十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题14 概率与统计 解析版

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题14概率与统计

1.(2019·全国1·理T6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻 “

”和阴爻“

”,右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,

则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )

A.516

B.1132

C.2132

D.1116

【答案】A

【解析】由题可知,每一爻有2种情况,故一重卦的6个爻有26

种情况.其中6个爻中恰有3个阳爻有C 63

种情

况,所以该重卦恰有3个阳爻的概率为

C 632

6

=5

16,故选A .

2.(2019·全国2·文T4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23

B.35

C.25

D.15

【答案】B

【解析】设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有{a,b,c},{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{a,A,B},{b,c,A},{b,c,B},{c,A,B},{b,A,B}共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有{a,b,A},{a,b,B},{a,c,A},{a,c,B},{b,c,A},{b,c,B}共6种,所以恰有2 只测量过该指标的概率为

6

10

=35

,故选B .

3.(2019·全国3·文T3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是( ) 【答案】D

【解析】两位男同学和两位女同学排成一列,共有24种排法.两位女同学相邻的排法有12种,故两位女同学

相邻的概率是1

2.故选D.

4.(2019·全国1·文T6)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是( )

A.8号学生

B.200号学生

C.616号学生

D.815号学生 【答案】C

【解析】由已知得将1 000名新生分为100个组,每组10名学生,用系统抽样46号学生被抽到,则第一组应为6号学生,

所以每组抽取的学生号构成等差数列{an},所以an=10n-4,n ∈N*, 若10n-4=8,则n=1.2,不合题意; 若10n-4=200,则n=20.4,不合题意; 若10n-4=616,则n=62,符合题意; 若10n-4=815,则n=81.9,不合题意. 故选C.

5.(2019·全国2·理T5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是( ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差

【答案】A

【解析】设9位评委的评分按从小到大排列为x1

9(x 1+x 2+…+x 9),有效评分的平均数x '=17

(x 2+x 3+…+x 8),因为平均数受极端值影响较大,所以x 与x '不一定相同,故B 不正确;对于C,原始评分的方差s 2

=19

[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 9-x )2

],有效评分的方差s'2

=17

[(x 2-x ')2+(x 3-x ')2+…+(x 8-x ')2

],

由B 易知,C 不正确;对于D,原始评分的极差为x9-x1,有效评分的极差为x8-x2,显然极差变小,故D 不正确. 6.(2018·全国2·理T8)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )

A.1

12 B.1

14

C.1

15

D.1

18

【答案】C

【解析】不超过30的素数有“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29”共10个.其中和为30的有7+23,11+19,13+17共3种情况,故P=

3C 10

2=1

15.

7.(2018·全国2·文T5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为( )

A.0.6

B.0.5

C.0.4

D.0.3 【答案】D

【解析】设2名男同学为男1,男2,3名女同学为女1,女2,女3,则任选两人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)共10种,其中选中两人都为女同学共(女1,女2),(女1,女3)、(女2,女3)3种,故P=3

10=0.3.

8.(2018·全国1·理T10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则( ) A.p1=p2

B.p1=p3

C.p2=p3

D.p1=p2+p3 【答案】A

【解析】∵S △ABC =12AB ·AC,以AB 为直径的半圆的面积为12π·AB 2

2

=π

8AB 2

,

以AC 为直径的半圆的面积为12π·AC 22

=π

8AC 2

, 以BC 为直径的半圆的面积为12

π·BC 2

2

=π

8BC 2

,

∴S Ⅰ=12AB ·AC,S Ⅲ=π8

BC 2

-12

AB ·AC,

S Ⅱ=π8AB 2+π8AC 2-π8BC 2-12AB ·AC =1

2AB ·AC.∴S Ⅰ=S Ⅱ.

由几何概型概率公式得p 1=S

Ⅰ

S 总,p 2=S

Ⅱ

S 总.∴p 1=p 2.

∵S △ABC =1

2

AB ·AC,以AB 为直径的半圆的面积为12

π·

AB 2

2

=π

8AB 2,