简: a 2.a24a 4(a 2)【考题1 - 3】（2004、贵阳，8分）先化简，再求 2值：（3x x x 1，其中 x 2 2。
专题04分式的运算与化简求值篇(原卷版+解析)
专题04 分式的运算与化简求值1.因式分解的方法：①提公因式法：()cbamcmbmam++=++；②公式法：平方差公式：()()bababa-+=-22；完全平方公式：()2222bababa±=+±。
③十字相乘法：在cbxx++2中，若()均为整数，且nmbnmmnc=+=，则：()()nxmxcbxx++=++2。
2.分式的性质：分式的分子与分母同时乘上或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变。
()0≠÷÷==CCBCABCACBA3.约分与通分：①约分：将分式中能进行分解因式的分子分母分解因式，约掉公因式。
公因式等于系数的最大公约数乘上相同字母或式子的最低次幂。
②通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式的过程。
公分母等于系数的最小公倍数乘上所有式子的最高次幂。
4.分式的乘除运算：①乘法运算步骤：I：对分子分母因式分解；II：约掉公因式；III：分子乘以分子得到积的分子，分母乘以分母得到积的分母。
②除法运算法则：除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式。
5.分式的加减运算：具体步骤：I：对能分解的分母进行因式分解，并求出公分母；II：将分式通分成同分母；III：分母不变，分子相加减。
6.分式的化简求值：将分式按照加减乘除的运算法则化简至最简分式，然后带入已知数据求值即可。
1．（2022•西藏）计算：224222---⋅+a a a a a a ．2．（2022•兰州）计算：()x x x x +÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+211．3．（2022•大连）计算：x x x x x x x 1422444222--+÷+--．4．（2022•十堰）计算：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷-a ab b a a b a 2222．5．（2022•常德）化简：212312+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-a a a a a ．6．（2022•内蒙古）先化简，再求值：1441132-+-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x ，其中x ＝3．7．（2022•阜新）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷-+-21129622a a a a a ，其中a ＝4．8．（2022•资阳）先化简，再求值．111122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a a a ，其中a ＝﹣3．9．（2022•黄石）先化简，再求值：1961212+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a a a ，从﹣3，﹣1，2中选择合适的a 的值代入求值．10．（2022•朝阳）先化简，再求值：323444222++-+÷+--x x x x x x x x ，其中x ＝（21）﹣2．11．（2022•锦州）先化简，再求值：212112--÷⎪⎭⎫⎝⎛-++x x x x ，其中13-=x ．12．（2022•盘锦）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-÷--1111231322x x x x x x ，其中12+-=x ．13．（2022•郴州）先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛-++÷-2221b a b b a b a ab ，其中a ＝5+1，b ＝5﹣1．14．（2022•营口）先化简，再求值：14412512+++÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+a a a a a a ，其中a ＝9+|﹣2|﹣（21）﹣1．15．（2022•绵阳）（1）计算：2tan60°+|3﹣2|+（20221）﹣1﹣212；（2）先化简，再求值：y x y x y x y x x y x -+÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛----3，其中x ＝1，y ＝100．专题04 分式的运算与化简求值7. 因式分解的方法：①提公因式法：()c b a m cm bm am ++=++；②公式法：平方差公式：()()b a b a b a -+=-22；完全平方公式：()2222b a b ab a ±=+±。
八年级数学上册《分式的化简求值》教案、教学设计
2.分式运算中，特别是乘除法和加减法的混合运算，学生容易混淆，导致计算错误。
3.在解分式方程时，对等式性质的掌握不够牢固，可能难以找到解题的关键步骤。
针对以上情况，教学中应注重以下几点：
1.注重启发式教学，引导学生发现分式性质和运算法则，提高他们的观察力和思维能力。
八年级数学上册《分式的化简求值》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解分式的概念，掌握分式的基本性质，如约分、通分等，并能够灵活运用这些性质对分式进行化简。
2.掌握分式的乘除法、加减法法则，能够正确进行分式的四则运算，解决实际问题。
3.学会解分式方程，理解分式方程的解的意义，并能将其应用于解决实际问题。
2.教学过程：
-采用任务驱动法，设计一系列具有梯度的问题和练习，引导学生逐步掌握分式化简的方法和技巧。
-结合具体例题，讲解分式乘除法和加减法的运算规则，强调运算顺序和运算法则的重要性。
-通过小组合作和讨论，让学生在解决分式方程的过程中，学会转化问题和找到解题关键步骤。
-设计课堂互动环节，鼓励学生提问和分享解题心得，培养他们的表达能力和团队合作精神。
4.能够运用所学的分式知识，解决数学问题，提高解决问题的能力和逻辑思维能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，采用以下方法：
1.通过实际问题的引入，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究分式的化简求值方法。
2.采用讲解、示范、讨论、练习等多种教学手段，帮助学生掌握分式的性质、运算法则和解方程的方法。
3.设计具有梯度、层次的练习题，让学生在解决问题的过程中，逐步提高分析问题、解决问题的能力。
3.分式的乘除法与加减法：介绍分式乘除法和加减法的运算规则，结合具体例题进行讲解。
第4讲 分式的化简求值(教师版)
巩固1
已知
，则
．
答案
解析 由
可得
，
∴原式
．
故答案为： ．
标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：分式条件化简求值
巩固2
若
，则
的值为
．
答案
解析 由题得 ∴ ∴ 又∵ ∴原式 ． 故答案为： ．
标注 式 > 分式 > 分式的运算 > 题型：分式通分
巩固3
若
，则
的值是
．
答案 备选答案1 : 备选答案2 :
分析：由题知，条件的基本形式是分子、分母分别为两项之积与两项之和，满足
可进行裂项拆分；
解：由题知
，
，
，即
拆 分则 法
∴三式相加得
又∵ ∴ 【拓展】
为何正整数时，下列分式为整数．
① ；②
；③
；④
；⑤
；⑥
；⑦
；⑧
；⑨
．
分析：分离常数法其核心是化简分子，在分子里面构造与分母相同的项，其本质是整数解问题；
解：①
2 已知
，则代数式
答案
解析 ∵ ∴ ∴
， ，
，
把 代入原式
的值为
．
． 标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：整体代入求值
3 已知
，
，则
．
答案 解析 原式
． 标注 式 > 分式 > 分式化简求值 > 题型：整体代入求值
例题3 1若
，则
的值是
．
答案
解析 ∵
；∴
即
∴
．
标注 式 > 整式的乘除 > 乘法公式 > 题型：利用完全平方公式计算
中考分式化简求值专题
中考分式化简求值专题题型一 化简求值专题1 确定值代入(8) 例：先化简，再求值：)1111(12---+÷-a a a a a ，其中x=﹣21. 分析：本题考查分式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．解：当x=﹣21时，原式=2121-1=+. 点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．1.2.先化简，再求值：2222441242x x x x x x x ，其中101()(3)2x -=+-.222(2)1=(2)(2)(2)22(2)(2)1(2)(2)211212x x x x x x xx x x x x x x x xx解：原式 当x=3时，原式=61.3..4.先化简，在求值：（﹣）-，其中a=2-． 解：原式=-=1-2-a . 当a=2-时，原式=2221-2-22-+=. 5.先化简，再求值：2222441242x x x x x x x --+÷++-，其中65x =-． 解：原式=6.7.先化简，再求值：﹣÷，其中x=2．（2）﹣÷===，当x=2时，原式=．8.先化简，再求值：2()y yx yx x y--+，其中2,3x y==解答：分式的混合运算222()()y y x y x x y x y y y x x yx y --+-=-++=()()x y y x x y -+222y xy y y xxy y xy xy x--=---==- 22,33 2x y y x===-=-当时原式专题2 选择适当值代入(8)例：先化简：1﹣÷，再选一个适当的数代入求值． 解：1﹣÷ =1﹣=1﹣==，当x=2时，原式=31． 1.先化简：（ +a ）÷，再选一个适当的数代入求值． 解：原式=×=×=当a=2时，原式=3．2．先化简：（x ﹣1﹣）÷，再选一个适当的数代入求值． 解：原式=•=•=x ﹣1，当x=3时，原式=2．3.先化简：﹣÷，再选一个适当的数代入求值． 解：原式=﹣÷ ====， 当a=时，原式=．4.先化简：22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，再选一个适当的数代入求值．解：原式=2212()(2)(2)4a a a a a a a --+-++- =242(2)4a a a a a -++- =212a a+. 当a =-3时,原式=31.5.先化简：÷（﹣1），再选一个适当的数代入求值．解：原式=÷=﹣•=﹣x+2，当x=3时，原式=-1．6.先化简：2221a a a a +++÷1(1)1a +-，再选一个适当的数代入求值． 原式aa a a a 1·)1()1(2-++= =11+-a a . 当a=-2时，原式=3．7.先化简：22()2111a a a a a ++÷+--，再选一个适当的数代入求值． 解：原式2(1)(2)13(1)(1)1a a a a a a a -++-==+-+． 当a=2时，原式=1．8.先化简：222222212a b a b a ab b a b -⋅÷-++-，再选一个适当的数代入求值． 原式=()()()22a b a b a b a b -+-+ ﹒（a ﹣b ）（a+b ）=2（a ﹣b ） 当a=1,b=0时，原式=2.专题3 锐角三角函数值代入(8)例：先化简，再求值：22221()11x x x x x x -+-÷+-，其中x=3tan30°﹣sin60°． 解：原式2(1)2(1)[]11(1)(1)x x x x x x x x +-=-÷+++-2(1)(1)(1)1(1)x x x x x x -+-=⋅+- x =.当x=23时，原式=23. 1. 2.3．先化简，再求值：÷﹣，其中x=4sin60°﹣2． 解：÷﹣ ===， 当x=4sin60°﹣2=4×=﹣2时，原式=．4.5.-tan45º6.x=tan60º-27.先化简，再求值：22282242x x x xx x x+-⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭，其中x=2sin60º.8.2cos45º.专题4 在指定范围内选择值代入(8)例：先化简：（+2﹣x ）÷，再从-2≤x ≤2范围内选择一个适当的整数代入求值． 解：原式=÷ =•=﹣，当x=-1时，原式=-1.1.先化简，再求值:165)121(2-+-÷--x x x x ，其中x 从0,1,2,3,四个数中适当选取.解：原式=2-165-1-1-3-2x x x x x x =+• 当x=0时，原式=21-．2.先化简，再求值：（﹣a+1）÷+﹣a ，并从﹣1，0，2中选一个合适的数作为a 的值代入求值．（2）（﹣a+1）÷+﹣a=====﹣a ﹣1，当a=0时，原式=﹣0﹣1=﹣1．3. 先化简，再求值：xx x x x x x x 1)2412(2222÷+-+-+-，且x 为满足23<<-x 的整数.4．先化简，再求值：233(1)11x x x x x x ---+÷++错误!未找到引用源。
中考分式化简求值问题含答案
中考中的分式的化简求值1.先化简：23x 4x 4x 1x 1x 1-+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，然后从﹣1≤x≤2中选一个合适的整数作为x 的值代入求值．【答案】解：原式=()()()()222x 2x 23x 1x 1x 1x 2x 1x 1x 2x 2x 2+--++++⋅=-⋅=-++---。
取x=0，原式=02102+-=-。
【考点】开放型，分式的化简求值。
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x 的值（使分式的分母和除式不为0）代入进行计算即可（答案不唯一）。
2.按要求化简：22a 3a 11a ++--．要求：见答题卡．=2a2a 3(a 1)(a 1)+--+-去括号 = ▲ ① =a 1(a 1)(a 1)-+-合并同类项 此处不填 = ▲ ②= ▲ ③= ▲ ④3.从三个代数式：2222a 2ab b 3a 3b a b -+--，，①②③中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a=6，b=3时该分式的值。
【答案】解：选②与③构造出分式：223a 3ba b--， 4.阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式422x x 3x 1--+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为2x 1-+，可设()()4222x x 3x 1x a b --+=-+++则()()()()422242242x x 3x 1x a b x ax x a b x a 1x a b --+=-+++=--+++=---++ ∵对应任意x ，上述等式均成立，∴a 11a b 3-=⎧⎨+=⎩，∴a=2，b=1。
∴()()()()222242222222x 1x 21x 1x 2x x 311x 2x 1x 1x 1x 1x 1-+++-++--+==+=++-+-+-+-+-+。
这样，分式422x x 3x 1--+-+被拆分成了一个整式2x 2+与一个分式21x 1-+的和． 解答：（1）将分式422x 6x 8x 1--+-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．（2）试说明422x 6x 8x 1--+-+的最小值为8．[来^&%源:中教网@~]【答案】解：（1）由分母为2x 1-+，可设()()4222x 6x 8x 1x a b --+=-+++，则()()()()422242242x 6x 8x 1x a b x ax x a b x a 1x a b --+=-+++=--+++=---++。
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（2）
m m3
6 m2 9
2 m3
其中x是
（3） 3a 6b 5a 6b 4a 5b 7a 8b ab ab ab ba
类型二设参数法
已知：
x yz 275
求 值：（1） x y
z
（2） x y z x
（3） x y z
z
已知： a b c d
bcd a
求值： a b c d abcd
类型三 与x+ 1 有关的化简求值
x
1、已知
x
1 x
3
，求
x2 x4 x2 1 的值？
2、已知
x2
x 7 3x 1
，求
x4
x2 x2
1
类型四 整体思想
1 、a b 3 ，求 ba
a2 ab b2 a2 4ab b2
的值。
2、 xy 1 ，求 2x 3xy 2 y 的值。
其中A,B为 常数，求4A-2B的值。
2.求 1 1 1
1
x2 x x2 3x 2 x2 5x 6 x2 7x 12
化简结果。
类型六倒数法
1.已知： ab 1 ab 3
bc 1 ac 1 bc 4 ac 5
求值：
abc
ab bc ac
2.已知： xy 1, yz 2, zx 3 xy yz zx
“丰收1号”小麦的试验田是一块边长为am （a>2）的正方形去掉一个边长为2的正方
形蓄水池余下的部分，”丰收2号“是一个
边长为（a-2）m的正方形，两块试验田的
小麦都收获了500kg的粮食，每平方米产量
高的比产量低多
kg?
2.计算：
2
x2 x
（1）
化简
(1
x
). 1
x
2
6x 9
1,2,3中选取的一个合适的数。
求x的值。
特殊法
已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz0), 求
2x2 3y2 6z2 x2 5y2 7y2
的值。
特殊法
如果a.b.c都是正数，且满足a+b+c=9,
1 1 1 10 ab cb ac 9
求值： a b c bc ac ab
针对练习
一化简求值
分式的化简和求值
宁晋六中：王勉枝
个人简历
王勉枝： 中学一级教师，数学教师。
工作经历： 1997-2009宁晋二中任教 2009-至今，宁晋六中工作. 曾获荣誉： 邢台市教坛新秀 宁晋县政府嘉奖 宁晋县优秀教师，等 现任：八年级八班班主任，
七八班数学教师
知识点回顾
1.分式的定义 2.与分式有关的条件 3.分式的基本性质 4.分式的约分 5.分式的通分 6.分式的四则运算与分式的乘方 7，分式方程及应用题
针对练习
5.已知： x y z 23 5
2x y 3z 2x
6.已知： x 1 3 x
求值： x2
x4 x2 1
求值：
分式的化简和求值类型
1.利用分式的基本运算法则化简分式 2.先化简，后求值 3.条件下的化简和求值 4.特殊法巧妙化简和求值
分式化简和求值的技巧和方法
1.设参数法 2.与x+1 有关的化简求值
x
3.整体思想求值 4.拆项变形和拆分变形 5.倒数法 6消元法
类型一 基本类型
1.期末试卷填空题
xy 3
x y 2xy
类型五：拆项变形和拆分变形
利用 A B 1 1 , 1 1 1
AB B A n(n 1) n n 1
1.已知
5x 4
：(x 1)(2x 1)
A x 1
B 2x 1
中A,B为
常数，求A,B的值。
变式：1 已知 3x2 7x 2 3 A B
(x 1)(x 1) x 1 x 1
1. x3 x2 1 x2 3x 1 x2 x x 1
2. 1 1 2x x 1 x 1 x2 1
3. x2 3x 6 x2 5x 2
x2 3x 2 x2 5x 6
4.
1
1
1
......
1
x(x 1) x 1)(x 2) (x 2)(x 3)
(x 9)(x 10)