高中数学几何证明题
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高中数学几何证明题 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
新课标立体几何常考证明题汇总
1、已知四边形ABCD 是空间四边形,,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形
(2) 若
BD=AC=2,EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 证明:在ABD ∆中,∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1
//,2
EH BD EH BD =
同理,
1//,2FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。 (2) 90° 30 °
考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角
2、如图,已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==,E 是AB 的中点。 求证:(1)⊥AB 平面CDE;
(2)平面CDE ⊥平面ABC 。
证明:(1)BC AC CE AB AE BE =⎫
⇒⊥⎬=⎭
同理,
AD BD DE AB AE BE =⎫
⇒⊥⎬=⎭
又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE (2)由(1)有AB ⊥平面CDE
又∵AB ⊆平面ABC , ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点:线面垂直,面面垂直的判定
3、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点, 求证: 1//A C 平面BDE 。
证明:连接AC 交BD 于O ,连接EO ,
A
E
D 1
C
B 1
D
A
A H G
F E D
C
B A E
B
C
∵E 为1AA 的中点,O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC 又EO 在平面BDE 内,1A C 在平面BDE 外 ∴1//A C 平面BDE 。 考点:线面平行的判定
4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证:AD ⊥面SBC . 证明:90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥
又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC
又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点:线面垂直的判定
5、已知正方体1111ABCD A B C D -,O 是底ABCD 对角线的交点.
求证:(1) C 1O ∥面11AB D ;(2)1
AC ⊥面11AB D . 证明:(1)连结11A C ,设11111
A C
B D O ⋂=,连结1AO ∵ 1111ABCD A B
C
D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11A C AC =
又1,O O 分别是11,A C AC 的中点,∴O 1C 1∥AO 且11O C AO =
11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂
∥面11AB D ,1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D
(2)1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111
A C
B D ⊥∵, 1111B D A
C C ∴⊥面 1
11AC B D ⊥即 同理可证11A C AD ⊥, 又1111
D B AD D ⋂=
∴1
AC ⊥面11AB D 考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定
6、正方体''''ABCD A B C D -中,求证:(1)''AC B D DB ⊥平面;(2)
''BD ACB ⊥平面.
考点:线面垂直的判定
S
D
C
B A
D 1
O
D
B
A
C 1
B 1
A 1
C
N M P
C
B
A
7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中.(1)求证:平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ; (2)若E 、F 分别是AA 1,CC 1的中点,求证:平面EB 1D 1∥平面FBD . 证明:(1)由B 1B ∥DD 1,得四边形BB 1D 1D 是平行四边形,∴B 1D 1∥, 又BD ?平面B 1D 1C ,B 1D 1⊂平面B 1D 1C , ∴BD ∥平面B 1D 1C . 同理A 1D ∥平面B 1D 1C .
而A 1D ∩BD =D ,∴平面A 1BD ∥平面B 1CD .
(2)由BD ∥B 1D 1,得BD ∥平面EB 1D 1.取BB 1中点G ,∴AE ∥B 1G .
从而得B 1E ∥AG ,同理GF ∥AD .∴AG ∥DF .∴B 1E ∥DF .∴DF ∥平面EB 1D 1.∴平面EB 1D 1∥平面FBD . 考点:线面平行的判定(利用平行四边形)
8、如图P 是ABC ∆所在平面外一点,,PA PB CB =⊥平面PAB ,M 是PC 的中点,N
是AB 上的点,3AN NB =
(1)求证:MN AB ⊥;(2)当90APB ∠=,24AB BC ==时,求MN 的
长。
证明:(1)取PA 的中点Q ,连结,MQ NQ ,∵M 是PB 的中点,
∴//MQ BC ,∵ CB ⊥平面PAB ,∴ MQ ⊥平面PAB ∴QN 是MN 在平面PAB 内的射影 ,取 AB 的中点D ,连结 PD ,∵
,PA PB =∴PD AB ⊥,又3AN NB =,∴BN ND = ∴//QN PD ,∴QN AB ⊥,由三垂线定理得MN AB ⊥
(2)∵90APB ∠=,,PA PB =∴1
22
PD AB ==,∴1QN =,∵MQ ⊥平面PAB .∴
MQ NQ ⊥,且1
12MQ BC ==,∴2MN =考点:三垂线定理
10、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点.求证:平面1D EF ∥平面BDG .
证明:∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点,∴EF ∥BD
A 1 A
B 1
B
C 1 C
D 1
D
G E F