河南省郑州市2017届高考数学二模试卷(理科) --有答案

2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知复数f（n）=i n（n∈N*），则集合{z|z=f（n）}中元素的个数是（）

A．4 B．3 C．2 D．无数

2．设x=30.5，y=log32，z=cos2，则（）

A．z＜y＜x B．z＜x＜y C．y＜z＜x D．x＜z＜y

3．要计算1+++…+的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（）

A．n＜2017 B．n≤2017 C．n＞2017 D．n≥2017

4．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）

A．B．C．D．

5．下列命题是真命题的是（）

A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函数

B．∃α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+cosβ

C．向量=（2，1），=（﹣1，0），则在方向上的投影为2

D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分又不必要条件

6．在区间[1，e]上任取实数a，在区间[0，2]上任取实数b，使函数f（x）=ax2+x+b有两个相异零点的概率是（）

A． B． C． D．

7．已知数列{a n}满足a n

+1=a n﹣a n

﹣1

（n≥2），a1=m，a2=n，S n为数列{a n}的前n项和，则S2017

的值为（）

A．2017n﹣m B．n﹣2017m C．m D．n

8．已知实数x，y满足，则z=2|x﹣2|+|y|的最小值是（）

A．6 B．5 C．4 D．3

9．已知空间四边形ABCD，满足||=3，||=7，||=11，||=9，则•的值（）

A．﹣1 B．0 C．D．

10．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（）

A．72 B．120 C．192 D．240

11．已知P为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|•|PB|的值为（）

A．4 B．5

C．D．与点P的位置有关

12．已知函数f（x）=，如果当x＞0时，若函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，则k的取值范围是（）

A．[，]B．[，+∞）C．[，+∞）D．[﹣，]

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为．

14．已知幂函数y=x a的图象过点（3，9），则的展开式中x的系数为．

15．过点P（﹣1，0）作直线与抛物线y2=8x相交于A，B两点，且2|PA|=|AB|，则点B到该抛物线焦点的距离为．

16．等腰△ABC中，AB=AC，BD为AC边上的中线，且BD=3，则△ABC的面积最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，a1=﹣2，且满足S n=a n

+1

+n+1（n∈N*）．

（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）若b n=log3（﹣a n+1），求数列{}前n项和为T n，求证T n＜．

18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．

（Ⅰ）证明EF∥平面A1CD；

（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直棱柱，求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

19．（12分）某食品公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图频率分布直方图．

（Ⅰ）求直方图中a的值；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（200，12.22），试计算数据落在（187.8，212.2）上的频率；

参考数据

若Z～N（μ，δ2），则P（μ﹣δ＜Z＜μ+δ）=0.6826，P（μ﹣2δ＜Z＜μ+2δ）=0.9544．

（Ⅲ）设生产成本为y，质量指标为x，生产成本与质量指标之间满足函数关系

y=，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．

20．（12分）已知椭圆x2+2y2=m（m＞0），以椭圆内一点M（2，1）为中点作弦AB，设线段AB的中垂线与椭圆相交于C，D两点．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的m，使得A，B，C，D在同一个圆上，并说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a∈R）．

（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；

（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；

（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．

四、请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

选修4-4：坐标系与参数方程

22．（10分）已知直线l的极坐标方程是ρsin（θ﹣）=0，以极点为平面直角坐标系的原点，

极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是（α为参数）．（Ⅰ）求直线l被曲线C截得的弦长；

（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．

选修4-5：不等式选讲

23．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a

（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；

（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．