全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 函数(解析版)
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 平面几何强化训练(原卷版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题13平面几何强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年贵州预赛】顺次连结圆x 2+y 2=9与双曲线xy =3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面积为______．2．【2018年北京预赛】一个三角形的一边长为8，面积为12，则这个三角形的周长的最小值=________. 3．【2018年贵州预赛】若边长为6的正△ABC 的三个顶点到平面α的距离分别为1， 2，3，则△ABC 的重心G 到平面α的距离为_______．4．【2018年贵州预赛】顺次连结圆x 2+y 2=9与双曲线xy =3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面积为______．5．【2018年天津预赛】凸六边形ABCDEF 的6条边长相等，内角A 、B 、C 分别为134°、106°、134°.则内角E 是___________（用度数作答）.6．【2018年河北预赛】设点O 为三角形ABC 内一点，且满足关系式：_____.7．【2018年河北预赛】过动点M 作圆： ()()22221x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若MN MO =（O 为坐标原点），则MN 的最小值是__________．8．【2016年江西预赛】如图,在四面体ABCD 中,△ABC 为正三角形,AD=BD=2,AD ⊥BD,AD ⊥CD.则点D 到面ABC 的距离为______.9．【2016年北京预赛】如图，与正方形的边分别切于点，与边交于点厘米，厘米.则的面积为__________平方厘米10．【2016年北京预赛】如图，切于点交于点交于点于点.联结并延长，与交于点，联结.若，则的度数为__________.11．【2016年吉林预赛】给定平面上四点O、A、B、C，满足.则的最大值为________.12．【2016年天津预赛】已知凸n边形n个内角的度数均为整数并且互不相等,最大内角的度数为最小内角的度数的3倍.则n可以取到的最大值为______.13．【2018年河北预赛】如图，设的外接圆为的角平分线与BC交于点D，M为BC的中点.若的外接圆分别与AB、AC交于P、Q、N为PQ的中点.证明：（1）BP=CQ；（2）.14．【2018年辽宁预赛】如图，交于点的另一个交点为，经过点的一条直线分别与交于点的延长线与交于点，作交于点，再作分别与切于点.证明：.15．【2018年江西预赛】如图，的内心为分别是边的中点，证明：直线平分的周长．。
2009年全国高中数学联赛吉林省预赛试题及答案
2009年全国高中数学联赛吉林省预赛2009年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛暨吉林省高中数学竞赛于2008年5月17日在吉林省各地区举行，有将近10000名来自全省各地区的选手参加了本次竞赛活动.本次吉林省高中数学竞赛试题所涉及的知识范围不超出现行的《全日制普通高级中学数学教学大纲》和《高中数学竞赛大纲（2006年修订试用稿）》中所规定的教学内容和基本要求，贴近高考但又高于高考，高考和竞赛兼顾，在内容和方法的要求上有所提高. 主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用基础知识的解决实际问题的能力. 试卷包括6道选择题，6道填空题和5道解答题. 全卷满分160分.竞赛活动时间是2009年5月17日（星期日）上午8：30—11：00，从竞赛成绩上，还是比较理想，全省最高分是145分，通过这次预赛，选出2000名选手参加决赛.试 题一、选择题（每小题5分，共30分）1．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( ).(A) 10项 (B) 11项 (C) 12项 (D) 13项2．若函数1(),4,()2(1),4,xx f x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪+<⎩ 则2(log 3)f =( ).(A) 238-(B) 111 (C) 119 (D) 1243．称横坐标为整数的点为“次整点”，过曲线y =倾斜角大于30的直线条数为（ ）.(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 154．现有一个正四面体与一个正四棱锥，它们的所有棱长都相等，将它们重叠一个侧面后，所得的几何体是（ ）.(A) 四面体 (B) 五面体 (C) 六面体 (D) 七面体5．已知I 是ABC ∆的内心，2,3,4AC BC AB ===，若AI xAB yAC =+，则x y +的值为( ).(A) 13 (B) 23 (C) 49 (D) 596．数列{}n a 满足11a =11n a +=，记21nn i i S a ==∑，若2130n n t S S +-≤对任意的*n N ∈恒成立，则正整数t 的最小值为( ).(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 7 二、填空题（每小题5分，共30分）7．设1≥，则22x y += ．8．等式243x px x p +>+-对于一切04p ≤≤均成立，则实数x 的取值范围是 ． 9．将3个相同的白球、4个相同的红球、5个相同的黄球放入3个不同盒子中，允许有的盒子中球的颜色不全的不同放法共有 种（要求用数字做答）．10．若01x <≤，2sin ()x a x =，sin x b x =，22sin x c x=，则,,a b c 的大小关系为 ．11．2010的小数点后一位数字是 ．12．对空间中有6个点两两连线，用红、黄两种颜色对这些边染色，则同色三角形至少有 个．三、解答题（每题２０分，共１００分）13.若,,(0,)a b c ∈+∞，求证：222222b c c a a b a b ca b c b c c a a b+++++≥+++++．14.定义在集合A上的函数()f x 满足：对任意的12,x x A ∈都有12121()[()()]22x x f f x f x +≤+，则称函数()f x 是A 上的凹函数. （1）试判断2()3f x x x =+是否是R 上的凹函数？（2）若函数2()f x mx x =+是R 上的凹函数，求实数m 的取值范围. 15.已知数列}{n a 中，01>a ，且231nn a a +=+． （1）试求1a 的取值范围，使得n n a a >+1对任何正整数n 都成立；（2）若41=a ，设)3,2,1(||1 =-=+n a a b n n n ，并以n S 表示数列}{n b 的前n 项的和，证明：25<n S ． １６.如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，有一个圆内切于ABC ∆的外接圆，且与AB 、AC分别相切于P 、Q ，求证：线段PQ 的中点O 是ABC ∆的内心.（第16题）１７.一个由空间中的点组成的集合S 满足性质：S 中任意两点之间的距离互不相同.假设S 中的点的坐标(,,)x y z 都是整数，并且1,,x y z n ≤≤，证明：集合S 的元素个数小于}6,3)2min{(n nn +.解 答1． C 2． D 3． C 4．B5．B 提示：在ABC ∆中，I 为内心，连AI 并延长交BC 于D 点，则D 分BC 的比42.2AB AC λ=== 故12.33AD AB AC =+ 又3BC =，故2,1.B D D C ==又在ABD ∆中，I 分AD 的比 42,2AB BD λ'===即224,399AI AD AB AC ==+所以2.3x y +=6．A 提示：由已知221114n na a +-=，可求得21.43n a n =- 令21()n n g n S S +=-，得 22212223(1)()1110,418589n n n g n g n a a a n n n ++++-=--=-->+++ 即()g n 为减函数，得2114(1)4530n n t S S g +-≤=≤，所以283t ≥，则t 的最小值为10． 7． 1 提示：三角代换即可。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 平面几何(解析版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题12平面几何真题汇编与预赛典型例题1．【2014年全国联赛】设等边△ABC的内切圆半径为2、圆心为I.若点P满足PI＝1，则△APB与△APC的面积之比的最大值为_________.【答案】【解析】如图所示，由PI＝1，知点P在单位圆上.设∠BAP＝α.在上取一点，使得α取到最大值，此时，点应落在∠IAC内，且其为的切点.由于，故，，①其中，.由，知.于是，.故②据式①、②知当P与重合时，的最大值为.2．【2018年全国联赛】如图，△ABC为锐角三角形，AB<AC，M为BC边的中点，点D和E分别为△ABC 的外接圆弧BAC和弧BC的中点，F为△ABC的内切圆在AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上，满足NB⊥AB.求证：若BN=EM，则DF⊥FG.（答题时请将图画在答卷纸上）【答案】证明见解析【解析】由条件知，DE为△ABC外接圆的直径，DE⊥BC于M，AE⊥AD.记I为△ABC的内心，则I在AE上，IF⊥AB.由NB⊥AB可知：∠NBE=∠ABE-∠ABN=（180°-∠ADE）-90°=90°-∠ADE=∠MEI.①又根据内心的性质，有:∠EBI=∠EBC+∠CBI=∠EAC+∠ABI=∠EAB+∠ABI=∠EIB，从而BE=EI.结合BN=EM及①知，.于是∠EMI=∠BNE=90°+∠BFE=180°-∠EFI，故E，F，I，M四点共圆.进而可知∠AFM=90°+∠IFM=90°+∠IEM=∠AGM，从而A，F，G，M四点共圆。
再由∠DAG=∠DMG=90°知，A，G，M，D四点共圆，所以A，F，G，M，D五点共圆.从而∠DFG=∠DAG=90°，即DF⊥FG.3．【2017年全国联赛】如图,在△ABC中,AB=AC,I为△ABC的内心。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 立体几何与空间向量(原卷版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题16立体几何与空间向量真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】如图，正方体的一个截面经过顶点A，C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3：1的两部分，则的值为.2．【2018年全国联赛】设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成角不小于30°3．【2017年全国联赛】在正三棱锥中,,过AB的平面将其体积平分.则棱与平面所成角的余弦值为_____________。
4．【2016年全国联赛】设P为一圆锥的顶点，A、B、C为其底面圆周上的三点，满足∠ABC=90°，M为A P的中点．若AB =1，AC=2，AP=，则二面角M-BC-A的大小为________.5．【2014年全国联赛】四棱锥P-ABCD中，已知侧面是边长为1的正三角形，M、N分别为边AB、BC的中点.则异面直线MN与PC之间的距离为___________.6．【2013年全国联赛】已知正三棱锥底面边长为1，高为.则其内切球半径为______. 7．【2012年全国联赛】设同底的两个正三棱锥内接于同一个球.若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是______.8．【2011年全国联赛】在四面体中，已知.则四面体的外接球的半径为______.9．【2010年全国联赛】已知正三棱柱的9条棱长都相等，是边的中点，二面角.则________.1．【2018年浙江】四面体P-ABC，,则该四面体外接球的半径为________.2．【2018年山西】四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为____. 3．【2018年福建】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，P A=AB.E、F分别为PD、BC的中点，则二面角E－FD－A的正切值为________.4．【2018年江苏】已知正四面体内切球的半径是1，则该正四面体的体积为________.5．【2018年湖南】正方体AC1棱长是1，点E、F是线段DD1，BC1上的动点，则三棱锥E一AA1F体积为___. 6．【2018年重庆】顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥HB，垂足为H，且P A=4，C为P A的中点，则当三棱锥O-HP C的体积最大时，OB的长为________．7．【2018年广西】如图，在正三棱柱中，AB=2，，D、F分别是棱AB、的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为__________.8．【2018年安徽】在边长为1的长方体内部有一小球，该小球与正方体的对角线段相。
2009年全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容， 但在方法的要求上有所提高。
主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。
全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当 增加一些竞赛教学大纲的内容。
全卷包括 4 道大题，其中一道平面几何题 .一 试一、填空（每小题 7 分，共 56 分）1． 若函数 f x x x 2 且 f( n ) x f f f f x ，则 f 99 1 ．1 n2． 已知直线 L : x y9 0 和圆M : 2 x 2 2 y 2 8x 8y 1 0 ，点 A 在直线 L 上， B ，C 为 圆 M 上 两 点 ， 在 ABC 中 ， BAC 45 ， AB 过 圆 心 M ， 则 点 A 横 坐 标 范 围为 ．y≥ 0． 在坐标平面上有两个区域 M 和 N ， M 为 y ≤ x ， N 是随 t 变化的区域，它由3y≤ 2 x不等式 t ≤ x ≤ t 1 所确定， t 的取值范围是 0 ≤ t ≤ 1 ，则 M 和 N 的公共面积是函数f t ．4． 使不等式 1 1 1 a 2007 1 对一切正整数 n 都成立的最小正整数n 1 n 2 2n 1 3a 的值为 ．2 25． 椭圆 x y 1 a b 0 上任意两点 P ，Q ，若 OP OQ ，则乘积 OP OQ 的最a 2 b2小值为 ．6． 若方程 lg kx 2lg x 1 仅有一个实根，那么 k 的取值范围是 ．第一行是前 则最后一行的 数是 （可以用指数表示） 8． 某车站每天 8∶00 ~ 9∶00 ， 9∶00 ~ 10∶00 都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随 机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 8∶10 8∶30 8∶50 9∶10 9∶30 9∶50 概率 1 1 1 6 2 3 一旅客 8∶20 到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 二、解答题 1． （ 14 分）设直线 l : y kx m （其中 k ， m 为整数）与椭圆 x 2 y 2 16 1交于不同两 x 2 y 2 12 点 A ， B ，与双曲线 1 交于不同两点 C ， D ，问是否存在直线 l ，使得向量 4 12AC BD 0 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由． 162．（ 15 分）已知 p ，q q 0 是实数，方程 x2 px q 0 有两个实根，，数列 an 满足 a1 p ， a2 p 2 q ， an pan 1 qan 2 n 3，4 ，(Ⅰ )求数列a n的通项公式（用，表示）；(Ⅱ )若 p 1 ， q 1 ，求 a n的前 n 项和．43．（ 15 分）求函数y x 27 13 x x 的最大和最小值．加试一、填空（共 4 小题，每小题50 分，共 200 分）9．如图， M ， N 分别为锐角三角形 ABC （AB ）的外接圆中点．过点 C 作 PC ∥ MN 交圆于 P 点， I 为ABC 的内心，连接PI⑴求证： MP MT NP NT ；⑵在弧 AB （不含点 C ）上任取一点Q （ Q ≠ A ，T ， B ），记上弧BC 、AC 的并延长交圆于 T ．AQC ，△QCB 的内心分别为 I1， I 2，P CN MI BAT Q1610．求证不等式：nk ln n ≤1，n1 ，2，⋯12k 1 k 1 211．设 k ， l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m≥ k ，使得 C k m与 l 互素．16\-16。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 立体几何与空间向量强化训练(汇编)(解析版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题17立体几何与空间向量强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年河北预赛】若的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B、C、D，将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是________.【答案】【解析】由已知，四面体A-BCD的三组对棱的长分别是4、5、6.构造长方体使其面对角线长分别为4、5、6，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，外接球半径为R，则，得,故，所以.2．【2018年四川预赛】在三棱锥中，三条棱两两垂直，且.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为______.【答案】【解析】三棱锥的外接球就是以为长、宽、高的长方体的外接球，其直径为又，从而，于是，的外接圆半径为故球心面的距离为从而，点到面距离的最大值是故答案为：3．【2018年浙江预赛】四面体P-ABC ，,则该四面体外接球的半径为________.【答案】【解析】将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则，所以四面体外接球的半径为.4．【2018年辽宁预赛】四面体ABCD 中，已知，则异面直线AC 与BD所成角的正弦值是_____. 【答案】1 【解析】 因为，故，因此异面直线AC 与BD所成角的正弦值是1. 故答案为：15．【2018年江西预赛】四棱锥的底面是一个顶角为的菱形，每个侧面与底面的夹角都是，棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为1，则棱锥的体积为______． 【答案】【解析】 设菱形两对角线的交点为，则既是线段的中垂线，又是的中垂线，故是四棱锥的高，且点上，于是平面与底面垂直，同理平面与与底面垂直，平面将四棱锥分成两个等积的四面体． 只需考虑四面体．如图，设点在面上的投影为，平面过点，且交，因，则四点共圆．由于，得，由，得，所以，故．在面内的射影，则，即二面角的平面角，于是．据，得，故直线三角形中，．因，所以是正三角形，即．在直角中，，则，故正的边长为4，于是．在直线中，，从而．故答案为：6．【2018年山西预赛】四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为____. 【答案】【解析】解:设BC=3,AB=AC=AD=BD=CD=2,E,F分别是BC,AD的中点，D在面ABC上的射影H应是△ABC的外心，由于DH上的任一点到A,B,C等距，则外接球心O在DH 上，因，所以AE=DE,于是ED为AD的中垂线是，顒球心O是DH，EF的交点，且是等腰△EAD的垂心，记球半径为r ，由△DOF～△EAF，得.而,所以.7．【2018年湖南预赛】已知二面角为60°，动点P、Q 分别在面内，P 到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为．【答案】【解析】试题分析：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，,∴AC=PD=2,故,当且仅当点A与P重合时取得最小值.。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 数列 真题汇编与预赛典型例题(解析版)
专题01数列真题汇编与预赛典型例题1．【2018年全国联赛】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为.【答案】80【解析】设，则有，①.②用t表示中值为2的项数.由②知t也是中值为2的项数，其中t∈{0，1，2，3}.因此的取法数为.取定后，任意指定的值，有22=4种方式.最后由①知，应取使得为偶数，这样的b1的取法是唯一的，并且确定了整数a1的值，进而数列唯一对应一个满足条件的数列.综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80.2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数n,有。
则的所有可能值为___________。
【答案】13、20【解析】由条件，知均为正整数，且。
由于，故.反复运用数列的递推关系知，。
而，故①注意到，则②当时，式①②分别化为无解。
当时，式①②分别化为得到唯一的正整数，此时。
当时，式①②分别化为：，得到唯一的正整数此时综上，的所有可能值为13、20。
故答案为：13、203．【2016年全国联赛】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足.则这样的有序数组的个数为________. 【答案】40【解析】由柯西不等式知，等号成立的充分必要条件为:，即成等比数列.于是，问题等价于计算满足的等比数列的个数.设等比数列的公比，且.记，其中，m、n为互素的正整数，且.先考虑的情形.此时，.注意到，互素，故.相应地，分别等于，它们均为正整数.这表明，对任意给定的，满足条件并以q为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数l的个数，即.由于，故仅需考虑的情形，相应的等比数列的个数之和为.当时，由对称性，知亦有20个满足条件的等比数列.综上，共有40个满足条件的有序数组4．【2014年全国联赛】已知数列满足.则___________.【答案】【解析】由题意知记数列的前n项和为.则.上面两式相减得故.5．【2013年全国联赛】已知数列共有九项，其中，，且对每个，均有.则这样的数列的个数为______.【答案】491【解析】令.则对每个符合条件的数列，满足条件，且.反之，由符合上述条件的八项数列可唯一确定一个符合题设条件的九项数列.记符合条件的数列的个数为.显然，中有；从而，有个2，个1.当给定时，的取法有种，易见的可能值只有0、1、2，故.因此，由对应原理，知符合条件的数列的个数为491.6．【2011年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为______. 【答案】15【解析】注意到.要使为整数，必有均为整数，即.当时，均为非负整数.所以，为整数，共有14个.当时，，在中，中因数2的个数为.同理，可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110.故中因数2的个数为.从而，是整数.当时，.同理，中因数2的个数小于10.从而，不是整数.因此，整数项的个数为.故答案为：157．【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，且存在常数使得对每一个正整数都有.则________.【答案】【解析】设的公差为的公比为.则解得.从而对一切正整数都成立.于是，.解得.8．【2019年全国联赛】设整数满足.记.求f的最小值.并确定使f=f0成立的数组的个数.【答案】答案见解析【解析】取最小值时.每个或1，.设中，n有个.则任意.令，则.由隔板法的解数为.因此所求有个，最小值.9．【2018年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数n，有，其中S n表示数列的前n项和，证明：（1）对任意正整数n，有；（2）对任意正整数n，有.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.。
2009年全国高中数学联赛试题及解答
x1 + x1 x2
x2 = k − =1 0
2
0
所以 x1 ， x2 同为正根，且 x1 x2 ，不合题意，舍去．
综上可得 k 0 或 k = 4 为所求．
11
7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最 后一行仅有一个数，第一行是前100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以 用指数表示）．
条．………14 分
11
2. （本小题 15 分）已知 p ， q (q 0) 是实数，方程 x2 − px + q = 0 有两个实根 ， ，数列an 满足 a1 = p ， a2 = p2 − q ， an = pan−1 − qan−2 (n = 3，4 ， ) (Ⅰ)求数列an 的通项公式（用 ， 表示）；
比为 的等比数列．
数列bn 的首项为： b1 = a2 − a1 = p2 − q − p = ( + )2 − − ( + ) = 2 ． ( 所以 bn = 2 n−1 = n+1 ，即 an+1 − an = n+1 n = 1，2 ， ) ．所以 an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) ． ① 当 = p2 − 4q = 0 时 ， = 0 ， a1 = p = + = 2 ， an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) 变 为
(Ⅱ)若
p
=1
，
q
=
1 4
，求 an
的前
n
项和．
2019年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品
各省数学竞赛汇集高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为，则直线的斜率为___12____.6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为____________.8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b C c B a +=（2）22sin cos cos 2C A Ba bc+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 概率与统计强化训练(解析版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题24概率与统计强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年江苏预赛】将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数随机填入的方格表中，每个小方格恰填写一个数，且所填数各不相同，则使每行、每列所填数之和都是奇数的概率是________.【答案】.【解析】要使每行、每列所填数之和都是奇数，必须使每行或每列中要么只有一个奇数，要么三个全为奇数，故满足条件的填法共有种.因此所求的概率为.故答案为：2．【2018年重庆预赛】从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率________．【答案】【解析】如图，正9边形中包含中心的三角形有以下三种形状：对于（1），有3种情况；对于（2），有9种情况：对于（3）；有18种情况；故所求概率为，故答案为：3．【2018年安徽预赛】从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率=_________. 【答案】【解析】的样本方差，当且仅当是连续的正整数.故.故答案为：4．【2018年湖北预赛】一枚骰子连贯投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为______.【答案】【解析】设分别是四次投掷骰子得到的点数，那么共有种不同的情况.如果从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数，则.若的值都相等，则种不同的情况；若恰好取两个不同的值，则种不同的情况；若恰好取3个不同的值，则种不同的情况；若恰好取4个不同的值，则种不同的情况.因此，满足的情况共有（种）.故所求的概率为.5．【2018年甘肃预赛】某市公租房房源位于三个小区，每位申请人只能申请其中一个小区的房子．申请其中任意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意4位申请人中，恰有2人申请小区房源的概率是______．【答案】【解析】本题为古典概型，．6．【2018年山东预赛】甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下，规定谁先掷出正面朝上为赢；前一场的输者，则下一场先掷．若第一场甲先掷，则甲赢得第场的概率为______．【答案】【解析】设甲赢得第场的概率为，在每一场先掷的人赢得的概率为，所以，由此得，因此．7．【2018年福建预赛】从如图所示的，由9个单位小方格组成的，方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为______．【答案】【解析】先计算矩形的个数，再计算直角三角形的个数．如图所示，根据矩形特点，由这16个点可以构成个不同的矩形．又每个矩形可以分割成4个不同的直角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同．因此，可得个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三角形．。
全国高中数学历届(2009-2019)联赛初等数论试题汇编
全国高中数学历届(2009-2019)联赛初等数论试题汇编1．【2017年全国联赛】若一个三位数中任意两个相邻数码之差均不超过1,则称其为“平稳数”.那么,平稳数的个数为____________。
【答案】75【解析】考虑平稳数,若,则,有2个平稳数。
若,则个平稳数。
若,则,有个平稳数。
若，则，有个平稳数。
综上，平稳数的个数为。
故答案为：752．【2015年全国联赛】对四位数，若，则称类数；若，则称类数.用分别表示类数与类数的个数.则的值为______.【答案】285【解析】记类数、类数的全体分别为，再记个位数为零的类数全体为，个位数不为零的类数全体为. 对任一四位数，将其对应到四位数.注意到，.则.反之，每个唯一对应于中的元素.因此，建立了之间的一一对应.故.下面计算.对任意四位数可取0，1，…，9，对其中每个，由，知分别有种取法.故.因此，.故答案为：2853．【2010年全国联赛】方程满足的正整数解（）的个数是________.【答案】336675【解析】首先，易知方程的正整数解的个数为.其次，把方程满足的正整数解分为三类：（1）均相等的正整数解的个数显然为1；（2）中有且仅有两个相等的正整数解的个数，易知为1003；（3）设两两均不相等的正整数解的个数为.注意到.解得.故满足的正整数解的个数为.4．【2019年全国联赛】设m为整数，|m|≥2.整数数列满足：不全为零，且对任意正整数n，均有.证明：若存在整数r，s（r>s≥2）使得，则.【答案】【解析】若，记.则对任意正整数n，d|a n，考虑数列，可得同样结论。
故不妨设，由可知，即对任意大于2的正整数n，.若a 1，不满足，则不存在r>s≥2使得，故不妨设，由互质性.设，则b n为整数数列，.可知，若存在整数使得，则.而，故，由知，故r-s≥|m|.5．【2018年全国联赛】设n，k，m是正整数，满足k≥2，且.设A是的n元子集。
2009年全国高中数学联赛福建省预赛试题及解答
2009年全国高中数学联赛福建省预赛2009年全国高中数学联赛福建省预赛暨2009年福建省高中数学竞赛由福建省数学学会竞赛委员会主办. 由福建省数学学会竞赛委员会组织有关人员负责命题. 命题负责人：陈荣斯.试题以《普通高中数学新课程标准》的内容和要求为主要依据，在方法和能力上有所提高，并适当增加全国高中联赛中二试的内容. 试题包括10道填空题，每小题6分；5道解答题，每小题20分. 全卷满分160分.考试时间：2009年9月13日（星期日）上午9：00－11：30. 考试地点：由各设区市组织进行.预赛由设区市负责，各设区市根据预赛成绩产生本设区市参加复赛的候选学生名单，省数学学会组织相关人员对各设区市选送的候选名单进行审核，最后产生参加复赛的学生名单. 同时，省数学学会根据各设区市选送的候选学生的预赛成绩评出福建省数学竞赛一等奖、二等奖、三等奖人选.试 题一、填空题（每小题6分，共60分）1．已知向量(2cos()1)2OP x π=+-，，(sin()cos 2)2OQ x x π=--，，()f x OP OQ =⋅. 若a 、b 、c 分别是锐角ABC △中角A 、B 、C 的对边，且满足()1f A =，5b c +=+a =则ABC △的面积S = .2．设1a <-，变量x 满足2x ax x +≤-，且2x ax +的最小值为12-，则a =__ _____.3．已知5个不同的实数，任取两个求和得到10个和数，其中最小的三个和数依次为32、36、37，最大的两个和数为48和51，则这5个数中最大的数等于 .4．一个直径2AB =的半圆，过A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S ，使AS AB =，C 为半圆上一个动点，M N 、分别为A 在SB SC 、上的射影. 当三棱锥S AMN -的体积最大时，SC 与ABC 平面所成角的正弦值是 .5．若定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，且当01x <≤时，3()log f x x =，则方程1()(0)3f x f =-+在区间(010，内的所有实根之和为 .6．平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：4520x y +=与x 轴、y 轴分别交于点A B 、，直线2l 与线段A B O A 、分别交于点C D 、，且平分△AOB 的面积，则2CD 的最小值为 .7．若对于任意的实数x ，函数2()2124f x x x x a x =------+的值都是非负实数，则实数a 的最大值为 .8．集合{}1232009，，，，的元素和为奇数的非空子集的个数为 .9．方程[]92xx =的实数解是 . （其中[]x 表示不超过x 的最大整数） 10．满足020i k ≤≤，1234i =，，，，且1324k k k k +=+的有序整数组1234()k k k k ，，，的个数为 .二、解答题（每小题20分，满分100分） 11．已知1()31ax f x x +=-，方程()48f x x =-+有两个不同的正根，且一根是另一根的3倍. 等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，且()nnS f n T =（1n =，2，3，…）. （1）设()nna g nb =（1n =，2，3，…），求()g n 的最大值； （2）若152a =，数列{}n b 的公差为3，探究在数列{}n a 与{}n b 中是否存在相等的项. 若有，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列{}n c 的通项公式；若没有，请说明理由.12．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点坐标为(20)F ，，点P 的坐标为(0)m ，（0m ≠）. （1）设过点P 斜率为1的直线1l 交抛物线C 于A 、B 两点，若0m <，P 关于原点的对称点为Q . 求QAB △面积的最大值.（2）设过点P 斜率为k （0k ≠）的直线2l 交抛物线C 于M 、N 两点，在x 轴上是否存在一点T ，使得TM 、TN 与x 轴所成的锐角相等？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.13．如图，O ⊙与线段AB 相切于点M ，与以AB 为直径的半圆相切于点E . CD AB ⊥于点D ，CD 与以AB 为直径的半圆交于点C ，且与O ⊙相切于点F ，连接AC 、CM . 求证：（1）A 、F 、E 三点共线； （2）AC AM =； （3）22MC MD MA =⨯.（第13题）14． 设{}11122010i x i ∈=，，，，.令123420092010S x x x x x x =+++.（1）S 能否等于2010？证明你的结论； （2）S 能取到多少个不同的整数值？15．已知正实数a 、b 、c 满足3a b c ++≤. 求证：BA（1）111331112a b c >++≥+++； （2）1112(2)(2)(2)a b c a a b b c c +++++≥+++.解 答1. 由条件知所以)14A π-=，sin(2)4A π-=.又因为A 为锐角，32444A πππ-<-<，因此244A ππ-=，4A π=.因为 5b c +=+a =222132cos ()22cos b c bc A b c bc bc A =+-=+--，即1343(2bc =+.所以 bc =ABC △的面积1115sin 2222S bc A ==⨯=.2. 由1a <-及2x ax x +≤-，得0(1)x a ≤≤-+. 设222()()24a a f x x ax x =+=+-.若(1)2aa ->-+，即21a -<<-，则()f x 在(1)x a =-+处取最小值(1)1f a a --=+，因此112a +=-，32a =-.若(1)2a a -≤-+，即2a ≤-，则()f x 在2a x =-处取最小值24a -，因此2142a -=-，a =（舍去）.综上可知32a =-.3. 设这5个数为a b c d e <<<<，则32364851a b a c c e d e +=+=+=+=，，，，下面说明37b c +=.因为437c b d c d b -=-=-=，，，所以 ()()39a d a b d b +=++-=，故 37b c +=. 所以2()()()31a a b a c b c =+++-+=，故 15.516.520.527.523.5a b c e d =====，，，，，即最大的数为27.5. 4. 易知BC SAC ⊥面，所以BC AN ⊥，从而AN SBC ⊥面.所以AN SM ⊥，因此SM AMN ⊥面，13S AMN ANM V SM S -=⋅⋅△.由2SA AB ==，得AM SM ==，而AN NM ⊥，AMN △为斜边长为形，面积最大在1AN MN ==时取到.所以，当三棱锥S AMN -的体积最大时，1AN MN ==，此时，60SCA ∠=︒，SC 与ABC 平面所成角的正弦值是. 5. 函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，以及(f x ）奇函数知， (2)()()f x f x f x +=-=-，因此(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期函数，4是它的一个周期.由()f x 是定义在R 上的奇函数，知(0)0f =，方程1()(0)3f x f =-+化为1()3f x =-.结合图象可知，1()3f x =-在(01)，、(12)，内各有一个实根，且这两根之和为2；1()3f x =-在(45)，、(56)，内各有一个实根，且这两根之和为10；1()3f x =-在(89)，、(910)，内各有一个实根，且这两根之和为18.所以，方程1()(0)3f x f =-+在区间(010)，内有6个不同的实根，这6个实根之和为30. 6. 由条件知，5OA =，4OB =，AB =设BAO θ∠=，则cos θ=. 由2AOB ACD S S =△△，得122AC AD AB AO ⋅=⋅=. 由余弦定理，得2222cos 22cos 25CD AD AC AD AC AD AC AD AC θθ=+-⋅⋅⋅≥⋅-⋅⋅=.当AD AC =时等号成立. 所以，2CD的最小值为25.7. 由条件知(0)120(1)20f a f a ⎧=-++≥⎪⎨=-+≥⎪⎩，解得21a -≤≤.当2a =-时，2()2124f x x x x x =--+--+，即2223,1,()21,12,45, 2.x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪=-+-≤≤⎨⎪-+>⎩，易知对于任意的实数x ，()f x 的值都是非负实数，因此，2a =-符合要求.所以，实数a 的最小值为2-. 8. 方法一 令232009()(1)(1)(1)(1)f x x x x x =++++，则问题中要求的答案为()f x 的展开式中，x 的奇次项的系数和. 故所求的答案为20092008(1)(1)20222f f ---==.方法二 对集合{}1232009，，，，的不含2009的子集A 讨论，若A 的各数之和为偶数则补入2009，否则不补，故共有20082个元素和为奇数的非空子集.9. 显然0x >. 若3x ≥，则[]3x ≥，从而[]393272xx ≥=>. 若02x <<，则[]02x ≤<，从而[]29242xx <=<. 所以23x ≤<，于是[]2x =，故292x =，所以x = 10. 当020m ≤≤时，满足x y m +=，且020x y ≤≤，的非负整数解()()0x y j m j j m =-≤≤，，，，共1m +组. 当2040m <≤时，满足x y m +=，且020x y ≤≤，的非负整数解()()x y j m j =-，，，2020m j -≤≤，共401m -+组.所以，满足1324k k k k +=+的解共有2040222211(1)(401)22021412161816m m m m ==++-+=⨯⨯⨯⨯+=∑∑. 11. （1）由()48f x x =-+得，14831ax x x +=-+-，整理得 设1x 、2x 是方程①的两根，且213x x =，则 所以 112x =，4a =，41()31x f x x +=-. 因为41()31n n S n f n T n +==-，所以21214(21)18347()3(21)16433(64)n n n n S a n n g n b T n n n ---+-=====+----. 所以 1n =时，()g n 取最大值52. （2）由（1）知，1152a b =，22138a b =，结合152a =，数列{}n b 的公差为3，知11b =，24b =，2132a =，所以 5834(1)22n n a n -=+-=， 13(1)32n b n n =+-=-.若在数列{}n a 与{}n b 中存在相等的项，设m k a b =（m 、k 为正整数），则83322m k -=-. 整理得681k m -=. 由于68k m -为偶数，而1为奇数，故上述方程无正整数解.所以，在数列{}n a 与{}n b 中不存在相等的项.13.（1）由条件知，抛物线C 的方程为28y x =，直线1l 的方程为y x m =-，点Q 的坐标为(0)m -，. 由28y x m y x=-⎧⎨=⎩，得222(4)0x m x m -++=. ①由①0>△，得2m >-. 设11()A x y ，、22()B x y ，，则122(4)x x m +=+，212x x m =，12AB x x =-=又因为点(0)Q m -，到直线1l的距离d m =，所以QAB △的面积12S m =⋅= 其中20m -<<.记32()2f m m m =+，则2()34f m m m '=+. 所以，当423m -<<-时，()0f m '>；当403m -<<时，()0f m '<. 所以，()f m 在区间423⎛⎤-- ⎥⎝⎦，上为增函数，在区间403⎡⎫⎪⎢⎣⎭－，上为减函数. 所以 43m =-时，()f m 取最大值3227.因此，QAB △. （2）2l 方程为()y k x m =-. 由2()8y k x m y x =-⎧⎨=⎩，得222222(4)0k x mk x k m -++=. ②设33()M x y ，、44()N x y ，，则234228mk x x k++=，234x x m =. 设点T 存在，其坐标为(0)t ，. 由TM 、TN 与x 轴所成的锐角相等知，0T M T N k k +=，即34340y yx t x t+=--，即 3434()()0k x m k x m x t x t--+=--，34342()()20x x m t x x mt -+++=.所以222282()20mk m m t mt k +-+⋅+=，t m =-.因此，符合条件的点T 存在，其坐标为(0)m -，. 13.（1）如图，设AB 中点为P ，由条件知P ⊙与O ⊙内切于E ，故P ，O ，E 三点共线. 连接FO ，由CD AB ⊥，CD 切O ⊙于点F ，知CD OF ⊥，FO AP ∥，EOF EPA ∠=∠. 因为OE OF =，PE PA =，所以 OEF PEA ∠=∠，A 、F 、E 三点共线.（2）在O ⊙中，由切割线定理知，2AM AF AE =⨯. 连接EB ，由于AE EB ⊥，因此E ，F 、D 、B 四点共圆，AD AB AF AE ⨯⨯＝. 连接BC ，则AC CB ⊥，因此，22AC AD AB AF AE AM =⨯=⨯=.所以 AC AM =.（3）延长MA 至点R ，使得AR AM =. 连接CR ，由（2）中AC AM =知，RC CM ⊥. 所以22MC MD MR MD MA =⨯=⨯.14.（1） 因为221)31)31)1=-=+=，所以{}212331i i x x -∈-+.设和式S 中有a个3+b个3-，c 个1，则a ，b ，c 是非负整数，且1005a b c ++=.10052121(3(333)i ii S xx a b c a b c a b -===++-+=+++-∑， 若2010S =，则a b =，此时是一个奇数. 所以S 不可能等于2010.（2）由（1）可知，若S 是整数，则a b =，41005S a =+. 由于21005a b c a c ++=+=，0502a ≤≤，所以，S 可以取到503个不同的整数值.15.（1）由a 、b 、c 为正数知，111a <+，111b <+，111c <+，1113111a b c ++<+++. 由平均不等式得，[]111()(1)(1)(1)9111a b c a b c +++++++≥+++. 所以 03a b c <++≤，111993111(1)(1)(1)332a b c a b c ++≥≥=+++++++++. （2）由（1）以及平均不等式得92362≥=-.。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 集合(原卷版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为_____ _.4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.8．【2014年全国联赛】设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.9．【2013年全国联赛】一次考试共有道试题，名学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有名学生没有答对，则每名答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每名学生的总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为.求的最大可能值. 10．【2012年全国联赛】试证明：集合满足（1）对每个，若，则一定不是的倍数；（2）对每个表示中的补集），且，必存在，使的倍数.1．【2018年江苏】在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个。
2．【2018年重庆】设集合恰有一个公共元素为a，则实数a=________．3．【2018年广西】某含有三个实数的集合既可以表示为，也可以表示为，则的值为________.4．【2018年湖南】已知，当时，视为不同的对，则这样的对的个数有_____个.5．【2018年广东】设集合，其中，表示不大于x的最大整数，则__________.6．【2018年贵州】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是___ ____．7．【2018年山东】集合满足，若中的元素个数不是中的元素，中的元素个数不是中的元素，则满足条件的所有不同的集合的个数为______．8．【2018年河北】已知集合且A=B，那么_______. 9．【2018年四川】设集合，若的非空子集满足，就称有序集合对的“隔离集合对”，则集合的“隔离集合对”的个数为______.（用具体数字作答）10．【2018年福建】设集合M={m|m∈Z，且|m|≤2018}，M的子集S满足：对S中任意3个元素a，b，c（不必不同），都有a+b+c≠0.求集合S的元素个数的最大值.11．【2018年湖南】已知集合.(1)若，求实数m的取值范围:(2)若，求实数m的取值范围.12．【2018年广东】已知正整数n都可以唯一表示为①的形式，其中m为非负整数，），.试求①中的数列严。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 集合(解析版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为.【答案】【解析】由题意知，x为负值，.2．【2018年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为【答案】24【解析】由条件知，.故B∩C的元素个数为24.3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______. 【答案】-5【解析】易知，.当时，；当时，.因此，集合.从而，集合中所有元素的和为.4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.【答案】【解析】显然，在集合的所有三元子集中每个元素均出现了3次.于是，.从而，集合的四个元素分别为.因此，集合.故答案为:5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.【答案】【解析】我们来证明一个更为一般的引理：简单连通图H有n个顶点，m条边，则一定可以将其边集划分为个二元子集，二元子集之间不交且每个二元子集内的边有公共端点。
证明：归纳对m，m=1，2，3，显然成立.设结论对m≤k成立，k≥3，则m=k+1时，考虑所有叶子顶点，若有两片叶子连在同一顶点B上，则将A i B与A j B分为二元子集，对其余m-2条边由归纳假设，可分为个二元子集且两两不相交，结论成立，否则设分别接在顶点上，若存在度为2，设B i与A i，C相连，将与B i C取下，同理由归纳假设结论成立，否则对任意，将去掉，得图，则在中没有叶子结点，连通，则为一个环，此时设B1在环上与C，D相连，在H中把与B1C去掉，图依然连通，由归纳假设同理可证，引理证毕.故原命题成立.6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.【答案】【解析】由条件知为六个互不相同的数，且其中没有两个为相反数.于是的绝对值互不相等. 不妨设.则中最小的、次小的两个数分别为.故.结合，只可能.由此易知.经检验，两组解均满足条件.从而，.7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.【答案】见解析【解析】不妨设.设在中与不相交的集合有个，重新记为；设包含的集合有个，重新记为.由已知条件，得，即.于是，得到一个映射.显然，为单射.从而，.设.在中除去后，在剩下的个集合中，设包含的集合有个，由于剩下的个集合中，设包含的集合有个，由于剩下的个集合中每个集合与的交非空，即包含某个，从而，. ①不妨设.则由式①知，即在剩下的个集合中，包含的集合至少有个.又由于，故均包含.因此，包含的集合个数至少为。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 集合强化训练(省赛试题汇编)(解析版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题19集合强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年山西预赛】集合M中，末尾数字为8的元素之和是________.【答案】204626【解析】若将所有的这种数划去其尾数8，剩下的数就是0,1,2，…，201，共计划去202个8，因此所求的和值为.2．【2018年湖南预赛】设集合，若，则实数m的取值范围为__________.【答案】【解析】由知，，而.当时，，即，此时成立.当时，，即，由，得解得.又，故得.综上，有.故答案为：3．【2018年福建预赛】将正偶数集合从小到大按第组有个数进行分组：，…，则2018位于第______组．【答案】27【解析】设2018在第组，由2018为第1009个正偶数，根据题意得，即．解得正整数．所以2018位于第27组．4．【2016年上海预赛】设S={1，2，···,11}，对S的每个七元子集，将其中七个数从小到大排列，取出中间的数。
则所有取出的中间数的和等于__________。
【答案】1980【解析】S的七元子集共有个.对每一个七元子集，唯一对应另一个七元子集其中，集合A与B的中间数分别为,它们的和为12.因此,所有中间数的和等于.5．【2016年新疆预赛】集合是由中的40个元素组成的子集，为集合中的所有元素之和，则的取值个数为______.【答案】401【解析】注意到，的最小值为，的最大值为.设集合中的元素为使得不是集合中的元素的最小元素.若，则，把替换为，得由40个元素组成的子集，其和为.从而，的取值个数为.6．【2016年新疆预赛】将集合中的数从小到大排列，则第60个数为______（用数字作答）.【答案】2064【解析】易知，组合共有个.注意到，.因此，第60个数满足，即第60个数为.7．【2016年四川预赛】对于任何集合S，用表示集合S中的元素个数，用n（S）表示集合S的子集个数.若A、B、C为三个有限集，且满足（1）；（2）.则的最大值为_______.【答案】2015【解析】由条件知，即则.显然，.若，则.从而，，矛盾.于是，.构造：，，符合条件.从而的最大值为2015.8．【2016年辽宁预赛】记[x]表示不超过实数x的最大整数.设集合______.【答案】【解析】若x∈B,则[x]∈{-2,-1,0,1,2}代入集合A得.经检验,只有A∩B={-1,3}9．【2016年江苏预赛】已知集合．则实数a的取值范围是__________．【答案】【解析】作图可知，若，则，且点到直线的距离不小于1，即．故．10．【2016年湖南预赛】当一个非空数集满足条件“若，则，且当时，”时，称为一个数域. 以下四个关于数域的命题：①0为任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；。
全国高中数学竞赛集合真题汇编与典型例题
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题全国联赛真题：1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为.2．【2018年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______.4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n 个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.8．【2014年全国联赛】设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.9．【2013年全国联赛】一次考试共有道试题，名学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有名学生没有答对，则每名答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每名学生的总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为.求的最大可能值.10．【2012年全国联赛】试证明：集合满足（1）对每个，若，则一定不是的倍数；（2）对每个表示中的补集），且，必存在，使的倍数.各省预赛典型题1．【2018年江苏】在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 集合(解析版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为.【答案】【解析】由题意知，x为负值，.2．【2018年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为【答案】24【解析】由条件知，.故B∩C的元素个数为24.3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______. 【答案】-5【解析】易知，.当时，；当时，.因此，集合.从而，集合中所有元素的和为.4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.【答案】【解析】显然，在集合的所有三元子集中每个元素均出现了3次.于是，.从而，集合的四个元素分别为.因此，集合.故答案为:5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.【答案】【解析】我们来证明一个更为一般的引理：简单连通图H有n个顶点，m条边，则一定可以将其边集划分为个二元子集，二元子集之间不交且每个二元子集内的边有公共端点。
证明：归纳对m，m=1，2，3，显然成立.设结论对m≤k成立，k≥3，则m=k+1时，考虑所有叶子顶点，若有两片叶子连在同一顶点B上，则将A i B与A j B分为二元子集，对其余m-2条边由归纳假设，可分为个二元子集且两两不相交，结论成立，否则设分别接在顶点上，若存在度为2，设B i与A i，C相连，将与B i C取下，同理由归纳假设结论成立，否则对任意，将去掉，得图，则在中没有叶子结点，连通，则为一个环，此时设B1在环上与C，D相连，在H中把与B1C去掉，图依然连通，由归纳假设同理可证，引理证毕.故原命题成立.6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.【答案】【解析】由条件知为六个互不相同的数，且其中没有两个为相反数.于是的绝对值互不相等. 不妨设.则中最小的、次小的两个数分别为.故.结合，只可能.由此易知.经检验，两组解均满足条件.从而，.7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.【答案】见解析【解析】不妨设.设在中与不相交的集合有个，重新记为；设包含的集合有个，重新记为.由已知条件，得，即.于是，得到一个映射.显然，为单射.从而，.设.在中除去后，在剩下的个集合中，设包含的集合有个，由于剩下的个集合中，设包含的集合有个，由于剩下的个集合中每个集合与的交非空，即包含某个，从而，. ①不妨设.则由式①知，即在剩下的个集合中，包含的集合至少有个.又由于，故均包含.因此，包含的集合个数至少为.8．【2014年全国联赛】设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.【答案】【解析】对有限非空实数集A，用分别表示集合A的最小元素与最大元素.考虑集合S的所有包含1且至少有两个元素的子集.注意到，，故.于是，这样的子集一共个.显然满足要求.接下来证明：当时，不存在满足要求的k个子集.用数学归纳法证明：对整数，在集合的任意个不同非空子集中，存在两个子集，满足，且. ①显然，只需对的情形证明上述结论.当时，将的全部七个非空子集分成三组，第一组：｛3｝，｛1，3｝，｛2，3｝；第二组：｛2｝，｛1，2｝；第三组：｛1｝，｛1，2，3｝.由抽屉原理，知任意四个非空子集必有两个在同一组中，取同组中的两个子集分别记为，在排在前面的记为，则满足结论①.假设结论在时成立.考虑时的情形.若中至少有个子集不含，对其中的个子集用归纳假设，知存在两个子集满足结论①.若至多有-1个子集不含，则至少有+1个子集含，将其中+1个子集均去掉，得到｛1，2，…，n｝的+1个子集.由于｛1，2，…，n｝的全体子集可分为组，每组两个子集互补，故由抽屉原理，知在上述+1个子集中一定有两个属于同一组，即互为补集.因此，相应地有两个子集满足，这两个集合显然满足结论①.于是，时结论成立.综上，.9．【2013年全国联赛】一次考试共有道试题，名学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有名学生没有答对，则每名答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每名学生的总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为.求的最大可能值.【答案】m(n-1)【解析】对，设第题没有答对者有人.则第题答对者有人.由得分规则，知这个人在第题均得分.设名学生的得分之和为.则.因为每一个人在第道题上至多得分，所以，.由，知.则.由柯西不等式得.故.另一方面，若有一名学生全部答对，其他名学生全部答错，则.综上，的最大值是.10．【2012年全国联赛】试证明：集合满足（1）对每个，若，则一定不是的倍数；（2）对每个表示中的补集），且，必存在，使的倍数.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）对任意，设.则.若是任意一个小于的正整数，则.由于中，一个为奇数，它不含质因子2，另一个为偶数，它含质因子2的幂的次数最多为，因此，一定不是的倍数.（2）若，且，设，其中，为大于1的奇数.则.下面给出三种证明方法.方法1 令.消去.由，知方程必有整数解其中，为方程的特解.记最小的正整数解为.则.故，使得的倍数.方法2 注意到，，由中国剩余定理，知同余方程组在区间上有解，即存在，使得的倍数.方法3 由，总存在，使得.取，使得.则.存在，使得.此时，.从而的倍数.1．【2018年江苏】在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个。
2009年全国高中数学联赛福建省预赛试题及解答[1]
![2009年全国高中数学联赛福建省预赛试题及解答[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/c39a69fc195f312b3169a5b4.png)
2009年全国高中数学联赛福建省预赛试 题一、填空题（每小题6分，共60分）1．已知向量(2cos()1)2OP x π=+-，，(sin()cos 2)2OQ x x π=--，，()f x OP OQ =⋅. 若a 、b 、c 分别是锐角ABC △中角A 、B 、C 的对边，且满足()1f A =，5b c +=+a =则ABC △的面积S = .2．设1a <-，变量x 满足2x ax x +≤-，且2x ax +的最小值为12-，则a =__ _____.3．已知5个不同的实数，任取两个求和得到10个和数，其中最小的三个和数依次为32、36、37，最大的两个和数为48和51，则这5个数中最大的数等于 .4．一个直径2AB =的半圆，过A 作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S ，使AS AB =，C 为半圆上一个动点，M N 、分别为A 在SB SC 、上的射影. 当三棱锥S AMN -的体积最大时，SC 与ABC 平面所成角的正弦值是 .5．若定义在R 上的奇函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，且当01x <≤时，3()log f x x =，则方程1()(0)3f x f =-+在区间(010，内的所有实根之和为 .6．平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：4520x y +=与x 轴、y 轴分别交于点A B 、，直线2l 与线段A B O A 、分别交于点C D 、，且平分△AOB 的面积，则2CD 的最小值为 .7．若对于任意的实数x ，函数2()2124f x x x x a x =------+的值都是非负实数，则实数a 的最大值为 .8．集合{}1232009，，，，的元素和为奇数的非空子集的个数为 . 9．方程[]92xx =的实数解是 . （其中[]x 表示不超过x 的最大整数） 10．满足020i k ≤≤，1234i =，，，，且1324k k k k +=+的有序整数组1234()k k k k ，，，的个数为 .二、解答题（每小题20分，满分100分） 11．已知1()31ax f x x +=-，方程()48f x x =-+有两个不同的正根，且一根是另一根的3倍. 等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，且()nnS f n T =（1n =，2，3，…）. （1）设()nna g nb =（1n =，2，3，…），求()g n 的最大值； （2）若152a =，数列{}n b 的公差为3，探究在数列{}n a 与{}n b 中是否存在相等的项. 若有，求出由这些相等项从小到大排列得到的数列{}n c 的通项公式；若没有，请说明理由.12．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点坐标为(20)F ，，点P 的坐标为(0)m ，（0m ≠）. （1）设过点P 斜率为1的直线1l 交抛物线C 于A 、B 两点，若0m <，P 关于原点的对称点为Q . 求QAB △面积的最大值.（2）设过点P 斜率为k （0k ≠）的直线2l 交抛物线C 于M 、N 两点，在x 轴上是否存在一点T ，使得TM 、TN 与x 轴所成的锐角相等？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.13．如图，O ⊙与线段AB 相切于点M ，与以AB 为直径的半圆相切于点E . CD AB ⊥于点D ，CD 与以AB 为直径的半圆交于点C ，且与O ⊙相切于点F ，连接AC 、CM . 求证：（1）A 、F 、E 三点共线； （2）AC AM =； （3）22MC MD MA =⨯.（第13题） 14．设{}11122010i x i ∈=，，，，. 令123420092010S x x x x x x =+++.（1）S 能否等于2010？证明你的结论； （2）S 能取到多少个不同的整数值？15．已知正实数a 、b 、c 满足3a b c ++≤. 求证： （1）111331112a b c >++≥+++； （2）1112(2)(2)(2)a b c a a b b c c +++++≥+++.BA解 答1. 由条件知()2cos()sin()cos 2222sin cos cos 2),4f x OP OQx x xx x x x πππ=⋅=-+--=-=-所以)14A π-=，sin(2)4A π-=.又因为A 为锐角，32444A πππ-<-<，因此244A ππ-=，4A π=. 因为5b c +=+a =222132cos ()22cos b c bc A b c bc bc A =+-=+--，即1343(2bc =+.所以bc =ABC △的面积1115sin 2222S bc A ==⨯=.2. 由1a <-及2x ax x +≤-，得0(1)x a ≤≤-+. 设222()()24a a f x x ax x =+=+-.若(1)2aa ->-+，即21a -<<-，则()f x 在(1)x a =-+处取最小值(1)1f a a --=+，因此112a +=-，32a =-.若(1)2a a -≤-+，即2a ≤-，则()f x 在2a x =-处取最小值24a -，因此2142a -=-，a =（舍去）.综上可知32a =-.3. 设这5个数为a b c d e <<<<，则32364851a b a c c e d e +=+=+=+=，，，，下面说明37b c +=.因为437c b d c d b -=-=-=，，，所以()()39a d a b d b +=++-=，故 37b c +=. 所以2()()()31a a b a c b c =+++-+=，故 15.516.520.527.523.5a b c e d =====，，，，，即最大的数为27.5. 4. 易知BC SAC ⊥面，所以BC AN ⊥，从而AN SBC ⊥面.所以AN SM ⊥，因此SM AMN ⊥面，13S AMN ANM V SM S -=⋅⋅△.由2SA AB ==，得AM SM ==，而AN NM ⊥，AMN △为斜边长为形，面积最大在1AN MN ==时取到.所以，当三棱锥S AMN -的体积最大时，1AN MN ==，此时，60SCA ∠=︒，SC 与ABC 平面所成角的正弦值是. 5. 函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，以及(f x ）奇函数知， (2)()()f x f x f x +=-=-，因此(4)(2)()f x f x f x +=-+=，()f x 是周期函数，4是它的一个周期.由()f x 是定义在R 上的奇函数，知(0)0f =，方程1()(0)3f x f =-+化为1()3f x =-.结合图象可知，1()3f x =-在(01)，、(12)，内各有一个实根，且这两根之和为2；1()3f x =-在(45)，、(56)，内各有一个实根，且这两根之和为10；1()3f x =-在(89)，、(910)，内各有一个实根，且这两根之和为18.所以，方程1()(0)3f x f =-+在区间(010)，内有6个不同的实根，这6个实根之和为30.6. 由条件知，5OA =，4OB =，AB =设BAO θ∠=，则cosθ=. 由2AOB ACD S S =△△，得122AC AD AB AO ⋅=⋅=. 由余弦定理，得2222cos 22cos 25CD AD AC AD AC AD AC AD AC θθ=+-⋅⋅⋅≥⋅-⋅⋅=.当AD AC =时等号成立. 所以，2CD的最小值为25.7. 由条件知(0)120(1)20f a f a ⎧=-++≥⎪⎨=-+≥⎪⎩，解得21a -≤≤.当2a =-时，2()2124f x x x x x =--+--+，即2223,1,()21,12,45, 2.x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪=-+-≤≤⎨⎪-+>⎩，易知对于任意的实数x ，()f x 的值都是非负实数，因此，2a =-符合要求.所以，实数a 的最小值为2-. 8. 方法一 令232009()(1)(1)(1)(1)f x x x x x =++++，则问题中要求的答案为()f x 的展开式中，x 的奇次项的系数和. 故所求的答案为20092008(1)(1)20222f f ---==.方法二 对集合{}1232009，，，，的不含2009的子集A 讨论，若A 的各数之和为偶数则补入2009，否则不补，故共有20082个元素和为奇数的非空子集.9. 显然0x >. 若3x ≥，则[]3x ≥，从而[]393272xx ≥=>. 若02x <<，则[]02x ≤<，从而[]29242xx <=<. 所以23x ≤<，于是[]2x =，故292x =，所以x = 10. 当020m ≤≤时，满足x y m +=，且020x y ≤≤，的非负整数解()()0x y j m j j m =-≤≤，，，，共1m +组. 当2040m <≤时，满足x y m +=，且020x y ≤≤，的非负整数解()()x y j m j =-，，，2020m j -≤≤，共401m -+组.所以，满足1324k k k k +=+的解共有20402220211(1)(401)22021412161816m m m m ==++-+=⨯⨯⨯⨯+=∑∑. 11. （1）由()48f x x =-+得，14831ax x x +=-+-，整理得212(28)90x a x --+=①设1x 、2x 是方程①的两根，且213x x =，则1212121284,1293.12a x x x x x x -⎧+==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩ 所以 112x =，4a =，41()31x f x x +=-. 因为41()31n n S n f n T n +==-，所以 21214(21)18347()3(21)16433(64)n n n n S a n n g n b T n n n ---+-=====+----. 所以 1n =时，()g n 取最大值52. （2）由（1）知，1152a b =，22138a b =，结合152a =，数列{}n b 的公差为3，知11b =，24b =，2132a =，所以 5834(1)22n n a n -=+-=， 13(1)32n b n n =+-=-.若在数列{}n a 与{}n b 中存在相等的项，设m k a b =（m 、k 为正整数），则83322m k -=-. 整理得681k m -=. 由于68k m -为偶数，而1为奇数，故上述方程无正整数解.所以，在数列{}n a 与{}n b 中不存在相等的项.13.（1）由条件知，抛物线C 的方程为28y x =，直线1l 的方程为y x m =-，点Q 的坐标为(0)m -，. 由28y x m y x=-⎧⎨=⎩，得222(4)0x m x m -++=. ①由①0>△，得2m >-. 设11()A x y ，、22()B x y ，，则122(4)x x m +=+，212x x m =，12AB x x =-==又因为点(0)Q m -，到直线1l的距离d m =，所以QAB △的面积12S m=⋅其中20m-<<.记32()2f m m m=+，则2()34f m m m'=+. 所以，当423m-<<-时，()0f m'>；当43m-<<时，()0f m'<.所以，()f m在区间423⎛⎤--⎥⎝⎦，上为增函数，在区间43⎡⎫⎪⎢⎣⎭－，上为减函数. 所以43m=-时，()f m取最大值3227.因此，QAB△面积的最大值为9.（2）2l方程为()y k x m=-. 由2()8y k x my x=-⎧⎨=⎩，得222222(4)0k x mk x k m-++=. ②设33()M x y，、44()N x y，，则234228mkx xk++=，234x x m=.设点T存在，其坐标为(0)t，. 由TM、TN与x轴所成的锐角相等知，0T M T Nk k+=，即3434y yx t x t+=--，即3434()()k x m k x mx t x t--+=--，34342()()20x x m t x x mt-+++=.所以222282()20mkm m t mtk+-+⋅+=，t m=-.因此，符合条件的点T存在，其坐标为(0)m-，.13.（1）如图，设AB中点为P，由条件知P⊙与O⊙内切于E，故P，O，E三点共线.连接FO，由CD AB⊥，CD切O⊙于点F，知CD OF⊥，FO AP∥，EOF EPA∠=∠. 因为OE OF=，PE PA=，所以OEF PEA∠=∠，A、F、E三点共线.（2）在O⊙中，由切割线定理知，2AM AF AE=⨯. 连接EB，由于AE EB⊥，因此E，F、D、B四点共圆，AD AB AF AE⨯⨯＝. 连接BC，则AC CB⊥，因此，22AC AD AB AF AE AM =⨯=⨯=.所以 AC AM =.（3）延长MA 至点R ，使得AR AM =. 连接CR ，由（2）中AC AM =知，RC CM ⊥. 所以22MC MD MR MD MA =⨯=⨯.14.（1） 因为221)31)311)1=-=+=，所以{}212331i i x x -∈-+.设和式S 中有a个3+b个3-，c 个1，则a ，b ，c 是非负整数，且1005a b c ++=.10052121(3(333)i ii S xx a b c a b c a b -===++-+=+++-∑， 若2010S =，则a b =，此时66(1005)41005S a c a a a a =+=+--=+是一个奇数. 所以S 不可能等于2010.（2）由（1）可知，若S 是整数，则a b =，41005S a =+. 由于21005a b c a c ++=+=，0502a ≤≤，所以，S 可以取到503个不同的整数值.15.（1）由a 、b 、c 为正数知，111a <+，111b <+，111c <+，1113111a b c ++<+++. 由平均不等式得，[]111()(1)(1)(1)9111a b c a b c +++++++≥+++. 所以 03a b c <++≤，111993111(1)(1)(1)332a b c a b c ++≥≥=+++++++++.B（2）由（1）以及平均不等式得111(2)(2)(2)9(2)(2)(2)111a b c a a b b c c a a b b c c a b c ++++++++≥++++++++ 9111(1)(1)(1)111a b c a b c =⎛⎫+++++-++ ⎪+++⎝⎭91116111a b c ≥⎛⎫-++ ⎪+++⎝⎭92362≥=-.出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
专题20函数真题汇编与预赛典型例题(解析版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题20函数真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】已知正实数a满足，则的值为.【答案】【解析】由..2．【2018年全国联赛】设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足，则不等式组的解集为.【答案】【解析】由f（x）为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f（x）在[-1，0]上严格递增，再结合f（x）以2为周期可知，[1，2]是f（x）的严格递增区间.注意到.所以.而，故原不等式组成立当且仅当.3．【2017年全国联赛】设为定义在R上的函数，对任意实数x有.当0≤x＜7时，.则的值为____________。
【答案】【解析】由题得，所以函数的周期为7，.故答案为：4．【2016年全国联赛】设正实数u、v、w均不等于1.若，则的值为________.【答案】 【解析】 令.则:.故. 从而，.5．【2015年全国联赛】设为不相等的实数.若二次函数满足，则的值为______. 【答案】4 【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得.故答案为：46．【2014年全国联赛】若正数a ，b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+，则11a b+= ． 【答案】108 【解析】试题分析：设232362log 3log log ()2,3,6t t t a b a b t a b a b --+=+=+=⇒==+=⇒11a ba b ab++=23610823tt t --==•． 考点：指数与对数运算． 7．【2014年全国联赛】设集合中的最大、最小元素分别为M 、m ，则的值为___________. 【答案】【解析】 由，知.当时，取得最大元素.又，当时，取得最小元素.因此，.8．【2014年全国联赛】若函数()21f x x a x =--在[)0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 .【答案】[0,2] 【解析】试题分析：()[)()22,1,,,1x ax a x f x x ax a x ⎧-+∈+∞⎪=⎨+-∈-∞⎪⎩，[)1,x ∈+∞时，()f x =2x ax a -+=22a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭24a a +-，(),1x ∈-∞时，()f x =2x ax a +-=2224a a x a ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭.①当12a >即a >2时，()f x 在2a ⎛⎫1, ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，不合题意;②当012a ≤≤即02a ≤≤时，符合题意;③当02a <即0a <时，不符合题意.综上，a 的取值范围是[]0,2.考点：绝对值定义、函数单调性、分类讨论. 9．【2013年全国联赛】设为实数，函数满足：对任意的，有.则的最大值为______. 【答案】 【解析】 易知，则.当，即时，取最大值. 10．【2012年全国联赛】设.则的最大值是______.【答案】.【解析】 不妨设.则.由.当且仅当时，上式等号同时成立.11．【2011年全国联赛】函数的值域为______.【答案】【解析】由题得x≠1，设.则.设.因为，所以，所以，则，且.故.故答案为：12．【2011年全国联赛】设为正实数，且.则______. 【答案】【解析】由，得.又，即. ①于是，②再由式①中等号成立的条件，得.与式②联立解得故.故答案为：-113．【2010年全国联赛】函数的值域是________.【答案】【解析】易知，的定义域是，且上是增函数.从而，的值域为.14．【2010年全国联赛】函数在区间上的最大值为8.则它在这个区间上的最小值是________.【答案】【解析】试题分析：由题意得，令，因为，当时，则，则，所以当时，函数取得最大值，此时最大值为，解得，所以函数的最小值为；当时，则，则，所以当时，函数取得最大值，此时最大值为，解得，所以函数的最小值为，所以函数的最小值为.考点：函数的最值问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的最值问题，其中解答中涉及到函数的单调性的应用、一元二次函数的图象与性质的应用、指数函数的图象与性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时考查了换元法和转化与化归思想的考查，属于中档试题，本题的解答中换元后，灵活应用二次函数的图象与性质是解答问题的关键.15．【2009年全国联赛】若函数，且．则______．【答案】【解析】因为，所以．故．16．【2009年全国联赛】若方程仅有一个实根，那么的取值范围是．【答案】【解析】当且仅当①②③对③由求根公式得④．(ⅰ)当时，由③得所以同为负根．又由④知所以原方程有一个解．(ⅱ)当时，原方程有一个解．(ⅲ)当时，由③得所以同为正根，且，不合题意，舍去．综上可得为所求．17．【2018年全国联赛】已知定义在R+上的函数f（x）为.设a，b，c是三个互不相同的实数，满足f（a）=f（b）=f（c），求abc的取值范围.【答案】（81，144）.【解析】不妨假设a<b<c.由于f（x）在（0，3]上严格递减，在[3，9]上严格递增，在[9，+∞）上严格递减，且f（3）=0，f（9）=1，故结合图像可知：a∈（0，3），b∈（3，9），c∈（9，+∞），并且f（a）=f（b）=f（c）∈（0，1）.由f（a）=f（b）得.即，因此ab=32=9.于是abc=9c.又，故c∈（9，16）.进而abc=9c∈（81，144）.所以，abc的取值范围是（81，144）.18．【2016年全国联赛】已知为R上的奇函数，，且对任意，均有.求的值.【答案】【解析】设.则.在中，取.注意到，，及为奇函数.故.则.19．【2013年全国联赛】求所有的正实数对，使得函数满足：对任意的实数.【答案】【解析】由题意得. ①先求所满足的必要条件.在式①中令，得.由于，故可取到任意大的正值，因此，必有，即.在式①中再令，得.②将式②左边记为.显然，.否则，由，知，此时，.则可取到负值，矛盾.故对一切实数成立.于是，，即.进一步，考虑到此时，再由，知.从而，求得满足的必要条件为.③下面证明，对满足条件③的任意实数对及任意非负实数，式①总成立，即.事实上，在条件③成立时，有.再结合，得.综上，所求的正实数对全体为.20．【2012年全国联赛】设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】略21．【2011年全国联赛】设函数，实数满足.求的值.【答案】【解析】.则.由，知.故①又由有意义，知.从而，.于是，.则.故.从而，.解得（舍去）.把，代入式①解得.因此，.22．【2009年全国联赛】求函数的最大值和最小值．【答案】【解析】函数的定义域为.因为当时等号成立．故的最小值为．……………………………………………5分又由柯西不等式得所以．………………………………………………………………………………10分由柯西不等式等号成立的条件，得，解得．故当时等号成立．因此的最大值为．…………………………………………………………………………………15分23．【2012年全国联赛】设是正整数）.证明：对满足的任意实数，数列中有无穷多项属于表示不超过实数的最大整数）.【答案】（1）见解析（2）见解析证法1 （1）对任意，有.令.则.又令.则.从而，存在，使得.否则，存在，使得.于是，，与，矛盾.故一定存在，使得.（2）假设只有有限个正整数，使得.令.则.故不存在，使得，与（1）的结论矛盾.所以，数列中有无穷多项属于.综上，原命题成立.证法2 由证法1，知当充分大时，可以大于任何一个正数.令.则.当时，.同证法1可证，对于任何大于的正整数，总存在，使得，即.令.则.故一定存在，使得.从而，.这样的有无穷多个.所以，数列中有无穷多项属于.24．【2010年全国联赛】设是给定的正整数，.记.证明：存在正整数，使得为一个整数，其中，表示不小于实数的最小整数（如）.【答案】见解析【解析】记表示正整数所含的2的幂次.则当时，为整数.下面对用数学归纳法.当时，为奇数，为偶数，此时，为整数.假设命题对成立对于，设的二进制表示具有形式，其中，或l，.故.①显然，中所含的2的幂次为.故由归纳假设知，经过次迭代得到整数.由式①知，是一个整数.1．【2018年浙江】已知a为正实数，且是奇函数，则的值域为________.【答案】【解析】由为奇函数可知，解得a= 2，即，由此得的值域为.2．【2018年山西】函数的值域为________.【答案】【解析】由条件知.令.则，，，因为，所以，.3．【2018年福建】函数的最小值为________.【答案】【解析】设log3x=t，则.∴.∴当时，f(x)取最小值.4．【2018年福建】若函数f(x)=x2－2ax+a2－4在区间[a－2，a2](a>0)上的值域为[－4，0]，则实数a的取值范围为________.【答案】[1，2]【解析】∵f(x)=x2－2ax+a2－4=(x－a)2－4，f(a)=－4，f(a－2)=0，f(x)在区间[a－2，a2]上的值域为[－4，0]，f(x)的图像为开口向上的拋物线.∴，解得－1≤a≤0或1≤a≤2.结合a>0，得1≤a≤2.∴a的取值范围为[1，2].5．【2018年江苏】设，期中表示的最大公约数，则的值为________.【答案】520【解析】如果，则，所以.又，所以.故答案为：5206．【2018年贵州】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是_______．【答案】牛得亨先生的女儿【解析】由题意知，最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同；由②，最佳选手和最差选手的年龄相同；由①，最佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人．因此，四个人中有三个人的年龄相同．由于牛得亨先生的年龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹．由此，牛得亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞．因此，牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手，而牛得亨先生的妹妹是最差选手．由①，最佳选手的孪生同胞一定是牛得亨先生的儿子，而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿．故答案为：牛得亨先生的女儿7．【2018年贵州】函数的最小值是______．【答案】【解析】因为此即为直线y=x上的点（x，y）到点（0，1）与到点（2，3）的距离之和，根据镜像原理，z的最小值应为点（1，0）到点（2，3）的距离．故答案为：8．【2018年贵州】若方程a x>x（a>0，a≠1）有两个不等实根，则实数a的取值范围是_______．【答案】【解析】由a x>x知x>0，故，令（x>0），则．当时，；当时，．所以在(0，e)上递增，在(e，+∞)上递减．故，即．故答案为：9．【2018年北京】已知实数满足，则________.【答案】1【解析】化为对数，有，所以.10．【2018年北京】已知函数满足，那么的值域为_______.【答案】【解析】设函数满足，.所以所求函数是，其图像如图，易知的值域是.11．【2018年福建】设是由有限个正整数构成的集合，且，这里，2，…，20．并对任意的，都有，已知对任意的，若，则．求集合的元素个数的最小值．（这里，表示集合的元素个数）【答案】180【解析】记．不妨设，2，...，， (20)设，2，…，．因为对任意的，都有，所以，…，互不相同，，即．又对任意的，若，则，所以当，…，20时，．即，当，…，20时，．所以．若，则．若，则．所以总有．另一方面，取，其中，2， (20)则符合要求．此时，．综上所述，集合的元素个数的最小值为180．12．【2016年江苏】已知函数．（1）若对于任意的，均有，证明：；（2）当时，证明：对于任意的成立的充分必要条件为．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）因为恒成立，所以，．又，故．（2）必要性：对于任意的．则，即．又，得．从而，．因此，．充分性：由，且，则对于任意的，有．又，故．13．【2016年江苏】求方程的实数解．【答案】【解析】令．则．令．注意到，．则，即．又，当时，．故．于是，对任意的，有．从而，．综上，原方程的实数解构成的集合为．14．【2016年甘肃】已知奇函数的定义域为，且在内递减，求满足：的实数的取值范围．【答案】【解析】由f(x)的定义域是[－2，2]，知解得－1≤m≤.因为函数f(x)是奇函数，所以f(1－m)<－f(1－m2)，即f(1－m)<f(m2－1)．由奇函数f(x)在区间[－2，0]内递减，所以在[－2，2]上是递减函数，所以1－m>m2－1，解得－2<m<1.综上，实数m的取值范围是－1≤m<1.15．【2016年北京】黑板上写有方程.证明：任取三个两两不同的整数能适当安放在方程的的位置（每颗星安放一个数），使得方程有实根.【答案】见解析【解析】设三个★的位置为.则原方程为①将任意三个两两不同的整数中最大的放在，设.则三个数中另外两个较小的数为.故.于是，若以放在左边第一个★的位置的二次方程为，则.从而，方程①有实根.因此，任意三个两两不同的整数，只要以其中最大的一个放在左边第一个★的位置，其余两个放在后两个★的位置，所得的方程就有实根.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编
专题20函数真题汇编与预赛典型例题
1．【2019年全国联赛】已知正实数a满足，则的值为.
【答案】
【解析】
由.
.
2．【2018年全国联赛】设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足，则不等式组的解集为.
【答案】
【解析】由f（x）为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f（x）在[-1，0]上严格递增，再结合f（x）以2为周期可知，[1，2]是f（x）的严格递增区间.
注意到.
所以.
而，故原不等式组成立当且仅当.
3．【2017年全国联赛】设为定义在R上的函数，对任意实数x有.当0≤x＜7时，.则的值为____________。
【答案】
【解析】
由题得，所以函数的周期为7，
.
故答案为：
4．【2016年全国联赛】设正实数u、v、w均不等于1.若，则
的值为________.
【答案】 【解析】 令
.则:
.
故. 从而，
.
5．【2015年全国联赛】设为不相等的实数.若二次函数
满足
，则
的
值为______. 【答案】4 【解析】
由已知条件及二次函数图像的轴对称性得
.
故答案为：4
6．【2014年全国联赛】若正数a ，b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+，则11
a b
+= ． 【答案】108 【解析】
试题分析：设2
32362log 3log log ()2
,3,6t t t a b a b t a b a b --+=+=+=⇒==+=⇒
11a b
a b ab
++=
23610823
t
t t --==•． 考点：指数与对数运算． 7．【2014年全国联赛】设集合中的最大、最小元素分别为M 、m ，则
的值为
___________. 【答案】
【解析】 由
，知
.
当时，取得最大元素
.
又，当
时，取得最小元素
.
因此，
.
8．【2014年全国联赛】若函数()2
1f x x a x =--在[)0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 .
【答案】[0,2] 【解析】
试题分析：()[)()
22,1,,,1x ax a x f x x ax a x ⎧-+∈+∞⎪=⎨+-∈-∞⎪⎩，[)1,x ∈+∞时，()f x =2x ax a -+=2
2a x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
24a a +-，(),1x ∈-∞时，()f x =2
x ax a +-=2
224a a x a ⎛⎫+-- ⎪⎝
⎭.①当12a >即a >2时，()f x 在2a ⎛⎫1, ⎪
⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递增，不合题意;②当012a ≤≤即02a ≤≤时，符合题意;③当02a <即
0a <时，不符合题意.综上，a 的取值范围是[]0,2.
考点：绝对值定义、函数单调性、分类讨论. 9．【2013年全国联赛】设为实数，函数
满足：对任意的
，有
.则
的
最大值为______. 【答案】 【解析】 易知，
则
.
当
，即
时，
取最大值. 10．【2012年全国联赛】设.则
的最大值是______.
【答案】.
【解析】 不妨设
.则
.。