数学分析(3)试卷及答案汇总(新)
数学分析试卷及答案6套
f ( x1 ) f ( x2 ) .
g ( x) ,x 0 九. (12 分)设 f ( x) x 且 g (0) g (0) 0 , g (0) 3 , 求 f (0) . 0, x 0
答案参见我的新浪博客：/s/blog_3fb788630100muda.html
lim
h 0
1 h
x
a
[ f (t h) f (t )] dt f ( x) f (a).
六 (10 分 ) 求椭圆区域 R : (a1 x b1 y c1 ) 2 (a2 x b2 y c2 ) 2 1 (a1b2 a2b1 0) 的 面积 A . 七 (10 分) 设 F (t ) f ( x 2 y 2 z 2 ) dx dy dz ，其中 V : x 2 y 2 z 2 t 2 (t 0) ，
四. (12 分)证明函数 f ( x)
五. (12 分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10 分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12 分)确定 a, b 使 lim ( x 2 x 1 ax b) 0 .
x
1 5 八. (14 分)求函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 在 [ , ] 的最大值与最小值. 4 2
x x0
x x0
1 1 . f ( x) b
三. (10 分)设 an 0 ,且 lim
an l 1 , 证明 lim an 0 . n n a n 1
四. (10 分 ) 证 明 函 数 f ( x) 在 开 区 间 ( a, b) 一 致 连 续 f ( x) 在 ( a, b) 连 续 , 且
燕山大学数学分析(3)试卷1答案
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4、已知42sin()()x xy F x dy y=⎰，则=)('x F 54sin sin 2x x x -5、方程0)sin(2=++xy y x 在（0，0）点的某邻域内_能_____（填能、不能或不一定）确定隐函数)(y g x =.6、函数),(y x f 在点),(000y x P 的某邻域内具有二阶的连续偏导数，则f 在0P 取极值的必要条件是0),(),(0000==y x f y x f y x ；充分条件是0000000000()()(,)(,)0,0,(,)0()()xx xy x y xx xy yy f P f P f x y f x y D f x y f P f P ===>≠7、改变积分次序，22212(,)x x xdx f x y dy --=⎰⎰211102(,)y ydy f x y dx +--⎰⎰8、l 是以(0,0)O ，(1,0)A , (0,1)B 为顶点的三角形，计算()lx y ds +=⎰12+二、（每题5分，共20分）1、解：12u f f x ∂=+∂， 2111221222u f f f f x ∂=+++∂，211122122uf f f f x y∂=-+-∂∂． 装订线装 订 线 内 不 要 答 题学 号姓 名班 级2、解：两边取对数，有)1ln(ln xy x z +=，于是z -1xy xy xy x z +++=∂∂1)1ln(，21z x z y xy ∂=∂+ ，故dy xy x dx xy xy xy dz ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=11)1ln(23、解：方程两边关于x 求偏导得，1z zyz xyx x∂∂+=+∂∂，于是， 11z yz x xy ∂-=∂-，22(1)z x y z xyzx y xy ∂-++=∂∂- 4、答案：2y P x =，1Q x =-，21Q P x y x ∂∂==∂∂，积分和路径无关。
三年级数学试卷分析与改进【含答案】
三年级数学试卷分析与改进【含答案】专业课原理概述部分一、选择题1. 下列哪个不是数学分析的基本概念？( )A. 极限B. 微分C. 积分D. 对数2. 三角函数中，正弦函数的图像是( )。
A. 振荡上升B. 振荡下降C. 逐渐上升D. 逐渐下降3. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处的左导数和右导数( )。
A. 一定相等B. 一定不相等C. 只有在f(x)连续时才相等D. 只有在f(x)单调时才相等4. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在(a, b)内可导，则至少存在一点ξ∈(a, b)，使得( )。
A. f'(ξ) = 0B. f(ξ) = 0C. f'(ξ) = (b a)D. f'(ξ) = (f(b) f(a))/(b a)5. 下列哪个不是线性方程组的解法？( )A. 高斯消元法B. 克莱姆法则C. 置换法D. 对角线法二、判断题1. 数列的极限存在的充分必要条件是数列单调有界。
( )2. 一元函数的极值点必定是导数为零的点。
( )3. 二重积分可以转化为二次积分进行计算。
( )4. 线性方程组的解法只有高斯消元法。
( )5. 若函数在闭区间上连续，则该函数在该区间上一定存在最大值和最小值。
( )三、填空题1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处的导数定义为______。
2. 数列{an}收敛于a的充分必要条件是对于任意给定的正数______，总存在正整数______，使得当n>N时，都有|an-a|<ε。
3. 微积分基本定理表明，若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且在(a, b)内可导，则f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为______。
4. 线性方程组的解法有高斯消元法、克莱姆法则、______等。
5. 若函数在闭区间上连续，则该函数在该区间上一定存在______和______。
四、简答题1. 请简要说明极限的定义。
数学分析试题及答案
（二十一）数学分析期终考试题一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集2 函数项级数的逐项求导定理3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分）1、⎰-9131dx x x2、求)0()(222b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积3、求幂级数n n n x n ∑∞=+12)11(的收敛半径和收敛域4、11lim 22220-+++→→y x y x y x5、22),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、已知⎪⎩⎪⎨⎧==≠+++=0,0001sin )(),(222222y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微2、讨论级数∑∞=-+12211ln n n n 的敛散性。
3、讨论函数项级数]1,1[)1(11-∈+-∑∞=+x n x n x n n n 的一致收敛性。
四 证明题：（每小题10分，共20分）1 若⎰+∞adx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞→x f x2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ⊂内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件：''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。
参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。
2 设函数项级数∑∞=1)(n n x u 满足（1）),2,1)(( =n x u n 在[a ，b]连续可导a)∑∞=1)(n nx u在[a ，b]点态收敛于)(x Sb)∑∞=1')(n x un在[a ，b]一致收敛于)(x σ则)(x S =∑∞=1)(n n x u 在[a ，b] 可导，且∑∑∞=∞==11)()(n n n n x u dxdx u dx d3、有界函数)(x f 在[a ，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当0)(max 1→∆=≤≤i ni x λ时Darboux 大和与Darboux 小和的极限相等二、1、令31x t -=（2分）7468)1(31233913-=--=-⎰⎰-dt t t dx x x （5分） 2、222221,x a b y x a b y --=-+=，（2分）所求的体积为：b a dx y y aa 2222212)(ππ=-⎰-（5分） 3、解：由于e n n n n n n nn 1])111(1))111()11(lim[(11=++⨯+++++∞→收敛半径为e 1(4分），当e x 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e n n n n ，所以收敛域为)1,1(ee - (3分）4、2)11(lim )11)(11()11)((lim11lim2200222222220222200=+++=+++-++++++=-+++→→→→→→y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x （7分）5、解： 设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(-=-=-=-z y x f f f （4分）136)2,1,2(=-l f （3分）三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+=000)1c o s 11(s i n 22222222222y x y x yx y x y x x f x （4分）由于22221c o s 1yx y x ++当趋于（0，0）无极限。
本科数学分析试题及答案
本科数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)在点x=a处连续B. f(x)在点x=a处不可导C. f(x)在点x=a处不连续D. f(x)在点x=a处的导数为0答案：A2. 设f(x)是定义在实数集上的函数，若f'(x)存在，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)是单调函数B. f(x)在任意点处都有定义C. f(x)在任意点处都可导D. f(x)是周期函数答案：B3. 若函数f(x)在区间(a, b)内连续，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)在区间(a, b)内一定有最大值和最小值B. f(x)在区间(a, b)内一定有唯一的最大值和最小值C. f(x)在区间(a, b)内不一定有最大值和最小值D. f(x)在区间(a, b)内的最大值和最小值一定在区间端点处取得答案：C4. 若函数f(x)在区间[a, b]上可积，则以下哪个选项是正确的？A. f(x)在区间[a, b]上一定连续B. f(x)在区间[a, b]上一定有界C. f(x)在区间[a, b]上一定单调D. f(x)在区间[a, b]上一定有界且连续答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在区间(a, b)内连续，且f(a)=f(b)，则根据罗尔定理，存在至少一个点c∈(a, b)，使得f'(c)______。
答案：=02. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在点x=a处的导数定义为______。
答案：lim (x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)3. 设f(x)在区间[a, b]上连续，则根据微积分基本定理，∫[a, b]f(x) dx = F(b) - F(a)，其中F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x)______。
答案：=f(x)4. 若函数f(x)在区间[a, b]上可积，则∫[a, b] f(x) dx表示的是函数f(x)在区间[a, b]上与x轴所围成的区域的______。
数学分析3考试题及答案
数学分析3考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. ∞3. 以下哪个级数是收敛的：A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 2 + 3 + 4 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...4. 函数f(x)=x^3-3x在区间(-∞,+∞)上：A. 有唯一极值点B. 有两个极值点C. 有三个极值点D. 没有极值点5. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 26. 函数f(x)=|x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导7. 函数f(x)=x^2+2x+1的不定积分是：A. (x^3+x^2)/3 + CB. (x^3+x^2+2x)/3 + CC. (x^3+x^2+2x+1)/3 + CD. (x^3+x^2+x)/3 + C8. 以下哪个函数是周期函数：A. f(x)=x^2B. f(x)=sin(x)C. f(x)=e^xD. f(x)=ln(x)9. 函数f(x)=x^3在x=1处的泰勒展开式是：A. 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + (x-1)^3B. 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2C. 1 + 3(x-1) + (x-1)^3D. 1 + 3(x-1) + 3(x-1)^2 + 6(x-1)^310. 函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3在x=1处的导数值为______。
2. 函数f(x)=sin(x)在x=π/2处的二阶导数值为______。
数学分析(3)期中试卷
x 1
.
6
(1)设 M ( x0 , y0 ) 为区域 D 上的一点，问 h( x, y ) 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的 最大值为 g ( x0 , y0 ) ，试写出 g ( x0 , y0 ) 表达式. (2)现欲利用此小山开展攀岩活动， 为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点.也就是说， 要在 D 的边界线 x y xy 75 上找出使(1)中的 g ( x, y ) 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
2 z xy
2
五、 （8 分）设 w f ( x, y , z ) ， f ( x, y , z ) 具有二阶连续偏导数， z z ( x , y ) 由方程 z 5 xy 5 z 1 所确定。求
5
w 2 w ， 2 x x
六、（ 8 分 ） 设 N 是 曲 面 z x
2 2
4
九、 （8 分）设椭圆 x 3 y 12 的内接等腰三角形之底边平行于椭圆长轴，应用多元微分方法求其最大面积。
2
2
十、 （8 分）已知 x, y , z 为实数且 e y | z | 3 ，应用多元微分方法证明下列不等式
x
2
ex y 2 | z | 1
5
十一、 （8 分）应用含参积分理论计算积分
z 二、（10 分）已知函数 f ( x, y , z ) ( ) ，求 grad f (1,1,1) 与 d f (1,1,1)
x y
1
1
三、 （8 分）已知
x y ( ) ，其中 为可微函数，试计算 z z
x
z z y x y
四、 （8 分）设 z f (2 x y , y sin x ) ，其中 f (u , v ) 具有连续的二阶偏导数，求
《数学分析III》期末考试卷3 参考答案
红河学院XXXX —XXXX 学年秋季学期《数学分析III 》期末考试卷3参考答案及评分标准一、填空题（每小题3分，共30分）1、ln 22、2dz dx dy =+3、1221x f f y z''-+ 4、1、113123x y z -+-==- 6、1、(1)s s + 8、11(,)xdx f x y dy ⎰⎰ 9、r 10、34R π二、判断题（在正确的命题后的括号内打“○”，错误的命题后的括号内打“×”每小题2分，共10分）题号 12345答案× × ○ ○ ×三、计算题（每小题10分，共60分）1、讨论函数222222(0(,)00x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在原点(0,0)处的连续性，计算(0,0)x f 和(0,0)y f .解 首先考虑(,)(0,0)lim(,)x y f x y →，引入变换cos x r θ=，cos y r θ=， ………………（2分）则(,)(0,0)x y →等价于对任意θ，0r →. 因此，222(,)(0,0)(,)(0,0)1lim (,)lim ()sinlim sin x y x y r f x y x y r r →→→=+=201lim sin0r r r→==. ………………（5分） 由此可见，(,)(0,0)lim(,)(0,0)x y f x y f →=，所以该函数在(0,0)连续. …（6分）由偏导数的定义，200(,0)(0,0)(0,0)lim limx x x f x f f x∆→∆→∆-==∆()01lim sin0x x x∆→=∆=∆ ………………（8分）20(0,)(0,0)(0,0)limlim y y y f y f f y∆→∆→∆-==∆()01lim sin0y y y∆→=∆=∆ ………………（10分） 2、设,y z f x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.解 记u x y =+，y v x =，1f f u ∂'=∂，2ff v∂'=∂， 则由复合函数链式法则，122z z u z v yf f x u x v x x∂∂∂∂∂''=+=-∂∂∂∂∂. …………………（3分） 再记2112f f u∂''=∂，212f f u v ∂''=∂∂，2222f f v ∂''=∂，…… 2122z z y f f x y y x y x ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫''==- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭…………………（5分） 11222221f f f f u v y u v f u y v y x u y v y x ⎛⎫''''∂∂∂∂∂∂∂∂'=+-+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭……………（7分）11122122222111y f f f f f x x x x⎛⎫'''''=+-+- ⎪⎝⎭ …………………（9分）11122222321x y y f f f f x x x -''''=+-- …………………（10分）3、制作一个无盖的长方形水箱，已知底部的造价为每平方米30元，侧面造价为每平方米10元，现用360元制作水箱，问如何设计水箱才能使其体积最大.解 设水箱的长、宽、高分别为x ，y ，z 米，则该问题为求水箱体积V xyz=在限制条件3020()360xy x y z ++=（即32()360xy x y z ++-=）的最大值. …………………（3分）构造Lagrange 函数(,,,)(32()36)f x y z xyz xy x y z λλ=+++-. …（5分）下面求(,,,)f x y z λ的稳定点，由方程组(32)0(32)0(22)032()360x yz f yz y z f xz x z f xy x y f xy x y z λλλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=++-=⎩得2x y ==，3z =………（8分）由实际问题可知，存在使体积V 达到最大的制作方式，又由稳定点是唯一的，故该稳定点必是所求的最大值点，即用360元制作的最大体积水箱的长、宽、高分别为2、2、3米，最大体积为12立方米. ………（10分）4、计算第二型曲线积分2()LI xydx x y dy x dz =+-+⎰其中，L 是螺旋线：cos x a t =，sin y a t =，z bt =从0t =到π的一段.解 由第二型曲线积分的计算公式，32222220(cos sin cos sin cos cos )I a t t a t a t t a b t dt π=-+-+⎰……（5分）3322201111sin sin (1)sin 23222a t a t a b t t π⎡⎤⎛⎫=--+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……（8分）21(1)2a b π=+ …………………（10分）5、利用极坐标变换计算二重积分D⎰⎰，其中D 为圆周221x y +=与224x y +=所包围的区域在第一象限的部分.解 引入极坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， ………………（2分）则在极坐标系下，区域D 可表示为{(,)0,12}2r r πθθ∆=≤≤≤≤. ……（4分）于是，2sin Dr rdrd θθ∆=⋅⎰⎰⎰⎰ ……………（6分） /22301sin d r dr πθθ=⎰⎰ ……………（8分）154=…………（10分） 6、求由球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围成的区域Ω的体积. 解 设所求区域的体积为V ，则V dxdydzΩ=⎰⎰⎰. …………………（2分）引入柱面坐标变换cos x r θ=， sin y r θ=， z z =，则球面方程变为 224r z +=，抛物面方程变为23r z =. …………………（4分）由方程组22243r z r z⎧+=⎨=⎩，消去z 得Ω在xy 平面上的投影区域D 的边界曲线方程r =0z =. …………（5分）于是，Ω在柱面坐标下可表示为2{(,,)02,3r r z r z θθπ≤≤≤≤≤≤， ………………（7分）所以，22220/3)3r r V dxdydz d d rdr ππθθΩ===⎰⎰⎰⎰⎰2192)36r rdr ππ==………………（10分）。
数学分析竞赛试题及答案
数学分析竞赛试题及答案试题一：极限计算计算下列极限：\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]试题二：级数收敛性判断判断下列级数是否收敛：\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \]试题三：函数连续性与可导性若函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，判断其在 \(x=1\) 处的连续性与可导性。
试题四：中值定理应用若函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，且 \(f(a) = f(b)\)，证明在 \((a, b)\) 内至少存在一点 \(c\)，使得 \(f'(c) = 0\)。
试题五：积分计算计算下列定积分：\[ \int_{0}^{1} x^2 dx \]答案：试题一：根据极限的定义，我们知道当 \(x\) 趋近于 0 时，\(\sin x\) 与 \(x\) 是等价无穷小，所以极限为 1。
试题二：根据级数的比较判别法，由于 \(\frac{1}{n^2}\) 与\(\frac{1}{n(n+1)}\) 比较，后者的级数是收敛的，因此原级数也收敛。
试题三：函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\) 在 \(x=1\) 处的导数为\(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)，代入 \(x=1\) 可得 \(f'(1) = -1\)。
由于 \(f(x)\) 在 \(x=1\) 处的左导数和右导数都存在且相等，所以\(f(x)\) 在 \(x=1\) 处连续且可导。
试题四：根据罗尔定理，由于 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，且 \(f(a) = f(b)\)，所以必然存在至少一点 \(c \in (a, b)\) 使得 \(f'(c) = 0\)。
(完整版)数学分析试题及答案解析,推荐文档
∑⎰ ⎰ ⎰ 2014 ---2015 学年度第二学期《数学分析 2》A 试卷一. 判断题（每小题 3 分，共 21 分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若 f (x )在[a ,b ]连续，则 f (x )在[a ,b ]上的不定积分⎰ f (x )dx 可表为x f(t )dt + C （ ）.a2.若 f (x ), g (x )为连续函数，则⎰ f (x )g (x )dx = [⎰f (x )dx ]⋅ [⎰g (x )dx （）.+∞+∞3.若 f (x )dx 绝对收敛， ⎰ g (x )dx 条件收敛，则aa+∞[ f(x )- g (x )]dx 必然条件收敛（）.a+∞ 4. 若f (x )dx 收敛，则必有级数∑ f (n )收敛（ ）1n =15. 若{f n }与{g n }均在区间 I 上内闭一致收敛，则{f n + g n }也在区间 I上内闭一致收敛（ ）.∞6. 若数项级数 a n 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散n =1于正无穷大（ ）.7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1. 若 f(x )在[a ,b ]上可积，则下限函数af (x )dx 在[a ,b ]上（）xA. 不连续B. 连续C.可微D.不能确定⎰ ⎰∞⎰ ⎰ ⎰ ⎰ ∑ 2. 若 g (x )在[a ,b ]上可积，而 f (x )在[a ,b ]上仅有有限个点处与 g (x )不相等，则（ ）A. f (x )在[a ,b ]上一定不可积；B. f (x )在[a , b ]上一定可积,但是bf (x )dx ≠ bg (x )dx ；aaC. f (x )在[a , b ]上一定可积，并且 b f (x )dx = bg (x )dx ；aaD. f (x )在[a ,b ]上的可积性不能确定.∞3. 级数 n =11 + (- 1)n -1 n n2 A. 发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4. 设∑u n 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ）A. 若lim u n →∞= 0 ，则级数∑u n一定收敛；B. 若lim un +1 = < 1，则级数∑u 一定收敛；n →∞ u nC. 若∃ N ,千D. 若∃ N ,千 n > N 千千n > N 千千千u n +1 n< 1，则级数∑u n 一定收敛； u n> 1，则级数∑u n 一定发散；5. 关于幂级数∑ a n x n 的说法正确的是（）A. ∑ a n x n 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. ∑ a n x n 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. ∑ a n x n 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；千 u n +1u n nx ⎰⎰ D. ∑ a n x n 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题 5 分，共 10 分） 1. lim 1n (n + 1)(n + 2) (n + n ) n →∞ n2. ln (sin x )dx cos 2 x四. 判断敛散性（每小题 5 分，共 15 分）1. dx 01 + + x 2∞∑2. ∑ n ! n =1 n n∞ 3. n =1(- 1)nn 2n1 + 2n五. 判别在数集 D 上的一致收敛性（每小题 5 分，共 10 分）1. f n(x )= sin nx n, n =1,2 , D = (- ∞,+∞)∑2. n D xn= (- ∞, - 2]⋃[2, + ∞)六．已知一圆柱体的的半径为 R ，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面300 角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。
大一工科数学分析试卷及答案
大一工科数学分析试卷及答案大一工科数学分析试卷考试形式闭卷答题时间：120 （分钟）本卷面成绩占课程成绩80 %一、填空题（每题3分，共30分）1．=+∞→nnnx n 42lim 22．=+-∞→xx x 1)21(lim3．设?>+≤=00)(22x x x x x x f ，则=-)(x f4．摆线??-=-=ty t t x cos 1sin 在2π=t 处的法线方称为5．函数x x f arctan )(=按马克老林公式展开到)(12+n x ο的表达式为： 6．若??x t dt t f dt e 11)(32，则=)(x f7．若?++=c x dx x f 2cos sin )(（其中c 时任意常数），则 =)(x f8．?-=-+112)1cos (dx x x x9．设)100()2)(1()(---=x x x x f ，则=')1(f姓名: 班级：学号：遵守考试纪律注意行为规范10．若-ba xb dxα)(收敛（其中0>α），则α的取值范围是二、试解答下列各题：（每题5分，共50分）1．求极限)2122321(lim 2nn n -+++∞2．已知0)11(lim 2=--++∞→b ax x x x ，求b a ,。
遵守考试纪律注意行为规范3．设1lim )()1()1(2+++=--∞→x n x m n e bax e x x f ，求b a ,使)(x f 可导。
4．求由等式0333=-+xy y x 确定的)(x f y =在0>x 范围内的极限点。
5．设ttte y e x ==-,，求22,dx y d dx dy 。
6．求曲线)1ln()(2++=x x x f 在1=x 时的曲率。
7．计算不定积分?-dx e x11。
8．计算定积分?20xdx x 。
9．设?<+≥+=011011)(x e x xx f x，求-2)1(dx x f 。
数学分析课本华师大三版习题及答案第三章
第三章 函数极限一、填空题 1．若[]2)(1ln lim20=+→x x f x ，则=→20)(lim xx f x _________ 2．=--+-→x xe e x x x x x 340sin 21sin lim _______________ 3．设xx x x f ⎪⎭⎫⎝⎛+-=11)(，则=+∞→)1(lim x f x ____________4．已知⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=2,12,02,1)(x x x x x x f ，1)(+=x e x g ，[]=→)(lim 0x g f x ________5．()x x x x ln cos arctan lim -+∞→=_________________6．[]=→xx x tan )sin(sin sin lim0_____________ 7．________24tan lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n x π 8．________ln 1ln ln lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x x x 9．)1ln(lim 2cos 0x x e e xx x x +-→=__________10．=⋅+-∞→x xx x x cos 1sin 21lim22_________ 11．=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20_________12．310)(1lim e x x fx xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→20)(1lim x x f x =_______ 13．()=+++→)1ln(cos 11cossin 3lim20x x x x x x ___________ 二、选择填空1．=-→ttt cos 1lim( )A.0B.1C.2D.不存在2．函数xx x f 1cos 1)(=，在0=x 点的任何邻域内都是( ) A.有界的 B.无界的 C.单增 D.单减 3．已知()25lim 2=++-+∞→c yx ax x ，则必有( )A.20,25-==b a B. 25==b a C.0,25=-=b a D.2,1==b a4．设nn n x n x f ⎪⎭⎫⎝⎛-+=+∞→2lim )1(，则=)(x f ( )A.1-x eB.2+x eC.1+x eD.xe-5．若22lim 222=--++→x x bax x x ，则必有( )A.8,2==b aB.5,2==b aC. 8,0-==b aD. 8,2-==b a6．0)(6sin lim30=+→x x xf x x ，则=+→20)(6lim xx f x ( ) A. 0 B.6 C.36 D.∞7．设对任意x 点有)()()(x g x p x ≤≤ϕ，且[]0)()(lim =-∞→x x g x ϕ，则=∞→)(lim x f x ( )A.存在且一定为0B.存在且一定不为0C.一定不存在D.不一定存在 8．当0→x 时，变量x x1sin 12是( ) A.无穷小 B.无穷大C.有界，但不是无穷小D.无界的，但不是无穷大9．=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→π21sin 1])1(1[lim n n n n( )A.πe B.π1e C.1 D.π2e10.=--→xx x xx x tan )(arctan 1lim 220( )A.0B.1C.21 D.21-11.x x x g dt t x f xsin )(,tan )(sin 02-==⎰,则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( )A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小三、计算题1.求下列极限：(1))x x cos x (sin 2lim 22x --π→； (2)1x x 21x lim 220x ---→；(3)1x x 21x lim 221x ---→； (4)3230x x 2x )x 31()1x (lim +-+-→； (5)1x 1x lim m n 1x --→，(n ，m 为自然数)；(6)2x 3x 21lim4x --+→;(7))0a (,xax a lim 20x >-+→；(8)xx cos x limx -∞→； (9)4x xsin x lim 2x -∞→ ；(10).)1x 5()5x 8()6x 3(lim 902070x --+∞→ 2．设,0a ,b x b x b x b a x a x a x a )x (f 0n1n 1n 1n 0m 1m 1m 1m 0≠++++++++=---- 0b 0≠，m ≤n ，试求).x (f lim x ∞→ 3．求下列极限(其中n 为自然数)： (1)20x x 11x xlim+→； (2)20x x11x x lim ++→； (3)1x nx x x lim n 21x --+++→ ；(4)x1x 1limnx -+→;(5)⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x 1lim 0x ; (6)[]x x 1lim x +∞→.4．求下列函数在0x =处的左右极限或极限。
《数学分析》第三版全册课后答案 (1)
4、一阶微分方程 (3x 4 xy)dx 2 x dy 0 的通解（可以用隐函数表达）为 5、设二阶可微函数 f ( x, y) 满足 .
专业：
2 f 2 f 2 f y , x y , x, 则 f ( x, y) 的表达形式为 x 2 xy y 2
得分
评阅人
（2） f ( x, y) 在 (0, 0) 点的可微性.
2、 （本题 7 分）设函数 f ( x ) 在0, 上有界且连续， f (0) 0, 讨论函数
F ( y)
0
yf ( x) dx 的连续性. x2 y 2
得分
评阅人
三、计算题 II（共 4 小题，共 40 分）
第 2 页(共
3 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
1、 （本题 10 分）设定义在 (0, ) 上的函数 f 满足下列三个条件： （1） x 0, f ( x) 0, f (1) 1; （2） f ( x 1) xf ( x), x 0; （3） ln f 是 (0, ) 上的凸函数. 证明： （1） f ( x) lim
n x n! ； n x( x 1) ( x n)
（2）验证欧拉积分 ( x) 也满足题述的三个条件，并由此证明 f ( x) ( x).
2 2、 （本题 10 分）设 u ( x, y ) 在 R 上连续，对任意 r 0 ，证明：等式
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第三学期试题
（三十二）数学分析试题（二年级第一学期）一 叙述题（每小题10分，共30分）1 叙述含参变量反常积分⎰+∞adx y x f ),(一致收敛的Cauchy 收敛原理。
2 叙述Green 公式的内容及意义。
3 叙述n 重积分的概念。
二 计算题（每小题10分，共50分）1．计算积分⎰+-=C yx ydx xdy I 2243，其中C 为椭圆13222=+y x ，沿逆时针方向。
2．已知 ),,(y z xz f z -= 其中),(v u f 存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求z 关于y x ,的二阶偏导数。
3．求椭球体1222222=++cz b y a x 的体积。
4．若l 为右半单位圆周，求⎰lds y ||。
5．计算含参变量积分⎰+-=π2)cos 21ln( )(dx a x a a I (1<a )的值。
三 讨论题（每小题10分，共20分）1 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。
试讨论积分⎰∞++=0221xa adxI 在每一个固定的a 处的一致收敛性。
2 讨论函数dx yx x yf y F ⎰+=122)()(的连续性，其中)(x f 在]1,0[上是正的连续函数。
数学分析试题（二年级第一学期）答案1一 叙述题（每小题10分，共30分）1 含参变量反常积分⎰+∞adx y x f ),(关于y 在],[d c 上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的0>ε， 存在与y 无关的正数0A ， 使得对于任意的0,A A A >'，],[ ,),(d c y dx y x f A A∈<⎰'ε成立。
2 Green 公式：设D 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。
如果函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有连续偏导数，那么⎰⎰∂∂∂-∂∂=+DDdxdy xPx Q Qdy Pdx )(，其中D ∂取正向，即诱导正向。
《数学分析III》期末试卷+参考答案
《数学分析（III ）》试题2005.1一．在球面上找点，满足，，，使得该球面在点处的切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小。
1222=++z y x ),,(0000z y x P 00>x 00>y 00>z 0P二．求球面（）被平面2222a z y x =++0>a 4a z =与2az =所夹部分的面积。
三．计算二重积分()∫∫+Ddxdy x y x 24，其中是由D x 轴，直线x y =以及曲线1=+y x ，2=+y x 所围成的平面闭区域。
四．计算三重积分∫∫∫，其中。
Ωdxdydz e z ||}1|),,({222≤++=Ωz y x z y x五． 计算曲线积分∫+Lds z y 222，其中L 是球面（）与平面2222a z y x =++0>a y x =相交而成的圆周。
六．计算曲面积分，其中∫∫Σ++dxdy z dzdx y dydz x 222Σ为锥面在平面与（）之间的部分，定向为下侧。
222z y x =+0=z h z =0>h七．设是右半平面j i λλ)()(2),(24224y x x y x xy y x A +−+=}0|),({>=x y x D 上的向量场，试确定常数λ，使得为上函数的梯度场，并求出。
),(y x A D ),(y x u ),(y x u八．将|（sin |)(x x f =ππ≤≤−x ）展开为Fourier 级数，并分别求级数∑∞=−12141n n ，()∑∞=−122141n n的和。
九．设∫∞++=12)1(cos )(dt t t xtx f ，),(∞+−∞∈x 。
（1）证明积分∫∞++12)1(cos dt t t xt关于x 在),(∞+−∞上一致收敛； （2）证明；0)(lim =+∞→x f x （3）证明在上一致连续。
)(x f ),(∞+−∞《数学分析（III ）》试题答案2005.1一．（本题满分10分）33000===z y x 。
国开（中央电大）本科《数学分析专题研究》网上形考（任务1至3）试题及答案
国开（中央电大）本科《数学分析专题研究》网上形考（任务1至3）试题及答案国开(中央电大)本科《数学分析专题研究》网上形考(任务1至3)试题及答案形考任务1试题及答案题目1：，，是三个集合，若，则有()成立。
[答案]题目2：，则()。
[答案]题目3：与自然数集N等势的集合称之为()。
[答案]可列集题目4：设是从到的映射，则下列说法正确的是()。
[答案]题目5：设，是两个集合且，则()。
[答案]=题目6：设是中的关系，若，则称为()。
[答案]反对称的题目7：设是一集合，对于，规定，则是一()。
[答案]半序集题目8：若集合，则()。
[答案]题目9：对整数加法来说，整数集中()。
[答案]零元和负元素都存在题目10：对于复数集，下列说法正确的是()。
[答案]它不能成为有序域题目11：1.设是中的关系，若是_______，对称的，传递的，则称是等价关系。
[答案]反身的 2.设是非空的实数集，若存在实数，满足1)，有；2)_______，则称是数集的下确界。
[答案]3.一个集合若不能与_______建立一个双射，则称该集合为有限集。
[答案]其任一真子集 4.若集合上的运算满足_______，则的左零元就是的右零元，也就是的零元。
[答案]交换律 5.对于半序集合的元素，若_______，则称为的极大元。
[答案]任意的都不成立 6.既约分数可以化成有限小数当且仅当只含有_______的因数。
[答案]2与57._______。
[答案]8.设是非空有界实数集，令，则_______。
[答案]9.在自然数集中，能进行减法运算当且仅当被减数_______减数。
[答案]>10.若数列单调增加且有________，则数列收敛。
[答案]上界题目12：设集合A={1，2，3456.7，8}，关系D4为整除关系(1)写出集合A中的最大元，最小元，极大元，极小元;(2)写出A的子集B={12，4}的上界、下界、最小上界和最大下界。
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数学分析(3)期末试卷2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________考试注意事项：1.考试时间：120分钟。
2.试卷含三大题，共100分。
3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！4.遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分)1、 设z x u ytan =，则全微分=u d __________________________。
2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。
3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。
4、 设F 。
5、 设L 。
6、 在。
7、 设S 。
1、2、 设),(2xy y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。
3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
4、 求x x x e x xd sin e2⎰∞+---。
提示：C bx b bx a ba e x bx e ax ax+-+=⎰)cos sin (d sin 22。
5、6、 求曲面2222≤++z y x 与22y x z +≥所围成的立体体积。
7、 计算y x z x z y z y x Sd d d d d d 333++⎰⎰，其中S 是球面2222R z y x =++)0(>R 的上半部分)0(≥z 的外侧。
三、证明题（每题10分，共20分）1、 试证：函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0 ,0,0,),(2222222y x y x y x xy y x f 在原点)0,0(连续且偏导数存在，但在原点不可微，并且),(y x f x 和),(y x f y 在原点不连续。
2、 试证3222=++z y x 和1=++z y x 的交线在点)1,1,1(0-P 的邻域内能用一对方程)(x f y =和)(x g z =表示，并求x y d d 和xz d d ，以及交线在点0P 的法平面方程。
一.1. 2. A.B. ∞-C.)1(,11≤⎰+∞p dx x p D. )1(,)(ln 12≤⎰+∞p dx x x p3.下列说法错误的是 （ ） A.设2R E ⊂为任一有界无穷点集，则E 在2R 中至少有一个聚点.B.设{}2R P k ⊂为一个有界点列，则它必存在收敛子列.C.2R E ⊂为有界闭集,则E 的任一无穷子集必有聚点. D.2R E ⊂为有界闭集，则E 不一定为一列紧集. 4.下列说法正确的是（）A.若级数∑n u 是发散的，则∑n u c 也是发散的.二.1间2，z 3. 三.1（1）dx x x ⎰+-10211 （2）dx x x e e 21)(ln 1⎰2．求级数∑∞=++1)2)(1(1n n n n 的和函数（8分）34.5．求曲面273222=-+z y x 在点)1,1,3(处的切平面方程和法线方程.(8分)四.讨论题和证明题（共29分）1．设,)(nx x x f nn -=讨论函数列{}{}n n f f '与在]1,0[∈x 的一致收敛性.（9分）2.设f 在],[a a -上可积，证明：（5分） （1）若f 为奇函数，则0)(=⎰-dx x f aa（2）若f 为偶函数，则dx x f dx x f aa a⎰⎰=-0)(2)(3.证明不等式e dx e x <<⎰1021.（5分）4．证明函数()y x f ,⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,2222222y x y x y x yx 在点)0,0(连续且偏导数存在，但在此点不可微.（10分）一. 选择题(每题3分,共27分)1．下列说法错误的是 （ ）A 2R 是开集但不是闭集B {}222(,)x y x y r +≤是闭集C {}22(,)1x y x y +<是开集D ∅是既开又闭的点集。
2. 设点P 是平面点集E 的边界点,CE 是E 关于全平面的余集，则（ ）A P 是E 的聚点B P 是E 的孤立点C P 是E 的内点D P 是CE 的边界点 3. L 为单位圆周122=+y x ，dsy L⎰的值为( )4. ydx5于6. 若（A R B R C 4 D R7.累次积分⎰⎰2x 00dy y x f dx ),(1交换积分顺序后，正确的是( )A⎰⎰y0dx y x f dy ),(1B ⎰⎰11),(ydx y x f dyC ⎰⎰y0dx y x f dy 11),( D ⎰⎰01),(ydx y x f dy8. 曲面z=x y arctan在点(1,1,4π)处的切平面方程是 ( )A2π=+-z y x B 2π=-+z y x9.二 1.2. 设3．设L 为任一包含原点的闭曲线，方向取正向,计算⎰+-L y x ydxxdy 224. 计算⎰⎰⎰Vdxdydz z 2的值，其中V 是由2222R z y x ≤++与Rz z y x 2222≤++所围成的空间区域5. 计算曲面积分dxdy z dzdx y dydz x S222++⎰⎰，其中S 是锥面 222z y x =+与平面h z =所围空间区域)0(h z ≤≤的表面，方向取外侧.2. 讨论积分dy e I y x ⎰+∞-=02在)0(],[>a b a 上的一致收敛性（8分）3. 设),(y x f 为连续函数，且),(),(x y f y x f =，证明：dy y x f dx dy y x f dx xx⎰⎰⎰⎰--=1010)1,1(),( （6分）四． 应用题（9分）求体积一定而表面积最小的长方体.考试注意事项：5.考试时间：120分钟。
6.试卷含三大题，共100分。
7.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！8.遵守考试纪律。
一、填空题(每空3分，共24分)8、 设z x u ytan =，则全微分=u d __________________________。
9、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。
10、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。
11、 设,d ),()(sin 2y y x f x F xx⎰=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。
12、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分⎰=L s x yd _____________。
13、 在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。
14、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy zS 2_______。
二、计算题(每题8分，共56分)8、 讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。
9、 设u10、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。
11、 ：e ax⎰12、 利用坐标变换求⎰⎰+-Dy x yx yx d d sec2，其中D 由1=+y x ，0=x 及0=y 围成。
13、14、 计算yx z x z y z y xS d d d d d d 333++⎰⎰，其中S是球面2222R z y x =++)0(>R 的上半部分)0(≥z 的外侧。
3、 但方程数学分析(3)期末试题 2004.1.13班级_______ 学号_______ 姓名_______ 成绩_________一、 判断题(每空2分，共10分)1、 无穷点集2R E ⊂是有界的，等价于：E 的任一无穷子集在2R 中必有聚点。
答：___。
2、 若函数),(y x f 在点),(00y x 可微，则),(y x f 在点),(00y x 的偏导数连续。
答：___。
3、 设),(y x F 和),(y x F y 在点),(00y x 的邻域),(00y x U 内连续，且000=),(y x F ，若000≠),(y x F y ，则在点0x 附近有唯一的函数)(x f y =满足0=),(y x F 。
答：___。
4、 若函数),(y x f 在{}212≤≤≤≤=x x y x y x D ,|),(上连续，则含参量积分y y x f x I x x⎰=2d ),()(在[]21,上一定是连续的。
答：___。
5、 若),(y x f 在有界闭域D 上连续，则二重积分⎰⎰D y x y x f d d ),(存在。
答：___。
二、填空题(每空4分，共20分) 1、设y y x f x F x xd ),()( ⎰+=123，),(y x f 具有连续偏导数，则=')(x F _________。
2、椭球面1222222=++cz b y a x 在其上某点),,(000z y x M 处的法线方程是_________。
3、设{}122≤+=y x y x D |),(，则二重积分=⎰⎰+Dy xy x ed d 22_________。
4、已知π=Γ)(21，则=-Γ)(21_________。
5、设{}222a y x y x L =+=|),(，则第一型曲线积分⎰=+Ls y x d 22______。
三、计算题(每题8分，共48分)1、求函数⎩⎨⎧≠≠=),,(),( ,),,(),( ,sin ),(000001y x y x y y x f x在点),(00的累次极限和重极限，并研究),(y x f 在全平面上的连续性。
2、说明x (f z =3、求x xe e xx d ⎰∞+---02。
4、求三重积分z y x z d d d ⎰⎰⎰Ω，其中Ω是z y x ≤+22及41≤≤z 所围区域。
5、计算曲线积分⎰-+-Lx x y y e x y y e d )cos ()d sin (10222，其中L 是从),(01A 到),(01-B 的上半单位圆周。
6、计算曲面积分y x y x z x z y z y x Sd d )(d d d d 3223+++⎰⎰，其中S 是22y x z += 被4=z 所截得部分的外侧。