第十一章非正弦周期信号
周期性非正弦量及其分解
2 Um
T t
(b)
(c)
图7.4 波形的分解
电工基础
f (t) a0 (ak cos kt bk sin kt)
k 1
，
f (t) Am 0 T Tt
2
比较两式，要满足奇函数的条件，必须有
a0 0 ak 0
所以，奇函数的傅里叶级数中只含有正弦项，不含直流分量和余
弦项。可表示为
f (t) bk sin kt k 1
周期性非正弦量及其分解
a0 ak bk 为傅里叶系数，可按下列公式求得
a0
1 T
T
f (t)dt
1
0
2π
2π
f (t)d(t)
0
ak
2 T
T f (t) cos ktdt 1
0
π
2π
f (t) cos ktd(t)
0
2
bk T
T f (t)sin ktdt 1
0
π
2π
f (t)sin ktd(t)
0
周期性非正弦量及其分解
设周期函数 f (t)的周期为T，角频率 2π T ，则 f (t) 分解为傅里
叶级数为
f (t) A0 A1m sin(t 1) A2m sin(2t 2 ) Akm sin(kt k )
A0 Akm sin(kt k ) k 1
用三角公式展开，上式又可写为
电工基础
周期性非正弦量及其分解
1.1 周期性非正弦量的产生
1.电源电压为非正弦电压
交流发电机受内部磁场分布和结构等因素的影响，所产生的 电动势为周期性非正弦量。因此，非正弦电动势在线性电路中所 产生的电流波形，也将是非正弦的。
第十一章 非正弦周期信号激励下电路的稳态分析
b
U1 500 V
则：
U1 500 I1 A 4.7 19.6 A Z ab1 10.619.6
2
Ue jn1t dt
2
T 若 ，则可得 4
Fn (n1 )
sin n U 4 U (n1 ) 4 n 4
2
1
41
振幅频谱如图所示
(1) 周期信号的频谱图是一系列离散的谱线组成的， 所有谱线都出现在基波频率的整数倍的频率上。周 期信号的这种频谱称为离散频谱。
即：
f (t )
n
an jbn jn1t e Fn e jn1t 2 n
式中
an jbn An j n Fn e 2 2
an jbn 1 T Fn f (t ) (cos n1t j sin n1t )dt 2 T 0 1 T f (t )e jn1t dt T 0
u (t) t
2 2
T
0 u (t ) U 0
T 2
T t 2 2
2
t T 2
2
2
2
t
频谱函数为
1 U (n1 ) T
1 jn1t u (t )e dt T 2 T n1 jn1 j n sin 2 U e e 1 2 U 2 T jn1 T n1
称为振幅频谱，体现
Fn 幅值随 n1变化的关系，为偶函数。
(n1 ) 称为相位频谱，体现
非正弦周期信号及其分解
k =1 ∞
∑ = a0 + (ak cos kωt + bk sin kωt)
∫ bk
=
2 T
T
u(t) sin kωtdt
0
k =1
当k为奇数时： bk
=
4
kπ
∫ ∫ =
2(
1
sin kπtdt +
2
− sin kπtdt)
20
1
当k为偶数时： bk = 0
= − cos kπt 1 + cos kπt 2 = 2(1− cos kπ )
k =1
当k为奇数时： bk
=
4
kπ
当k为偶数时： bk = 0
u(t) = 4 (sin πt + 1 sin 3πt + 1 sin 5πt + ⋅⋅⋅ + 1 sin kπt + ⋅⋅⋅)
π
3
5
k
k为奇数
图示为周期电压u(t) 的一段波形，求u(t)的傅里叶级数。
u(V ) 1
基波+三次+ 五次谐波分量
∑ ∑ f (t) = A0 + Akm sin(kωt +θk ) = a0 + (ak cos kωt + bk sin kωt)
k =1
k =1
a0 = A0
ak = Akm sinθk bk = Akm cosθk
A0 Akm
= a0 =
ak2
+
bk2
θ
k
=
arctan
k =1
k =1
T
∫0 f (t) sin kωtdt
非正弦周期信号电路
瞬态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下的动态响应过程，包括电压、 电流的峰值、相位、波形等参数。
稳态分析
稳态分析是研究非正弦周期信号作用于电路时，电路 达到稳态后电压和电流的平均值或有效值。
稳态分析主要采用频域分析方法，通过将非正弦周期 信号进行傅里叶级数展开，转化为多个正弦波成分，
非正弦周期信号电路可以用于设计音频功率 放大器，将微弱的音频信号放大到足够的功 率以驱动扬声器或其他音频输出设备。
电力电子系统
逆变器
01
非正弦周期信号电路可以用于设计逆变器，将直流电转换为交
流电，以驱动电机、照明和加热等设备。
整流器
02
非正弦周期信号电路也可以用于设计整流器，将交流电转换为
直流电，以提供稳定的直流电源。
再对每个正弦波成分进行单独分析。
稳态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下 的稳态工作状态，包括平均功率、效率等参数。
频率响应分析
1
频率响应分析是研究非正弦周期信号作用于电路 时，电路在不同频率下的响应特性。
2
频率响应分析主要采用频域分析方法，通过测量 电路在不同频率下的输入输出特性，绘制频率响 应曲线。
生物医学工程
在生物医学工程中，非正 弦周期信号用于刺激或记 录生物体的电生理信号。
02
非正弦周期信号电路的基本 元件
电感元件
电感元件是利用电磁感应原理制 成的元件，其基本特性是阻碍电
流的变化。
当电感元件的电流发生变化时， 会在其周围产生磁场，储存磁场
能量。
电感元件的感抗与频率成正比， 因此对于非正弦周期信号，电感 元件会对其产生较大的阻碍作用。
非正弦周期信号
实验一、非正弦周期信号的分解与合成一、实验目的1、用同时分析法观测50Hz 非正弦周期信号的频谱，并与其傅里叶级数各项的频率与系数作比较。
2、观测基波和其谐波的合成。
二、实验设备1、信号与系统实验箱（参考型号：TKSS —B 型）2、双踪示波器三、实验原理1、一个非正弦周期函数可以用一系列频率成整数倍的正弦函数来表示，其中与非正弦函数具有相同频率的成分称为基波或一次谐波，其它成分则根据其频率为基波频率的2、3、4、┅、n 等倍数分别称二次、三次、四次、┅、n 次谐波，其幅度将随谐波次数的增加而减小，直至无穷小。
2、不同频率的谐波可以合成一个非正弦周期波，反过来，一个非正弦周期波也可以分解为无限个不同频率的谐波成分。
3、一个非正弦周期函数可用傅里叶级数来表示，级数各项系数之间的关系可用一个频谱来表示，不同的非正弦周期函数具有不同的频谱图。
例如，方波的频谱图如图1-2所示。
图1-1 方波图1-2 方波频谱图方波信号的傅里叶表达式：)9sin 917sin 715sin 513sin 31(sin 4)( +++++=t t t t t U t u m ωωωωωπ 周期信号频谱的特点：离散性、谐波性、收敛性；奇函数只含正弦项，偶函数只含直流量和余弦项；奇谐函数只含奇次谐波分量，偶谐函数只含偶次谐波分量、直流量；四、实验重难点1、本实验以方波和三角波为重点进行实验数据的观测。
2、进行本实验前应熟悉信号与系统实验箱（参考型号：TKSS －B 型）、双踪示波器等有关仪器设备的操作。
五、实验步骤实验装置的结构如图1-3所示。
图1-3 信号分解合成实验装置结构框图1、打开电源总开关，检查50Hz方波信号输出；观察方波的周期和幅值。
2、将50Hz方波信号接到信号分解实验模块BPF输入端15脚（注意输入、输出地接在一起）；将1、2短接，观察直流分量的幅值；将3，4短接，观察基波分量的频率和幅值，并记录之。
将5，6短接，观察二次谐波分量的频率和幅值，并记录之。
电路第11章-非正弦周期电流电路课件.ppt
T0
T0
11.2 非正弦周期电流电路的有效值、平均值和平均功率
非正弦周期电流电路的平均功率
将上式进行积分，并利用三角函数的正交性：
1T
i, T 0 U0I0dt U0I0 P0
ii,
1 T
T
0 U0Ikm cos(kt ik )dt 0
iii,
1 T
T
0 I0Ukm cos(kt uk )dt 0
故：P P0 Pk k 1
上式表明：不同频率的电压与电流只构成瞬时功率，不能 构成平均功率，只有同频率的电压与电流才能构成平均功率
电路的平均功率等于直流分量和各次谐波分量各自产生的 平均功率之和，即平均功率守恒
11.2 非正弦周期电流电路的有效值、平均值和平均功率
非正弦周期电流电路的平均功率
一端口电路的端口电压u(t)和电流i(t)均为非正弦周期量， 其傅里叶级数形式分别为 :
u(t) U0 Ukm cos(kt uk ) k 1
i(t) I0 Ikm cos(kt ik ) k 1
在图示关联参考方向下，一端口电路吸收的平均功率 :
P 1
T p(t)dt 1
T
u(t ) i(t )dt
Fk2m 2
Fk2
iv,
1 T
T
0 2Fkm cos(kt k )Fqm cos(qt q )dt 0 (k q)
11.2 非正弦周期电流电路的有效值、平均值和平均功率
则有：F F02 F12 … Fk2 … F02 Fk2 k 1
非正弦周期电流的有效值:
I
I02
I12
I
2 2
2(2 j 2) 13.518.4 A
3
13.1 非正弦周期信号
不是按正弦规律变化的信号
i
O
π
2π
ωt
图中电流是正弦信号还是非正弦信号？
非正弦信号
模拟ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ子中常用的放大电路
+EC uC
UC0
uC
uC波形可以分解
UC0
uC
’
uC’’ +
二、常见的非正弦信号
1、实验室常用的信号发生器 可以产生正弦波，方波，三角波和锯齿波；
i i
O
t
O
t
方波电流
锯齿波
2、整流分半波整流和全波整流 激励是正弦电压， 电路元件是非线性元件二极管 整流电压是非正弦量。
三、非正弦信号的分类
1、非正弦周期信号 f(t)=f(t+kT) k=0 , ±1 , ±2,… 2、非正弦非周期信号 不是按正弦规律变化的非周期信号
四、谐波分析法
1. 应用傅里叶级数展开方法，将非正弦周期激励 电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正 弦量之和； 2. 根据叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作 用下在电路中产生的同频率正弦电流分量和电 压分量； 3. 把所得分量按时域形式叠加。
u u
O
T/2
T
t
O
T/2
T
t
半波整流
全波整流
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
3、无线电工程和其他电子工程中 由语言、音乐、图象等转换过来的电信号，都 不是正弦信号； 4、非电量测量技术中 由非电量的变化变换而得的电信号随时间而变 化的规律，也是非正弦的； 5、自动控制和电子计算机中 使用的脉冲信号都不是正弦信号。
3无线电工程和其他电子工程中1非正弦周期信号ftftkt2非正弦非周期信号不是按正弦规律变化的非周期信号三非正弦信号的分类四谐波分析法应用傅里叶级数展开方法将非正弦周期激励电压电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和
电路分析基础课件第11章非正弦周期电流电路
11-1 非正弦周期信号 11-2 非正弦周期函数分解为傅里叶级数 11-3 有效值、平均值和平均功率 11-4 非正弦周期电流电路的计算
重点
1. 周期函数分解为傅里叶级数 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率 3. 非正弦周期电流电路的计算
11-1 非正弦周期信号
IS0 78.5μA iS1 100sin106t μA
iS3
100 3
sin
3 106
t
μA
iS5
100 5
sin
5 106t
μA
（2） 对各次谐波分量单独计算：
（a) 直流分量 IS0 作用
IS0
+
Ru
IS0 78.5μA
-
电容断路，电感短路
U0 RIS0 20 78.5106 V 1.57mV
R 20、 L 1mH、C 1000pF Im 157μA、 T 6.28μs
iS
+ R
Cu
L
解 (1) 方波信号的展开式为
-
iS
Im 2
2Im π
[sin(t)
1 sin(3t)
3
Im
iS
1 sin(5t) ]
5
t O T/2 T
代入已知数据： Im 157μA, T 6.28μs
bk
1 π
2π
0
f
(t ) sin( k1t )d(1t )
求出A0、ak、bk便可得到原函数 f(t) 的展开式。
注意 利用函数的对称性可使系数的确定简化
f (t) ①偶函数
f (t) f (t) bk 0
②奇函数
－T/2 O
非正弦周期信号;周期函数分解为傅里叶级数;有效值、平均值和平均功率、非正弦周期电流电路的计算
cos(k1t)
bk ak2 bk2
sin(
k1t)
令：
A0 a0，Akm ak2 bk2
cos k
ak Akm
，sin
k
bk Akm
k
arctan
bk ak
f (t) A0 Akmcos k cos(k1t) sin k sin( k1t) k 1
2
2
0 iS (t) cos ktd (t)
2Im
1 k
sin
kt
0
0
11
bk
1
2
0 iS (t) sin ktd(t)
Im
(
1 k
cos k
t)
0
若k为偶数，bk=0
若k为奇数，
bk
2Im
k
iS
Im 2
2Im
(sin
t
1 sin 3
U0 20 78 .5106 1.57 mV
78.5A R U0
26
基波分量单独作用：
IS1
100 2
90
70.7
90
A
IS1
R jXC(1)
U1
jXL(1)
X C (1)
1
C
1k
X L(1) L 1k
Z1
(R jX L(1) ) jX C(1) R jX L(1) jX C(1)
第11章 非正弦周期信号电路的稳态分析
cos(kωt
+ψ
ik
)dt
=
0
∫ ④
1 T
T
0 U km
cos(kωt
+ψ uk
)*
I km
cos(kωt
+ψ
ik
)dt
=
Ukm Ikm 2
cos(ψ uk
−ψ ik
)
= Uk Ik cosϕ2k Pk
∫ ⑤
1 T
T 0
U km
cos(kωt
+ψ
uk
)
*
I qm
cos(kωt
+ψ
iq
)dt
=
0
（3）正序分量、负序分量、零序分量
正序分量：相序为 A-B-C-A
负序分量：相序为 A-C-B-A
零序分量：A、B、C 三相同相
正序分量负序ຫໍສະໝຸດ 量零序分量13
5
谐波次数
7
9
11
13
15
17
19
21
23
三、重点、难点和疑点及解决方法
1．重点
（1） 非正弦周期信号有效值的概念及求解 （2） 非正弦周期信号电路平均功率的计算 （3） 非正弦周期信号电路的稳态分析方法
在图示关联参考方向下，一端口电路吸收的平均功率
∫ ∫ P = 1
T p(t)dt = 1
T
u(t) *i(t)dt
T0
T0
将上式进行积分，并利用三角函数的正交性，
∫ ①
1 T
T
0 U0I0dt
= U0I0
P0
∫ ②
1 T
T 0
U0
非正弦周期电流电路
单元四非正弦周期电流电路一、非正弦周期信号二、非正弦周期量的有效值、平均值及三、非正弦周期电流电路的平均功率四、非正弦周期电流电路的计算一、非正弦周期信号1.非正弦周期信号：随时间周期性地按非正弦规律变化的信号。
2.非正弦周期函数的分解傅里叶级数：若周期为T ，角频率ω=2π/T 的周期函数，满足狄里赫利条件，则的可展开为∑∞=++=++++++++=1022110)sin cos ( sin cos 2sin 2cos sin cos )(k k k k k t k b t k a a t k b t k a t b t a t b t a a t f ωωωωωωωω ∵)t k (sin A sin cos k k ψ+=+ωωωt k b t k a k k ∴+++++=)2sin()sin()(22m 11m 0θωθωt A t A A t f 直流分量基波二次谐波∑∞=++=10)sin(k k k t k A A ψω（K=1、2、3、4…）几种非正弦周期函数的傅里叶级数名称波形傅里叶级数有效值平均值梯形波f (t) =απmA4(sinαsinωt +91sin3αsin3ωt+251sin5αsin5ωt +…+2k1sinkαsinkωt +…)（式中α =Td2π，k为奇数）A mπα-341A m(1－πα)三角波f (t) =2mA8π(sinωt－91sin3ωt+251sin5ωt +…+221kk)1(--sinkωt +…)（k为奇数）3A m2A m名称波形傅里叶级数有效值平均值矩形波f (t) =πmA4(sinωt+31sin3ωt+51sin5ωt +k1sinkωt +…)（k为奇数）A m A m半波整流波f (t) =πmA2(21+4πcosωt+311⨯cos2ωt －531⨯cos4ωt+751⨯cos6ωt －…)2A mπmA全波整流波f (t) =πmA4(21+311⨯cos2ωt－531⨯cos4ωt +751⨯cos6ωt－…)2A mπmA2名称波形傅里叶级数有效值平均值锯齿波f (t) = A m [21－π1(sinωt+21sin2ωt+31sin3ωt +…) ]3A m2A m矩形脉冲波f (t) =A m [ α+π2(sinαπcosωt+21sin2απcos2ωt+31sin3απcos3ωt +…) ]αA mαA m3.几种波形具有对称性的周期函数的傅里叶级数1. 奇函数的傅里叶级数奇函数：f (t )=－f (－t )；奇函数的波形对称于坐标系的原点。
电路分析课件 第十一章 周期非正弦电路
f (t) A0 A2m cos(21t 2 ) A4m cos(41t 4 )
A0 Akm cos(k1t k ) k 2n
(n 1,2,3,)
或 f (t) A0
Akm cos(k1t k )
k 2,4,6,
六 . 说明 1 . 周期信号是奇函数还是偶函数，除与波形有关外，还与计 时起点有关，例如下图所示 f (t) ，当
2 . 平均值
电工、电子技术中，有时要用到电压、电流的平均值。平均值 的定义是：信号的绝对值在一个周期内的平均值。以电流i为例， 其平均值为
I av
1 T
T
i dt
0
正弦电流 i Im cost 的绝对值 i 的波形是全波整流波形，根据上
式，正弦电流的平均值为
Iav
1 T
T 0
Im cost
. . . 2次及2次以上的谐波统称为高次谐波；
2 . 傅氏级数具有收敛性，即随着频率的增加，谐波幅值总的趋 势越来越小；
3 . f (t) 波形越平滑，越接近正弦，其高次谐波分量越小，级数
收敛越快； f (t) 波形越不平滑或有跳跃其高次谐波分量大，级数收 敛慢。
例11－1 求下图所示周期方波信号 f (t) 的傅立叶级数。
a0
1 T
T 0
f (t) dt 1 T
T /2 T / 2
f (t) dt
Akm ak2 bk2
k
arctan
bk ak
对应
ak
k
Akm
bk
三 . 说明 1 . 式②中
A0 —— f (t)的恒定分量或直流分量
A1m cos(1t 1) —— f (t)的基波（分量）或1次谐波（分量） A2m cos(21t 2 ) —— f (t)的2次谐波（分量） A3m cos(31t 3) —— f (t)的3次谐波（分量）
非正弦周期信号的傅里叶级数分解
非正弦周期信号的傅里叶级数分解当电路的激励源为直流或正弦交流电源时，可用所述方法对电路进行分析计算。
但是在实际电气系统中，却经常会遇到非正弦的激励源问题，例如电力系统的交流发电机所产生的电动势，其波形并非理想的正弦曲线，而是接近正弦波的周期性波形。
即使是正弦激励源电路，若电路中存在非线性器件时，也会产生非正弦的响应。
在电子通信工程中，遇到的电信号大都为非正弦量，如常见的方波、三角波、脉冲波等，有些电信号甚至是非周期性的。
对于线性电路，周期性非正弦信号可以利用傅里叶级数展开把它分解为一系列不同频率的正弦分量，然后用正弦交流电路相量分析方法，分别对不同频率的正弦量单独作用下的电路进行计算，再由线性电路的叠加定理，把各分量叠加，得到非正弦周期信号激励下的响应。
这种将非正弦激励分解为一系列不同频率正弦量的分析方法称为谐波分析法。
设周期函数的周期为T，则有：（k为任意整数）如果函数满足狄里赫利条件，那么它就可以分解成为傅里叶级数。
一般电工技术中所涉及的周期函数通常都能满足狄里赫利条件，能展开为傅里叶级数，在后面讨论中均忽略这一问题。
对于上述周期函数，可表示成傅里叶级数：（1）或（2）式中，称为基波角频率；二式中系数之间有关系式：或（3）展开式中除第一项外,每一项都是不同频率的正弦量，称为周期函数的直流分量（恒定分量），第二项称为基波分量，基波角频率，其变化周期与原函数周期相同，其余各项（的项）统称为高次谐波。
高次谐波分量的频率是基波频率的整数倍。
当时称为二次谐波，时称为三次谐波等等。
是第n次谐波的初相角。
当已知时，傅里叶级数表达式中各谐波分量的系数可由下面公式求得：（4）下面用一个具体例子来进行傅里叶分解。
例1 图1所示为对称方波电压，其表达式可写为：求此信号的傅里叶级数展开式。
图1解：根据傅里叶级数的系数推导公式，可得由此可得所求信号的傅里叶级数展开式为在实际工程计算中，由于傅里叶级数展开为无穷级数，因此要根据级数展开后的收敛情况，电路频率特性及精度要求，来确定所取的项数。
非正弦周期信号电路
1 u S 5 U Sm sin 5t 5
u S 3 1 U Sm sin 3t 3
u S u S1 u S 3 u S 5 U Sm sin t 1 U Sm sin 3t 1 U Sm sin 5t 5 3
u S u S1 u S 3 u S 5 U Sm sin t 1 U Sm sin 3t 1 U Sm sin 5t 5 3
2 km
6.3 非正弦周期交流电路 的平均功率
u (t ) U 0 U km sin(kt k )
k 1
i(t ) I 0 I km sin(kt k k )
k 1
1 P T
T
0
u idt
利用三角函数的正交性，整理后得：
P U 0 I 0 U k I k cos k
信号分别计算。
（注意对交流各谐波的 XL、XC不同，对直 流C 相当于开路、L相于短路。） 3. 将以上计算结果，用瞬时值迭加。
计算举例
例1 方波信号激励的电路
iS
Im
T/2
已知：
R
tTΒιβλιοθήκη iSC Lu
R 20、 L 1mH、C 1000 pF I m 157 μ A、 T 6.28S
非正弦周期信号电路
非正弦周期交流信号的特点 不是正弦波 按周期规律变化
非正弦周期交流信号举例
半波整流电路的输出信号
示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
交直流共存电路
+V
Es
计算机内的脉冲信号
T
t
6.1 非正弦周期函数的合成与分解
9-1 非正弦周期信号
非正弦周期信号的有效值定义与正弦信号有效值的定义相同，即恒定值为有效值的直流
激励在电阻上一个周期内消耗的能量等于一个周期内非正弦周期激励在电阻上消耗的能量。
以电压激励为例，有效值定义的公式为
∫ U 2 T = T u2 (t) dt
R
0R
式中， U 为有效值， u(t) 为非正弦周期信号。
（4）
由式（4）可得
为了便于对比，图 2பைடு நூலகம்给出了正弦信号波形。
0
t
图 2 正弦信号波形
表面上看，非正弦周期信号波形与正弦信号波形差异很大，好像没有什么关系。不过根 据高等数学课程所学知识，非正弦周期信号可以分解为无穷多个不同频率的正弦信号，这称 为傅里叶级数分解。下面我们来回顾一下非正弦周期信号的傅里叶级数分解。
2. 非正弦周期信号的傅里叶级数分解
非正弦周期信号可以分解为
∞
∑ f (t) = a0 + [ak cos(kωt) + bk sin(kωt)] k =1
（1）
式中， ω 为非正弦周期信号的角频率，各频率分量（含直流分量）幅值的计算公式为
∫ ∫ ∫ = a0
T1= 0T f (t)dt, ak
2 T
T
0 f (t) c= os(kωt)dt, bk
∫ U = 1 T u2 (t)dt T0 由式（5）可见，有效值还可称为方均根值。方指平方，均指平均，根指开根号。 将式（1）代入式（5），可得非正弦周期信号 f (t) 的有效值为
（5）
=F
∑∞
a02 +
k =1
ak 2
2
+
bk 2
2
（6）
可见，非正弦周期信号有效值计算过程很复杂。常见的非正弦周期信号的有效值没有必 要从头到尾推导，只需要记住最后的结果即可，这些结果在电路教材、高等数学教材、互联 网都很容易查到。
10.2.2非正弦周期信号的有效值和平均值 - 非正弦周期信号的有效值详解
非正弦周期信号有效值的计算
例如基波和三次谐波的叠加非正弦周期信号，设： i i1 i3 I1mcos1t I3mcos31t
非正弦周期信号有效值的计算
i i1 i3 I1mcos1t I3mcos31t
I I I12m I32m 22
i i 的有效值相同， 但它们的最大值不相等。
与各次谐波有效值的平方之和的平方根。
此结论可以推广用于其他非正弦周期量。如果非
正弦周期电压u(t)的表达式为
u(t ) U0 Ukmcos(k1t k )
则其有效值U为
k 1
U =
U02
U12
U
2 2
U
2 3
=
U
2 0
U
2 k
k 1
电 非正功弦率周的期判信断号有效值的计算
需要指出的是：非正弦周期信号的有效值只与 各谐波分量的有效值有关而与其相位无关。因此， 当两个信号的幅度频谱相同而相位频谱不同时，它 们的有效值相等，但波形不一样，最大值不相等。
I
2 k
1
T
T
0 2I0cos(k1t k )dt 0
1
T
T
0 2Ikmcos(k1t k )Iqmcos(q1t q )dt 0
(k q)
非正弦周期信号有效值的计算
非正弦周期电流i 的有效值为
I =
I02
I12
I22
I
2 3
=
I
2 0
I
2 k
k 1
即非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方
非正弦周期信号有效值的应用
测量仪表的使用：对非正弦周期电流电路的测量 ，使用不同的测量仪表将得出不同的结果。
非正弦周期信号有用值、均匀值、功率
非正弦周期信号有用值、均匀值、功率1．有用值：
（1）周期量有用值的界说：
留神：对于非正弦周期信号，其最大值与有用值之间并无联络。
（2）非正弦周期量：
函数
则有用值为：
运用三角函数的正交性得：
同理非正弦周期电流的有用值为：
定论：周期函数的有用值为直流重量及各次谐波重量有用值平方和的方根。
2．均匀值：
非正弦周期性函数的均匀值为直流重量：
显着正弦周期性函数的均匀值为0
3．功率：
如图所示，所示一端口N的端口电压u(t)和电流i(t)的有关参看方向下，一端口电路吸收的瞬时功率和均匀功率为
一端口电路的端口电压u(t)和电流i(t)均为非正弦周期量，其傅
里叶级数办法别离为
在图示有关参看方向下，一端口电路吸收的均匀功率
将上式进行积分，并运用三角函数的正交性，得
上式标明，纷歧样频率的电压与电流只构成瞬时功率，不能构成均匀功率，只需同频率的电压与电流才华构成均匀功率；电路的均匀功率等于直流重量和各次谐波重量各自觉作的均匀功率之和，即均匀功率守恒。
即：均匀功率＝直流重量的功率＋各次谐波的均匀功率。
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1） 最大值：一个周期内的最大值
2 ）有效值: I 1 T i 2dt
T0
U 1 T u 2dt
T0
对于非正弦周期信号电流 i(t) ，可展为傅里叶级数
i I0 2Ik m sin(k t k )
i(t)
k 1
代入有效值表达式有
t
I
1 T
T
2
I0 Imk sin(kt k ) dt
对于三次谐波分量，其等效电路如
I3
.
U3
aR
1 j3C
. j3 L UL3
图所示，U&3 3030oV ，其入端阻抗为
Zab3
R
j3 L ( j j3 L j
1)
3 C
1
10
j9.42 ( j8.83) j9.42 j8.83
b
141
86o
3 C
I&3
U&3 Zab3
3030o 141 86o
A
0.21116oA
电感两端电压 U&L3 U&3 RI&3 29.926oV
即有 i3(t) 2 0.21 sin(3t 116o)A
uL3(t) 2 29.9 sin(3t 26o)V
电流和电感电压分别为
iR I0 i1 i3 1 2 4.7 sin(t 19.6o)
sin
51t
L
L
f(t)
f(t)
Em
t
t
1、3次
1、3、5次
1、3、5、7、9 次
取不同项数时波形的逼近情况
幅频特性: 谐波幅值与频率的关系
F()
1 3 5 7
(1)连续周期信号的幅频特性 和相频特性为离散信号.
相频特性: 谐波初相位与频率的关系
( )
2
1 3 5 7
(2)幅频特性和相频特性组 成周期信号的频谱.
式中
A0
a0 2
Ak
ak2 bk2
k
arctg
ak bk
例1 把如图方波信号进行分解
u(t)
U
-U
0tT 2
T tT 2
u1
U
t
U
T/ 2
T
解：
a0
2 T
T
f (t)dt
2
0
T
T
2 Udt
0
T
T 2
(U )dt 0
an 2 T
T
0 f (t) cos n1tdt 0
若 T ，则可得
8
U&(n1
)
U 8
sin n
n
8
8
振幅频谱如图所示。
F&n (n1)
2
1 41
g
Fn (n1)
2
1
81
讨论:
U&(n1
)
U
T
sin n n
T
T
g
Fn (n1)
当T增大时:
1
2
T
减小,谱线间隔减小,
1 n1
g
Fn (n1)
幅度也减小;
当T趋向无限大(非周期信号)时:
u(t) t
t
22
22
T
tT
22
U&(n1
)
1 T
T 2
u(t)e jn1tdt 1
T 2
T
2 Ue jn1t dt
2
U T
e
jn1
2
e
jn1
2
jn1
U
T
sin n1
2
n1
2
若 T ，则可得
4
U&(n1
)
U 4
sin n
n
4
4
振幅频谱如图所示。
基波角频率 314rad/s ，试求流过电阻的电流i(t)及电感
两端电压 uL (t) 。
解：本题的激励电压源已分解成各次谐波分量，因此可直接 进行各次谐波的计算。
1) 对于直流分量的计算，可用一般
Io a
直流电路的解题方法，画出等效直流 U0
R
电路如图所示。已知 U0 10V ，则
得
I0
U0 R
bn 2 T
T 0
f
(t )
sin
n1tdt
2 T
T
2 U sin n1tdt
0
4U
2 T
T
T (U ) sin n1tdt
n
2
0
n 为奇数 n 为偶数
f (t) 4U
sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51t
L
L
f (t) 4U
sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
0
2
bk T
T
f (t) sin ktdt
0
式中 a0 2
直流分量
2
T
基波角频率，k=1 基波分量，
k＝2 二次谐波分量……
2) 形式 2
f (t) A0 Ak cos(kt k ) k 1
式中
A0
a0 2
Ak ak2 bk2
k
arctg
bk ak
3) 形式 3
f (t) A0 Ak sin(kt k ) k 1
I2(0) 0
R2 b
Uab(0) R1I1(0) 5V
2) 当基波激励时，电路见图，由于
1L3
1
1C
U11
故L3C 发生并联谐振，
a I11 j M I21 j L4
R1
R3
Uab1 j L1
j L2
U21
R2 b
I&2(1) 0 ，得
I&1(1)
R1
U&1(1)
R2 j1L1
600o 20 j20
U(t)
1(t)
t
t
t
脉冲波
正弦波
阶跃波
非正弦周期信号分解和电路分析方法介绍:
u1
t
分解
i1 Z1
u2
u1
Z2 u2
t
直流和正弦交流分析 计算
t
合成
t
11.1 非正弦周期信号的傅里叶级数分解(信号分解)
(1) 周期信号三角函数形式的傅里叶级数
设周期非正弦信号为：
u1
t
f (t) f (t kT ) （k为任意整数）
0
k 1
由三角函数的正交性可得周期非正弦交流电流的有效值为:
I I02
Ik2
I02
I12
I
2 2
L
k 1
同理可推得非正弦周期电压有效值为
U U02
U
2 k
U
2 0
U12
U
2 2
L
k 2
3） 平均值： 实际平均值 绝对平均值
I 0
1 T
T
idt
0
I AV
1 T
T 0
i dt
非正弦周期信号的功率
3）在时域内把属于同一响应的各谐波响应分量相加得到总的 响应值。注意：各分量的瞬时表达式才可叠加（因为不同频率 的相量式相加是无意义的）。
例1:
电路如图所示，已知 R 10 ，
L 10mH ，C 120F，电源电压
i uS (t)
a
R
C
b
L uL (t)
us(t) 10 2 50 sin t 2 30 sin(3t 30o) V
k 1
k 1
非正弦信号的平均功率等于各谐波信号平均功率之和。
例2: 图示电路，已知 us1(t) 10V 2 60 sin 1tV
us2 (t) 2 40 sin 1tV 2 30 sin 31tV ，R1 R2 10
R3
20，1L1
1L2
1L3
1
1C
20
，1L4
5 2
1M 10 ，求 I1 、I 2 、U ab 及瓦特表读数。
了信号中各谐波分量的所有信息。
F&n 的模为对应谐波分量的幅值的一半，幅角（当n 取正值
时）则为对应谐波分量的初相角。
F&n (n1) 称为振幅频谱。 (n1) 称为相位频谱。
例2 周期脉冲信号如图所示，求该信号的频谱函数，并作振幅
频谱图。
解：由波形图可知
0
u(t)
U
频谱函数为
0
T t
2
2
C
I&1
U&1 Zab1
500o 10.619.6o
A
4.7 19.6oA
UL0
.
j L UL1
. 电感两端电压 U&L1 U&1 RI&1 500oV 10 4.7 19.6oV 16.870oV
即有 i1(t) 2 4.7 sin(t 19.6o)A
uL1(t) 2 16.8 sin(t 70o)V
第十一章 非正弦周期信号激励下电路 的稳态分析
本章主要内容：
1）非正弦周期信号的傅里叶级数分解、信号频谱概念 2）非正弦周期信号电路的稳态计算，非正弦周期函数有
效值，平均功率 3）非周期信号的傅立叶变换
*对称三相电路中的高次谐波
常见周期性电信号
U(t)
U(t)
t
t
(t)
t
方波
三角波
冲击波
U(t)
3 2