两条直线平行的条件.2探索直线平行的条件(一)
北师大版数学七年级下册2.2《探索直线平行的条件》教案1
北师大版数学七年级下册2.2《探索直线平行的条件》教案1一. 教材分析《探索直线平行的条件》是北师大版数学七年级下册第2章第2节的内容。
本节课主要让学生通过探索活动，掌握直线平行的条件，理解平行线的性质，并能运用这些性质解决一些简单问题。
本节课的内容是学生进一步学习几何知识的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了直线、射线、线段的基本概念，对图形的基本性质有所了解。
但是，对于直线平行的条件和平行线的性质，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过探索活动，自主发现和总结直线平行的条件和平行线的性质。
三. 教学目标1.理解直线平行的条件，掌握平行线的性质。
2.能够运用直线平行的条件和平行线的性质解决一些简单问题。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直线平行的条件，平行线的性质。
2.教学难点：直线平行的条件的推导，平行线的性质的理解和运用。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索活动，自主发现和总结直线平行的条件和平行线的性质。
在教学过程中，注重学生的主体地位，鼓励学生积极参与，培养学生的动手能力和思维能力。
六. 教学准备1.准备一些直线和平行线的模型，用于直观展示直线平行的条件和平行线的性质。
2.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用直尺和三角板，展示一些直线和平行线，引导学生观察和思考：什么是直线？什么是平行线？直线和平行线有哪些性质？2.呈现（10分钟）呈现一些直线平行的例子，引导学生观察和思考：这些直线为什么是平行的？直线平行有哪些条件？3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用直尺和三角板，尝试画出一些平行线，并总结直线平行的条件。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些关于直线平行的练习题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：平行线除了具有直线平行的条件外，还有哪些性质？让学生通过探索活动，发现和总结平行线的性质。
苏科版七年级数学下册：探索直线平行的条件课件
E1
C
3
B
2
F
D
练习3
下图点阵中相邻的四个点构成正方形，问线段AB 与线段CD是否平行，请说明理由。
A
C
M
E
F
N
B
D
练习4
请使用量角器和三角尺验证直线m、n是否平行？ m
n
解释1：曲尺的原理
解释2：三角尺画平行线的原理
这样画的直线 为什么平行?
小结
1、学习了一个新的几何名词 同位角
2、探索了一个判断直线平行的条件 同位角相等，两直线平行
案例2：用两把三角尺画平行线
同学们也试一试！
这样画的直线 为什么会平行?
从角之间的关系说起
请视察直线l1与l3相交所形成的 4 个角
l3 l1
21 34
2线4角
请视察直线l1、l2与l3相交所形成的 8 个角
l3 l1
21 34
65
l2
78
3线8角
请视察直线l1、l2与l3相交所形成的 8 个角
3、掌握了一个画平行直线的好方法 利用三角尺的滑动画平行直线
l1
1
l2
2
同位角相等，两直线平行。
活学活用 下图中若∠1 = ∠2， l1 // l2 ？为什么？
l1
l2
1
2
结论：l1 // l2 ，理由如下： 因为∠1和∠2是同位角 又因为 ∠1=∠2 所以 l1 // l2
练习2
如图，已知∠1 = ∠2 = 55°，问∠3等于多少度？ 直线AB、CD平行吗？请说明理由。
l3
l1
∠1和∠5是同位角
1
5 l2
请视察直线l1、l2与l3相交所形成的 8 个角
2.2 探索直线平行的条件(1)
(D)Βιβλιοθήκη 你能找出下图 中的同位角吗？1
∠1和∠3
∠2和∠4
b
2
c
3 4
a
想想看,下图出现的黑色线和红色 线怎样的时候,它们才会平行呢?
还记得吗？
固定木条b、c，转动木条a , 观 察∠1， ∠2满足什么条件时直线a 与b平行.
当∠1＞∠2时
当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
①直线a和b不平行 ②直线a∥b
（等量代换） ∴ ∠3 =∠1= 55°
D
第2题图
随堂练习
3、找出下图互相平行的直线 m 130º
50º
50º
n
a
b
小结：
(1).平行线的概念 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线 (2).直线平行的条件是: 同位角相等,两直线平行 (3).过直线外一点画已知直线的平行线 (4).经过直线外一点，有且只有一条直线与这条 直线平行。 (5).平行于同一条直线的两条直线互相平行。
∴ a ∥ b。
怎样用移动三角尺的方法画两条平 行线呢？请说出其中的道理。
同位角相等，两直线平行
一、放 二、靠
●
三、推 四、画
议一议
C
(1)如图,直 线AB和直线 外一点C,你 能过点C画几 条直线与直 线AB平行呢？ B
只能画一条
A
议一议
如图,直线AB外有两点C、Q.
(1)过点C画一条直线EF与直线AB平行； (2)过点Q画一条直线与直线AB平行。
你能看出两个同位角的顶点之间、边与 边之间有什么关系吗? 互为同位角的两个角 没有 公共顶点 、也 没有 公共边，
但都有一条边 在同一条直线上 且 。 方向相同
学会从复杂图形中分解出简单图形
《探索直线平行的条件》教案
《探索直线平行的条件》优秀教案第一章：引言1.1 教学目标：让学生了解直线平行的概念及实际应用。
激发学生对探索直线平行条件的兴趣。
1.2 教学内容：直线平行的定义及实例。
直线平行的实际应用场景。
1.3 教学方法：通过图片、实例等方式引入直线平行的概念。
引导学生思考直线平行的实际应用场景。
1.4 教学步骤：1. 引入直线平行的概念，引导学生理解直线平行的定义。
2. 展示直线平行的实例，让学生通过观察和分析来理解和记忆直线平行的特征。
3. 引导学生思考直线平行的实际应用场景，如交通运输、建筑设计等，激发学生对直线平行的兴趣。
第二章：直线平行的判定2.1 教学目标：让学生掌握直线平行的判定方法。
培养学生运用判定方法解决实际问题的能力。
2.2 教学内容：直线平行的判定方法。
判定方法的证明和解释。
2.3 教学方法：通过几何图形和实例来引导学生理解和记忆直线平行的判定方法。
通过证明和解释来说明判定方法的合理性。
2.4 教学步骤：1. 引导学生回顾直线平行的定义，复习相关知识。
2. 引入直线平行的判定方法，让学生通过观察和分析几何图形来理解和记忆判定方法。
3. 通过证明和解释来说明判定方法的合理性，帮助学生深入理解判定方法。
第三章：直线平行的性质3.1 教学目标：让学生掌握直线平行的性质。
培养学生运用性质解决实际问题的能力。
3.2 教学内容：直线平行的性质。
性质的证明和解释。
3.3 教学方法：通过几何图形和实例来引导学生理解和记忆直线平行的性质。
通过证明和解释来说明性质的合理性。
3.4 教学步骤：1. 引导学生回顾直线平行的判定方法，复习相关知识。
2. 引入直线平行的性质，让学生通过观察和分析几何图形来理解和记忆性质。
3. 通过证明和解释来说明性质的合理性，帮助学生深入理解性质。
第四章：直线平行的应用4.1 教学目标：让学生学会运用直线平行的条件解决实际问题。
培养学生的实际问题解决能力。
4.2 教学内容：直线平行的条件在实际问题中的应用。
2、2探索直线平行的条件
预习提纲：
问题1：在同一平面内两条直线的位置关系有几种？分别是什么？
问题2：如图，两条直线相交所构成的四个角中分别有何关系？
问题3：什么叫两条直线平行？
问题4：如课本彩图，装修工人正在向墙上钉木条。
如果木条b 与墙壁边缘垂直，那么木条a 与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a 与木条b 平行？
问题：实际问题中在判断两根木条平行时，借助了墙壁作为参照，你能将上述问题抽象为数学问题吗？试着画出图形，并结合图形说明。
问题5：1、图中的直线b 与直线c 不垂直，直线a 应满足什么条件才能与直线b 平行呢？请你利用教具亲自动手操作。
做一做：利用纸条和图钉自己制作学具，如图，三根纸条相交成∠1，∠2， 固定纸条b,c,转动纸条a, 在操作的过程中让学生观察∠2的变化以及它
与∠1的关系，你发现纸条a 与纸条b 的位置关系发生了什么变化？纸条a 何时与纸条b 平行？改变图中∠1的大小再试一试，与同学交流你的发现。
2．由∠1与∠2的位置关系引出对“三线八角”的认识和同位角的概念。
问题1：图中还有其他的同位角吗？
问题2：这些角相等也可以得出两直线平行吗？
3．综上探索，引导学生归纳出两直线平行的条件 A B D
C O。
2.2探索两直线平行的条件(精讲)(学生版)
2.2探索两直线平行的条件“三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图.同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.．判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）题型2：平行线的判定1（同位角相等）2.如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（）A．∠1＝∠2B．∠1＝∠4C．∠3+∠4＝180°D．∠3+∠5＝180°．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）平行线的画法（【变式3-1】如图.直线a.点B.点C.（1）过点B画直线a的平行线，能画几条?（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗?【变式3-2】如图，在方格纸上∶（1）已有的四条线段中，哪些是互相平行的?（2）过点M画AB的平行线（3）过点N画GH的平行线平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.题型5：内错角、同旁内角的概念及识别5.如图，下列两个角是内错角的是（）A．∠1与∠2B．∠1与∠3C．∠1与∠4D．∠2与∠4【变式5-1】如图，直线EF与直线AB，CD相交．图中所示的各个角中，能看作∠1的内错角的是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5【变式5-2】如图，A点在直线DE上，在∠BAD，∠BAE，∠BAC，∠CAE，∠C中，∠B的同旁内角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）6.补全下面的证明过程，并在括号内填上适当的理由．【变式6-1】如图，下列条件中能判断直线l1∥l2的是（）A．∠1＝∠2B．∠1＝∠5C．∠2＝∠4D．∠3＝∠5判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）证明：∵“内错角”或“同旁内角”）【变式8-1】如图，（1）∠1和∠3是直线和被直线所截而成的角；（2）能用图中数字表示的∠3的同位角是；（3）图中与∠2是同旁内角的角有个．的位置关系，并说明理由．题型10：平行线的判定简单综合10.光线在不同介质的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也平行．如图标注有∠1～∠8共8个角，其中已知∠1=64°，∠7=42°．（1）分别指出图中的两对同位角，一对内错角，一对同旁内角；（2）直接写出∠2，∠3，∠6，∠8的度数．试判断。
公开课：探索直线平行的条件
2.2探索直线平行的条件（1）学习目标:1、经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步发展空间观念，推理能力和有条理表达的能力。
2、经历探索直线平行的条件的过程，掌握直线平行的条件，并能解决一些问题学习重点:会认各种图形下的同位角、内错角，并掌握直线平行的判定方法：“同位角相等，两直线平行”；“内错角相等，两直线平行”。
学习难点：判断两直线平行的说理过程教学方法：合作探究、实践法活动准备：预先做好三根活动木条课前复习：①在同一平面内，两条直线的位置关系是②在同一平面内，两条直线的是平行线.③找出图中的同位角、内错角、同旁内角同位角：内错角：同旁内角：教学过程：一、问题情景一：1、实践：动手操作移动活动木条，完成学案中的相关内容。
2、合作交流①你发现了∠1和∠2在位置上有什么共同特征？具备这种特征的角的名称是什么？②改变图中∠1的大小，按照上面的方式再做一做，∠1与∠2的大小满足什么关系时，木条a与木条b平行？小组内交流。
3、教师：在模型中，旋转木条a到不同位置，∠2的大小随之发生变化。
当∠2由小变到大时，直线a便从原来的在下边与直线b相交，变到上边与直线b相交，在这个过程中，存在一个与直线b不相交，即与b平行的位置。
此时∠2=∠1。
即得到：两直线平行的条件——同位角相等，两直线平行.4、学以致用例题1：如图，∠1 =∠2=55°，∠3等于多少度？直线AB、CD平行吗？说明你的理由。
5、合作探究：用平移三角尺方法过已知直线外一点这条直线的平行线，其中的道理是什么？二、问题情景二：小明有一块小画板，他想知道它的上下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段AC（如图所示）．他只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？1、从实际情景中抽象出数学模型观察模型，讨论：①图中存在的∠1，∠2这样位置关系的角叫什么角？②结合教具，当∠1，∠2之间角满足什么关系时，两直线平行？2、投影展示说理过程3、学生归纳结论：内错角相等，两直线平行。
同位角相等两直线平行的条件-概述说明以及解释
同位角相等两直线平行的条件-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在几何学中，我们经常遇到两条直线之间的关系。
其中一种重要的关系是两条直线平行的情况。
而当两条直线平行时，它们之间的同位角具有一个特殊的性质，即同位角相等。
因此，研究同位角相等和直线平行之间的条件对于解决与直线相关的几何问题至关重要。
本文将探讨同位角的定义和性质，以及平行线的定义和性质。
进一步，我们将研究同位角相等的条件和直线平行的条件。
通过分析这些条件，我们可以更深入地理解直线之间的关系，并且能够在解题过程中运用这些条件。
首先，我们将介绍同位角的定义和性质。
同位角是指位于同一侧相交直线上两条直线所夹的角。
我们将讨论同位角的定义，并探究同位角的一些重要性质，例如同位角的和角、互补角和对顶角等。
这些性质有助于我们理解同位角的特点，并为后续讨论奠定基础。
接下来，我们将详细探讨平行线的定义和性质。
平行线是指在同一个平面上不相交的直线，它们在任意位置上的距离始终相等。
我们将探讨平行线的定义，并讨论平行线的一些重要性质，例如平行线的性质、平行线与转角的关系等。
这些性质将帮助我们更好地理解平行线的特点，并为进一步讨论提供所需的背景知识。
最后，我们将研究同位角相等的条件和直线平行的条件。
通过分析同位角相等的条件，我们可以确定两个直线平行的判定条件之一。
同时，我们还将讨论直线平行的条件，即确定直线是否平行所需满足的条件。
这些条件的理解和应用将有助于我们解决与直线平行和同位角相关的几何问题，以及在实际生活中应用几何知识时能够更准确地判断直线之间的关系。
通过本文的探讨，我们将能够更深入地理解同位角相等和直线平行的条件。
同时，我们还将学会如何应用这些条件解决与直线相关的几何问题。
这些知识将为我们在学习和应用几何学时提供有力的支持。
下一节将详细介绍同位角的定义和性质。
让我们一起深入研究吧！1.2文章结构1.2 文章结构本文主要围绕同位角相等和两条直线平行的条件展开讨论。
2.2 探索直线平行的条件(1)
2.2 探索直线平行的条件（1） 姓名1、如图是同位角关系的两角是 ，是互补关系的两角是 ，是对顶角的是 。
2、平行判定1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角 ，那么这两直线 。
简称： （公理）如图，可表述为：∵ ( )∴ ( ) 2、 如图（1）,()a b c a ⊥⊥ 已知12∴∠=∠= （垂直的定义）∴ ∥ （同位角相等，两直线平行）（2）用一句精炼的话总结（1）所包含的规律 变式训练：如图所示1、12∠=∠ （已知） ∴ ∥ （ ）2、23∠=∠ （已知） ∴ ∥ （ ）3、如图，已知00165,2115∠=∠=，直线BC 与DF平行吗？为什么？4、如图，已知00170,2110∠=∠=，试问a 与b 平行吗？说说你的理由。
3、 平行线公理：过直线外一点有 条直线与这条直线平行。
4、 平行线的传递性：几何语言：拓展：如图，已知12∠=∠，问再添加什么条件可使AB ∥CD ？试说明理由。
计算：1．x 10＝（－x 3）2·_________＝x 12÷x （ ） 2．4（m －n ）3÷（m －n ）2＝___________． 3．－x 2·（－x ）3·（－x ）2＝__________．． 4．（2a －b ）（ ）＝b 2－4a 2．5．（a －b ）2＝（a ＋b ）2＋_____________． 6．（31）－2＋（-1）0＝_________；4101×0.2599＝__________．7．（－2ab ）·（－3ab ）3=8．用科学记数法表示－0.0000308＝___________．9．（x －2y ＋1）（x －2y －1）＝（ ）2－（ ）2＝_______________． 10．若（x ＋5）（x －7）＝x 2＋mx ＋n ，则m ＝__________，n ＝________ 11．899×901＋1= = 12．（2a －3b ）（2a ＋3b ）= 13．（－3x ＋2）2= 14．已知a ＋b ＝5，ab ＝7，求22b a + 15．（x －3）（2x ＋1）－（2x －1）24321F EDC B A21cba21dcb a321NMFEDCBA21E D C B A 21cba321。
优质习题：2.2.1_利用同位角相等判定两条直线平行
14．如图，AB∥CD，E为AC的中点． (1)请过点E作线段EF，使EF∥AB，EF与BD相交于点F；
(2)EF与CD平行吗？为什么？
解：(1)如题图所示．
(2)EF∥CD．理由：因为EF∥AB，AB∥CD，所以EF∥CD(如果两条直线
都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)．
思维训练
求证：AB∥CD．
证明：因为∠2＋∠3＝180°(已知)，∠2＋∠6＝180°(平角的定义)，所以∠3＝∠ 6(等量代换)，所以 AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
8．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN＝∠DNF，
∠1＝∠2，求证：MQ∥NP.
证明：因为∠BMN＝∠DNF，∠1＝∠2(已知)，所以∠BMN＋∠1＝∠DNF＋ ∠2，即∠QMN＝∠PNF，所以 MQ∥NP(同位角相等，两直线平行)．
解：甲说的正确．理由：同位角相等，两直线平行．
3．下面说法正确的有( B ) ①过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条；②一条直线的平行 线只有一条；③两条不相交的直线叫做平行线；④在同一平面内，不 相交的两条直线互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，∠6的同位角是___∠__2_和_∠__9___. 5．如图，直线c与a、b相交，若∠2＝115°，则∠1＝
15．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来 的方向相同．甲、乙、丙、丁四个同学作了如下判断： 甲：第一次向左拐30°，第二次向右拐30°； 乙：第一次向右拐50°，第二次向左拐130°； 丙：第一次向右拐50°，第二次向右拐50°； 丁：第一次向左拐130°，第二次向左拐130°. 你认为谁说的正确？请说明理由．
第二章 相交线与平行线
七年级数学下册《相交线与平行线》：探索直线平行的条件
在教师讲解和同伴的 帮助下能用几何语言 写出判断平行的过程
☆☆☆
灵活运用判定方法 判定方法应 来解决实际问题
用用
运用判定方法来解 决一般问题
在同伴的帮助下能运 用判定方法来解决简 单问题
☆☆☆
学习任务三：过直线外一点画平行线
操作·思考
（1）给你一副三角板，你能过直线AB外一点C画直线的平行线MN吗？ （2）你能画出几条？你能说明其中的道理吗？
4.经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，体会利用操作、归纳获得 数学结论的过程，进一步发展想象、推理能力和有条理表达的能力。
学习任务一：认识同位角、内错角、同旁内角
操作·观察
若在两条直线的基础上，画第三条直线与这两条直线都
相交，你能画出怎样的图形？
观察·归纳
三线八角
同位角定义
两直线被第三条直线所截而成的8个角中， 在截线的同一侧且在两条被截线的同一方的两个角， 叫做同位角。
验证
当∠1＜∠2时
12
①直线a和b 不平行， ②直线a和b 平行 ； ③直线a和b 不平行 。
猜想
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等， 那么这两条直线平行。
归纳
判断两条直线平行的方法：
同位角相等，两直线平行。
E
1
A
B
2
C
D
F
几何语言： ∵∠1=∠2
∴ AB∥ CD
（同位角相等，两直线平行）
你学会了吗？
会借助三角尺过已知直线外一点画这 条直线的平行线
还有疑惑是
课后任务 ≥16☆：完成课后小测题“能力提高”1-3题。（必做）
＜16☆：完成课后小测题“基础巩固”1-2题，（必做） “能力提高”第1题。（选做）
5.2.1 直线平行的条件(1)--
1,同位角的特征(F型) 同位角的特征(F型 (F ),在截线的同旁 (1),在截线的同旁 ), ),在被截两直线的同方向 (2),在被截两直线的同方向 ), 2,内错角的特征(Z型或N型) 内错角的特征(Z型或N (Z型或 (1),在截线的两旁 ),在截线的两旁 ),
小结: 小结:
(2),在被截两直线之间(之内) ),在被截两直线之间(之内) ),在被截两直线之间 3,同旁内角的特征(U型) 同旁内角的特征(U型 (U ),在截线的同旁 (1),在截线的同旁; ),在截线的同旁; ),在被截两直线之间 (2),在被截两直线之间(之内). ),在被截两直线之间(之内).
新人教版-七年级( 新人教版 七年级(下)数学-第五章 七年级 数学 第五章
5 .2.1 直线平行的条件(1) 直线平行的条件(1)
一,学习目标 1,学会辨别同位角,内错角,同旁内角; ,学会辨别同位角,内错角,同旁内角; 2,掌握"同位角相等,两直线平行"的条件,并 ,掌握"同位角相等,两直线平行"的条件, 能解决一些实际问题; 能解决一些实际问题; 二,重点和难点 重点: 重点:探索两直线平行的条件 难点: 难点:同位角的寻找
议一议 你还记得怎样用移动三角尺的方法画两条平 行线吗? 行线吗? 试用这种方法 过已知直线外一点画它 的平行线. 请说出其中的道理. 的平行线. 请说出其中的道理.
同位角相等,两直线平行. 同位角相等,两直线平行.
●
一,放 二,靠 三,推 四,画
0 9
1 10
2 0 9
3 1 10
4 2
5 3
6 4 5
7
8 6 7 8
0 9
1 10
2 0 0 9 9
2-2 探索直线平行的条件(第1课时) 课件 2023--2024学年北师大版七年级数
课堂练习 （识别同位角）
1．图中，与∠1成同位角的个数是（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列图中∠1和∠2是同位角的是( )
A．（1）、（2）、（3） B．（2）、（3）、（4） C．（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（5）
新知探究
例题讲解
例1.如图，已知直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位 角是( ) A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
新知探究
你能借助三角尺画平行线吗？ 小明按如下方法画出了两 条平行线， 请说明其中的道理．
新知探究
平行于同一条直线的两条直线平行
如何过已知直线外一点画它的平行线？你能画出来几条？ 请说出其中的道理。 同位角相等，两直线平行.
③直线a和b不平行
归纳总结
判定方法：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这 两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
应用格式：
A
因为∠1=∠2(已知)，
1
所以l1∥l2
（同位角相等，两直线平行）.
l2
2
l1
B
新知探究
平行线的表示法 我们通常用“//” 表示平行.
A
B
C
D
a∥b
AB∥CD 读作：“AB平行于CD” a b 读作：“a平行于b”
解：∵ ∠1＝58°,∠2＝58°, ∴ a∥b(同位角相等,两直线平行). ∵ ∠3＝122°, ∴ ∠4＝58°(邻补角的定义), ∴ ∠2＝∠4, ∴ b∥c(同位角相等,两直线平行), ∴ a∥c(平行于同一直线的两直线平行).
课堂小结
1.平行线的判定方法： (1)两条直线被另一条直线截得的同位角相等； (2)两条直线同平行于第三条直线； (3)在同一平面内，两条直线同垂直于第三条直线．
2.2探索直线平行的条件(1)
2.2探索直线平行的条件（1）学案学习目标：1、理解同位角的概念，会识别同位角.2、掌握利用同位角相等判别直线平行的结论，并能解决一些问题.3、会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.学习重点：理解同位角的概念，会识别同位角，会利用同位角相等判别直线平行. 学习难点：利用同位角相等判别直线平行的结论解决问题.学习过程： 一、温故知新1、什么叫做平行线？ .2、你能验证两条直线平行吗? 二、合作探究1、认识“三线八角”（同位角）.（1）如图，三根木条相交成∠1、∠2，固定木条 b 、c ，转动木条a ，当∠1与∠2的大小满足 什么关系时，木条a 和木条b 平行？（2）我们把木条看做直线（如图），观察∠1、∠2与直线a 、b 的位置，你有什么发现？观察∠1、∠2与直线c 的位置，你又有什么发现？（3）同位角的概念：两条直线被第三条直线所截，在被截的两条直线的同一侧，在截线的同一方的两个角叫做同位角．．．.（F 型） （4）如图，直线AB 、CD 被直线l 所截，请找出其中的同位角.AC BD l 12 3 4 67 5 82、平行线的判定（1）（1）两条直线平行，我们用符号“∥”来表示，如：直线a与直线b平行，记作a∥b；直线AB与直线CD平行，记作AB∥CD. （2）从刚才的探究中可知：当∠1=∠2时，直线a∥b.因此，我们得出了下面的结论：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简记为：同位角相等．．．．．.．．．．．，两直线平行今后，我们可以用它判断两条直线平行.几何语言：∵∠1=∠2（已知）∴a∥b（同位角相等，两直线平行）3、画平行线（1）你能用手中的三角板画出两条平行线吗？与小组内的同学说说你的做法.（2）我们画平行线的时候，在画出一条直线后，应先画出，我们画平行线所用的知识是 .三、深入探究1、如图，你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画出几条？通过动手操作，我们知道了：过直线外一点有且只有条直线与已知直线平行.2、如图，如果直线a∥b，a∥c，那么直线b与直线c有怎样的位置关系呢？你是怎样知道的？由此，我们可以得到另一种判断直线平行的方法： 平行于同一条直线的两条直线 . 几何语言：∵a ∥b ，a ∥c （已知）∴b ∥c （平行于同一条直线的两条直线平行）四、落实巩固1、如图，∠1与∠C 是直线 和直线 被直线 所截得的 角.请找出图中其余的同位角，并指出它们分别是哪两条直线被哪一条直线所截得的同位角？2、如图，3条直线两两相交，其中同位角共有（ ） A.6对 B.8对 C.12对 D.16对3、如图1，同位角有 对，如图2，同位角有 对， 如图3，同位角有 对，如图4，同位角有 对.图4图3图2图1FE DCBAFE D CBACEDCB A FDE BA4、如图， B 、A 、D 三点在同一条直线上，AE 是∠DAC 的平分线， 且∠B ＝∠C ，∠DAC ＝∠B ＋∠C. 求征：AE ∥BC.五、课堂小结：对这节课中自己所学的知识、学习的收获与困惑进行简单的总结，并将它们写下来.321F EDCBAl 3l 2l 1五、课后作业A 组：1、如图所示，同位角共有（ ） A ．6对 B ．8对 C ．10对 D ．12对2、如图，直线EF 分别交AB 、CD 于点G 、H ，∠1=60°， 要使AB ∥CD ，则应满足∠2= ________.3、如图，∠1=∠C ，∠2=∠C ，找出图中互相平行的直线，并说明理由. 解：（1）∵∠1=∠C （ ）∴ （ ） （2）∵ （ ）∴AC ∥BD （ ）4、如图，已知直线a ⊥b ，b ⊥c ，那么直线a 与直线c 有怎样的位置关系？请说明理由.B 组：1、如图，已知DE 平分∠BDF ，AF 平分∠BAC ，且∠1=∠2，试说明DF ∥AC.2、如图，已知直线AB ，CD 被EF 所截，AB ∥CD ，MG 平分∠EMB ，NH 平分∠END ， 请问MG ∥NH 吗？请说明理由.21D CBA。
探索直线平行的条件
探索直线平行的条件一、知识点概述（一）同位角、内错角、同旁内角1、同位角：如右图所示，具有∠1和∠6这样位置关系的角称为同位角，同位角还有∠2和∠5.同位角的特征：①在被截两直线的同一方；②在截线的同侧。
形如字母“F”.2、内错角：如右图所示，具有∠1和∠3这样位置关系的角称为内错角，内错角还有∠2和∠4。
内错角的特征：①在被截两直线之间；②在截线的两侧。
形如字母“Z”.3、同旁内角：如右图所示，具有∠1和∠4这样位置关系的角称为同旁内角，同旁内角还有∠2和∠3.同位角的特征：①在被截两直线之间；②在截线的同侧。
形如字母“U”. （二）两条直线平行的条件1、两条直线平行的条件1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行。
简称为：同位角相等，两直线平行。
2、两条直线平行的条件2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行。
简称为：内错角相等，两直线平行。
3、两条直线平行的条件3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行。
简称为：同旁内角互补，两直线平行。
（三）平行线基本公理1、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
2、平行于同一条直线的两条直线平行。
二、典型例题讲解例1、如图，下列说法不正确的是（）A.∠1和∠2是同旁内角B.∠1和∠3是对顶角C.∠3和∠4是同位角D.∠1和∠4是内错角例2、指出下图中的同位角、内错角、同旁内角。
例3、如图，在下列条件中，不能判定判定直线a与b平行的是（）A.∠1=∠2B.∠2=∠3C.∠3=∠5D.∠3+∠4=180°例4、如图，下列能判定AB‖CD的条件有（）个。
（1）∠B+∠BCD=180°（2）∠1=∠2（3）∠3=∠4 （4）∠B=∠5A.1B.2C.3D.4例4、如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD+∠C=180°，直线AB与CE一定平行吗？试说明你的理由.例5：如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1=∠2，求证：DC‖AB.例6、如图，∠1=∠2，∠3=∠4，试说明b‖c.例6、如图所示，有平面镜A与B，光线由水平方向射来，传播线路为a⟶ b⟶ c，已知a⊥b，b⊥c，∠1=∠3=45°，你知道平面镜A与平面镜B之间的位置关系吗？例7：如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°.试说明AB‖EF.练习1、如图，直线a，b被直线c所截，则下列说法中错误的是（）A.∠1和∠2是邻补角B.∠1和∠3是对顶角C.∠2和∠4是同位角D.∠3和∠4是内错角2、下列图形中，∠1和∠2是同位角的是（）4、过一点画一只直线的平行线（）A.有且只有一条B.不存在C.有两条D.不存在或有且只有一条5、下列说法正确的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行B.两直线被第三条直线所截，同旁内角互补C.不相交的两条直线叫平行线D.邻补角的平分线互相垂直2、如图，直线a，b被直线c所截，下列条件能使a‖b的是（）A.∠1=∠6B.∠2=∠6C.∠1=∠3D.∠5=∠73、如图，能判定EC‖AB的条件是（）A.∠B=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠ACBD. ∠A=∠ACE4、如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC‖AD，则可添加的条件为____________________.（写出一个符合题意的条件即可）5、如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是____________________.4、如果a‖b，a‖c，那么b与c的位置关系式（）A.不一定平行B.一定平行C.一定不平行D.以上都有可能5.下列说法正确的个数为（）（1）过直线外一点有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角；（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交A.1个B.2个C.3个D.4个6.学习了平行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据是（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A.①②B.②③C.③④D.①④4、如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD交CD于点E，CF平分∠BCD交AB于点F，求证：AE‖CF.5、如图所示，如果∠ACE=∠BDF，那么CE‖DF吗？6、如图是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中∠1=50°，∠2=50°，∠3=130°，找出图中的平行线，并说明理由.7、如图，已知直线l1、l2、l3被直线l所截，∠1=72°，∠2=108°，∠3=72°，试说明：l1‖l2‖l3.8、如图，∠BEC=95°，∠ABE=120°，∠DCE=35°，则AB与CD平行吗？请说明理由.7.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°）：（1）①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为_______________；②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由。
空间中两条直线平行的条件
空间中两条直线平行的条件在我们日常生活中，直线可谓是个老朋友，不管是马路上的白线，还是几何书里的各种图形，直线的身影随处可见。
那么，大家有没有想过，空间中的两条直线到底什么情况下会平行呢？别急，咱今天就来聊聊这个话题，轻松一下，顺便涨点知识。
1. 直线的基本概念在开始之前，咱先来捋捋直线的基本概念。
说白了，直线就是一条没头没尾的线，永远延伸下去，就像那种没完没了的段子，总能让你忍不住哈哈大笑。
而平行呢，就像两条直线好朋友一样，永远不相交，彼此相守。
就像两条平行的火车轨道，虽然走得再远也不会碰头，谁也不想在旅途中摔个大跟头，对吧？1.1 空间中的直线接着说说空间中的直线。
咱们生活在三维空间里，直线可以在上下左右、前后左右间自由穿梭，真是个灵活的家伙！而在这个空间里，两条直线想要平行，首先得满足一个条件：它们的方向要一致。
你想啊，要是两条线各自朝不同的方向跑，那可真是天上掉下来的馅饼，根本不可能相交！1.2 平行的标准那么，什么是方向一致呢？简单来说，就是它们的方向向量是成比例的。
比如说，一条线的方向向量是(2, 4, 6)，另一条线的方向向量是(1, 2, 3)，你会发现它们之间的比例关系是2:1。
这就意味着，它们的方向是一致的，往后继续延伸，肯定能做到平行。
2. 相交与平行说完平行，我们再来谈谈相交。
这可有意思了，两条直线如果相交，就意味着它们的方向向量并不是成比例的。
就像两条小路在山顶相遇，瞬间一拍即合，成了志同道合的好朋友。
大家想想，生活中有多少次我们也是这样的，可能一开始走着走着，结果发现和某个伙伴在某个时刻正好汇合，彼此分享各自的故事，多么有趣的缘分呀！2.1 分析几何从几何的角度来看，如果我们有两个点，分别在这两条直线上，那么可以通过这些点的坐标来判断它们的平行性。
只要仔细分析一下，找出这些点之间的关系，就能知道它们是否有可能相交。
可千万别小看这些坐标，毕竟在空间中，它们可是起着关键作用的哦！2.2 代数的帮助而且，代数的知识也能派上大用场。
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D
E
B
F
C
问题1：本节课你认为自己解决的最 好的问题是什么？
问题2：本节课你有哪些收获？
问题3：通过今天的学习，你想进一步探 究的问题是什么？
1. 习题2.2知识技能
2. 补充练习：如图，是由两块 相同的直角三角板拼成的，
（1）请写出图中相等的角； （2）写出图中平行的线段，
A
并说明理由。
F E
B CD
生活中的问题能用数学知识解决吗？
c a b
c a b
如图，三根木条相交 成∠1， ∠2，固定木 条b，c，转动木条a
当∠1＞∠2时 当∠1＝∠2时
当∠1＜∠2时
①直线a和b不平行 ②直线 a∥b ③直线a和b不平行
认识“三线八 角两”条：直线被第三条直线所截，形成“三线八角”，
具有∠1与∠2这样位置关系的角称为同位角
D EA
C
B
G
F
问题1 你能用一张不规则的纸(比如,如图 所示的四边形的纸)折出两条平行的直线 吗?与同伴说说你的折法.
问题2 课本“数学理解”栏目给我们展示 了一种画平行线的工具. 在画平行线之前， 工人师傅往往要先调整一下工具，然后画 平行线，你能说明这种工具的用法和其中 的道理吗？
如图，在屋架上要加一根横梁DE， 已 知 ∠ B=32°, 要 使 DE∥BC, 则 ∠ADE必须等于多少度？为什么？
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 00 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1100
你还记得平因怎为行样a用于∥移b同动，三一a角∥条尺c的直，方线根法据的画平两两条行平行线吗？ 过已知直条 于平线同行外直一一，线点条所画互直以它相线b的∥的平平c两行行条线。直.请线说互出相其中的道理。
问题1：在同一平面内两条直线的 位置关系有 几种？分别是什么？
问题2：如图，两条直线相交所
构成的四个角中分别有何关系？
A
D
O
C
B
问题3：什么叫两条直线平行？
观察下面每幅图中的直线a,b， 它们分别平行吗？你能验证吗？
观察下面每幅图中的直线a,b，它 们分别平行吗？你能验证吗？
装修工人正在向墙上钉 木条。如果木条b与墙 壁边缘垂直，那么木条 a与墙壁边缘所夹角是 多少度时，才能使木条 a与木条b平行？
E
G
A
B
C
D
F
H
(2)如图, ∠1=∠2=55º, ∠3等于多少度? 直线AB,CD平行吗?说明你的理由.
A
C
E1
G
3
H
B
2
F
D
你还记得怎样用移动三角尺的方法画两条平行线吗？ 过已知直线外一点画它的平行线.请说出其中的道理。
同位角相等，两直线平行.
一、放 二、靠 三、推 四、画
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
同位角相等，两直线平行.
C
E
A
B
D
F
1．b∥a , c∥a , 那么
，理由:
.
2.如图如果∠1=∠2，那么哪两条直线平行？ 为什么？
3.如图，∠AOC=∠APQ=∠CFE=46°，可得
到哪些平行线？为什么？
E
1
A3
B
D
CQ E
FG
4
C 2F
D
第2题
BO P B 第3题
4：如图，直线EF与∠DCG的两边 相交于A，B两点，∠C的同位角是 和 ，∠BAC的同位角是 ， ∠EBG的同位角是 .
lLeabharlann ∠1和∠2是同位角C
31
75
D ∠3和∠4是同位角
A 42
B ∠5和∠6是同位角
86
∠7和∠8是同位角
同位角在被截直线的同一侧，在截线的同一方
判定两条直线平行的方法： 同位角相等,两直线平行
c 1 a
2 b
a
b
1
2
c
如图： 因为∠1=∠2
根据同位角相等,两直线平行 所以 a∥b
(1)找出下面点阵中互相平行的线段,并说明理由 (点阵中相邻的四个点构成正方形).