离散傅里叶变换及其特性验证

实验名：离散傅里叶变换及其特性验证

一、实验目的

1、掌握离散时间傅立叶变换（DTFT ）的计算方法和编程技术。

2、掌握离散傅立叶变换（DFT ）的计算方法和编程技术。

3、理解离散傅立叶变换（DFT ）的性质并用MA TLAB 进行验证。

二、实验原理与计算方法

1、离散时间傅立叶变换

如果序列x (n )满足绝对可和的条件，即

∞<∑∞

-∞

=n n x |)(|，

则其离散时间傅立叶变换定义为： ∑∞

-∞

=-=

=n n

j j e

n x n x F e X ωω)()]([)( （1）

假设序列x (n )在N n n n ≤≤1(即不一定在[0, N -1])有N 个样本，要估计下列各点上的X (e j ω)：

M k k M

k ...,2,1,0==

，　π

ω

它们是[0,π]之间的(M +1)个等间隔频点，则（1）式可写成： M k n x e

e X N

l l kn M

j

j l

...,2,1,0)()(1==∑=-，　πω

（2）

将{x (n l )}和{X (e j ωk

)}分别排列成向量x 和X ，则有：

X=Wx （3） 其中W 是一个(M +1)×N 维矩阵：

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧=≤≤=-M k n n n e N kn M j ...,2,1,0;1，　πW

将{k }和{n }排成列向量，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=n k W T M j πexp 在MA TLAB 中，把序列和下标排成行向量，对（3）式取转置得：

⎥

⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k n x X T T T M j πexp

其中n T k 是一个N ×(M +1)维矩阵。用MATLAB 实现如下：

k=[0:M]; n=[n1:n2];

X=x*(exp(-j*pi/M)).^(n ’*k); 2、离散傅立叶变换

一个有限长序列的离散傅立叶变换对定义为：

10,)()(1

0-≤≤=∑-=N k W n x k X N n nk N （4）

10,)(1

)(1

-≤≤=∑-=-N n W

k X N

n x N k kn N

（5）

以列向量x 和X 形式排列x (n )和X (k )，则式（4）、（5）可写成： X =W N x

可由下面的MA TLAB 函数dft 和idft 实现离散傅立叶变换运算。

function [Xk] = dft(xn,N)

% Computes Discrete Fourier Transform % ----------------------------------- % [Xk] = dft(xn,N)

% Xk = DFT coeff. array over 0 <= k <= N-1 % xn = N-point finite-duration sequence % N = Length of DFT %

n = [0:1:N-1]; % row vector for n k = [0:1:N-1]; % row vecor for k WN = exp(-j*2*pi/N); % Wn factor

nk = n'*k; % creates a N by N matrix of nk values WNnk = WN .^ nk; % DFT matrix

Xk = xn * WNnk; % row vector for DFT coefficients function [xn] = idft(Xk,N)

% Computes Inverse Discrete Transform % ----------------------------------- % [xn] = idft(Xk,N)

% xn = N-point sequence over 0 <= n <= N-1 % Xk = DFT coeff. array over 0 <= k <= N-1 % N = length of DFT %

n = [0:1:N-1]; % row vector for n k = [0:1:N-1]; % row vecor for k WN = exp(-j*2*pi/N); % Wn factor

nk = n'*k; % creates a N by N matrix of nk values WNnk = WN .^ (-nk); % IDFT matrix

xn = (Xk * WNnk)/N; % row vector for IDFT values

3、离散傅立叶变换的性质

（1）线性性质：)]([)]([)]()([2121n x bDFT n x aDFT n bx n ax DFT +=+

注意：若x 1(n )和x 2(n )分别是N 1点和N 2点的序列，则选择N 3= max (N 1, N 2)，将它们作N 3点DFT 处理。

（2） 周期性：离散傅立叶变换(DFT)是周期序列DFS 取主值区间形成的，因此序列)(n x 及其DFT )(k X 具有特性)()(n x n N x -=-和)()(k X k N X -=-。通常将结果1~12/-+N N 间的)(k X 量值表示在k 的负值区间。

（3）对称性：实序列)(n x 的离散傅立叶变换可以表示为)()()(k jX k X k X i r +=，其中实部为偶对称，虚部为奇对称，幅值)()()(22k X k X k X i r +=为偶对称，相位)

()

(arctan )(k X k X k r i =ϕ为奇对称。

根据上述关系，对于实序列)(n x ，则有)()(k X k N X =-*；对于纯虚序列)(n x ，则有

)()(k X k N X -=-*。

三、实验内容