多重积分习题
多重积分8(xtk)
O D 2
−1
1
x
12 = dx 2 ( y − x )dy + ∫ dx ∫ ( x − y )dy = x −1 −1 −1 5
∫
D1 1
D2
∫
1
2
1
x2
2
3
第八章 重积分 习题课
练习 计算 ∫∫
D
北方交大考试题（ 级 北方交大考试题（94级） cos( x + y ) dxdy
π π y 其中 D = ( x , y ) 0 ≤ x ≤ ,0 ≤ y ≤ π 2 2 2 D2 解 ∫∫ cos( x + y ) dxdy
•
∫0 dx ∫0
a
a
a
x
f ( y )dy = ∫ dy ∫ f ( y )dx
0 y
a
a
(a , a )
= ∫ f ( y ) ⋅ x dy = ∫ (a − y ) f ( y )dy 0
a y
0
a
O
a
x
= ∫ (a − x ) f ( x )dx
0
证毕. 证毕
16
第九章 重积分 习题课
上海交大考试题（ 级 上海交大考试题（94级） 例 设f ( x )在x = 0处可导，且 f (0) = 0, 求极限 处可导，
2z 2z
∫∫ D
xz
1 d xd z 2 2z − z
∫0 dz ∫−
2
1 dx 2 2z − z
=8
x
x2= 2z
O
2
A = 2 A1 = 16
z
14
第八章 重积分 习题课
作业
自测题8 (117页 自测题8-6 (117页)
重积分习题与答案
第九章重积分A1、填空题1）交换下列二次积分的积分次序（1）______________________________________________ （2）______________________________________________ （3）_______________________________________________ （4）___________________________________________ （5）______________________________________________ （6）________________________________________2）积分的值等于__________________________________3)设，试利用二重积分的性质估计的值则。
4)设区域是有轴、轴与直线所围成，根据二重积分的性质，试比较积分与的大小________________________________5）设，则积分___________________________________________6)已知是由所围，按先后再的积分次序将化为累次积分，则7）设是由球面与锥面的围面，则三重积分在球面坐标系下的三次积分表达式为2、把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值1）2）3、利用极坐标计算下列各题1），其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.2），其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.3），其中是由圆周及直线所围成的在第一象限的闭区域.4、选用适当的坐标计算下列各题1),其中是直线及曲线所围成的闭区域.2），其中是顶点分别为和的梯形闭区域.3），其中是圆周所围成的闭区域.4），其中是圆环形闭区域.5、设平面薄片所占的闭区域由螺线上一段弧与直线所围成，它的面密度为，求这薄片的质量（图9-5）.6、求平面，，，以及球心在原点、半径为的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.7、设平面薄片所占的闭区域由直线，和轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量.8、计算由四个平面，，，所围成的柱体被平面及截得的立体的体积.9、求由平面，，所围成的柱体被平面及抛物面截得的立体的体积.10、计算以面上的圆周围成的闭区域为底，而以曲面为顶的曲顶柱体的体积.11、化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是1）由双曲抛物面及平面所围成的闭区域.2）由曲面及所围成的闭区域.12、设有一物体，占有空间闭区域，在点处的密度为，计算该物体的质量.13、计算，其中是由曲面，与平面和所围成的闭区域.14、计算，其中为球面及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.15、算，其中是由锥面与平面所围成的闭区域.16、利用柱面坐标计算三重积分，其中是由曲面及所围成的闭区域.17、利用球面坐标计算三重积分，其中是由球面所围成的闭区域.18、选用适当的坐标计算下列三重积分1），其中为柱面及平面，，所围成的在第一卦限内的闭区域.2），其中是两个球和的公共部分.3），其中是由曲面及平面所围成的闭区域.4），其中闭区域由不等式，所确定.19、利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积1）及.2）及(含有轴的部分).20、球心在原点、半径为的球体，在其上任意一点的密度大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的的质量.21、求球面含在圆柱面内部的那部分面积.22、求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.23、求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线的转动惯量.24、设薄片所占的闭区域如下，求均匀薄片的质心是半椭圆形闭区域.25、设平面薄片所占的闭区域由抛物线及直线所围成，它在点处的面密度，求该薄片的质心.25、利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度）1），2），,26、求半径为高为的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度）.B1、根据二重积分的性质，比较下列积分的大小1）与，其中积分区域是由圆周所围成.2）与，其中是三角形闭区域，三顶点分别为，.2、计算下列二重积分1），其中2），其中是由直线，及所围成的闭区域3），，其中3、化二重积分为而次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域1）由轴及半圆周所围成的闭区域2）环形闭区域4、求由曲面及所围成的立体的体积.5、计算，其中为平面，，，所围成的四面体.6、计算下列三重积分1)，其中是两个球：和的公共部分.2)，其中是由球面所围成的闭区域.3)，其中是由平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围成的闭区域.7、设球体占有闭区域，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的球心.8、一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面和平面，所围成1）求物体的体积;2）求物体的质心;3）求物体关于轴的转动.C1、利用二重积分的性质，估计积分，其中是由圆周所围成.2、用二重积分计算立体的体积，其中由平面，，，和所围成.3、计算二重积分，其中是由直线，以及曲线所围成的平面区域.4、设在积分域上连续，更换二次积分的积分次序.5、计算二重积分，其中积分区域是由和确定.6、求二重积分的值，其中是由直线，及围成的平面区域.7、计算,其中由曲面及围成.8、计算，其中是由曲面与平面及所围成的闭区域.9、设有一半径为的球体，是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到的距离的平方成正比（比例常数），求球体的重心的位置.10、设有一高度为（为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为cm，时间单位为h），已知体积减少的速率与侧面积成正比例（比例系数），问高度为130（cm）的雪堆全部融化需多少时间？第九章重积分答案习题答案（A）1、填空题1）①②③④⑤⑥2）3)4)5)6)7)2、1）2）3、1）2）3）4、1）2）3）4）5、6、7、8、9、10、11、1）2）12、13、14、15、16、17、18、1）2）3）4）19、1）2）20、21、22、23、24、25、，26、27、（为圆柱体的质量）（B）1、 1）2）2、1）2)3)3、1），2）4、5、； 6、1）2）3）； 7、8、1）2）3）（C）1、解：令，关键是求在上的最大值和最小值，在内部，，，因此在内部无驻点，最值点一定在边界上取得，作由方程组解得驻点为，，比较可得最小值，最大值为，而的面积为，由估值定理得。
多重积分习题课9
机动目录上页ຫໍສະໝຸດ 下页返回结束
补充题. 补充题 计算积分 所围成 .
其中D 其中 由
y
4 提示: 提示:如图所示 D = D2 \ D1 , 2 o D1 D2 f ( x, y) = x + y 在D2内有定义且 D 4 连续, 连续, 所以 6
y2 = 2x
x
∫∫D
(x + y) dσ = ∫∫D2 ( x + y)dσ ∫∫D1 ( x + y)dσ
12 y 4 = ∫6dy ∫ y2 ( x + y)d x
2
4 y 2 ∫4dy ∫ y2 ( x + y)d x
2
11 = L= 543 15
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三,画出积分区域,并计算下列二重积分: 画出积分区域,并计算下列二重积分: 1, 所确定的闭区域. 1, e x + y dσ ,其中 D 是由 x + y ≤ 1所确定的闭区域. ∫∫
目录
上页
下页
返回
结束
P124 7 (1) .计算积分 计算积分
其中 其中是两个球
D2 z
Dz 1
z
( R > 0 )的公共部分 的公共部分. 的公共部分 提示: 提示 由于被积函数缺 x , y , 利用"先二后一" 利用"先二后一" 计算方便 . 原式 =
R 2 ∫0 2 z dz ∫∫D1z dxdy
习题课 重积分的 计算 及应用
一, 重积分计算的基本方法 二,重积分计算的基本技巧 三,重积分的应用
第九章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
重积分习题word版
42、设Ω是由x2+y2+z2≤2z+3所确定的有界闭区域，试将 化成柱面坐标下的三次积分式
43、试将 化成柱面坐标下的三次积分式。
44、设Ω是由1≤x2+y2+z2≤2,z≥0及x2+y2≤1所确定的闭区域，试将
35、设Ω是由z=x2+y2,x2+y2=1以及z=0所围的有界闭区域，试将I= 分别化成直角，柱面及球面坐标下的三次积分式。
36、设Ω是由x2+y2+z2≤a2, (a>0)及z≥0所确定的有界闭区域。试将
f(x,y,z)dv分别化成柱面及球面坐标下的三次积分式。
37、试将 化成柱面及球面坐标下的三次积分式。
31、Ω是由曲面2z=x2+y2,(x2+y2)2=x2－y2及z=0所围的有界闭区域，试将I= f(x,y,z)dv化成柱面坐标下的三次积分式。
32、试将 化成柱面坐标下的三次积分式。
33、设Ω是由1≤x2+y2+z2≤4以及 所确定的闭区域，试将I= 化成柱面坐标下的三次积分式。
34、设Ω是由 (0<a<R)及z≥0所确定的闭区域，试将I= 化成球面坐标下的三次积分式。
7、设Ω是由曲面y=x2,y=1,z=y,z=－y所围的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
8、设Ω是由 所确定的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
9、设Ω是由x+y≥a,x2+y2≤a2及0≤z≤a－y(a>0)所确定的有界闭区域。试将I= f(x,y,z)dv化成先对z次对y再对x积分的三次积分式。
重积分习题及解答
重积分练习一. 填空1.⎰⎰12),(xx dy y x f dx 交换积分次序后为_________________.2.用柱面坐标系化三重积分为三次积分________________),,(=⎰⎰⎰Ωdv z y x f其中2,1,1:22===+Ωz z y x 围成. 3. (化为柱面坐标中的三次积分)__________________),,(22222211111111==⎰⎰⎰--+-------dz z y x f dydxI y x y x x x (化为柱面坐标中的三次积分) 二．选择题1. =+⎰⎰-dy y x dxx x243221( ).A. ⎰⎰302πθrdr d . B.⎰⎰232ππθrdr d C.⎰⎰3022πθdr r d . D.⎰⎰2322ππθdr r d2.若区域D 由1)1(22=+-y x 所围,则⎰⎰Ddxdy y x f ),(化成累次积分为 ( )A.⎰⎰πθθθθ0cos 20)sin ,cos (rdr r r f d . B. ⎰⎰-ππθθθθcos 20)sin ,cos (rdr r r f dC.⎰⎰20cos 20)sin ,cos (2πθθθθrdr r r f d D. ⎰⎰-22cos 20)sin ,cos (ππθθθθrdr r r f d三．计算1．. 计算⎰⎰-+=+-⋅+22)(4122222x a a xady y x a y x dx2． 计算⎰⎰-Ddxdy y x ||,其中D 是由2,0,1,0====y y x x 所围成的区域.3. 求由x e z y 222-=+与平面1,0==x x 所围立体体积.4.D 由直线x y y x ===,2,4所围成,求⎰⎰--Dxdxdy x e 22.5.计算⎰⎰-=Dd y x I σ||,其中0,0,1:22≥≥≤+y x y x D .6.计算⎰⎰⎰Ω+dV z x )(,其中22221,:y x z y x z --=+=Ω所围的空间区域.四．应用题。
数学分析21.5三重积分(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分5三重积分一、三重积分的概念引例：设一空间立体V 的密度函数为f(x,y,z)，为求V 的质量M ， 将V 分割成n 个小块V 1,V 2,…,V n . 每个小块V i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 则 M=i ni i i i T V f ∆∑=→10),,(lim ζηξ, 其中△V i 是小块V i 的体积, T =}{max 1的直径i ni V ≤≤.概念：设f(x,y,z)是定义在三维空间可求体积有界区域V 上的有界函数. 用若干光滑曲面所组成的曲面网T 来分割V ，把V 分成n 个小区域 V 1,V 2,…,V n .记V i 的体积为△V i (i=1,2,…,n)，T =}{max 1的直径i ni V ≤≤.在每个V i 中任取一点(ξi ,ηi ,ζi ), 作积分和i ni i i i V f ∆∑=1),,(ζηξ.定义1：设f(x,y,z)为定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数. 若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对于V 的任何分割T ，只要T <δ，属于分割T 的所有积分和都有J V f i ni iii-∆∑=1),,(ζηξ<ε，则称f(x,y,z)在V 上可积，数J 称为函数f(x,y,z)在V 上的三重积分，记作J=⎰⎰⎰VdV z y x f ),,(或J=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(，其中f(x,y,z)称为被积函数，x, y, z 称为积分变量，V 称为积分区域.注：当f(x,y,z)=1时，⎰⎰⎰VdV 在几何上表示V 的体积.三积重分的条件与性质：1、有界闭域V 上的连续函数必可积；2、如界有界闭区域V 上的有界函数f(x,y,z)的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，则f(x,y,z)在V 上必可积.二、化三重积分为累次积分定理21.15：若函数f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意(x,y)∈D=[a,b]×[c,d], g(x,y)=⎰he dz z y xf ),,(存在，则积分⎰⎰Ddxdy y x g ),(也存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰Dhedz z y x f dxdy ),,(.证：用平行于坐标轴的直线作分割T ，把V 分成有限多个小长方体 V ijk =[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ].设M ijk , m ijk 分别是f(x,y,z)在V ijk 上的上确界和下确界，对任意(ξi ,ηj )∈[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ], 有m ijk △z k ≤⎰-kk z z j i dz z f 1),,(ηξ≤M ijk △z k .现按下标k 相加，有∑⎰-kz z j i kk dz z f 1),,(ηξ=⎰he j i dz zf ),,(ηξ=g(ξi ,ηj )，以及∑∆∆∆kj i k j i ijkz y x m,,≤j i ji j i y x g ∆∆∑,),(ηξ≤∑∆∆∆kj i k j i ijk z y x M ,,.两边是分割T 的下和与上和. 由f(x,y,z)在V 上可积，当T →0时， 下和与上和具有相同的极限，∴g(x,y)在D 上可积，且⎰⎰⎰Dhedz z y x f dxdy ),,(=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.推论：若V={(x,y,z)|(x,y)∈D, z 1(x,y)≤z ≤z 2(x,y)} ⊂[a,b]×[c,d]×[e,h]时，其中D 为V 在Oxy 平面上的投影，z 1(x,y), z 2(x,y)是D 上的连续函数，函数f(x,y,z)在V 上的三重积分存在，且对任意(x,y)∈D, G(x,y)=⎰),(),(21),,(y x z y x z dz z y x f 亦存在，则积分⎰⎰Ddxdy y x G ),(存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰D dxdy y x G ),(=⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(.证：记F(x,y,z)=⎩⎨⎧∈∈V V z y x ，Vz y x ，z y x f \),,(0),,(),,(0 , 其中V 0=[a,b]×[c,d]×[e,h].对F(x,y,z)应用定理21.15，(如图)则有⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰0),,(V dxdydzz y x F=⎰⎰⎰⨯d][c,b][a,),,(hedz z y x F dxdy =⎰⎰⎰Dy x z y x z dz z y x f dxdy ),(),(21),,(.例1：计算⎰⎰⎰+Vy x dxdydz22，其中V 为由平面x=1, x=2, z=0, y=x 与z=y 所围区域(如图).解：设V 在xy 平面上投影为D ，则 V={(x,y,z)|z 1(x,y)≤z ≤z 2(x,y),(x,y)∈D},其中D={(x,y)|0≤y ≤x,1≤x ≤2}, z 1(x,y)=0, z 2(x,y)=y, 于是⎰⎰⎰+V y x dxdydz 22=⎰⎰⎰+D y y x dz dxdy 022=⎰⎰+D dxdy y x y 22=⎰⎰+21022x dy y x y dx=⎰212ln 21dx =2ln 21.例2：计算⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(22，其中V 是由⎩⎨⎧==0x y z 绕z 轴旋转一周而成的曲面与z=1所围的区域.解：V={(x,y,z)|22y x +≤z ≤1,(x,y)∈D}, 其中D={(x,y)|x 2+y 2≤1},⎰⎰⎰++Vdxdydz z y x )(22=⎰⎰⎰+++Dyx dz z y x dxdy 12222)(=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+Ddxdy y x y x 2121)(2222=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθ201022121rdrr r d=⎰πθ20407d =207π.定理21.16：若函数f(x,y,z)在长方体V=[a,b]×[c,d]×[e,h]上的三重积分存在，且对任意x ∈[a,b], 二重积分I(x)=⎰⎰Ddydz z y x f ),,(存在，则积分⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(也存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(.证：用平行于坐标轴的直线作分割T ，把V 分成有限多个小长方体 V ijk =[x i-1,x i ]×[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ], 记D jk =[y j-1,y j ]×[z k-1,z k ], 设M ijk , m ijk 分别是f(x,y,z)在V ijk 上的上确界和下确界， 对任意ξi ∈[x i-1,x i ], 有m ijk △D jk ≤⎰⎰jkD i dydz z y f ),,(ξ≤M ijk △D jk .现按下标j,k 相加，有∑⎰⎰k j D i jkdydz z y f ,),,(ξ=⎰⎰Di dydz z y f ),,(ξ=I(ξi )，以及∑∆∆∆kj i k j i ijkz y x m,,≤i ii x I ∆∑)(ξ≤∑∆∆∆kj i k j i ijk z y x M ,,.两边是分割T 的下和与上和. 由f(x,y,z)在V 上可积，当T →0时， 下和与上和具有相同的极限，∴I(x)在D 上可积，且⎰⎰⎰baDdydz z y x f dx ),,(=⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(.推论：(如图)若V ⊂[a,b]×[c,d]×[e,h], 函数f(x,y,z)在V 上的三重积分存在，且对任意固定的z ∈[e,h], 积分φ(z)=⎰⎰zD dxdy z y x f ),,(存在，其中D z是截面{(x,y)|(x,y,z)∈V}, 则⎰he dz z )(ϕ存在，且⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰h edz z )(ϕ=⎰⎰⎰heD zdxdy z y x f dz ),,(.证：证法与定理21.16证明过程同理.例3：计算I=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydz c z b y a x 222222, 其中V 是椭球体222222c z b y a x ++≤1.解：I=⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydz c z b y a x 222222=⎰⎰⎰V dxdydz a x 22+⎰⎰⎰V dxdydz b y 22+⎰⎰⎰Vdxdydz c z 22.其中⎰⎰⎰V dxdydz a x 22=⎰⎰⎰-a a V xdydz dx a x 22,V x 表示椭圆面2222c z b y +≤1-22ax 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2222222211a x c z a xb y ≤1. 它的面积为π⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-222211a x c a x b =πbc ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-221a x. ∴⎰⎰⎰V dxdydz a x 22=⎰-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a dx a x a bcx 22221π=154πabc. 同理可得：⎰⎰⎰V dxdydz b y 22=⎰⎰⎰V dxdydz cz 22=154πabc.∴I=3(154πabc)=54πabc.三、三重积分换元法规则：设变换T ：x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)，把uvw 空间中的区域V ’一对一地映成xyz 空间中的区域V ，并设函数x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)及它们的一阶偏导数在V ’内连续且函数行列式J(u,v,w)=wz v z uz w yv y u yw x v x u x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂≠0, (u,v,w)∈V ’. 则当f(x,y,z)在V 上可积时，有 ⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V dudvdw w v u J w v u z w v u y w v u x f |),,(|)),,(),,,(),,,((.常用变换公式： 1、柱面坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=≤≤=+∞<≤=z z ，z ，r y r ，r x πθθθ20sin 0cos , J(r,θ,z)=100cos sin 0sin cos θθθθr r -=r, 即有 ⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V dz rdrd z r r f θθθ),sin , cos (.V ’为V 在柱面坐标变换下的原象.注：(1)虽然柱面坐标变换并非是一对一的，且当r=0时，J(r,θ,z)=0，但结论仍成立.(2)柱面坐标系中r=常数, θ=常数, z=常数的平面分割V ’变换到xyz 直角坐标系中，r=常数是以z 轴为中心轴的圆柱面，θ=常数是过z 轴的半平面，z 的常数是垂直于z 轴的平面(如图).例4：计算⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22, 其中V 是曲面2(x 2+y 2)=z 与z=4为界面的区域.解法一：V={(x,y,z)|2(x 2+y 2)≤z ≤4, (x,y)∈D}, D={(x,y)|x 2+y 2≤2}.⎰⎰⎰+Vdxdydz y x )(22=⎰⎰⎰++4)(22222)(y x Ddzy x dxdy=⎰⎰+-+Ddxdy y x y x )](24)[(2222=⎰⎰-202220)24(rdrr r d πθ=⎰-2053)2(4dr r r π=⎰-2053)2(4dr r r π=38π.解法二：V 在xy 平面上的投影区域D=x 2+y 2≤2. 按柱坐标变换得 V ’={(r,θ,z)|2r 2≤z ≤4, 0≤r ≤2, 0≤θ≤2π}.∴⎰⎰⎰+V dxdydz y x )(22=⎰⎰⎰'V dz drd r θ2=⎰⎰⎰42320202r dz r dr d πθ=38π.2、球坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤=+∞<≤=πθϕπϕθϕθϕ20cos 0sin sin 0cos sin ，r z ，r y r ，r x ,J(r,φ,θ)=0sin cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin ϕϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕr co r r r r --=r 2sin φ≥0, 即有⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=⎰⎰⎰'V d drd rr r r f θϕϕϕθϕθϕsin )cos ,sin sin , cos sin (2,V ’为V 在球坐标变换T 下的原象.注：(1)球坐标变换并不是一对一的，并且当r=0或φ=0或π时，J=0. 但结论仍成立.(2)球坐标系中r=常数, φ=常数, θ=常数的平面分割V ’变换到xyz 直角坐标系中，r=常数是以原点为中心的球面， φ=常数是以原点为顶点, z 轴为中心轴的 圆锥面，θ=常数是过z 轴的半平面(如图).例5：求由圆锥体z ≥22y x +cot β和球体x 2+y 2+(z-a)2≤a 2所确定的立体体积，其中β∈⎪⎭⎫⎝⎛2,0π和a(>0)为常数.解：球面方程x 2+y 2+(z-a)2=a 2可表示为r=2acos φ, 锥面方程z=22y x +cot β可表示为φ=β. ∴V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤2acos φ, 0≤φ≤β, 0≤θ≤2π}. ∴⎰⎰⎰VdV =⎰⎰⎰ϕβπϕϕθcos 202020sin a dr r d d =⎰βϕϕϕπ033sin cos 316d a =343a π(1-cos 4β).例6：求I=⎰⎰⎰Vzdxdydz , 其中V 为由222222c z b y a x ++≤1与z ≥0所围区域.解：作广义球坐标变换：T ：⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin cr z br y ar x , 则J=abcr 2sin φ. V 的原象为V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤1, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π} ∴⎰⎰⎰Vzdxdydz =⎰⎰⎰⋅1022020sin cos dr abcr cr d d ϕϕϕθππ=⎰2022sin 4πϕϕπd abc =42abc π.习题1、计算下列积分：(1)⎰⎰⎰+Vdxdydz z xy )(2, 其中V=[-2,5]×[-3,3]×[0,1]；(2)⎰⎰⎰Vzdxdydz y x cos cos , 其中V=[0,1]×[0,2π]×[0,2π]；(3)⎰⎰⎰+++Vz y x dxdydz3)1(, 其中V 是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域； (4)⎰⎰⎰+Vdxdydz z x y )cos(, 其中V 由y=x , y=0, z=0及x+z=2π所围成.解：(1)⎰⎰⎰+VdV z xy )(2=⎰⎰⎰+--1023352)(dz z xy dy dx =⎰⎰--⎪⎭⎫⎝⎛+335231dy xy dx =⎰-522dx =14.(2)⎰⎰⎰VzdV y x cos cos =⎰⎰⎰202010cos cos ππzdz ydy xdx =21.(3)⎰⎰⎰+++Vz y x dxdydz 3)1(=⎰⎰⎰---+++y x x z y x dz dy dx 1031010)1(=⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++x dy y x dx 1021041)1(121=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+1041211121dx x x =1652ln 21-. (4)⎰⎰⎰+VdV z x y )cos(=⎰⎰⎰-+xxdz z x y dy dx 20020)cos(ππ=⎰⎰-xydydx x 020)sin 1(π=⎰-20)sin 1(21πdx x x =21162-π.2、试改变下列累次积分的顺序： (1)⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(；(2)⎰⎰⎰+220110),,(y x dz z y x f dy dx .解：(1)积分区域V={(x,y,z)|0≤z ≤x+y, 0≤y ≤1-x, 0≤x ≤1}； ∵V 在xy 平面上的投影区域D xy ={(x,y)|0≤y ≤1-x, 0≤x ≤1} ∴I=⎰⎰⎰+-yx xdz z y x f dy dx 01010),,(=⎰⎰⎰+-yx ydz z y x f dx dy 01010),,(.∵V 在yz 平面上的投影区域D yz ={(y,z)|0≤y ≤1, 0≤z ≤1} ∴I=⎰⎰⎰-yydx z y x f dz dy 10010),,(+⎰⎰⎰--yy z y dx z y x f dz dy 1110),,(=⎰⎰⎰--yy z zdx z y x f dy dz 1010),,(+⎰⎰⎰-yz dx z y x f dy dz 10110),,(.∵V 在xz 平面上的投影区域D yz ={(x,z)|0≤x ≤1, 0≤z ≤1} ∴I=⎰⎰⎰-xxdy z y x f dz dx 10010),,(+⎰⎰⎰--xx z x dy z y x f dz dx 1110),,(=⎰⎰⎰--xx z zdy z y x f dx dz 1010),,(+⎰⎰⎰-xz dy z y x f dx dz 10110),,(.(2)积分区域V={(x,y,z)|0≤z ≤x 2+y 2, 0≤y ≤1, 0≤x ≤1}；∵V 在xy 平面上的投影区域D xy ={(x,y)|0≤y ≤1, 0≤x ≤1}； 在yz 平面上的投影区域D yz ={(x,y)|0≤y ≤1, 0≤z ≤1+y 2}； 在xz 平面上的投影区域D yz ={(x,y)|0≤x ≤1, 0≤z ≤1+x 2}； ∴I=⎰⎰⎰+2201010),,(y x dz z y x f dy dx =⎰⎰⎰+220110),,(y x dz z y x f dx dy=⎰⎰⎰10010),,(2dx z y x f dz dy y +⎰⎰⎰-+1110222),,(y z y ydxz y x f dz dy=⎰⎰⎰10110),,(dx z y x f dy dz z +⎰⎰⎰--111212),,(yz z dx z y x f dy dz .=⎰⎰⎰10010),,(2dy z y x f dz dx x +⎰⎰⎰-+1110222),,(x z x x dyz y x f dz dx=⎰⎰⎰10110),,(dy z y x f dx dz z +⎰⎰⎰--111212),,(x z z dy z y x f dx dz .3、计算下列三重积分与累次积分：(1)⎰⎰⎰Vdxdydz z 2, 其中V 由x 2+y 2+z 2≤r 2和x 2+y 2+z 2≤2rz 所确定；(2)⎰⎰⎰--+-22222221010y x yx x dz z dy dx .解：(1) 由x 2+y 2+z 2≤2rz, 得S: x 2+y 2≤2rz-z 2, 0≤z ≤2r , 又由x 2+y 2+z 2≤r 2, 得Q: x 2+y 2≤r 2-z 2,2r≤z ≤r ∴⎰⎰⎰Vdxdydz z 2=⎰⎰⎰Sr dxdy z dz 220+⎰⎰⎰Qrr dxdyz dz 22=⎰-2022)2(r dz z rz z π+⎰-rr dz z r z 2222)(π=480595r π. (2)应用柱坐标变换：V ’={(r,θ,z)|r ≤z ≤22r -, 0≤r ≤1, 0≤θ≤2π}, ∴⎰⎰⎰--+-22222221010y x yx x dz z dy dx =⎰⎰⎰-2221020r rdz z rdr d πθ=⎰---1322]2)2[(6dr r r r r π.=⎰---10322]2)2[(6dr r r r r π=)122(15-π.4、利用适当的坐标变换，计算下列各曲面所围成的体积. (1)z=x 2+y 2, z=2(x 2+y 2), y=x, y=x 2；(2)2⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x +2⎪⎭⎫ ⎝⎛c z =1 (x ≥0, y ≥0, z ≥0, a>0, b>0, c>0). 解：(1)V={(x,y,z)|x 2+y 2≤z ≤2(x 2+y 2), (x,y)∈D}, 其中D={(x,y)|0≤x ≤1, x 2≤y ≤x }. ∴⎰⎰⎰V dxdydz =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰+xx dyy x dx 2)(2210=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-1063223)()(dx x x x x x =353. (2)令x=arsin 2φcos θ, y=brcos 2φcos θ, z=crsin θ, 则J=0cos sin cos cos sin 2sin cos cos cos cos cos sin 2sin sin cos sin 2222θθθϕϕθϕθϕθϕϕθϕθϕcr c br br b ar ar a ---=2abcr 2cos φsin φcos θ,又V ’={(r,φ,θ)|0≤r ≤1, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π}. ∴⎰⎰⎰Vdxdydz =⎰⎰⎰1022020sin cos cos 2dr r d d abc ππϕϕϕθθ=3abc.5、设球体x 2+y 2+z 2≤2x 上各点的密度等于该点到坐标原点的距离，求这球体的质量.解：依题意，球体的质量M=⎰⎰⎰≤++++xz y x dV z y x 2222222,应用球面变换得V ’={(r,θ,φ)|-2π≤θ≤2π, 0≤φ≤π, 0≤r ≤2sin φcos θ}. ∴M=⎰⎰⎰-θϕπππϕϕθcos sin 203022sin dr r d d =⎰⎰-πππϕϕθθ05224sin cos 4d d =58π.6、证明定理21.16及其推论. 证：证明过程见定理21.16及其推论.7、设V=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤++1),,(222222c z b y a x z y x , 计算下列积分：(1)⎰⎰⎰---Vdxdydz c z b y a x 2222221；(2)⎰⎰⎰++Vc z by ax dxdydz e 222222.解：应用球面变换得V ’={(r,θ,φ)| 0≤θ≤2π, 0≤φ≤π, 0≤r ≤1}. (1)⎰⎰⎰---VdV cz b y a x 2222221=⎰⎰⎰-10220201sin dr r abcr d d ϕϕθππ =42πabc . (2)⎰⎰⎰++Vc z b y ax dV e222222=⎰⎰⎰12020sin dr e abcr d d r ϕϕθππ=)2(4-e abc π.。
(完整版)重积分习题及答案
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2) ()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,ydx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-aa y y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+Dd y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
重积分练习题答案
重积分部份练习题1．计算()⎰⎰⎰Ω+=dxdydz y x I 22，其中Ω是由曲线⎩⎨⎧==022x z y 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面2=z ，8=z 所围的立体。
2.一均匀物体(密度ρ为常量)占有的闭区域Ω是由曲面22y x z +=和平面0=z ，a x =||，a y =||所围成的。
(1) 求其体积；(2) 求物体的重心；(3) 求物体关于z 轴的转动质量。
3．设()y x f ,持续，且()()⎰⎰+=D dudv v u yf x y x f ,,，其中D 是由xy 1=，1=x ，2=y 所围区域，求()y x f ,。
4．设()()⎰⎰⎰≤++++=2222222t z y x dxdydz z y x f t F ，其中()u f 为持续函数，()0f '存在，且()00=f ，()10='f ，求()50lim t t F t →。
5.求锥面22y x z +=被柱面x z 22=所割下部份的曲面面积。
6.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(2222>=++a a z y x 上,问当R 取何值时,球面∑在定球面内部的那部份面积最大?7.设有一半径为R 的球体，0P 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到0P 的距离的平方成正比（比例常数k>0），求球体的重心。
8.计算以下二重积分:(1)24212sinsin 22xx x I dx dy dx dy y y ππ=+⎰⎰;(2) ⎰⎰--=Dd y x I σ221, 其中:1,1D x y ≤≤.（3）计算2||,:11,01Dy x dxdy D x y --≤≤≤≤⎰⎰.（4）⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+=D d y f x x f y y x I σ221,其中(){}222,D x y x y R =+≤。
9. 求极限4/2/)(2/00221lim x x t du u t x x e e dt ---→-⎰⎰+ .10. 设Ω是曲面与 所围成的立体，求Ω的体积V 与表面积S 。
多重积分例题
1. 计算二重积分∫∫Dxy，其中D是由x^2+y^2≤1和x+y≥0所围成的闭区域。
解：首先作出不等式组对应的平面区域，然后利用极坐标变换进行求解。
将x²+y²=1代入x+y=0得，x=±√3/2，y=±1/2。
因此，D由圆心在原点，半径为1的上半圆和直线x=-√3/2，y=1/2以及直线x=√3/2，y=-1/2所围成。
将(x,y)代入极坐标系中，得到D的极坐标方程为：θ∈[0,π/4]∪[π/2,π]，r²=1-sin²θ。
因此，二重积分的计算结果为：∫∫Dxy = ∫[0,π/4]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr + ∫[π/4,π/2]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr + ∫[π/2,π]dθ∫[0,1-sin²θ]r²dr= (1/2)(1-cos²θ)|_0^{π/4} + (1/2)(1-cos²θ)|_{\pi/4}^{\pi/2} + (1/2)(1-cos²θ)|_{\pi/2}^{\pi}= π/8 - 3/4。
2. 计算三重积分∫∫∫Ωzdxdydz，其中Ω是由x²+y²+z²≤1和x+y+z≥0所围成的闭区域。
解：首先作出不等式组对应的空间区域，然后利用柱面坐标变换进行求解。
将x²+y²+z²=1代入x+y+z=0得，x=y=z=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
因此，Ω由球心在原点，半径为1的球体和点(-dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3},-\dfrac{\sqrt{3}}{3})所围成。
将(x,y,z)代入柱面坐标系中，得到Ω的柱面坐标方程为：r=1，θ∈[0,2π]，φ∈[0,π]。
因此，三重积分的计算结果为：∫∫∫Ωzdxdydz = ∫[0,2π]dφ∫[0,π]rdθ∫[0,1]r²sinφdz= (1/2)(r³sinφ)|_0^{π} |_0^{π} |_0^{1}= π/6。
3重积分答案
重积分考试要求：1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。
2. 掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。
3. 掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。
8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。
复习重点：1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。
3、二、三重积分的几何应用及物理应用。
复习题：1. 计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由直线y =1、x =2及y =x 所围成的闭区域.解: 画出区域D .方法一. 可把D 看成是X --型区域: 1≤x ≤2, 1≤y ≤x . 于是⎰⎰⎰⎰=211][x D dx xydy d xy σ⎰⎰-=⋅=2132112)(21]2[dx x x dx y x x 89]24[212124=-=x x .注: 积分还可以写成⎰⎰⎰⎰⎰⎰==211211x x D ydy xdx xydy dx d xy σ.解法2. 也可把D 看成是Y --型区域: 1≤y ≤2, y ≤x ≤2 . 于是 ⎰⎰⎰⎰=212][y D dy xydx d xy σ⎰⎰-=⋅=2132122)22(]2[dy y y dy x y y 89]8[2142=-=y y .2. 计算σd y x yD ⎰⎰-+221, 其中D 是由直线y =1、x =-1及y =x 所围成的闭区域.3．计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由直线y =x -2及抛物线y 2=x 所围成的闭区域.解 积分区域可以表示为D =D 1+D 2, 其中x y x x D ≤≤-≤≤ ,10 :1; x y x D ≤≤≤≤2 ,41 :2. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=41210x x x x D xydy dx xydy dx d xy σ. 积分区域也可以表示为D : -1≤y ≤2, y 2≤x ≤y +2. 于是 ⎰⎰⎰⎰-+=2122y y D xydx dy d xy σ⎰-+=21222]2[dy y x y y ⎰--+=2152])2([21dy y y y 855]62344[21216234=-++=-y y y y . 讨论积分次序的选择.4. 计算⎰⎰--D y xdxdy e 22, 其中D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域.解 在极坐标系中, 闭区域D 可表示为0≤ρ≤a , 0≤θ ≤2π .于是 ⎰⎰⎰⎰---=D D y x d d e dxdy eθρρρ222θθρρπρπρd e d d e a a 020200]21[ ][22⎰⎰⎰---== )1()1(212220a a e d e ---=-=⎰πθπ. 5．求球体x 2+y 2+z 2≤4a 2被圆柱面x 2+y 2=2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积. 解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍.⎰⎰--=D dxdy y x a V 22244,其中D 为半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域.在极坐标系中D 可表示为0≤ρ≤2a cos θ , 2 0πθ≤≤. 于是 ⎰⎰⎰⎰-=-=20cos 2022224444πθρρρθθρρρa D d a d d d a V )322(332)sin 1(33222032-=-=⎰πθθπa d a . 6．计算⎰⎰+D d y x σ22sin 其中D 为22224ππ≤+≤y x解 在极坐标系中, 闭区域D 可表示为π≤ρ ≤ 2π, 0≤θ ≤2π . 于是⎰⎰+D d y x σ22sin ＝22206sin πρρρθπππ-=⋅⎰⎰d d 7.计算三重积分dxdydz x ⎰⎰⎰Ω, 其中Ω为三个坐标面及平面x +2y +z =1所围成的闭区域.解 作图, 区域Ω可表示为:0≤z ≤1-x -2y , )1(210x y -≤≤, 0≤x ≤1.于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰---Ω=10210210 x y x xdz dy dx dxdydz x ⎰⎰---=10210)21(x dy y x xdx⎰=+-=1032481)2(41dx x x x . 8．求由122=+y x ，z ＝0，z ＝x （x>0）所围立体的体积V 。
重积分练习题含答案
重积分练习题含答案第十章重积分练习结论1：如果积分区域D 关于y 对称，}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论2：如果积分区域D 关于x 轴对称，}0,),(),{(1≥∈=y D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论3：如果积分区域D 关于坐标原点O 对称，则=---=--=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ其中}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D结论4：如果积分区域D 关于直线=y x 对称，则=DDd x y f d y x f σσ),(),(练习11.求σ-=??d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-2.证明??-=xab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）3. 设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明? ->b aba ab dx x f dx x f 2)()(1)(4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。
5.计算vdv y x I )(22，v 是由yOz 平面上曲线z y 2=绕z 轴旋转所得平面2=z ，8=z 所围区域。
6. 设函数)(x f 连续，[]d v y x f zt F v++=)()(222，其中{}H z t yx z y x V ≤≤≤+=0,),,222（，试求dtdF 和2)(limtt F t →7. 求曲面221y x z ++=在点)3,1,1(0-M 的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积V8.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(222>=++a a z y x 上，问当R 取何值时，∑在定球面内部的那部分1∑的面积最大？练习21．计算??Dxyd σ，其中区域D 是由抛物线12-=x y 及直线x y -=1所围成的区域-8272．计算??+Dyx d eσ，其中D 是由1≤+y x 所确定的区域 ??? ?-e e 13．计算??+Ddxdy y x )sin(，其中D 为正方形区域：ππ≤≤≤≤y x 0,0 )2(π4．更换积分次序① ??211),(x xdy y x f dx ② ??-π0sin sin2),(xx dy y x f dx5．计算由平面0,0,6===++y x z y x 及42=+y x 所围成的立体的体积 ??3646. 球体2222+x y z R +≤与Rz z y x 2222≤++的公共部分为一立体，求其体积3125R π7. 计算三重积分Ωzdxdydz ，其中Ω为由圆锥面的22yx z +=及平面1=z 所围成区域 ??4π8. 分别用柱面坐标、球面坐标和直角坐标计算三重积分Ω=zdv x I 2，其中Ω是由球面2222=++z y x 及圆锥面22y x z +=所围成（含z 轴部分） ??12π9. 求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+2 2内部的那部分面积（0>a ）))2(2(2-πa重积分练习一参考答案1.求σ-=d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-解：如图，曲线2x y =把区域D 分为1D 和2D ，其中1x 1D 1≤≤-：，2x y 0≤≤；2y x,1x 1:D 22≤≤≤≤-σ-+σ-=σ-=d x y d y xd x y I 21D 2D 2D2()()??--=-?+-?=1122112221513xx dyx y dx dy y xdx2.证明??-=x ab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）证：左端=??xabady y f dx )(，??≤≤≤≤bx a x y a D ，作出积分域交换积分顺序，?? ≤≤≤≤by a b x y D左端==xab ady y f dx )(??by b adx y f dy )(?=-=b ady y b y f ))((右端，证毕！注：本题还可这样证明：令?--=t axat adx x t x f dy y f dx t F ))(()()(，证明0)(0)(=?='t F t F3.设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明?->b abaa b dx x f dx x f 2)()(1)(证：设平面区域},),({b y a b x a y x D ≤≤≤≤=，D 关于直线x y =对称=∴b ab ab ady y f dx x f dx x f dx x f )(1)()(1)(222)()()()()(221)()()()(21)()()()(21)()()()(a b d x d y d x d yy f x f y f x f d x d y y f x f y f x f d x d y x f y f y f x f d x d y x f y f d x d y y f x f DDD DDD-==≥+=+==4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。
2,3重积分练习题及思考题(含解答)
u
1
1 1 1
o
v
思考题 计算 x[1 yf ( x 2 y 2 )]dxdy , 其中D是由
y x , y 1, x 1所围成的区域, f是连续函数.
3
D
解 由于被积函数含有抽象函数, 故无法直接积出. 因此要采用
z
法二
( x
2
0
2
y )dv
2
8
2
d d 2
0 2
4
8
1024 dz 3
O
x
y
如此题改为：
这个旋转曲面与平面 2, z 8所围区域 z .
9、练习：被积函数改为e^z, 下题作为思考题！
思考题 计算
2 2
e
2
z2 2
x y
b
x
思考题 设函数f (u)连续,证明 1 f ( x y )dxdy f (u)du
x y 1 1
y o
1 1
证 法一
x y 1
f ( x y )dxdy
f ( x y )dy dx
0 1 1 x x 1
1
x
1
dx
1
0
1
1 2
y x
y y
e dx .
y x
解 e dx 不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x
y x2
1
x
2
x
e dy
y x
1
重积分习题及答案
第九章 重积分(A)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D 的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V 。
(3) 在极坐标系中，面积元素为 。
2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1)()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+D d y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所 围成。
(2)()⎰⎰+D d y x σ2与()⎰⎰+D d y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。
3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=D d y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。
4．交换积分()⎰⎰--aa x ax x a dy y x f dx 2222,的积分次序。
5．交换积分()⎰⎰-2120,y dx y x f dy 的积分次序。
6．交换二次积分()⎰⎰+-a ay y a y x f dy 022,的积分次序。
7．计算()⎰⎰+D d y x σ23，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。
8．计算()⎰⎰+Dd y x x σcos ，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,π和()ππ,的三角形区域。
9．计算()⎰⎰+Dyd x σsin 1，其中D 是顶点分别为()0,0，()0,1，()2,1和()1,0的梯形闭区域。
10．计算二重积分⎰⎰Ddxdy ，其中区域D 由曲线21x y -=与12-=x y 围成。
11．计算二重积分⎰⎰Dd xy σ2，其中D 是由圆周422=+y x 及y 轴所围成的右半闭区域。
12．计算⎰⎰+D y x d 22σ，其中D 是圆环域4122≤+≤y x 。
10-多重积分习题课
性质６ 设M 、m 分别是 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的最
大值和最小值， 为 D 的面积，则
m f ( x , y )d M
D
（二重积分估值不等式）
性质７ 设函数 f ( x , y )在闭区域 D 上连续， 为 D
的面积，则在 D 上至少存在一点( , ) 使得
22 a ( ). 9 2
3
例5
b a
证明
x a
dx
证
( x )dy (b y )n1 f ( y )dy. n 1 a
b
b
a
dx ( x y )n 2 f ( y )dy
a b b a y
y x
D
dy ( x y )n 2 f ( y )dx
D3
d
0
2
( )
0
f ( r cos , r sin )rdr .
5、三重积分的定义
设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 上的有界函 数，将闭区域 任意分成 n个小闭区域 v1， v2 , , v n ，其中 v n 表示第i 个小闭区域，也表示它的 体积, 在每个 vi 上任取一点( i , i , i ) 作乘积 f ( i , i , i ) vi ，( i 1,2,, n) ，并作和, 如果当各 小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时，这和式 的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 上的三重积分，记为
(4) 转动惯量
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，在点( x , y )处的面密度为 ( x , y )，假定 ( x , y )在 D 上连续，平面薄片对于 x 轴和 y 轴的 转动惯量为 薄片对于x轴的转动惯量
重积分习题(含答案)
x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的曲面面积.
2 2 2 2
5．求由曲面 z x 2 y 及 z 6 2 x y 所围成的立体的体积. 6． 计算三重积分 的区域。
x z dv ，其中 是由曲面 z
x 2 y 2 与 z 1 x 2 y 2 所围成
注意到
2 0
cosd 0 ，因此
2
x z dv 0
d 4 d r 3 sin cos dr
0 0
1
2
4 0
sin cos d
sin 2
2 2
4 0
8
1 2 x y 0
xd z dx
1 2 0
1 2 x 0
1 1 2 x1 2 x y dy 2 x1 2 x dx 2 0 96
1
4．求锥面 z
x 2 y 2 被柱面 z 2 2 x 所割下部分的曲面面积.
解 曲面 z x2 y 2 与 z22x 的交线在 xOy 面上的投影为 所求曲面在 xOy 在上的投影区域为 D{(x y)|x2y22x}
2
2
D
D
0
0
=3
2
0
d = 6
6． 计算三重积分 的区域。
x z dv ，其中 是由曲面 z
x 2 y 2 与 z 1 x 2 y 2 所围成
解：由于曲面 z
x 2 y 2 是一个圆锥面，曲面 z 1 x 2 y 2 是上半单位球面，
数学分析21重积分总练习题
第二十一章 重积分总练习题1、求下列函数在所指定区域D 内的平均值： (1)f(x,y)=sin 2xcos 2y, D=[0,π]×[0,π]；(2)f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2, D={(x,y,z)|x 2+y 2+z 2≤x+y+z}. 解：(1)∵D 的面积为：π2, ∴平均值为：⎰⎰πππ02022cos sin 1ydy dx x =41. (2)由x 2+y 2+z 2=x+y+z 得(x-21)2+(y-21)2+(z-21)2=43, ∴V D =34π323⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23π. 令x=21+rsin φcos θ, y=21+rsin φsin θ, z=21+rcos φ, 则平均值为：⎰⎰⎰++Ddxdydz z y x )(32222π=⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++ππϕϕθϕθϕϕθπ02302220sin )cos sin sin cos (sin 4332dr r r r d d =⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++ππϕθϕθϕϕϕθπ023043220)cos sin sin cos (sin 43sin 32dr r r r d d =⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++ππϕϕϕθθϕϕθπ0220)cos sin )sin (cos sin 649sin 203332d d =⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++πθθθππ20)sin (cos 1289103332d =53332ππ⋅=56.2、计算下列积分：(1)⎰⎰≤≤≤≤+2020][y x d y x σ；(2)⎰⎰≤++-42222)2sgn(y x d y x σ. 解：(1)如图，被积函数等价于[x+y]= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈∈4321),(3),(2),(1),(0D y x ，D y x ，D y x ，D y x ，,⎰⎰≤≤≤≤+2020][y x d y x σ=⎰⎰10D d σ+⎰⎰21D d σ+⎰⎰32D d σ+⎰⎰43D d σ=23+3+23=6. (2)如图被积函数为sgn(x 2-y 2+2)=⎩⎨⎧∈-∈321),(1),(1D D y x ，D y x ， ,⎰⎰≤++-42222)2sgn(y x d y xσ=⎰⎰1D dxdy -⎰⎰2D dxdy -⎰⎰3D dxdy . 其中⎰⎰2D dxdy =⎰⎰-+-224211x x dy dx =⎰-+--1122)24(dx x x =32π-2ln 231+=⎰⎰3D dxdy . 又⎰⎰3D dxdy =4π-⎰⎰2D dxdy -⎰⎰3D dxdy ,∴⎰⎰≤++-42222)2sgn(y x d y x σ=4π-4 ⎝⎛32π-2ln ⎪⎪⎭⎫+231=34π+4ln )32(+.3、应用格林公式计算曲线积分：⎰-L ydx x dy xy 22, 其中 L 为上半圆周x 2+y 2=a 2从(a,0)到(-a,0)的一段. 解：由y ∂∂(-x 2y)=-x 2, x∂∂xy 2=y 2, 得 ⎰-Lydx x dy xy22=⎰⎰+Dd x y σ)(22=⎰⎰adr r d 030πθ=44a π.4、求⎰⎰≤+→222),(1lim2ρρσπρy x d y x f , 其中f(x,y)为连续函数.解：由中值定理知，存在(ξ,η), 使得⎰⎰≤+222),(ρσy x d y x f =f(ξ,η)πρ2, 其中(ξ,η)∈D={(x,y)|x 2+y 2≤ρ2}, ∴⎰⎰≤+→222),(1lim 2ρρσπρy x d y x f =22),(lim πρπρηξρf →=),(lim 0ηξρf →. 又f(x,y)为连续函数，∴⎰⎰≤+→222),(1lim2ρρσπρy x d y x f=f(0,0).5、求F ’(t)，设(1)F(t)=⎰⎰≤≤≤≤ty t x ytxd e 1.01.02σ,(t>0)；(2)F(t)=⎰⎰⎰≤++++2222)(222t z y x dV z y xf ,其中f(u)为可微函数；(3)F(t)=⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤tz t y t x dV xyz f 000)(,其中f(u)为可微函数.解：(1)令x=tu, y=tv, 则|J|=t 2, F(t)=t 2⎰⎰112dv e du v u.∴F ’(t)=2t ⎰⎰10102dv e du v u=t2F(t).(2)令x=rsin φcos θ, y=rsin φsin θ, z=rcos φ, 则F(t)=r d r f r d d t ⎰⎰⎰022020)(sin ϕϕθππ=4πr d r f r t⎰022)(, ∴F ’(t)=4πt 2f(t 2).(3)令x=tu, y=tv, z=tw, 则|J|=t 3,F(t)=⎰⎰⎰10331010)(dw uvw t f t dv du =⎰⎰⎰10310103)(dw uvw t f dv du t , ∴F ’(t)=⎰⎰⎰10310102)(3dw uvw t f dv du t +⎰⎰⎰'10310105)(3dw uvw t f uvw dv du t =)(3t F t+⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤'t z t y tx dV xyz f xyz t 000)(3.6、设f(t)=dx e t x ⎰-221, 求dt t tf ⎰10)(. 解：令dF(t)= 2x e-dx, 则f(t)=dx e t x ⎰-221=F(t 2)-F(1), f ’(t)=2tF ’(t 2)=2t 4t e -.dt t tf ⎰1)(=210)(21dt t f ⎰=21t 2f(t)|10-)(21102t df t ⎰=21f(1) -dt e t t ⎰-1034=-410441dt e t ⎰-=10441te -=41(e -1-1).7、证明：⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=abc ⎰⎰⎰Ωdxdydz cz by ax f ),,(, 其中V ：222222cz b y a x ++≤1；Ω：x 2+y 2+z 2≤1.证法一：若令x=arsin φcos θ, y=brsin φsin θ, z=crcos φ. 则⎰⎰⎰VdV z y x f ),,(=r d cr br ar f abcr d d ⎰⎰⎰12020)cos ,sin sin ,cos sin (sin ϕθϕθϕϕϕθππ；若令x=rsin φcos θ, y=rsin φsin θ, r=rcos φ. 则⎰⎰⎰ΩΩd cz by ax f ),,(=r d cr br ar f r d d ⎰⎰⎰12020)cos ,sin sin ,cos sin (sin ϕθϕθϕϕϕθππ；∴⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(=abc ⎰⎰⎰Ωdxdydz cz by ax f ),,(.证法二：令x=au, y=bv, z=cw, 则|J|=abc,⎰⎰⎰Vdxdydz z y x f ),,(= abc ⎰⎰⎰≤++1222),,(w v u dudvdw cw bv au f = abc ⎰⎰⎰Ωdxdydz cz by ax f ),,(.8、试写出单位立方体为积分区域时，柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.解：在柱面坐标系下，用z=c 的平面截立方体，截口为正方形，∴单位立方体可表示为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤40cos 1010πθθr z 和⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤24sin 1010πθπθr z ， ⎰⎰⎰11010),,(dzz y x f dy dx=⎰⎰⎰θπθθθcos 14010),sin ,cos (dr z r r rf d dz +⎰⎰⎰θππθθθsin 10241),sin ,cos (dr z r r rf d dz .在球面坐标系下，用θ=c 的平面截立方体，截口为长方形，∴单位立方体可表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤ϕθϕπθcos 10cos tan 040r arcc 和⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤θϕπϕθπθcos sin 102cos tan 40r arcc 和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤ϕθϕπθπcos 10sin tan 024r arcc 和⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤θϕπϕθπθπsin sin 102sin tan 24r arcc ， ⎰⎰⎰1101),,(dzz y x f dy dx=⎰⎰⎰ϕπθϕθcos 140cos tan 0),,(dr w v u kf d d arcc +⎰⎰⎰θϕππθϕθcos sin 10402cos tan ),,(drw v u kf d d arcc+⎰⎰⎰ϕππθϕθcos 1024cos tan 0),,(dr w v u kf d d arcc +⎰⎰⎰θϕπππθϕθsin sin 10242cos tan ),,(dr w v u kf d d arcc ,其中k=r 2sin φ, u=rsin φcos θ, v=rsin φsin θ, w=rcos φ.9、证明：若函数f(x)和g(x)在[a,b]上可积, 则2)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰b a dx x g x f ≤⎰⎰⋅b a b a dx x g dx x f )()(22.证：构造函数φ(t)=t2⎰badx x f )(2+2t ⎰b a dx x g x f )()(+⎰badxx g )(2=[⎰ba dx x f )(t 22+2tf(x)g(x)+]dx x g )(2=[]⎰+ba dx x g x f 2)()(t ≥0.∴函数φ(t)的图象与x 轴至多有一个交点，即△=2)()(2⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰b a dx x g x f -4⎰⎰⋅ba b a dx x g dx x f )()(22≤0.∴2)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ba dx x g x f ≤⎰⎰⋅b a b a dx x g dx x f )()(22.注：当且仅当f(x)与g(x)线性相关时等号成立.10、设f(x,y)在[0,π]×[0,π]上连续，且恒取正值，试求：⎰⎰≤≤≤≤∞→ππσy x nn d y x f x00),(sin lim.解：∵f(x,y)在[0,π]×[0,π]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，即 0<m ≤f(x,y)≤M, (x,y)∈[0,π]×[0,π]. 从而⎰πdy m n≤⎰π),(dy y x f n≤⎰πdy M n→π (n →∞).∴⎰⎰≤≤≤≤∞→ππσy x n n d y x f x 00),(sin lim =⎰⎰∞→ππ00),(sin lim dy y x f xdx nn =2π.11、求由椭圆(a 1x+b 1y+c 1)2+(a 2x+b 2y+c 2)2=1所界面积, a 1b 2-a 2b 1≠0. 解1：令x=12212112)sin ()cos (b a b a c r b c r b ----θθ,y=12211221)cos ()sin (b a b a c r a c r a ----θθ,则J=122121122121122112122112sin cos cos sin cos sin sin cos b a b a r a r a b a b a a a b a b a r b r b b a b a b b -+-------θθθθθθθθ=1221b a b a r -.∴⎰⎰Dd σ=⎰⎰-⋅1122120dr b a b a rd πθ=1221b a b a -π. 解2：令u= a 1x+b 1y+c 1, v=a 2x+b 2y+c 2, 则),(),(v u y x ∂∂=),(),(/1y x v u ∂∂=12211b a b a -. ∴S=⎰⎰Dd σ=⎰⎰≤+-1122122v u b a b a dudv=1221b a b a -π.12、设△=333222111c b a c b a c b a ≠0, 求由平面a 1x+b 1y+c 1z=±h 1, a 2x+b 2y+c 2z=±h 2, a 3x+b 3y+c 3z=±h 3,所界平行六面体的体积.解：令u=a 1x+b 1y+c 1z, v=a 2x+b 2y+c 2z, w=a 3x+b 3y+c 3z, 则J=∆1. ∴V=⎰⎰⎰Ωdxdydz =⎰⎰⎰Ω∆dudvdw ||1=⎰⎰⎰---∆332211||1h h h h h h dw dv du =||8∆h 1h 2h 3.13、设有一质量分布不均匀的半圆弧x=rcos θ, y=rsin θ (0≤θ≤π), 其线密度为ρ=a θ(a 为常数), 求它对原点(0,0)处质量为m 的质点的引力. 解：r=(x,y), dF=k r r r ds m ⋅2ρ=km ⎪⎭⎫ ⎝⎛33,r y r x ρρds, (k 为引力常数) ∴dF x =3r x km ρds, dF y =3rykm ρds. F x =ds r x km L ⎰3ρ=θθθπd r ra km ⎰022cos =r amk 2-； F y =ds ry km L ⎰3ρ=θθθπd r a km ⎰0sin =r amkπ； ∴F=(F x ,F y )=⎪⎭⎫ ⎝⎛-r amk r amk π,2, 且|F|=24π+r amk .14、求螺旋线x=acost, y=asint, z=bt (0≤t ≤2π)对z 轴的转动惯量，设曲线的密度为1.解：ds=)()()(222t z t y t x '+'+'dt=22b a +dt. J z =ds y x L ⎰+)(22=dt b a a 22202+⎰π=2πa 222b a +.15、求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t ≤π)的质心，质量分布均匀. 解：由ds=)()(22t y t x '+'dt=t a t a 2222sin )cos 1(+-dt=2sin2ta dt ，得 ⎰L ds =2a dt t ⎰π02sin =4a;⎰L xds =2a 2dt t t t ⎰-π02sin )sin (=316a 2;∴⎰⎰=L L ds xds x /=34a .又⎰L yds =2a2dt t t ⎰-π2sin )cos 1(=316a 2;∴⎰⎰=L L ds yds y /=34a. ∴摆线质心的为⎪⎭⎫⎝⎛34,34a a .16、设u(x,y), v(x,y)是具有二阶连续偏导数的函数，证明：(1)⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u v σ2222=-⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂D d y v y u x v x u σ+ds n uv L ∂∂⎰； (2)⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u v y v x v u σ22222222=ds n u v n v u L ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂， 其中D 为光滑曲线L 所围的平面区域，而n u ∂∂=),cos(∧∂∂x n x u +),sin(∧∂∂x n y u , n v ∂∂=),cos(∧∂∂x n xv+),sin(∧∂∂x n y v是u(x,y), v(x,y)沿曲线L 的外法线n 的方向导数. 证：在格林公式中，以P 代替Q ，-Q 代替P 得⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y Q x P =⎰-L Qdx Pdy =⎰∧∧+L ds x n Q x n P )],sin(),cos([. a 式(1)令P=vxu∂∂, Q=v y u ∂∂, 则由a 式有⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y v y u x v x u y u x u v 2222=⎰∧∧∂∂+∂∂L ds x n y uv x n x u v )],sin(),cos([,即⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y u x u v 2222=-⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂D dxdy y v y u x v x u +⎰∂∂L ds n u v . b 式 (2)令P=uxu∂∂, Q=u y u ∂∂, 则由a 式有⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y v y u x v x u y u x u u 2222=⎰∧∧∂∂+∂∂L ds x n y uu x n x u u )],sin(),cos([,即⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D dxdy y u x u u 2222=-⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂D dxdy y v y u x v x u +⎰∂∂L ds n u u . c 式由c 式-b 式得：⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u v y v x v u σ22222222=ds n u v n vu L ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂.17、求指数λ, 使得曲线积分k=dy r yx dx r y x y x y x λλ22),(),(0-⎰与路线无关(r 2=x 2+y 2), 并求k.解：设P=λr yx , Q=λr y x 22-, 则y P ∂∂=])([2222x y x y x r λλ++--, x Q ∂∂=-])(2[232222λλy x y x y x r ++-，由y P ∂∂=x Q ∂∂得 x y x yx λ++-)(222=λ23222)(2y x y x y x ++, 得λ=-1. 这时k 与路径无关，且P=22yx y x +, Q=2222y x y x +-. d(y y x 22+)=22yx y x+dx-2222y x y x +dy. ∴k=dy y x y xdx yx y xy x y x 2222),(),(220+-+⎰=()),(,2200y x y x y yx +=yy x 22++C.。
微积分之多元函数重积分复习题
多元函数 重积分复习一、客观题： 1．判断1）．已知),(2),(),(lim ),(0b a f xb x a f b x a f b a x f x x '=--+∂∂→存在，则 （ ）2）．若二元函数),().(),(),(0000y x P y x f z y x P y x f z 在点的两个偏导数存在，则在点==可微。
（ ）3）．若二元函数的两个偏导在点不可微，则在点),().(),(),(0000y x P y x f z y x P y x f z ==不存在。
数yzx z ∂∂∂∂, （ ） 2.选择题1）. 函数),(y x f 在),(00y x 处可微分,是),(y x f 在),(00y x 处连续的_________条件.A ． 充分条件 B. 既充分又必要条件 C ． 必要条件 D. 既非充分又非必要条件2）．''x 00y0000f(x ,y )=0,f(x ,y )=0是函数f(x,y)在点(x ,y ) 取得极值的________. A. 必要条件 B. 充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 3）．设函数),(y x f z =在（0，0）处存在偏导数，且,0)0,0(,0)0,0(,0)0,0(===f f f y x 那么 。
A. ),(lim 0y x f y x '→→ 必定存在 B ．),(y x f 在（0，0）处必连续C. 0=dz D ．0,0),(lim 22==+→→dz yx y x f y x 则若3．填空题1）．设,1sin)1()1cos(),(2y x y y x y x f --+-=则=∂∂)1,(x xf __________..2）．交换积分顺序⎰⎰-122),(y ydx y x f dy=___________ .二、 求多元函数的定义域例1求z =解：10210x y x y --≥⎧⎨+-≥⎩ {}(,)121D x y x y x y =+≤+≥且例2求ln()z y x =-+解： ,x y 须满足2222000101y x y x x x x y x y ->>⎧⎧⎪⎪≥⇒≥⎨⎨⎪⎪-->+<⎩⎩三 多元函数的偏导数 1. 多元函数偏导数的定义 2. 多元函数偏导数的计算（1） 由偏导数的定义可知，求偏导数仍是求一元函数的导数问题，即(,)(,)((,)(,)(x d d f x y f x y y f x y f x y dx dy==y 这时不变）；这时x 不变）. （2） 求函数偏导数时，一般用一元函数的求导公式和求导法则。
重积分练习题
第四次作业 重积分1、设连续，且，根据积分中值定理计算2、画出下列积分区域，并交换累次积分的顺序.（1） （2） 3、计算二重积分 （1） ，D 由所围成的闭区域. （2） ，其中； （3），； ⑷ ，其中, 其中D 为. 4、利用极坐标计算⑴ ，其中为及直线所围成且位于第一象限部分的区域.(2) ，. 5、选用适当的坐标计算 (1) ，所围成. (2) ，D ：由及坐标轴所围成第一象限内的闭区域. (3)计算，是以坐标原点为圆心，为半径的圆域6、计算7、 计算下列三重积分⑴，其中为、、和所围四面体. ⑵ ，是由平面，，及所围成的闭区域.⑶ ，由锥面及所围成. （4），其中是由，，及围成的闭区域.（5） ，其中是由曲面与所围成的闭区域.),(y x f 1)0,0(=f ⎰⎰≤+→222),(1lim 20r y x r d y x f r σπ⎰⎰-a x a a x y y x f x 02 / 2d ),(d ⎰⎰-π 0 sin 2sin d ),(d x x y y x f x ⎰⎰+D y x e σd 1≤+y x ⎰⎰Dy x xy d d 2{}1,0,0|),(22≤+≥≥=y x y x y x D ⎰⎰+Dy x y x d d )cos(⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=20,20|),(ππy x y x D ⎰⎰D y x y x f d d ),(⎩⎨⎧>+≤+--=1011),(y x y x y x y x f ，，1010≤≤≤≤y x ，⎰⎰+D y x xy y x d d arctan )(22D 4122≤+≤y x 0==y x y ，⎰⎰Dxy σd 1)1(22≤-+y xD ：⎰⎰+D y x σd )(22)0(3,,,>==+==a a y a y a x y x y D ：⎰⎰++--D yx y x σd 112222122=+y x ⎰⎰Dxy σd D a ⎰⎰≤++'222d d )(22a y x y x y x f ⎰⎰⎰Ω+++3)1(d d d z y x z y x Ω0=x 0=y 0=z 1=++z y x ⎰⎰⎰Ωz y x x d d d 2Ω0=z y z =1=y 2x y =⎰⎰⎰Ωz y x z d d d Ω22y x R h z +=，0(>=R h z )0>h ⎰⎰⎰Ω+z y x y x z d d d 22Ω0=z )0(>=a a z 0=y x y x 222=+⎰⎰⎰Ωv xyz d Ω22y x z +=224y x z --=8、利用球面坐标计算：⑴ ，其中由不等式，所确定. ⑵ ，其中是两球:和的公共部分.9、 求双曲抛物面被柱面截下的部分的面积.10、计算以面上的圆周围成的闭区域为底，而以曲面为顶的曲顶柱体的体积. ⎰⎰⎰Ω++v z y x d 222Ω2222)(a a z y x ≤-++222z y x ≤+⎰⎰⎰Ωv z d 2Ω2222R z y x≤++22y x +2z +)0(2>≤R Rz xy z =)00(122≥≥=+y x y x ，xoy ax y x =+2222y x z +=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t
t
因
2 2 g (t ) f (t ) f (r )(t r ) d r 0 2 0
t
故 g (t ) 在 (0, ) 单调增 , 又因 g (t ) 在 t 0 连续, 故有 g (t ) g (0) 0 (t 0) 2 因此 t > 0 时, F (t ) G (t ) 0 .
2
2
d x
0 sin x
f ( x, y ) d y
0
D1
f ( x, y ) d D f ( x, y ) d
arcsin y
arcsin y
dy
1
f ( x, y ) d x
2 arcsin y
dy
1
0
arcsin y
f ( x, y ) d x
机动 目录 上页
y
o
D 1x
下页
返回
结束
(2) 积分域如图: 添加辅助线 y x, 将D 分为 D1 , D2 ,
利用对称性 , 得
x y e
D1
x2 y2
d xd y
1 1
D2
xyex
x
2
y
2
y yx o D2 1 x D1 1 y x
dxd y
x d x d y 0 0
6
2
D2
( x y ) d D ( x y ) d
1
4
12 y
( x y) d x d y 2 ( x y) d x y
4
2
2
4 y
11 543 15
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、重积分计算的基本技巧
1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算 分块积分法 3. 消去被积函数绝对值符号 利用对称性 4. 利用重积分换元公式 练习题 P123 1 (总习题九) ; 解答提示: (接下页) P124 4, 7(2), 9
a a
b
b
D
1 2
D[ f
2
( x) f ( y )] dxd y
2
a xb D: a y b
1 b 2 a
dy
b 2 b b 2 f ( x ) dx dx f ( y ) d y a a a
b a b f 2 ( x)d x b f 2 ( y )d y 利用 2 a a
0 r R cos D: 2 2
y
r R cos
o
D
Rx
原式
2 3 R 2 (1 sin 3 ) d 0 3
机动
目录
上页
下页
返回
结束
P124 6. 把积分
其中由曲面
化为三次积分,
及平面
所围成的闭区域 .
提示: 积分域为
:
2 2 2
z
D(t )
x
o (t )
t y
其中
(t ) {( x, y, z ) x 2 y 2 z 2 t 2 },
D(t ) {( x, y ) x y t }.
(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞) 内的单调性; 2 (03考研) (2) 证明 t > 0 时, F (t ) G (t ) .
(b a) f 2 ( x)d x = 右端 a
机动
b
2ab a 2 b 2
上页 下页 返回 结束
目录
例7. 设函数 f (x) 连续且恒大于零,
f (x y z ) d v (t ) F (t ) 2 2 f ( x y ) d D(t ) 2 2 f (x y ) d D (t ) G (t ) t 2 f ( x t ) d x
x
o
y
0
0
R
2 z 2 dz 2 z2
R
59 5 R 480
R 2 d xd y d xd y z d z R D1 z D2 z 2 R 2 2 2 2 (2 R z z ) d z R z ( R z ) d z 2
机动
目录
上页
下页
返回
结束
P124 7 (3).计算三重积分 xoy平面上曲线
1 x
d x 2 d y d x
1
1
2 dy 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 提示:
I ( x y 2 xy 2) d xd y
2 2 D
y 1
作辅助线 y x 将D 分成
D1
yx
D2
D1 , D2 两部分
2
D2
( x y )d xd y 2 d xd y
t 2 0
2
d f (r )r d r f (r 2 )r d r 0 0 t t 2 2 2 f (r ) d r f (r ) d r
2 0 0
t
t
2 2 g ( t ) 即证 f (r )r d r f (r ) d r f (r )r d r 0 2 2 0 0
D
o
1 x
2 ( 2 1) 3 2 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4. 交换下列二次积分的顺序:
y
y sin x
o
解: 如图所示
D1
D2
2 x
I d x
0
sin x 0
f ( x, y ) d y
x 5 所围成的闭区域 . xx
其中是由
绕 x 轴旋转而成的曲面与平面
z
o x
5 y
提示: 利用柱坐标
y r cos
: 0 r 10 0 2
原式
2 0
z r sin 1 r2 x 5 2
d
0
10 3
250 r dr r 2 d x 3 2
2 1
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例2. 计算二重积分
线
D DLeabharlann 其中D 是由曲所围成的平面域 .
解: I 5 x d xd y 3 y d xd y
积分区域 ( x 1) 2 ( y 2) 2 32
其形心坐标为: x 1 , y 2
面积为:
5 x A 3 y A
x 0, y 0 即有
R2 x2 b
0 yd x d y
D
R
R
d x
yd y
2 3 R R b2 3 2 由此解得 b R 3
y
b?
机动
y R2 x2
Do
b
目录 上页
R
R x
下页
返回
结束
例1. 计算二重积分 I ( x x ye
5
机动 目录 上页 下页 返回 结束
补充题. 计算积分
所围成 .
其中D 由
y
4 提示:如图所示 D D2 \ D1 , 2 o D1 D 2 f ( x, y ) x y 在 D2 内有定义且 D 4 连续, 所以 6
y 2 2x
x
D
( x y ) d
d y y 2
2 D
x2 y2
) d xd y , 其中:
(1) D为圆域
(2) D由直线
解: (1) 利用对称性.
围成 .
x2 y2
I x 2 d x d y x ye
D
D
d xd y
1 2 2 ( x y ) d xd y 0 2 D 1 3 1 2 d r d r 0 4 2 0
提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用
o
x
对称性可知原式为 0.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
9. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个 薄片的重心恰好落在圆心上 , 问接上去的均匀矩形薄片 的另一边长度应为多少? 提示: 建立坐标系如图. 则
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5.
其中 F (t )
求 lim
x2 y2 z 2 t 2
1
f ( x2 y2 z 2 ) d x d y d z
t 0 t
F ( t ) ， 4
解: 在球坐标系下
t
4 f (r ) r 2 d r 0 F (0) 0 利用洛必达法则与导数定义,得 f (t ) f (0) 4 f (t ) t 2 F (t ) lim f (0) lim 4 lim 3 t 0 t0 t 0 t t 0 4 t
1
1
x2 y2 0
原式 d x d y
1
x2
f ( x , y , z )d z
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P124 7 (1) .计算积分
其中是两个球
D2z
D1 z
( R > 0 )的公共部分.
提示: 由于被积函数缺 x , y ,
z
R
R 2