凸函数的性质及其在不等式证明中的应用
函数凹凸性在不等式中的应用
(下转第54页)函数凹凸性在不等式中的应用李国成郭铁卫(杭州科技职业技术学院浙江·杭州310012)中图分类号：G633.66文献标识码：A 文章编号：1672-7894（2013）15-0052-02摘要函数凹凸性是一种重要的几何性质，函数的凹凸性也是高等数学的一个基本内容。
函数的凹凸性是证明比较复杂不等式和构造不等式的有力工具。
文章给出了函数凹凸性的定义以及判别方法，进一步探讨了函数凹凸性在证明不等式和构造不等式中的具体应用。
关键词函数凹凸性不等式的研究Jensen 不等式On the Application of Concavity and Convexity of Func 鄄tions to Inequality //Li Guocheng,Guo Tiewei Abstract The concavity and convexity of function is an important geometric properties,the concavity and convexity of functions is a basic content of higher maths.The concavity and convexity offunctions is proved more complex structural inequality inequality and powerful tool.The article gives the concavity of a functiondefinition and discrimination method.To further explore the con-vex function in the proof of inequality and structural inequality in specific applications.Key words concavity and convexity of functions;study of in-equality;Jensen's inequality 不等式是数学中非常重要且值得探讨的问题，不等式的证明问题需要多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现。
凸函数的性质与应用
凸函数的性质与应用数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，4350021.引言凸函数是数学分析中的一个重要概念,它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用,而且在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用.关于凸函数,虽然很多书籍都做了相应的介绍,但多是从不同的角度出发来进行不同的定义和应用.在高等数学中,利用导数讨论函数的性态时,经常遇到一类特殊函数—凸函数,由于凸函数具有一些特殊性质,利用这些性质可非常简单地证明一些初等不等式、函数不等式和积分不等式. 凸函数是一类重要的函数,在不等式的研究中尤为重要.本文通过凸函数的定义、性质的描述,主要研究其在不等式证明中的应用,举例说明解题思路与证明方法,并且证明了几个常见的重要不等式及高次函数的凸性猜想. 函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握函数在区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确地描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析.2. 凸函数的有关概念2.1凸函数的定义、定理及其几何意义定义 若函数()f x 对于区间(),a b 内的任意12,x x 以及()0,1,λ∈恒有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称()f x 为区间(),a b 上的凸函数.其几何意义为:凸函数曲线()y f x =上任意两点()()11,,x f x ()()22,x f x 间的割线总在曲线之上.定理1 若函数()f x 在区间(),a b 内连续,对于区间(),a b 内的任意12,x x 恒有12121[][()()]22x x f f x f x +≤+， 则称()f x 为区间(),a b 上的凸函数.其几何意义为:凸函数曲线()y f x =上任意两点()()11,,x f x ()()22,x f x 间割线的中点总在曲线上.定理2 若函数()f x 在区间(),a b 内可微,且对于区间(),a b 内的任意x 及0x ,恒有00()()()f x f x f x x '≥+-，则称()f x 为区间(),a b 上的凸函数.其几何意义为:凸函数曲线()y f x =上任一点处的切线,总在曲线之下. 注 若将定义1,2,3中的≤“”改为<“”则称()f x 为(),a b 上的严格凸函数. 2.2 凸函数定义与定理之间的等价性条件2.2.1 定义1与定理1的等价性证 定义1⇒定理1:显然,只要取12λ=即可由定义1推得定理1.定理1⇒定义1:我们首先推证()f x 对于任意的12,x x (),a b ∈及有理数()0,1λ∈,不等式1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，成立.事实上,对于此有理数λ,总可表示为有穷二进位小数,即121121122220.2n n n nn na a a a a a a ---++=，其中0,1(1,2,,1);1i n a i n a ==-=或由于1λ-也是有理数,故也可以表示为有穷的二进位小数,即1λ-=121121122220.2n n n nn nb b b b b b b ---++=， 其中()1,1,2,,1;i i b a i n =-=-1,n b =这是因为()11λλ+-=的缘故,因此111212[]()()i i f a x b x a f x b f x +≤+(1,2,,1)i n =-，所以12[(1)]f x x λλ+-12112112112112222222[]22n n n n n nn n nna a a ab b b b f x x ------++++=+21212121111212112222()(22[]2n n n n n nn n a a a b b b a x b x x x f ------+++++=2121212111121211222211[()]()2222n n n nn n n n a a a b b b f a x b x f x x ------++≤+++2121212111121211222211[()()]()2222n n n n n n n n a a a b b b a f x b f x f x x ------++≤+++121112212221111[()()][()()]()2222n n n a x b x a f x b f x a f x b f x f -+≤++++11122122122111[()()][()()][()()]222n n na f xb f x a f x b f x a f x b f x ≤+++++12112112112112222222()()22n n n n n n n n n na a a ab b b b f x f x ------++++=+12()(1)().f x f x λλ=+-下面再推证()f x 对λ为无理数时定义1也成立.事实上,对任意无里数()0,1,λ∈{}(0,1),n λ⊂存在有理数列12(),(1)n n n n x x λλλλ→→∞+-→所以，12(1)()x x n λλ+-→∞,由于()f x 在(),a b 内连续,所以1212121212[(1)][lim (1)]lim [(1)]lim[()(1)()]()(1)()n n x n n n n x x f x x f x x f x x f x f x f x f x λλλλλλλλλλ→∞→∞→∞+-=+-=+-≤+-=+-综上即知,定义1与定理1等价.2.2.2 定义1与定理2的等价条件证 定义1⇒定理2:对(),a b 内任意的0x 及x ,若0,x x <则取0h >,使00,x x h x <+<由推论1得0000()()()()].f x h f x f x f x h x x +-+≤-上式中令0,h →由于()f x 可微,所以有0()f x '00()(),f x f x x x +≤-即00()()()f x f x f x x '≥+-.若0,x x <则取0h >,使00,,x x x x h x <<+<同理可证.2.2.3 定理2与定义1的等价条件对于区间(),a b 内的任意12,x x (不妨设12x x <)以及()0,1,λ∈令()121x x x λλ=+-,则12,x x x << ()()1121,x x x x λ-=-- 2x x -= ()()211,x x λ--由泰勒(Taylor)公式,我们有111222()()()()()()()()f x f x f x x f x f x f x x θθ''=+-=+-及其中1122x x x θθ<<<<,于是12()(1)()f x f x λλ+-12[(1)]f x x λλ=+-+2121(1)()[()()]x x f f λλθθ''---.再由单调性知21()()f f θθ''≥,所以12()(1)()f x f x λλ+-≥ 12[(1)]f x x λλ+-,即12[(1)]f x x λλ+-≤12()(1)()f x f x λλ+-.所以在一定条件下，定义1与定理3等价.3. 凸函数的有关结论 3.1 凸函数的运算性质性质1 若()f x 为区间I 上的凸函数, k 为非负实数,则()kf x 也为区间I 上的凸函数.性质2 若()(),f x g x 均为区间I 上的凸函数,则()f x + ()g x 也为区间I 上的凸函数.推论 若()(),f x g x 均为区间I 上的凸函数,12,k k 为非负实数,则()()12f x k g x +k 也为区间I 上的凸函数.性质3 若()f x 为区间I 上的凸函数,()g x 为J 上的凸增函数,且()f I J ⊂,则g f ⋅为区间I 上的凸函数.性质4 若()(),f x g x 均为区间I 上的凸函数,则()F x =()(){}max ,f x g x 也是区间I 上的凸函数.上述性质很容易证明，故在此省略.3.2 凸函数的其他性质引理 f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点12x x x <<，总有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x +-≤--. ()1证 [必要性]记3231,x x x x λ-=-则213(1).x x x λλ=+- 由f 的凸性知道()21313[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+-=3221133131()()x x x xf x f x x x x x --+--.从而有()()312321213()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+-,即()()()322212321213()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-.整理后即得()1式.[充分性]在I 上任取两点1313,,(),x x x x <在[13,x x ]上任取一点213(1)x x x λλ=+- ()0,1,λ∈即3231.x x x x λ-=-由必要性的推导逆过程，即可证明 1313[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.故f 为I 上的凸函数.同理可证，f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点12,x x x <<总有313221213132()()()()()()]]f x f x f x f x f x f x x x x x x x -+-≤≤---.性质1 设f 为区间I 上的严格凸函数,若有0x 是()f x 的极小值点,则0x 是()f x 在I 上唯一的极小值点.证明 若()f x 有异于0x 的另一极小值点1x I ∈ ,不妨设()()10f x f x ≤ 由于()f x 是在I 上的严格凸函数, 故对于任意的()0,1λ∈,都有()01010[(1)]()(1)()f x x f x f x f x λλλλ+-<+-≤.于是,任意的0δ>,1,只要充分接近时总有()0010(1),x x x U x λλδ=+-∈.但是,()0()f x f x ≤,这与1x 是()f x 的极小值点的条件矛盾,从而0x 是()f x 在I 上唯一的极小值点.性质2 设()f x 为(),a b 内的凸函数,有()f x 在I 的任一内闭区间()(),,a b αβ<上满足Lipschitz 条件.证明 要证明()f x 在(),αβ上满足Lipschitz 条件,即要证明:0,L ∃>使得()12,,x x αβ∀∈有1212()()f x f x L x x -≤-. ()2()()()(),,,,,,a b h h a b αβαβ⊂-+⊂因为，故可取充分小使得因此，()12,,x x αβ∀∈，12,x x <32x x h =+取，根据定义有32212132()()()()f x f x f x f x M mx x x x h+--≤≤--,(其中,M m 分别表示()f x 在(),h h αβ-+的上、下界)从而2121()()M mf x f x x x h--≤-, ()3 若1232,,x x x x h >=-可取由定义有32211223()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--,从而32211223()()()()f x f x f x f x M m x x x x h---≤≤--.由此也可推出()3式.若12x x =，则()2显然成立.这就证明了()3式显然对于一切()12,,x x αβ∈都成立，因此()3式当12,x x 互换位置也应成立，故有2121()()M mf x f x x x h--≤-. 令M mL h-=,则原命题成立.性质3 设()f x 是(),a b 上的凸函数,则()f x 在(),a b 上处处存在左、右导数,且左导数小于、等于右导数.证明 ()()()00,,,x a b U x a b δ∀∈∃⊂.记()()00()(),,f x f x F x x a b x x +=∈-，()121200,x x x x x x δ<∈-任意且，，，有引理得()()1020121020()()()()f x f x f x f x F x F x x x x x ++=≤=--.()F x 在()00x x δ-，上单调递增;再在0x 右方任取一定点()00,x x λλδ∈+，，由引理得: ()()()12F F F x x λ≤≤所以()F x 在()00x x δ-，上单调递增且有上界, 故由单调有界原理: 极限()0lim x x F x -→存在，即0()f x +'存在; 任意102x x x <<由定义3有()()1020121020()()()()f x f x f x f x F x F x x x x x ++=≤=--.令1020,x x x x -+→→,则()f x 在0x 的左导数小于等于()f x 在0x 的右导数.性质4 设()f x 为(),a b 内可导凸函数,证明()0,x a b ∈ 为()f x 的极小值的充要条件是0()0f x '=.证明 [必要性]已知函数()f x 在0x 可导,且取得极小值,则0()0f x '=(极值的必要条件).[充分性] (),x a b ∀∈，0,x x ≠有00()()().f x f x x x ≥+-因为0()0f x '=，故(),,x a b ∀∈都有0()(),f x f x ≥所以0x 为()f x 的极小值点.定理1 设f 为区间I 上的可导函数，则下列论断互相等价；1) f 为I 上的凸函数, 2) f '为I 上的增函数, 3) 对I 上的任意两点12,,x x 有()21121()()()f x f x f x x x '≥+-. ()*证明 1)2)→ 任取I 上的两点1212,x x x x <（）及充分小的正数,h 由于1122,x h x x x h -<<<+根据的凸性及引理有11212212()()()()()()f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-.有f 是可导函数，令0h +→时可得211212()()()()f x f x f x f x x x -''≤≤-.所以f '为I 上的递增函数.2)3)→ 在以1212,()x x x x <为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理和f '递增条件，有()()2121121()()()()f x f x f x x f x x x ξ''-=-≥-,移项后即得()*式成立，且当12x x >仍可得到相同结论3)1)→ 设以12,x x 为I 上的任意两点，312(1)x x x λλ=+-，由3)并利用131223211)()x x x x x x x x λλ-=---=-与（）,()()133133312()()()()(1)()f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+--,()233233321()()()()()f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+-（）,分别用λ和1λ-乘上列两式并相加，便得()()12312(1)()()(1)f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-,从而为I 上的凸函数.推论1 设()f x 为区间I 上的二阶可导函数,则()f x 为凸函数.()0,f x x I ''⇔≥∈.推论2 设()f x 为区间I 上的可微凸函数,则有0x I ∈是()f x 的极小值点.()00.f x ''⇔=定理2 设()f x 在(),a b 上连续,则()f x 是(),a b 上的凸函数的充要条件是:对任意含于(),a b 的闭区间[],,x h x h -+都有1()()2hhf x f x t dt h -≤+⎰. 证明 必要性：()()()()1,2t h f x f x t f x t ∀≤≤-++，故 ()()()()12[]2hhhhhf x f x t f x t f x t dt --≤-++≤+⎰⎰.充分性:假定存在12,x x <使()()1212122x x f f x f x +⎛⎫>+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 作辅助函数()()()()11,x f x k x x f x ϕ=---其中2121()()f x f x k x x +=-则120,2x x ϕ+⎛⎫> ⎪⎝⎭因此[]()()[][]12012,max 0,0,,,,x x x x h x h x h x x ϕϕ=>=-+⊂取()()000t h x x t ϕϕ≤-+≥当时，且不恒为0，因此()()002hhh x xt dt ϕϕ->+⎰.再由()x ϕ的定义推出: ()002()hhf xt hf x dt -+>⎰ 这与条件矛盾, 故定理2得证.定理3 若()f x 为(),a b 内的凸函数,(),,i x a b ∈ 1,2,,,i n =则()111.ni ni i i x f f x n n ==⎛⎫⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 证明 对12,2n x ==不等式是显然的,设对1n -不等式成立. 因为1212111,1nn n x x x x x x n x nn n n-++++++-=⋅+- 这里()()1211,,,,,1n n x x x n a b x a b n n λ-+++-=∈∈- 由题得()()111111.1n n i i n i i n i i x x n f f f x f x n n n nn ===⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪≤+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 4.凸函数的一些应用4.1应用凸函数性质证明不等式在初等数学及数学分析的课程中,对于不等式的证明是一个重要内容.有时利用凸 函数的理论,证明一些不等式,将会更加简单.下面用例题加以说明.例1 求证:对任意实数,,a b 有()21.2a ba bee e +≤+ 证明 设()()(),0,,x f x e f x x ''=≥∈-∞+∞则故()xf x e =(),-∞+∞为上的凸函数.从而对121,,2x a x b λ===有定义 12121[][()()]22x x f f x f x +≤+.即得()212a ba bee e +≤+. 注：该题构造函数，运用凸函数的定义很容易就导出.例2 设01,01,x a <<<<则有()()1111.aax x x -+-<-证明 设()()()()11101aaf x x x x -=+-<<.那么()()()()()()111111,aaa a f x a x x x ax ---'=-+-++-()()()()()()1111111aaaa f x a a x x a a x x ----''=--+---+()()()()1121111a aa a a a x x a a x x ------+--+()()()()()()12112111111aa a a a a a x x x x x x x x -----⎡⎤=--+-++++-+⎣⎦()()()()()()1212111111.a a aa a a x x a a x x ------=--+-=-+-于是 ,当01,01x a <<<<时,()0,f x ''>由严格凸函数的定义,其中12,1,0,x x x λ===得()()()()()110110,f x f x x x f x f =⋅+-⋅<⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦即()()1111.aax x x -+-<-注：该题运用了定理1及推论1的结论.例3 在ABC 中，证明sin sin sin 2A B C ++≤()()()()sin ,0,,sin 0,0,f x x x f x x x ππ''=-∈=>∈证明 令由应用2得()()()33f A f B f C A B C F ++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,即sin sin sin sin3A B CA B C ++++≤s i n ,3π≤=所以sinA+sinB+sinC 2注：该题运用了定理3的结论.例4设12n a a a 、、均为正数，且121n a a a +++=.求证：()2222212121111.n n na a a a a a n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭证 因为()2,f x x =()()()22,20,f x x f x f x x ''==>=由于得是凸函数，有凸函数的性质，有22212122121221211111111111.n n n nn a a a a a a a a a a a a n n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++++++ ⎪⎪≥⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()4 由柯西不等式：222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑得1212111111()1n n a a a a a a ⎛⎫+++=+++⋅ ⎪⎝⎭()12122111(),n na a a a a a n =++++++≥212111()nn a a a ∴+++≥，由()4即得 ()2222212121111n n n a a a a a a n+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4.2关于凸函数的某些猜想猜想1 三次函数不是(),-∞+∞上的凸函数. 证 设()3232103,0.x x a x a x a a f a +++≠= 显然，()f x 在(),-∞+∞上可导，且()232123x x a x a f a ++'=,因为30,a ≠故()f x '在(),-∞+∞上不单调，所以不是凸函数.猜想2 试给出四次的函数在定义域上是凸函数的一个充分条件. 设()432432104,0,x x x a x a x a a f a a ++++≠=因为四次的在定义域上二次同样可导，且()324321432x x x a x a f a a +++'=, ()24321262x x x a f a a ++''=.根据3..1的推论1可知,下式()423420.64120a a a a >⎧⎪⎨-⋅⋅≤⎪⎩ 则该四次函数在(),-∞+∞是凸函数. 化简得① 423420.380a a a a >⎧⎨-⋅≤⎩② 423420.380a a a a <⎧⎨-⋅≤⎩ 则该四次函数在(),-∞+∞不是凸函数.③ 423420.380a a a a >⎧⎨-⋅>⎩设()24321262x x x a f a a ++''=与x 轴的两交点分别是()1212,,x x x x <则()x f 在()()12,,,x x -∞+∞内分别为凸函数，在()12,x x 内不是凸函数.④ 423420.380a a a a <⎧⎨-⋅>⎩同理设()x f ''与x 轴的两交点分别是()1212,,x x x x <则()x f 在()12,x x 内为凸函数，其他区间不是凸函数.猜想3 5次函数在实数范围内是否有为凸函数的？设5次函数的表达式为()54325432105,0,x x x x a x a x a a f a a a +++++≠= 显然该是在实数范围内二次可导.()432543215432,x x x x a x a f a a a ++++'= ()325432201262.x x x x a f a a a +++''=现在需要找出二次导数在实数范围内是否恒大于等于0. 我们设()()325432201262,x f x x x x a g a a a ''=+++=()2154360246.x x x g a a a =++'下面分情况讨论：()524530,2446060a a a a >⎧⎪⎨-⋅⋅≤⎪⎩ 即()0x g ≥'在R 上恒成立.则()x g 在R 上单调递增，此时5a 为某一定值，但是总,x R ∃∈使得()0,x g <即x R ∃∈使()0f x ''<成立.同四次的理一样，其他3种情况更不可能为凸函数. 所以五次函数在R 上不是凸函数.以此类推，高次函数()11100,,n n n n n f x a x a x a x a a --=+++≠5n 时，该函数在实数范围内不是凸函数.5.小结本文通过凸函数的定义、性质的描述,主要研究其在不等式证明中的应用,举例说明解题思路与证明方法,并且证明了几个常见的重要不等式及高次函数的凸性猜想.函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握函数在区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确地描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析.致谢经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，在这里首先要感谢我的指导老师柴国庆教授.柴老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从初次选题到查阅资料，论文初稿的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导，还不惜把自己的研究成果让我参考、借鉴，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩柴老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！参考文献[1]数学分析上第三版.华东师范大学数学系编.北京.高等教育出版社，2001,148-154.[2]李惜雯.数学分析例题解析及难点注释（上册）.西安.西安交通大学出版社，2004.1,265-269.[3]林源渠方企勤.数学分析解题指南.北京.北京大学大学出版社，2003.11.84-87.[4]大学数学名师导学丛书.北京.中国水利水电出版社，2004208-212..[5]花树忠.邯郸市职工大学基础教学部.邯郸，056001.[6]李世杰.衢州市教育局.浙江.衢州，324002.[7]宋小军.西华师范大学数学与信息学院.四川文理学院学报.2010年5期.[8]陈迪红.长沙铁道学院学报.第12卷.第3期.1994年9月.[9]曹良干.阜阳师范学院学报.总22期.[10]陈太道.琼州大学.数学系.临沂师范学院学报第24卷，第3期.[11]李宗铎.湖南教育学院学报长沙大学.第18卷第2期.。
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用数学计算机科学学院摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果.关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用Nature of Convex Function and its Application in ProvingInequalitiesChen Huifei, College of Mathematics and Computer ScienceAbstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，whichmakes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality). We also have promoted and proved some inequality (Triangle inequality, Jensen inequality) and reached new results.Key words : Convex function;Logarithmic convex function ; Jensen inequality; Hadamard Inequality;Application1引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中.凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数,即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数.本文试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其作用.2 概念2.1 凸函数的定义上面对凸函数作了直观的描述，我们用分析式子给出其精确定义.定义[1]2.1设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，若对[,]a b 上任意两点12,x x 和正数λ∈（0,1）,总有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (A)则f 为区间[,]a b 上的凸函数.（同时也称为上凸函数，若是不等号反向则称为下凸函.）定义[1]2.2 若函数()f x 在D 上是正的,且ln ()f x 在D 上是下凸函数,则称()f x 是D 上的对数下凸函数这时, 对于任意,x y D ∈ 和(0,1)λ∈,有ln [(1)]ln ()(1)ln ()f x y f x f y λλλλ+-≤+-. 即(1)[(1)]()()f x y f x f y λλλλ-+-≤ (B)如果(2) 中的不等号反向,则称()f x 是D 上的对数上凸函数.2.2 对数凸函数的性质 我们已经有了凸函数以及对数凸函数的定义，现在我们来看一下对数的一些引理，定理及其性质等.定理 2.1[2] (对数下(上) 凸函数的判定定理) 设()f x 是D 上的正值函数,且在D 上有二阶导数,则()f x 在D 上为对数下(上) 凸函数的充要条件为对于任意x ∈D ,有2()()(())0(0)f x f x f x '''-≥≤先证下引理引理 2.1[2] （1) 若()g x 是[,]a b 上的下(上) 凸函数,则()()g x f x e = 为[,]a b e e 上的对数下(上) 凸函数.（2) 若()f x 是[,]c d 上的对数下(上) 凸函数,则()ln ()g x f x =为[ln ,ln ]c d 上的下(上) 凸数.证明（1) 任取12,[,]c d x x e e ∈,由()g x 在[,]c d 上是下凸函数,对任意01λ<<有()()121212[(1)]()(1)()121()()112[(1)][][]()()g x x g x g x g x g x f x x e e e e f x f x λλλλλλλλλλ+-+---+-=≤==（2）任取12,[ln ,ln ]x x c d ∈ ,由()f x 是[,]c d 上的对数下凸函数,对任意01λ<<有11212121212[(1)]ln [(1)]ln[()][()]ln ()(1)ln ()()(1)()g x x f x x f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλ-+-=+-≤=+-=+-所以()g x 为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)下证定理2.1[2] “⇐” 设[,]D c d =，()ln ()g x f x =，则 ()()[ln ()]()f xg x f x f x '''==，22()()[()]()()f x f x f x g x f x '''-''= 所以()g x 是为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,根据引理1 得()ln ()()g x f x e e f x ==为[ c ,d] 上的对数下凸函数“⇒” 若()f x 为[,]c d 上的对数下凸函数,由引理1 得()ln ()g x f x =为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,从而()0g x ''≥ ,对()ln ()g x f x =求二阶导数即得2()()(())0f x f x f x '''-≥. (用类似方法可证上凸的情形) .推论2.1[2] 设12(),()f x f x 是D 上的对数下(上) 凸函数,则1212()(),()()f x f x f x f x +也是D 上的对数下(上) 凸函数证明：设1212()()(),,,(0,1)g x f x f x x x D λ=+∀∈∈121122121111112221221121122212((1))((1))((1))()()()()[()()][()()]()()g x x f x x f x x f x f x f x fx f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλλλλλ----+-=+-++-≤+≤+⨯+= 其中(A) 由..H older 不等式得到根据定义 2.2 得出1121()()f x f x +是D 上的对数下凸函数.122112[()()]()()()()f x f x f x f x f x f x '''=+12211212[()()]()()2()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''=++2121212222221111222[()()][()()]{[()()]}(){()()[()]}(){()()[()]}0f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x '''-=''''''-+-≥根据定理2.1 得12(),()f x f x 是D 上的对数下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)用数学归纳法可将推论1 推广到有限情形.推论 2.2[2] 设()f x 是定义在D 上的正值函数,1) 若()f x 是对数下凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数上凸函数. 2) 若()f x 是对数上凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数下凸函数. 证明 1) 设1()()x f x φ=22322224241()()()2(())()(),()[]()()()()()2(())()()()(())()()[()][][][]()()()f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x f x f x f x φφφφφ''''-''''==-=-'''''''--'''-=--=-显然是小于0的，所以1()()x f x φ=是对数上凸函数，同理可证2) . 定理 2.2[2] (Jensen 型不等式) 设()f x 是D 上的正值对数下凸函数, 12,01, (1)i i n x D λλλλ∈<<+++=12112212(...)()()...()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤ （*）若()f x 是D 上的正值对数上凸函数,则(*) 中不等号反向.证明 (用数学归纳法) 当2n =时，由定义2.2 知不等式(*) 成立. 假设n k =时不等式(*) 成立,即121122121(...)()()...()(1,0)kkk k k i i i f x x x f x f x f x λλλλλλλλ=+++≤=>∑ ,(1,2,...,1),i x D i k ∈=+设1(1,0)ki i i λλ==>∑111211121111221111111121111211[...()()]()()...()()()()...()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x f x x x x x f x f x f x f f x f x f x f x f x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+++--++++++-++-+++++++++≤+≤++ 所以当1n k =+时,不等式(*) 成立,从而对于一切自然数(2)n n ≥ 不等式(*) 成立. 用同样方法可证明上凸情形.当然这里的定理对凸函数也是成立的.在下面的运算性质中有介绍.也就是下面的Jensen 不等式 1,Jensen 不等式 2.引理 2.2[2] (凸函数的Hadamard 不等式) 设()x φ是区间D 上的下凸函数则对于任意,.a b D a b ∈≤有11()[()()]22b a a b x dx a b b aφφφφ+⎛⎫≤≤+ ⎪-⎝⎭⎰ （#） 若()x φ是区间D 上的上凸函数,则对于任意,.a b D a b ∈≤,(#)中不等号反向.定理 2.3[2] ( Hadamard 型不等式) 设():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则11()()[()()]2ln ()ln ()b a a b f f x dx f b f a b a f a f b +≤≤---⎰ （） 若():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则(5) 中不等号反向.证明 由引理2.1 和引理2.2有1ln ()ln ()11ln ()()lim lim lim n f a bb f x n a a n i f a n n n b a f x dx e dx e n +∆→∞=+∆→∞→∞-==≥=∑⎰⎰nn 由平均值i=1（b-a ）e （b-a ）11(ln ())()2lim ()ln ()()()()2n i b ai f a b n n b a a n a b lmf b a e f x dxa b b a e b a f =-+∆-→∞+∑==-+≥-=-⎰1b-a （b-a)e （其中b a ∆=-）又令()ln ()x f x φ=，根据定义2.1，对于a x b <<，有()()()()()a b x b x a x b aφφφ-+-≤- ()()()()()()ln ()()()()()()()()()()()exp()|()()[]()()ln ()ln (b a x b a a b x b x a b b b b f x x b a a a a a b a a b b a a b b b b a b aa ab a f x dx edx e dx e dx b a b a e e dx e x b a b a b a b a e e b a f b f a φφφφφφφφφφφφφφφφφ-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦-+------==≤--⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦--=-=--⎰⎰⎰⎰⎰[()()])f b f a - 定理得证.2．3[3] 凸函数的性质 在讨论了一些对数凸函数的定理，引理，我们来看一看凸函数的运算性质以及它们实用的定理：（1) 若()f x 与()g x 均为区间[,]a b 上的凸函数，则()f x +()g x 也是区间[,]a b 上的凸函数.（2）若()f x 与()g x 为区间[,]a b 上的凸函数，则ⅰ）0λ≥，则()f x λ是[,]a b 上的凸函数；ⅱ）0λ<，则()f x λ是[,]a b 上的凹函数.(3) 设()f x 与()g x 都是[,]a b 上的非负单调递增的凸函数，则()()()h x f x g x =也是[,]a b 上的凸函数.证明：对任意12,x x ∈[,]a b 且12x x <和任意λ∈(0,1)，因()f x 与()g x 在[,]a b 上单调递增，故 ：1212[()()][()()]0f x f x g x g x --≥即： 12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+ (1) 又因为()f x 与()g x 在[,]a b 上的凸函数，故1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，2121g(x +(1-)x )g(x )+(1-)g(x )λλλλ≤ 而()0,()0f x g x ≥≥，设将上面两个不等式相乘，可得2122222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()](1)()()f x x g x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλλ+-+-≤+-++-又由⑴知21212222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()(1)()()]f x x g x x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλ+-+-≤+-++-=1122(1)()()()()f x g x f x g x λλ-+由凸函数的定义知：()()()h x f x g x =是[,]a b 上的凸函数.注：1°()f x 与()g x 非负不能少,2°(),()f x g x 单调递增不能少. (4)[4][5] 设()u ϕ是单调递增的凸函数，()u f x =是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数.对于其他情况也有类似的情况的命题，如下列：我们也可以看一下单值有反函数的函数的反函数与自身的凸凹性的关系. 如下表：(5) 若()f x 为区间I 的凸函数，且()f x 不是常数，则()f x 在I 部不能达到最大值.2.4[3] 凸函数的等价定义和判定设函数f 在区间(,)a b 上有定义，则下列命题彼此互相等价：（1）对任意12,x x ∈(,)a b 及任意恒有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-（2）对任意i x ∈(,)a b 及任意i p >0. 1,2,...,i n =. 11n i i p -=∑ 恒有11()n ni i i i i i f p x p f x ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ （3）对任意1,2,(,)x x x a b ∈, 12x x x <<,恒有12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x---≤≤--- （4）在(,)a b 上曲线在其每一点处具有不垂直于x 轴的左、右切线，并且曲线在左、右切线之上.（5）若在(,)a b 存在单调递增的函数()x ϕ.以及0x ∈(,)a b ，使得对任意(,)x a b ∈，恒有00()()()xx f x f x t dt ϕ-=⎰，（6）对任意12,x x ∈(,)a b ，12x x <，恒有21121221()()1()22x x x x f x f x f f t dt x x ++⎛⎫≤≤ ⎪-⎝⎭⎰ （7）对任意12,(,)x x a b ∈，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于凸函数定义等价性的证明，可参看[4]及[5].对于等价定义（5）事实上，我们也有类似的这样一个定理： 定理 2.4 设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，则f 在[,]a b 上为上(下)凸函数（严格上（下）凸函数）的一个必要充分条件f '是在(,)a b 上递增（减）（严格递增（减））.证明 先证条件是必要的.设()12,(,)x x a b ⊂.只要x x '与满足12x x x x '<<<，由于等价定义（3）可知12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x '---≤≤'--- 在上式中令12,x x x x +-'→→，得211221()()()()f x f x f x f x x x -''≤≤-. 在是严格上凸函数的情形，我们取一点*x 满足*12x x x <<，从而得出**1212**12()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x--''≤<≤--. 这样就得出了严格的不等式12()()f x f x ''<，必要性得证.再证充分性.设f '是在(,)a b 上递增.对任何()12,x x x ∈，由Lagrange 中值定理，可只存在()12,x x ξ∈与()12,x x η∈，使得11()()()f x f x f x x ξ-'=-，22()()()f x f x f x x η-'=- 因为x ξη<<，所以()()f f ξη''≤.从而有1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--所以，可知函数f 在[,]a b 上为上凸函数.容易看出，当f '严格递增时，()()f f ξη''<.上述不等式中成立着严格的不等号，从而函数f 在[,]a b 上是严格的上凸函数.同理可以证明下凸时的情景.当函数f 在[,]a b 有二阶导数时，我们有下列应用起来就会更方便的定理 定理 2.5 设函数f 在[,]a b 上连续，f 在(,)a b 有二阶导数，则f 在[,]a b 上为上凸函数（下凸函数）的充分条件0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 成立；而f 在[,]a b 上为严格上（下）凸函数的充分必要条件是0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 成立并且在(,)a b 的任何开的子区间f ''不恒等于0.证明 第一个结论，由于0f ''≥得出f '在(,)a b 上递增再由定理4可得出.同理可证明下凸时的情景； 第二个结论，先证充分性 由于0f ''≥在(,)a b 成立并且在(,)a b 的任何开的子区间f ''不恒等于0.对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，又由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，所以21()()f x f x ''>.所以函数f 在[,]a b 上为严格的凸函数.充分性得证.再证必要性（反证法） 因为函数f 在[,]a b 上为严格凸函数，对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，则21()()f x f x ''>，而由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，若是有一个(,)a b 的子区间恒等于0.不妨设为(,)(,)a b ξη⊂，对任意(,)x ξη∈，()0f x ''=.则由于21()()()x x f f f x dx ηξ''''=+⎰，()()f f ξη''=，这与已知条件相矛盾.所以，必要性得证.同理可证明下凸时的情景. 所以，定理得证.关于凸函数的判定有很多，应用围最广的是Jensen 不等式. Jensen 不等式 1 设()f x 在区间I 上有定义，()f x 为凸函数，当且仅当12,,...,n x x x I ∀∈1212...()()...()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭（J1） 此外，当且仅当12...n x x x === 时，上式等号成立（证明略请参考附[1]）. Jensen 不等式 2 12,,...,[,]n x x x a b ∀∈，12,,...,0n λλλ>，且11ni i λ==∑，1.则()f x 为凸函数的充要条件为：11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ （J2）此外，上式当且仅当12...n x x x === 时，等号成立.（证明略请参考附[1]）. 这里对任意12,,...,0n βββ>，若是令1ii nii βλβ==∑，那么就有1111()nni i i i i i n n i i i i x f x f ββββ====⎛⎫ ⎪ ⎪≤⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ (J3) 每个凸函数都有一个Jensen 不等式，Jensen 不等式的应用围甚广，既可用于求解不等式问题，又可用于证明不等式定理，应用Jensen 不等式解题的关键有两条：一是必须先判明函数的上(下)凸性，二是直接应用Jensen 不等式有困难时，可以根据命题的特点，选择恰当的上凸函数和下凸函数，然后再进行解答.3 凸函数以及对数凸函数的应用在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙.证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数.例 1[1] 利用凸函数证明调和平均值H ≤几何平均值G ≤对数平均值L ≤指数平均值E ≤算术平均值A.证明：事实上，我们可以用凸函数理论证明，对任意0(1,2,...,)ix i n = 有1212 (111)...nnx x x n nx x x +++≤≤+++ （2）只要将不等式各部分同时取对数，这时左边的不等式可变为121111...1111ln (ln ln ...ln )n nx x x n n x x x +++-≤----.从而由函数()ln f x x =-在(0,)+∞上的（严格）凸性可得；右边的不等式可直接由()ln g x x =上的(0,)+∞（严格）下凸性可得.（具体证明可参看[2]）为了证明例1 中的连不等式，我们先来看下面两个小题：（1） 设0(1,2,...,)i a i n >=且不全相等，0(1,2,...,)i p i n >=有不等式链11111ln ln exp exp n n nii i i i i i i i i nn n ii i i i n i i p a p a p a a p p p a ======⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （3） 证：凸函数()ln f x x =-的Jensen 不等式：取0i q >，11ni i q ==∑，0(1,2,...,).i a i n >=得11ln ln n n i i i i i i q a q a ==-≤-∑∑ [4] 111ln ln nn i i i i i i q q a a ==-≤-∑∑ （5）在[4]中令1i ini ii ip a q p a ==∑得 1111exp ln nn niiii ni i i i iii ip p p a p a a a ====⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ （6）又由（4），(5)可得 1111in nq i i i n i i i i ia q a q a ===≤≤∑∏∑ （7）在此令1ini i i p q p ==∑，可得111111ln exp nn ni i i i ii i i n n n ii i i i i i p p a p a p p p a ======⎛⎫ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （8） 联立(6),(8)既得证 (3).（2） 设()()f x p x 与在[,]a b 上正的连续函数且()f x ≠常数，在⑻中作代换i b a p p a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，i b a a f a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭并在“∑”号后均乘b a n -，由0b a ->，不改变原不等号方向.令n →∞ 便得(3)的积分形式：ln ln exp exp b bb ba aa ab b bba aa ap fdx pdxp fdx pfdx f p p pdx pdxdx dx f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪≤≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)'在(3)'中令()1,()p x f x x ==()11ln ln ln ln 2b ab a b a b ab a e ----+⎛⎫≤≤≤⎪-⎝⎭再联立(2)，得出H G L E A ≤≤≤≤.例 2 （1）在锐角ABC ∆中，证明1cos cos cos 2A B C ++≤， （2）12,,...,n a a a 设为正数，证明恒成立12...n a a a n +++≥. 证明 （1）令()cos()f x x =-，(0,)x π∈.由于()cos()0f x x ''=>，(0,)2x π∈.所以()f x 在(0,)2x π∈上凸函数，所以由于（J1）()()()()33f A f B f C A B Cf ++++≥，即cos()cos()cos()s()33A B C A B C co ---++≥-1()2=-即1cos cos cos 2A B C ++≤；（2） 令()ln ,(0,)g x x x =-∈+∞，所以21()0,(0,)g x x x''=>∈+∞， 故()g x 是在(0,)+∞上的上凸函数.也是根据（J1）121212121212()()...()...()ln ln ...ln ...ln()ln ln ...ln ...ln()n nn nn n g a g a g a a a a g n n a a a a a a n na a a a a a n n++++++≥++++++-≥-++++++≤即即从而，有12...n a a a n+++≥.下面我们再看一个用对数凸函数证明的不等式题. 例 3[2]10,0,12ni i i πλλ=<<>=∑i 设x ，则12112212sin(...)sin sin ...sin n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ （&）12112212cos(...)cos cos ...cos n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥(%)证明 设()sin()f x x =，由于2()()[()]10f x f x f x '''-=-<，故sin()x 是(0,)2π上的对数凸函数，同理cos()x 也是(0,)2π上对数凸函数.根据定理2即可得（&），(%).例 4 设()f x 在[,]a b 上可积，且()m f x M ≤≤，()t ϕ是在[,]m M 上的连续下凸函数，则11()(())b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 证明 令,()k n k f f a b a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，,1()k n x b a n ∆=-.由于()t ϕ是凸函数，故有1,2,,1,2,,...()()...()n n n n n n n n f f f f f f n n ϕϕϕϕ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭. 由定积分的定义，上式就相当于,,,,11()n ni n i n i n i ni i f f b a b a ϕϕ==⎛⎫∆∆ ⎪ ⎪≥-- ⎪⎪⎝⎭∑∑，,1()k n x b a n ∆=- 在上式中令n →∞时， 则有11()(())b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥⎪--⎝⎭⎰⎰. 命题得证.例 5[7]设,i i a b R +∈，111,2,...,,,n n i i i i i n a b ====∑∑则21112nni i i i i ia a ab ==≥+∑∑.证明 记1ni i s a ==∑，11ni i a s ==∑，将21112nni i i i i i a a a b ==≥+∑∑变为11121n ii i ia b s a =≥+∑，那么取11i ib a +作为函数1()1f x x =+，则由于3()2(1)0f x x -''=+>，再令i i i b x a =，i i a sλ=所以根据凸函数性质和（J3）得出11111211ni n i i i i i i a b s x a λ==≥=++∑∑结论本文主要讨论了凸函数以及对数凸函数一类重要的函数的概念，包括它们的一些定义，性质，定理，引理和它们在证明一些不等式的重要应用.本文介绍了Jensen不等式，Hadamard不等式，叙述了一些定理，引理，性质并给出了它们的证明，并指出它们在判断凸函数的应用.本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用.最后举出了一些例题来具体的来体现凸函数以及对数凸函数在不等式证明的应用.参考文献：[1]汪文珑.数学分析选讲[M].文理学院数学系，2001[2] 琼.对数凸函数的Jensen型和Hadamard型不等式[J].学报,,2005,3[3]查良凇.凸函数及其在不等式证明中的应用[J].工贸职业技术学院学报,,2005,3[4]燕建梁,喜善.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J].教育学院学报,,2002,4[5]T.M菲赫金哥尔茨普.微积分教程[M].1965: 290-300[6]常庚哲,史济怀.数学分析教程（上册）(M).高等教育，2003:167-176[7]碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[J].广西师学院学报,,2004,2[8]白景华.图函数的性质、等价定义及应用[J].大学学报,,2003,2[9]Satish Shirali, Harkrishan L. Vasudeva. Mathematical analysis[M]. Alpha Science International Ltd., c2006.[10]Tom M. Apostol.Mathematical analysis[M].China Machine Press, 2004.致这是本人的第一篇论文，所以在多方面没有指导老师金洪老师的指导是很难进行下去的.老师从我的选题开始便给予了很大帮助，在以后的开题，开题报告，初稿的资料搜索，初稿出来后的校正，进一步的改进都给予了极大帮助，使我在论文的完成进程中得以较为平坦地进行下去.在论文的写作的进行中，我同组等同学也给了我很多帮助.在此表示感.也在此对我们的学校师大学以及我校资料室提供这样一个学习环境和帮助，表示感.也感那在身后的帮助.。
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于优化理论、经济学、物理学等领域。
在不等式证明中，凸函数可以帮助我们简化证明过程，并且提供了一些常用的不等式。
1. 定义：对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意的x1、x2，以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凸函数。
如果不等式方向反过来，即f(tx1+(1-t)x2)≥tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f(x)是凹函数。
2.一阶导数判别法：如果函数f(x)在区间(a,b)上二次可导，且f''(x)≥0，则f(x)是凸函数；如果f''(x)≤0，则f(x)是凹函数。
3. Jensen不等式：如果函数f(x)是凸函数，则对于任意的实数x1，x2，…，xn，以及任意的正实数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，有f(λ1x1+λ2x2+…+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+…+λnf(xn)。
在不等式证明中，凸函数可以用来简化证明过程，常用的应用有：1. 平均值不等式：对于任意的正实数x1，x2，…，xn，有(x₁+x₂+⋯+xₙ)/n ≥ √(x₁x₂⋯xₙ)。
这个不等式可以通过使用以函数f(x)=ln(x)为代表的凸函数来证明。
由于ln(x)在定义域(0,+∞)上是凸函数，我们可以使用Jensen不等式来证明平均值不等式。
2. Cauchy-Schwarz不等式：对于任意的实数a1，a2，…，an以及b1，b2，…，bn，有(a₁²+a₂²+⋯+aₙ²)(b₁²+b₂²+⋯+bₙ²) ≥(a₁b₁+a₂b₂+⋯+aₙbₙ)²。
这个不等式也可以通过使用凸函数来证明，常用的方法是构造凸函数f(x)=x²，然后应用Jensen不等式。
凸函数的性质和一些不等式的证明
凸函数的性质和一些不等式的证明高等教育自学考试毕业论文论文题目：凸函数的性质和一些不等式的证明作者姓名：XXX专业：数学教育主考学校：兰州大学数学与统计学学院＿＿准考证号： XXXXXXXXXXXX指导教师姓名职称：XXX甘肃省高等教育自学考试办公室印制2013 年 3 月 4 日XX 专业论文标题:凸函数的性质和一些不等式的证明论文标题（Properties of convex function andinequality ）论文作者（XX ）论文作者（XXXXXXXXX ）数学专业本科论文目录内容摘要： (4)关键词： (4)一、凸函数 (5)1.凸函数的定义 (5)2.常见的凸函数 (6)4.凸函数的定理 (6)二.凸函数在证明不等式中的简单应用 (7)1．凸函数在几何平均值中的应用 (7)2．凸函数在Young不等式中的应用 (9)3.凸函数在Jensen不等式中的应用 (9)4.凸函数在三角不等式中的应用 (10)注释： (11)参考文献： (11)凸函数的性质和一些不等式的证明——凸函数的证明XX内容摘要：我们通过学习通过我们熟知的一元二次函数:y=x2一些凸函数的定义、概念和它的性质，还有凸函数在Jensen不等式、三角不等式中的应用，让我们了解凸函数的用途。
并且用它的一些特殊的性质来解决我们实际生活中的实际问题。
关键词：凸函数、性质、Jensen不等式、三角不等式、一、凸函数1.凸函数的定义我们都学习了二元一次的函数2()f x x =的图像，它的特点是：曲线2y x =上任意两点间的弧线总在这两点连线的下方。
我们把具有这一种特性的曲线称为凸的由此，我们定义：设()f x 在[,]a b 上有定义，若曲线()y f x =上任意两点间的弧线总位于连接该两点的直线之下，则称函数()f x 是凸函数.上面的定义只是简单的描述性定义，下面我们介绍关于凸函数的精确定义，以便于我们更好的利用它的性质。
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是一类在数学中非常重要的函数，它具有很多重要的性质，并且在不等式证明中有着广泛的应用。
在本文中，我将介绍凸函数的性质，并给出一些在不等式证明中的具体应用。
一、凸函数的定义：对于定义在区间上的函数，如果对于区间上的任意两个点和以及任意实数，都有那么我们称函数是凸函数。
如果上式中的等号只在时成立，那么我们称函数是严格凸函数。
二、凸函数的性质：1.凸函数的一阶导数是非递减的。
2.凸函数的二阶导数是非负的。
3.函数的局部极小值点是凸函数。
4.凸函数的和、乘积以及复合仍然是凸函数。
三、凸函数在不等式证明中的应用：凸函数具有很多重要的性质，这些性质使得凸函数在不等式证明中有着广泛的应用。
下面是一些具体的应用示例：1.利用凸函数判断不等式的方向：考虑不等式f(x)≥g(x)如果函数和是凸函数，且在区间上有，那么可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b2.利用凸函数证明不等式：有时候，我们需要证明一个不等式，其中和可能是一些函数或者表达式。
如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，以及在边界处有，那么我们就可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b从而证明原始的不等式。
3.利用凸函数确定不等式的最优解：在一些优化问题中，我们需要求解一个约束条件下的最优解。
如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，且在边界处有，那么我们就可以确定约束条件的最优解。
4.利用凸函数证明柯西不等式：对于实数集和，柯西不等式指的是(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)其中和是任意实数。
我们可以通过构造一些凸函数的性质，如二次函数，来证明柯西不等式。
在不等式证明中，凸函数是一个非常重要的工具。
它的性质使得我们可以利用它来判断不等式的方向，证明不等式，确定不等式的最优解，甚至证明柯西不等式等等。
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用凸函数（Convex function）是数学中的一种特殊函数，具有一些特殊的性质和应用。
在证明不等式中，凸函数的性质可以帮助我们简化问题，提供了一种有效的方法。
1. 定义：对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意的x1,x2∈R以及0≤t≤1，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么f(x)是凸函数。
2.几何意义：凸函数的几何意义可以通过以下两点来理解。
首先，凸函数的图像上的任意两点形成的线段在函数图像的上方或者处于函数图像上。
其次，凸函数的下方的切线都位于函数图像下方。
3.一阶导数条件：对于凸函数来说，一阶导数是单调递增的。
也就是说，如果f(x)是凸函数，则f'(x)≥0。
4.二阶导数条件：凸函数的二阶导数是非负的。
也就是说，如果f(x)是凸函数，则f''(x)≥0。
凸函数在证明不等式中的应用：1.约束条件：凸函数在一些约束条件下的最大值或最小值通常是问题的关键。
我们可以通过构造一个约束函数和一个目标函数，来求解最优化问题。
通常情况下，约束函数是一个凸函数，而目标函数是可以转化为凸函数的。
2.差分近似：在证明不等式过程中，我们常常需要利用凸函数近似一些复杂的函数。
这是因为凸函数在大部分区间上是递增的，所以可以将复杂的问题简化为凸函数问题。
3. Jensen不等式：Jensen不等式是证明凸函数不等式的重要工具。
Jensen不等式指出，如果f(x)是凸函数且x1, x2, ..., xn是任意实数，那么有f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn) ≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)，其中λ1, λ2, ..., λn是非负实数且满足λ1+λ2+...+λn=14. Karamata不等式：Karamata不等式是一种更加广义的不等式，可以被用于证明许多重要的几何不等式。
这个不等式是基于对凸函数定义的一个扩展。
凸函数及其在不等式证明中的应用1
１凸函数的定义及性质
为了从较高的起点来给出凸函数的定义，清 晰地看出凸函数与凸性的联系，先给出凸集的两 个定义．
定义１［１］某集合称为凸集，是指连接该集合 中的任何两点的连接直线段上的点都在该集合 中．
定义２【１］ 设ｘ是一个线性空间，戈ｌ，戈２∈ｘ 为任意两点，称［Ⅳｌ，戈２］＝｛拟∈ｘ Ｉ瓢＝从ｌ＋（１一 Ａ）戈２，Ａ∈［０，１］｝为连接戈１，戈２的闭线段．
ｙ＝Ａ戈ｌ＋（１一Ａ）龙２，卢＝Ａ口１＋（１一Ａ）乜２， 则由（２）式和图２的定义，有
／（），）＝／（Ａ戈ｌ＋（１一Ａ）戈２）≤矽（戈１）＋ （１一Ａ）／（戈２）≤Ａｄｌ＋（１一Ａ）ａ２＝ｐ．
于是（ｙ，卢）∈ｅｐｉ厂，且口（Ａ戈１＋（１一Ａ）戈２，Ａａｌ＋（１一 Ａ）ｄ２）∈印ｉ，．从而ｅｐｉ厂为凸集，即，是凸函数．
厂（戈１）一，（石２）／．（戈ｏ）一／．（戈２）
≤
’
戈ｌ一石２
戈０一菇２
即对于任何戈２∈（口，６），，在菇２处的左差商当自
变量差ｉｖ分）丛减小掣时，不）减，．≠戈，对戈和ｙ都６）上处处左右可导，从而处
处连续．同时，其左、右导数厂一、／，＋满足 Ｖ戈１，戈２∈（口，６），戈ｌ＜戈２，
ｉ＝１
（Ａ１戈１＋Ａ２戈２＋…＋Ａ，≯。）９≤Ａｌ媚＋Ａ２递＋…＋Ａ，∥暑
坐半≤（坐掣ｒ 在上式中，令Ａ】＿Ａ２＝…＝Ａ。＝１／ｎ，即得
例３证明Ｃａｕｃｈｙ—Ｈ６ｌｄｅｒ不等式．设０１，口２… Ⅱ。，６１，６２…６。为两组非负实数，ｐ＞１，ｑ＞ｌ，ｐ＋ｇ ＝１，则 万方数据
∑。ｉ６；≤（∑。？）ｊ（∑。？）ｊ．
证明 同样地，可考虑函数／（戈）＝矿（ｐ＞１）， 由前例知，厂（戈）＝妒（ｐ＞１）为凸函数，从而Ｖ戈１，
应用凹凸函数的性质证明不等式解读
sin Α+co s Α
2
=1+2sin2Α+
4
2sin (Α+
Π4
≥1+2+4
2
=3+2 2.
例2已知A 1,A 2,A 3,…,A n是凸n边形的n个内角.求证:
sin A 1+sin A 2+…+sin A n ≤n sin (n -2Π
n
.
证明 由平面几何知识可知A i ∈
(0,Π,i =1,2,3,…,n ,且A 1+A 2+…+A n
f (x 2≤2f (
x 1+x 2
2
(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f (x在[a ,b ]上是凸函数;若恒
有f (x 1+f (x 2≥2f (
x 1+x 2
2
(当且仅当x 1=x 2时取等号,则称f (x在[a ,b ]上是凹函数.
应用数学归纳法,我们可以证明下面的凹(或凸函数的性质.
定理 若函数f (x在某区间内是凹(或凸函数,则对变数在这区间内的任意值x 1,x 2,x 3,…x n有以下不等式成立:
一般的随机事件,用统计定义求出它的概率,需要做多次实验(而且还不能找出精确值.为此,对实验合理的设计,数据的处
论:
当x1,x2,…,x n∈R+,且x1+x2+…+ x n=1时,则有
(x1+1
x12+(x2+1
x2
2+…+(x n+1
x n
2
≥(n2+12
n
.
例4设a、b、c为△A B C的三边,S是
凸函数及其在证明不等式中的应用
凸函数及其在证明不等式中的应用凸函数是数学分析中的重要概念，它在不等式的证明中发挥着重要作用。
本文将介绍凸函数以及它在证明不等式中的应用。
凸函数是一个定义在实数轴上的函数，它的一个重要特性是对于函数上任意两点，连接这两点的弦不会低于函数上的任意一点。
凸函数的形象化理解是函数图像位于对应的弦的上方。
具体定义上，设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，如果对于任意的x1,x2∈[a,b]以及任意介于x1和x2之间的t∈[0,1]，有f(tx1 + (1-t)x2) ≤ tf(x1) + (1-t)f(x2)则称函数f(x)在区间[a,b]上是凸函数。
凸函数具有很多重要的性质，这些性质在证明不等式中起到了关键作用。
下面将介绍几个常见的凸函数的性质。
首先，凸函数的导函数递增。
也就是说，如果f(x)是一个凸函数，则f'(x)≥0。
这个性质可以用凸函数的定义来证明。
假设存在x1,x2∈[a,b]，且x1<x2，使得f'(x1)>f'(x2)。
根据导函数的定义，可以得到f'(x1) = lim┬(h→0)(f(x1+h)-f(x1))/hf'(x2) = lim┬(h→0)(f(x2+h)-f(x2))/h由于f'(x1)>f'(x2)，因此存在一个Δ>0，对于任意的0<h<Δ，均有(f(x2+h)-f(x2))/h≤(f(x1+h)-f(x1))/hf(x2+h)-f(x2)≤f(x1+h)-f(x1)由此可得f(x2)≤f(x1)，与凸函数的定义矛盾，因此f'(x)必须递增。
其次，凸函数的二阶导函数非负。
也就是说，对于凸函数f(x)，有f"(x)≥0。
这个性质的证明可以通过分别计算f(x)的一阶导函数和二阶导函数来完成。
如果一阶导函数f'(x)≥0，那么f(x)是递增函数，因此它的二阶导函数f"(x)≥0。
凸函数及其在不等式证明中的应用
凸函数及其在不等式证明中的应用摘要:凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。
本文论述了凸函数的定义、性质及其判别方法，讨论了凸函数在不等式证明中的重要应用并对凸函数进行了推广。
关键词:凸函数; 性质; 不等式; Jensen不等式Convex Function and its Application in the proof InequalityAbstract Convex Function is a kind of important Function, it has a far-ranging application in a lot of mathematical problems .The paper related and analyzed the definition,property, and discriminant method of the convex Function .At the same time,the theme talked about the Convex Function’s important in the proof Inequality and popularized about the Convex Function.Key Words Convex Function; property; Inequality; Jensen Inequality目录题目：凸函数及其在不等式证明中的应用 (1)摘要 (1)关键词 (1)引言 (1)1凸函数的定义、性质及判定定理 (1)1.1凸函数的定义 (1)1.2凸函数的几种等价定义 (2)1.3凸函数的性质及定理 (3)2关于凸函数的四个不等式 (4)2.1 Jensen不等式1 (4)2.2 Jensen不等式2 (4)2.3 Holder不等式1 (5)2.4 Holder不等式2 (6)3凸函数在不等式证明中的应用 (7)3.1利用Jensen不等式1和凸函数性质证明不等式 (7)3.2利用Jensen不等式2和凸函数性质证明不等式 (9)3.3凸函数在积分不等式中的应用. (10)4凸函数的推广 (11)4.1凸函数的定义推广 (11)4.2凸函数的性质及定理推广 (12)4.2.1凸函数的性质推广 (12)4.2.2凸函数的定理推广 (13)结束语 (14)参考文献 (15)致谢 (16)凸函数及其在不等式证明中的应用王红娟（天水师院 数学与统计学院 甘肃 天水 741000）摘 要: 凸函数是一类重要的函数，在数学许多问题中都有广泛的应用。
凸函数的应用
凸函数的应用在许多数学问题的证明过程中，我们经常遇到一些有关于不等式的证明，所以我们可以学会着去运用凸函数来证明，因为凸函数的性质和判定方法可以很大程度化简化证明.通过例举出的例子可以得出，运用凸函数的性质证明来证明与之相关的不等式，则可让一些难度比较大的和不容易证明的不等式得以求证出结果.所以要学会用凸函数来解决一些不等式的问题，这样才能让发挥数学这门学科的优势，和凸函数的存在意义，更能方便我们的学习和生活. 凸函数在不等式的应用凸函数的性质证明初等不等式（例）证明：当,0x y >且x y ≠时，有()2x yy x y x +>+㏑x+y㏑㏑.思路：将不等式()2x y y x y x +>+㏑x+y㏑㏑变形，即两边同时乘以12，得新式222y x y x x y++>㏑x+y㏑㏑，因此我们可以构造辅助函数()()ln 0f s s s s =>，则可证出()()222fx fy x y x yln +++>. 证：设()()ln 0f s s s s =>∴ ()'1ln f s s =+ ()()''10f s s s=> ∴()f s 在区间()0,+∞是凸函数∴对 ,0x y ∀>且 x y ≠，得 ()()22f x f y x y f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭ 所以得222y x y x x y++>㏑x+y㏑㏑即()2x yy x y x +>+㏑x+y㏑㏑1. 凸函数的性质证明函数不等式（例）证明：对任何非负实数,x y 有2arctan arctan arctan 2x y x y +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭证：设()()arctan ,0,f s s s =-∈+∞，()()''22201sfs s =>+，()0,s ∈+∞，则()f s 在()0,+∞上是凸函数，由凸函数性质知，对任何的非负实数,x y 有()()22f x f y x y f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，既arctan arctan arctan 22x y x y ++⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭ 所以2arctan arctan arctan 2x y x y +⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭. 2. 凸函数的性质证明积分不等式（例）证明：()f x 在[],a b 上可积且()n f x N ≤≤，()t ϕ是在[],n N 上的连续凸函数，则()()11bbaafx dx f x dx b ab aϕϕ⎛⎫≤⎪--⎝⎭⎰⎰证：设(),s k s f f a b a k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(),1s k x b a k =-由于()t ϕ是凸函数，故有()()()1212......k k kk k k kk f f f f f f k kϕϕϕϕ++++++≤① 由定积分的定义知在①中令k →∞时 使得()()11bbaa fx dx f x dx b ab aϕϕ⎛⎫≤⎪--⎝⎭⎰⎰.（Jensen ）不等式琴生不等式是一个十分重要凸函数的性质，因为每一个凸函数都可以满足琴声不等式性质，于是琴生不等式是重要方法对于研究不等式来说.定理：假设函数()f x 是区间I 上的凸函数，则存在i x I ∀∈并且()01,2,...,i p i n >=，总有()1111nn ni i i i i i i i p f p x p f x ===⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭∑∑∑.（例）若()0,01,2,...,1ni i i ix q i n q >>==∑求证：12121122......n q q qn n n x x x q x q x q x ≤+++证：因为对所有的,0i i x >，可以令ln i i y x =，所以有()()exp ln exp iyi i i i i x q x q y ==又因为(),tf t e x R =∈是凸函数所以有()()121211111...exp exp n n n nn nq q q n i i i i i i i i i ii i i i i x x x q y f q y q f y q y q x =====⎛⎫⎛⎫==≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑.注：①当212'112,k kn q q x x x y k k=====时， 则存在'11k kxy x y k k=+. ②当()11,2,...,i q i n n==时，有12...nx x x n+++≤.（Holder ）不等式赫尔德不等式是数学分析的重要内容，不等式的命名来自奥图.赫尔德.This inequality clearly s hows the relationship between LP spaces. There are many Hölder's inequality, and of course there are also proofs of convex functions. 定理：假设0,0,1i i a b i n >>≤≤，则存在 11111pqpqnnni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 其中1p >，并且111p q+=. （例）证明存在n 个正数，这些数倒数的算术平均值大于或等于这些数的算术平均值的倒数.证：假设函数()()10f x x x =<<+∞，因此()()()'''2312,0f x f x x x x =-=<<+∞所以()1fx x =在()0,+∞上是凸函数，在Jensen 不等式中取1,1,2,...,i p i nn== 则得到12121111......nn n x x x n x x x ⎛⎫≤+++ ⎪+++⎝⎭ 既121211111......n n x x x n x x x n⎛⎫≤+++ ⎪+++⎝⎭.凸函数在极值的应用根据常识的数学知识我们可以得知，一个连续函数如果是有界的，那么在这个区间内一定有max 和min.但是对于函数来说max 和min 可能是在区间上的随机处.又因为对于凸函数，它的max(min)具有一些特征性质。
凸函数在不等式中的证明
凸函数在不等式中的证明1.函数的定义及其常见的凹凸函数大家都熟悉函数2()f x x =的图像，它的特点是：曲线2y x =上任意两点间的弧总在这两点连线的下方。
我们可以下这样一个定义：设()f x 在[,]a b 上有定义，若曲线()y f x =上任意两点间的弧总位于连接该两点的直线之下，则称函数()f x 是凸函数.上面的定义只是几何描述性的，为了便于凸函数的应用，用严格的式子分析定义凸函数是十分必要的.在不等式的证明中经常会应用到凸函数的两个定义：定义1 设()f x 在(,)a b 内连续，如果对(,)a b 内任意两点12,x x 恒有 1212()()()22x x f x f x f ++≤ 那么称()f x 在(,)a b 内是凸函数.定义2 设()f x 在(,)a b 内连续，如果对(,)a b 内任意两点12,,(0,1)x x λ∈ ，有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ 则称()f x 在(,)a b 内是凸函数.以上若不等式的方向相反，则称()f x 在(,)a b 内是凹函数.1.1常见的凹凸函数有1.1.1 )0()(<=k x x f k 或)0(>k ,x x x f ln )(=均为(0,)∞内的严格凸函数;1.1.2 ()ln(1),()0)x f x e f x c =+=≠均为(,)-∞+∞内的严格凸函数.1.2 凸函数的常见性质及其判定定理性质1 设()f x 为凸函数，0k >为常数，则()kf x 是凸函数：若()(1,2,...,)i f x i n = 是凸函数，则1()ni i f x =∑ 仍是凸函数：若()u ϕ是增凸函数，()u f x =也是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数[1].性质2 如果()f x 是(,)a b 上的凸函数，则在(,)a b 的任一闭子区间上有界.性质3 如果()f x 是(,)a b 上的凸函数，则()f x 在(,)a b 内连续.定理1[1]()f x 是区间I 上的凸函数的充要条件是：对于满足11ni i λ==∑ 的任意12,,...,0n λλλ≥ ，有：11()()n n i i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ 12,,...,n x x x I ∀∈ (1)定理2 若()f x 在区间I 上二阶可微，则()f x 在I 上是凸函数的充要条件是：1.3凸函数的不等式 1.3.1 凸函数基本不等式设()f x 是(,)a b 内的严格凸（凹）函数，则对(,)a b 内的任意一组不全相同的值12,,...,n x x x ，必有不等式[2]：1.3.2 Jensen 不等式Jensen 不等式是凸函数的一个重要性质，利用其证明一些重要不等式可以更简捷，它有如下两种形式：（1） 设()f x 是(,)a b 内的凸（凹）函数，则对(,)a b 内的任意一组值12,,...,n x x x 及任意正数12,,...,n p p p 必有不等式： 112211221212...()()...()()()......n n n n n np x p x p x p f x p f x p f x f p p p p p p ++++++≤≥++++++ （2）设(),()f x p x 为[,]a b 上的可积函数，而 (),()0,()0ba m f x M p x p x dx ≤≤≥>⎰则当()()t m t M ϕ≤≤为凸（凹）函数时有()()()[()]()()()()bbaabbaap x f x dxp x f x dxp x dxp x dxϕϕ≤≥⎰⎰⎰⎰2.凸函数在证明不等式中的简单应用在初等数学中，调和平均值不大于几何平均值，几何平均值不大于算术平均值，算术平均值不大于平方平均值，而证明用到数学归纳法.其实，这些不等式可在凸函数框架下统一证明.例1 设0,1,2,...,i a i n >= ，证明：1212...111...nna a a n na a a +++≤≤+++证明 设()ln ,(0,)f x x x =-∀∈∞ ，有01)(2''>=x x f ，从而，函数()ln f x x =-在(0,)∞是严格凸函数， 取121(0,),,1,2,...,,...1i i i n x a q i n q q q n=∈∞==+++=有1212ln ln ln ln(...)...n n a a a a a a n n n n n n-+++≤----或n n n n n n na a a a a a na a a ...ln )ln ...ln (ln ...ln 211121121-=+++-≤+++- 即12...na a a n+++≤取 1211(0,),,1,2,...,,...1i i n i x q i n q q q a n=∈∞==+++= 同样方法，有12...nn a a a ≤+++于是，n N +∀∈ ， 有1212......nna a a n na a a +++≤≤+++例2 证明12,,...,,1n x x x R p +∀∈≥ 有 11212......()p p p pn n x x x x x x n n++++++≤上式称为算术平均不大于(1)p p ≥ 次平均，特别的，当2p = ，得到算术平均值不大于平方平均值。
函数凹凸性在证不等式中的应用
第 ３ 期 高 俊 宇 ： 函 数 凹 凸 性 在 不 等 式 中 的 应 用
闭区间时，定理类同。 定理 若函数 ｙ＝ｆ（ｘ）是［ａ， ｂ］上连续，在（ａ， ｂ ）内具 有一阶和二阶的导数， ∀ ｘ∈ （ａ，ｂ），恒有 ｆ " （ｘ ）＞０（＜０）， 则 曲线 ｙ＝ｆ（ｘ） 在区间［ ａ， ｂ ］ 上对定义 １、定义 ２ 都是上凹（上 凸）的。 （证明省略） ≥（１－ λ k +1 ）ｆ（ｘ＊）＋ λ k +1 f ＝（１－ λ k +1 ）ｆ（
等号仅当 ｘ＊＝ ｘｋ＋１ 时成立． 又由归纳假设，有 ｆ（
∑1 − λ
i =1
k
λi
k +1
xi ）≥ ∑
λi f ( xi ) i =1 1 − λ k +1
k k
因此 ｆ（
是任意正数且
∑λ
i =1
n
i
＝１，ｘｉ ∈Ｉ （ｉ＝１，… ，ｎ）
∑
i =1
k +1
λi xi ）≥（１－ λ k +1 ）
k
∑1 − λ
i =1
λi
k +1
f ( x i ) ＋ λ k +1 f ( x k +1 )
且 ｘ１≤ｘ２≤…≤ｘｎ，则
＝
n
∑λ
i =1 k +1k
i
f ( x i ) ＋ λ k +1 f ( x k +1 ) ，
k +1 i =1
∑ λ f ( x ) ≤ f (∑ λ x )
i i i i i =1 i =1
且等号仅在 ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ 时成立． 证 不妨设 ｘ１≤ｘ２≤…≤ｘｎ，
关于凸函数在不等式中应用的探讨
关于凸函数在不等式中应用的探讨作者：彭磊孟虹宇来源：《知识文库》2018年第15期函数的凸性把握函数在区间上的整体性态，不仅可以更加科学地、准确地描述函数的图像，而且有助于对函数的分析。
凸函数是一种重要的几何性质，在泛函分析、数学规划及数理经济学等应用数学领域都有很多的应用。
通过对凸函数的定义、性质的描述，主要研究其在不等式证明中的应用，讨论几个重要的不等式。
1 凸函数的定义定义：设在区间I上有定义，若，有，，称为区间I上的凸函数。
若（B）式“ ”改为“2 凸函数的性质性質1：若在区间I上为凸函数，对则：时，；时，。
性质2：若，在区间I上为凸函数，对则：为区间I上的凸函数；为区间I上的凹函数。
3 应用凸函数的定义证明不等式例如：证：设则为凸函数。
取由定义有即得：4 Jensen不等式的应用（Jensen不等式）若为[ ]上的凸函数，则对任意的有例如：证明不等式其中均为正数。
证：设则有可见，为严格凸函数。
根据Jensen不等式有，则又因，所以5 Young不等式的应用（Young不等式）设，则有：例如：求证：证明：令所以有当从而有6 HÖlder不等式的应用（HÖlder不等式）（积分形式）：，，在上可积，有例如：设和为上的正值连续函数，则证：令由Schwartz不等式，得则为凹函数，所以以的定义带入此式，即得证。
7 凸函数的总结通过对凸函数的定义和性质理解，来利用函数的凸性来证明不等式，是一种常用和非常有效的方法。
通过对凸函数对应不等式的证明，我们认识到，利用凸性来证明凸函数，关键是找到合适的凸函数，而且同一不等式，可通过不同的凸函数来可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易，在丰富证明不等式方法，简化不等式证明过程中发挥了一定的作用。
（作者单位：内江职业技术学院）。
凸函数及其性质在不等式证明中的应用
凸函数及其性质在不等式证明中的应用
凸函数是数学中重要的一个分支，它的性质直接关系到许多应用中的非线性规划问题的求解。
它的作用横跨金融、优化运筹、机器学习等多个领域，能够极大地提高工作效率和解决方案质量，是越来越受到重视的数学工具。
在不等式证明这一领域，凸函数的优势表现得淋漓尽致。
它可以快速、准确地解决诸如约束最优化等复杂的数学模型，使收敛性更高、解决效果更佳，从而大大提高工作效率。
此外，它还可以有效、精确地计算任意函数的边界，并可以根据实际情况求解凸集或凸函数的局部参数最优化问题。
凸函数还有一个重要的特点，即它的近似性可以在一定程度上控制在可接受范围内。
这一特点与一般的函数相比，在处理复杂场景时有着重要的意义，可有效减少误差，从而获得更准确的结果。
凸函数具备多种强大的优势，同时也是一种理想的数学工具，可以最大限度地满足一般不等式证明所需的要求。
因此，强烈推荐从事不等式证明研究的专家学者们使用凸函数，作为解决复杂问题的利器，可以从根本上有效解决约束最优化等复杂的算法问题，实现更高效的计算证明。
运用凸函数性质证明不等式
不少不等式的证明，看起来很难，但运用凸函数性质证明，可以少走弯路，使解题更合理些。
凸函数性质：1.如果y=f(x)在[a,b]上是上凸函数，设 ，那么2)()()2(b f a f b a f +≥+ 2.如果y=f(x)在[a,b]上是下凸函数，设2b a c +=，那么2)()()2(b f a f b a f +≤+ 当且仅当f(x)为常数函数时，等号成立结论：上凸函数函数值的平均不大于平均的函数值；下凸函数函数值的平均不小于平均的的函数值。
特别是简单的初等函数，它的上凸与下凸可以直观从图像中看出，当然也可以从二阶导数来判别：)(0)(x f x f ⇒<''为上凸的函数；)(0)(x f x f ⇒>''为下凸的函数。
将上面的性质加以推广1.如果y=f(x)在[a,b]上是上凸的函数，设xi在（a,b ）内，那么n x f x f x f n x x x f n n )()()(2121+⋯++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++ 2.如果y=f(x)在[a,b]上是下凸函数，设xi 在（a,b ）内，那么n x f x f x f n x x x f n n )()()(2121+⋯++≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯++ 当且仅当，f(x)为常数函数时，等号成立。
（证明从略）凸函数的性质在理论上很重要，它有时是证明不等式的有力工具，仅举几例加以说明。
例1中，求证：323sin sin sin ≤++C B A 证明一：sinA+sinB+sinC令C 为定角:C 为定角，2cos ,4coscc-π为定值，要使2cos 2cos 2cos CB A ++为最大值，只有当A=B 时才成立，由于A.B.C对称，2cos 2cos 2cos CB A ++ 有最大值，当且仅当A=B=C=60°时才能达到3232cos 2cos 2cos≤++∴C B A 2b a c +=运用凸函数性质证明不等式（何仲永 浙江 诸暨轻工技校 311800 ）摘要 ：本文仅从函数图像的凹凸性角度证明一些常见的不等式，在明确函数凹凸性性质的基础上，用具体例子加以例析。
凸函数及其在证明不等式中的应用
本科毕业论文题目凸函数及其在证明不等式中的应用系别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师吴开腾评阅教师班级2004级2班姓名冀学本学号200402410642008 年５月２７日目录摘要 ....................................................................................................................................................................... I Abstract.............................................................................................................................................................. I 1引言 . (1)2 凸函数的等价定义 (1)2.1凸函数三种定义的等价性的讨论 (2)2.1.1定义1⇔定义2 (2)2.1.2定义1⇔定义3 (4)2.2判定定理与JESEN不等式 (4)3．性质 (5)4凸函数在不等式证明中的应用 (7)4.1利用凸函数定义证明不等式 (7)4.2利用凸函数性质证明不等式 (8)结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)摘要首先给出了凸函数的三个典型定义，分析了它们之间的关系，并证明了三种定义之间的等价性．接着给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen不等式．然后讨论了凸函数的几条常用性质，通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性．因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用．在不等式证明中的应用并举例说明解题思路与证明方法，最后证明了几个常见的重要不等式．并得到了几种常用凸函数的形式．关键词凸函数，凸性不等式，jensen不等式Abstract First has given the convex function three model definition，has analyzed between them the relations，and has proven between three kind of definition equivalence. Then has given a convex function determination theorem as well as the Jesen inequality. Then discussed convex function several commonly used nature，has demonstrated the convex function in inequality proof application through the sample question. The convex function has the important fundamental research value and the actual widespread application，the use convex function nature proof inequality;Very easy to prove the inequality the accuracy. Therefore，the correct understanding convex function's definition，the nature and the application，carry on the promotion to the related academic question to study the pivotal function. In the inequality proved that the application and explains with examples the problem solving mentality and the certificate method，finally has proven several common important inequalities. And obtained several kind of commonly used convex function forms.Key words Convex function，convexity inequality，jensen inequality1引言凸函数是一类常见的重要函数，上世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支得到广泛应用．例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中．常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数．现行高等数学教材中也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸函数这一概念作了不同形式的定义，本文介绍了凸函数的三种典型定义，讨论了它们的等价性，并给出了利用凸函数的定义证明凸函数的简单应用．凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分重要．凸函数的性质相当多，已有很多文献专门就函数凸性作了研究．本文就凸函数的性质介绍了几条常用的性质，并给出了证明；最后，重点介绍了凸函数的性质在不等式证明中的应用．2 凸函数的等价定义定义1[1] 若函数()f x 对于区间(,)a b 内的任意12,x x 以及(0,1)λ∈，恒有[]1212(1)()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间的割线总在曲线之上．定义2 若函数()f x 在区间(,)a b 内连续，对于区间(,)a b 内的任意12,x x ，恒有[]12121()()()22x x f f x f x +≤+， 则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x 间割线的中点总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上．定义3 若函数()f x 在区间(,)a b 内可微，且对于区间(,)a b 内的任意x 及0x ，恒有000()()()()f x f x f x x x '≥+-，则称()f x 为区间(,)a b 上的凸函数．其几何意义为：凸函数曲线()y f x =上任一点处的切线，总在曲线之下．以上三种定义中，定义3要求()y f x =在(,)a b 内是可导的，定义2要求()f x 在(,)a b 上是连续的．而定义1对函数()y f x =则没有明显地要求．实际上可以证明在定义1中，函数()y f x =在(,)a b 上是连续的．而定义1和定义2两个定义是否要求函数()y f x =是可导的，则没有提出．如果加上可导的条件，则可证明三种定义是等价的． 2.1凸函数三种定义的等价性的讨论 2.1.1定义1⇔定义2证明 定义1⇒定义3，取12λ=， 由定义1推得定义2． 定义2⇒定义1首先，论证()f x 对于任意的()12,,x x a b ∈及有理数()0,1λ∈，不等式()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦，成立．事实上，对于此有理数λ总可以表示为有穷二进位小数，即12121122220.2n n n nn na a a a a a a λ---++++==，其中0i a =或1，()1,2,,1;1n i n a =-=．由于1λ-也是有理数．所以也可以表示为有穷二进位小数，即121211222210.2n n n nn nb b b b b b b λ---++++-==，由于()11λλ+-=，有0i b =或1，()1,2,,1;1n i n b =-=，于是[]()()()12121,2,,1i i i i f a x b x a f x b f x i n +≤+=-．所以()121f x x λλ+-⎡⎤⎣⎦12121211211222222222n n n n n nn nn na a a ab b b b f x x ------⎡⎤++++++++=+⎢⎥⎣⎦()22221112121122112222n n n n n n a a b b f a x b x f x x ----⎛⎫++++≤+++ ⎪⎝⎭232323123111121211222222()222n n n n n n n n n n a a a a b b b b a x b x x x f --------⎡⎤⎛⎫+++++++++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()22221112121122112222n n n n n n a a b b a f x b f x f x x ----⎛⎫++++≤+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭()()()()()()()()()()33111221221222211122122111221121221111*222222111222122n n n n n n n n n n n n a b a f x b f x a f x b f x f x x a f x b f x a f x b f x a f x b f x a x b x f --------⎛⎫++++≤+++++⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭≤≤++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()()()()()()()111221221112211211122212n n n n n n a f x b f x a f x b f x a f x b f x a f x b f x ---≤++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦++⎡⎤⎣⎦()()()()()12121211211212222222221n n n n n n n nnna a a ab b b b f x f x f x f x λλ------++++++++=+=+-．下面再论证()f x 对λ为无理数时定义1也成立．事实上，对任意无理数()0,1λ∈，存在有理数列{}()()0,1,n n n λλλ⊂→→∞，所以()()()121211n n x x x x n λλλλ+-→+-→∞，由于()f x 在(),a b 内连续，所以()()()()()()()()()()12121212121lim 1lim 1lim 11n n n n n n f x x f x x f x x f x f x f x f x λλλλλλλλλλ→∞→∞→∞+-⎡⎤⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=+-⎡⎤⎣⎦≤+-⎡⎤⎣⎦=+-．综上即知，定义1与定义2等价．2.1.2定义1⇔定义3证明 定义 1 ⇒定义3：对(),a b 内任意的0x 及x ，若0x x <，则取0h >，使00x x h x <+<．于是，可以得到()()()()0000f x h f x f x f x h x x +--≤-， 上式中令0h →，由于()f x 可微，所以有()()()000f x f x f x x x -'≤-，即()()()()000f x f x f x x x '≥+-．若0x x <，则取0h >，使0x x h x <+<，同理可证．定义3⇒定义1：对于区间(),a b 内的任意12,x x （不妨设12x x <）以及()0,1λ∈，令12x x x <<，则有()()()1122211,x x x x x x x x λλ-=---=-，由泰勒公式，得()()()()111f x f x f x x θ'=+-及()()()()222f x f x f x x θ'=+-， 其中1122x x x θθ<<<<，于是()()()()()()()()12122121111f x f x f x x x x f f λλλλλλθθ''+-=+-+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦再进一步由()()21f f θθ''>，所以()()()()121211f x f x f x x λλλλ+-≥+-⎡⎤⎣⎦即()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-⎡⎤⎣⎦，最后，由等价的传递性即知定义2与定义3也是等价的．2.2判定定理与Jesen 不等式判定定理[2] 设f 为区间I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸函数的充要条件是()0f x ''≥，x I ∈．用定义直接来判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的．但用该判定定理来判断一个光滑函数是否凸，则是相当简便的．在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性，再反过来引出它必定满足凸性不等式．在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙．证明不等式就是凸函数的一个应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数．定理 (Jensen 不等式)[3] 设函数:(,).f a b R →f 在(,)a b 上处处二次可微，且()0f x ''≥ (对任意(,)x a b ∈，则()f x 为(,)a b 上的凸函数，即对任意m N ∈，(,)k x a b ∈及10,1mk k k λλ=≥=∑成立如下不等式11()()m mk k k k k k f x f x λλ==≤∑∑， （1）该不等式称为Jensen 不等式，该性质是凸函数的一个重要性质，也是定义的一般情况．可以说，凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由Jensen 不等式来体现的，因为每个凸函数都有一个Jensen 不等式，因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用．利用它可以推出常用的一些重要公式，为证明不等式开辟了一条新路．注：由定理，经简单计算知下列函数在其定义域上都是凸函数，从而()(1,2,3)i f x i =都满足不等式（1）．（a ）11()0,0)f x x a a x =>≥+ （，（b ）21()(0)f x x c c x=<<-，（c ）3()(0)xf x x c c x=<<-．凸函数及其性质在解题中有着十分广泛的应用，下面试举数例述之．3．性质利用函数的凸性来证明不等式，是一种重要的方法，通常需要构造适当的凸函数，再运用函数的凸性的定义及几个等价论断，可将一些初等不等式，积分不等式转化为研究函数的性态，从而使不等式简化进而得到证明．函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上整体性态，不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象，而且有助于对函数的定性分析．凸函数是一类重要的函数．凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了．性质1[4] 设函数()()f x x 、g 在区间I 为凸函数，则()()f x x +g 在区间I 也为凸函数．证明：()12,,0,1x x I λ∀∈∀∈因函数()()f x x 、g 在区间I 为凸函数，从而()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，且()()()()()121211g x x g x g x λλλλ+-≤+-．于是有()()()()()()()()()12121122[11][]1[]f x x g x x f x g x f x g x λλλλλλ+-++-≤++-+ 因此()()f x +g x 在区间I 为凸函数．性质2设函数()()f x x 、g 在区间I 为凸函数，则()(){}max ,f x g x 在区间I 为凸函数．证明 ()12,,0,1x x I λ∀∈∀∈，因函数()()f x x 、g 在区间I 为凸函数从而有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，且()()()()()121211g x x g x g x λλλλ+-≤+-．令()()(){}max ,F x f x g x =，则()()()()()(){}1212121max 1,1F x x f x x g x x λλλλλλ+-=+-+-()()()()()(){}1212max 1,1f x f x g x g x λλλλ≤+-+-()(){}()()(){}()()()112212max ,1max ,1f x g x f x g x F x F x λλλλ≤+-=+-．因此，()()(){}max ,F x f x g x =在区间I 为凸函数．性质3 [5]设函数()()f x x 、g 在区间(),a b 为递增的非负凸函数，则()()f x x g 在区间(),a b 为凸函数．证明 ()12,,x x a b ∀∈，设12x x <，因()()f x x 、g 为非负凸函数，由定理3知(),x a b ∀∈，()()f x x 、g 在点x 连续，且()()12120()()22f x f x x x f ++≤≤， ()()12120()()22g x g x x x g ++≤≤． 因此()()f x x g 在区间(),a b 连续，因()()f x x 、g 递增，从而()()()()()()()()()()()()2121112212210f x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x --=+-+≥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦且()()()()21211212()()2222f x f xg x g x x x x xf g ++++≤()()()()()()()()()()()()11221221221142f xg x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x ++++=≤由定义知()()f x x g 在区间(),a b 为凸函数．当然凸函数的性质还远不止施工述几条，这里就不一一列举．4凸函数在不等式证明中的应用4．1利用凸函数定义证明不等式例1 求证：对任意实数,a b ，有()212a ba bee e +≤+． 证明 设()x f x e =，则()()0,,f x x ''≥∈-∞+∞，故()x f x e =为(),-∞+∞上的凸函数．从而对121,,2x a x b λ===，由定义有 ()12121111(1)(1)()2222f x x f x f x ⎡⎤+-≤+-⎢⎥⎣⎦，即()212a ba bee e +≤+． 例2 设01,01x a <<<<，则有()()1111aa x x x -+-<-．证明 设()()()111a a f x x x -=+- ()01x <<，那么()()()()()()111111aa a a f x a x x x ax ---'=-+-++-()()()()()()()()()()11112111111111aa a a a a aa f x a a x x a a x x a a x x a a x x--------''=--+---+--+--+()()()()()()11122111111a a a a a a a x x x x x x x x -----⎡⎤=--+-++++-+⎣⎦()()()()()()1122111111a a a a a a x x a a x x-----=--+-=-+-，于是01,01x a <<<<时，()0f x ''>．由严格凸函数的定义，其中12,1,0x x x λ=== 得()()()()()110110f x f x x x f x f =+-<+-⎡⎤⎣⎦，即()()1111aax x x -+-<-．例3[6] 若()f x 为(),a b 内的凸函数，(,),1,2,,i x a b i n ∈=，求证()111()nini i i xf f x n n ==≤∑∑． 证明 对12,2n x ==，不等式是显然的，设对1n -不等式成立，则因为 12121111n n n x x x x x x n x n n n n-++++++-=+-，这里1n n λ-=，()()121,,,1n n x x x a b x a b n -+++∈∈-，由定义有()()1111111()()1n n ii n i i n i i xx n f f f x f x n n n n n -===-≤+=-∑∑∑，例4若()0,i θπ∈，1,2,,i n=则12sinnn nθθθ+++≥证明 令 ()ln(sin )i i f θθ=-，()0,i θπ∈，1,2,,i n =．由于()2sec 0i i f θθ''=>则()f x 为()0,π上的严格凸函数，所以由例3的不等式有1111ln(sin )ln(sin )n ni i i i n n θθ==-≤-∑∑，即12121ln(sin)ln(sin sin sin )nn nnθθθθθθ+++≥，由1e >得12sin n n nθθθ+++≥上式等号仅在12n θθθ===成立．4.2 利用凸函数性质证明不等式例5 证明不等式：122212122()nn x x x x x x n n++++++≤≤，其中 10,1,2,,x i n >=．证明 考虑对数函数()()ln 0f x x x =>，因为()210,f x x ''=-<故函数()ln f x x =是上凸函数，由上凸函数的性质，即得()1212121ln ln lnln ln n n n n x x x x x x x x x n n +++≥+++=，由对数性质，即证明了12nx x x n+++≤． （2）又考虑函数()()20g x x x =->，所以()20g x ''=-<．故()2g x x =-也是上凸函数，由上凸函数的性质，得22221212()nn x x x x x x nn+++-----≥，即 22221212()nn x x x x x x nn++++++≤，因此122212122()nn x x x x x x nn++++++≤， （3）综合（2），（3）整个命题证明结束．例6 设12n ααα，，，均为正数，且121n ααα+++=．求证：22221212111(1)()()()n n n nαααααα+++++++≥．证明 考虑函数()2,f x x =因为()20f x ''=>，所以()2f x x =是下凸函数，令1111,x a a =+1,n n nx a a =+，由下凸函数的性质，则有 2221212111()()()n na a a a a a ++++++12212111()n na a a a a a n n++++++≥ （4）2121111(1)nn a a a =++++， 由柯西不等式：22222111()()()nnni ii i i i i a b a b ===≥∑∑∑ 得 1212111111()()1n na a a a a a +++=+++()21212111()n na a a n a a a =++++≥，于是有212111()nn a a a +++≥，并代入（4）式即得 22221212111(1)()()()n n n nαααααα+++++++≥，证毕．例7[7] 在ABC ∆中，求证sin sin sin A B C ++≤证明 考虑函数()sin 0y x x π=<<，因为()sin 00y x x π''=-<<<，所以sin y x =在()0,π内是上凸函数，由上凸函数的性质有sin sin sin sin33A B C A B C++++≤， 由于AB C π++=．故sin sin sin A B C ++≤例8[8] 设,i i a b R +∈，1,2,,i n =，11nni i i i a b ===∑∑，则21112nni i i i i ia a ab ===+∑∑．证明 记1n i i s a ==∑则11ni i a s ==∑，取()1,01f x x x=>+，易知()0f x ''>，有判定定理知()f x 为凸函数，取ii i b x a =，由于11n n i i i i a b s ====∑∑．故由性质得21111111211nn i i nni i i i i i i ii i a a s s s s ab a b s x x ss=====≥==++++∑∑∑∑． 例9 设,0i i a b >，1,2,,i n =，有1111nn nqp q i i i i i i i a b a b ===⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑，其中0,0p q >>，111p q+=． 证明 令(),1,0p f x x p x =>>，因为()2(1)0p f x p p x -''=->，由判定定理知(),1,0p f x x p x =>>，在()0,+∞上是严格凸函数，由Jensen 不等式得到11()nnppi i i ii i x x λλ==≤∑∑，今设12,,,n u u u 为非负实数且10ni i u =≠∑，在上述表达式中以1niii u u=∑代替i λ，得到1111()()()nnnpp p i i i ii i i i u x u x u -===≤∑∑∑．由题设111p q+=知)1q pp =-令1,q q i ii i iu bx a b-==，不妨设10ni i b =≠∑，代入上式便得不等式1111nnnqp q i i i i i i i a b a b ===⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑．特别地，取2p q ==时得就到柯西不等式1ni i i a b =≤∑综上所述，在不等式的证明中，巧妙地应用凸函数的定义及性质，就可使一些较复杂的不等式迎刃而解．结束语通过研究凸函数的几种定义，分析它们之间的关系，证明了给出三种典型定义之间的等价性．给出了凸函数的一个判定定理以及Jesen 不等式．然后讨论了凸函数的几条常用性质，接着通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用．凸函数的应用领域非常广泛，主要是在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙，简练，通过对上述问题的证明，我们认识到利用凸函数的定义、等价定义、性质及判定定理证明不等式，关键是寻找合适的函数，若不能直接找出，则可以对不等式进行适当的变形，从而达到证明不等式的目的．至于凸函数在其他领域的应用则未涉及．参考文献[1] 花树忠．凸函数的三种典型定义及其间的等价关系[J]．邯郸职业技术学院学报．2002(1)：52-54．[2] 李碧荣．及其性质在不等式证明中的应用[J]．广西师范学院学报．2004，21(2) ． [3] 林银河．凸函数的等价描述与Jensen 不等式[J]．丽水师范专科学校学报．2001，23(2) ．[4] 杜厚雄．凸函数的性质及其应用[J]．现代企业教育．2007:173-174．白景华．凸函数的性质、等价定义及应用[J]．开封大学学报．2003，17(2):59-64．[5] 曹良干．凸函数的定义及应用[J]．阜阳师范学院学报．1994(2) ．[6] 燕建梁，张喜善．凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J]．太原教育学院学报．2002，20(4)：63-65．[7] 李荣春．利用凸函数证明不等式[J]．宁德师专学报．1998，10(1) ．致谢经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个论文是难以想象的．在这里首先要感谢我的导师吴开腾老师．吴老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从查阅资料到论文开题，中期检查，后期修稿定稿等整个过程中都给予了我悉心的指导．我的论文较为复杂烦琐，但是，吴老师仍然细心地纠正论文中的错误．除了敬佩吴老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，并将积极影响我今后的学习和工作．然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我打下数学与应用数学专业知识的基础；同时还要感谢所有的同学们，正是因为有了你们的支持和鼓励．此次毕业论文才会顺利完成．最后感谢数学与信息科学学院和我的母校—内江师范学院大学四年来对我的大力栽培．谨以此文献给所有关心和帮助过我的老师、亲人、同学和朋友们．我唯有在以后不断地努力进取，以学业和工作的继续求索来感谢培育我的母校和所有关心我的师长亲朋！希望我们都幸福快乐！谢意难尽，前途漫长，除了热血、辛劳、泪水和汗水之外，我别无奉献．论文落笔，如释重负，但“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。