多重积分习题

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例8. 试计算椭球体
的体积 V.
解法1 利用“先二后一”计 算.
c
V d x d y d z 2 d z

4 ab(1 2 ) d z abc 0 3 c
c
z
2
0
Dz
d xd y
F (t ) 2
t f (t ) f (r )r (t r ) d r
2 2 0
0 f (r 2 )r d r 2
t
在 (0,) 上 F (t ) 0, 故 F (t ) 在 (0,) 上 单调增加 .
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(2) 问题转化为证
0 G (t )
1 x
d x 2 d y d x
1
1
2 dy 3
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(2) 提示:
I ( x y 2 xy 2) d xd y
2 2 D
y 1
作辅助线 y x 将D 分成
D1
yx
D2
D1 , D2 两部分
2
D2
( x y )d xd y 2 d xd y
x 0, y 0 即有
R2 x2 b
0 yd x d y
D
R
R
d x
yd y
2 3 R R b2 3 2 由此解得 b R 3
y
b?
机动
y R2 x2
Do
b
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R
R x
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例1. 计算二重积分 I ( x x ye
[5 (1) 3 2] A 9
形心坐标 1 x x d xd y A D 1 y y d xd y A D
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例3. 计算二重积分
(1) I sgn( y x 2 )d xd y, D : 1 x 1， 0 y 1 D
(2) I ( x 2 y 2 2 xy 2) d xd y, 其中D 为圆域
D
在第一象限部分.
解: (1) 作辅助线 y x 把与D 分成
2
D1 , D2 两部分, 则
I d xd y
D1
1 1 1 x
1 D1 1
y
D2
d xd y
x2 0
o D2
习题课 重积分的 计算 及应用
一、 重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用
第九章
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一、重积分计算的基本方法 —— 累次积分法
1. 选择合适的坐标系
使积分域多为坐标面(线)围成;
被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序
积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 3. 掌握确定积分限的方法
2
2

d x
0 sin x
f ( x, y ) d y

0
D1
f ( x, y ) d D f ( x, y ) d
arcsin y
arcsin y
dy
1
f ( x, y ) d x
2 arcsin y
dy
1
0
arcsin y
f ( x, y ) d x
a a
b
b
D

1 2
D[ f

2
( x) f ( y )] dxd y
2
a xb D: a y b


1 b 2 a
dy
b 2 b b 2 f ( x ) dx dx f ( y ) d y a a a


b a b f 2 ( x)d x b f 2 ( y )d y 利用 2 a a
6
2
D2
( x y ) d D ( x y ) d
1
4
12 y
( x y) d x d y 2 ( x y) d x y
4
2
2
4 y
11 543 15
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二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算 分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号 利用对称性 4. 利用重积分换元公式 练习题 P123 1 (总习题九) ; 解答提示: (接下页) P124 4, 7(2), 9
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P124 4. 证明:
0 d y
a
y m( a x ) a m( a x ) e f ( x)d x (a x)e f ( x)d x 0 0 y

提示: 左端积分区域如图,
交换积分顺序即可证得.
2 2 2
a
D
yx
z ln( x y z 1) P124 7(2). 求 x 2 y 2 z 2 1 d v, 其中是 由球面 x 2 y 2 z 2 1 所围成的闭区域 .
0 r R cos D: 2 2
y
r R cos
o
D
Rx
原式
2 3 R 2 (1 sin 3 ) d 0 3
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P124 6. 把积分
其中由曲面
化为三次积分,
及平面
所围成的闭区域 .
提示: 积分域为
:
图示法 界面,界线法
(从内到外: 面、线、点)
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练习
P124 2 (3) ; 6; 7 (1), (3) 补充题: 计算积分 所围成. 解答提示: (接下页) 其中D 由
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P124 2 (3). 计算二重积分
其中D 为圆周 提示: 利用极坐标 所围成的闭区域.
x 5 所围成的闭区域 . xx
其中是由
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
z
o x
5 y
提示: 利用柱坐标
y r cos
: 0 r 10 0 2
原式
2 0
z r sin 1 r2 x 5 2
d
0
10 3
250 r dr r 2 d x 3 2
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例5.
其中 F (t )
求 lim
x2 y2 z 2 t 2
1

f ( x2 y2 z 2 ) d x d y d z
t 0 t
F ( t ) ， 4
解: 在球坐标系下
t
4 f (r ) r 2 d r 0 F (0) 0 利用洛必达法则与导数定义,得 f (t ) f (0) 4 f (t ) t 2 F (t ) lim f (0) lim 4 lim 3 t 0 t0 t 0 t t 0 4 t
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三、重积分的应用
1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 2. 物理方面 质量, 转动惯量, 质心, 引力 3. 其它方面 证明某些结论等
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例6.
证明
证:左端 f ( x) dx f ( y ) d y f ( x) f ( y ) dxd y
2 1
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例2. 计算二重积分
线
D D
其中D 是由曲
所围成的平面域 .
解: I 5 x d xd y 3 y d xd y
积分区域 ( x 1) 2 ( y 2) 2 32
其形心坐标为: x 1 , y 2
面积为:
5 x A 3 y A
t
t
因
2 2 g (t ) f (t ) f (r )(t r ) d r 0 2 0
t
故 g (t ) 在 (0, ) 单调增 , 又因 g (t ) 在 t 0 连续, 故有 g (t ) g (0) 0 (t 0) 2 因此 t > 0 时, F (t ) G (t ) 0 .
1
1
x2 y2 0
原式 d x d y
1
x2
f ( x , y , z )d z
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P124 7 (1) .计算积分
其中是两个球
D2z
D1 z
( R > 0 )的公共部分.
提示: 由于被积函数缺 x , y ,
z
R
R 2
利用“先二后一” 计算方便 . 原式 =
2 D
x2 y2
) d xd y , 其中:
(1) D为圆域
(2) D由直线
解: (1) 利用对称性.
围成 .
x2 y2
I x 2 d x d y x ye
D
D
d xd y
1 2 2 ( x y ) d xd y 0 2 D 1 3 1 2 d r d r 0 4 2 0
2
2
2

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解: (1) 因为
F (t )
0
2
d d f (r )r sin d r
2 2

t
0
0 2
d f (r 2 )r d r
0 t
0 t

2 f (r 2 )r 2 d r
t
0
0 t
f (r 2 )r d r
两边对 t 求导, 得
提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用
o
x
对称性可知原式为 0.
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9. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个 薄片的重心恰好落在圆心上 , 问接上去的均匀矩形薄片 的另一边长度应为多少? 提示: 建立坐标系如图. 则
t 2 0
2
d f (r )r d r f (r 2 )r d r 0 0 t t 2 2 2 f (r ) d r f (r ) d r
2 0 0
t
t
2 2 g ( t ) 即证 f (r )r d r f (r ) d r f (r )r d r 0 2 2 0 0
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y
o
D 1x
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(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x, 将D 分为 D1 , D2 ,
利用对称性 , 得
x y e
D1
x2 y2
d xd y

1 1
D2
xyex
x
2
y
2
y yx o D2 1 x D1 1 y x
dxd y
x d x d y 0 0
5
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补充题. 计算积分
所围成 .
其中D 由
y
4 提示:如图所示 D D2 \ D1 , 2 o D1 D 2 f ( x, y ) x y 在 D2 内有定义且 D 4 连续, 所以 6
y 2 2x
x
D
( x y ) d
d y y 2
D
o
1 x
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
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例4. 交换下列二次积分的顺序:
y
y sin x
o
解: 如图所示
D1
D2
2 x
I d x
0

sin x 0
f ( x, y ) d y
2 2 2
z
D(t )
x
o (t )
t y
其中
(t ) {( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 t 2 },
D(t ) {( x, y ) x y t }.
(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞) 内的单调性; 2 (03考研) (2) 证明 t > 0 时, F (t ) G (t ) .
x
o
y
0
0
R
2 z 2 dz 2 z2


R

59 5 R 480
R 2 d xd y d xd y z d z R D1 z D2 z 2 R 2 2 2 2 (2 R z z ) d z R z ( R z ) d z 2



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P124 7 (3).计算三重积分 xoy平面上曲线


(b a) f 2 ( x)d x = 右端 a
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b
2ab a 2 b 2
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例7. 设函数 f (x) 连续且恒大于零,
f (x y z ) d v (t ) F (t ) 2 2 f ( x y ) d D(t ) 2 2 f (x y ) d D (t ) G (t ) t 2 f ( x t ) d x