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考研数学二历年真题word版

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考研数学二历年真题word版之欧阳文创编

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2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. （1）若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x=0连续，则(A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab =（2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且()0f x ''>，则(A) 11()0f x dx ->⎰ (B) 12()0f x dx -<⎰ (C) 0110()()f x dx f x dx ->⎰⎰ (D) 111()()f x dx f x dx -<⎰⎰（3）设数列{}n x 收敛，则 (A)当limsin 0n nx →∞=时，lim 0n n x →∞=(B)当lim (0n n n x x →∞=时，则lim 0n n x →∞=(C)当2lim()0nn n x x →∞+=, lim 0n →∞=(D)当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=（4）微分方程248(1cos 2)x y y y e x '''-+=+的特解可设为k y = (A)22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++(B)22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ (C)22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ (D)22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++ （5）设()f x 具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,f x y f x y x y∂∂>∂∂则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f <(C)(0,1)(1,0)f f > (D)(0,1)(1,0)f f <（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t =（单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则(A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > （7）设A为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1000010002P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则123(,,)A ααα=(A)12αα+ (B)232αα+ (C)23αα+ (D)122αα+（8）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020000C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则(A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分. （9）曲线()21arcsin yx x=+的斜渐近线方程为（10）设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，则202t d ydx =（11）()2ln(1)1x dx x +∞++⎰ =（12）设函数(),f x y 具有一阶连续偏导数，且()()(),1,0,00y y df x y ye dx x y e dy f =++=，则(),f x y =（13）110tan yxdy dx x=⎰⎰（14）设矩阵41212311A a ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则a = 三、解答题：15~23小题，共94分。

2024 考研数学(二)真题试卷及参考答案

2024 考研数学(二)真题试卷及参考答案

试卷及解2024考研数学（二）真题析一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.函数1(1)(2)()x x f x x --=的第一类间断点的个数是A.3. B.2.C.1.D.0.1.【答案】C【解析】无定义点为12x x ==，对于()()()()()111lim1121211,lim ||ee x x x x x x x x x →⋅-----→===，故1x =是可去间断点.对于()()11222,lim ||x x x x x ---→==+∞，故2x =是第二类间断点另外，0x =是分段点，()()()011limln 12(12lim||ex xx x x x x x →⋅----→==+∞∣，故0x =是第二类间断点.因此只有一个第一类间断点2.设函数()y f x =由参数方程231,et x t y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则2lim 2(2)x x ff x →+∞⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A.2e.B.4e 3.C.2e3.D.e3.2.【答案】B【解析】()222lim22x f f x x→+∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⋅原式()'22f +=1d d d d t y t x t==2212e 23tt t t==⋅4e 3=.3.设函数sin 30()sin d ,()()d ,xxf x t tg x f t t ==⎰⎰则A.()f x 是奇函数，()g x 是奇函数.B.()f x 是奇函数，()g x 是偶函数.C.()f x 是偶函数，()g x 是偶函数.D.()f x 是偶函数，()g x 是奇函数.3.【答案】D【解析】()sin 30sin d xf x t t =⎰，()3sin(sin )cos f x x x ='为奇函数.所以()f x 为偶函数，()()0d xg x f t t =⎰为奇函数.4.已知数列{}(0),n n a a ≠若{}n a 发散，则A.1n n a a ⎧⎫+⎨⎩⎭发散. B.1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭发散.C.1ee nn a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭发散. D.1ee nn a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭发散.4.【答案】D【解析】选项A ：取=22n a 11，，， (22)，112+.2n n a a +收敛到错误.选项B ：取=1,1,1,1,,n a -- 10.n na a -收敛到错误.选项C ：取=ln 2,ln 2,ln 2,ln 2,,n a -- 11e2e 2nna a ++收敛到错误.5.已知函数221()sin 0,(,)0,0,x y xy xy f x y xy ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，则在点（0,0）处A.(,)f x y x ∂∂连续，(,)f x y 可微.B.(,)f x y x ∂∂连续，(,)f x y 不可微.C.(,)f x y x ∂∂不连续，(,)f x y 可微.D.(,)f x y x∂∂不连续，(,)f x y 不可微.5.【答案】C 【解析】()(()(,0,0,0,000limlimx y x y x y →→≠≠--⋅+⋅--⋅+⋅=或()(()(()22,0,0,0,000001sin0limlim0,x y x y x y x y x y xy→→≠≠≠≠+---⋅+⋅==且且则(),f x y 在（0,0）处可微.而()2221112sin cos ,0,(,)=0,0,x x y xy f x y xy xy x y x xy ⎧⎛⎫++-≠∂⎪ ⎪⎨⎝⎭∂⎪=⎩()()()()()()222,0,0,0,00000,11limlim 2sin cos x y x y x y x y x y f x y x xxy x y xy →→≠≠≠≠⎡⎤+∂⎢⎥=-∂⎢⎥⎣⎦且且不存在，从而(),f x y x∂∂在（0,0）处不连续.6.设(,)f x y 是连续函数，则12sin 6d (,)d xx f x y y ππ=⎰⎰A.1arcsin 126d (,)d .y y f x y x π⎰⎰B.121arcsin 2d (,)d .yy f x y x π⎰⎰C.1arcsin 206d (,)d .yy f x y x π⎰⎰D.122arcsin d (,)d .yy f x y x π⎰⎰6．【答案】A【解析】11arcsin 21sin 266d (,)d d (,)d .yxx f x y y y f x y x πππ==⎰⎰⎰⎰选A .7.设非负函数()f x 在∞[0,+)上连续.给出以下三个命题：①若20()d f x x +∞⎰收敛，则0()d f x x +∞⎰收敛；②若存在1,p >使得lim ()px x f x →+∞存在，则0()d f x x +∞⎰收敛;③若0()d f x x +∞⎰收敛，则存在1,p >使得lim ()p x x f x →+∞存在.其中真命题的个数为A.0.B.1.C.2.D.3.【答案】B【解析】①取()2011(),d 11f x x x x +∞=++⎰收敛，01d .1x x +∞+⎰发散，错误②极限比较判别法原话.正确.③极限比较判别法为充分不必要条件.错误.()()()201d 1,lim .1ln 1px x p x f x x x +∞→+∞>=∞++⎰取收敛，8.设A 为3阶矩阵，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P 若T 2200020a c c b c c +⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，P AP 则=A A.0000.00c a b ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭ B.0000.00b c a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭C.0000.00a b c ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭D.0000.00c b a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭8.【答案】C【解析】()3T 212010000, 010120101a c c b c c +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且AP B P E P ，故()()()11112233T11T (1)(1)----⎡⎤==⎣⎦PA B P E B E 11131313131T3T131 (1)(1)(1)(1)(1)(1)---⎡⎤==---⎣⎦E BE E E BE E 0 10120100100010001001000120101101a c c b c c -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 0001001000000010010002010110100 a b b c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.9.设A 为4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若*()=-A A A O 且*≠，A A 则()r A 取值为A.0或1.B.1或3.C.2或3.D.1或2.9.【答案】D【解析】由题意可知*()=-A A A O ，故()()*4r r +-≤A A A.()***,,1r ≠-≠-≥又故即A A A A A O A 因此() 3r ≤A .又()*2*22-=-=-==OA A AAAA A A E A ()()**2,0r r ⇒≤=⇒=此时OA A A 又()*1r ≠⇒≥A A A ，故()12r =或A .10.设,A B 为2阶矩阵，且=,AB BA 则“A 有两个不相等的特征值”是“B 可对角化”的A.充分必要条件.B.充分不必要条件.C.必要不充分条件.D.既不充分也不必要条件.10.【答案】B【解析】方法一充分性，A 有两个不相等的特征值，故A 必可相似对角化.又=,AB BA ，且A 有2个不同特征值，故A 的特征向量都是A 的特征向量.（利用线代9讲结论）又A 有2个线性无关特征向量，故B 有2个线性无关特征向量，故B 必可相似对角化.必要性，B 可相似对角化，不妨取,==B E A E ，则推翻.【解析】方法二因题知A 有两个不同特征值，不妨设为12λλ，且12λλ≠，则存在可逆阵P 使1121111111122 λλλλλλ-------⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭=⇔=⎛⎫⎛⎫⇔= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又P AP AB BA P APP BP P BPP APP BP P BP B 可相似对角化1-⇔P BP 可相似对角化.12134121211343422111211221223241324 b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b λλλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇔=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设代入上式由P BP 122222313311140000b b b b b b b b λλλλ--⇒=⇒==⇒=⎛⎫⇒=⇒ ⎪⎝⎭可对角化P BP P BP ⇒可对角化B 以上推导均基于12λλ≠，反之 可对角化B 无法推出A 有两不同特征值，故A 有两个不同特征值为 B 可对角化的充分非必要条件.二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分．11.曲线2y x =在点(0,0)处的曲率圆方程为.11.221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【答案】【解析】由图像可转化为2y x =处且()()3221y k y '''=+()0,020,2y xy ==''='12,2k R ==，2211(0)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.12.函数324(,)2961224f x y x x y x y =--++的极点是.12.【答案】（1,1）【解析】由23618120,24240,x y f x x f y '⎧=-+=⎪⎨'=-+=⎪⎩解得驻点为(1,1),(2,1).又21218,0,72,xxxy yy A f x B f C f y ''''''==-====-代入点（1,1）得24320,6,AC B A -=>=-故（1,1）是极大值点.代入点（2,1）得24320,AC B -=-<故（2,1）不是极值点.13.微分方程21()y x y '=+满足条件(1)0y =的解为.13.【答案】()π arctan 4x y y +=+【解析】方程化为2d ()d xx y y=+d d1d d x u u x y y y=+=-令则即2d 1d uu y=+则21d d 1u y u ⎰=⎰+arctan u y c=+代1,0,1x y u ===.得π 4c =得()πarctan 4x y y +=+14.已知函数2()(e 1)xf x x =+，则(5)(1)f =.14．【答案】31e 【解析】()()()52e 1x x +()()()(5)(4)22e 15e 1x x x x '=++⋅+⋅()()(5)225e 1''x C x ++2e 5e 210e 2x x x x x =⋅+⋅⋅+⋅⋅,则(5)e 10e 20e 31e(1)f++==15.某物体以速度()sin πv t t k t =+作直线运动.若它从0t =到3t =的时间段内平均速度是52，则k =.15．【答案】3π2【解析】30(sin )2πd 53t k t t+=⎰,则3015(sin )2πd t k t t +=⎰,30915cos 22k t -π=π915(11)22k ---=π,则3π2k =.16.设向量1231111,,,1111a ab a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα若123,,ααα线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则ab =.16．【答案】4-【解析】由()22123211111111011011,,1101101111011002a a a a a a a a b b a b a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪==→→⎪ ⎪ ⎪--+-+- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ααα由()123,,2r ≤ααα且()(),2i j r i j =≠αα故()123,,2r =ααα1当1a =时，1α与3α相关，不满足题意2当1a ≠时，()()1231111011011,,0110012002002a aa ab a b a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪+--+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ααα故要满足题意，则20a +=且()120b a -+-=242a ab b =-⎧⇒⇒=-⎨=⎩三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设平面有界区域D 位于第一象限由曲线1,33xy xy ==与直线1,3y x =3y x =围成，计算()1d d Dx y x y +-⎰⎰.17.【解】令yu xy v x==，，（1）x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）12J v ∂x ∂x==∂u∂y ∂v ∂y 故∂u∂v1331331d 1d 2u v v ⎛=+⋅ ⎝⎰⎰原式8ln33=.18.设()y x 为微分方程290,x y xy y '''+-=满足条件112,6x x y y =='==的解.（1）利用变换e tx =将上述方程化为常系数线性方程，并求();y x（2）计算21(.y x x ⎰解：（1）290,x y xy y '''+-=令e tx =，则222222d d d d 1d d 1d 1,,d d d d d d d y y t y y y y x t x t x x t x t x ⎛⎫⎛⎫===+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2222d d d d 90,90d d d d y y y y y y t t t t-+-=-=即，()()()()3332121123221124e e ,1=233,1336,t t C y C C y x C x y C C x C y x C x y C C x -=+=+=+''=-=-=，，①②从而()312=2=0=2.C C y x x ，，则（2）2211(2y x x x x=⎰⎰3222226624352sin16sin4cos d64(1cos)cos d(cos)cos1164)d6435116464.38532816055x tt t t t t tt uu u u u uππππ==--⎛=-=-⎝⎛⎛=-==⎝⎭⎝⎭⎰⎰令令19.设0,t>平面有界区域D由曲线xy-=与直线,2x t x t==及x轴围成，D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积为()V t，求()V t的最大值.19.【解】222222π()π()dπe d(21)e4tt t x xt ttV t y x x x x x--===-+⎰⎰42π(41)e(21)e(0)4t tt t t--⎡⎤=-+-+>⎣⎦()42π1()16e4e0,ln4ln242t tV t t t t'--=--+===,(0,ln2),t∈maxπ3π()0,(ln2,),()0,ln2,[()]ln21664V t t V t t V t''>∈+∞<==+20.已知函数(,)f u v具有2阶连续偏导数，且函数(,)(2,3)g x y f x y x y=+-满足222226 1.g g gx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂（1）求2;fu v∂∂∂（2）若2(,0)1e,(0,)1,50uf u u f v vu-∂==-∂求(,)f u v的表达式.20.【解】（1）23g f fx u v∂∂∂=+∂∂∂2222222222222 2233234129g f f f f f f fx u u v u v v u u v v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅++⋅=++⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，2gx y ∂∂∂222222222222(1)31)23f f f f f f f u u v u v v u u v v ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂=+⋅-++-=+- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，g f f y u v∂∂∂=-∂∂∂，()()2222222222222112g f f f f f f fy u u v u v v u u v v ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+⋅--+-=-+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭,代回原式得，2 251f u v∂=∂∂,故2125f v v ∂=∂∂（2）()111d 2525f v v c u u ∂=⎰=+∂，()()1,0e e u uf u u c u u u --∂==∂代得，1e 25u f u v u -∂=+∂故，则()()()211,e d 1e 2525u u f u v u v u u uv c v --⎛⎫=⎰+=-+++ ⎪⎝⎭.代()210,150f v v =-得()22150c v v =综上：()()211,12550uf u v u e uv v -=-+++.21.设函数()f x 具有2阶导数，且()()()01, 1.f f f x ''''=≤证明：（1）当()0,1x ∈时，()()()()()1011;2x x f x f x f x ----≤（2）()()()1011d .212f f f x x +-≤⎰21.证明：（1）()12()(0)(0)2f f x f f x x ξ'''=++①()()22()(1)(1)1(1)2f f x f f x x ξ'''=+-+-②()1x x⋅-+⋅①②()()()()()12221()(0)(1)(1)(0)1(1)1(1)22f f f x f x f x f x x f x x x x xx ξξ''''''⇒=-++-+-+--+，21111()(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).222 2f x f x f x x x x x x x x x x x ----+-=-+-=- （2）[]02111(1)1()(0)(1)(1)d ()d (0)(1)22x f x f x f x x f x x f f ----=-⋅-⋅⎰⎰1100(0)(1)(1)1()d d .22 12f f x x f x x x +-=-=⎰⎰ 22.设矩阵1101,11,1012a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 二次型T123(,,)f x x x =x BAx .已知方程组=0Ax 的解均是T =0B x 的解，但这两个方程组不同解.（1）求,a b 的值；（2）求正交变换=x Qy 将123(,,)f x x x 化为标准形.22.【解】（1）由题意可知，=0Ax 的解均是T=0B x 的解故()r r ⎛⎫=⎪⎝⎭T A A B ,且()2r =A 011011011010101 11011001112011001a a a b b b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭T 又A B 故1,2a b ==(2)111120111111210122224⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭BA CT T 112112224f ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭x BAx x x由()()12310,tr 6r λλλ=⇒====C C 当120λλ==时，得到线性无关的特征向量为12111,101⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ，单位化为12,0⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ =-= ⎪ ⎪ - ⎪⎪ ⎝⎭⎝η η当36λ=时，得到线性无关的特征向量为3112⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，单位化为2112⎛⎫⎪=⎪⎪⎭η()123 ,,0⎛ ==-⎝故令Q ηηη则23T6f ===x Qyx Cx y。

2023年考研数学二真题及答案-完整版

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2023年考研数学二真题及答案一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1. 1ln(e )1y x x =+- 的斜渐近线为( ) A.e y x =+ B.1e y x =+ C.y x = D.1ey x =- 【答案】B.【解析】由已知1ln e 1y x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，则 1limlim ln e ln e 11x x y x x →∞→∞⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭， 11lim lim ln e lim ln e 111x x x y x x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ 1lim ln e ln e 1x x x →∞⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 1lim ln 1e(1)x x x →∞⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦1lime(1)ex x x →∞==-，所以斜渐近线为1ey x =+.故选B. 2.函数0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）.A．)ln ,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B．)ln 1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C．)ln ,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D．)ln 1,0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩【答案】D.【解析】由已知0lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→===，即()f x 连续. 所以()F x 在0x =处连续且可导，排除A ，C.又0x >时，[(1)cos sin ]cos (1)sin cos (1)sin x x x x x x x x x '+-=-+-=-+， 排除B.故选D.3.设数列{},{}n n x y 满足111111,sin ,22n n n n x y x x y y ++====,当n →∞时( ). A.n x 是n y 的高阶无穷小 B.n y 是n x 的高阶无穷小 C.n x 是n y 的等价无穷小D.n x 是n y 的同阶但非等价无穷小 【答案】B. 【解析】在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭中，2sin x x π>，从而12sin n n n x x x π+=>.又112n n y y +=，从而 1111122444n nn n nn n n y y y y x x x x ππππ++⎛⎫⎛⎫<=<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ， 所以11lim0n n n y x +→∞+=.故选B. 4. 若0y ay by '''++=的通解在(,)-∞+∞上有界，这（ ）.A.0,0a b <>B.0,0a b >>C.0,0a b =<D.0,0a b =>【答案】D【解析】微分方程0y ay by '''++=的特征方程为20r ar b ++=.①若240a b -<，则通解为212()e(cos sin )22a x y x C x C x -=+；②若240a b ->，则通解为2212()eea a x x y x C C ⎛⎛ -- ⎝⎭⎝⎭=+；③若240a b -=，则通解为212()()e a x y x C C x -=+.由于()y x 在(,)-∞+∞上有界，若02a ->，则①②③中x →+∞时通解无界，若02a-<，则①②③中x →-∞时通解无界，故0a =.0a =时，若0b > ，则1,2r =，通解为12()()y x C C =+，在(,)-∞+∞上有界.0a =时，若0b <，则1,2r =12()e y x C C =+，在(,)-∞+∞上无界.综上可得0a =，0b >.故选D.5. 设函数()y f x =由参数方程2||||sin x t t y t t =+⎧⎨=⎩确定，则( ).A.()f x 连续，(0)f '不存在B.(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续C.()f x '连续，(0)f ''不存在D.(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续【答案】C【解析】0lim lim ||sin 0(0)x t y t t y →→===，故()f x 在0x =连续.0()(0)||sin (0)limlim 02||x t f x f t tf x t t →→-'===+. sin cos ,03()()00()sin cos 0t t tt y t f x t x t t t t t +⎧>⎪⎪''===⎨'⎪--<⎪⎩0t =时，0x =；0t >时，0x >；0t <时，0x <，故()f x '在0x =连续.00sin cos 0()(0)23(0)lim lim 39x t t t tf x f f x t +++→→+-''-''===, 00()(0)sin cos 0(0)lim lim 2x t f x f t t t f x t---→→''----''===-,故(0)f ''不存在.故选C.6. 若函数121()(ln )αα+∞+=⎰f dx x x 在0=αα处取得最小值，则0=α( ) A.1ln(ln 2)-B.ln(ln 2)-C.1ln 2- D.ln 2【答案】A. 【解析】已知112221d(ln )111()d (ln )(ln )(ln )(ln 2)a a a ax f a x x x x x aa +∞+∞+∞-++===-=⎰⎰，则 2111ln ln 2111()ln ln 2(ln 2)(ln 2)(ln 2)a a af a a a a a ⎛⎫'=--=-+ ⎪⎝⎭， 令()0f a '=，解得01.ln ln 2a =-故选A.7.设函数2()()e x f x x a =+.若()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点,则a 的取值范围是( ). A.[0,1)B.[1,)+∞C.[1,2)D. [2,)+∞【答案】C.【解析】由于()f x 没有极值点,但曲线()y f x =有拐点，则2()(2)e x f x x x a '=++有两个相等的实根或者没有实根，2()(42)e x f x x x a ''=+++有两个不相等的实根.于是知440,164(2)0,a a -≤⎧⎨-+>⎩解得12a ≤<.故选C. 8. ,A B 为可逆矩阵，E 为单位阵，*M 为M 的伴随矩阵，则*⎛⎫= ⎪⎝⎭A E O BA.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B B A O B AB.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A A B O A B C.****||||⎛⎫- ⎪⎝⎭B A B A O A BD.****|||⎛⎫- ⎪⎝⎭A B A B O B |A【答案】B 【解析】由于*||||||||⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A E E O AB O O B O B O B O E O A B ，故*1||||||||-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E A E A B O O B O B OA B1111||||||||----⎛⎫-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B O A A B O A B O B 1111||||||||||||----⎛⎫-= ⎪⎝⎭A A B A A B B O B A B ****||||⎛⎫-= ⎪⎝⎭A B A B OB A . 故选B. 9.222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--的规范形为A.2212y y +B.2212y y -C.2221234y y y +-D.222123y y y +-【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++--222123121323233228x x x x x x x x x =--+++，二次型的矩阵为211134143⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，211210||134(7)131143141λλλλλλλ---=--=+-----A E210(7)210(7)(3)0141λλλλλλ-=+-=-+-=-， 1233,7,0λλλ==-=，故规范形为2212y y -，故选B.10.已知向量组121212212,1,5,03191⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααββ ，若γ 既可由12,αα 线性表示，又可由12,ββ线性表示，则=γ( )A.33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭B.35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭C.11,2k k R -⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭D.15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设11223142k k k k =+=+γααββ，则11223142k k k k +--=0ααββ，对关于1234,,,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，121212211003(,,,)2150010131910011--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ααββ，解得T T T T1234(,,,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(33,1,1,)k k k k C C C C C =--+-=--+-，故=γ11221211(33)(1)5(1)5,8(1)8C k k C C C k k R C -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=-+-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααα.故选D.二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上. 11．当0x →时，2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()e cos x g x x =-是等价无穷小，则ab =________.【答案】2-【解析】由题意可知，2200()ln(1)1lim lim ()e cos x x x f x ax bx x g x x →→+++==-222022221()2lim 11+()[1()]2x ax bx x x o x x o x x o x →++-+=+--+ 220221(1)()()2lim 3()2x a x b x o x x o x →++-+=+，于是1310,22a b +=-=，即1,2a b =-=，从而2ab =-. 12.曲线y =⎰的孤长为_________.【答案】43π【解析】曲线y =⎰的孤长为x x ==2= 2sin 233022cos d2sin 8cos d x tt t t t ππ==⎰⎰31cos 282tdt π+=⎰ 3014sin 22t t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭43π=+13. 设函数(,)z z x y =由方程e 2zxz x y +=-确定，则22(1,1)xz∂=∂_________.【答案】32-【解析】将点(1,1)带入原方程，得0z =. 方程e 2z xz x y +=-两边对x 求偏导，得e2zz zz x x x∂∂++=∂∂， 两边再对x 求偏导，得22222e e 20zz z z z z x x x x x ∂∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂∂⎝⎭，将1,1,0x y z ===代入以上两式，得(1,1)1z x ∂=∂，22(1,1)32xz∂=-∂.14. 曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为_________. 【答案】119-【解析】当1x =时，1y =.方程35332x y y =+两边对x 求导，得2429(56)x y y y '=+，将1x =，1y =代入，得9(1)11y '=.于是曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为119-. 15. 设连续函数()f x 满足(2)()f x f x x +-=，20()d 0f x x =⎰，则31()d f x x =⎰_________.【答案】12【解析】3323121111()d ()d ()d ()d ()d ()d f x x f x x f x x f x x f x x f x x =-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰312()d ()d f x x f x x=-⎰⎰111201(2)d ()d d 2x tf t t f x x x x -=+-==⎰⎰⎰. 16. 13123123121,0,20,2ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩ 有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a = ，则11120a a ab =________. 【答案】8【解析】方程组有解，则0111101110||12211012001202a a a a a a a ab aa b ==-+=A ，故111280a a ab =.三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10分）设曲线):(e ()L y y x x =>经过点2(e ,0)，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距，(Ⅰ)求()y x ；(Ⅱ)在L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积. 【解】(Ⅰ)曲线L 在点(,)P x y 处的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，令0X =，则切线在y 轴上的截距为()Y y xy x '=-，则()x y xy x '=-，即11y y x'-=-，解得()(ln )y x x C x =-，其中C 为任意常数.又2(e )0y =，则2C =，故()(2ln )y x x x =-.(Ⅱ)设曲线L 在点(,(2ln ))x x x -处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2ln )(1ln )()Y x x x X x --=--.令0Y =，则ln 1xX x =-；令0X =，则Y x =.故切线与两坐标轴所围三角形面积为211()22ln 12(ln 1)x x S x XY x x x ==⋅⋅=--， 则2(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x -'=-.令()0S x '=，得驻点32e x =. 当32e e x <<时，()0S x '<；当32e x >时，()0S x '>，故()S x 在32e x =处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332(e )e S =.18.（本题满分12分）求函数2cos (,)e2yx f x y x =+的极值. 【解】由已知条件，有cos (,)e y x f x y x '=+，cos (,)e (sin )y y f x y x y '=-.令(,)0,(,)0x y f x y f x y ''==，解得驻点为1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭，其中k 为奇数；(e,)k π-，其中k 为偶数.(,)1xxf x y ''=，cos (,)e (sin )y xy f x y y ''=-，cos 2cos (,)e sin e cos y y yy f x y x y x y ''=-. 在点1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭处，其中k 为奇数，1,1e xx A f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，1,0e xy B f k π⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭，21,e e yy C f k π-⎛⎫''=-= ⎪⎝⎭， 由于20AC B -<，故1,e k π⎛⎫- ⎪⎝⎭不是极值点，其中k 为奇数.在点(e,)k π-处，其中k 为偶数，(e,)1xxA f k π''=-=，(e,)0xyB f k π''=-=，2(e,)e yyC f k π-''=-=，由于20AC B ->，且0A >，故(e,)k π-为极小值点，其中k 为偶数，且极小值为2e (e,)2f k π-=-.19.（本题满分12分）已知平面区域(,)|01D x y y x ⎧⎫=≤≤≥⎨⎬⎩⎭， （1）求平面区域D 的面积S .(2)求平面区域D 绕x 一周所形成的旋转体的体积.【解】(1)222144sec 1d d tan sec sin t S x t t t t tππππ+∞===⎰⎰⎰222244sin 1d d cos sin 1cos t t t t tππππ==--⎰⎰241cos 11ln2cos 12t t ππ-==+. (2) 222211111d d 1(1)14V x x x x x x ππππ+∞+∞⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰.20.（本题满分12分）设平面区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +-=，222x y xy +-=与直线,0y y ==围成，计算221d d 3Dx y x y +⎰⎰.【解】221d d 3Dx y x y +⎰⎰30d d πθρ=⎰32201d sin 3cos πθρθθ=+⎰322011ln 2d 2sin 3cos πθθθ=+⎰ 32011ln 2d tan 2tan 3πθθ=+⎰==.21.（本题满分12分）设函数()f x在[,]a a-上有二阶连续导数.（1）证明：若(0)0f=，存在(,)a aξ∈-，使得21()[()()]f f a f aaξ''=+-；（2）若()f x在(,)a a-上存在极值，证明：存在(,)a aη∈-，使得21|()||()()|2f f a f aaη''≥--.【证明】(1)将()f x在x=处展开为22()()()(0)(0)(0)2!2!f x f xf x f f x f xδδ''''''=++=+，其中δ介于0与x之间.分别令x a=-和x a=，则21()()(0)()2!f af a f aξ'''-=-+，1aξ-<<，22()()(0)()2!f af a f aξ'''=+，20aξ<<，两式相加可得212()()()()2f ff a f a aξξ''''+-+=，又函数()f x在[,]a a-上有二阶连续导数，由介值定理知存在ξ∈12[,](,)a aξξ⊂-，使得12()()()2f ffξξξ''''+=，即21()[()()]f f a f aaξ=-+.(2)设()f x在x处取得极值，则()0f x'=.将()f x在x处展开为22000000()()()() ()()()()()2!2!f x x f x xf x f x f x x x f xδδ''''--'=+-+=+，其中δ介于0x与x之间.分别令x a =-和x a =，则2100()()()()2!f a x f a f x η''+-=+，10a x η-<<， 2200()()()()2!f a x f a f x η''-=+，02x a η<<， 两式相减可得222010()()()()()()22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-， 所以222010()()()()|()()|22f a x f a x f a f a ηη''''-+--=-221020|()|()|()|()22f a x f a x ηη''''+-≤+220012|()|[()()](|()|max(|()|,|()|))2f a x a x f f f ηηηη''''''''≤++-= 2200|()|[()()]2|()|2f a x a x a f ηη''''≤++-=，即21|()||()()|2f f a f a aη''≥--.22.（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意的123,,x x x 均有112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .(1)求A(2)求可逆矩阵P 与对角阵Λ，使得1-=P AP Λ.【解】(1)由112321233232x x x x x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，得112233*********x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即方程组123111211011x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦0A 对任意的123,,x x x 均成立，故111211011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A . (2)111101||211(2)20011011λλλλλλλλ---=--=+-----A E ,(2)(2)(1)0λλλ=-+-+=,特征值为1232,2,1λλλ=-==-.3111002211011011000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,1011⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α;1111042231013013000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A E ,2431⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α;211201************⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A E ,3102-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,令123041(,,)130112-⎛⎫⎪==- ⎪⎪⎝⎭P ααα ，则1200020001--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P AP Λ.。

2023年考研《数学二》真题及详解【完整版】

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2023年全国硕士研究生招生考试考研《数学二》真题及详解【完整版】一、选择题：1〜10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中, 合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

只有一个选项是最符1.曲线y = xln （e^-LA 的渐近线方程为（）。

A. y=x+eB. y=x+l/eC. y=xD. y=x —1/e【试题答案】B【试题解析】由已知y = xln （e^ —\ JC 1xlnyk = lim — = lim ----X —00JQXTOO,则可得:limln e +X —00 I1=1b = lim (y-Ax) = lim XT8 ' / XToox-1扁仁上、—X=limxL|' 1、e +--------1_ l X-lyX —>00、x — l)1lim xln XToo1+limXToo所以斜渐近线方程为y=x+l/e 。

2.__,x<0函数 x/l +、2[(x + l)cosx,x > 0的原函数为（A.尸("In +— jv ) jv < 0(x + l)cos x - sin x, x > 0B.尸("In ^/1 + %2 —1, x V 0(x + l)cos x - sin x, x > 0C.In ^/1 + x 2 + x) x V 0(x + l)sin x + cos >In^|/1+%2+x1,jv V0D.F(x)=<(x+l)sin x+cos>0【试题答案】D【试题解析】当xWO时，可得:当x〉0时，可得:j f(x)ch=j(x+l)cos xdx=j(x+l)dsinx=(x+l)sin x-j sin xdx=(x+l)sin x+cos x+C2在x=O处，有：lim In@+J1+工2>G=G,lim(x+l)sin%+cos%+C2=1+C2由于原函数在(一8,+8)内连续，所以Ci=l+C2,令C2=C,则C1=1+C,故In1+%2+x1+C,x V0j/(x)dx=<(x+l)sin x+cos x+C,x>0In+x2+1,x<0令C=0,则f(x)的一个原函数为F(x)=<(x+l)sin x+cos>03.设数列{Xn},{yn}满足xi=yi=l/2,x n+i=sinx n,yn+i=y「，当n—8时()。

1990-2012考研数学二历年真题word版

1990-2012考研数学二历年真题word版

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x zz ey -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______.（6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A*为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量20cos xtdt α=⎰, 20x β=⎰,30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是[]（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα （8）设()(1)f x x x =-, 则[]（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.（9）22lim (1)n nn→∞+等于[]（A ）221ln xdx ⎰. （B ） 212ln xdx ⎰.（C ） 212ln(1)x dx +⎰. （D ） 221ln(1)x dx +⎰（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得 []（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >. （D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为 []（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于[]（A）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰. （D ）2sin 200(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为[]（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有[]（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上,2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e->-. （20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂. （22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A是否可相似对角化.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一． 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，T α是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有[ ](A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e .[ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为 [ ]（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有[ ](A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点.（5）01xdx x 02tan , 则 [ ](A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >>（6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则[ ](A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？ 四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d 五 、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xex⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数. 八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min/33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （ ）． 2．位于曲线xxe y -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（ ）．3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（ ）． 4．1lim 1cos n n →∞++=（ ）．5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝ （Ａ）－１； （Ｂ）０．１；（Ｃ）１； （Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)⎰x dt t f 02)(； (B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--x dt t f t f t 0)]()([； (D)⎰-+xdt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关； （Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x x e xe ，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ． 六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小． 七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分 的高h 应为多少？ 八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）． 证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限．九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+．十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时，)()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ． 十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（ ）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy eyx 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）． 3、xdx x x 223cos )sin (22⎰-+ππ=（ ）． 4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（ ）．5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．) 1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）111>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e 高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且)1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示： 则)(x f y '=的图形为 ( )三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）． 六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(x f且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、 求L 的方程2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系， 144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．2000 年全国硕士研究生入学统一考试一、 填空题1．2．3.4.5.二、选择题6. 7.8.9.10.三、解答题11.12.13.14.15.16. 17.18.19.20.21.1999 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1998 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1997 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1996 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1995 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1994 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1993 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1992 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1991 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)1990 年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)。

2022数学(二)试题及解析

2022数学(二)试题及解析

2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）（科目代码：302）考试时间：180分钟，试卷总分：150分考生注意事项1．答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2．选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。

超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

3．填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。

4．考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。

(以下信息考生必须认真填写)考生编号考生姓名一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.当()()0,,x x x αβ→是非零无穷小量，给出以下四个命题.()()()()22,.x x x x αβαβ ①若则()()()()22.x x x x αβαβ ②若，则()()()()()(),.x x x x o x αβαβα-= ③若则()()()()()().x x o x x x αβααβ-= ④若，则所有真命题的序号：A. B. C. D.①③①④①③④②③④【答案】选C.【解析】①2200()()lim 1lim 1()()x x x x x x ααββ→→=⇒=，正确；③()()()()()0000()()()lim 1lim lim lim 110,()x x x x x x x x x x x x x αβααββααα→→→→-=⇒=-=-=正确④()()()()()()0000()()()lim0lim lim 0lim 1x x x x x x x x x x x x x αβαββαααα→→→→-=⇒-=⇒=,即()()x x αβ ,正确；而00()()(())limlim 1,()()x x x x o x x x αβαββ→→+==(),(),x x x x αβ==-取则②错误,故选C.2.22d d yy x =⎰⎰A.6B.13C.3D.23【答案】选D.【解析】()()()22201233221321d 211d 16112211.633xx y x xx x x -==⋅=++=⋅+=-=⎰⎰⎰⎰原式故选D.3.设函数()f x 在0x x =处有2阶导数，则A.当()f x 在0x 的某邻域内单调增加时，()00f x '>B.当()00f x '>时，()f x 在0x 的某邻域内单调增加C.当()f x 在0x 的某邻域内是凹函数时，()00f x ''>D.当()00f x ''>时，()f x 在0x 的某邻域内是凹函数【答案】B.【解析】由于()f x 在0x x =处有2阶导数，故()00lim ()0x x f x f x →''=>，()00,()ox U x f x δ'∈⇒>，()f x 在0x 的某邻域内单调增加，选择B4.设函数()f t 连续，令0(,)()()d x yF x y x y t f t t -=--⎰，则A.2222,F F F Fx y x y ∂∂∂∂==∂∂∂∂B.2222,F F F F x y x y ∂∂∂∂==-∂∂∂∂C.2222,F F F F x y x y ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂D.2222,F F F F x y x y∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂【答案】选C.【解析】0(,)()d ()d ()d x yx yx yF x y xf t t y f t t t f t t---=--⎰⎰⎰0()d ()()()()()d x y x y F f t t xf x y yf x y x y f x y f t tx --∂=+------=∂⎰⎰22()Ff x y x∂⇒=-∂00()()d ()()()()d x y x y Fxf x y f t t yf x y x y f x y f t ty--∂=---+-+--=-∂⎰⎰22()Ff x y y∂⇒=-∂，故F F x y ∂∂=-∂∂，故选C.5.设p 为常数，若反常积分()110ln d 1ppx x x x --⎰收敛，则p 的取值范围是()()()()A.1,1B.1,2C.,1D.,2---∞-∞【答案】选A.【解析】11211102ln d d d (1)(1)p pp p x x x x x x x x --+--⎰⎰原式为100120ln (1)lim lim ln (0)011d 1p px x p p x x x x x x x p x εεεε++-→→++-=⋅>=⇒<⎰收敛12111ln 1(1)lim 1 d 1,1(1)(1)p pp x pxx x x p x x ---→---=⇒>----⎰与同收敛故选A.ππ6.{},22A.lim cos(sin )limB.lim sin(cos )limC.lim cos(sin )lim sin limD.lim sin(cos )lim cos lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞-≤≤已知数列则()当存在时，存在当存在时，存在当存在时，存在，但不一定存在当存在时，存在，但不一定存在【答案】选D 【解析】{}(1)4πnn n x x =-⋅⇒发散.()2cos sin cos,l 2im n n x →∞=()lim sin cos sin2n n x →∞=，lim sin (1π)4n n →∞⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭不存在，故选D.111123000123213132321ln(1)27.d ,d ,d .2(1cos )1cos 1sin A. B. C. D. x x x I x I x I x x x xI I I I I I I I I I I I +===+++<<<<<<<<⎰⎰⎰已知则【答案】选A 【解析】()ln(1)2xf x x =-+，111()0,(0,1)212(1)x f x x x x -'=-=<∈++(0)0f =12ln(1),.2xx I I ⇒≤+<现比较2I 和3I ，即比较2ln(1)22(1cos )1sin x xx x+++与22223cossin ,(0,1)222cos cos sin 2224cos 1sin 22(1cos )1sin 112(1cos )1sin 2ln(1)2(0,1).x xx x x x xxx x x xx x x I I >∈⎛⎫⎛⎫⇒>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒>++>+<+++<∈<即而则故选A.8.设A 为3阶矩阵，100010,000⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭Λ则A 的特征值为1，1-，0的充分必要条件是A.存在可逆矩阵P,Q ,使得=A P Q ΛB.存在可逆矩阵P ,使得-1=A P P ΛC.存在正交矩阵Q ,使得-1=A Q Q ΛD.存在可逆矩阵P ,使得T=A P P Λ【答案】选B【解析】根据相似对角化定义，B 选项可以直接推出A 的特征值为1，1-，0，又若A 的特征值为1，1-，0，互不相同，则A 一定可相似对角化，可推出B.故选B.9.设矩阵2211111,2,14a a b b b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭A =则线性方程组x =b A 解的情况为A.无解B.有解C.有无穷多解或无解D.有唯一解或无解【答案】选D【解析】22111(,)1214b A b a a b b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()()()22111||1111A a a b a b a b b ==---()||0(,)3A r A r A b ≠⇒==，有唯一解()||0(,)A r A r A b =⇒≠无解，故选D.10.设123421111,,1,,11λααλααλλλ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪====⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭若向量组123124,,,,αααααα与等价，则λ的取值范围是{}{}{}{}A.0,1B.,2C.,1,2D.,1λλλλλλλλλλ∈≠-∈≠-≠-∈≠-R R R 【答案】选C 【解析】()222111111011110(2)(1)0()111λλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⇒--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭()()()12312412341,,,,,,, 1 r r r λαααααααααα=⇒===，等价()()()12312412340 ,,,,,,, 3 r r r λαααααααααα=⇒===，等价()()1231241 ,,3,, 2 r r λαααααα=-⇒==，，不等价()()1231242 ,,2,, 3 r r λαααααα=-⇒==，，不等价其他时，()()()1231241234,,,,,,, 3 r r r αααααααααα===，等价故{,1,2}λλλλ∈≠-≠-∣R ，故选C.二、填空题（11-16小题，每小题5分，共30分）11.cot 01e lim 2xx x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭.【答案】12e【解析】cos sin 0000cos 1e cot sin 200cos 1e cos (e 1)lim1limsin 22sin (e 1)1lim lim22212ln 1e 1e lim lim lim 22e eeeeeexx x x x x x x x x x xx x xx x x x x x xxx x→→→→⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭→→→⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭-⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====== 原式12.已知函数()y y x =由方程233x xy y ++=确定，则(1)y ''=.【答案】3132-【解析】223230()13,131,14x xy y y y x x xy y y x y y ''+++⋅==++=='===-①将代入得将代入,得对①两边求导：22630,31,1,,431(1)32++y xy y y y y y y y x y y ''''''''++⋅⋅+⋅='===-''=-代入解得13.1223d 1x x x x +=-+⎰.【答案】83π9【解析】()()1122001122200112200122023214d d 1114d 1d 111ln 14d 1114d 21322π.932x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +-+=-+-+=-++-+-+=-++-+⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎛⎫-+⎪⎝⎭⎝⎭==⎰⎰⎰⎰⎰⎰14.250,y y y ''''''-+=通解()y x =.【答案】123e (cos 2sin 2)xC C x C x ++【解析】特征方程为32250r r r -+=，分解因式，则2(25)0r r r -+=，得12,30,12r r i ==±，则通解为123e (cos 2sin 2)x y C C x C x =++.15.已知曲线L 的极坐标方程为sin 303r θθπ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，则L 围成有界区域的面积为.【答案】π12【解析】ππ2330π20211sin 3sin 3d32611π1πsin d 2662212S d u u θθθθ====⨯⨯⨯=⎰⎰⎰16.设A 为3阶矩阵，交换A 的第2行和第3行，再将第2列的1-倍加到第一列，得到矩阵211110100--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，则1-A 的迹()1tr -=A .【答案】1-【解析】100100211001110110010001100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ()11100211100=001110110010100001211100111100110100110001010010001; 1.111tr ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭A A A 三、解答题：17～22小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知函数()f x 在1x =处可导，且()()222e 31sin lim2,x x f f x x →-+=求(1).f '【解析】()()222e 31sin lim2→-+=x x f f x x 由题意，得：()()220lim e 31sin 0(1)0x x f f x f →⎡⎤-+=⇒=⎣⎦()()()()2222222022220e 31sin e (1)e 1limlim e 11sin (1)sin 3lim sin (1)3(1)2(1)1x x x x x x x f f x f f x x f x f x x x f f f →→→-+--=⋅-+--⋅''=-='⇒=-18.（本题满分12分）设函数()y x 是微分方程242ln 1,xy y x '-=-满足条件1(1)=4y 的解，求曲线()()1e y y x x =≤≤的弧长.【解析】22d d 2322ln 1e e d 22ln 1d 21ln 2x xx x x y x C x x x x C x x Cx -⎡⎤-⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦-⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=-+⎰⎰代入1=x ，得：14C =，所以：211ln 24=-+y x x .则：1e 1211d 2211e 44s x x x x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=+⎰⎰19.（本题满分12分）已知平面区域{}(,)|22D x y y x y =-≤≤≤≤，计算y x y x y x I Dd d )(222⎰⎰+-=.【解析】已知平面区域{}(,)|22D x y y x y =-≤≤≤≤，计算222()d d Dx y I x y x y -=+⎰⎰.222222222d 21d 2d d D D D Dx xy y I x y xy x y xyx y σσσσ-+=+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰补线2+=x y （图中虚线），根据对称性2222220sin cos 2202202d d 2d 2cos sin d 424cos sin d (sin cos )2sin 222sin 2d d 1sin 22222 2.DD xyx yr rθθσσθθθθθθθθθθθθθπ+πππ=-+=π+-⎛⎫=π+-- ⎪+⎝⎭=π+-++=π+-+π-=π-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰20.（本题满分12分）已知可微函数(,)f u v 满足()()(,)(,)2e ,u vf u v f u v u v u v -+∂∂-=-∂∂且2(,0)e u f u u -=.（1）记(,)(,)g x y f x y x =-，求(,)g x y x∂∂；（2）求(,)f u v 的表达式和极值.【解析】(1)(,)2()e 2(2)e u v yyg x y f f xx y x x y --∂''=-∂=-+=-(2)2()(,)2(2)e d 2e 2e ()(,)2()e ()(,)(,)2e ()y y y y u v g x y x y xx xy y f x y x x x y y f x y x f u v uv u v ϕϕϕ-----+=-=-+=-=-+=-=-++⎰代入0v =，得2()euu u ϕ-=，有：()()2()22()(,)2e ()e e u v u v u v f u v uv u v u v -+-+-+=-++=+()()()22()()22()2e e 2e e u v u v u u v u v v f u u v f v u v -+-+-+-+'=-+'=-+22222020⎧--=⇒=⎨--=⎩u u v u v v u v 代回有：(1)0-=u u 得：0==u v 或 1==u v ()()()()()()()()22()22()()()22()22()22()2e 2e 2e e 24e 2e 2e e 22e 24e u v u v u v u v uuu v u v u v u v u v u v vvA f u u u v u u vB u v u v u v u vC f v v u -+-+-+-+-+-+-+-+-+-+''==--++=-++=--++=+--''==-++代入坐标有：()()()()()()20,021,100,001,12e 0,021,10-====-==A A B B C C 对于()0,0点，有240,0AC B A -=>>，这一点取得极小值0，对于()1,1点，有20AC B -<，不是极值.21.（本题满分12分）设函数()f x 在∞+∞（-，）内具有2阶连续导数，证明：()0f x ''≥的充分必要条件是对不同的实数,a b ，1(()d .2baa b f f x x b a +≤-⎰【解析】证明：由泰勒公式：()21()()()()()22222a b a b a b a b f x f f x f x ξ++++'''=+-+-，ξ介于x 与2a b +之间()()221()d (()((d 222221()()d 222ξξ++++⎡⎤'''=+-+-⎢⎥⎣⎦++⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰bb aa b a a b a b a b a b f x x f f x f x xa b a b f b a f x x必要性：若()0f x ≥''，则()0f ξ≥''，有()1d 2()+⎛⎫≤⎪-⎝⎭⎰b aa b f f x x b a 充分性：若存在0x 使得0()0f x ''<，因为()f x 有二阶连续导数，故存在0δ>使得()f x ''在[]00,x x δδ-+内恒小于零，记00,a x b x δδ=-=+,此时：()21()d ()()()d ()()2222ξ+++⎡⎤''=-+-<-⎢⎥⎣⎦⎰⎰bb aa ab a b a bf x x f b a f x x f b a 矛盾，故()0f x ≥''.综上，充分性必要性均得证.22.（本题满分12分）已知二次型22212312313(,,)3432f x x x x x x x x =+++.(1)求正交变换x =Qy 将123(,,)f x x x 化为标准形;(2)证明()Tmin2f 0x x x x≠=.【解析】(1)已知：301040103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A()()222(30104010331(4)134)691(4)68(2)(4)λλλλλλλλλλλλλλλ=----=-----==--+---+---=-E A 2 λ=时，1011012020010101000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A ，解得：3101-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α；4λ=时，1014000000-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭E A ，解得：121,01100⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα；已正交，直接单位化：3211232301,00,0⎛ ⎛⎫⎪===== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭=ααααββαβ令：01000⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Q 得标准型：222123442=++f y y y (2)证明：因为Q 可逆：T T T002221232220123minmin()min 442min x y y y fffy y y y y y ≠≠≠≠==++=++x x y yy yQ Q 2222221231232222221231234422222++++=++++y y y y y y y y y y y y 令：21222301y y y ⎧=⎪=⎨⎪=⎩得：2=f 故最小值为2.。

2023年考研数二真题及答案解析

2023年考研数二真题及答案解析

2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案考试时间：180分钟，满分：150分一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）曲线1ln()1yx e x =+−的斜渐近线方程为（ ） （A）y x e =+ （B）1y x e=+（C）y x = （D）1y x e=−【答案】B 【解析】1limlimln()11x x y ke x x →∞→∞==+=−，11lim()lim()lim[ln(]lim [ln(ln ]11x x x x b y kx y x x e x x e e x x →∞→∞→∞→∞=−==−=+−=+−−−111lim ln(1lim (1)(1)x x x x e x e x e→∞→∞=+==−−，所以渐进线方程为1y x e =+，答案为B（2）设0()(1)cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的一个原函数为（ ）（A）),0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−≤=⎨+−>⎪⎩（B）)1,0()(1)cos sin ,0x x F x x x x x ⎧⎪−+≤=⎨+−>⎪⎩（C）),0()(1)sin cos ,0x x F x x x x x ⎧⎪+≤=⎨++>⎪⎩（D）)1,0()(1)sin cos ,x x F x x x x x ⎧⎪++≤=⎨++>⎪⎩【答案】D【解析】根据原函数的连续性，可排除（A）（C）；再根据原函数的可导性，可排除选项（B），答案为（D） （3）已知{}n x ，{}n y 满足1112x y ==，1sin n n x x +=，21(1,2,)n n y y n +== ，则当n →∞时（ ）（A）n x 是n y 的高阶无穷小（B）n y 是n x 的高阶无穷小（C）n x 与n y 是等价无穷小（D）n x 与n y 是同阶但不等价的无穷小【答案】B【解析】由已知可得，{}n x ，{}n y 均单调递减，且12n y ≤，又因为sin x x 在(0,2π上单调递减，故2sin 1x x π<<，所以2sin x x π>，所以21112sin sin 24n n n n nn n n n n ny y y y y y x x x x x ππ++==≤=，依次类推可得，111100()444n nn n n n y y y n x x x πππ++⎛⎫⎛⎫≤≤≤≤=→→∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故n y 是n x 的高阶无穷小，答案为B （4）若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ）（A）0,0a b <>（B）0,0a b >>（C）0,0ab =>（D）0,0ab =<【答案】C 【解析】0y ay by ′′′++=的解一共三种情形：①240a b Δ=−>，1212x xy C e C e λλ=+，但此时无论12,λλ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；②240a b Δ=−=，12()xy C C x eλ=+，但此时无论λ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；③240a b Δ=−<，12(cos sin )xy e C x C x αββ=+，此时若y 在(,)−∞+∞上有界，则需满足0α=，所以0,0a b =>，答案为（C）（5）设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ） （A）()f x 连续，(0)f ′不存在（B）(0)f ′不存在，()f x ′在0x =处不连续（C）()f x ′连续，(0)f ′′不存在（D）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =处不连续【答案】C 【解析】当0t =时，有0x y ==①当0t>时，3sin x t y t t=⎧⎨=⎩，可得sin 33x xy =，故()f x 右连续；②当0t<时，sin x ty t t=⎧⎨=−⎩，可得sin y x x =−，故()f x 左连续，所以()f x 连续；因为0sin 033(0)lim 0x x x y x ++→−′==；0sin 0(0)lim 0x x x y x −−→−−′==，所以(0)0f ′=；③当0x >时，1sin sin cos 333393x x x x x y ′⎛⎫′==+ ⎪⎝⎭，所以0lim ()0x y x +→′=，即()f x ′右连续；④当0x <时，()sin sin cos y x x x x x ′′=−=−−，所以0lim ()0x y x −→′=，即()f x ′左连续，所以()f x ′连续；考虑01sin cos 23393(0)lim 9x x x xf x ++→+′′==；0sin cos (0)lim 2x x x x f x −−→−−′′==−，所以(0)f ′′不存在，答案为C（6）若函数121()(ln )f dx x x αα+∞+=⎰在0αα=处取得最小值，则0α=（ ） （A）1ln(ln 2)−（B）ln(ln 2)− （C）1ln 2（D）ln 2【答案】A 【解析】当0α>时，121()(ln )f dx x x αα+∞+=⎰收敛， 此时21122111111()ln (ln )(ln )(ln )(ln 2)f dx d x x x x x ααααααα+∞+∞+∞++===−=⎰⎰，故211111ln ln 2()(ln 2)(ln 2)(ln 2)f ααααααα′⎡⎤−′==−⎢⎥⎣⎦，令()0f α′=，解得0α=1ln(ln 2)−（7）设函数2()()x f x x a e =+，若()f x 没有极值点，但曲线()y f x =有拐点，则a 的取值范围是（ ）（A）[0,1)（B）[1,)+∞（C）[1,2)（D）[2,)+∞【答案】C 【解析】2()()x f x x a e =+，2()(2)x f x x x a e ′=++，2()(42)x f x x x a e ′′=+++，因为()f x 没有极值点，所以440a −≤；又因为曲线()y f x =有拐点，所以164(2)0a −+>，联立求解得：[1,2)a ∈（8）设A ，B 为n 阶可逆矩阵，*M 为矩阵M 的伴随矩阵，则*A E OB ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） （A）****A B B A O B A ⎛⎫−⎪⎝⎭（B）****B A A B O A B ⎛⎫−⎪⎝⎭（C）****B A B A OA B ⎛⎫−⎪⎝⎭（D）****A B A B OB A ⎛⎫−⎪⎝⎭【答案】B【解析】*11111A E A E A E A AB A B O B O B O B O B −−−−−⎛⎫−⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111***1*A B A A B A B B A A B O A B B OA B −−−−⎛⎫⎛⎫−−== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，答案为B （9）二次型222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++−−的规范形为（ ）（A）2212y y +（B）2212y y −（C）2221234y y y +−（D）222123y y y +−【答案】B 【解析】222123121323(,,)()()4()f x x x x x x x x x =+++−−222123121323233228x x x x x x x x x =−−+++二次型矩阵为211134143A ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,211134(7)(3)143E A λλλλλλλ−−−−=−+−=+−−−+ 故答案为B（10）已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=（ ）（A）33,4k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭ （B）35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭ （C）11,2k k R −⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（D）15,8k k R ⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令γ11221122k k l l ααββ=+=+，则有112211220k k l l ααββ+−−=，即12121212(,)0k k l l ααββ⎛⎫ ⎪ ⎪−−= ⎪ ⎪⎝⎭而121212211003(,)2150010131910011ααββ−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−=−→− ⎪ ⎪⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭所以1212(,,,)(3,1,1,1),TT k k l l c c R =−−∈，所以12(1,5,8)(1,5,8),T T c c c k k R γββ=−+=−=∈，答案为D二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上． （11）当0x →时，函数2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()cos x g x e x =−是等价无穷小，则ab =________【答案】2−【解析】由已知可得：2222200022221(())()ln(1)2lim lim lim 1()cos (1())(1())2x x x x ax bx x x o x f x ax bx x g x e x x o x x o x →→→++−++++==−++−−+220221(1)(()2lim 13()2x a x b x o x x o x →++−+==+所以1310,22a b +=−=，即1,2a b =−=,所以2ab =−（12）曲线y =⎰的弧长为________43π【解析】由题意可得函数定义域为[x ∈，根据公式可得：2302sin 24cos L x t tdtπ====⎰304(1cos 2)t dt π=+=⎰43π+（13）设函数(,)z z x y =由2ze xz x y +=−确定，则2(1,1)2zx∂=∂_________【答案】32−【解析】代入(1,1)点可得，0z =，先代入1y =，可得21z e xz x +=−，两边对x 求导，2z e z z xz ′′++=，得(1)1z ′=两边再对x 求导，20z ze z e z z z xz ′′′′′′′++++=，代入(1,1)及0z =，(1)1z ′=得2(1,1)232zx∂=−∂（14）曲线35332x y y =+在1x =对应点处的法线斜率为________【答案】119−【解析】代入1x =得到1y =，两边对x 求导，242956x y y y y ′′=+，代入1x =，1y =可得：911y ′=，故1x =对应点处的法线斜率为1119y −=−′（15）设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +−=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰_______【答案】12【解析】323211121()()()()(2)f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx=+=++⎰⎰⎰⎰⎰[]2121111()()()022f x dx f x x dx f x dx xdx =++=+=+=⎰⎰⎰⎰（16）已知线性方程组13123123121202ax x x ax x x x ax ax bx +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪+=⎩有解，其中,a b 为常数，若0111412a a a =，则11120a a ab =_______【答案】8【解析】由题意可得：方程组系数矩阵秩为3，可得增广矩阵的秩也为3，即011110012002a a a ab =按照第四列进行行列式展开可得：144411011(1)122(1)11012a a a a a b a ++⋅−+⋅−⋅=所以111280a a ab =三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设曲线:()()L y y x x e =>经过点2(,0)e ，L 上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距（1）求()y x ；（2）在L 上求一点，使得该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积【答案】（1）()(2ln )y x x x =− （2）33221(,)2e e ，最小面积是3e 【解析】（1）曲线L 上任一点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x ′−=−，令0X =，则y 轴上的截距为Y y xy ′=−，则有x y xy ′=−，即11y y x′−=−，解得(ln )y x C x =−，其中C 为任意常数，代入2(,0)e 可得2C =，故()(2ln )y x x x =−（2）该点设为000(,(2ln ))x x x −，切线方程为0000(2ln )(1ln )()Y x x x X x −−=−− 令0X =，解得0Y x =；令0Y =，解得00ln 1x X x =−；所以该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积为：200011()22ln 1x S x XY x ==−求导00020(2ln 3)()2(ln 1)x x S x x −′=−，令0()0S x ′=，解得320x e =且为最小值点，最小面积为332()S e e =（18）（本题满分12分） 求函数2cos (,)2yx f x y xe=+的极值【答案】极小值为21(,2)2f e k e π−=−（k Z ∈） 【解析】先求驻点cos cos 0(sin )0y xy y f e x f xe y ⎧′=+=⎪⎨′=−=⎪⎩，解得驻点为1(,(21))e k π−−+和(,2)e k π−，其中k Z∈下求二阶偏导数，cos cos 2cos 1(sin )sin cos xx yxy y y yy f f e y f xe y xe y ⎧′′=⎪⎪′′=−⎨⎪′′=−⎪⎩代入1(,(21))e k π−−+（k Z ∈），解得210xxxy yy A f B f C f e −⎧′′==⎪⎪′′==⎨⎪′′==−⎪⎩，20AC B −<,故1(,(21))e k π−−+不是极值点； 代入(,2)e k π−（k Z ∈），解得210xxxy yy A f B f C f e ⎧′′==⎪⎪′′==⎨⎪′′==⎪⎩，20AC B −>且0A >,故(,2)e k π−是极小值点，其极小值为21(,2)2f e k e π−=−（k Z ∈） （19）（本题满分12分）已知平面区域{(,)01}D x y y x =≤≤≥（1）求D 的面积（2）求D 绕x 轴旋转所成旋转体的体积【答案】（1）ln(1S = （2）24V ππ=−【解析】（1）222214441tan sec csc ln csc cot tan sec D S x t tdt tdt t tt t ππππππ+∞====−⎰⎰⎰ln(1=+;（2）22222111111(1)1x V dx dx dx x x x x πππ+∞+∞+∞⎛⎫===− ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰11arctan x x π+∞⎛⎫=−− ⎪⎝⎭24ππ=−（20）（本题满分12分）设平面有界区域D 位于第一象限，由曲线221x y xy +−=，222x y xy +−=与直线y =，0y =围成，计算2213Ddxdy x y +⎰⎰【解析】本题采用极坐标计算，322013Ddxdy d x y πθ=+⎰⎰⎰333222222000111ln 3cos sin 3cos sin 3cos sin d r d d πππθθθθθθθθθ===+++⎰⎰332220011111ln 2ln 2tan ln 22(3tan )cos 23tan 2d d ππθθθθθ=⋅=⋅==++⎰⎰（21）（本题满分12分） 设函数()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，证明： （1）若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈−，使得21()[()()]f f a f a aξ′′=+−（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，则存在(,)a a η∈−，使得21()()()2f f a f a aη′′≥−−【答案】（1）利用泰勒公式在0x =处展开，再利用介值性定理； （2）利用泰勒公式在极值点处展开，再利用基本不等式进行放缩；【解析】（1）在0x =处泰勒展开，22()()()(0)(0)(0)2!2!f c f c f x f f x x f x x ′′′′′′=++=+， 其中c 介于0与x 之间；代入两个端点有：211()()(0),(0,)2!f f a f a a a ξξ′′′=+∈222()()(0)(),(,0)2!f f a f a a a ξξ′′′−=−+∈−两式相加可得：212()()()()2f f f a f a a ξξ′′′′++−=即122()()1[()()]2f f f a f a a ξξ′′′′++−=因为()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，所以()f x ′′存在最大值M 与最小值m ， 根据连续函数的介值性定理可得，12()()2f f m M ξξ′′′′+≤≤，所以存在(,)a a ξ∈−，使得12()()()2f f f ξξξ′′′′+′′=，即21()[()()]f f a f a aξ′′=+−成立；（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，不妨设0x 为其极值点，则由费马引理可得，0()0f x ′=将()f x 在0x 处泰勒展开，22000000()()()()()()()()()2!2!f d f d f x f x f x x x x x f x x x ′′′′′=+−+−=+−其中d 介于0x 与x 之间；代入两个端点有：210010()()()(),(,)2!f f a f x a x x a ηη′′=+−∈ 220020()()()(),(,)2!f f a f x a x a x ηη′′−=+−−∈−两式相减可得：221200()()()()()()22f f f a f a a x a x ηη′′′′−−=−−−−所以22120022()()11()()()()2222f f f a f a a x a x a a ηη′′′′−−=−−−− 22102021[()()()()]4f a x f a x aηη′′′′≤−++，记112()max[(),()]f f f ηηη′′′′′′=， 又因为22220000()()[()()]4a x a x a x a x a −++≤−++=，所以21()()()2f a f a f aη′′−−≤成立 （22）（本题满分12分）设矩阵A 满足对任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−+ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭（1）求A（2）求可逆矩阵P 与对角矩阵Λ，使得1P AP −=Λ【答案】（1）111211011A ⎛⎫⎪=− ⎪⎪−⎝⎭11 /11 （2）401310112P −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，1221P AP −⎛⎫ ⎪=Λ=− ⎪ ⎪−⎝⎭【解析】（1）因为任意123,,x x x 均有112321233232x x x x A x x x x x x x ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，即112233*********x x A x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭故可分别取单位向量100010001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，可得100111100010211010001011001A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以111211011A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭（2）111101101211221(2)2110110(2)1011E A λλλλλλλλλλλ−−−−−−−−=−+−=−+−=+−−−+−++−+101(2)211(2)(2)(1)20λλλλλλ−−=+−−=+−+− 所以A 的特征值为21,2−−，，下求特征向量： 当2λ=−时，解方程组(2)0E A x −−=，可得基础解系为1(0,1,1)T ξ=−;当1λ=−时，解方程组()0E A x −−=，可得基础解系为2(1,0,2)Tξ=−当2λ=时，解方程组(2)0E A x −=，可得基础解系为3(4,3,1)T ξ=令401310112P −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭，有1221P AP −⎛⎫ ⎪=Λ=− ⎪ ⎪−⎝⎭成立。

[考研类试卷]考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编28.doc

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[考研类试卷]考研数学⼆（⾼等数学）历年真题试卷汇编28.doc[考研类试卷]考研数学⼆（⾼等数学）历年真题试卷汇编28⼀、选择题下列每题给出的四个选项中，只有⼀个选项符合题⽬要求。

1 下列反常积分收敛的是( )2 反常积分①∫－∞01／x2e1／x dx与②∫0+∞1／x2e1／x dx的敛散性为( )（A）①发散，②收敛。

（B）①收敛，②发散。

（C）①收敛，②收敛。

（D）①发散，②发散。

3 设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第⼀类间断点，则∫0x f(t)dt是( ) （A）连续的奇函数。

（B）连续的偶函数。

（C）在x=0间断的奇函数。

（D）在x=0间断的偶函数。

4 设函数y=f(x)在区间[－1，3]上的图形如右图所⽰，则函数F(x)=∫0x f(t)dt的图形为( )5 设函数f(x)=F(x)=∫0x f(t)dt，则( )（A）x=π是F(x)的跳跃间断点。

（B）x=π是F(x)的可去间断点。

（C）F(x)在x=π处连续不可导。

（D）F(x)在x=π处可导。

6 如图，曲线段的⽅程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分[xf'(x)dx等于( )（A）曲边梯形ABOD⾯积。

（B）梯形ABOD⾯积。

（C）曲边三⾓形ACD⾯积。

（D）三⾓形ACD⾯积。

⼆、填空题7 ∫－∞1dx=_______。

8 ∫0+∞dx=_______。

9 曲线y=－x3+x2+2x与x轴所围成的图形的⾯积A=_______。

10 位于曲线y=xe－x(0≤x＜+∞)下⽅，x轴上⽅的⽆界图形的⾯积是_______。

11 设曲线的极坐标⽅程为ρ=e aθ(a＞0)，则该曲线上相应于θ从0变到2π的⼀段弧与极轴所围成的图形的⾯积为_______。

12 当0≤θ≤π时，对数螺旋r=eθ的弧长为_______。

13 曲线y=∫0x tanxdx(0≤x≤π／4)的弧长s=_______。

考研数学二历年真题word版

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2015年考研数学二真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列反常积分收敛的是（ ）（A）2+∞⎰（B ）2ln x dx x +∞⎰（C ）21ln dx x x+∞⎰ （D ）2x x dx e +∞⎰2．函数201sin ()lim x tt t f x x →⎛⎫=+⎪⎝⎭在(,)-∞+∞内（ ） （A ）连续 （B ）有可去间断点（C ）有跳跃间断点 （D ）有无穷间断点3．设函数 100000cos ,(),(,),x x f x xx αβαβ⎧>⎪=>>⎨⎪≤⎩，若()f x '在0x =处连续，则（ ） （A ）1αβ-> （B ）01αβ<-≤ （C ）2αβ-> （D ）02αβ<-≤4．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 5．设函数(,)f u v 满足22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则1111|,|u u v v f f u v ====∂∂∂∂依次为（ ） （Ａ）102, （Ｂ）102, （Ｃ）102,- （Ｄ）102,-6．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线,y x y ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）34(cos ,sin )d f r r rdr ππθθθ⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）34(cos ,sin )d f r r dr ππθθθ⎰7．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是 （A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω （C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω8．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 2221232y y y ++ 9．设33arctan x t y t t=⎧⎨=+⎩，则212|t d ydx == ． 10．函数22()x f x x =在0x =处的n 阶导数0()()n f = ．11．设函数()f x 连续，2()()x x xf t dt ϕ=⎰，若1115(),()ϕϕ'==，则1()f = ．12．设函数()y y x =是微分方程20y y y '''+-=的解，且在0x =处()y x 取极值3，则()y x = ． 13．若函数(,)z z x y =由方程231x y zexyz +++=确定，则00(,)|dz = ．14．设三阶矩阵A 的特征值为221,,-，2B A A E =-+，其中E 为三阶单位矩阵，则行列式B = ． 三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值． 16．（本题满分10分）设0A >，D 是由曲线弧02sin ()y A x x π=≤≤及直线02,y x π==所围成的平面区域，12,V V 分别表示D 绕,x y 旋转一周所围成的旋转体的体积，若12V V =，求A 的值．17．（本题满分10分）已知(,)f x y 满足21(,)(),x xy f x y y e ''=+01(,)(),x x f x x e '=+202(,)f y y y =+，求(,)f x y 的极值．18．（本题满分10分）计算二重积分()dxdy Dx x y -⎰⎰，其中{}2222(,)|,D x y x y y x =+≤≥ 19．（本题满分10分）已知21()x f x =+⎰⎰，求()f x 的零点个数．20．（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒，物体在20C ︒恒温介质中冷却，30分钟后该物体的温度降到30C ︒．若要将物体的温度继续降至21C ︒，还需要冷却多长时间？21．（本题满分11分）已知函数()f x 在区间[,)a +∞上具有二阶导数，000(),(),()f a f x f x '''=>>．设b a >，曲线()y f x =在点(,())b f b 的切线与x 轴的交点是00(,)x ，证明：0.a x b <<22．（本题满分11分）设矩阵101101a A a a ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，且30A =．（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足22X XA AX AXA E ---=，其中E 为三阶单位矩阵，求X ． 23．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8题,每题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)曲线221x xyx+=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数,则(0)f '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==++++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设20sin d ,(1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有(,)(,)0,0,x y x y x y∂∂><∂∂则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是 ( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α,2201c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,3311c ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α ,4411c -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭α ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(8) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若()123,,P =ααα，()1223,,Q =+αααα则1Q AQ -=(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202x d y dx== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ .(11) 设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y==的解为y = .(13) 曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14) 设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = .三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，(I)求a 的值;(II)若0x →时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe+-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:ln L y x =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围成,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=,(I) 求()f x 的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点.(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<. (21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，1100β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(I) 计算行列式A ；(II) 当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001A a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T T f x x x x A A x =的秩为2，(I) 求实数a 的值；(II) 求正交变换x Qy =将f 化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.已知当0x →时，函数是等价无穷小，则与k cx x x x f 3sin sin 3)(-= A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-42.=-==→3320)(2)(,0)0(0)(limx x f x f x f x x f x 则处可导，且在已知A )0(2f '-B )0(f '-C )0(f 'D 03.函数)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 的驻点个数为 A 0 B 1 C 2 D 34.微分方程的特解形式为)0(2>+=-'-λλλλx x e e y y A)(x x e e a λλ-+ B )(x x e e ax λλ-+ C )(x x be ae x λλ-+ D )(2x x be ae x λλ-+5设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数)(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>''<f f D 0)0(,1)0(<''<f f 6.设⎰⎰⎰===44400cos ln ,cot ln ,sin ln πππxdx K xdx J xdx I 的大小关系是、、则K J IA I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I7.设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵。

考研数学二2000-2012年历年真题完美打印版

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2000 年全国硕士研究生入学统一考试一、填空题1．2．3.4.5.二、选择题6.7.8.9.10.三、解答题11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分) 1、213lim21-++--→x x xx x =（ ）．2、曲线1)cos(2-=-+e xy e yx 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（ ）． 3、xdx x x 223cos )sin (2⎰-+ππ=（ ）． 4、微分方程11arcsin 2=-+'x y x y 满足)(21y =0的特解为：（ ）． 5、方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则a =（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)1、1101)(>≤⎩⎨⎧=x x x f 则)]}([{x f f f =（ A ） 0；（B ）1；（C ）1101>≤⎩⎨⎧x x ； （D ）1110>≤⎩⎨⎧x x ．2、0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比nx x sin 高阶的无穷小，而nx x sin 是比12-x e高阶的无穷小，则正整数n 等于（ A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4． 3、曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为 （ A ）０；（B ）１；（C ）２；（D ）３．4、函数)(x f 在区间（1-δ，1+δ）内二阶可导，)(x f ' 严格单调减小，且 )1(f =)1(f '=1，则（A ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x <； （B ）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有)(x f x >；（C ）在（1-δ，1）内有)(x f x <，在（1，1+δ）内有)(x f x >； （D ）在（1-δ，1）内有)(x f x >，在（1，1+δ）内有)(x f x <． 5、设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示： 则)(x f y '=的图形为 ( )三、（本题满分6分）求⎰++221)12(xxdx．四、（本题满分7分）求函数)(x f =sin sin sin lim()sin xt x t x t x-→的表达式，并指出函数)(x f 的间断点及其类型．五、（本题满分7分）设)(x ρρ=是抛物线x y =上任意一点M （y x ,）（1≥x ）处的曲率半径，)(x s s =是该抛物线上介于点A （1，1）与M 之间的弧长，计算222)(3ds d ds d ρρρ-的值（曲率K ＝23)1(2y y '+''）．六、（本题满分7分）)(x f 在[0，+∞）可导，)0(f =0，且其反函数为)(x g ． 若x x f e x dt t g 2)(0)(=⎰，求)(x f ．七、（本题满分7分）设函数)(x f ，)(x g 满足)(x f '=)(x g ， )(x g '=2xe －)(xf 且)0(f =0，(0)g =2，求dx x x f x x g ⎰+-+π2])1()(1)([八、（本题满分9分）设L 为一平面曲线，其上任意点P （y x ,）（0>x ）到原点的距离，恒等于该点处 的切线在y 轴上的截距，且L 过点（0.5，0）．1、 求L 的方程2、 求L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、（本题满分7分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S 成正比比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r 0 的雪堆 在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？ 十、（本题满分8分）)(x f 在[-a ，a]上具有二阶连续导数，且)0(f =01、 写出)(x f 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；2、 证明在[-a ，a]上至少存在一点η，使⎰-=''a adx x f f a )(3)(3η十一、（本题满分6分）已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011101110,111011001B A 且满足AXA+BXB=AXB+BXA+E ，求X ．十二、（本题满分6分）设4321,,,αααα为线性方程组AX=O 的一个基础解系， 144433322211,,,ααβααβααβααβt t t t +=+=+=+=，其中t 为实常数 试问t 满足什么条件时4321,,,ββββ也为AX=O 的一个基础解系．2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分)1．设函数0)(2arcsin 12tan ≤<⎪⎩⎪⎨⎧=-x x aex f xe xx在0=x 处连续，则=a （ ）．2．位于曲线xxe y -=（+∞<≤x 0）下方，x 轴上方的无界图形的面积为（ ）．3．02='+''y y y 满足初始条件21)0(,1)0(='=y y 的特解是（ ）． 4．1lim n n→∞=（ ）． 5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----222222220的非零特征值是（ ）．二、单项选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分．)１．函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为０．１，则)1(f '＝ （Ａ）－１； （Ｂ）０．１；（Ｃ）１； （Ｄ）０．５．２．函数)(x f 连续，则下列函数中，必为偶函数的是 (A)⎰x dt t f 02)(； (B)⎰x dt t f 02)(；(C)⎰--xdt t f t f t 0)]()([； (D)⎰-+x dt t f t f t 0)]()([．３．设)(x f y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足初始条件0)0()0(='=y y 的特解，则极限)()1ln(lim 20x y x x +→(A)不存在； （Ｂ）等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数)(x f 在+R 上有界且可导，则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；（Ｂ）当)(lim x f x '+∞→存在时，必有0)(lim ='+∞→x f x ；(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时，必有0)(lim 0='+→x f x ；(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时，必有0)(lim 0='+→x f x ．5．设向量组321,,ααα线性无关，向量1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k 必有（Ａ）21321,,,ββααα+k 线性无关；(B) 21321,,,ββααα+k 线性相关； （Ｃ）21321,,,ββαααk +线性无关； (D) 21321,,,ββαααk +线性相关．三、（本题满分6分）已知曲线的极坐标方程为θcos 1-=r ，求该曲线对应于6πθ=处的切线与法线的直角坐标方程．四、（本题满分７分）设函数10012)(2)1(223≤≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧+==+x x xx x f y x xe xe ，求函数⎰-=x dt t f x F 1)()(的表达式．五、（本题满分７分）已知函数)(x f 在+R 上可导，0)(>x f ，1)(lim =+∞→x f x ，且满足x he xf hx x f h 11))()((lim 0=+→，求)(x f ． 六、（本题满分７分）求微分方程0)2(=-+dx y x xdy 的一个解)(x y y =，使得由曲线)(x y y =与直线2,1==x x 以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体的体积最小． 七、（本题满分7分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分 的高h 应为多少？ 八、（本题满分８分）设30<<n x ，)3(1n n n x x x -=+（n ＝１，２，３，…）．证明：数列｛n x ｝的极限存在，并求此极限． 九、（本题满分８分）设0>>a b ，证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+． 十、（本题满分8分）设函数)(x f 在x ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且0)0()0()0(≠'''f f f ．证明：存在惟一的一组实数c b a ,,，使得当0→h 时， )()0()3()2()(2h o f h cf h bf h af =-++．十一、（本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足E B B A 421-=-．⑴证明：矩阵E A 2-可逆；⑵若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200021021B ，求矩阵Ａ． 十二、（本题满分６分）已知四阶方阵),,,(4321αααα=A ， 4321,,,αααα均为四维列向量，其中432,,ααα线性无关，3212ααα-=．若4321ααααβ+++=，求线性方程组β=Ax 的通解．2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a= . （2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3） xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是__________. （4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a ea θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为（A ） .22xy - (B) .22x y(C) .22yx - (D) .22y x [ ]（4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点.(B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]（5）01xdx x 02tan , 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >> [ ] （6）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ ]三 、（本题满分10分）设函数 ,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e xx ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d五 、（本题满分9分）计算不定积分 .)1(232arctan dx x xe x ⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.七 、（本题满分12分）讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分. (1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰；(3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分）若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx . 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程 333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____..（3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)z z x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______. （6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ） （7）把0x +→时的无穷小量20cos xtdt α=⎰, 20x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα []（8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点.（C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x =不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点.[]（9）lim ln n →∞等于（A ）221ln xdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰[]（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小. （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >. []（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++.（C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y =+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A ）11()dx f xy dy -⎰⎰.（B ）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关.[]三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分）设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分） 设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x x e e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k =⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z z x y x y∂∂∂∂∂∂∂.（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设xx y )sin 1(+=，则π=x dy= .（2）曲线xx y 23)1(+=的斜渐近线方程为 .（3）=--⎰1221)2(xxxdx.（4）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为 . （5）当0→x 时，2)(kx x =α与x x x x cos arcsin 1)(-+=β是等价无穷小，则k= .（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A)32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C) 32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A) πab . (B)π2ab . (C) π)(b a +. (D) π2b a + . [ ] （11）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C)222y u y x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222xuy x u ∂∂=∂∂∂. [ ] （12）设函数,11)(1-=-x xex f 则 (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.(D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ] （14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则 [ ](A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(2y S 如果总有)()(21y S x S =，求曲线3C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分）用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程0)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1Ta =α,)1,,1(2Ta =αTa )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题三、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为（2）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a = .（3）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰.（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （5）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则[ ](A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数 （D ）在0x =间断的偶函数. [ ]（9）设函数()g x 可微，1()()e,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln31-. （B ）ln3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-[ ]（10）函数212e e e xxx y C C x -=++满足的一个微分方程是（A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-= [ ]（11）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（Ａ）(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D)(,)d y f x y x . [ ]（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ](A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠. （13）设12,,,s ααα 均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 [ ](B) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性相关. (C) 若12,,,s ααα 线性相关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. (C) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性相关.(D) 若12,,,s ααα 线性无关，则12,,,s A A A ααα 线性无关. （14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）TC PAP =. ［ ］ 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()xBx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求 arcsin e d e xxx ⎰.（17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰（18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.（19）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂.（I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.（21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→等价的无穷小量是 （A）1- （B） （C1 （D）1- [ ]（2）函数1(e e)tan ()e e x x xf x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭在[],ππ-上的第一类间断点是x = [ ] （A ）0 （B ）1 （C ）2π-（D ）2π（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ]（5）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是：(A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散(C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. [ ] （7）二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充要条件是[ ] （A ）()[](,)0,0lim(,)(0,0)0x y f x y f →-=.（B ）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且.（C ）((,)0,0lim 0x y →=.（D ）00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→⎡⎤⎡⎤''''-=-=⎣⎦⎣⎦且.（8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则 (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---.(D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]（10）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11） 30arctan sin limx x xx→-= __________. （12）曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_________.（13）设函数123y x =+，则()(0)n y =________. （14） 二阶常系数非齐次微分方程2432e xy y y '''-+=的通解为y =________.（15） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.（16）设矩阵01000010********A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导的函数，且满足()10cos sin ()d d sin cos f x xt tf t t tt t t--=+⎰⎰，其中1f -是f 的反函数，求()f x .（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线2(1,0)xay a x -=>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ；（Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值.（19）（本题满分10分）求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.（20）（本题满分11分）已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程1e1y y x --=所确定，设()ln sin z f y x =-，求2002d d ,d d x x zz xx ==.（21） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（22） (本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D(,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（23） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（24） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵. （I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()at af x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABOD 面积. ()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++=()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u ()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ） ()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0xy x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sin ln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 . （12）曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为______. （13）设x yy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)____z x ∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22yx∂∂.(17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()(baf x d x f ba η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得（21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分）设矩阵2221212n n a a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,T n X x x = ，()1,0,,0B = ，（1）求证()1nA n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ； （3）a 为何值，方程组有无穷多解，并求通解.（23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,y xydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A 、B 的伴随矩阵。

2024年考研数学二真题及参考答案

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2024年考研数学二真题及参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分）1. 设函数$f(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{1+x}$，则$f(x)$在$(-1,0)$区间内（）A. 无界B. 连续但不可导C. 可导且单调递增D. 可导且单调递减【参考答案】D2. 设函数$y = e^{2x} - 2e^x + 1$，则该函数的极值点为（）A. $x = 0$B. $x = \ln 2$C. $x = \ln 3$D. 无极值点【参考答案】B3. 设函数$y = x^3 - 3x + 1$，则曲线$y = x^3 - 3x + 1$在$x = 1$处的切线方程为（）A. $y = 2x - 1$B. $y = -x + 2$C. $y = 3x - 2$D. $y = -2x + 2$【参考答案】B4. 设函数$y = \sqrt{1 - x^2}$，则$y$在$[0,1]$区间上的最大值为（）A. 1B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{1}{2}$D. 0【参考答案】A5. 设$f(x)$是连续函数，且$\int_0^2 f(x) \, dx = 3$，则$\int_0^1 f(x+1) \, dx = （）$A. 2B. 3C. 1D. 4【参考答案】A6. 设$f(x) = \int_0^x (t - x) e^t \, dt$，则$f''(x) = （）$A. $-2e^x$B. $e^x$C. $2e^x$D. $-e^x$【参考答案】A7. 设$a$和$b$是方程$x^2 - (a+1)x + b = 0$的两根，且$a < b$，则$a$和$b$满足的条件是（）A. $a + b > 1$B. $a + b < 1$C. $a - b < 1$D. $a - b > 1$【参考答案】B8. 设矩阵$A$满足$A^2 - 3A + 2E = O$，其中$E$为单位矩阵，则$A$的特征值为（）A. 1, 2B. 2, 3C. 1, 3D. 0, 2【参考答案】C二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\tan 5x} = $【参考答案】$\frac{2}{5}$2. 设$f(x) = \sqrt{1 + x^2}$，则$f'(x) = $【参考答案】$\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$3. 设$f(x) = x^2 \sin x$，则$f''(x) = $【参考答案】$2x \sin x + 2 \cos x - x^2 \cos x$4. 设$f(x) = \ln(1 + x^2)$，则$\int_0^1 f(x) \, dx = $【参考答案】$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$5. 设$y = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，则$y'$在$x = 1$处的值是$【参考答案】06. 设$a$和$b$是方程$x^2 - 2x + 1 = 0$的两根，则$a^2 + b^2 = $【参考答案】27. 设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则$A^{-1} = $【参考答案】$\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 &1 \end{pmatrix}$8. 设矩阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，则$A$的特征值为$【参考答案】1, 3三、解答题（本题共9小题，共94分）1. （本题10分）求极限$\lim_{x \to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}$。

考研数学二历年真题word版

考研数学二历年真题word版

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)曲线221x x y x +=-的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()=(1)(2)()x x nx f x e e e n ---其中n 为正整数,则'(0)f = ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n --(3) 设1230(1,2,3),n n n a n S a a a a >==+++，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的( )(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设2sin d (1,2,3),k x k I e x x k π==⎰则有( )(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有0,0,x y∂∂><∂∂（x,y ）（x,y ）则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是( )(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12y x x y π==±=围成，则5(1)d d Dx y x y -=⎰⎰( )(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π(7) 设1100C α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1C ，2C ，3C ，4C 均为任意常数,则下列数列组相关的是( )(A) 1α，2α，3α (B) 1α，2α，4α (C) 2α，3α，4α (D) 1α，3α，4α(8) 设A 为3阶矩阵, P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若()123,,P ααα=，()1223+,,Q αααα=,则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程21yx y e -+=所确定的隐函数，则202/x d yd x== .(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ .(11)设1ln ,z f x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()2d 3d 0y x x y y +-=满足条件11x y ==的解为y = .(13)曲线()20y x x x =+<上曲率为2的点的坐标是 . (14)设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = . 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数()11sin x f x x x+=-，记()0lim x a f x →=，（I ）求a 的值;（II ）若0x →当时，()f x a -与kx 是同阶无穷小，求常数k 的值.(16)(本题满分 10 分)求函数()222,x y f x y xe +-=的极值.(17)(本题满分12分)过(0,1)点作曲线:L y lnx =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围城,求区域D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.(19)(本题满分 分)已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求的表达式;(II) 求曲线220()()d xy f x f t t =-⎰的拐点(0)f '(20)(本题满分10分)证明21ln cos 112x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程1x x x ++=n n-1+()1n >的整数，在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个实根；（II ）记（I ）中的实根为n x ，证明lim n n x →∞存在，并求此极限. (22)(本题满分11 分)设100010001001a a A a a⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1100β⎛⎫⎪⎪ ⎪=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭（I）计算行列式A；(II）当实数a为何值时，方程组Axβ=有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知1010111001Aaa⎛⎫⎪⎪=⎪-⎪-⎝⎭，二次型()()123,,T Tf x x x x A A x=的秩为2，（I）求实数a的值；（II）求正交变换x Qy=将f化为标准形.2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、 选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

2019-2020年研究生招生考试数学二真题及答案解析(完整版)

2019-2020年研究生招生考试数学二真题及答案解析(完整版)

12019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析一、选择题1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3. D.4.2.）（π202≤≤+=x x cos x sin x y 的拐点A.⎪⎭⎫⎝⎛2,2ππ B.()2,0C.()2,πD.⎪⎭⎫⎝⎛-23,23ππ 3.下列反常积分收敛的是（） A.dx xe x ⎰+∞-0B.dx xe x ⎰+∞-02C.dx x x⎰+∞+021arctanD.dx x x ⎰+∞+0214.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,45.已知积分区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=2πy x |y ,x D ）（，dxdy y x I D ⎰⎰+=221，dxdy y x I D⎰⎰+=222sin，(dxdy y x I D)cos 1223⎰⎰+-=，试比较321,,I I I 的大小A.123I I I <<B.321I I I <<C.312I I I <<D.132I I I <<6.已知)()(x g x f 是二阶可导且在a x =处连续，请问)()(x g x f 相切于a 且曲率相等是0)()()(lim2=--→a x x g x f ax 的什么条件？A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件7.设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是2 A.0 B.1 C.2 D.38.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++B.232221y y y -+C.232221y y y --D.232221y y y ---二、填空题 9.2lim(2)x xx x →∞+=10.曲线sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为11.设函数()f u 可导，2()y z yf x=，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂12. 设函数ln cos 6y x x π=≤≤（0）的弧长为 13. 已知函数2sin ()xtt f x xdt t=⎰，则10()f x dx =⎰14.已知矩阵110021113221034A -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示A 中(,)i j 元的代数余子式，则1112A A -=三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分10分）已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f xx ，求的极值并求)()(x f x 'f16.（本题满分10分）求不定积分.dx x x x x ⎰++-+)1()1(6322 17.（本题满分10分）)(x y y =是微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.3（1）求)(x y（2）设平面区域{})x (y y ,x y ,D≤≤≤≤=021x ）（，求D 绕轴旋转一周所得旋转体的体积.18.（本题满分10分） 已知平面区域D 满足()(){}4322y y x|y ,x ≤+，求.dxdy yx yx D⎰⎰++2219.（本题满分10分）x x f S ,N n x n sin e )(-+=∈是的图像与x 轴所谓图形的面积，求n S ，并求.S n n ∞→lim 20.（本题满分11分）已知函数)(y ,x u 满足,yux u y u x u 033222222=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂求b ,a 的值，使得在变换by ax y ,x v y ,x u +=)e ()(下，上述等式可化为)(y ,x v 不含一阶偏导数的等式.21.（本题满分11分）已知函数),(y x f 在[]1,0上具有二阶导数，且⎰===11)(,1)1(,0)0(dx x f f f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得0)('=ξf ； （2）存在)1,0(∈η，使得2)(''-<ξf .22.（本题满分11分）已知向量组（Ⅰ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4111α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4012α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=32123a α，（Ⅱ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=3111a β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a 1202β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=33123a β，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a 的取值，并将β用321,,ααα线性表示.23.（本题满分11分）已知矩阵相似与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=y B x A 0001001220022122（1）求y x ,，x4 （2）求可逆矩阵,P 使得B AP P =-12020年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． 1.当0x +→时，下列无穷小量中最高阶的是（ ）A.2(1)xt e dt -⎰B.0ln(1xdt +⎰ C.sin 2sin xt dt ⎰D.1cos 0x-⎰2.函数11ln(1)()(1)(2)x xe xf x e x -+=--的第二类间断点的个数为（ ） A.1 B.2 C. 3 D.4 3.1( )=⎰A. 24π B.28π C.4π D.8π4.已知2()ln(1),f x x x =-当3n ≥时，()(0)( )n f=A. !2n n --B.!2n n - C. ()2!n n -- D.()2!n n -5.关于,0,(,),0,,0,xy xy f x y x y y x ≠⎧⎪==⎨⎪=⎩给出下列结论：（1）(0,0)1f x ∂=∂ （2）2(0,0)1f x y ∂=∂∂ （3）()(),0,0lim (,)0x y f x y →=（4）00limlim (,)0y x f x y →→=。

考研数2试题及答案

考研数2试题及答案

考研数2试题及答案试题：一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，不是周期函数的是（）A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间（）上是单调递增的。

A. (-∞, 1)B. (1, +∞)C. (-∞, 2)D. (2, +∞)3. 已知某数列的前5项和为20，且满足a_n = 2a_{n-1} + 3，n≥2，该数列是（）A. 等差数列B. 等比数列C. 不是等差数列也不是等比数列D. 无法确定4. 极限lim (n→∞) (1 - 1/n)^n 的值是（）A. 0B. 1C. e^-1D. e5. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，P(X=k) = λ^k * e^-λ / k!，k=0,1,2,...，那么E(X)等于（）A. λB. λ^2C. e^λD. k6. 曲线y = x^2 在点（1,1）处的切线斜率是（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, -1)，向量a与向量b的夹角θ满足（）A. cosθ = 1/2B. cosθ = √2/2C. cosθ = 2/√5D. cosθ = 3/√108. 以下哪个选项不是微分方程dy/dx = y/x的解（）A. y = x^2B. y = cxC. y = e^x/xD. y = ln|x|9. 设函数f(x)在点x=a处连续且可导，f'(a)≠0，那么曲线y=f(x)在点（a,f(a)）处的切线方程是（）A. y = f(a) + f'(a)(x - a)B. y = f(a) + f'(a)xC. y = f(a) - f'(a)(x - a)D. y = f(a) - f'(a)x10. 以下哪个级数是收敛的？（）A. ∑((-1)^n)/√nB. ∑n/(n^2 + 1)C. ∑sin(n)/nD. ∑(1/n^2)答案：一、选择题1. C2. B3. C4. C5. A6. B7. C8. D9. A10. D请根据实际考试内容和要求，自行检查答案的准确性。

考研数学二历年真题word版之欧阳引擎创编

考研数学二历年真题word版之欧阳引擎创编

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题欧阳引擎（2021.01.01）一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x=0连续，则(A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab =（2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且()0f x ''>，则(A) 11()0f x dx ->⎰ (B) 12()0f x dx -<⎰(C) 0110()()f x dx f x dx ->⎰⎰(D)111()()f x dx f x dx -<⎰⎰（3）设数列{}n x 收敛，则 (A)当limsin 0n n x →∞=时，lim 0n n x →∞=(B)当lim (0n n n x x →∞=时，则lim 0n n x →∞= (C)当2lim()0nn n x x →∞+=, lim 0n →∞=(D)当lim(sin )0n n n x x →∞+=时，lim 0n n x →∞=（4）微分方程248(1cos 2)x y y y e x '''-+=+的特解可设为k y = (A)22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++(B)22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ (C)22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ (D)22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++（5）设()f x 具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,f x y f x y x y∂∂>∂∂则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f < (C)(0,1)(1,0)f f > (D)(0,1)(1,0)f f <（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t =（单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则 (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t >（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得1000010002P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则123(,,)A ααα=(A)12αα+ (B)232αα+ (C)23αα+ (D)122αα+（8）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020000C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则(A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分. （9）曲线()21arcsin y x x =+的斜渐近线方程为（10）设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，则202t d ydx =（11）()2ln(1)1x dx x +∞++⎰ =（12）设函数(),f x y 具有一阶连续偏导数，且()()(),1,0,00y y df x y ye dx x y e dy f =++=，则(),f x y =（13）110tan yxdy dx x=⎰⎰（14）设矩阵41212311A a ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则a = 三、解答题：15~23小题，共94分。

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2010年考研数学二真题一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ） ()A 1. ()B 2. ()C 3. ()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点.()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,y x y dx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ） ()A ()2411,x dx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,x x dx f x y dy -⎰⎰. ()C ()2411,y dy f x y dx -⎰⎰. ()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰ （5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ） ()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A . ()B .()C . ()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A 、B 的伴随矩阵。

若A =2B =3，，则分块矩阵00A B⎛⎫ ⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**0320B A ⎛⎫ ⎪⎝⎭()B .**02B 3A 0⎛⎫⎪⎝⎭*03A ⎛⎫*02A ⎛⎫（8）设A P ，均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且T 100P AP=010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若 P=Q=+ααααααα1231223（，，），（，，），则Q AQ T 为（ ）()A .210110002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ()C .200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 （10）已知+1k x e dx ∞=-∞⎰,则k = （11）n 1lim e sin 0x nxdx -→∞=⎰ （12）设()y y x =是由方程xy 1y e x +=+确定的隐函数，则2x=0d y =dx 2（13）函数2x y x =在区间(]01，上的最小值为(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵T αβ相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )lim sin x x x x x →--+（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx ⎰ (0)x >（17）（本题满分10分）设(),,zf x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z x y ∂∂∂（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积。

（19）（本题满分10分）求二重积分()D x y dxdy -⎰⎰， 其中()()(){}22,112,Dx y x y y x =-+-≤≥（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=。

求()y x 的表达式（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=。

（22）（本题满分11分）设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关。

（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值。

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（ ）()A 0 ()B 1. ()C 2 ()D 3（2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()a t af x dx ⎰（ ）()A 曲边梯形ABOD 面积.()B 梯形ABOD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积.()D 三角形ACD 面积.（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（ ）()A ''''''440y y y y +--= ()B ''''''440y y y y +++= ()C ''''''440y y y y --+=()D ''''''440y y y y -+-=（5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ ）()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛.()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛.（6）设函数f 连续，若2222(,)uvD F u v dxdy x y =+⎰⎰，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ ()A 2()vf u ()B 2()vf u u ()C ()vf u()D ()vf u u（7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则（ ）()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.()D E A -可逆，E A +不可逆.（8）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（ ）()A 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()B 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭.()C 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭.()D 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数()f x 连续，且21cos[()]lim1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)____f =.（10）微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是____y =.（11）曲线()()sinln xy y x x +-=在点()0,1处的切线方程为 .（12）曲线23(5)y x x=-的拐点坐标为______.（13）设x yy zx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则(1,2)____z x∂=∂.（14）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ.若行列式248A =-，则___λ=.三、解答题：15－23题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分9分）求极限()40sin sin sin sin lim x x x x x →-⎡⎤⎣⎦.(16)（本题满分10分）设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x t 是初值问题0200x t dx te dt x --⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解.求22yx ∂∂.(17)（本题满分9分）求积分1⎰.(18)（本题满分11分）求二重积分max(,1),Dxy dxdy ⎰⎰其中{(,)02,02}D x y x y =≤≤≤≤(19)（本题满分11分）设()f x 是区间[)0,+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =.对任意的[)0,t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式.(20)（本题满分11分）(1) 证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰(2)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足32(2)(1),(2)()x dx ϕϕϕϕ>>⎰，证明至少存在一点(1,3),()0ξϕξ''∈<使得（21）（本题满分11分）求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值与最小值.（22）（本题满分12分）设矩阵2221212n na a a A a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭O O O ，现矩阵A 满足方程AX B =，其中()1,,TnX x x =L ，()1,0,,0B =L ，（1）求证()1n A n a =+；（2）a 为何值，方程组有唯一解，并求1x ；（23）（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-特征向量，向量3α满足323A ααα=+，（1）证明123,,ααα线性无关； （2）令()123,,P ααα=，求1P AP -.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→（A）1- （B） （C1 （D）1- [ ]（2）函数1(e e)tan ()e e x x x f x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭在[],ππ-上的第一类间断点是x = [ ]（A ）0 （B ）1 （C ）π-（D ）π（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ] （5）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （6）设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()n u f n =，则下列结论正确的是： (A) 若12u u > ，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u > ，则{}n u 必发散(C) 若12u u < ，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u < ，则{}n u 必发散. [ ]（7）二元函数(,)f x y 在点()0,0处可微的一个充要条件是[ ]（A ）()[](,)0,0lim(,)(0,0)0x y f x y f →-=.（B ）00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim 0x y f x f f y f x y→→--==且.（C ）((,)0,0lim0x y →=.（D ）00lim (,0)(0,0)0,lim (0,)(0,0)0x x y y x y f x f f y f →→⎡⎤⎡⎤''''-=-=⎣⎦⎣⎦且.（8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）1arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（9）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C)1223312,2,2αααααα---. (D)1223312,2,2αααααα+++. [ ]（10）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）30arctan sin limx x xx →-= __________.（12）曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_________.（13）设函数123y x =+，则()(0)n y =________.（14） 二阶常系数非齐次微分方程2432e x y y y '''-+=的通解为y =________.（15） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z zx yx y ∂∂-=∂∂ __________.（16）设矩阵01000010********A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导的函数，且满足()10cos sin ()d d sin cos f x xt tf t t tt t t--=+⎰⎰，其中1f -是f的反函数，求()f x .（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线2(1,0)xay a x -=>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D 绕x轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ；（Ⅱ）当a 为何值时，()V a 最小？并求此最小值.（19）（本题满分10分）求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.（20）（本题满分11分）已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程1e 1y y x --=所确定，设()ln sin z f y x =-，求2002d d ,d d x x zz xx ==.（21） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（22） (本题满分11分) 设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D(,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（23） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（24） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T 1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B .2006年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、 填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为（2）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a = . d x x+∞（4）微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （5）设函数()y y x =由方程1e y y x =-确定，则d d x y x==（6）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则[ ](A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<. (C)d 0y y ∆<<.(D)d 0y y <∆< .（8）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则0()d xf t t ⎰是（A ）连续的奇函数. （B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数.[ ]（9）设函数()g x 可微，1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（A ）ln31-.（B ）ln3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-[ ]（10）函数212e e e x x x y C C x -=++满足的一个微分方程是（A ）23e .x y y y x '''--= （B ）23e .x y y y '''--=（C ）23e .x y y y x '''+-=（D ）23e .x y y y '''+-= [ ]（11）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（Ａ）(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x .(D)(,)d y f x y x . [ ]（12）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ](A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. (D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.（13）设12,,,s αααL均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 [ ](A) 若12,,,s αααL 线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性相关. (B)若12,,,s αααL线性相关，则12,,,s A A A αααL 线性无关. (C) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性相关.(D) 若12,,,s αααL 线性无关，则12,,,s A A A αααL 线性无关.（14）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=. （Ｃ）T CP AP =.（Ｄ）T CPAP =.［ ］三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求 arcsin e d e xx x ⎰.（17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y+++⎰⎰（18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==L（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.（19）（本题满分10分）证明：当0a b π<<<时，（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y ∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.（21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程；（III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积.（22）（本题满分9分）已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解.（23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题二、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设x x y )sin 1(+=，则π=x dy= .（2）曲线x x y 23)1(+=的斜渐近线方程为 .（3）=--⎰1221)2(xxxdx.（4）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为 . 0→x 2)(kx x =αx x x x cos arcsin 1)(-+=β（6）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M⇔表示“M 的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数.（B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ ]（9）设函数y=y(x)由参数方程⎩⎨⎧+=+=)1ln(,22t y t t x 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x 轴交点的横坐标是(A) 32ln 81+. (B) 32ln 81+-. (C)32ln 8+-. (D) 32ln 8+. [ ]（10）设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，f(x)为D 上的正值连续函数，a,b 为常数，则=++⎰⎰σd y f x f y f b x f a D)()()()((A)πab . (B)π2ab . (C)π)(b a +. (D)π2ba + . [ ]（11）设函数⎰+-+-++=y x yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有(A)2222yu x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222y ux u ∂∂=∂∂.(C)222yuy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ ],1)(=x f(A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. (D)x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ ]（14）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则 [ ](C)交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且0)0(≠f ，求极限.)()()(lim⎰⎰--→x xx dtt x f x dtt f t x（16）（本题满分11分）如图，1C 和2C 分别是)1(21x e y +=和x e y =的图象，过点(0,1)的曲线3C 是一单调增函数的图象. 过2C 上任一点M(x,y)分别作垂直于x 轴和y 轴的直线x l 和y l . 记21,C C 与x l 所围图形的面积为)(1x S ；32,C C 与y l 所围图形的面积为).(y S 如果总有)()(y S x S =，求曲线C 的方程).(y x ϕ=（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x（18）（本题满分12分） 用变量代换)0(cos π<<=t t x 化简微分方程)1(2=+'-''-y y x y x ，并求其满足2,10='===x x y y的特解.（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f（20）（本题满分10分）已知函数z=f(x,y) 的全微分ydyxdx dz 22-=，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.（21）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .（22）（本题满分9分）确定常数a,使向量组,),1,1(1T a =α,)1,,1(2T a =αTa )1,1,(3=α可由向量组,),1,1(1T a =β,)4,,2(2T a -=βT a a ),,2(3-=β线性表示，但向量组321,,βββ不能由向量组321,,ααα线性表示.（23）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.2004年考硕数学（二）真题一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）（1）设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+, 则()f x 的间断点为x = .（2）设函数()y x 由参数方程333131x t t y t t ⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩ 确定, 则曲线()y y x =向上凸的x 取值范围为____.. （3）1+∞=⎰_____..（4）设函数(,)zz x y =由方程232x z z e y -=+确定, 则3z zx y∂∂+=∂∂______. （5）微分方程3()20y x dx xdy +-=满足165x y ==的特解为_______. （6）设矩阵210120001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 矩阵B 满足2ABA BA E **=+, 其中A *为A 的伴随矩阵, E 是单位矩阵, 则B =______-.二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）（7）把0x+→时的无穷小量2cos xt dt α=⎰, 20x β=⎰, 30t dt γ=⎰排列起来, 使排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是（A ）,,.αβγ （B ）,,.αγβ（C ）,,.βαγ （D ）,,.βγα[]（8）设()(1)f x x x =-, 则（A ）0x =是()f x 的极值点, 但(0,0)不是曲线()y f x =的拐点. （B ）0x =不是()f x 的极值点, 但(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （C ）0x =是()f x 的极值点, 且(0,0)是曲线()y f x =的拐点. （D ）0x=不是()f x 的极值点, (0,0)也不是曲线()y f x =的拐点. []（9）lim n →∞等于（A ）221lnxdx ⎰. （B ）212ln xdx ⎰.（C ）212ln(1)x dx +⎰. （D ）221ln (1)x dx +⎰ []（10）设函数()f x 连续, 且(0)0f '>, 则存在0δ>, 使得（A ）()f x 在(0,)δ内单调增加. （B ）()f x 在(,0)δ-内单调减小.（C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f >.（D ）对任意的(,0)x δ∈-有()(0)f x f >.[]（11）微分方程21sin y y x x ''+=++的特解形式可设为（A ）2(sin cos )y ax bx c x A x B x *=++++. （B ）2(sin cos )y x ax bx c A x B x *=++++. （C ）2sin y ax bx c A x *=+++.（D ）2cos y ax bx c A x *=+++[]（12）设函数()f u 连续, 区域{}22(,)2D x y x y y=+≤, 则()Df xy dxdy ⎰⎰等于（A）11()dx f xy dy -⎰⎰. （B）2002()dy f xy dx ⎰⎰.（C ）2sin 200(sin cos )d f r dr πθθθθ⎰⎰.（D ）2sin 20(sin cos )d f r rdr πθθθθ⎰⎰[]（13）设A 是3阶方阵, 将A 的第1列与第2列交换得B , 再把B 的第2列加到第3列得C , 则满足AQ C =的可逆矩阵Q 为（A ）010100101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （B ）010101001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.（C ）010100011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （D ）011100001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.[]（14）设A ,B 为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有 （A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关. （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关.（D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关. []三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）（15）（本题满分10分）求极限3012cos lim 13x x x x→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（16）（本题满分10分） 设函数()f x 在（,-∞+∞）上有定义, 在区间[0,2]上, 2()(4)f x x x =-, 若对任意的x 都满足()(2)f x k f x =+, 其中k 为常数.(Ⅰ)写出()f x 在[2,0]-上的表达式; (Ⅱ)问k 为何值时, ()f x 在0x =处可导.（17）（本题满分11分）设2()sin x xf x t dt π+=⎰,(Ⅰ)证明()f x 是以π为周期的周期函数;(Ⅱ)求()f x 的值域.（18）（本题满分12分）曲线2x xe e y -+=与直线0,(0)x x t t ==>及0y =围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为()V t , 侧面积为()S t , 在x t =处的底面积为()F t .(Ⅰ)求()()S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限()lim ()t S t F t →+∞.（19）（本题满分12分）设2e a b e <<<, 证明2224ln ln ()b a b a e ->-.（20）（本题满分11分）某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700/km h .经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为66.010k=⨯).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?注 kg 表示千克,/km h 表示千米/小时.（21）（本题满分10分）设22(,)xyz f x y e =-,其中f 具有连续二阶偏导数,求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组1234123412341234(1)0,2(2)220,33(3)30,444(4)0,a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨++++=⎪⎪++++=⎩ 试问a 取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.（23）（本题满分9分）设矩阵12314315a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根, 求a 的值, 并讨论A 是否可相似对角化.2003年考研数学（二）真题三、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若0→x 时，1)1(412--ax与x x sin 是等价无穷小，则a= .（2） 设函数y=f(x)由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 .（3）x y 2=的麦克劳林公式中n x 项的系数是__________.（4） 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则 ααT = .（6） 设三阶方阵A,B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则B =________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（2）设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于 (A)1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e .(C)1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e . [ ]（3）已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为 （A ）.22x y - (B) .22xy (C).22y x - (D) .22yx [ ] （4）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]（5）设01x,dx x 02tan , 则(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C).112>>I I (D) .112I I >> [ ]（6）设向量组I ：r ααα,,,21Λ可由向量组II ：s βββ,,,21Λ线性表示，则(A) 当s r<时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.[ ]三 、（本题满分10分）设函数,0,0,0,4sin1,6,arcsin )1ln()(23>=<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-+=x x x xx ax x e x x ax x f ax问a 为何值时，f(x)在x=0处连续；a 为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四 、（本题满分9分）设函数y=y(x)由参数方程)1(,21ln 2112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t du u e y t x t u所确定，求.922=x dx y d五 、（本题满分9分）计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.七 、（本题满分12分） 讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八 、（本题满分12分）设位于第一象限的曲线y=f(x)过点)21,22(，其上任一点P(x,y)处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx 在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线y=f(x)的弧长s.九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以min /33m的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y xϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十 、（本题满分10分）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(a,b)内f(x)>0; (2)在(a,b)内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dx x f a b b a =-⎰； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'b a dx x f a a b f .)(2))((22ξξη十 一、（本题满分10分） 若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx . 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++cb a（资料素材和资料部分来自网络，供参考。

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