线性代数矩阵相关练习题

向量组的线性相关性----习题课

如何正确理解线性相关（无关）的定义

判断下列命题是否正确。如果对，加以证明；如果错，举出反例。

(1)若有不全为0的数m λλλ,,,21 使

01111=+++++m m m m b b a a λλλλ

成立,则m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关.

解：错。原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλ

取m m m b e a b e a b e a -==-==-==,,,222111

其中m e e ,,1 为单位向量,则原式成立,

而m a a ,,1 ；m b b ,,1 均线性无关。

(2)若向量组m a a a ,,,21 是线性相关的,则其中每个向量都是其余向量的线性组合。 解 错。

反例1：设)0,,0,0,1(11 ==e a ，032====m a a a

满足m a a a ,,,21 线性相关, 但1a 不能由,,,2m a a 线性表示.

反例2：)0,0,1(1=a ，)0,0,12-=（a ，)1,0,0(3=a

(3) 如果向量组的一个线性组合等于零向量，那么该向量组线性相关。

解：不一定。因为任何一个向量组都有一个性质：

系数全为0的线性组合一定是零向量。

若还有系数不全为零的线性组合也是零向量，则线性相关；

否则线性无关。

(4)若a 能表示为m m a a a λλ++= 11

则向量组a a a m ,,,1 线性相关.

解：正确。

(7) 若有一组不全为0的数m λλλ,,,21 使

0αλαλm m 11≠++ 成立,则m a a ,,1 线性无关.

解：错。任何一组数满足上式才行。

(6) 若021====m λλλ 时，有

0αλαλm m 11=++ 成立,则m a a ,,1 线性无关.

解：错。将“若…… ”改为“只有……”，结论才正确。

反例：)0,0,1(1=a ，)0,1,02（=a ，)0,1,1(3=a ，线性相关；

)0,0,1(b 1=，)0,1,0b 2（=，)1,0,0(b 3=，线性无关。

（5）若向量b 不能由向量组m a a ,,1 线性表出，

则向量组b,m a a ,,1 线性无关。

解：不一定。

反例1：)0,0,0(1=a ，)1,1,12（=a ，)0,0,1(b =，线性相关；

反例2：)0,1,0(1=a ，)1,1,12（=

a ，)0,0,1(

b =，线性无关。 正确命题为：如果m a a ,,1 线性无关，

且向量b 不能由向量组m a a ,,1 线性表出，

则向量组b,m a a ,,1 线性无关。

其逆否命题为：设m a a ,,1 线性无关，

而向量组b,m a a ,,1 线性相关，则

B 可由m a a ,,1 线性表出，且表示法唯一。

（8）若零向量只能用唯一的方式表示成向量组m a a ,,1 的线性组合，

则m a a ,,1 线性无关。

解：正确。

（9）若只有当m λλλ,,,21 全为0时,等式

01111=+++++m m m m b b a a λλλλ

才能成立,则m a a ,,1 线性无关, m b b ,,1 亦线性无关.

解：由01111=+++++m m m m b b a a λλλλ (仅当01===m λλ ) m m b a b a b a +++⇒,,,2211 线性无关，但若

取021====m a a a

取m b b ,,1 为线性无关组

满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21 线性无关的.

(10)若m a a ,,1 线性相关, m b b ,,1 亦线性相关,

则有不全为0的数, m λλλ,,,21 使

0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλ

同时成立.

解： T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2=

⎪⎭

⎪⎬⎫-=⇒=+-=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.

如何证明两向量组等价

1. 根据等价的定义证之。

例1：向量组与其最大无关组等价。

例2：两等价的向量组中分别任取一个最大无关组，证明这两个最大无关组等价。 例3：设向量b 可由向量组r 1,,a a 线性表出，但b 不能由向量组1r 1,,-a a 线性表出，试证 向量组（I ）r 1,,a a 与向量组（II ）b ,,1r 1，-a a 等价。

2. 对于具体两向量组，可利用初等变换，证明它们等价。

方法：先对（I ，II ）进行初等行变换，将I 化为等价标准形，看II 是否能被I 表示； 再地（II ，I ）进行初等行变换，将II 化为标准形，看I 是否能被II 表示。

如何证明向量组相关（或无关）

1．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组

4321,,,b b b b 线性相关.

证明 设有4321,,,x x x x 使得

044332211=+++b x b x b x b x 则

0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x

0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x

(1) 若4321,,,a a a a 线性相关, 则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,

411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;

由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相关.

(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+000043

322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒x x x x 由01

1000

11000111

001=知此齐次方程存在非零解 则4321,,,b b b b 线性相关.

综合得证.

2．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组

r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.

证明 设02211=+++r r b k b k b k ，则

++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k 因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故