分式与高次不等式的解法举例

点评：又2，3可知，分式不等式与高次不等式均可利用商或积 的符号法则转化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式 （组）求解。这种方法叫同解转化法。
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
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尝试2：令y=(x-1)(x-2)(x-3),则y=0的三个根分 别为1,2,3.如图,在数轴上标出3个实根,
试一试
1 . (x+3)(x-2)(x-5) ＜0 2 . x2-3x+2 ≥0 x2-7x+12
X＜-3 或 2＜x＜5
x≤1或2≤x＜3或x＞4
3. (-x2+2x+3)(x2-3x+2) ＞0 -1＜x＜1或2＜x＜3
课堂小结



解分式不等式的基本方法是同解转化法， 简便方法是数轴标根法。 相同因式的分式不等式与高次不等式既 要了解他们的联系，又要了解他们的区 别，尤其要注意等号取舍问题。 含重因式的不等式与高次不等式在进行 转化时要注意重因式对其的影响。
一、问题尝试:
1、解不等式(x-1)(x-2)>0 解集为{x︱x>2或x<1}. (1)若不等式改为:(x-1)(x-2)<0呢? 解集为{x ︱1<x<2} (2)若不等式改为:(x-1)(2-x)>0呢? 先转化为(x-1)(x-2)<0 解集同(1). 点评:对于一元二次不等式,为了能正确得到解集, 首先必须使二次项系数为正.
x 1 若改为： 2 x 0呢？
3、解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0
尝试1：由积的符号法则，本 不等式可化成两个不等 式组：
{
（x 1)( x 2 ) 0 x 3 0
(1)或{
（x 1)( x 2 ) 0 x 3 0
(2)
解（ 1 ）得x 3, 解（2）得1 x 2. 原不等式的解集是以上 两个不等式组解集的并 集，故原 不等式的解集为 {x 1 x 2或x 3}.
学习目标


1熟练掌握利用积、商的符号法则用同解转化法转化为 一元一次或一元二次不等式组求解； 2会找到各因式的根利用数轴标根法求解。
例1 解不等式
解：原不等式转化为
( x 1)( x 2) ( x 3)( x 1)
x 2 3 x 2 x 2 2 x 3
0
0.
-1
1
2
3
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衣上的泥土。几个人把老人家抬回北面的屋子里，放到床上盖上被子。七嘴八舌地安慰一番，就都又到院子里看老妇人了。那个大男娃儿拿着 一沓子黄表纸返回来了。壮年妇人接过来，对年轻妇人说：“最好是烧在脸盆儿里吧，流了那么多血，估计得不少纸灰呢！”年轻的妇人说： “是哩，我去拿脸盆儿！”纸灰烧好了。壮年汉子和年轻男人小心地抓着肩膀把老夫人扶坐起来，耿正和那个大男娃儿一边一个扶住可怜的老 妇人那耷拉着立不住的脑袋。年轻妇人端着脸盆儿，壮年妇人抓起纸灰，一把一把地按在老人还在流血的后脑勺上。半脸盆儿纸灰全部按上去 之后，老人后脑勺上那个两寸多长的大口子终于不再流血了，大家这才松了一口气。壮年汉子说：“咱们把粱婶儿也抬回屋里去吧！”耿正对 惊魂未定的弟弟和妹妹说：“你俩就在院子里陪着那两位大哥吧！”耿英点点头拉着弟弟来到两个伙计的身边，不安地看着俩人在昏暗中有些 扭曲的痛苦面孔„„那边，耿正和那个大男娃儿扶着老妇人的头，其余人抬着她的身体，小心翼翼地把昏迷不醒的可怜老人慢慢地抬回屋子里， 也放到床上盖上被子。老爷子哭着问：“她真得没事儿吗？真还活着吗？”壮年妇人说：“真没事儿，已经止住血了！”年轻妇人说：“只是 叫不醒。唉，这要什么时候才能醒过来啊？”耿正说：“等天亮了，得找一个郎中来医治医治呢！”老爷子哭得更厉害了，说：“可积攒下的 银子都被这贼抢走了啊，只剩了这屋那个抽屉里，还有不到三两，是最近几个月里赚的„„”昏暗的灯光下，耿正看到两对邻里夫妇面有难色， 就说：“不碍事，救人要紧！我们兄妹三个也攒了一点儿银子呢。如果不够，我们来添！只是我们来这里时间不长，不知道哪位郎中医治得了 这种伤病。”壮年男人说：“这倒好说，东大街上的张郎中在医治跌打损伤方面就很有经验呢，明儿个早饭后，我就去请他来给老婶子瞧一瞧。 还有，梁叔也需要上一些跌打损伤的药呢！”其他几个邻里人也都说：“应该请张郎中医治的！在医治跌打损伤方面，别的几个郎中，都比不 上他呢。”耿正又说：“这事情还应该向当地衙门报案的，或许能追回一部分被这窃贼抢走的财物呢！即使追不回来，也好让衙门派人追查缉 拿他，免得这贼人再祸害镇上的其他人家！”大家都点头称是。耿正说：“这事儿也得各位办呢！”年轻男人说：“我去报案吧！前一阵子， 县衙在咱这镇子上安插了一个只有两三个人的巡捕房呢，听说就在镇东头离龙王庙不远的地方。”耿正看看眼下也只能是这样了，就对这两对 邻里夫妇说：“你们照看两位老人吧，我去看看那两个伙计。如果他们都没有事儿，我们就先走了！唉，他俩本来是送我们回来的，却遇到了 这样的事情！”壮年妇人问：“你们不是
2、解不等式
不等式组： {
x 1 0 x 20
x 1 x 2
0.
尝试1：按商的符号法则，原 不等式等价于 (1)或{
x 1 0 x 2 0
(2)
原不等式的解集是上面 这两个不等式组的解集 的并集， 为{ x 2或x 1}
尝试2：本不等式与不等式 ( x 1)(x 2) 0等价.所以 解集为 {x x 2或x 1}
+
-
1
2
-
+ 3
将数轴分为四个区间,图中标”+”号的区间即为 不等式y>0的解集.即不等式 (x-1)(x-2)(x-3)>0的解集为{x︳1<x<2或x>3}. 总结:此法为数轴标根法.在解高次不等式与分式 不等式中简洁明了,可迅速得出不等式的解集.
不等式解法举例(2)
分式不等式与高次不等式的解法
此不等式与不等式（x-1)(x-2)(x-3)(x+1)<0解集相 同。由数轴标根法可得原不等式的解集为：{x︳1<x<1或2<x<3}. 问：如果不等式是 该如何解？
x 2 3 x 2 x 2 2 x 3
0
若题目改为：
( x1)( x2) ( x3)( x1)
0呢？
若题目改为：(x-1)2(x-2)(x-3)(x+1)<0呢？