拉格朗日插值多项式
拉格朗日插值法
优点与缺点
拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中， 当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整 个公式都会变化，非常繁琐。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代 替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因 此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在 附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差（如右下图）。这类现象也被称为龙 格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。
为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：
。 拉格朗日基本多项式 为0。
的特点是在
上取值为1，在其它的点
上取值
范例
假设有某个二次多项式函数 ，已知它在三个点上的取值为：
要求 的值。 首先写出每个拉格朗日基本多项式：
然后应用拉格朗日插值法，就可以得到 的表达式（ 为函数 的插值函数）：
此时代入数值
拉格朗日插值法
Lagrange polynomial 维基百科，自由的百科全书
定义
对某个多项式函数，已知有给定的 个取值点：
其中 对应着自变量的位置，而 对应着函数在这个位置(每一个y值都不等于0)的取 值。 假设任意两个不同的 都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗 日插值多项式为：
其中每个
就可以求出所需之值：
。
证明
存在性 对于给定的k+1个点： ，拉格朗日插值法的思路是找到一个 在一点 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式 。这样，多项式
在点 满足 取值为 ，而在其他点取值都是 0。而多项式 就可以
在其它点取值为0的多项式容易找到，例如： 它在点 取值为： 。由于已 经假定 两两互不相同，因此上面的取值不等于 0。于是，将多项式除以这个取 值，就得到一个满足“在 取值为1，而在其他点取值都是0的多项式”：
是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数
是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数n次拉格朗日插值多项式是一个基于数据集合X=[x_0,x_1,...,x_n]和Y=[y_0,y_1,...,y_n]利用n+1个各自有不同x值的点之间的插值多项式方法，通过求解可是构造出一个精确拟合数据点y值的多项式表达函数。
1. 简介n次拉格朗日插值多项式是基于拉格朗日插值得出的曲线，拉格朗日插值在拟合Y值的曲线上的点的X值并不相等，而是分别为x_0，x_1...x_n的n+1个点，然后通过反推出拟合度更高的曲线，在拉格朗日插值的基础上使用了n+1次多项式来拟合原始数据，从而得出n次拉格朗日插值多项式。
2. 公式n次拉格朗日插值多项式的插值表达式为：P_n(x)=∑_(i=1)^n▒L_i(x)y_i其中，L_i是拉格朗日插值基函数：L_i(x)=∏_(j=0,j≠i)^n▒(x-x_j) / (x_i-x_j)3. 特点（1）n次拉格朗日插值多项式的拟合精度比一般的拉格朗日插值要高。
（2）在拉格朗日插值的基础上，使用较高的多项式对原始数据进行插值并得出精确的拟合曲线，在保证拟合能力的前提下，由于多项式的次数少，可以极大简化算法。
（3）n次拉格朗日插值多项式可以用多种数值方法求解。
（4）n次拉格朗日插值多项式具有浮点数误差约束，在计算拟合曲线时不容易出现“走样”现象。
4. 应用（1）n次拉格朗日插值多项式的应用比较广泛，广泛应用于工程、物理和统计数据分析中。
（2）n次拉格朗日插值多项式在拟合曲线时具有较高的精度，可以用于曲线的更精细拟合，如在能量谱线拟合、测量实验等多项偏差曲线拟合中有很强的性能。
（3）n次拉格朗日插值多项式可以用于任意类型的变量插值，如在递推法计算中，n次拉格朗日插值多项式可以在递推过程中进行优化，从而提高计算效率。
拉格朗日多项式插值法
拉格朗日多项式插值法
拉格朗日多项式插值法是通过构造一个多项式函数来逼近原函
数的一种方法。
它的基本思想是，给定一个函数在不同点上的取值，通过构造一个多项式函数，使其在这些点上与原函数取值相同，从而得到一个逼近函数。
具体地，拉格朗日多项式插值法的步骤如下：
1. 给定一组数据点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$，其中$x_i$为自变量，$y_i$为因变量。
2. 构造拉格朗日基函数$L_i(x)$，定义为：
$$L_i(x)=prod_{j=1,j
eq i}^nfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$$
其中，$i=1,2,...,n$。
这里的基函数$L_i(x)$可以看作是在每个数据点处都为1，而在其他点处都为0的一个函数，具有良好的插值性质。
3. 构造拉格朗日插值多项式$p(x)$，定义为：
$$p(x)=sum_{i=1}^n y_iL_i(x)$$
这个多项式函数就是通过拉格朗日基函数和数据点的取值所构
造出来的逼近函数，它在每个数据点处都与原函数取值相同。
4. 利用插值多项式$p(x)$进行求解。
拉格朗日多项式插值法是一种简单而有效的插值方法，它可以用于求解函数值、导数、积分等问题，并被广泛应用于科学、工程等领域。
- 1 -。
52第二节 拉格朗日插值多项式
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( t ) f ( t ) Ln ( t ) K ( x ) n1 ( t )
由式
n+1(xk)=0 和式 Ln(xk)=yk( k=0,1,…,n ),以及
Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) K ( x ) n1 ( x )
O
l1 ( x) x1 x
O
x0
x0
x1 x
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n=2时的二次基函数及图形为 ( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) , l1 ( x ) , ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )
可知：x0 , x1, , xn 和x 是(t)在区间[a,b]上的n+2个 互异零点, 因此根据罗尔(Rolle)定理, 至少存在一点 =(x) (a,b),使 ( n 1) f ( ) ( n1) 即 K ( x) ( ) 0 ( n 1)! ( n 1) f ( ) 所以 Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n 1 ( x )
1 3 | ( x 2)( x 2.5)( x 4) | 6 8 1 3 | R(3) || f (3) L2 (3) | | (3 2)(3 2.5)(3 4) | 6 8 0.03125
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例4 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487 有6位有效数字。 (1) 用线性插值求sin0.33的近似值； (2) 证明在区间[0.32, 0.34]上用线性插值计算sinx时 至少有4位有效数字. 解 （1）用线性插值 0.33 0.34 sin 0.33 L1 (0.33) 0.314567 0.32 0.34 0.33 0.32 1 0.333487 (0.314567 0.333487) 0.34 0.32 2 0.324027
拉格朗日插值多项式
拉格朗日插值多项式
拉格朗日插值多项式是根据一组给定的数据点，利用拉格朗日插值法求出的拟合多项式。
拉格朗日插值法是一种求解插值问题的方法，它是由法国数学家拉格朗日在18次世界数学家大会上提出的。
拉格朗日插值法的基本思想是：将插值多项式看作是一个多元函数，它的值在给定的数据点处等于给定的数据值，并且在其他点上满足拉格朗日插值准则。
拉格朗日插值多项式的优点是：
1. 它可以用于拟合任意类型的函数，而不仅仅是线性函数；
2. 它可以得到更高的准确度，因为它可以根据不同的数据点来调整多项式的形式；
3. 它可以得到更平滑的曲线，因为它可以根据不同的数据点来调整多项式的形式；
4. 它可以用于处理离散数据点，而不仅仅是连续数据点。
拉格朗日插值多项式的缺点是：
1. 它的计算量较大，因为它需要解决一个多项式的拟合问题；
2. 它可能会得到不稳定的拟合结果，因为它的多项式形式可能会受到数据点的影响；
3. 它不能处理缺失的数据点，因为它需要给定的数据点来调整多项式的形式。
拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式
拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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拉格朗日基函数如何构造
拉格朗日基函数如何构造拉格朗日基函数是数学分析领域中的重要概念，它在插值和逼近问题中具有广泛的应用。
本文将介绍拉格朗日基函数的构造方法以及其在实际问题中的应用。
拉格朗日基函数是一组多项式函数，用于描述插值问题中的待定函数。
它的构造方法是通过选择一组特定的节点，并构造与这些节点相关联的多项式函数。
具体地说，假设我们有n个节点x1, x2, ..., xn，我们的目标是找到一个多项式函数P(x)，使得P(xi)等于给定的函数值yi。
为了满足这个条件，我们可以构造n个拉格朗日基函数Li(x)，每个函数都满足Li(xi)=1，Li(xj)=0（j≠i）的性质。
然后，我们将这些基函数与对应的函数值yi相乘，并将它们相加，得到插值函数P(x)。
拉格朗日基函数的构造可以通过拉格朗日插值多项式来实现。
拉格朗日插值多项式是一个n次多项式，由n个基函数相加得到。
每个基函数Li(x)都是一个n次多项式，满足Li(xi)=1，Li(xj)=0（j≠i）的性质。
具体地说，拉格朗日插值多项式可以表示为：P(x) = y1L1(x) + y2L2(x) + ... + ynLn(x)其中，Li(x)可以表示为：Li(x) = (x - x1)(x - x2)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x1)(xi - x2)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)通过构造这样的基函数，我们可以通过给定的节点和函数值，得到一个满足插值条件的多项式函数P(x)。
拉格朗日基函数的构造方法简单而直观，使得它在实际问题中得到了广泛的应用。
例如，在数值计算中，拉格朗日插值多项式可以用来逼近复杂函数的近似值，从而简化计算过程。
在图像处理中，拉格朗日插值多项式可以用来放大或缩小图像，保持图像的质量。
在机器学习中，拉格朗日插值多项式可以用来构造分类器或回归模型，从而实现对数据的拟合和预测。
高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式
高等数值分析拉格朗日插值多项式切比雪夫高斯龙格现象复合梯形辛普森求积公式解答：1.拉格朗日插值函数：function y=lagrange (a,b,x)y=0;if length(a)==length(b)n=length(a);else disp('ERROR!length(a)!=length(b)')return;endfor i=1:nk=1;for j=1:nif j~=ik=k.*(x-a(j))/(a(i)-a(j));endendy=y+k*b(i);end2.问题（a）：function Q_am=100;n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end3.问题（b）：function Q_bm=100;n=10;x=zeros(1,n+1);for i=1:n+1x(i)=cos((2*i-1)*pi/(2*n+2)); endy=1./(1+9*x.^2);x0=-1:2/m:1;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+9*x0.^2);plot(x0,y0,'--r');hold on;plot(x0,y1,'-b');end4.问题（c）：main.m（m文件）figure(1)Q_a()figure(2)Q_b()syms xy=1/(1+9*x^2);I0=int(y,-1,1);%准确值n=10;x=-1:2/n:1;y=1./(1+9*x.^2);I1=trapz(x,y);%复合梯形x0=zeros(1,n);for i=1:nx0(i)=(x(i)+x(i+1))/2;endy0=2/n*1./(1+9*x0.^2);I2=I1/3+2*sum(y0)/3;%复合辛普森x1=[-0.5384693101 0.5384693101 -0.9061798459 0.9061798459 0];y1=1./(1+9*x1.^2);A=[0.4786286705 0.4786286705 0.2369268851 0.2369268851 0.5688888889]; I3=y1*A'; %高斯5总结：(1).使用等距节点构造的高次拉格朗日插值多项式在正负1附件，插值值与真实值偏差非常大，存在较大的震荡。
供电工程插值法计算公式
供电工程插值法计算公式插值法是一种常用于在数据集中进行估计或近似的方法。
在供电工程中，插值法常用于计算电力系统中电压、电流、功率等参数的值。
以下是供电工程中常见的插值法计算公式：1. 线性插值法线性插值法是一种简单的插值方法。
假设有两个数据点(x1, y1)和(x2, y2)，并且要在这两个数据点之间估计一个新的数据点(x, y)。
那么，线性插值法的计算公式如下：y = y1 + (y2-y1)/(x2-x1) * (x-x1)2. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种多项式插值方法，可以用于任意数量的数据点。
假设有n个数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)，并且要在这些数据点之间估计一个新的数据点(x, y)。
那么，拉格朗日插值法的计算公式如下：y = ∑i=1n yi * li(x)其中，li(x)是拉格朗日插值多项式的第i项，它的计算公式如下：li(x) = ∏j=1,j≠i n (x-xj)/(xi-xj)3. 样条插值法样条插值法是一种基于插值多项式的方法，可以产生一条光滑的曲线，而不是像线性插值和拉格朗日插值一样产生尖锐的拐点。
假设有n个数据点(x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)，并且要在这些数据点之间估计一个新的数据点(x, y)。
那么，样条插值法的计算公式如下：y = Si(x)其中，Si(x)是样条函数的第i段，它的计算公式如下：Si(x) = ai + bi(x-xi) + ci(x-xi)2 + di(x-xi)3 其中，ai, bi, ci, di是样条函数的系数，可以通过求解一个线性方程组得到。
以上是供电工程中常用的插值法计算公式，可以根据不同的数据集和需求选择合适的方法进行计算。
拉格朗日插值多项式的原理介绍及其应用
拉格朗⽇插值多项式的原理介绍及其应⽤ 插值，不论在数学中的数值分析中，还是在我们实际⽣产⽣活中，都不难发现它的⾝影，⽐如造船业和飞机制造业中的三次样条曲线。
那么，什么是插值呢？我们可以先看⼀下插值的定义，如下： （定义）如果对于每个1≤i≤n,P(x i)=y i,则称函数y=P(x)插值数据点(x1,y1),...,(x n,y n). 插值的定义⽆疑是清楚明了的，⽽在众多的数学函数中，多项式⽆疑是最简单，最常见的函数，关于它的理论研究也最为透彻。
因此，我们可以不妨先考虑利⽤多项式来进⾏插值。
那么，这样的多项式是否总是存在呢？答案是肯定的，因为我们有如下定理： （多项式插值定理）令(x1,y1),...,(x n,y n)是平⾯中的n个点，各x i互不相同。
则有且仅有⼀个n−1次或者更低的多项式P满⾜P(x i)=y i,i=1,2,...,n. 证明:先⽤归纳法证明存在性，再证明唯⼀性。
当n=1时，常函数(0次)P1(x)=y1即符合要求。
假设当n−1时存在⼀个次数≤n−2的多项式P n−1,使得P n−1(x i)=y i,i=1,2,...,n−1.则令P n(x)=P n−1(x)+c(x−x1)(x−x2)...(x−x n−1)(x−x n)，其中c为待定系数，利⽤P n(x n)=y n即可求出待定系数c.此时，P n(x i)=y i,i=1,2,...,n,且P n(x)的次数≤n−1.这样就证明了存在性。
其次证明唯⼀性。
假设存在两个这样的多项式，设为P(x)和Q(x)，它们次数≤n−1且都插值经过n个点，即P(x i)=Q(x i)=y i,i=1,2,...,n.令H(x)=P(x)−Q(x),H的次数也≤n−1，且有n个不同的根x1,x2,...,x n.因此，由多项式基本定理可知，H(x)为0多项式，即恒等于0，故有P(x)=Q(x).这样就证明了存在性。
证毕。
拉格朗日(Lagrange)插值
18
x1 x2 利用 x0 = π , x1 = π L1 ( x ) = x π / 4 × 1 + x π / 6 × 1 6 4 π / 6 π / 4 2 π / 4 π / 6 2 π sin 50 0 ≈ L1 ( 5 ) ≈ 0.77614 这里 f ( x) = sin x , f (2) (ξ x ) = sinξ x , ξ x ∈(π , π ) 内插通常优于外插。 ) 18 内插通常优于外插。2选择 6 3 ( f (ξ x ) 而 1要计算的3x 所在的区间的x π )( x π ) , R1 ( x) = ( < sinξ x < 2 2 2! 6 4 端点，插值效果较好。 端点，插值效果较好。 sin 50° = 0.7660444… 0.01319 < R1 ( 5π ) < 0.00762 18
+1)
( n + 1) ! Nhomakorabeax
Rn ( x) =
(n + 1) !
∏( x x )
i i =0
注：
M n +1 n 作为误差估计上限。 将 ( n + 1)! ∏ | x x i | 作为误差估计上限。 i =0
通常不能确定 ξx , 而是估计
f ( n + 1 ) ( x ) ≤ M n + 1, x∈(a,b) ∈
这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 Lagrange插值多项式计算量大 注: 这样求Lagrange插值多项式计算量大，不便于实际应用。 过两点直线。 一次多项式插值 --- 过两点直线。 过三点抛物线。 二次多项式插值 --- 过三点抛物线。 则插值多项式不唯一 不唯一。 若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。
数值分析中的插值方法
数值分析中的插值方法在数值分析中，插值是一种通过在已知数据点之间估计未知数据点的方法。
它是一种常见的数据处理技术，用于填补数据间的空白，揭示数据间的关联性，或者建立数据模型。
在本文中，我们将讨论数值分析中的几种常见的插值方法。
一、拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
假设有n个离散数据点，我们想要在这些点之间插值得到未知数据点的值。
拉格朗日插值可以通过构建一个n次多项式来实现。
例如，给定三个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，我们可以假定插值多项式为：P(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + y2 * L2(x)其中，L0(x)，L1(x)，L2(x)是拉格朗日插值多项式的基函数，由以下公式得到：L0(x) = (x - x1) * (x - x2) / ((x0 - x1) * (x0 - x2))L1(x) = (x - x0) * (x - x2) / ((x1 - x0) * (x1 - x2))L2(x) = (x - x0) * (x - x1) / ((x2 - x0) * (x2 - x1))利用这些基函数，我们可以得到插值多项式P(x)，从而计算出未知点的值。
二、牛顿插值牛顿插值是另一种常见的插值方法，也是基于多项式的。
与拉格朗日插值不同的是，牛顿插值使用了差商的概念来构建插值多项式。
差商是一种表示数据间差异的指标，它可以用于计算插值多项式的系数。
对于n个数据点，差商可以由以下递归公式计算得到：f[x0] = f(x0)f[x0, x1] = (f[x1] - f[x0]) / (x1 - x0)f[x0, x1, ..., xn] = (f[x1, x2, ..., xn] - f[x0, x1, ..., xn-1]) / (xn - x0)基于差商，我们可以得到牛顿插值多项式的表达式：P(x) = f[x0] + f[x0, x1] * (x - x0) + f[x0, x1, x2] * (x - x0) * (x - x1) + ...利用牛顿插值，我们可以通过已知数据点构建插值多项式，进而估计未知点的值。
多项式的拉格朗日定理
多项式的拉格朗日定理多项式的拉格朗日定理，也称为拉格朗日插值定理，是多项式插值的一个重要定理。
它提供了一种在给定一组点上构造插值多项式的方法。
拉格朗日定理的核心思想是通过一组已知的点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\ldots,(x_n,y_n)$，可以找到一个唯一的多项式$P(x)$，使得$P(x_i)=y_i$对于$i=1,2,\ldots,n$成立。
具体来说，拉格朗日定理指出，插值多项式$P(x)$可以通过以下形式构建：$$P(x)=\sum_{i=1}^n y_i \prod_{j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$其中，$\prod_{j\neq i}$表示对所有$j\neq i$的项进行乘积运算。
这个定理的意义在于，它提供了一种简单而有效的方法来构建插值多项式。
通过给定一组点的坐标，我们可以使用拉格朗日定理计算出插值多项式的系数，从而得到一个通过这些点的多项式。
拉格朗日插值在许多领域都有广泛的应用，例如数值分析、数学建模和计算机图形学等。
它可以用于逼近函数、计算函数值、进行数值积分等。
然而，需要注意的是，拉格朗日插值也存在一些局限性。
例如，在高次插值时可能会出现龙格现象，即插值多项式在某些点上可能出现不稳定或不准确的情况。
因此，在实际应用中，需要根据具体问题的需求和特点选择合适的插值方法。
此外，还有其他插值方法，如牛顿插值、样条插值等，它们在某些情况下可能比拉格朗日插值更适合。
因此，在选择插值方法时，需要综合考虑准确性、稳定性和计算效率等因素。
总的来说，多项式的拉格朗日定理是插值理论中的重要概念，它为在给定数据点上构建插值多项式提供了一种基本方法。
但在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法，并谨慎处理可能出现的问题。
excel 拉格朗日插值公式 ilint
excel拉格朗日插值公式ilint 在Excel中使用拉格朗日插值公式ilint进行数据插值是一种常见的方法，可以通过这种方法来估算未知数据点的值。
拉格朗日插值是一种多项式插值方法，利用已知数据点的函数值来构造一个多项式，通过插值计算出其他点的值。
在Excel中，我们可以通过逐步计算插值多项式的方式来实现拉格朗日插值。
首先，我们需要准备已知的数据点，通常包括自变量和因变量。
然后，我们可以通过以下步骤来计算插值多项式：
1.计算拉格朗日插值基函数
在Excel中，我们可以通过编写公式来计算拉格朗日插值基函数。
基函数的公式为：
L(x)=∏(x-xi)/∏(xi-xj)，其中i≠j
2.计算插值多项式的系数
根据已知数据点和基函数，我们可以计算出插值多项式的系数。
系数的计算需要将基函数代入多项式的形式，然后利用线性代数的方法解方程组得到。
3.插值计算
通过插值多项式的系数，我们可以得到未知数据点的估算值，从而完成数据的插值计算。
在Excel中，我们可以通过使用函数和公式的方式来实现拉格朗日插值计算，这样可以节省时间并提高工作效率。
同时，也可以通过插值结果来进行数据分析和预测，帮助我们更好地了解数据之间的关系。
总的来说，Excel中的拉格朗日插值方法可以帮助我们方便、快速地进行数据插值计算，是一种实用的数据分析工具。
如果我们掌握了这种方法，就能更好地应对数据处理和分析的挑战，提高工作效率和准确性。
希望以上内容能对你有所帮助。
5 多项式插值的拉格朗日方法
j 0 j i
n
x xj xi x j
在[ , ]上反复使用罗尔定理
( , )
( n1)
( ) 0
即R( n1) ( ) ( x)(n 1)! 0
即f
( ) ( x)(n 1)! 1 ( n 1) ( x) f ( ) (n 1)!
( n 1)
简略记号
若记 则 wn 1 ( x) ( x xi )
i 0 n
wn 1 ( x) li ( x) ( x xi ) w'n 1 ( xi )
n
Pn ( x) Ln ( x) f ( xi )li ( x)
i 0
Ln (x)称为拉格朗日插值多项 式
拉格朗日插值多项式余项估计
定理2.1设f ( x)在[a, b]n阶可微，f ( n 1) ( x), xi [a, b], f ( xi ) yi (i 0,1 n), Pn ( x)为插值多项式 Rn ( x) f ( x) Pn ( x) 则x [a, b], (min{x0 , xn }, max{x0 , xn }) ( , )
记 l0 ( x0 ) l0 ( x1 ) C l (x ) 0 n ln ( x0 ) ln ( x1 ) l n ( xn )
分析（一）
若C为单位阵，则 k f ( xk )，k 0,1n a
相同的插值节点(节点互不相同)和插值条件下,拉格朗日栖值多项式和牛顿插_值多项式
相同的插值节点(节点互不相同)和插值条件下,拉格朗日栖值多项式和牛顿插值多项式1. 引言1.1 概述在数值计算和数据分析领域中，插值是一种常用的方法。
通过已知的离散数据点，可以使用插值方法来构造一个连续函数，并且可以根据这个函数来估计未知数据点的值。
拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式是两种常见的插值方法。
1.2 文章结构本文将首先介绍拉格朗日插值多项式，包括其定义和性质。
然后，我们将探讨使用拉格朗日插值多项式进行数据拟合的优缺点。
接着，文章将介绍牛顿插值多项式的原理以及与牛顿差商的关系。
我们还会评估使用牛顿插值多项式进行数据拟合时的优缺点。
在进一步分析过程中，我们将专注于相同节点但互不相同的插值条件下拉格朗日和牛顿插值方法之间的比较。
具体而言，我们将分析它们在插值误差、多项式次数要求以及计算复杂度方面的不同表现。
最后，在本文的结论部分，我们将总结拉格朗日和牛顿插值方法的特点和应用场景，并对相同节点但互不相同的插值条件下两种方法的比较结果进行总结。
此外，我们还将展望未来在该领域的研究方向和发展趋势。
1.3 目的本文的目的是深入探讨拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式这两种常用的插值方法。
通过比较它们在相同节点但互不相同的插值条件下的性能表现，我们可以更好地理解它们各自的优缺点和适用场景。
希望本文能为读者提供一个清晰全面的了解，以便在实际应用中选择合适的插值方法。
2. 拉格朗日插值多项式：2.1 插值原理拉格朗日插值多项式是一种常用的插值方法，用于通过已知数据点的函数值在给定节点处进行数据拟合。
该方法的基本原理是构造一个多项式函数，使其经过所有已知节点，并且在每个节点处与给定的函数值相等。
2.2 拉格朗日插值多项式的定义和性质拉格朗日插值多项式定义为：$$L(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_i) \cdot l_i(x)$$其中，$f(x_i)$表示已知数据点在节点$x_i$处的函数值，$l_i(x)$为拉格朗日基函数，满足以下性质：$$l_i(x) = \prod_{j \neq i}^{} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$这些基函数具有零除法修正因子，确保了分母不为零，并且只在对应节点$x_i$处取到1，在其他节点处均为0。
多项式插值与拉格朗日插值
多项式插值与拉格朗日插值多项式插值是数值分析领域中常用的一种插值方法，它可以通过已知的数据点，构造出一个多项式函数来逼近未知的函数曲线。
而拉格朗日插值则是多项式插值的一种特殊形式，它通过构造拉格朗日基函数来进行插值计算。
本文将对多项式插值与拉格朗日插值进行详细介绍与比较。
一、多项式插值多项式插值的基本思想是通过已知的数据点来构造一个经过这些点的多项式函数，然后使用该多项式函数来近似未知的函数曲线。
多项式插值可以通过以下的步骤来实现：1. 收集数据：根据需要，收集一组已知数据点，记为{(x0, y0), (x1,y1), ... , (xn, yn)}，其中xi为已知数据点的横坐标，yi为对应的纵坐标。
2. 构造多项式：根据已知数据点，构造一个多项式函数P(x)，使得P(xi) = yi。
构造多项式的常用方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
3. 进行插值计算：使用构造的多项式函数P(x)来进行未知数据点的估算。
可以通过代入未知横坐标得到对应的纵坐标值。
多项式插值的优点是简单易懂，计算效率较高。
但当插值点较多时，多项式插值可能会出现龙格现象，导致插值曲线的振荡现象。
二、拉格朗日插值拉格朗日插值是多项式插值的一种特殊形式，它通过构造拉格朗日基函数来进行插值计算。
拉格朗日插值的具体步骤如下：1. 收集数据：同多项式插值一样，根据需要，收集一组已知数据点。
2. 构造拉格朗日基函数：对于已知数据点{(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)}，构造n次的拉格朗日基函数Li(x)，公式如下：Li(x) = Π[j=0, j≠i, n]((x - xj) / (xi - xj))其中n为已知数据点的个数，i为当前基函数的索引。
3. 构造插值函数：将拉格朗日基函数与对应的纵坐标相乘，并求和，即可得到插值函数，公式如下：P(x) = Σ[i=0, n](Li(x) * yi)拉格朗日插值的优点是插值计算简单明了，不需要再进行额外的计算步骤。
拉格朗日插值法原理
拉格朗日插值法原理：
拉格朗日插值法是一种多项式插值方法。
拉格朗日插值法是离散数学中进行曲线拟合的基本方法（即在工程实际中，我们所得到的结果往往是离散的点，而若想把这些离散的结果作为先验条件得到其他点就需要进行多项式拟合）。
其主要思想如下：
能找到一条曲线记为f，使其能穿过其中一个离散点(f(xa)=ya)并在其他离散点上的值为0（f(xb)=0）,则我们如果能找到每一点对应的曲线f,将其相加就可以得到一个能经过所有离散点的曲线F，我们认为F则为这些离散点的拟合多项式。
运用拉格朗日插值法需要注意：
1.拉格朗日插值法其找到的曲线是经过所有离散点的，因此对于偏离值无法进行剔除，很容易出现过拟合的现象，因此在实际工程应用中需要剔除偏移量。
2.拉格朗日插值法拟合n阶多项式至少需要n+1个点（公式推一下就可以知道，这里不在详述）
3.随阶数的增大拉普拉斯拟合法的时间复杂度成指数递增，我们不是数学家，不需要对原理进行优化，我的建议是试试异构（GPU+CPU混合编程会简单很多）。
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{scanf("%lf",&z[i].x);
scanf("%lf",&z[i].y);
}
printf("Input x:\n");
scanf("%lf",&x);
for(k=0;k<M;k++)
{p=1;
for(j=0;j<M;j++)
if(j!=k)
p=p*(x-z[j].x)/(z[k].x-z[j].x);
0i≠k
的一组n次的代数多项式l0(x)、l1(x)、…、ln(x)作为上述线性空间的基，容易看出
y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)=∑yklk(x) (3)
必是一个不高于n次的代数多项式，而且它在节点x0、x1、…、xn上的值依次是y0、y1、…、yn也就是说，由n+1个n次代数多项式y0l0(x)、y1l1(x)、…、ynln(x)线性生成的多项式（3），就满足插值条件（1）的n次插值多项式。
sum=sum+p*z[k].y;
}
printf("The result is %lf\n",sum);
getch();
}
1.3499
1.4918
1.6487
…
试求e0.285的近似值。
附：
#define M5
struct data
{double x;
double y;
};
main()
{int i,j,k;
double x,sum=0,p;
struct data z[M];
printf("Your data:\n");
数值计算方Leabharlann 上机报告拉格朗日插值多项式
学院：计算机与通信学院
班级：计算机科学与技术05级3班
姓名：柴小辉
学号：05240326
尽管满足插值条件Pn(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)(1)的n次插值多项式是唯一的，然而它的表达式却可以有多种形式。如果取满足条件
1 i＝k
lk(xi)=(i=0,1,2,…,n)(2)
满足条件（2）的n次代数多项式lk(x)（k=0,1,2…,n），称为在n+1个节点xi（i=0,1,2,…,n）上的n次基本插值多项式；形如（3）的插值多项式称为拉格朗日插值多项式，记作Ln(x),即
(4)
其中基函数
例给定函数表如下：
x
…
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
…
ex
…
1.1502
1.2214