数学分析试卷及答案6套(新)

数学分析-1样题(一)

一. (8分)用数列极限的N ε-

定义证明1n =.

二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a

g x b →=;

(2) 0()x U a ∀∈,有0

()()g x U b ∈ (3) 用ε三

(n x n n

=

++

⋅+四()f x x

=

在五六七八九. )b ,使

(f ''数学分析-1样题(二)

一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常

数, 证明{}n a 收敛,并求其极限.

二. (10分)设0

lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0

11

lim

()x x f x b

→=.

三. (10分)设0n a >,且1

lim

1n

n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞

=.

四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔()f x 在(,)a b 连续,且

lim ()x a f x +

→,lim ()x b

f x -

→存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.

六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2

[()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七.

八. ,都有

f 九.

一.(各1. x ⎰3.

ln 0

⎰

二.(10三. (10四. (15分)证明函数级数

(1)n x x

=-在不一致收敛, 在[0,](其中)一致收敛.

五. (10分)将函数,0

(),0x x f x x x ππππ

+ ≤≤⎧=⎨

- <≤⎩展成傅立叶级数.

六. (10分)设22

22

0(,)0,0

xy x y f x y x y ⎧ +≠⎪=⎨⎪ +=⎩

证明: (1) (0,0)x f ', (0,0)y f '存在; (2) (,)x f x y ',(,)y f x y '在(0,0)不连续;

(3) (,)f x y 在(0,0)可微.

七. (10分)用钢板制造容积为V 的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板? 八. (15分)设01σ<<, 证明

111

(1)

n n n σ

σ∞

=<+∑.

一1.

3.

二1. 三0,有

b

a

⎰

四11n f x n ⎪

⎪

0 , <≤⎪⎩

证明{()}n f x 在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数

0(1)n

n n x ∞

=+∑的和函数.

六. (10分)用εδ-定义证明

2(,)(2,1)lim (43)19x y x y →+=.

七. (12分)求函数2

2

(2)(2)(0)u ax x by y ab =-- ≠的极值.

八. (13分)设正项级数1

n

n a

∞

=∑收敛,且1()n n a a n N ++≥ ∈.证明lim 0n n na →∞

=.

数学分析-3样题(一)

一 二 (10 n x 的最大值三 (14()f x =四 (10五 (14六 (10七 (10八 (12分) 求

22

C

xdy ydx

x y -+⎰

，其中C 是光滑的不通过原点的正向闭曲线.

九 (10分) 求dS z ∑

⎰⎰，其中∑是球面2222

x y z a ++=被平面 (0)z h h a =<<所截的顶部.

数学分析-3样题(二)

一 (10分) 求曲面2

2

3

3

, , x u v y u v z u v =+=+=+在点(0, 2)对应曲面上的点的切平面

二 (10三 (141

(f +∞

⎰

四 (12五 (12六 (10A .

七 (10，

f 八 (10分) 应用曲线积分求(2sin )(cos )x y dx x y dy ++的原函数. 九 (12分) 计算 S

xyz dx dy ⎰⎰，其中S 是球面2

221x

y z ++=在0, 0x y ≥≥部分并取球面

外侧.