粗糙集的五类拟阵结构

粗糙集的五类拟阵结构

粗糙集理论是一种处理模糊和不确定知识的数学工具，利用已知的知识库，通过上近似算子和下近似算子来近似刻画和处理不精确的知识。它已经被广泛应用于医学、机器学习、决策分析、智能控制等领域，特别是在数据挖掘领域，获得了巨大的成功。

粗糙集理论对数据挖掘技术的多个步骤提供了理论上的指导和支持，例如数据预处理、属性约简、属性值约简和规则处理。粗糙集理论中的属性约简是一个NP难问题，在具有巨大、动态、多维、异构的大数据面前，单纯地使用粗糙集理论不一定能有效地解决实际问题。

而拟阵是解决NP难问题的一种重要工具，其已被广泛地应用到Greedy算法，许多最优化问题从拟阵出发得到了发展和推广。因此，为解决粗糙集中属性约简的最优解问题，将粗糙集理论和拟阵理论相结合有着非常重要的意义。

本论文建立了粗糙集的五类拟阵结构，并对其进行了系统深入的研究。首先创建了经典粗糙集的划分圈拟阵，继而诱导出了它的两个推广模型：经典粗糙集的含参拟阵和广义粗糙集的不交圈拟阵；然后建立了经典粗糙集的划分圈拟阵的对偶拟阵：广义粗糙集的2-圈拟阵；最后，突破了关系的限制建立了广义粗糙集的邻域拟阵。

(1)经典粗糙集的划分圈拟阵。建立了以等价关系对论域构成的划分为极小圈集族的经典粗糙集的划分圈拟阵，证明了经典粗糙集的划分圈拟阵的独立集集族是由下近似为空集的子集组成的，定义了一个量化工具：下近似数，研究了其与已存在的上近似数之间的关系，并利用这两个工具对经典粗糙集的划分圈拟阵及其对偶拟阵做了进一步的刻画。

(2)经典粗糙集的含参拟阵。通过引入一个参数(论域的任一子集)，将下近似拓宽到参数内的子集构成了一个拟阵的独立集集族，这个拟阵称为经典粗糙集的含参拟阵。

事实上，经典粗糙集的含参拟阵并非一种简单的推广模型，它可由一个经典粗糙集的划分圈拟阵和一个自由拟阵的直和表示。在此基础上，下近似数对经典粗糙集的含参拟阵做了进一步的描述。

(3)广义粗糙集上的不交圈拟阵。作为经典粗糙集的划分圈拟阵的又一推广模型，它是将等价关系推广为序-传递关系，以关系的极小邻域族为极小圈集族的拟阵结构。

作为经典粗糙集的划分圈拟阵的另一推广模型，经典粗糙集的含参拟阵与广义粗糙集的不交圈拟阵之间的关系进行了讨论。同时，为了深入的了解广义粗糙集的不交圈拟阵，建立了拟阵的Ⅰ类粗糙集。

(4)广义粗糙集的2-圈拟阵。证明了基于序关系上的可定义集族满足拟阵的闭集公理，尤其是，基于自反关系上的可定义集族在经过各种闭包之后保持不变。

基于此，证明了基于自反关系的广义粗糙集的2-圈拟阵的闭包算子恰是这个关系的等价闭包的上近似算子，继而描述了其与经典粗糙集的划分圈拟阵的对偶性。(5)广义粗糙集的邻域拟阵。

无论是经典粗糙集的划分圈拟阵、含参拟阵，还是广义粗糙集的不交立圈拟阵、2-圈拟阵，他们的关系最弱也要求是序关系。突破了关系限制的局限，通过关系邻域的概念，建了基于任意关系的广义粗糙集的两个拟阵：前继邻域拟阵和后继邻域拟阵，并证明了由一个关系诱导出的前继邻域拟阵恰是由这个关系的逆诱导出的后继邻域拟阵。