初中数学教师解题竞赛试题
初中数学教师基本功大赛试题
第二届初中数学教师基本功大赛试题一、选择题（2×10=20分）1．某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的平均分M，如果把M当成一个同学的成绩与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M：N为（）.A．40：41 B．41：40 C．2 D．12．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（）.A. 2，，2 C. 4，2 D. 2，43．某企业产品的成本前两年每年递增20％，引进先进的技术设备之后，后两年产品的成本每年递减20％，那么该企业产品的成本现在的与原来的比较（）Ａ．不增不减Ｂ．约增加8％Ｃ．约减少8％Ｄ．约减少5％4．函数y=x|x|的图象大致是（）5．已知m>2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m+1，y3)都在二次函数y=x2－2x的图像上，则（）.A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y1<y3<y2D. y2<y1<y36．数学课程的总目标中有：培养学生具有适应未来社会生活和继续学习所必需的数学基本知识和技能以及基本的（）A．应用能力 B．生活能力 C．学习方法 D．数学思想方法7．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）.A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时8．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，标签的选取是无放回的，两张标签上的数字为相邻整数的概率（）.A.25B.35C.825925主视图俯视图左视图ABO图 1ABO图2 9．如图，垂直于x 轴的直线EF 经坐标原点O 向右移动. 若E 是EF 与x 轴的交点，设OE =x (0x a ≤≤)，EF 在移动过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数()y f x =的图象大致是（ ）.10．水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45°的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA =5cm ，则球的半径等于（ ）A ．5cmB ．52cmC ．5(21)cm +D ．6cm 二、填空题（2×10=20分）11．一幅美丽的图象，在某顶点处有四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为____________．12．若函数y =x 2+bx +c 的图象的顶点在第四象限，则函数y=2x+b 的图象不经过第_______象限．13．A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜=｜PB ｜，若直线PA 的方程为x －y +1=0，则直线PB 的方程为 ．14．如图，水平地面上有一面积为30 ㎝2的灰色扇形OAB ，其中OA 的长度为6㎝，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图(1)的扇形向右滚动至OB 垂直地面为止，如图(2)所示，则O 点移动了 ㎝．15．若不等式组112x x a -≤≤⎧⎨<⎩有解，那么a 必须满足 ．16．把直线l :y=3x+2平移后得直线l 1:y=3x-5.有下列说法：①是把l 向下平移7个单位；②是把l 向右平移37个单位；③是把l 向上平移5个单位；④是把l 向左平移5个单位．其中正确序号有____________．（把你认为正确的全写上）17．规定记号“⊗”表示一种运算，即2(,)a b ab a b a b ⊗=++为正实数，若13k ⊗=，则k 的值为 ．18．用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个P A CxC第9题图OyF ABa Eyyyx Ox Ox Ox Oya a a a窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽之比应为 ．19．将一张坐标纸折叠一次，使得点M （0，4）与点N （1，3）重合，则与点P （2004，2010）重合的点的坐标是 ．20．计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，111)2转换成十进制形式是___________． 三、解答题（60分）21．已知方程0632=--x x 的根分别为a,b(a>b),方程0232=--x x 的根分别为c,d(c>d ），求(a-c)(b-d)(b-c)(a-d)的值．22．△ABC 中，BC=a ，AC=b ．（1）以AB 为边向△ABC 外作等边△ABD，当∠ACB 为多少度时，C 、D 两点之间的距离最大，最大值是多少？（2）以AB 为边向△ABC 外作正方形ABDE ，当∠ACB 为多少度时，点C 到正方形ABDE 的中心O 的距离最大，最大值是多少？B23．小华与小红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张，规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，小华得1分，当两张硬纸片上的图形可拼出房子或小山时，小红得1分(如图2)，问题：(1)游戏规则对双方公平吗?请说明理由；(2)若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平?24．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.（1）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．25．案例分析Array案例1：教师讲完一元一次方程解题方法后，讲解方程x+1/3=(1/3)x+1时，学生甲：老师我已看出x=1,教师加以表扬，问能否解出来，学生甲上台演算完．学生乙：老师，我可以只移项不合并，x-1+1/3-(1/3)x=0,(x-1)+1/3(1-x)=0,老师又加以表扬．案例2：课堂上当老师一宣布小组讨论、交流，前排的学生唰地回头，满教室都是嗡嗡的声音，四人小组里，每个人都在张嘴，谁也听不清谁在说什么，一分钟后，老师一喊“停”，学生立即安静下来．26．问题现象（1）．来自中考信息的反馈2007年中考，我们从试卷中随机抽取了100份进行分析：最低分3分，最高分119分，平均分79.01分，合格率为74%，优秀率为26.3%．学生的得分率与人数分布表如下：由上表可知，学生的高分者居多，低分者不少，中间层面的学生数少，平均成绩不高，可见学生两极分化严重．（2）．来自教师的信息反馈在实施新课程中，教师们普遍反映，学生在新的学习方式的学习中，两极分化越来越大，好学生越来越好，后进的学生越来越后进．一份练习，优秀生5分钟可以完成，而后进生15分钟都难以完成．两极分化越来越严重．请你结合自己的教学实际和上面的问题现象，谈一谈造成两极分化的原因是什么？拟采取什么措施缩小两极分化？。
2018年广东省中山市初中数学教师解题比赛试卷(PDF版,含解析)
2018年广东省中山市初中数学解题竞赛试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请将唯一正确的答案代号填在题后括号内）1．（3分）下列各数中，最大的有理数是（）A．0B．﹣1C．﹣3D．2．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3B．y＝﹣（x+1）2﹣3C．y＝﹣（x﹣1）2+3D．y＝﹣（x+1）2+33．（3分）下列命题正确的是（）A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是等腰梯形4．（3分）一个袋子里装有2000个红球，1000个黑球，10个黄球，这些球仅颜色不同，要保证摸出的球中有1000个颜色相同，至少应摸出多少个球（）A．1010个B．2000个C．2008个D．2009个5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）A．B．4.75C．5D．4.86．（3分）满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4的有理数x有多少个（）A．1B．2C．3D．无数7．（3分）在反比例函数y＝的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C．D．8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论正确的是（）A．3|a|+|c|＞2|b|B．3|a|+|c|＝2|b|C．3|a|+|c|＜2|b|D．3|a|+|c|≤2|b|二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．请将最简结果直接填在题后横线上）．9．（4分）函数中，自变量x的取值范围是．10．（4分）已知，则代数式的值为．11．（4分）甲、乙、丙三人同时玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头．则甲获胜（并列不计）的概率是．12．（4分）若实数a，b满足a+b2＝1，则2a2+7b2的最小值是．13．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，点P是弧AC上任意一点（不与A、C重合），∠ABC＝55°，则∠POC的取值范围是．14．（4分）若2x2﹣6y2+xy+kx+6能分解为两个一次因式的积，则整数k的值是．15．（4分）关于x的方程（a≠0）的解为．16．（4分）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3＝．三、解答题（本大题共6小题，满分64分，解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）17．（10分）已知正实数x、y、z、w满足2007x2＝2008y2＝2009z2＝2010w2，且，求之值．18．（10分）设正方形ABCD的中心为O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，求它们的面积恰好相等的概率．19．（10分）已知a、b、c、d为不同的实数，且a、c是方程x2+ax﹣b＝0的根，b、d是方程x2+cx+d＝0根．求a、b、c、d的值．20．（10分）已知函数y＝k2x2+k（2x﹣3x2）+2x2﹣2x+1的图象不经过第四象限，求常数k的取值范围．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，点P在矩形ABCD内，若AB＝4，BC＝6，AE＝CG＝3，BF＝DH＝4，四边形AEPH的面积为5，求四边形PFCG的面积．22．（12分）如图，△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′．求证：（1）AA′、BB′、CC′交于一点P；（2）设△ABC三边中点分别为A1、B1、C1，则P为△A1B1C1的外心．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请将唯一正确的答案代号填在题后括号内）1．解：∵负数都小于0，正数大于一切负数，∴排除B和C；∵是无理数，故四个数0，﹣1，﹣3，有理数最大的是0．故选：A．2．解：当y＝﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），则平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+3．故选：D．3．解：A、错误，例如等腰梯形；B、错误，例如对角线互相垂的梯形；C、正确；D、错误，例如矩形．故选：C．4．解：最坏情况考虑就行了，摸出10个黄球，摸出另二色中一色的999个球，最后再摸出最后一色的1000个球，这时可以保证至少有1000个颜色相同，即最少要摸：10+999+1000＝2009个球，故选：D．5．解：如图，∵∠ACB＝90°，∴EF是直径，设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，CO，CD，则OD⊥AB．∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴∠ACB＝90°，∴EF为直径，OC+OD＝EF，∴CO+OD＞CD＝4.8，∵当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF＝CD有最小值∴由三角形面积公式得：CD＝BC•AC÷AB＝4.8．故选：D．6．解：当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＜0时，x﹣1﹣2（x﹣2）+3（3﹣x）＝4，x＝2，当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＞0时，x﹣1﹣2（x﹣2）+3（x﹣3）＝4，x＝5，当x﹣1≥0，x﹣2＜0，x﹣3＜0时，x﹣1﹣2（2﹣x）+3（3﹣x）＝4原方程有无数解，当x﹣1≤0，x﹣2＜0，x﹣3＜0时，1﹣x﹣2（2﹣x）+3（3﹣x）＝4，x＝1，∴满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4的有理数x有无数个．故选：D．7．解：A、图形面积为|k|＝4；B、阴影是梯形，面积为6；C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（|k|）＝4．故选：B．8．解：由函数图象可知a＜0，c＜0，由对称轴x＝﹣＞0，可知b＞0，∴3|a|+|c|﹣2|b|＝﹣（3a+2b+c），∵当x＝1时，y＝a+b+c＞0，①又对称轴x＝﹣＞1，解得2a+b＞0，②①+②得3a+2b+c＞0，∴﹣（3a+2b+c）＜0，∴3|a|+|c|＜2|b|．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．请将最简结果直接填在题后横线上）．9．解：根据题意得，3﹣x≥0且x﹣1≠0，解得x≤3且x≠1．故答案为：x≤3且x≠1．10．解：解法一：∵﹣＝﹣＝3，即x﹣y＝﹣3xy，则原式＝＝＝4．解法二：将原式的分子和分母同时除以xy，＝＝＝4故答案为：4．11．解：甲要获胜，另外两人的出法就确定了，比如甲出石头，乙丙必须都出剪刀．而乙丙的出法共有3×3＝9种，对于任意的甲的出法，只有其中一种满足条件．所以甲获胜的概率就是：．故答案为：．12．解：∵a+b2＝1，∴a＝1﹣b2∴2a2+7b2＝2（1﹣b2）2+7b2＝2b4+3b2+2＝2（b2+）2+2﹣＝2（b2+）2+，∵b2≥0，∴2（b2+）2+＞0，∴当b2＝0，即b＝0时，2a2+7b2的值最小．∴最小值是2．方法二：∵a+b2＝1，∴b2＝1﹣a，∴2a2+7b2＝2a2+7（1﹣a）＝2a2﹣7a+7＝2（a﹣）2+，∵b2≥0，∴1﹣a≥0，∴a≤1，∴当a＝1，即b＝0时，2a2+7b2的值最小．∴最小值是2．13．解：连接AO，则∠AOC＝2∠B＝110°，∴∠POC的取值范围是：0°＜∠POC＜110°．14．解：设2x2﹣6y2+xy+kx+6能分解成：（x+ay+c）（2x+by+d），即2x2+aby2+（2a+b）xy+（2c+d）x+（ad+bc）y+cd，∴cd＝6，∵6＝1×6＝2×3＝（﹣2）（﹣3）＝（﹣1）（﹣6），∴①c＝1，d＝6时，ad+bc＝6a+b＝0，与2a+b＝1联立求解得，，或c＝6，d＝1时，ad+bc＝a+6b＝0与2a+b＝1联立求解得，，②c＝2，d＝3时，ad+bc＝3a+2b＝0，与2a+b＝1联立求解得，，或c＝3，d＝2时，ad+bc＝2a+3b＝0，与2a+b＝1联立求解得，，③c＝﹣2，d＝﹣3时，ad+bc＝﹣3a﹣2b＝0，与2a+b＝1联立求解得，，或c＝﹣3，d＝﹣2，ad+bc＝﹣2a﹣3b＝0，与2a+b＝1联立求解得，，④c＝﹣1，d＝﹣6时，ad+bc＝﹣6a﹣b＝0，与2a+b＝1联立求解得，，或c＝﹣6，d＝﹣1时，ad+bc＝﹣a﹣6b＝0，与2a+b＝1联立求解得，，∴c＝2，d＝3时，c＝﹣2，d＝﹣3时，符合，∴k＝2c+d＝2×2+3＝7，k＝2c+d＝2×（﹣2）+（﹣3）＝﹣7，∴整数k的值是7，﹣7．故答案为：7，﹣7．15．解：方程的两边同乘（x﹣1），得ax2﹣2a（x﹣1）＝（a2+1）（x﹣1），解得x1＝a+1，x 2＝∴原方程的解为：x1＝a+1，x 2＝．故答案为：x1＝a+1，x 2＝．16．解：由题意，可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．解法一：∵S1＝1×（2﹣1）＝1，S2＝1×（1﹣）＝，S3＝1×（﹣）＝，∴S1+S2+S3＝1++＝．解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，∴1×2﹣×1＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，满分64分，解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）17．解：设2007x2＝2008y2＝2009z2＝2010z2＝A，∴2007x＝，2008y＝，2009z＝，2010w＝，＝，＝，＝，＝，+++＝+++＝1，＝+++∴2007x+2008y+2009z+2010w＝+++，＝A（+++），∵，∴2007x+2008y+2009z+2010w＝A．∴＝＝+++．18．解：如图所示：在正方形ABCD中，O为AC和BD的交点，则所有的三角形分别为：△AOB、△AOD、△BOC、△COD、△ABC、△ACD、△BCD、△ABD，根据正方形的性质，我们知道：△AOB、△AOD、△BOC、△COD的面积相等，△ABC、△ACD、△BCD、△ABD的面积相等，所以从所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为＝＝．19．解：∵a、c是方程x2+ax﹣b＝0的根，b、d是方程x2+cx+d＝0根，∴a+c＝﹣a①，ac＝﹣b②，b+d＝﹣c③，bd＝d④，由④得b＝1，（若d＝0，由③得b＝﹣c，代入②得ac＝c可得c＝0，a＝0这与a、b、c、d为不同的实数不符或a＝1代入①得c＝﹣2，a、c代入②得b＝2，b、c代入③得d＝0，即a＝1，b＝2，c＝﹣2，d＝0）则ac＝﹣1，由①得c＝﹣2a，∴﹣2a2＝﹣1，解得a＝±，∴当a＝时，c＝﹣，d＝﹣c﹣b＝﹣1；当a＝﹣时，c＝，d＝﹣c﹣b＝﹣﹣1；所以a＝，b＝1，c＝﹣，d＝﹣1或a＝﹣，b＝1，c＝，d＝﹣﹣1．20．解：y＝k2x2+k（2x﹣3x2）+2x2﹣2x+1，＝k2x2+2kx﹣3kx2+2x2﹣2x+1，＝（k2﹣3k+2）x2+（2k﹣2）x+1，当k2﹣3k+2＝0，∴（k﹣1）（k﹣2）＝0，∴k＝1或k＝2，当k＝1时，y＝1，是平行于x轴的直线，不经过第四象限，当k＝2时，y＝2x+1，图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，当k2﹣3k+2≠0，∴函数是二次函数，图象经过一、二象限，或一、二、三象限，∴图象对称轴在x轴负半轴，开口向上，a，b同号，∴k2﹣3k+2＞0，（k﹣1）（k﹣2）＞0，∴k﹣1＞0，k﹣2＞0或k﹣1＜0，k﹣2＜0，解得k＞2或k＜1，∴常数k的取值范围是：函数是二次函数时：k＞2或k＜1，函数是一次函数时：k＝1或k＝2．21．解：解法一、连接AP，CP，设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y．则△CFP在CF边上的高为4﹣x，△CGP在CG边上的高为6﹣y．∵AH＝CF＝2，AE＝CG＝3，∴S四边形AEPH＝S△AHP+S△AEP，＝AH×x+AE×y，＝×2x+×3y＝5，即2x+3y＝10，S四边形PFC G＝S△CGP+S△C FP＝CF×（4﹣x）×+CG×（6﹣y）×，＝2（4﹣x）×+3（6﹣y）×，＝（26﹣2x﹣3y）×，＝（26﹣10）×，＝8．解法二、连接HE、EF、FG、GH，证△DHG≌△BFE，推出HG＝EF，同理：HE＝GF，则四边形EFGH由条件知是平行四边形，面积为4×6﹣×3×2﹣×3×2﹣×4×1﹣×4×1＝14，由平行四边形性质知：S△HEP+S△FGP＝S平行四边形EFGH＝7，∵△AEH的面积为×3×2＝3，△CGF的面积为×3×2＝3，四边形AEPH的面积为5，∴△HEP的面积是5﹣3＝2，△PGF的面积是7﹣2＝5，∴四边形PFCG的面积S＝S△PGF+S△CGF＝5+3＝8．答：四边形PFCG的面积是8．22．证明：（1）设圆O半径为R．由△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′，知：BC′＝B′C＝R，∠C′BA＝∠C′AB＝∠OAB，∠B′CA＝∠B′AC＝∠OAC，∴∠C′BA+∠B′CA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC，∴∠C′BC+∠B′CB＝∠BAC+∠ABC+∠BCA＝180°，∴BC′∥B′C，∴BB′，CC′互相平分，交于中点，同理CC′，AA′互相平分，交于中点，∴AA′、BB′、CC′交于一点P；（2）∵P为CC′中点，A1为BC中点，∴PA1＝B′C＝R，同理PB1＝R，PC1＝R，∴PA1＝PB1＝PC1，∴P是△A1B1C1的外心．。
初中数学教师学科知识竞赛试题(含答案)
初中数学教师学科知识竞赛试题 第1页（共4页）初中数学教师学科知识竞赛试题题 号一二三总分1－89－14 15 16 17 18 得 分一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分.每小题有且只有一个选项是正确的） 1.若关于x 的方程(2)10a b x +-=无解，则ab 的值为（ ）A. 负数B. 正数C. 非负数D. 非正数 2.抛物线b x b a ax y --+=)(2如图1所示，那么化简abb ab a -+-222 的结果是（ ）A.a b a 2- B. aab -2 C. 1 D. -1 3.如图2，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠D=90°，M 是AB 的中点，若CM=6.5，BC+CD+DA=17,则 梯形ABCD 的面积为（ ）A. 20B. 30C.40D.54.如图3，在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子（相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点），在每一种翻动方式中，骰子不能后退.开始时骰子如图甲那样摆放，朝上点数是2，最后翻动到如图乙所示位置，此时，骰子朝上的点数不可能是下列数中的（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D. 15.将正方形的四边四等分，包括顶点共16个点，这16个点可得到的直线条数是（ ）A. 120B. 84C. 82D.806.对于每个x ，函数12222321+-=+==x y x y x y y ，，是三个函数的最小值，则y 最大值是（ ）A. 4B. 6 C ．328D.316ADCBM（图1）学校 姓名 考号◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎装◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎订◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎线◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎◎（图2）（图3）乙甲初中数学教师学科知识竞赛试题 第2页（共4页）7.已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<≥-203b x a x 的整数解有且仅有4个：-1，0，1，2，则适合这个不等 式组的所有有序整数对(,)a b 共有（ ）A. 6对B. 5对 C ．3对 D. 2对 8．已知a 、b 为不等的正实数，且b a b a b a +-=-则,2233的取值范围是（ ）A.310<+<b a B.341<+<b a C.143<+<b a D.231<+<b a 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9． 已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是 ． 10．如图4，有一种电子游戏，电子跳蚤在抛物线a ax y (2=＞0)上从横坐标为t(t ＞0)的P 1点开始，按点的横坐标依次增加1的规律跳动，得到点P 2、P 3，这时△P 1P 2P 3的面积为 ． 11．一个几何体是由一些规格相同的小正方体堆积而成，其主视图、左视图如图5所示．要摆成这样的几何体，至少需要 块小正方体．12．不论k 为何值，以点(0,1)M 为圆心的圆与直线53y kx k =+-总有公共点.则⊙M 面积的最小值为 ．13．如图6，AB 是半圆O 上的直径，E 是弧 BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，过点C 作⊙O 切线交OE的延长线于点F ．已知BC=8，DE=2．则∠ BAD 的正切值为 ．14．给定两组数，A 组为：1，2，…，100；B 组为：12，22，…，1002 .对于A 组中的数x ，若有B组中的数y ，使x+y 也是B 组中的数，则称x 为“关联数”， 则A 组中这样的“关联数”有 个． 三、解答题（共4题，分值依次为10分、12分、12分和16分，满分50分）15．设m 是二次函数228(1)y x x t x t =--+≤≤+的最大值，求m 关于t 的表达式． （图6） （图4） 主视图左视图 （图5）。
初中数学青年教师解题能力测试题
初中数学青年教师解题能力测试题分值：120分考试时间：120分钟县区学校姓名成绩一．选择题（请把答案写在下面的表格里，共10小题，满分30分，每小题3分）1．观察下列等式：3＝3，3＝9，3＝27，3＝81，3＝243，3＝729，3＝2187…解答下列问题：3+32+33+34+…+32014的末位数字是（）A．2B．3C．7D．92．一志愿者在市中心某十字路口，对闯红灯的人次进行了统计，根据当天8：00﹣14：00中各阶段（以1小时为一时间段）闯红灯的人次制作了如图所示的条形统计图，则各时间段闯红灯人次的众数和中位数分别是（）A．30，30 B．30，35C．35，40D．50，35第2题图第3题图第4题图3．如图，直线P A是一次函数y＝x+n（n＞0）的图象，直线PB是一次函数y＝＝，AB＝2，﹣2x+m（m＞n）的图象．若P A与y轴交于点Q，且S四边形PQOB 则m，n的值分别是（）A．3，2B．2，1C．D．1，4．如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3，则PC所能达到的最大值为（）A．B．C．5D．65．已知x是正实数，则|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|的最小值是（）A．2B．C．D．05．已知线段AB＝2，点A，B到直线l的距离分别为方程x2﹣6x+6＝0的两根（A到l的距离＞B到l的距离），符合条件的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是的中点，连接BD 交AC于点E，连接OE，且∠OEB＝45°，若OB＝10，则OE的长为（）A．6B．C．D．8．使方程2x2﹣5mx+2m2＝5的一根为整数的整数m的值共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一，从图中取一列数1，3，6，10，…，记a1＝1，a2＝3＝1+2，a3＝6＝1+2+3，a4＝10，…，那么a9+a11﹣a i＝83，则i的值是（）A．13B．10C．8D．7第7题图第9题图第10题图10．如图，以Rt△ABC各边为边分别向外作等边三角形，编号为①、②、③，将②、①如图所示依次叠在③上，已知四边形EMNC与四边形MPQN的面积分别为9与7，则斜边BC的长为（）A．5B．9C．10 D．16二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．已知a＝+1，b＝﹣1，则的值为．12．书架上有两套两样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是．13．如图：在对角线互相垂直的四边形ABCD中，∠ACD＝60°，∠ABD＝45°．A 到CD距离为6，D到AB距离为4，则四边形ABCD面积等于．第13题图第14题图第16题图14．如图，已知⊙O的半径为6，点A、B在⊙O上，∠AOB＝60°，动点C在⊙O上（与A、B两点不重合），连接BC，点D是BC中点，连接AD，则线段AD的最大值为．15．一笔总额为1078元的奖金，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数，每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍．若把这笔奖金发给6个人，评一、二、三等奖的人数分别为a，b，c，且0＜a≤b≤c，那么三等奖的奖金金额是元．16．如图，点A是反比例函数y＝图象在第一象限上的一点，连结AO并延长交图象的另一分支于点B，延长BA至点C，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，交反比例函数图象于点E．若，△BDC的面积为6，则k＝．17．某同学在电脑中打出如下排列的若干个圆（圆中●表实心圆，〇表空心圆）：●〇●●〇●●●〇●●●●〇●●●●●〇●●●●●●〇，若将上面一组圆依此规律连续复制一系列圆，那么前2005个圆中有个空心圆．18．黑板上写有1，，，…共有100个数字，每次操作，先从黑板上的数选取2个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+ab，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是．三．解答题（共6小题，满分58分）19．（8分）因式分解：（a+b﹣2ab）（a+b﹣2）+（1﹣ab）2．20（8分）．已知关于x的一元二次方程（n+2）x2﹣4nx+4（n﹣2）＝0（n＞﹣2）．（1）求证：该方程一定有两个不相等的实数根．（2）直接写出该方程的两根．（3）当方程的两根都是整数时，求整数n的值．（4）设方程的两个根分别为x1、x2（x1＞x2），若y＝•（x1﹣x2），求y的范围．21．（8分）新冠肺炎期间，各地积极抗疫，建起了方舱医院，如图，某方舱医院内一张长200cm，高50cm的病床靠墙摆放，在上方安装空调，高度CE＝250cm，下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与E夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了病人不受空调风干扰，不能直接吹到病床上，请问空调安装的高度足够吗？为什么？（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF．（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求的值；（3）若△DEF与△AEB相似，求的值．23（12分）．某水果超市经销一种进价为18元/kg的水果，根据以前的销售经验，该种水果的最佳销售期为20天，销售人员整理出这种水果的销售单价y（元/kg）与第x天（1≤x≤20）的函数图象如图所示，而第x天（1≤x≤20）的销售量m（kg）是x的一次函数，满足下表：x（天）123…m（kg）202428…（1）请分别写出销售单价y（元/kg）与x（天）之间及销售量m（kg）是x （天）的之间的函数关系式（2）求在销售的第几天时，当天的利润最大，最大利润是多少？（3）请求出试销的20天中当天的销售利润不低于1680元的天数．24（12分）．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y 轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．数学青年教师解题能力测试题参考答案一．选择题（请把答案写在下面的表格里，共10小题，满分30分，每小题3分）1．A．【解析】∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187…∴末尾数，每4个一循环，∵2014÷4＝503…2，∴3+32+33+34…+32014的末位数字相当于：3+9+7+1+…+3+9＝（3+9+7+1）×503+3+9＝10072的末尾数为2，故选：A．2．A．【解析】由统计图可知，这组数据的众数是30，中位数是（30+30）÷2＝30，故选：A．3．B．【解析】根据题意得：点A的坐标为（﹣n，0），点Q的坐标为（0，n），点B的坐标为（，0），∵点P是P A与PB的交点，∴，解得：，∴点P的坐标为：（，），∵AB＝2，∴OA+OB＝n+＝＝2，∴m+2n＝4，∵S四边形PQOB＝，∴S△P AB﹣S△AOQ＝×2×﹣n×n＝﹣n2＝，解得：n＝1，∴m＝2．故选：B．4．C．【解析】把P A绕点A逆时针旋转60°，得AD，则DA＝P A，连CD，DP，CP，如图，∵△ABC为等边三角形ABC，∴∠BAC＝60°，AC＝AB∴∠DAC＝∠BAP，∴△DAC≌△P AB，∴DC＝PB，而PB＝3，P A＝2，∴DC＝3，∵PC≤DP+DC，∴PC≤5，所以PC所能达到的最大值为5．故选：C．5．B．【解析】|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+|4x﹣1|+|5x﹣1|＝|x﹣1|+2|x﹣|+3|x﹣|+4|x﹣|+5|x﹣|当x﹣＝0，即x＝时取最小值，最小值为：|﹣1|+2|﹣|+3|﹣|+4|﹣|+5|﹣|＝+++0+＝．故选：B．6．C．【解析】解方程x2﹣6x+6＝0得x1＝3+，x2＝3﹣，∴①如图1，在线段AB的两旁可分别画一条满足条件的直线；②如图2，当线段AB⊥直线l时，可画一条满足条件的直线．故选：C．7．D．【解析】连接AD，过点O作OH⊥BD于H，∵D是的中点，∴，∴∠ABD＝∠CBD，∵AB是⊙O的直径，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠EAB＝90°﹣2∠ABD，∠CEB＝90°﹣∠ABD，∵∠BEO＝45°，∴∠CEO＝45°+90°﹣∠ABD＝135°﹣∠ABD，∴∠AEO＝45°+∠ABD，∵∠CEO＝∠EAB+∠AOE，∴∠AOE＝45°+∠ABD，∴∠AOE＝∠AEO，∴AO＝AE＝10，∵∠DAE＝∠ABD，∠D＝∠D，∴△DAE∽△DBA，∴＝，∴AD＝2DE，∵AD2+DE2＝AE2＝100，∴AD＝4，∵OH∥AD，∴，∴OH＝AD＝2，∵∠OEB＝45°＝∠EOH，∴EH＝OH＝2，∴EO＝2，故选：D．8．D．【解析】∵方程有一个整数根，∴△＝25m2﹣8（2m2﹣5）＝9m2+40＞0，设△＝p2（p为正整数），∴（3m﹣p）（3m+p）＝﹣40，∵3m﹣p≤3m+p且同奇偶，∴3m﹣p＝﹣4，﹣10，﹣2，﹣20，3m+p＝10，4，20，2，∴m＝±3，±1，经检验，均有一根为整数，∴符合条件的整数m的值有4个，故选：D．9．D．【解析】由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，知a n＝1+2+3+…+n＝，∴a9＝＝45、a i＝、a11＝＝66，则a9+a11﹣a i＝83，可得：45+66﹣＝83，解得：i＝7，故选：D．10．C【解析】如图，设等边三角形△EBC，△ABD，△ACF的面积分别是S3，S2，S1，AC ＝b，BC＝a，AB＝c，∵△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90度，∴c2+b2＝a2，∴c2+b2＝a2．∵S3＝a2，S2＝c2，S1＝b2，∴S3﹣S2＝（a2﹣c2）＝b2＝9，S3﹣S1＝a2﹣b2＝（a2﹣b2）＝c2＝9+7＝16，∴b＝6，c＝8，即AB＝8，AC＝6，∴BC＝＝＝10，故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．．【解析】原式＝÷||＝×||∵a+b＝2，b﹣a＝﹣2，ab＝1 ∴原式＝×＝＝＝．故答案为：．12．．【解析】设第一套教材上册为a，下册为b，第二套教材为上册为x，下册为y．共有12种情况，恰好组成一套教材的情况数有4种，所以能组成一套教材的概率为，故答案为．13．8．【解析】过A作AM⊥CD交CD于M，依题意有AM＝6，又∵∠ACD＝60°∠AMC＝90°，∴AC＝4，同理可得BD＝4，∴四边形的面积＝AC×BD＝4×4＝8．故答案为8．14．3．【解析】如图1，连接OC，Q取OB的中点E，连接DE．则OE＝EB＝OB＝3．在△OBC中，DE是△OBC的中位线，∴DE＝OC＝3，∴EO＝ED＝EB，即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，∴求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，如图2，当D在线段AE延长线上时，AD取最大值，∵OA＝OB＝6，∠AOB＝60°，OE＝EB，∴AE＝3，DE＝3，∴AD取最大值为3+3．故答案为3．15．98或77．【解析】∵a+b+c＝6，0＜a≤b≤c，且a，b，c均为整数，∴，，．设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为2x元，一等奖的奖金金额为4x元，依题意，得：4x+2x+4x＝1078，4x+2×2x+3x＝1078，2×4x+2×2x+2x＝1078，解得：x＝107.8（不合题意，舍去），x＝98，x＝77．故答案为：98或77．16．2．【解析】过B作BG⊥x轴于G，过A作AH⊥x轴于H，连接OE，设C（a，b），∵CD⊥x轴，，∴E（a，b），∵点E在反比例函数图象上，∴k＝ab，∵CD⊥x轴，AH⊥x轴，∴AH∥CD，∴△AOH∽△COD，∴＝，∵OH＝，∴＝，∴AH＝b，∵点A与点B关于原点对称，∴BG＝AH，∵△BDC的面积为6，∴OD•BG+CD•OD＝a×b+ab＝ab＝6，∴ab＝2，∴k＝2．故答案为：2．17．61．【解析】∵●〇、●●〇、●●●〇、●●●●〇、●●●●●〇、●●●●（n+1+2）n÷2＝，●●〇的个数分别是2、3、4、5、6、7、…，∴前n组圆的总数是：∵，，1952＜2005＜2015，∴前2005个圆中有61个空心圆．故答案为：61．18．100．【解析】∵a+b+ab+1＝（a+1）（b+1），∴每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变，设经过99次操作后，黑板上剩下的数为x，则x+1＝（1+1）×（）×（+1）×（+1）×…×（+1）×（1+），化简得：x+1＝101，解得：x＝100，∴经过99次操作后，黑板上剩下的数是100．故答案为：100．三．解答题（共6小题，8+8+8+10+12+12=58分）19．【解析】（a+b﹣2ab）（a+b﹣2）+（1﹣ab）2＝[（a+b）﹣2ab][（a+b）﹣2]+（1﹣ab）2＝（a+b）2﹣2（ab+1）（a+b）+4ab+（1﹣ab）2＝（a+b）2﹣2（ab+1）（a+b）+[4ab+（1﹣ab）2]＝（a+b）﹣22（ab+1）（a+b）+（1+ab）2＝[（a+b）﹣（ab+1）]2＝[（a﹣1）（1﹣b）]2＝（a﹣1）2（b﹣1）2．20．【解析】（1）x1＝2，x2＝．提示：∵△＝（﹣4n）2﹣4×4（n﹣2）（n+2）＝64＞0，∴关于x的一元二次方程（n+2）x2﹣4nx+4（n﹣2）＝0（n＞﹣2）一定有两个不相等的实数根；（2）∵x＝，∴x1＝2，x2＝，故答案为：x1＝2，x2＝；（3）∵方程的两根都是整数，∴n＝2；（4）∵x1＝2，x2＝，∴y＝•（x1﹣x2）＝•（2﹣）＝，∵n＞﹣2，∴y＞0或y＜﹣4，∴y的范围为y＞0或y＜﹣4．21．【解析】空调安装的高度足够．理由如下：如图，延长FG交直线AD于点H，过F作FO⊥AD于点O，则FO＝ED＝250﹣50＝200（cm），AO＝200﹣20＝180（cm），∠HFO＝136°﹣90°＝46°．∵在Rt△FHO中，tan46°＝，∴HO＝FO×tan46°≈200×1.04＝208＞200，∴HO＞AO，∴空调安装的高度足够．22．【解析】（1）∵AD是⊙Q的直径，∴∠AEB＝∠AED＝90°，∴∠AEB＝∠AOB＝90°，∵BA垂直平分CD，∴BC＝BD∴∠ABO＝∠ABE∵BA＝BA，∴△ABE≌△ABO（AAS）∴AE＝AO＝4；（2）设BO＝x，则AB＝x+2，在Rt△ABO中，由AO2+OB2＝AB2得42+x2＝（x+2）2，解得：x＝3，∴OB＝BE＝3∵∠EAB+∠ABE＝90°，∠ACB+∠ABC＝90°∴∠EAB＝∠ACB∵∠BF A＝∠AFC∴△BF A∽△AFC∴＝＝，即＝；（3）①如图1，当△DEF∽△AEB时，有∠BAE＝∠FDE∴∠ADE＝∠FDE∴BD垂直平分AF∴AB＝BF∴∠BAE＝∠BFE∴∠BAE＝∠BFE＝∠BAO＝30°∴＝＝∴＝，②如图2，设⊙Q交y轴于点G，连接DG，作FH⊥DG于H，当△DEF∽△BEA时，有∠ABE＝∠FDE∴∠DAE＝∠DAG＝∠FDE＝∠FDH∴AG＝AE＝4，FE＝FH＝OG＝8∴＝＝∴＝，∴的值是或．23．【解析】（1）当1≤x≤7时，y＝60；当8≤x≤20时，设y＝kx+b，将（8，50）、（18，40）代入得，解得，∴y＝﹣x+58；综上，y＝；设m＝ax+c，将（1，20）、（2，24）代入得，解得，则m＝4x+16（0≤x≤20，且x为整数）；（2）设当天的总利润为w，当1≤x≤7时，w＝（60﹣18）（4x+16）＝168x+672，则x＝7时，w取得最大值，最大值为1848元；当8≤x≤20时，w＝（﹣x+58﹣18）（4x+16）＝﹣4x2+144x+640＝﹣4（x﹣18）2+1936，∴当x＝18时，w取得最大值，最大利润为1936元；综上，在销售的第18天时，当天的利润最大，最大利润是1936元；（3）当1≤x≤7时，168x+672≥1680，解得x≥6，∴此时满足条件的天数为第6、7这2天；当8≤x≤20时，﹣4（x﹣18）2+1936≥1680，解得10≤x≤26，又∵x≤20，∴10≤x≤20，∴此时满足条件的天数有11天；综上，试销的20天中当天的销售利润不低于1680元的有13天．24．【解析】（1）x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，故点A、B的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、B的坐标代入上式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；（2）将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣，故点C（0，﹣），同理可得：直线OP的表达式为：y＝﹣x；①过点D作y轴的平行线交AB于点H，设点D（x，﹣x2+x），则点H（x，﹣x），△BOD面积＝×DH×x B＝×3（﹣x2+x+x）＝﹣x2+x，∵，故△BOD面积有最大值，此时x＝，故点D（，﹣）；②当OP＝PC时，则点P在OC的中垂线上，故y P＝﹣，则点P（，﹣）；②当OP＝OC时，t2+t2＝（）2，解得：t＝（舍去负值），故点P（，﹣）；③当PC＝OC时，同理可得：点P（，﹣）；综上，点P（，﹣）或（，﹣）或（，﹣）．。
2014年长沙市首届中学数学教师解题能力大赛(初中试题)答案
3
x
点，且 AM ⋅ AN = 4 ，则 k =
. ( 3)
18. 已知线段 AB 的中点为 C，以点 A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段 AB 的延长线上 取点 D，使得 BD＝AC；再以点 D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于 F，
AH
G 两点，连接 FG 交 AB 于点 H，则 AB 的值为
——6 分
解之得到： x = 50 2
——8 分
故信号兵跑的距离为 s = 100 + 2x = 100(1+ 2) 米
——9 分
24.（满分 9 分）如图，已知：C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，CH⊥AB 于点 H，直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D，E 为 CH 中点，连接 AE 并延长交 BD 于点 F，直线 CF 交 直线 AB 于点 G. （1）求证：点 F 是 BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若 FB=FE=2，求⊙O 的半径．
⎧2a − b < 或 ⎪⎪⎨a < 3 ,
⎪2 ⎪⎩b > 3.
0,
由 a ， b 的实际意义为 1，2，3，4，5，6，可得
⎧a ⎨⎩b
= =
2，3，4，5，6，
共有
1，2，
5×2＝10
种情况；或
⎧a ⎨⎩b
= =
1，
共
4，5，6，
3
种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共 6×6＝36 种情况，故所求的概率为 13 ． 36
(1)样本的容量是多少?
(2)通过计算说明样本数据中，中位数落在哪个组，并求该小组
的频率；
(3)估计全校在这次竞赛中，成绩高于 70 分的 学生人数占参赛人
2016年初中数学青年教师学科素养能力竞赛试卷(解题部分)
2016年太仓市青年教师学科素养能力竞赛初中数学第二部分 数学专业素养（满分120分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分共24分）1．如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30︒，那么这个三角形的形状是（ ） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定2．下列图形中，各边的中点一定在同一个圆上的是（ ） A ．菱形B ．平行四边形C ．矩形D ．等腰梯形3．某商场以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t （件）与每件的销售价x （元/件）之间的函数关系为t =−3x +204．商场要想每天获得最大销售毛利润，则每件的销售价应定为（ ） A ．55元B ．50元C ．48元D ．44元4．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，2)，B (0，6)，点P 在直线y =x 上运动．若以A 、B 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，则点P 的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且b −2a =3c +d +21，那么数轴上原点对应的点是（ ） A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D6．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AB 'C 'D '，则阴影部分的面积为（ ） A ．12BC．1-D．17．已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(1，4)，(2，7)，对称轴为直线x =k ，且|k |≤1，则a 的取值范围是（ ） A ．335a ≤≤B ．a ≥3C ．35a ≤D ．a ＜08．如图，△AB C 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AD =BD =3，CD =2，点P 从点B 出发沿线段BC 的方向移动到点C 停止，过点P 作PQ ⊥BC ，交折线BA -AC 于点Q ，连接DQ 、CQ ，若△ADQ 与△CDQ 的面积相等，则线段BP 的长度是（ ）C '（第10题）A ．95或4 B ．65或4 C ．95或135D ．65或135二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分共24分） 9．若对任何x ，分式21x x x a-++均有意义，则字母a 的取值范围是 ． 10．将一枚质地均匀的硬币连续掷了三次，三次都是正面朝上的概率是 ．11．圆锥的表面展开图由一个扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为 ．（结果保留π）12．如图，△ABC 中，∠A =60°，BD 和CE 都是△ABC 的高．如果△ABC 的面积为12，那么四边形BCDE 的面积为 ． 13．已知二次函数y =x 2+mx -2，当x <2时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是 ． 14．已知m,的值为 ．15．如图，若AB =AC ，∠A =2∠D ，AC 与BD 交于点F ．若AB =4，AF =3，则BF ·DF = ． 16．如图，正方形ABCD 的边长为4，分别以AB 、CD 为斜边向形外作Rt △ABE 和Rt △CDF ，且∠ABE =∠CDF =30︒，连接EF ，则EF 的长为 ．三、解答题（本大题共8小题，满分共72分）17．（2016年江苏省高考第21题，满分6分）如图，在△ABC 中，∠ABC =90︒，BD ⊥AC 于点D ，点E是BC 中点，求证：∠EDC =∠ABD ．BACEABCDF （第15题）A DCBE（第12题）（第16题）ACDEF18．（教材七下167页课题学习，满分8分）分类、想象、找规律：(1) 将一个棱长为3的正方体的表面涂上颜色，分割成棱长为1的小正方体（如图）．其中，三面涂色的小正方体有几个？两面涂色的小正方体有几个？一面涂色的小正方体有几个？(2) 如果将一个棱长为4的正方体，像(1)那样涂色、分割，那么三面、两面、一面涂色的小正方体各有几个？如果分别分割一个棱长为5或6的正方体呢？(3) 从以上的求解过程，你能发现什么规律？(4) 你还能提出其他问题，并加以解答吗？19．（教材九上20页第9题，满分8分）(1)原题：k取什么值时，关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0有两个不相等的实数根；(2) 改编：是否存在整数k，使关于x的一元二次方程x2−2x+k−1=0有两个非负整数解？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．20．（教材八上75页第14题，满分10分）探索研究：(1) 如图，在△ABC 中，∠BAC =90︒，AB =AC ，点D 在BC 上，且BD =BA ，点E 在BC 的延长线上，且CE =CA ，求∠DAE 的度数；(2) 如果把第(1)题中“AB =AC ”的条件舍去，其余条件不变，那么∠DAE 的度数会改变吗？ (3) 如果把第(1)题中“∠BAC =90︒”的条件改为“∠BAC ＞90︒”，其余条件不变，那么∠DAE 与 ∠BAC 有怎样的数量关系？试说明理由．21．（2016年江苏省高考第18题改编，满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (2，4)在以M (6，7)为圆心，5为半径的圆上．(1) 设⊙N 与x 轴相切，与⊙M 外切，且圆心N 在直线x =12上，求⊙N 的半径； (2) 设平行于OA 的直线l 与⊙M 交于B 、C 两点，且BC =OA ，求BC 中点的坐标．AB D CE22．（教材九下93页第21题，满分10分）如图，在△ABC 中，AB =4，D 是AB 上的一点（不与点A 、B 重合），DE ∥BC ，交AC 于点E ，设△ABC 的面积为S ，△DEC 的面积为S '． (1) 当D 是AB 的中点时，'S S的值为 ； (2) 设AD =x ，'S S=y ，求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围； (3) 根据y 的取值范围，探索S '与S 之间的大小关系，并说明理由．23．（2016年江苏省高考第22题改编，满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：y =−x +2与抛物线y =ax 2（a ＞0）交于点A 、B ，与y 轴交于点C ． (1) 若13AC BC =，求抛物线的表达式；(2) 已知抛物线上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q ． ①求直线PQ 与l 交点的坐标（用关于a 的代数式表示）； ②求a 的取值范围．ED CBA24．（2016年苏州市中考第27题，满分10分）如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，AD =8cm ．点P 从点B 出发，沿对角线BD 向点D 匀速运动，速度为4cm/s ，过点P 作PQ ⊥BD 交BC 于点Q ，以PQ 为一边作正方形PQMN ，使得点N 落在射线PD 上．点O 从点D 出发，沿DC 向点C 匀速运动，速度为3cm/s ，以O 为圆心，0.8cm 为半径作⊙O ．点P 与点O 同时出发，设它们的运动时间为t （单位：s ）（0＜t ＜85）．(1)如图1，连接DQ ，当DQ 平分∠BDC 时，t 的值为 ； (2)如图2，连接CM ，若△CMQ 是以CQ 为底的等腰三角形，求t 的值； (3)请你继续进行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O 始终在QM 所在直线的左侧；②如图3，在运动过程中，当QM 与⊙O 相切时，求t 的值；并判断此时PM 与⊙O 是否也相切？说明理由．DAB QC O MPN图1DAB QC OMPN图2D ABQC OMPN图3。
(典型)初中数学学科青年教师基本功大赛试题(附答案详解)
（典型）初中数学学科青年教师基本功大赛试题（附答案详解）一、选择题（10×2=20分,单选或多选） 1.现实中传递着大量的数学信息，如反映人民生活水平的“恩格尔系数”、预测天气情况的“降雨概率”、表示空气污染程度的“空气指数”、表示儿童智能状况的“智商”等，这表明数学术语日趋（ ）（A ）人本化 （B ）生活化 （C ）科学化 （D ）社会化 2. 导入新课应遵循（ ）（A ）导入新课的方法应能激发学生的学习兴趣、学习动机，造成悬念，达到激发情感，提出疑问的作用（B ）要以生动的语言、有趣的问题或已学过的知识，引入新知识、新概念 （C ）导入时间应掌握得当，安排紧凑 （D ）要尽快呈现新的教学内容3.下列关于课堂教学的改进，理念正确的是 （ ） （A ）把学生看作教育的主体，学习内容和学习方法由学生作主 （B ）促进学生的自主学习，激发学生的学习动机 （C ）教学方法的选用改为完全由教学目标来决定（D ）尽可能多的提供学生有效参与的机会，让学生自己去发现规律，进而认识规律 4．为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（ ）（A ）7000名学生是总体 （B ） 每个学生是个体（C ）500名学生是所抽取的一个样本 （D ） 样本容量是500 5. 一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体是（ ）6．如图1，点A(m,n)是一次函数y=2x 的图象上的任意一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，那么三角形ABO 的面积Ｓ关于m 的函数关系的图象大致为（ ）7．有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子。
若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为（ ）(A)21 (B) 31 (C) 61(D) 91主视图左视图俯视图图2 （A ） （B ） （C ） （D ）8．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，折出一个菱形。
抚顺市初中数学科教师基本功竞赛选拔试题答案
解得 --------------------------------------------------------------------5分
（ ）---------------------------------------------6分
（2）设日均获利为 元，则
---------------------------9分
当 时， 最大值为200．--------------------------------------------11分
答：当销售单价为7元时，日均获利最多为200元．-----------------12分
13、（本题满分12分）
如图2，当 为底时，过点 作 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为 ．
由于 ，因此 ，从而 ．作 轴， 为垂足，
则 ，设 ，则 ，
由点 ，得点 ，
因此 ．
解之得 （ 舍去），因此点 ．
此时 ，与 的长度不相等，故四边形 是梯形．10分
如图3，当过点 作 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为 时，
同理可得，点 ，四边形 是梯形．12分
综上所述，函数 图象上存在点 ，使得以 四点为顶点的四边形为梯形，点 的坐标为： 或 或 ．14分
FD=FE------------------------------------------------------------------------------------------- 1分
14．解：（1）如表
数据段
频数
频率
10
0.05
初中数学解题能力比赛试题(含答案)
HGDCABEFOD CBA初中数学教师解题能力比赛试题卷一、选择题（本题共7个小题，每小题4分，共28分）请将正确答案填在下表中。
题号 123456 7答案D A C B C AD1．方程x 2﹣2x+﹣4=0的实数解的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．如图，已知ΔABC 中，AB=5，AC=3，BC 上的中线AD=2，则BC 的长为.A ．132B ．4C ．13D ．23． 已知：四边形ABCD 中，AB =3，CD =4，M 、N 分别是AD ，BC 的中点， 则线段MN 的取值范围是（ ） A ．1＜MN ＜7 B ．1＜MN ≤7 C ．21＜MN ≤27 D ．21＜MN ＜274．二次函数()3-m -x 2-y 2=，x ≥-l 时，y 随x 的增大而减小， 则m 的取值范围是（ ）A ．m = -lB ．m ≤-lC ．m >-lD ．m ≥-l5．如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点H G 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于（ ）A ． 24B ．26C ．28D ．306. 以半圆的一条弦BC （非直径）为对称轴将弧BC 折叠后 与直径AB 交于点D ，若32=DB AD ，且AB=5，则CB =（ ） A ．52 B ．32 C ． 22 D ．27. 2012年11月11日，支付宝24小时交易创历史新高，达191亿元。
某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为60千米／时，两车之间的距离y (千米)与货车行驶时间x (小时)之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论： ①快递车从甲地到乙地的速度为100千米／时；②甲、乙两地之间的距离为300千米；③图中点B 的坐标为(334，75)；④快递车从乙地返回时的速度为90千米／时． 以上4个结论中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ABC二、填空题（本题7个小题，每小题4分，共28分）请将正确答案填在下表中。
2019年泰州市初中数学教师解题比赛试题及答案
2019年泰州市初中数学青年教师解题比赛试题说明：1．本试卷共4页，10大题，满分为150分，考试时间为120分钟；2．所有试题一律在答题纸上作答，尺规作图请规范操作．1．（本题满分10分）已知ba ca cbc b a k +=+=+=，求k 的值．2．（本题满分10分）关于x 的一元二次方程032=+-k x x 有实数根． （1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程03)1(2=-++-m x x m ＝0与方程032=+-k x x 有一个相同的根，求此时m 的值．3．（本题满分10分）图①是一幅藏宝图，海岛（图①中空白处）上某处藏匿了宝藏，但没有任何标志，只有A 、B 两块天然巨石．通过查找资料知道，A 、B 两块巨石的直角坐标分别是（2，1）和（6，6），藏宝地C 的坐标是（8，2）．请用尺规作图在海岛上确定藏宝地C 的位置，并简要说明确定点C 位置的方法．（图②是由相同的小正方形组成的网格，供选用）①②观察下列等式：①2221111++=211；②2231211++=611；③2241311++=1211．解决下列问题：（1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子，并通过计算进行验证； （2）用含n （n 为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明； （3）利用上述结果计算：2221111+++2231211+++2241311+++…+22)1(111+++n n ．5．（本题满分15分）城市许多街道相互垂直或平行，有时不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ．对两点M （1x ，1y ）和N （2x ，2y ），用以下方式定义两点间距离：d （M ，N ）＝|1x 2x -|+|1y 2y -|．已知点A 的坐标是（―2，1），l 是过点（0，3）且平行于x 轴的一条直线，P 为直线l 上一点． （1）d （O ，A ）＝ ； （2）若d （A ，P ）＝3，求点P 的坐标；（3）设原点O 为快递揽收点，A 为快递仓储点，直线l 是一条公路，今欲在公路l 上修建一个快递中转中心P ，快递小哥们从点O 处出发，按照“直角拐弯”的方式，将市民送来的快递运送到P 处，再将从外地送来的快递运送到A 处．要使快递小哥的路程最短，请确定快递中转中心P 的位置，并求出最短路程．如图，线段AB =a ，∠ABG=60°，点P 为射线BG 上的一个动点，以AP 为边作菱形APCD ，使∠APC =60°，且点C 、D 落在∠ABG 内部，过点A 、P 、C 的⊙O 与线段AB 相交于点M ，CM 交AP 于点N ． （1）求证：CM ∥BG ； （2）求线段CM 的长； （3）求线段MN 的最大值．7．（本题满分15分）已知：如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上两个动点，且∠EAF =45°，EM ⊥AC ，FN ⊥AC ，点M 、N 为垂足，AE 、AF 交BD 于点G 、H ．当BG =3时，GH =5． （1）求正方形ABCD 的边长；（2）设AM =x ，AN =y ，求y 与x 的函数关系式及x 的取值范围．8．（本题满分20分）已知：△ABC 的内切圆O 与BC 相切于点D ，且BD =p ，CD =q ． （1）若pq AC AB 2=⋅，试判断△ABC 的形状，并说明理由． （2）如图，若∠A =60°，用含p 、q 的代数式表示△ABC 的面积；ABC DEG M NF H已知A （1，3）、B （3，-1）为平面直角坐标系xOy 内两点． （1）过原点O 作直线l ，设点A 、B 到直线l 的距离分别为1d 、2d ．①1d =2d ，求l 的函数表达式；②若点A 、B 在直线求l 两侧，且1d +2d 最大，求l 的函数表达式；（2）若二次函数13)2(2+--+-=a a x y 的顶点E 在△OAB 内（包括边界），点A 、B 到点E的最短距离分别为1d 、2d ，求1d 2d -的值．10．（本题满分20分）已知一次函数b kx y +=与二次函数2ax y =（a <0）的图像相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴负半轴相交于点C ．（1）若∠AOB =90°，点A 的横坐标为1-，BC =9AC ，求点B 的坐标；（2）过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ．延长BD 、AO 相交于点Q ，求证：DQ =CO ； （3）在y 轴上是否存在一点P ，使CP 平分∠APB ?如果存在，说明点P 与点C 的位置关系；如果不存在，请说明理由．019年泰州市初中数学青年教师解题比赛试题答案1．（本题满分10分）若0=++c b a ，则a c b -=+，b a c -=+，c b a -=+，所以1-=+=cb ak 若0≠++c b a ，方法一：有b a a c c b c b a k +++++++==21=；方法二：有a c b k =+)(①，b ac k =+)(②，c b a k =+)(③，①+②+③得：c b a c b a k ++=++)(2，所以21=k ，故k 的值为1-或21． 2．（本题满分10分）（1）k ≤49；（2）满足k ≤49的最大整数为2，此时方程①为0232=+-x x ，解得两根为1=x 和2．把1=x 和2分别代入方程②解得23=m 和1，而方程②为一元二次方程，有1-m ≠0即m ≠1，所以23=m ． 3．（本题满分10分）（1）在图②的网格中建立如图所示的直角坐标系；（2）在该坐标系中描出点A ′（2，1）、B ′（6，6），C ′（8，2）；分别连接A ′B ′、B ′C ′、C′A ′；（3）在图①中，作∠BAE =∠A ′，∠ABF =∠B ′，射线AE 与BF 相交于点C ．则C 点就是藏宝地．4．（本题满分15分）（1）2261511++=3011；（2）22)1(111+++n n =)1(11++n n （n 为正整数）．证明如下：22)1(111+++n n =222222)1()1()1(+++++n n n n n n =222)1(1)1(2)]1([+++++n n n n n n=222)1(]1)1([+++n n n n =)1(1)1(+++n n n n =)1(11++n n ． （3）原式=2111⨯++3211⨯++4311⨯++…+)1(11++n n =21111-++31211-++41311-++…+1111+-+n n =1+n 11+-n =122++n n n ．5．（本题满分15分）（1）3；（2）设P （a ，3），则d （A ，P ）＝|a +2|+|3-1|=3，解得a =-1或-3，∴P （-1，3）或（-3，3）；（3）d （O ，P ）+ d （A ，P ）＝|a -0|+|3-0|+|a +2|+||3-1|=|a +2|+|a |+5=⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤--≤+-)0(72)02(7)2(32a a a a a ，显然，当2-≤a 时32+-a 的最小值为7，当0≥a 时72+a 的最小值也为7，故d （O ，P ）+ d （A ，P ）最小值为7，此时-2≤a ≤0，即快递中转中心P 建于公路l 上横坐标在-2与0之间（包括-2与0）的所有位置都满足要求．6．（本题满分15分）（1）证明略；（2）连接PM ，证△CPM ≌△APB ，从而有CM =AB =a ；（3）设PB =MB =x ，易证△AMN ∽△CMP ，所以PM MN CM AM =，所以x MN a x a =-， 所以MN =)(1x a x a -=a a x a x x a 41)21(1122+--=+-，故MN 最大为a 41．7．（本题满分15分）（1）如图①，因为∠BAD =90°，AD =AB ，故将△ADH 绕点A 顺时针旋转90°至△ABP 位置，连接PG ，易证∠PBG =90°，所以222BG PB PG +=；可证△APG ≌△AHG ，有PG =HG ，所以222HD BG GH +=， 而当BG =3时，GH =5，故此时HD =4．即BD =12，所以正方形的边长为26．（2）如图②，易证△AEM ∽△AFD ，△ABE ∽△ANF ， 所以AF AE AD AM =，AF AE AN AB =，所以ANABAD AM =， 有AB AD AN AM ⋅=⋅=72262=）（，即72=xy ， 所以xy 72=（126<≤x ）．8．（本题满分20分）（1）设AB =c ，AC =b ，⊙O 与AB 、AC 相切于点F 、E ， 由条件知：pq ab 2=，由AE =AF 得p c q b -=-，所以p q c b -=-，所以22)()(p q c b -=-，所以222222q pq p c bc b +-=+-， 所以222222q bc pq p c b ++-=+=2242q pq pq p ++-=2)(q p + 即222BC AC AB =+，所以△ABC 为直角三角形．Fq AB DGPH（2）如图②，设⊙O 的半径为r ，与AB 、AC 相切于点F 、E ，连接AO 、BO 、CO 、OD 、OE 、OF ，作CH ⊥AB ，易证OF ⊥AB ，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，则AF =AE =r 3，BF =BD =p ，CE =CD =q ，所以CH =AC 23=)3(23q r +， 而ABC S ∆=ABO S ∆+BCO S ∆+ACO S ∆，所以)3(23)3(21q r p r +⋅+=r q r q p p r ⋅+++++)33(21，整理得：pq r q p r 3)(32=++，所以ABC S ∆=r q r q p p r ⋅+++++)33(21=pq r q p r 3)(32=++．9．（本题满分20分）（1）如图①，满足条件的直线l 有两条，一条是与AB 平行，一条是经过AB 的中点P ，表达式为x y 2-=或x y 21=； （2）如图②，作AG ⊥l ，BH ⊥l ，过点A 作l ′∥直线l ，延长BG 交l ′于点G ，则1d +2d =BG ，根据垂线段最短有1d +2d =BP ≤AB ，显然当l ′⊥AB 时1d +2d 最大，此时直线l 恰好经过AB 的中点，故直线l 的表达式为x y 21=； （3）二次函数图像的顶点为S （2+-a ，13+-a ），设x a =+-2，y a =+-13，有53-=x y ，即S 是直线53-=x y 上的动点．点S 在△OAB 内，故S 在直线53-=x y 与AB 、OB 交点间的线段上，AB 的表达式为52+-=x y ，OB 的表达式为x y 31-=，从而有53-=x y 与AB 的交点M （2，1），N （23，21-）且MN ⊥OB ，故2d =BN =1021，2d =AB 21=5，所以1d 2d -=51021-．①② ③10．（本题满分20分）设直线AB 表达式为d kx y +=，A 、B 的坐标分别为（1x ，21ax ）、（2x ，22ax ）.（1）作AE ⊥x 轴、BF ⊥x 轴，E 、F 为垂足，易证△AOE ∽△OBF ， 所以FBEOOF AE =得21ax -)(22ax -⋅=1x -2x ，从而2a 1x 2x =1-，由题意11-=x ，92=x ，所以912=a ，因为a <0，所以31-=a ，所以二次函数为231x y -=，当92=x 时32-=y ，故点B （9，3-）．（2）如图②，在d kx y +=中，令x =0，有y =d ，则CO =|d |；直线AO 的关系式为x x axy 121==x ax 1，令2x x =得21x ax y Q =，联列直线AB 与抛物线的关系式得⎩⎨⎧+==dkx y ax y 2，有02=--d kx ax ，所以1x 2x =a d -，所以DQ =|Q y |=|21x ax |=|)(ada -|=|d |．故有DQ =CO ．（3）如图③，设点P 的坐标为（0，m ），作AG ⊥y 轴、BH ⊥y 轴，G 、H 为垂足，由题意知：点C 的坐标为（0，d ），则tan ∠APC - tan ∠BPC =AG PG BH PH -=121x ax m --222x ax m --=212121))((x x x ax m x x -+-， 联列2ax y =与d kx y +=有02=--d kx ax ，则a k x x =+21，adx x -=21， 所以tan ∠APC -tan ∠BPC =ad a da m ak --⋅--)]([=)(d m d k +， 欲∠APC =∠BPC ，而k 为任意实数，只有0=+d m ，即d m -=， 此时点P 与点C 关于原点对称．。
初中数学青年教师解题比赛试题及解答
初中数学青年教师解题竞赛试卷一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．函数112-+-=x x y 中，自变量x 的取值范围是 . 2．圆锥的母线长为5cm ，高为3 cm ，在它的侧面展开图中，扇形的圆心 角是 度.3．已知3=xy ，那么yxyx y x+的值是 . 4．△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE//BC ，BE 与CD 相交 于点O ，在这个图中，面积相等的三角形有 对. 5．不等式x x 4115≥+的正整数解的共有 个． 6．函数13++=x x y 的图象在 象限．7．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝5，D 是BC 上的一点，且BD ：DC ＝2：3，则AD 的取值范围是 .8．关于自变量x 的函数c bx ax y ++=2是偶函数的条件是 . 9．若关于未知数x 的方程x p x =-有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是 .10．AB 、AC 为⊙O 相等的两弦，弦AD 交BC 于E ，若AC ＝12，AE ＝8， 则AD ＝ . 二、（本题满分12分）11．如图，已知点A 和点B ，求作一个圆⊙O ， 和一个三角形BCD ，使⊙O 经过点A ，且使所作的 图形是对称轴与直线AB 相交的轴对称图形．（要求 写出作法，不要求证明）..AB三、（本题满分12分）12．梯子的最高一级宽33cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10级，各级 的宽成等差数列，计算与最低一级最接近的一级的宽． 四、（本题满分13分）13．已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A （0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程． 五、（本通满分13分）14．池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为︒20，测得碑顶在水中倒影的俯角为︒30（研究问题时可把碑顶及其在水中的 倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，747.270tan ≈︒）. 六、（本题满分14分）.15．若关于未知数x 的方程022=-+q px x （p 、q 是实数）没有实数根， 求证：41<+q p . 七、（本题满分14分）16．如果⊙O 外接于正方形ABCD ，P 为劣弧AD 上的一个任意点，求：PBPCPA +的值. 八、（本题满分16分）17．试写出m 的一个数值，使关于未知数x 的方程08242=+--m x x 的 两根中一个大于1，另一个小于1. 九、（本题满分16分）18．点P 在锐角△ABC 的边上运动，试确定点P 的位置，使P A +PB ＋PC 最小，并证明你的结论.参考答案一、1. 2≤x 且1≠x 2.288 3. 32± 4.4 5.6 .一、二、三 7. 4<AD <8 8.b =0 9. 410<≤p 10.18. 二、作法：11.1、作直线OB 与直线AB 相交于点B ；2、以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ；3、过点O 作直线CD ⊥OB 交⊙O 于 点C 和点D ；4、分别连结CB 和DB .则⊙O 和△BCD 就是所求. 三、12.解：用{}n a 表示题中的等差数列，由已知条件有12,110,33121===n a a().1133即110,112112d d a a +=-+=解得 7=d().1037033111111=+=-+=∴d a a答：与最低一级最接近的一级的宽103cm.四、13.解：设点M （x ,y ）是曲线上的任一点，MB ⊥x 轴，垂足为B ， 那么点M 属于集合{}2=-=MB MA M P . 由距离公式，得()2222=---y y x ,化简，得281x y =.曲线在x 轴的上方，y >0,..A BDCO∴所求的曲线的方程是()0812≠=x x y 五、14.解：如图，DE 表示水面，A 表示观测点，B 为碑顶，B '在水中的倒影，由题意： ()m 13020=︒='∠︒=∠，AD AC B ，BAC︒='∠︒=∠∴60,70B B设x BE =,则.1,1+='-=x C B x BC在Rt △ABC 中，()︒-=⋅=70tan 1tan x B BC AC ○1 在Rt △A B 'C 中，()︒+='⋅'=60tan 1tan x B C B AC ○2 由○1、○2得()()︒+=︒-60tan 170tan 1x x ()︒+︒=︒-︒∴60tan 70tan 60tan 70tan x 41.4479.4015.1≈∴=x x 米答：水面到碑顶的高度4.41米.六、15. 证：由题意，令0442<-=∆q p得2p q -<41412122≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-<+p pp q p即41<+q p七、16.解：如图，BP 平分直角APC ∠，︒=∠=∠∴4521ABCDP12B 'EA BC D在△APB 中，由余弦定理，得：2222AB PB PA PB PA =⋅-+同理，在△BPC 中，有2222BC PC PB PC PB =⋅-+ 22222AC PC AP BC AB =+=+().20222=+∴=+-∴PBPC PA PC PA PB PB当点P 与点A 或点D 重合时.2=+PBPCPA 八、17.解法1：设()()062=-+x x ，则01242=--x x ,令1282-=+-m ，得10=m ，∴当10=m 时，所给方程两根中，一个大于1，另一个小于1.解法2：设21,x x 是方程的两根，则m x ，x x x 2842121-=⋅=+，依题意，()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧<-->---=∆.25,21.011,02844212m m x x m 解得：25>m .∴当3=m 时，所给的方程的两根中，一个大于1，另一个小于1. 九、18.解：当点P 在锐角△ABC 最短边上的高的垂足的位置时，P A +PB ＋PC 最小. 证明：如图，P 为△ABC 一边BC 边上的高的垂足，而Q 为BC 边上的任一点，+++=++QB QA PC PA PC PB PA ,ABCQ PQA PA BC QA QC <+=,QC QB QA PC PB PA ++<++∴又设AC 为△ABC 最短边，作这边上的高P B '（如图），可知AP P B >'.在P B '上截取AP P B o =',在BC 上截取AC C B ='，作AC P B o ⊥'.垂足为o P ,连 结o B B '.APC ∆Rt ≌=∴'∆AP C P B o RtP B P B o o '='. 四边形o o P P B B ''是矩形，︒='∠∴90B B B o ，在B B B o '∆中，+='+'+'>'o o BB C P B P A P BB B BAC AP +，PC PB PA C P B P A P AP AC B B PC PB PA ++<'+'+'∴++'=++.oP B 'oB P 'A BCP。
初中数学教师基本功竞赛试卷(附答案)
初中数学教师基本功竞赛试卷(附答案)第一题 - 四则运算计算下列各式的结果：1. $12 + 5 =$2. $20 - 8 =$3. $4 \times 7 =$4. $36 \div 9 =$答案：1. $12 + 5 = 17$2. $20 - 8 = 12$3. $4 \times 7 = 28$4. $36 \div 9 = 4$第二题 - 分数计算对下列各题进行分数计算：1. $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} =$2. $\frac{5}{8} - \frac{1}{4} =$3. $\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} =$4. $\frac{2}{9} \div \frac{1}{3} =$答案：1. $\frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$2. $\frac{5}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{8}$3. $\frac{2}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{6}{15}$4. $\frac{2}{9} \div \frac{1}{3} = \frac{6}{9}$第三题 - 方程求解解下列方程：1. $2x + 3 = 9$2. $\frac{3}{4}x - \frac{1}{2} = 1$3. $5 - 2x = 8$4. $\frac{1}{3}x + 5 = 7$答案：1. $x = 3$2. $x = \frac{9}{5}$3. $x = -1.5$4. $x = 6$第四题 - 几何图形选择正确的答案：1. 三角形的内角和为多少？- A. 90度- B. 180度- C. 360度- D. 45度答案：B. 180度2. 一个正方形有几条对角线？- A. 1条- B. 2条- C. 4条- D. 0条答案：C. 4条3. 直线与平行线相交，对应角为：- A. 互补角- B. 对顶角- C. 相等角- D. 余角答案：B. 对顶角4. 直角三角形的斜边是：- A. 最长边- B. 最短边- C. 邻边- D. 对边答案：A. 最长边第五题 - 数学推理根据给定的条件选择正确的答案：1. 如果$a = 3$，$b = 5$，则$a + b =$ _____？- A. 7- B. 8- C. 9- D. 15答案：A. 82. 如果$a = 2$，$b = 4$，则$a \times b =$ _____？- A. 2- B. 4- C. 6- D. 8答案：D. 83. 如果$a = 6$，$b = 2$，则$a - b =$ _____？- A. 2- B. 3- C. 4- D. 5答案：C. 44. 如果$a = 10$，$b = 2$，则$a \div b =$ _____？- A. 1- B. 2- C. 5- D. 10答案：B. 5以上是初中数学教师基本功竞赛试卷及答案。
广州市初中青年数学教师解题比赛决赛试题与答案
20XX 年广州市初中数学青年教师解题决赛试题参考答案及评分标准9．选C [解析]：设直线MN （MN l ：3+=x y ）交x 轴于点A,则点P ，必须满足AN AM AP ⋅=2，易计算得，3-=A x ，4=AP ．10．选B [解析]：不妨设c b a ≥≥，m b a =-，n c b =-，m 、n 为非负整数，n m c a +=-， 01922=-++n mn m ，由Δ≥0，可得，6<n ，当0=n ，1，4，5时，m 无解，2=n 时，m 3=；3=n 时，2=m ，① 当2=n ，m 3=时，b a +=3，2-=b c 1≥，3≥b ，6≥a ，1013≥+=++b c b a ，此时，取6=a ，3=b ，1=c 时，10=++c b a 最小； ②当3=n ，2=m 时，同理可求，得,11=++c b a 6=a ，4=b ，1=c ， 综上，最小值10=++c b a ．二、填空题答案（每小题5分，共6小题，共30分）11．3,4)(4,)+∞U （. 12. 23-. 13.51. 14. 5734.作MH ⊥AN 于H ,AH =524,HN =512,MH =532．15. 3. 16．21n -，32 .三、解答题答案（共7小题，满分80分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 17. 解：（1）由已知得当0x <时，2()23f x x x =+-．∴2223,0,()23,0.x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨+-<⎪⎩……………………………………………………………………………………3分（2）单调递减区间是]1,0[],1,(--∞，单调递增区间是),1[],0,1[+∞-．…………………………………………6分最小值是4-，没有最大值．…………………………………………………………………………………8分18. 解：（1）2()sin )2cos 2sin cos f x x x x a x x x a =-⋅+=-+-2sin 22cos(2)6x x a x a π=-+=++．……………………………………………4分（2）7[0,],2,1cos(2)26666x x x πππππ∈∴≤+≤∴-≤+≤Q2()a f x a ∴-≤≤．……………………………………………………………………………………6分min ()2f x a ∴=-，由题意得22a -=-0a ∴=．……………………………………………………………8分19．解：（1）证明：由AD ⊥平面ABE 及//AD BC ，∴BC ⊥平面ABE ，∴AE BC ⊥． 而BF ⊥平面ACE ，∴BF AE ⊥，又BC BF B =I ，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE BE ⊥．………………………………………………3分（2）连接EM ，∵M 为AB 中点，AE =EB =2，∴AB EM ⊥．又⊥DA 平面⊂EM ABE ，ABE 平面，∴EM DA ⊥，所以⊥EM 平面ACD ．……………………………………………………………………………………5分由已知及（1）得22,221===∆ADC S AB EM ．故1422233D AECE ADCV V --==⨯=．……………………………………………………………………7分 （3）取BE 中点G ，连接FM GF MG ,,．∵BF ⊥平面ACE ，∴CE BF ⊥，又BC EB =，所以F 为CE 中点，∴GF //BC ． 又∵BC //AD ，∴GF //AD ．所以GF //平面ADE ．………………………………9分 同理//MG 平面ADE ，所以平面GMF //平面ADE ．又⊂MF 平面MGF ，则//MF 平面ADE ．………………………………………………………………12分20. 证明: (1) ∵DE ⊥CP 且CE=EF ，∴ DC=DF , ∠FDE =21∠FDC ， ∠HDE =∠FDE -∠FDH =21∠FDC -21∠FDA =21∠ADC = 45°．………………………………………………4分∴∠EHD =∠HDE =45°．……………………………………………………………………………………………5分∴ DE=EH ．(2)延长DH 交AF 于点O ， 将ΔDEC 绕点C 逆时针旋转90°到ΔBMC 的位置，连结ME ． ∴ΔDEC ≌ΔBMC ． ∴ DE=BM , ∠DCE =∠BCM ,∵∠DCE +∠ECB =90°， ∴∠BCM +∠ECB =90°．∴ BM ∥CH ． …………………………………………………8分在ΔEMC 中，∠ECM =90°，MC=CE ，∴∠CEM =45°．由（1）知， DE=EH=BM ， ∴BMEH 为平行四边形 ∴ BH ∥EM ．又由（1）知DC=DF ，则DA=DF ，DO 为∠ADF 的角平分线，∴ DO ⊥AF ．又对顶角∠EHD =∠FHO ， ∴ ∠AFH =∠HDE =45°． ∴ ∠AFH =∠MEC =45°． ∴ AF ∥ME ．∴ AF ∥BH . ………………………………………………………………………………………………………12分A D 第20题21. 解：（1）连接BC ，由勾股定理求得：2AB AC ==，213602n R S π==π. ……………………………3分 （2）连接AO 并延长，与弧BC 和O e 交于E F ，，22EF AF AE =-=-，弧BC 的长：21802n R l π==π． 设圆锥的底面半径为r ．22r π=πQ ， ∴圆锥的底面直径为：22r =．……………………………………………………………………………6分 2222-<Q ， ∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．…………………………………………………8分（3）由勾股定理求得：2AB AC R ==，弧BC 的长：2180n R l R π==π，22r R π=πQ ， ∴圆锥的底面直径为：22r R =，22(22)EF AF AE R R R =-=-=-． 2222-<Q 且0R >， 2(22)2R R ∴-<，即无论半径R 为何值，2EF r <． ∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．………………………………………………12分第21题∠ABE=∠EBC=∠DHC,∠AEB=∠ADH=∠CDH,∴∠BCD=∠BAD. …………………………………………………………………………………………………14分xyABCO P F MEH NQP 'N 'M '1 23423． （1）证明：连结AF ．AE BF Q ∥，1342∴∠=∠∠=∠，． 又AB AF =Q ，34∴∠=∠．12∴∠=∠． 又AO AF AE AE ==Q ，，AOE AFE ∴△≌△．90AFE AOE ∴∠=∠=o ． FC ∴是O e 的切线．…………………3分（2）方法1：由（1）知22EF OE ==． AE BF Q ∥，AC CEAB EF∴=． 1122OC CE+∴=，2222CE CO ∴=+． ① 又222OE OC CE +=Q ，22222CE CO ⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭． ② 由①②解得0OC =（舍去）或2OC =，……………………………………………………………………………5分 Q 直线FC 经过202E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，(20)C ，两点． 设FC 的解析式：y kx b =+． 2022k b b +=⎧⎪∴⎨=-⎪⎩解得2422k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴直线FC 的解析式为2242y x =-．……………………………………………………………………………7分 方法2：CF Q 切A e 于点F ，90AFC EOC ∴∠=∠=o ． 又ACF OCE ∠=∠，COE CFA ∴△∽△，OE COAF CF∴=．22122CO CE ∴=+．即222CE CO =-． ① 又222OE OC CE +=，22222CE CO ⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭． ② 由①②解得0CO =（舍去）或2CO =． (20)C ∴， ．………………………………………………………5分 （求FC 的解析式同上）． 方法3：Q AE BF ∥，AC CEAB EF ∴=．1122OC CE +∴=． 2222CE CO ∴=+． ① FC Q 切A e 于点F ，90AFC COE ∴∠=∠=o ．ACE OCE ∴∠=∠，COE CFA ∴△∽△．。
初中数学教师解题比赛试卷及答案和解析
象山县第三？届初中数学？教师解题比？赛试卷本试卷共8?页，共三大题2? 2小题，满分120?分，考试时间1? 20分钟。
、选择题（本大题共8?小题，每小题3分？，满分24分？。
请将唯一正？确的答案代？号填在题后?括号内）B a>—a 〉b>-b1、如图，在菱形 ABCD 中，/ ADB 与的大小关ABD 玄旦 A. ADB ABD E. N ADB vNABD C. ADB= /ABDD.无法确定2、如果 a v 0, :::0,那么下列关 系式中正确？白是b a _b _aD. - a>b>-b>a3、已知 a b ，且 a = 0, b 0, b0，则函数与在^y ^ax b ya b同一坐标系中的图x象不?可能是4、如图,逆时针旋转到正方形30 ABCD ，则图中阴影部分的面积？ 为 （D ）135、若为二次函 A-~，y1）、B （-1, y2）、C （；，y3）数的图象上 LX 2-4x 5的三点,则的大小关？『2、y 3系是A . y 3<y i <y 2D. y 2<y i<y 3边长为1的正方形绕点ABCD A6、已知实数?、b 、c 满足a ::: 0 , a - b c 0，则一定有不可能是？8、下列图形中？阴影部分的面积相等的？有11、不等式组的？x+2a >4解集是0vxc2，那么的值等、2x —b c513、一青蛙在如 图的正方形 护8 （每个小正方 形的边长为？1网格的格点？（小正方形的 顶点）上跳跃， 青蛙每2 2A . b - 4ac > 0B . b - 4ac . 0C . b - 4ac < 0D . b - 4ac ：： 07、把一张形状 是多边形的纸片剪去其中一个角,剩下的部分是一个四边形，那么这张纸片原来的形A.六边形 E.五边形C.四边形D.三角形y = 3xA.①② E.②③ C.③④ 二、填空题 ?）。
2020年杭州市初中数学教师解题竞赛试卷 - 答案
2020年杭州市初中数学教师解题竞赛试卷答案部分一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）1-5 DDABC ，6-10 BABAD二、填空题（本题有5个小题，每小题4分，共20分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整的填写答案．11．43S ；12．；13．15+；14．3S =；15 三、解答题（本题有5个小题，共50分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以． 16．解：图中△ABC 为钝角三角形．..............................................2分法一：图中AB 边最长，所以先作出线段AB 中点，然后作出以线段AB 为直径的圆，由于点C 在圆内，故∠ACB 为钝角，△ABC 为钝角三角形．............................4分法二：图中△ABC 的内角C 最大，过点B 作直线AC 的垂线，垂足为D ，由于点D 在AC 延长线上，故∠ACB 为钝角，△ABC 为钝角三角形．................................4分17．先求出条件中x 的范围．由x 2+bx ≤－x 得x [x +(b +1)]≤0，而b <－1，所以得到0≤x ≤－(b +1) .........2分令()2f x x bx =+，则()2224b b f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．下面来求f (x )在0≤x ≤－(b +1)范围内的最小值．① 若()12b b -+<-，即21b -<<-，则f (x )在0≤x ≤－(b +1)时取得最小值， ()22min 11124b b f f b b ⎛⎫=--=+-=+ ⎪⎝⎭． 因而112b +=-，即32b =-..............4分 ② 若(1)2b b --+≤，即2b -≤，则()f x 在2b x =-时取得最小值，为24b -，因而2142b -=-，即2b =±． 但是2b =±不满足2b -≤，所以2b =±应当舍去所以所求的b 只能为32-．..........4分18．解：设BD =2x ，AD =2R －2x ,，则)(2x R x CD -=；........................-2分 作QE ⊥AB ，垂足为E ；△PQE 中，QE 2=(x +r )2－(x －r )2， .............................2分△OQE 中，QE 2=(R －r )2－[R －r －(2R －2x )]2, .............2分于是4rx =－4Rr －4x 2+4(R +r )x ； ....................................2分化简得x (R －x )=Rr ；于是CD =2Rr ．.......................2分19．解：（1）两函数图象都经过点(2,6)-，∴46246m n m n +=⎧⎨-+=⎩，1m ∴=，2n =，....................................................................2分 212y x ∴=+，222y x x =+；联立方程解得另一个交点坐标为)3,1(；........2分（2）联立21y mx n =+，22(0)y nx mx nm =+≠解得))(,(),1(22n m mn n n m n B n m A -+-+、；................................................2分 于是nm m k -=2；.............................................................................................2分 所以当率1=k 时，22)21(41--=-=m m m n ；故21=m 时n 取最大值41．....2分20．解：（1）因为DF =EF ，DF =HF =2，所以EF =2=FH ，所以∠FEH =∠FHE ，因为EF//AB ，所以∠FEH =∠BAE ，所以∠BAE =∠FHE =∠BHA ，所以AB =BH ，因为在Rt △ABE 中，BF 2=AF 2+AB 2，所以(AB +2)2=(AB －2)2+AB 2所以AB =8，AB =0（不合题意舍去），所以AB =8． .......4分 （2）如图，过点J 作JN ⊥BD 于，因为21119)(2224BEF S EF AF x x x ∆=⨯==-+，所以，当x BEF S ∆最大值为92， ...........3分因为2x =，所以2EF =， 因为//EF AB ， 所以12EF DE DF AB BD AD ===， 所以BD =2DE ，AD =2DF ，因为CB =CD ，BD =2DE ，所以CE ⊥BD ，BD =2CE ，因为旋转，所以JD =BD ，∠JDB =30°，又因为JN ⊥BD ，所以JD =2JN ，所以BD =2JN ，所以JN =CE ，所以JN ⊥BD ，CE ⊥BD ，所以JN //CE ，且CE =JN ，所以，四边形JCEN 是平行四边形，因为JN ⊥BD ，所以，四边形JCEN 是矩形，所以CJ ⊥CE ． .............3分。
青年教师初中数学解题比赛决赛试卷及答案(广州市)
广州市青年教师初中数学解题比赛决赛试卷本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷。
请将选择题和填空题的答案做在第3页的答卷上。
全卷共三大题25小题，满分150分，考试时间120分钟。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C D A A B B D C C A第I 卷（选择题，共44分）一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上）1、a 是任意实数，下列判断一定正确的是（ ）. （A ）a a -> （B ）a a<2（C ）23a a > （D ）02≥a 2、已知集合},032|{},4|{22<--=<=x x x N x x M 则集合=⋂N M （ ）. （A ）}2|{-<x x （B ）}3|{>x x （C ）}21|{<<-x x （D ）}32|{<<x x3、若二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点（a ＋b ，ac ）在（ ）. （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（第3题）4、同圆的内接正十边形和外切正十边形的周长之比等于（ ）. （A ）cos18°（B ）sin18° （C ）cos36°（D ）sin36°5、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：则第8个图案中有白色地面砖（ A ）块.(A)34 (B)36 (C)38 (D)406、将正方形的四边四等分，包括顶点共有16个点，这16个点可得到的直线条数是（ ）. (A)120 (B)84 (C)82 (D)807、如图，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA ＝DC ，∠AOC ＝160°，则∠BCO 等于（ ）.（A ）20° （B ）30° （C ）40° （D ）50°（第7题） 8、如果y x ,为实数，且,0)1(22=-+-y x x 则x 的取值范围是（ ）.(A)任意实数 (B)负实数 (C)210≤<x (D)10≤≤x 9、方程012=-+x x 所有实数根的和等于（ ）.O C BAD Oxy(A)1- (B)1 (C)0 (D)510、将四个完全相同的矩形（长是宽的3倍），用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得的大矩形面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能是（ ）. (A)1种 (B)2种 (C)3种 (D)4种 11、一次函数b ax x f +=)(（a 为整数）的图象经过点（98，19），它与x 轴的交点为（p,0）,它与y 轴的交点为（0，q ）,若p 是质数，q 为正整数，则满足条件的所有一次函数的个数为（ ）.(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2的整数第II 卷（非选择题，共106分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在第三页的答题卷上）12、函数x y lg =在定义域上是 OU 函数（填奇或偶）；在区间 0—〉 上是增加的. 13、如图，有两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ， 大圆的弦CD 经过点P ，且CD ＝13，PD ＝4，两圆组成的圆环的面积是 36PI .P（第13题）14、已知t bac a c b c b a =+=+=+，那么直线t tx x f +=)(一定通过第 2、3 象限.T=2，-1 分析：利用和分比公式得a+b+c=0,t= -1,a+b+c ≠0,t=215、已知上的点，为上的点，为内一定点，为ON B OM A MON P MON ∠=∠,400则当PAB ∆的\周长取最小值时，的度数为APB ∠ 100° . 313-≤≤-t16、已知实数b a ,满足t b a ab t b ab a 那么且,,12222--==++的取值范围是 17、若c b a ,,为实数，且,2,0==++abc c b a 那么c b a ++的最小值可达到 4 . 三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 18、（本题8分）若直线0=+-a y x 与圆122=+y x 相交，求实数a 的取值范围. 19、（本题8分）菱形ABCD 的边AB=5，对角线BD=6，且AC 与BD 相 交于点O ，沿BD 折叠得四面体ABCD ，已知该四面体的体积等于8， 求二面角A-BD-C 的大小.20、（本题8分）设,0,12≠=++a a x x x求1242++x x x 的值.21、（本题8分）某商场计划销售一批运动衣后可获总利润12000元. 在进行市场调查后， 为了促销降低了定价，使得每套运动衣少获利润10元，结果实际销售比计划增加了400 套，总利润比计划多了4000元，问实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润多少元？.ABCDO22、（本题10分）已知任意三角形ABC,其面积为S. 作BC 的平行线与AB 、AC 分别交于D 、E . 设三角形BDE 的面积为M ，求证：M≤S 4123、（本题11分）已知：如图，在Rt △ABC 中，斜边AB ＝5厘米，BC ＝a 厘米，AC ＝b 厘米，a ＞b ，且a 、b 是方程2(1)40x m x m --++=的两根， ⑴求a 和b 的值；⑵△'''C B A 与△ABC 开始时完全重合，然后让△ABC 固定不动，将 △'''C B A 以1厘米/秒的速度沿BC 所在的直线向左移动.ⅰ)设x 秒后△'''C B A 与△ABC 的重叠部分的面积为y 平方厘米，求y 与x 之间的函数关系式,并写出x 的取值范围；ⅱ)几秒后重叠部分的面积等于38平方厘米？24、（本题11分）已知：如图，⊙O 与⊙P 相交于A 、B 两点，点P 在⊙O 上，⊙O 的弦AC 切⊙P 于点A ，CP 及其延长线交⊙P 于D 、E ，经过E 作EF ⊥CE 交CB 的延长线于F.⑴ 求证：BC 是⊙P 的切线；⑵ 若CD ＝2，CB ＝22，求EF 的长；⑶ 若设k ＝PE:CE,是否存在实数k,使△PBD 恰好是等边三角形?若存在,求出k 的值；若不 存在，请说明理由.25、（本题12分）如图，EFGH 是正方形ABCD 的内接四边形，两条对角线EG 和FH 相交于点O ，且它们所夹的AB CM A'B'C'锐角为θ，CFH BEG ∠∠与都是锐角，已知,,l FH k EG ==四边形EFGH 的面积为S ，（1） 求证：klS 2sin =θ （2） 试用S l k 、、来表示正方形ABCD 的面积.2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛参考答案2005-3-20 一、选择题答案（每小题4分，共44分） 二、填空题答案（每小题5分，共30分）三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 18、解：（代数方法）由题意，⎩⎨⎧=+-=+0122a y x y x⇒012222=-++a ax x直线与圆相交，∴0>∆即0)2(4)1(84222>--=--=∆a a a则022<-a ，即22<<-a 时，有0>∆直线与圆相交（此题可有几何方法，相应评分）19、解： AO=OC=435BO AB 2222=-=-，易得 θ = ∠ ⊥ ⊥AOC , BD OC , BD AO 为二面角A-BD-C 的平面角。
第三届初中数学教师解题比赛试卷及答案
中山市第三届初中数学教师解题比赛试卷及答案（比赛时间：2009年10月17日上午9∶00-11∶00）本试卷共三大题22小题，满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。
请将唯一正确的答案代号填在题后括号内）1、下列各数中，最大的有理数是 （ A ） A ．0 B ．－1 C ．－3 D ．32、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后解析式为（ B ）A ．2(1)3y x =--- B ．2(1)3y x =-++ C ．2(1)3y x =--+D ．2(1)3y x =-+-3、下列命题正确的是 （ C ） A ．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B ．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 C ．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D ．对角线相等的四边形是等腰梯形4、一个袋子里装有2000个红球，1000个黑球，10个黄球，这些球仅颜色不同，要保证摸出的球中有1000个颜色相同，至少应摸出多少个球 （ D ）（A ）1010个 （B ）2000个 （C ）2008个 （D ）2009个 5、如图，在ABC △中，1086AB AC BC ===，，，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB CA ，分别相交于点E F ，，则线段EF 长度的最小值是 （ C ）A． B ．4.75 C ．4.8D ．56、满足方程433221=-+---x x x 的有理数x（ D ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）无数7、在反比例函数4y x=的图像中，阴影部分的面积不等于4的是 （ B ）A ．B ．C ．D ．8、二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示.下列结论正确的是 （ C ） （A ）b ＞c a 23+（B ）b c a 23=+////////////////////////////////////////////密封线内不要答题 ///////////////////////////////⌒（C ）b ＜c a 23+（D ）b c a 23≤+二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分。
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初中数学教师解题竞赛试题一、选择题（每题6分）1、如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30°，那么这个三角形的形状是 （ ）A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、不能唯一确定2、如图，正比例函数)0(＞k kx y =与反比例函数xy 1=的图象相交于A 、C 两点，过A 作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，若△ABC 的面积为S ，则 （ ）A 、S ＝1B 、S ＝2C 、S ＝3D 、S 的值不确定3、某工厂第二季度比第一季度的产值增长了x ％，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x ％。
则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 （ ）A 、2x ％B 、1＋2 x ％C 、（1＋x ％）x ％D 、（2＋x ％）x ％4、设P ＝121220022001++，Q ＝121220032002++，则P 与Q 的大小关系是 （ ）A 、P ＞QB 、P ＝QC 、P ＜QD 、不能确定5、边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有 （ ） A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个6、如果1x 、2x 是两个不相等的实数，且满足12003121=-x x ，12003222=-x x ，那么21x x 等于 （ ）A 、2003B 、－2003C 、1D 、－17、若实数x ，y 满足条件06222=+-y x x ，则x y x 222++的最大值是 （ ） A 、14 B 、15 C 、16 D 、不能确定 8、如图1，图中平行四边形共有的个数是 （ ） A 、40 B 、38 C 、36 D 、30AB CDPABCD（图1） （图2） （图3）9、如图2，矩形ABCD 被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则矩形ABCD 的面积等于 （ ）A 、152B 、143C 、132D 、10810、如图3，若PA ＝PB ，∠APB ＝2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB ＝4，PD ＝3，则AD ·DC 等于 （ ）A 、6B 、7C 、12D 、16二、填空题（每题6分）11、△ABC 中，AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高为3，则BC 边的长为＿＿＿＿。
12、锐角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则c 边的取值范围是＿＿＿＿（用不等式表示）。
13、若a ＋2b －3c ＝4,5a －6b ＋7c ＝8，则9a ＋2b －5c ＝＿＿＿＿。
14、一个游泳池的形状如下面左边第一个图所示，现在以固定的流量向游泳池内注水，那么能够大致表示水高h 与时间t 的关系应是在下面右边六个图像中的＿＿＿（填标号）。
15、已知锐角△ABC 中，∠A ＝60°，BD 和CE 都是△ABC 的高。
如果△ABC 的面积为12，那么四边形BCDE 的面积为＿＿＿＿。
三、解答题（每题12分）16、已知：不论k 取什么实数，关于x 的方程1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，试求a 、b 的值。
17、如图，在直角坐标系xOy 中，已知A （12,0），B （0,9），C （3,0），D （0,4），Q 为线段AB 上一动点，OQ 与过O 、C 、D 三点的圆交于点P 。
问OP ·OQ 的值是否变化？证明你的结论。
18、请设计一种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形。
画出必要的示意图，并附以简要的文字说明。
A BCDam时，只付基本费819、某市为了节约用水，规定：每户每月用水量不超过最低限量3am时，除了付同上的基本费和损耗费外，超元和定额损耗费c元（c≤5）；若用水量超过3m付b元的超额费。
过部分每13根据上表的表格中的数据，求a、b、c。
20、在两个三角形的六对元素（三对角与三对边）中，即使有五对元素对应相等，这两个三角形也未必全等。
⑴试给出一个这样的例子，画出简图，分别标出两个三角形的边长。
⑵为了把所有这样的反例都构造出来，试探求并给出构造反例的一般规律（要求过程完整，述理严密，结论明晰）。
武进区初中数学教师解题竞赛试题参考答案11、4或2 12、53＜＜c 13、24 14、⑵ 15、9 三、解答题16、解：把x ＝1代入原方程并整理得（b ＋4）k ＝7－2a要使等式（b ＋4）k ＝7－2a 不论k 取什么实数均成立，只有⎩⎨⎧=-=+02704a b解之得 27=a ，4-=b 17、解：点Q 在线段AB 上运动的过程中，OP ·OQ 的值是不变的。
证明如下：连结DC 、PC∵ 31==OA OD OB OC ，∠COD ＝∠BOA ＝Rt ∠ ∴ △COD ∽△BOA ∴ ∠1＝∠A∵ O 、C 、P 、D 四点共圆 ∴ ∠1＝∠2 ∴ ∠2＝∠A∵ ∠POC ＝∠AOQ ∴ △POC ∽△AOQ∵OAOPOQ OC = ∴ OP ·OQ ＝OC ·OA ＝36 18、解：如图，在AD 边上任取一点N ，使点N 不是边AD 的中点。
分别作出线段AN 、DN 的中点1O 、2O ，把△AB 1O 绕点1O 旋转180°得△NM 1O ，再把△CD 2O 绕点2O 旋转180°得△MN 2O 。
这样由△MN 1O 、△MN 2O 以及四边形1O BC 2O 拼成了一个△MBC ，显然这个三角形既不是等腰三角形，也不是直角三角形。
就是说，只要把当初的正方形ABCD 沿B 1O 、C 2O 剪两刀，则得到的三块图形就可以如图所示地拼成一个符合题意的三角形。
AB CDO O MN12下面再提供几种裁剪方案（仔细揣摩吧，一些说明就省了）：A BCD EF GMNA B DEF GHABC D E F OAB CD EFGABC DEFGO19、解：设每月用水量为x 3m ，支付水费为y 元。
则⎩⎨⎧≥+-+≤≤+= ② ① a x c a xb a xc y ,)(8 0,8由题意知：0＜c ≤5 ∴ 0＜8＋c ≤13从表中可知，第二、三月份的水费均大于13元，故用水量153m 、223m 均大于最低限量a 3m ，将x ＝15，x ＝22分别代入②式，得⎩⎨⎧+-+=+-+= ④ ③c a b c a b )22(833 )15(819 解得 b ＝2， 2a ＝c ＋19 ⑤再分析一月份的用水量是否超过最低限量，不妨设9＞a ，将x ＝9代入②，得 9＝8＋2（9－a ）＋c ，即2a ＝c ＋17 ⑥ ⑥与⑤矛盾。
故9≤a ，则一月份的付款方式应选①式，则8＋c ＝9， ∴ c ＝1 代入⑤式得，a ＝10。
综上得 a ＝10，b ＝2，c ＝1。
20、解：⑴如下图，△ABC 与△C B A '''是相似的（相似比为2），但它们并不全等，显然它们之中有五对元素是对应相等的。
2222ABCA′B′C′122⑵容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的。
设小△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且不妨设a ＜b ＜c ，由小△ABC 到大△C B A '''的相似比为k ，则k ＞1。
∵ △C B A '''的三边长分别为ka 、kb 、kc ，且a ＜ka ＜kb ＜kc∴ 在△ABC 中，与△C B A '''中两边对应相等的两条边只可能是b 与c ∵ b ＜c ＜kc∴ 在△C B A '''中，与b 、c 对应相等的两条边只可能是ka 、kb∴ ⎩⎨⎧==kbc kab∴ 由a 到b 、由b 到c 应具有相同的放大系数（用高中的数学语言来讲，a 、b 、c 成公比为k 的等比数列），这个系数恰为△ABC 与△C B A '''的相似比k 。
下面考虑相似比k 所受到的限制：∵ △ABC 的三边长分别为a k ka a 2、、，且a ＞0，k ＞1 ∴ a k ka a 2＞+解之得 1＜k ＜251+ （注：251+≈1.168） 因此构造反例时，只要先选取一个正数a 作为△ABC 最小边的长，再设定一个1～1.168之间的放大系数k ，从而写出另外两条边的长a k ka 2、。
然后在△ABC 的基础上，以前面的放大系数k 为相似比，再写出另一个△C B A '''的三边长a k a k ka 32、、。
通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例。