2015届文科数学立体几何大题训练

2015届文科数学立体几何大题训练

1. 如图，三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．

（Ⅰ）求证：DM //平面APC ；

（Ⅱ）求 证：平面ABC ⊥平面APC ；

（Ⅲ）若BC =4，AB =20，求三棱锥D —BCM 的体积．

2. 如图1，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，面ABCD 为正方形，E 为侧棱PD 上一点，F 为AB 上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示． （Ⅰ）求四面体PBFC 的体积； （Ⅱ）证明：AE ∥平面PFC ； （Ⅲ）证明：平面PFC ⊥平面PCD ．

3. 如图，四棱柱P ABCD -中， .//,,AB PAD AB CD PD AD F ⊥=平面是DC 上的点

且1

,2

DF AB PH =

为PAD ∆中AD 边上的高. （Ⅰ）求证：//AB 平面PDC ；

（Ⅱ）求证：PH BC ⊥；

（Ⅲ）线段PB 上是否存在点E ，使EF ⊥平面

PAB 说明理由.

F

A

B

D

P

C

H

4. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。

（1）若，求证：平面；

（2）点

在线段

上，

，试确定的值，使

；

5. ．如图，是矩形中边上的点，

为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面. ⑴ 求证：平面平面； ⑵ 求四棱锥的体积.

E ABCD AD

F CD 2

43

AB AE AD ===ABE ∆BE PBE ∆PBE ⊥BCDE PBE ⊥PEF P BEFC -P

B

C

D F

E

C

D F

E

(1)

(2)

6. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，90ABC BCD ∠=∠=，

PA PD DC CB a ====，2AB a =，E 是PB 中点，H 是AD 中点.

（Ⅰ）求证：//EC 平面APD ；（Ⅱ）求三棱锥E BCD -的体积.

7. 如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形， 90BAC ∠=°，O 为BC 中点．

（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求异面直线BS 与AC 所成角的大小．

8. 如图，已知AB 平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，，且F 是CD 的中点．

（Ⅰ）求证AF ∥平面BCE ；

（Ⅱ）设AB =1，求多面体ABCDE 的体积．

⊥2AD DE AB ==

9.如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面.

⑴ 求证：平面平面； ⑵ 求四棱锥的体积.

10. 右图为一组合体，其底面

为正方形，平面，，且

（Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求四棱锥的体积；

（Ⅲ）求该组合体的表面积．

E ABCD AD

F CD 2

43

AB AE AD ===ABE ∆BE PBE ∆PBE ⊥BCDE PBE ⊥PEF P BEFC -ABCD PD ⊥ABCD //EC PD 22PD AD EC ===//BE PDA B CEPD -

P

B

C

D F

E

C

D F

E

(1)

(2)

11. 四棱锥中，底面为平行四边形，侧面底面，为 的中点，已知， （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）在上求一点，使平面； （Ⅲ）求三棱锥的体积.

12. 在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为的正三角形，点1A 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 中点． （Ⅰ）求证：1AA BC ⊥；

（Ⅱ）当侧棱1AA 和底面成45角时， 求11A BB C C V - （Ⅲ）若D 为侧棱1AA 上一点，当

为何值时，11BD A C ⊥．

S ABCD -ABCD SBC ⊥ABCD E SD 45222ABC AB BC ∠===，， 3.SB SC ==SA BC ⊥BC F //EC SAF D EAC -32DA

D

A 1

13. 如图，已知三棱锥，，为中点，为中点，且是正三角形，．

（1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积．

14．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=25，PD=42，E 是PD 的中点 (1)求证：AE ⊥平面PCD ；

(2)若F 是线段BC 的中点，求三棱锥F-ACE 的体积。

15. 如图，在正四棱锥ABCD P -中，底面是边长为2的正方形，侧棱6=PA ,E 为BC

的中点，F 是侧棱PD 上的一动点。

（1）证明：BF AC ⊥；

（2）当直线ACF PE 平面//时，求三棱锥ACD F -的体积.

ABC P -

90=∠ACB D AB CB ,20,4==AB M

PB PDB ∆PC PA ⊥PAC ⊥ABC BCD M -D

P

M

C

B

A

16. 如图，在直三棱柱(即侧棱与底面垂直的三棱柱)111ABC A B C -中，90,

ACB ∠=122AC AA BC ===，D 为1AA 的中点.

（I ）求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ； （II ）求1C 到平面1B CD 的距离．

17.如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC ，底面ABC 是边长为2的等

边三角形，侧面是菱形，，E 、F 分别是、

AB 的中点．

求证：（1）；

（2）求三棱锥的体积.

18. 如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD=60︒

，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA=2.

（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ；

（2）求PC 与平面PAB 所成角的余弦值。

111A B C ABC -11AA C C ⊥11AA C C 160A AC ∠=11A C EC ABC ⊥平面1A EFC -A

B

F

C

C 1

E A 1

B 1

第18题图