灰色关联分析法
灰色关联分析法与TOPSIS评价法
与
maxmax x0 (k ) xi (k )
i 1 k 1
n
m
6．计算关联系数 由（12－5）式，分别计算每个比较序列 与参考序列对应元素的关联系数．
i (k )
min min x 0 (k ) xi (k ) max max x0 ( k ) xi ( k )
灰色关联度综合评价法
利用灰色关联分析进行综合评价的步骤 是： 1．根据评价目的确定评价指标体系，收 集评价数据。
2．确定参考数据列 参考数据列应该是一个理想的比较标准， 可以以各指标的最优值 （或最劣值）构 成参考数据列，也可根据评价目的选择 其它参照值．记作
x0 (1) , x0 2 , , x0 m X0
0i (k ) x0 (k ) xi (k )
i 0,1, , n; k 1, 2, ,N
(6.6)
绝对差值阵中最大数和最小数即为最大差和最小 差：
1i n 1 k N
max 0i (k )
1i n 1 k N
(max)
(6.7)
min 0i (k )
同样可计算出表6-4中其余关联系数.
表6-4
年份t 2000 2001 2002 2003 2004 2005
01 (t )
0.4191 0.3796 0.5808 0.7055 0.3696 0.2881
02 (t )
0.6067 0.5178 0.4903 0.8761 0.6141 0.3510
r0i称为序列x0和xi(i=1,2,3)的灰色关联度.由于 r03 r02 r01, 因而第三产业产值与GDP的关 联度最大,其次是第二产业、第一产业. 可以看出,灰色关联分析需要经过以下几个步骤： 1.确定分析序列
灰色关联分析法
灰色关联分析法灰色关联分析法是一种用于研究多个指标之间相关性的统计方法。
它通过计算不同指标之间的关联度来确定它们之间的关系强度。
本文将介绍灰色关联分析法的原理、应用领域以及优点和局限性。
灰色关联分析法最早由中国科学家陈进才于1981年提出，并广泛应用于工程和管理学科领域。
它的核心思想是通过将不同的指标序列转化为灰色级数形式，然后计算各指标之间的关联系数，以揭示它们之间的关系。
灰色关联分析法的基本步骤包括：首先，将各指标序列归一化，使得数据位于相同的量纲范围内；其次，构建灰色级数模型，将指标序列转化为灰色级数；然后，计算各指标之间的关联系数，确定关联度；最后，利用关联度进行综合评价，得出最终的结论。
灰色关联分析法在许多领域具有广泛的应用。
在经济管理领域，它可以用于评估企业绩效、判断市场趋势、研究产业发展等。
在工程领域，它可以用于分析工艺参数对产品质量的影响、评估设备可靠性等。
在环境科学领域，它可以用于评估生态环境质量、分析污染物传输和扩散等。
灰色关联分析法具有一些优点。
首先，它可以对多指标间的关联进行定量分析，较为客观地反映指标之间的关系。
其次，它适用于小样本数据的分析，不依赖于大样本假设。
此外，它对序列变化的敏感性较高，能够较好地发现序列间的规律性或趋势。
然而，灰色关联分析法也存在一些局限性。
首先，它对数据的要求较高，需要有较为完整的时间序列数据。
其次，它假设指标之间的关系是线性的，对非线性关系的分析有一定局限性。
此外，灰色关联分析法对指标权重的确定也有一定的主观性，可能引入一定的误差。
综上所述，灰色关联分析法作为一种多指标关联分析方法，在多个领域得到了广泛应用。
它通过计算不同指标之间的关联程度，为决策提供了科学的依据。
然而，使用灰色关联分析法时需要充分考虑相关因素，避免误导决策。
未来，随着数据技术的不断发展，灰色关联分析方法也将继续完善和应用于更多的领域中。
灰色关联度分析
灰色关联度分析一、 灰色关联分析及理论对于两系统之间的因素，其随时间或不同对象而变化的关联性的大小的量度，称为关联度。
在系统发展过程中，若两个因素变化的趋势具有一致性，即变化程度较高，即可谓二者的关联度较高；反之，则较低。
因此，灰色关联度分析方法，是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，即“灰色关联度”作为衡量因素之间关联程度的一种方法。
灰色系统理论提出了对各子系统进行灰色关联度分析的概念，意图透过一定方法，去寻求系统各子系统（或因素）之间数值的关系。
因此，灰色关联度分析对于一个系统的发展变化态势提供了量化的度量，非常适合动态历程分析。
灰色关联度分析方法模型灰色综合评价主要是依据以下模型：R=Y×W式中，R 为M 个被评价对象的综合评价结果向量；W 为N 个评价指标的权重向量；E 为各指标的评判矩阵，（矩阵略）)(k i ξ为第i 个被评价对象的第K 个指标与第K 个最优指标的关联系数。
根据R 的数值，进行排序。
（1）确定最优指标集设],,[**2*1n j j j F =,式中*k j 为第k 个指标的最优值。
此最优序列的每个指标值可以是诸评价对象的最优值，也可以是评估者公认的最优值。
选定最优指标集后，可构造矩阵D （矩阵略）式中ikj 为第i 个期货公司第k 个指标的原始数值。
（2）指标的规范化处理由于评判指标间通常是有不同的量纲和数量级，故不能直接进行比较，为了保证结果的可靠性，因此需要对原始指标进行规范处理。
设第k 个指标的变化区间为],[21k k j j ,1k j 为第k 个指标在所有被评价对象中的最小值，2k j 为第k 个指标在所有被评价对象中的最大值，则可以用下式将上式中的原始数值变成无量纲值)1,0(∈ikC 。
ikk k i ki k j j j j C --=21，m i,2,1=，n k ,,2,1 =（矩阵略）（3）计算综合评判结果 根据灰色系统理论，将],,,[}{**2*1*n C C C C=作为参考数列，将],,,[}{21i n i i C C C C =作为被比较数列，则用关联分析法分别求得第i 个被评价对象的第k 个指标与第k 个指标最优指标的关联系数，即i kkkii kki k k k ii k k kiCC C C C C C C k -+--+-=****i max max max max min min )ρρξ（式中)1,0(∈ρ，一般取5.0=ρ。
两因素三水平用灰色关联法
灰色关联分析法是一种用于比较多个因素之间关联程度的分析方法，其基本思想是通过比较各因素之间的相似程度来评估它们之间的关联程度。
在两因素三水平的情境下，可以使用灰色关联分析法来比较三个水平之间的关联程度。
具体步骤如下：1.确定参考序列和比较序列。
参考序列是用于比较的基准序列，通常选择一个固定值或者已知的最佳水平作为参考序列。
比较序列是待比较的各个因素在不同水平下的观测值序列。
2.数据预处理。
对参考序列和比较序列进行数据预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值处理等。
3.计算灰色关联度。
根据灰色关联分析法的原理，计算参考序列与各个比较序列之间的灰色关联度。
灰色关联度的计算公式为：(\gamma(x_0, x_i) = \frac{\min_i |x_0(k) - x_i(k)| + \rho \max_i |x_0(k) -x_i(k)|}{|x_0(k) - x_i(k)| + \rho \max_i |x_0(k) - x_i(k)|})其中，(x_0(k))表示参考序列在时刻k的值，(x_i(k))表示第i个比较序列在时刻k 的值，(\min_i |x_0(k) - x_i(k)|)和(\max_i |x_0(k) - x_i(k)|)分别表示第k时刻所有比较序列与参考序列的差的绝对值的最小值和最大值，(\rho)是一个分辨系数，通常取0.5。
4. 判断关联程度。
根据计算出的灰色关联度，判断各个比较序列与参考序列的关联程度。
灰色关联度越接近于1，表示关联程度越高。
通过以上步骤，可以得出各个水平之间的关联程度，从而为决策提供依据。
需要注意的是，灰色关联分析法只是一种定性的分析方法，其结果具有一定的主观性，因此在具体应用时需要根据实际情况进行合理的解释和判断。
灰色关联分析
灰⾊关联分析
灰⾊关联分析法
对于有m个评价对象，n个评价指标的问题，⽤灰⾊关联分析来选择，可以针对⼤量的不确定因素以及相互关系，⽤定性和定量有机结合的⽅式，使原本复杂的决策问题变得更加清晰简单，⽽且计算⽅便，主要是排除了决策者的主观任意性，得出的结论很客观，有⼀定的参考价值。
主要步骤
1. 确定评价对象和评价标准。
（以⼀个评价对象为例）
评价对象为x={x(k)|k=1,2,3,...,n}，评价标准为x0={x(k)|k=1,2,3,...,n}
k是指该评价对象的第k个评价指标
2. 确定各个评价指标的权重
主要是为了最后对求出的各个指标的灰⾊关联系数进⾏总和，若⽆权重也可以直接求平均值
3. 计算灰⾊关联系数
将每⼀个评价对象的评价指标都与评价标准相减并求绝对值，即
令c=|x(k)−x0(k)|
那么我们可以得到⼀个新的矩阵C
取C中的每⼀列中的最⼩值在每⼀⾏中的最⼩值，即两级最⼩差
a=min i min j c ij
再取每⼀列中的最⼤值在每⼀⾏中的最⼤指，即两级最⼤差
b=max i max j c ij
灰⾊关联系数为
ξi(j)=a+ρb c ij+ρb
式中，ρ⼀般取0.5，ρ属于0到1.
4. 计算灰⾊加权关联度
就是计算每⼀个评价对象的灰⾊关联度的加权和
r i=
n
∑
j=1w i∗ξi(j)
灰⾊关联度越⼤则效果越好Processing math: 100%。
绩效评价指标体系的灰色关联分析方法研究
绩效评价指标体系的灰色关联分析方法研究绩效评价是现代管理中非常重要的一环，它以指标体系为基础，通过对各项指标的评估，对个体或组织进行定量的绩效评价。
然而，绩效评价指标体系的建立和选择一直是困扰研究者和管理者的难题。
为解决这一问题，灰色关联分析方法应运而生。
灰色关联分析法是由中国学者陈云教授于1982年提出的，它是一种从灰色系统理论出发的多指标决策分析方法。
灰色关联分析方法通过对指标间灰色关联度的计算，来确定各指标在绩效评价中的重要性和贡献度。
首先，建立指标体系。
在进行绩效评价指标体系的灰色关联分析之前，我们首先需要建立一个合理的指标体系。
这个指标体系应该涵盖各个方面的指标，具有全面性和代表性。
例如，对于企业的绩效评价，可以包括财务指标、市场指标、顾客满意度指标、员工满意度指标等。
其次，进行数据归一化处理。
不同指标的量纲和范围差异很大，为了能够将它们进行比较和分析，我们需要对数据进行归一化处理。
可以采用线性变换或者标准化方法，将各个指标的数据转化为无量纲的百分制。
然后，计算各指标的关联系数。
灰色关联分析方法通过计算各指标间的关联系数，来确定指标的重要性和贡献度。
关联系数的计算方法可以是皮尔逊相关系数、克罗内克（Kendall）相关系数等。
通过计算，我们可以得出各个指标与总体的灰色关联度。
最后，评价指标的重要性和贡献度。
通过对各指标关联系数的比较和分析，我们可以确定各指标在绩效评价中的重要性和贡献度。
灰色关联分析可以将各指标按照其对绩效评价的贡献程度进行排序，从而帮助管理者合理地分配资源和进行决策。
灰色关联分析方法的优点在于能够在数据不完备或者模糊的情况下进行评价，并且不需要对指标进行权重的设定，降低了主观性的干扰。
它在许多领域中都有广泛的应用，如企业绩效评价、工程设计、医学诊断等。
然而，灰色关联分析方法也存在一些限制。
首先，它只能用于指标之间的线性相关性分析，不能处理非线性关系的情况。
其次，对于指标数较多的情况下，计算复杂度较高，容易产生误差。
灰色关联分析法(灰色综合评价法)
灰色关联分析法对于两个系统之间的因素，其随时间或不同对象而变化的关联性大小的量度，称为关联度。
在系统发展过程中，若两个因素变化的趋势具有一致性，即同步变化程度较高，即可谓二者关联程度较高；反之，则较低。
因此，灰色关联分析方法，是根据因素之间发展趋势的相似或相异程度，亦即“灰色关联度”，作为衡量因素间关联程度的一种方法。
应用于综合评价（灰色综合评价）步骤：（1） 确定比较对象（评价对象）和参考数列（评价标准）。
设评价对象有m 个，评价指标有n 个，参考数列为{}00()|1,2,,x x k k n ==⋅⋅⋅，比较数列为{}()|1,2,,,1,2,,i i x x k k n i m ==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅。
（2） 对参考数列和比较数列进行无量纲化处理由于系统中各因素的物理意义不同，导致数据的量纲也不一定相同，不便于比较，或在比较时难以得到正确的结论。
因此在进行灰色关联度分析时，一般都要进行无量纲化的数据处理。
设无量纲化后参考数列为{}00()|1,2,,x x k k n ''==⋅⋅⋅，无量纲化后比较数列为{}()|1,2,,,i i x x k k n ''==⋅⋅⋅1,2,,i m =⋅⋅⋅。
（3） 确定各指标值对应的权重。
可用层次分析法等确定各指标对应的权重[]12,,,n w w w w =⋅⋅⋅，其中(1,2,,)k w k n =⋅⋅⋅为第k 个评价指标对应的权重。
（4） 计算灰色关联系数：0000min min ()()max max ()()()()()max max ()()s s s t s t i i s s tx t x t x t x t k x k x k x t x t ρξρ''''-+-=''''-+- 为比较数列i x 对参考数列0x 在第k 个指标上的关联系数，其中[]0,1ρ∈为分辨系数，称0min min ()()s s t x t x t ''-、0max max ()()s s tx t x t ''-分别为两级最小差及两级最大差。
灰色关联分析
1 灰色关联分析1.1 理论提出灰色关联分析理论是我国学者邓聚龙教授于20世纪70 年代末、80 年代初提出的，它以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，通过对已知信息的加工提取有价值的信息，形成对系统运行规律的确切描述[1]。
灰色关联分析方法对样本量的多少和样本有无规律同样适用，计算量少，且不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况，具有数理统计方法（回归分析、方差分析、主成分分析等）所不可比拟的优点[2]。
1.2 基本原理关联度表征两个事物之间的关联程度。
灰色关联分析是通过计算灰色关联度，用灰色关联度来描述因素间关系的强弱、大小和次序的多因素分析技术[3]。
灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小[2]。
1.3 灰色关联分析过程1.3.1 确定参考序列和比较序列选取系统特征序列0000((1),(2),,())X x x x n =为参考序列，已知存在m 个因素序列与0X 相关。
设(1,2,,)i X i m =为系统因素，其观测数据为()i x k ，1,2,3,,k n =，则称((1),(2),,())i i i i X x x x n =为因素i X 的行为序列。
可用矩阵m n X ⨯表示比较序列如下：111212122212()n n ij m n m m mn x x x x x x X x x x x ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦1.3.2 数据序列无量纲化原始数据因其量纲不一定相同，且有时数值的大小相差悬殊，不能直接运用。
因此，需要运用一定的方法对原始数据作无量纲化处理，将其转化为可直接运用的数据序列，然后才可以进行比较。
对于和参考序列负相关的因素序列，还需将其转化为正相关。
常用的方法是通过算子作用（初值化、均值化和区间值化），初始化原始数据，得到初值像分别为0000((1),(2),,())Y y y y n =和 ((1),(2),,()),(1,2,,)i i i i Y y y y n i m ==。
灰色关联分析模型
模型优化
01
改进灰色关联分析模型的计算方 法，提高模型的准确性和稳定性 。
02
引入人工智能和机器学习技术， 实现灰色关联分析模型的自适应 和智能化。
应用拓展
将灰色关联分析模型应用于更多领域 ，如金融、能源、环境等，挖掘各领 域数据之间的关联关系。
结合其他数据分析方法，形成更为综 合和全面的数据分析体系。
THANKS
感谢观看
通过灰色关联分析，可以挖掘出数据之间的内在联系，为决策提供依据，有助于提 高决策的科学性和准确性。
灰色关联分析模型的基本概念
灰色关联分析
灰色关联分析是一种基于因素之间发 展趋势相似或相异程度的分析方法， 用于衡量因素之间的关联程度。
灰色关联序
灰色关联序是根据灰色关联度的大小 对因素进行排序，从而找出主要影响 因素和次要影响因素。
灰色关联分析模型
• 引言 • 灰色关联分析模型的理论基础 • 灰色关联分析模型的实例应用 • 灰色关联分析模型的优缺点 • 灰色关联分析模型的发展趋势和展望
01
引言
灰色关联分析模型的背景和意义
灰色关联分析模型是一种用于处理不完全信息或不确定信息的数学方法，广泛应用 于经济、社会、工程等领域。
在实际应用中，由于数据的不完全性和不确定性，许多问题难以得到准确的分析和 预测。灰色关联分析模型的出现，为这类问题提供了有效的解决方案。
灰色关联度
灰色关联度是灰色关联分析中的核心 概念，表示因素之间的关联程度。通 过计算灰色关联度，可以判断各因素 之间的相似或相异程度。
灰色关联矩阵
灰色关联矩阵是表示因素之间关联程 度的矩阵，通过矩阵可以直观地看出 各因素之间的关联程度。
02
灰色关联分析模型的理论基础
灰色关联度分析法
灰色关联度分析法引言灰色关联度分析法是一种用于揭示变量之间关联程度的方法。
它可以在缺乏足够数据的情况下，通过对变量之间的相关性进行评估，帮助分析人员做出决策。
在本文中，我们将介绍灰色关联度分析法的原理和应用，并探讨其在实际问题中的价值和局限性。
一、灰色关联度分析法的原理灰色关联度分析法是在灰色系统理论基础上发展起来的一种关联性分析方法。
灰色关联度分析法的核心思想是通过模糊度量的方法，将样本数据的数量化描述量和次序特征结合起来，通过计算变量间的关联度，得出它们之间的相关性。
具体而言，灰色关联度分析法的步骤主要包括以下几个方面：1. 数据标准化：将原始数据进行归一化处理，以消除变量之间的量纲差异，使其具有可比性。
2. 确定参考序列：在给定的多个序列中，根据研究目标和实际需求，选择一个作为参考序列，其他序列将与之进行比较。
3. 计算关联度指数：通过计算每个序列与参考序列之间的关联度指数，来评估它们之间的关联程度。
关联度指数的计算通常有多种方法，如灰色关联度、相对系数法等。
4. 判别等级：根据关联度指数的大小，将序列划分为几个等级，以便更直观地评估变量之间的关联程度。
二、灰色关联度分析法的应用灰色关联度分析法在许多领域和问题中都有广泛的应用。
下面将介绍一些典型的应用情况：1. 经济领域：灰色关联度分析法可以用于评估经济指标之间的关联性，识别影响经济发展的主要因素，帮助政府和企业做出相应的调整和决策。
2. 工业制造业：在工业制造领域，灰色关联度分析法可以用于优化生产工艺，提高产品质量，降低成本。
通过分析不同因素对产品质量的影响程度，可以找出关键因素，并制定相应的改进措施。
3. 市场调研：在市场调研中，灰色关联度分析法可以用于分析消费者行为和市场趋势，预测产品的需求量和销售额。
通过对多个变量之间的关联性进行评估，可以为企业的市场营销决策提供有价值的参考和支持。
4. 环境管理：在环境管理领域，灰色关联度分析法可以用于评估各种环境因素对生态系统的影响程度，为环境保护和可持续发展提供科学依据。
灰色关联度分析 简介
4、计算 绝对值差
5、确定 极大差值与 极小差值
灰色关联综合评价
6、计算关 联系数
7、确计算 关联序
8、计算综 合评价值
i
()
min i
min x k
x0 (k)
0(k)
xi (k)
max max
i
k
x0 (k)
xi
xi (k)
max max
i
k
x0 (k)
xi (k )
灰色关联分析与回归分析区别
问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪业还是养 兔业？
灰色关联综合评价
1、收集 分析数据
2、确定 参考数据列
3、无量纲化 处理
X1, X 2
,
X n
x1 1 x1 2
x1 m
x2 1 x2 2
x2 m
(k)
（12 5)
k 1, , m
r0i
1 m
m
i (k )
k 1
r0i
1 m
m
Wk
k 1
i (k)
（k=1,
式中Wk为各指标权重。
, m）
应用
例1：利用灰色关联分析对6位教师工作 状况进行综合分析
1．分析指标包括：专业素质、外语水平 、教学工作量、科研成果、论文、著作 与出勤．
应用
7．分别计算每个人各指标关联系数的均
值（关联序）：
r01
0.778 1.000
0.778
0.636 7
《基于灰色关联分析法的中小企业融资决策研究》
《基于灰色关联分析法的中小企业融资决策研究》篇一一、引言随着经济全球化的深入发展，中小企业在国民经济中的地位日益凸显。
然而，融资难、融资贵一直是困扰中小企业发展的主要问题。
如何科学、有效地进行融资决策，成为中小企业亟待解决的问题。
灰色关联分析法作为一种多因素决策分析方法，能够有效地处理不确定、不完整的信息，为中小企业的融资决策提供新的思路和方法。
二、灰色关联分析法概述灰色关联分析法是一种多因素决策分析方法，以因素间发展态势的相似或相异程度来衡量因素间的关联程度。
该方法适用于信息不完全、不确定的情况，能够有效地解决中小企业融资决策中的复杂问题。
其基本思想是通过确定参考数据列，计算各个比较数据列与参考数据列的关联度，从而判断各因素的重要程度和影响程度。
三、中小企业融资决策的影响因素中小企业的融资决策受到多种因素的影响，包括企业自身条件、金融市场环境、政策法规等。
其中，企业自身条件包括企业的经营状况、财务状况、信用状况等；金融市场环境包括利率水平、资金供求状况、市场竞争状况等；政策法规包括国家宏观经济政策、金融监管政策等。
这些因素之间相互影响、相互制约，构成了中小企业融资决策的复杂系统。
四、基于灰色关联分析法的中小企业融资决策模型基于灰色关联分析法的中小企业融资决策模型主要包括以下几个步骤：1. 确定参考数据列。
根据中小企业的实际情况，选择合适的融资决策指标作为参考数据列，如融资成本、资金使用效率等。
2. 确定比较数据列。
根据影响中小企业融资决策的各种因素，建立比较数据列，包括企业自身条件、金融市场环境、政策法规等各方面的指标。
3. 计算关联度。
通过灰色关联分析法，计算各比较数据列与参考数据列的关联度，得出各因素的重要程度和影响程度。
4. 制定融资决策。
根据计算结果，综合考虑各因素的重要程度和影响程度，制定科学的融资决策。
五、实证分析以某中小企业为例，运用灰色关联分析法进行融资决策的实证分析。
首先，选择合适的融资决策指标作为参考数据列；其次，根据影响该企业融资决策的各种因素建立比较数据列；然后，计算各比较数据列与参考数据列的关联度；最后，根据计算结果制定科学的融资决策。
灰色关联度分析
就可求得两级最大差Δ(max)和两级最小差Δ(min) 计算关联系数
计算第i 个被评价对象与最优参考序列间的关联 系数。
计算关联度
对各评价对象分别计算其p个指标与参考序列对应元素的关联系数的
均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，称其为关联度，
记为 0i
1
P
(k)
P 0i k1
i1,2,..n.,
第六步 排关联序 由关联度数值可看出，r03＞r01＞r02。这表明，三种工资对工资总 额的关联程度的排列顺序为：承包工资、计时工资、档案工资。即该 公路施工企业的工资发展方向是以承包工资为主导，计时工资和档案 工资对工资总额的影响属于同一水平。
综合评价
基本思路是： 从样本中确定一个理想化的最优样本，以此为参考数列，通过计 算各样本序列与该参考序列的关联度，对被评价对象做出综合比 较和排序。
灰色关联度分析的运用
➢因 素 分 析 ➢综 合 评 价
因素分析
第一步 对数据做均值化处理
第二步 计算各比较数列同参考数列在同一时期的绝对差 再分别计算出其余4年的各绝对差
第三步 找出两极最大差与最小差
第四步 计算关联系数，取分辨系数
，则计算公式为：
第五步 计算关联度。
利用表4，分别求各个数列每个时期的关联系数的平均值即得关联度：
一般地，三种方法不宜混合、重叠作用，在进行系统因素分析时， 可根据实际情况选用其中一个。
若系统 因素 X i 与系统主行为 X
可以将其逆化或倒数化后进行计算。
0
呈负相关关系，我们
逆化
倒数化
关联系数的计算
设经过数据处理后的参考数列为：
比较数列为：
从几何角度看，关联程度实质上是参考数列与比较数列曲线形状的相似程度。凡 比较数列与参考数列的曲线形状接近，则两者间的关联度较大；反之，如果曲线 形状相差较大，则两者间的关联度较小。因此，可用曲线间的差值大小作为关联 度的衡量标准。 则：
灰色关联分析：多因素统计分析新方法
灰色关联分析：多因素统计分析新方法一、本文概述《灰色关联分析：多因素统计分析新方法》一文旨在探讨灰色关联分析在多因素统计分析中的应用及其作为一种新的分析方法的优势。
本文将首先介绍灰色关联分析的基本概念、原理及其在多因素统计分析中的重要性。
随后，将详细阐述灰色关联分析的实施步骤和方法，包括数据的预处理、关联度的计算、关联序的确定等。
文章还将通过实例分析，展示灰色关联分析在实际问题中的应用及其效果评估。
文章将总结灰色关联分析的优势与局限性，并探讨其未来的发展趋势和应用前景。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解灰色关联分析在多因素统计分析中的作用和价值，为相关领域的研究和实践提供有益的参考。
二、灰色关联分析的基本原理灰色关联分析（Grey Relational Analysis，GRA）是一种基于灰色系统理论的多因素统计分析方法。
这种方法的核心思想是通过分析系统中各因素之间的关联程度，找出影响系统发展的主要因素和次要因素，进而为决策提供科学依据。
灰色关联度定义：灰色关联度是衡量系统中各因素之间关联程度的一个量化指标。
它表示在一个系统中，某一因素的变化对其他因素变化的影响程度。
灰色关联度越大，说明两个因素之间的关联程度越高，反之则越低。
灰色关联矩阵构建：灰色关联分析首先需要构建灰色关联矩阵。
该矩阵以各因素为行和列，以各因素之间的灰色关联度为元素，从而形成一个全面的、系统的关联关系描述。
灰色关联度计算：灰色关联度的计算主要基于因素间的相似性或差异性。
常用的计算方法有绝对关联度、相对关联度和综合关联度等。
这些方法通过对原始数据进行处理，计算得到各因素之间的关联度值。
关联序分析：根据计算得到的灰色关联度值，可以对各因素进行关联序分析。
关联序反映了各因素对系统发展的重要性排序，有助于决策者识别出关键因素和次要因素。
灰色关联分析通过量化各因素之间的关联程度，为系统分析和决策提供了有效的工具。
这种方法不仅适用于社会经济领域，还可以广泛应用于工程技术、生态环境、医疗卫生等多个领域。
灰色关联分析法作用
灰色关联分析法作用
灰色关联分析法是由中国工程师张之江在20世纪60年代提出的。
张之江是当时中国著名的系统工程专家，他在研究工业生产过程中发现，很多系统的动态变化是呈现出灰色的性质，即存在一定的不确定性和模糊性。
于是，张之江提出了灰色关联分析法，并在20世纪70年代将其应用于工业生产的规划和控制中。
灰色关联分析法的提出，为研究系统动态变化规律提供了一种新的方法，并得到了广泛的应用。
灰色关联分析法是一种用来研究系统动态变化规律的数学方法。
它的主要作用有：
1.建立系统的动态模型：通过灰色关联分析法，可以
根据系统的历史数据建立系统的动态模型，并用来
预测系统的未来变化情况。
2.分析系统的动态特性：灰色关联分析法可以用来分
析系统的动态特性，如稳定性、收敛性、持续性等。
3.对系统进行决策分析：灰色关联分析法可以用来对
系统的决策进行分析，如评估决策的风险、回报等。
4.对系统的优化进行分析：灰色关联分析法可以用来
对系统进行优化分析，如求解最优解等。
5.辅助系统的管理决策：灰色关联分析法可以为系统
的管理决策提供有价值的信息，帮助管理者作出更
明智的决策。
6.提高系统的预测精度：灰色关联分析法可以有效提
高系统的预测精度，帮助我们更准确地预测系统的
未来发展趋势。
灰色关联分析法的应用领域非常广泛，如工业生产、经济学、农业、医学、教育、社会等。
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关联系数计算公式
， 对于一个参考数据列 x0 有几个比较数列 x1, x2,L , xn 的情况。
可以用下述关系表示各比较曲线与参考曲线在各点（时刻）的 差。
i (k)
汛期降雨量，再其次是平均年降雨量。
实际上，强度大的暴雨冲刷力大，难以被土壤吸收，从 而在地表形成径流，造成水土流失，引起河道泥沙流量的形成
而暴雨又大多在汛期，因此径流量是引起河道输沙的综合因 素，所以径流量大反映了雨强大，反映了水土保持较差，反映 了水土流失较严重，反映了汛期雨量较大。而汛期的降雨量可 能是雨强较大的的降雨量，也可能是雨强较小的降雨量。而平 均年降雨量则与雨强、水土保持、水土流失无直接关系。
例如在社会系统中，人口是一种重要的子系统。影响人口 发展变化的有社会因素，如计划生育、社会治安、社会道德风 尚、社会的生活方式等。影响人口发展变化的因素还有经济的， 如社会福利、社会保险；还有医疗的，如医疗条件、医疗水平 等。总之，人口是多种因素互相关联、互相制约的子系统。这 些因素的分析对于控制人口、发展生产是必要的。
以输沙量为参考数列 x0 ，以年径流量为 x1，平均年降雨量为x2 平均汛期降雨量为 x3 则相应的关联系数序列如下：
1(k) (1, 0.4, 0.4, 0.32, 0.86, 0.23, 0.29, 0.2, 0.53, 0.45, 0.17, 0.29, 0.73, 0.36, 0.27, 0.31, 0.35
数列的增值性
数列的增值性是指原来两数列发展态势相同，经初值化后， 初值大的发展态势变慢了，初值小的发展态势相对增大。所 谓增值性是指：
•后作，为经济序列，指“初值”放在银行内，经过一定的时间 由于利息引起的增值。
• 作为资金序列，指在正常经营下，资金周转一定时间后带 来的利益。
• 作为价格上涨的情况，指初值的折算货物经一定时间后价 格上涨所带来的增值。
二、关联系数与关联度
数据列的表示方式 关联系数计算公式 关联系数计算 关联度 无量纲化 数列的增值性
数据列的表示方式
做关联分析先要指定参考数据列。参考数据列常记为x0 ，记第
1个时刻的值为x0(1)，第2个时刻的值为 x0 (2)，第k个时刻的值为
x0 (k )。因此，参考序列x0可表示为 x0 (x0 (1), x0 (2),L x0 (n)) 关联分析中被比较数列常记为 x1, x2,L , xk ，类似参考序列x0 的表
灰色关联分析方法
灰色关联分析方法
关联分析概述 关联系数与关联度 应用实例
一、关联分析概述
社会系统、经济系统、农业系统、生态系统等抽象系统包 含有多种因素，这些因素哪些是主要的，哪些是次要的，哪些 影响大，哪些影响小，那些需要抑制，那些需要发展，那些事 潜在的，哪些是明显的，这些都是因素分析的内容。
0.894
1 (4)
1.4 1(4) 1.4
1.4 0.25 1.4
0.848
1 (5)
1.4 1(5) 1.4
1.4 0.686 1.4
0.679
1 (6)
1.4 1(6) 1.4
1.4 1 1.4
0.583
作关联系数 1(k)在各个时刻的值的集合，得关联系数序1
1 (1(1),1(2),1(3),1(4),1(5),1(6)) (1, 0.955, 0.894, 0.848, 0.679, 0.583)
因素分析的基本方法过去采用的主要是统计的方法，如回 归分析，回归分析虽然是一种较通用的方法，但大都只用于 少因素的、线性的。对于多因素的，非线性的则难以处理。
灰色系统理论考虑到回归分析方法的种种弊病和不足，采 用关联分析的方法来作系统分析。作为一个发展变化的系统， 关联度分析事实上是动态过程发展态势的量化分析。即发展 态势的量化比较分析。以下我们就介绍一种衡量因素间关联 程度大小的量化方法。
第二步 求两级最小差与最大差
容第易三求步出计m算iin关(mki联n x系0(k数) xi (k) ) 0
max(max
i
k
x0 (k )
xi (k)
)
2.8
将数据代入关联系数计算公式，得
i (k)
0 0.5 2.8
1.4
x0 (k) xi (k) 0.5 2.8 i (k) 1.4
令 i 1，我们有
•作为其他数列，指不同初值经一定时间后所引起的不同效
果。比如微分方程的解，在相同指数下，初始值大的曲线可 能是衰减的，而初始值小的曲线是上升的。因此增值性大的 数列要保持相对的发展速率则应有更大的绝对发展速率。
三、应用实例
[例] 山西省汾河上游的输沙量与降雨径流的灰色关联分析 汾河是山西省的主要河流，在汾河下游距太原市100多公里
同理有
2 (2 (1),2 (2),2 (3),2 (4),2 (5),2 (6)) (1, 0.982, 0.602, 0.615, 0.797, 0.383)
3 (3(1),3(2),3(3),3(4),3(5),3(6)) (1, 0.933, 0.52, 0, 49, 0.4, 0.34)
序号 1
2
i (k)
0 0.066
1(1) 1(2)
3
4
0.166 0.25
1(3) 1(4)
5
6
0.686 1
1(5) 1(6)
因此，我们有
1(1)
1.4 1(1) 1.4
1.4 0 1.4
1
1(2)
1.4 1(2) 1.4
1.4 0.066 1.4
0.955
1 (3)
1.4 1(3) 1.4
1.4 0.166 1.4
0.1, 0.25, 0.16, 0.23, 0.21, 0.13, 0.24, 0.17, 0.26, 0.19)
根据关联系数求关联度得 r1 0.41（年径流量与输沙量的关联程度） r2 0.21（年平均降雨量与输沙量的关联程度） r3 0.23 （平均汛期降雨量与输沙量的关联程度）
相应的关联序为 r1 r3 r2 上述关联序表明对输沙量影响最大的是年径流量，其次是
各个时刻 xi 与x0 的绝对差如下
序 号1
2
3
4
5
6
1 x0(k) x1(k) 0 2 x0(k) x2(k) 0 3 x0(k) x3(k) 0
0.066 0.025
0.1
0.166 0.925 1.3
0.25 0.686 0.875 1.375 1.45 2.1
1 2.25 2.8
[例] 关联系数的计算
给出已出初值化的序列如下：
x0 (1,1.1, 2, 2.25,3, 4)
x1 (1,1.166,1.834, 2, 2.314,3)
x2 (1,1.125,1.075,1.375,1.625,1.75)
下面分三步计算关联系数： 第一步 求差序列
x3 (1,1, 0.7, 0.8, 0.9,1.2)
min i
(
i(Βιβλιοθήκη in))0.5max i
(i
(max))
x0 (k )
xi (k )
0.5
max i
(
i
(max))
式中，i (k)是第 k 个时刻比较曲线 xi与参考曲线 x0 的相对差值， 它称为 xi对 x0 在 k时刻的关联系数。其中，0.5是分辨系数，记为 一般在0与1之间选取；
miin(i (min))
0.1, 0.22, 0.16, 0.21, 0.13, 0.13, 0.23, 0.17, 0.19, 0.14) 3(k) (1, 0.26, 0.17, 0.2, 0.32, 0.19, 0.16, 0.11, 0.23, 0.18, 0.1, 0.27, 0.25, 0.16, 0.24, 0.22, 0.23
mai x(i (max))
=
min(min
i
k
x0 (k)
xi (k) )
=
max(max
i
k
x0 (k)
xi (k) )
关联系数计算
虽然两级最大差与最小差容易求出，但一般不能计算关联系 数，这是由于作关联度计算的数列的量纲最好是相同的，当量 纲不同时要化为无量纲。此外还要求所有数列有公共交点。为 了解决这两个问题，计算关联系数之前，先将数列作初值化处 理，即用每一个数列的第一个数xi (1) 除其它数 xi (k)，这样既可使 数列无量纲又可得到公共交点xi (1) 即第1点。
0.44, 0.42, 0.34, 0.61, 0.51, 0.36, 0.4, 0.23, 0.34, 0.33)
2 (k) (1, 0.24, 0.17, 0.17, 0.29, 0.22, 0.15, 0.1, 0.24, 0.14, 0.1, 0.2, 0.22, 0.14, 0.2, 0.18.0.21,
的西山修建了汾河水库。该水库不但对农业灌溉、防洪蓄水、 鱼类养殖等起着很大作用，并且还为太原市的用水提供了保证。 建库以来，人们经常在考虑如何防止库容被泥沙淤塞，使水库 能长期有效为工农业生产与人民生活服务。
影响泥沙输入水库的因素较多，比如降雨量、径流量、植被 覆盖率等。在这些因素中哪些是主要的，哪些是次要的有待研 究和量化分析。
关联度
关联系数的数很多，信息过于分散，不便于比较，为此有必
要将各个时刻关联系数集中为一个值，求平均值便是做这种信
息处理集中处理的一种方法。
关联度的一般表达式为：
ri
1 N
N
i (k)
k 1
无量纲化
无量纲化的方法常用的有初值化与均值化，区间相对值化。 初值化是指所有数据均用第1个数据除，然后得到一个新的数 列，这个新的数列即是各个不同时刻的值相对于第一个时刻的 值的百分比。经济序列中常用此法处理。均值化处理则是用平 均值去除所有数据，以得到一个占平均值百分比的数列。