凸函数的性质和应用

( a, b) 上连续并且除了至多可数个点外 , f ’ 处处存在 , 且单
定理 1:如果定义 2 中区间 I = [ a, b ] 且 f ( x ) 都是连 续函数 , 则定义 1 和定义 2 是等价的 定理 2: f为 I上的凸函数 , 其充要条件是对一切 x1 , x2 ,
x3 ∈ I, ( x1 < x2 < x3 ) 恒有 f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 f ( x3 ) - f ( x1 ) x3 - x1 f ( x3 ) - f ( x2 ) x3 - x2
1、 基本定义
( 1 ) f 为 I上的凸函数 ( 2 ) f’ 为 I上的递增函数 ( 3 ) 对 I 上的任意两点 x0 , x, 恒有 f ( x ) Ε f ( x0 ) + f ’( x0 ) ( x - x0 )
推论 1:设 f是区间 I上的二阶可导函数 , 则有 f在 I上 为凸函数 Ζ f" ( x) Ε 0 x ∈ I 推论 2:设 f是区间 I上可微凸函数 ,
在 x0 的左导数趋近于 F ( x ) 当 x ϖ x0 趋近于
-
f ( x) - f ( x0 ) x - x0
xi ∈ [ a, b ],λi > 0 ( i = 1, 2, K, n ) ,
n n
λ ∑
i =1
i
= 1, 有
同理可证 : 当 x ϖ x0+ , f 在 x0 右导数趋近于 F ( x ) , 当
(由于 f" ( x) Ε 0, 所以 f ( x) 是区间 I上的凸函数 。 由
下面只需证 : f ’ + ( x) 在 ( a, b) 上的至多可数个点不连
24
2005 年 第 5 期
) 定理 8 可得詹森不等式成立 。
沙洋师范高等专科学校学报 No. 5 2005 Jou rna l of Shayang Teache rs Co llege
kf ( x ) 也为区间 I上的凸函数
2
) Φ
f ( x1 )
2
+
f ( x2 )
2
则称 f ( x) 在 [ a, b ]上是凸的 。 即 f ( x) 为 [ a, b ]上的凸 函数 。 定义 2:设 f为定义在区间 I上的函数 , 若对 I上的任意 两点 x1 , x2 和任意实数 λ ∈ ( 0, 1 ) 总有
x ϖ x0 趋近于
+
f ( x ) - f ( x0 ) x - x0
因此右导数存在 .
λi x1 ) Φ 楋 (∑
i =1
λf(x ) ∑
i
1
i =1
Π x1 < x0 < x2 , 有定理 2 有 :
F ( x1 ) = f ( x1 ) - f ( x0 ) x1 - x0
证明 :应用数学归纳法 , 当 n = 2 时 , 定义 2 命题显然 成立
n
即 F ( x ) 在 ( x0 - δ , x0 ) 单调增
) , 由定理 2 再在 x0 右方任取定一点 c, c ∈ ( x0 , x0 +δ
易证 :
F ( x1 ) Φ F ( x2 ) Φ F ( c)
所以 F在 ( x0 - δ , x0 ) 单调增且有上界 , 于是 x ϖ x0 , 它
1
n
( n ∈ Z + 且 n Ε 2)
1
n
f ( x1 ) +
1
n
f ( x2 ) + K +
1
n
f ( xn )
由引理 2, 设 f ( x ) 在集合 D 上可导 , 则 D 由使得 f ’ +
( x ) 连续的点 x 组成
推论 :若函数 f ( x) 在区间 I存在二阶导数 , 且 Π x ∈ I, 有 f" ( x ) ≥ 0 则詹森不等式成立 。
( x0 ) = 0 则有 x0 ∈ I是 f的极小值 Ζ f ′
定义 1:如果函数 f ( x ) 在 [ a, b ]上连续 , 对 [ a, b ]上任 意不同的两点 x1 , x2 , 有 f (
x1 + x2
定理 3:设函数 f ( x) 在开区间 I可导 , 函数 f ( x) 在 I是 凸函数 Ζ 曲线 y = f ( x ) 位于它的任意一点切线的上方 定理 4:若 f ( x) 为区间 I上的凸函数 , k为非负实数 , 则
再作 h ( x) = x2 , 显然 h" ( x) = 2 > 0 ∴h ( x ) 为 ( 0, + ∞) 上的凸函数 取 λi = Φ
f (λx1 + ( 1 - λ) x2 ) Φ λf ( x1 ) + ( 1 - λ) f ( x2 )
定理 5:若 f ( x) 、 g ( x) 均为区间 I上的凸函数 , 则 f + g 为凸函数 推论 :若 f ( x ) , g ( x ) 均为区间 I上的凸函数 , k1 , k2 为 非负实数 , 则 k1 f ( x) + k2 g ( x) 也为区间 I上的凸函数 。 定理 6:若 f为区间 I上的凸函数 , g为 J < f ( I) 上凸增 函数 , 则 g。 f 为 I上的凸函数
k k i 1
Байду номын сангаас
λ ∑
i =1
i
=1
引理 2:设 f 是凸函数 , f在 x0 点的右导数等于它在 x0 点的左导数 , 当且仅当 f 的右导数在 x0 点连续 . 证明 :由于 f ( x) 是凸函数 . 由引理 1 可得 f ( x) 的左导数 、 右导数均存在 因此 f ( x ) 在 ( a, b) 内任一点既左连续 , 又右连续 . 所以 f ( x) 连续 , 从而有 f ( z) ϖ f ( x) . ( zϖ x ) 所以 ϖε > 0, 当 x < y < x +ε且 zϖ x + 时有
f ( x2 ) - f ( x0 ) x2 - x0
Φ F ( x2 ) =
设 n = k 时命题成立 , 即对任意
k
令 x1 ϖ x0- , x2 ϖ x0+ 得 f在 x0 的左导数小于 、 等于 F 在
x0 的右导数 .
x1 , x2 , Kxk ∈ [ a, b ] 及 5i > 0, i = 1, 2, K, k,
(以上基本性质证明从略 )
则称 f为 I上的凸函数 注 1° 若将定义 1 中的“Φ ” 改为“ < ” , 则称 f ( x) 为
[ a, b ] 上的严格凸函数 。
注 2° 若将定义 2中的“Φ ” 改为“ < ” 则称 f ( x ) 为区 间 I上的严格凸函数 。
2. 主要结论
我们研究函数 , 往往要研究它的连续性和可导性 , 下 面我们来探讨一下凸函数与连续性 、 可导性之间的关系 。 定理 7: 如果 f ( x ) 是 ( a, b) 上有限的凸函数 , 则 f 在
定理 7 的证明 :由于 f ( x ) 是 ( a, b) 上的凸函数 由引理 1可得 f ( x ) 存在左 、 右导数 . 从而有 f ( x ) 既左 连续 , 又右连续 因此 f ( x ) 在 ( a, b) 上连续 . 下面证 : f的可导性和单调性
f ( x) 可导 Ζ f ’ + ( x) = f ’ - ( x)
Φ
Φ
定理 3:设 f 为区间 I的可微函数 , 则如下三者互相等 价:
3
收稿日期 : 2005 - 04 - 20 作者简介 : 朱玉明 (1969 —) ,男 ,湖北监利人 ,沙洋师专数理系主任 ,数学副教授 。
23
朱玉明 杜 漫 凸函数的性质和应用
+
λ1 x1 + K +λk xk +λk +1 xk +1 ) 1 - λk +1
f ’ + ( z) Ε f ’ + ( x) lim zϖ x
+
Φ ( 1 - λk +1 ) f ( ( 1 - λk +1 ) + K + 5k xk ) +λk +1 f ( xk +1 ) Φ ( 1 - λk +1 ) [ 5i f ( x1 ) + K + 5k f ( xk ) ] +λk +1 f ( xk +1 )
f ( y) - f ( x) f ( y ) - f ( z) 趋近于 且大于 、 等于 zϖ x + 时 y - x y - z
+
都有 f (
∑5 x )
i =1
Φ
∑5 f ( x )
i
1
i =1
现设 x1 , x2 , Kxk , xk +1 ∈ [ a, b ] 及 λi > 0 ( i = 1, 2, K, k
f ( x2 ) - f ( x0 ) x2 - x0 f ( x1 ) - f ( x0 ) x1 - x0
是单调递增的
所以 , f ’ + ( x ) 在 ( a, b) 上是单调递增的 , X ∈ D
f ’ + ( x) 在 ( a, b) 上的不连续点有至多可数个 . 即除了
至多可数个点外 , f ’ 处处存在 . 所以 f ’( x) = f ’ + ( x) = f ’ - ( x) X ∈ D 由于当 X ∈ D〗 时 , f ’ + ( x ) 是单调递增 所以 : f ’( x ) 也是单调递增 X ∈ D 在定义 2 的基础上 , 我们可将其推广到更一般的情 况: 定理 8: (詹森不等式 ) 若 f为 [ a, b ] 上的凸函数 , 则对 任意 因此左导数存在