1晶体中电子的运动特征

kz2
与牛顿定律
v& 1 F m
相比可知，现在是用一个二阶
张量代替了 1 m
2E
k
2 x
1 m
1 h2
2E
kykx
2E
kzkx
2E
k xk y
2E
k
2 y
2E
k z k y
2E
kxkz
2E
kykz
2E
k
2 z
称为倒有效质量张量。由于微商可以交换顺序，倒有效 质量张量是一个对称张量。同时，晶体的点群对称性也 会使张量的独立分量减少，对于各向同性晶体，它退化 为一个标量。
中的电子当作准经典粒子，波包移动的速度（群速度）等于
处于波包中心处粒子所具有的平均速度。
附录：更简明的说明： 量子力学告诉我们，晶体中处于 k0 状态的电子，在经
典近似下，其平均速度相当于以 k0为中心的波包速度，而
波包的传播速度是群速度： k
vg k
量子力学中的德布罗意关系： E h
所以电子的平均速度：
1 mz
Fz
有效质量的作用在于它概括了晶体内部周期场作 用（把这个作用用有效质量代替），使我们能够简单地 由外场力确定电子的加速度。
需要注意电子的加速度方向并不一定与外场力的方 向一致，这是由倒有效质量张量的性质所决定的。 电子有效质量常用电子比热数据计算得到：
exp m* 0 m
其中0为自由电子的比热系数，exp为实验值。
hk 是Bloch 电子准动量的另一种说明：
对于自由电子， k=p 就是电子的动量。
(r)
eikr
k
(r)
i
i
对于晶体周期场中的电子用Bloch波描述，动量算符作用下：
i
nk
i
(eikrunk
(r))
k nk
eikr
i
unk
(r)
这表明 Bloch波不是动量算符的本征函数。 在晶体周期场
uk x uk0 x
uk0 x
e dk k0
k 2
i kx t
k0
k 2
令 k k0
k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
d
dk
k0
x, t uk0 x eik0x0t
k 2
k 2
exp
i
x
d
dk
k0
t
d
uk0
2 sin x e ik0x0t
k 2
x
d dk
作该粒子的动量。
晶体中的电子，可以用其本征函数 Bloch波组成波包， 从而当作准经典粒子来处理。
二. 波包与电子速度：
在晶体中，电子的准经典运动可以用 Bloch 函 数组成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本 征态，因此，必须用含时间因子的Bloch 函数。
首先考虑于一维情况。设波包由以 k0为中心， 在 k 的范围内的波函数组成，并假设 k 很小，可 近似认为
第七篇 晶体中电子的运动特征
一. Bloch 电子的准经典描述
二. 波包与电子速度
三. 电子的准动量
四. 电子的加速度和有效质量
见黄昆书5.1节p237
在我们了解了电子在晶体周期势场中运动的本征态和 本征能量之后，就可以开始研究晶体中电子运动的具体问 题了，由于周期势场的作用，晶体中的电子的本征能量和 本征函数都已不同于自由电子，因而在外场中的行为也完 全不同于自由电子，我们称之为 Bloch 电子。首先分析一 下它和自由电子的区别及其一般特征。
量状态的变化，但是我们仍可以证明在垂直于速度
的方向上， dk/dt和外力F的分量也相等。
F h dk dt
上式是电子在外场作用下运动状态变化的基本公式， 具有与经典力学中牛顿定律相似的形式。
k 是电子的准动量，准动量不是严格意义上的 Bloch 电子的动量，严格意义上的动量的变化率等于作用在 电子上面所有力的和，而准动量的变化率只是外场力 作用的结果，这里没有包括晶格势场作用力。晶格势 场的作用被包含在准动量中。
uk x uk0 x 不随 k 而变。
对于一确定的 k ，含时间的Bloch函数为
k x,t eikxtuk x k E k / h
把与 k0 相邻近的各 k’ 状态叠加起来就可以组成 与量子态 k0 相对应的波包：
波包
x, t
e u k0
k 2
k0
k 2
i kx t
k
x dk
k0
t
x
d dk
t
k0
为分析波包的运动，只需分析 2，即几率分布即可。
2
x,t 2
uk0
x
2
sin
k 2
k 2
x
x
d dk
d dk k0
t
k0
t
k 2
令
w
x
d
dk
k0
t
sin
k 2
w
2
k 2
w
波函数集中在尺度为
2 的范围内，
k
波包中心为：w＝0。
2 0 2
e Ev(rv,t)
vn
v (k )
v B(
rv,
t
)
相当于牛顿第二定律
此外，假定能带指标 n 是运动常数，即电子总是呆在同 一能带中，忽略电子在能带之间的跃迁。
从电子运动的基本关系式可以直接导出在外力作用下
电子的加速度。
1. 一维情况
a
dv dt
d dt
1 h
dE dk
1 h
dk dt
d2E dk 2
h2
F
d2E dk 2
引入电子的有效质量：
m
h2
d2E
dk 2
由于周期场的作用，当把加速度在形式上写成仅由 外力引起的形式时，外力与加速度之间的关系显然不是 由电子的惯性质量所联系的，而必须引入一个有效质量 的概念，它计入了周期场的影响。
有
F m dv
dt
由于周期场中电子的能量 E(k) 与 k 的函数关系不是抛物线
量的增加而单调上升
是完全不同的。
上页图取自黄昆书图 5-2， 右图表示的更准确，一维晶 格的能带结构（上图）相应 的电子速度（下图），虚线 表示自由电子的速度。
这种变化可用NEF模型来解释： 在区心处，电子可以用平面波描 写，因而速度成线性变化，但随 着k 值的增加，自由波受晶格散 射波的影响越来越大，散射波对 入射波的消弱越来越明显，直到 布里渊区边界，强的Bragg反射 使散射波和入射波相等，所以波 速度为零。这个结果和一切幅射 波在有周期性的晶体中的传播是 一样的。
关系，因此，电子的有效质量不是常数， m*与 k 有关。
在能带底， E(k)取极小值，
在能带顶
d2E dk 2
0
这时，m*>0；
E(k)取极大值，
d2E dk 2
0
所以，m*<0 。
2. 三维情况
a
dv dt
d dt
1 h
k E
1 h
dk dt
kk E
其分量形式为
a
dv dt
d 1
dt
h
例：求简单立方晶体 s 态电子的有效质量。
E k s J0 2J1 coskxa coskya coskza
v 1 E k
h k
考虑到不同能带的电子，晶体中电子速度的一般表述：
n
(k )
1
kEn
(k )
这个公式表达了一个非常重要的事实，那就是：
晶体中电子的平均速度只与能量和波矢有关，对时间和 空间而言，它是常数，因此平均速度将永远保持不变而不衰 减。也就是说可以一直流动下去而不衰减。这意味着：电子 不会被静止的原子所散射，严格周期性晶体的电阻率为零。
w
k
k
有
x
d
dk
k0
t
1 h
dE dk
k0
t
E k h k
若将波包看成一个准粒子，则粒子的速度为
v k0
dx dt
1 h
dE dk
k0
布里渊区的宽度：2/a ，而假设 k 很小，一般要求
k 2
a
即 2 a
k
推广到三维情况，电子速度为
v
1 h
k E
注意，这里给出了把 Bloch 波当作准经典粒子处理的条件。
由于倒有效质量张量是对称张量，如将 kx、ky、kz取为 张量的主轴方向，就可将其对角化。
2E
k
2 x
0
0
1
mx
0
0
1 m
1 h2
0
2E
k
2 y
0 0
1 my
0
0
0
2
E
0
kz2
0
1 mz
这时有
dvx dt
1 mx
Fx ,
dvy dt
1 my
Fy ,
dvz dt
求解含外场的单电子波动方程。
或者是在一定条件下，把晶体中电子在外场中的运动
当作准经典粒子来处理。
含外场的波动方程
h2 2m
2
U
r V
E
通常情况下求解含外场的波动方程，但只能近似求解。 另一种方法是在：
外场较弱且恒定。 不考虑电子在不同能带间的跃迁。 不考虑电子的衍射、干涉及碰撞。
等条件下把晶体中电子在外场中的运动当作准经典粒子 来处理。这种方法图像清晰，运算简单，我们乐于采用。
经典粒子同时具有确定的能量和动量，但服从量子力学
运动规律的微观粒子是不可能的，如果一个量子态的经典描
述近似成立，则在量子力学中这个态就要用一个“波包”来 代
表，所谓波包是指该粒子（例如电子）空间分布在 r0 附近的
△r 范围内，动量取值在 hk0 附近的 hk 范围内，rk 满
足测不准关系。把波包中心 r0 看作该粒子的位置，把 hk0 看
这一点和自由电子论中离子是作为散射中心对电子产生 散射而影响电子的平均（漂移）速度的概念完全不同。
下一节还将仔细分析这种情况。
换句话说：若电子处于一个确定的状态 k 时，只要晶格的
周期性不变，则永远处于这个态，因此，只要这种情况不变， 则电子将以同样的速度在整个晶体中不断运动，而不被任何晶 格所阻碍，即电子速度是一个常数，因为晶格对传播速度的影
一. Bloch 电子的准经典描述：
当外加场（电场、磁场等）施加到晶体上时，晶体中 的电子不只是感受到外场的作用，而且还同时感受着晶体 周期场的作用。通常情况下，外场要比晶体周期势场弱得 多。因为晶体周期场强度一般相当于 108 V/cm。而外电场 是难以达到这个强度的。因此，晶体中的电子在外场中的 运动必须在周期场本征态的基础上进行讨论。采用的方法 有两种：
中， k 是动量概念的扩展，称为准动量或电子晶格动量。
四. 电子的加速度和有效质量
晶体中电子运动的准经典模型为，外场用经典方式 处理，晶体周期场用能带论的处理，电子位置用 Bloch 波包的中心位置代替。
准经典运动的基本关系式：
drv dt v h dk
dt
vn
v (k )
v F
1 h
v k En (k )
对于有些材料，这个比值可以很大，100～1000倍，即电子 的有效质量很大，称为重费米子，相应材料称为重费米子 材料。这类材料对应于费米能级处非常高的态密度。这一 点我们可以从自由电子气比热系数中看到γ∝N(EF)
cV
T
3
3
kB2 N (EF ) T
例如，1975年发现化合物CeAl3，其低温电子比热系数γ 高达1620 mJ/mol·K 。通常把γ值大于400 mJ/mol·K 的 材料称为重费米子系统。 （见黄昆书p286 ）
只有当等能面为球面，或在某些特殊方向上，v 才与 k 的方 向相同。电子运动速度的大小与 k 的关系，以一维为例说明
在能带底和能带顶，E(k)取极值，
dE dk
0
因此，在能带底和能带顶，电子速度 v＝0。
而在能带中的某处：
d2E dk 2
0
电子速度的数值最 大，这种情况与自由
E(k)
v(k)
电子的速度总是随能
由于Bloch 波有色散，一个稳定的波包所包含的波矢范围△k
应是一个很小的量。Bloch 波有独立物理意义的波矢被限制
在第一布里渊区内，k 2
a
px
x
hkx
x
h 2
因为测不准关系
x a
这表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶体中电子的
运动就可以用波包的运动规律来描述。对于输运现象，只有
当电子平均自由程远大于原胞尺寸的情况下，才可以把晶体
三. 电子的准动量 hk ：
在外场中，电子所受的力为F，在 dt 时间内，外场 对电子所做的功为 Fv dt
根据功能原理，有
F vdt dE k E dk
F
h
dk dt
v
0
v
1 h
k E
在平行于 v 的方向上， dk/dt 和 F 的分量相等；当
F 与速度 v 垂直时，不能用功能原理来讨论电子能
响，都已经通过能量 En k 包括在内了。
当然，晶格对周期性的偏离会引起电子的散射，使它的速 度发生变化，例如，电子在热振动的晶格中运动，会和声子多 次碰撞，对电子的速度产生极大影响；此外，外加电场和磁场 也会对电子运动速度带来变化，以后将陆续讨论到这些情况。
这个公式还表明：电子速度的方向为 k 空间中能量梯度的 方向，即垂直于等能面。因此，电子的运动方向决定于等 能面的形状，在一般情况下，在 k 空间中，等能面并不是 球面，因此，v 的方向一般并不是 k 的方向。下图比较准 确地反映了Bloch 电子的这一特点。
E k
1 3 dk h 1 dt
k
E
k
1 h2
3
F
1
2E k k
＝1, 2, 3
矩阵形式
2E
v&x
v&y
v&z
1 h2
k
2 x
2E
kykx
2E
kzkx
2E
k xk y
2E
k
2 y
2E
k z k y
2E
kxkz 2E
k y k z 2E
Fx Fy Fz