概率统计第三章答案(3)
概率论与数理统计(浙大) 习题答案 第3章
第三章 多维随机变量及其分布1. 在一箱子中装有12只开关, 其中2只是次品, 在其中取两次, 每次任取一只, 考虑两种试验: (1)放回抽样, (2)不放回抽样. 我们定义随机变量X , Y 如下:⎩⎨⎧=若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品10X ,⎩⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品10Y .试分别就(1), (2)两种情况, 写出X 和Y 的联合分布律.解: (1)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有362512101210)0 ,0(=⋅===Y X P ,3651221210)1 ,0(=⋅===Y X P ,3651210122)0 ,1(=⋅===Y X P ,361122122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律(2)(X , Y )所有可能取的值为(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), 按古典概型, 显然有66451191210)0 ,0(=⋅===Y X P ,66101121210)1 ,0(=⋅===Y X P ,66101110122)0 ,1(=⋅===Y X P ,661111122)1 ,1(=⋅===Y X P ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律2. 盒子里装有3只黑球, 2只红球, 2只白球, 在其中任取4只球, 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到白球的只数, 求X , Y 的联合分布律.解: (X , Y )的可能取值为(i , j ), i =0, 1, 2, 3, j =0, 1, 2, i +j ≥2, 联合分布律为P (X =0, Y =2)=351472222=C C C ,P (X =1, Y =1)=35647221213=C C C C , P (X =1, Y =2)=35647122213=C C C C , P (X =2, Y =0)=351472222=C C C ,P (X =2, Y =1)=351247121223=C C C C ,P (X =2, Y =2)=353472223=C C C ,P (X =3, Y =0)=352471233=C CC ,P (X =3, Y =1)=352471233=C CC ,列成表格便得X 和Y 的联合分布律3. 设随机变量(X , Y )概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它042 ,20)6(),(y x y x k y x f . (1)确定常数k ; (2)求P (X <1, Y <3); (3)求P (X <1.5); (4)求P (X +Y ≤4). 解: (1)因为 k dydx y x k dy dx y x f 8)6(),(1242=--==⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-,所以81=k .(2)83)6(81)3 ,1(3210⎰⎰=--=<<dy y x dx Y X P .(3)3227)6(81) ,5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P .(4)32)6(81}4{4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dx Y X P x .4. 将一枚硬币掷3次, 以X 表示前2次中出现H 的次数, 以Y 表示3次中出现H 的次数, 求(X , Y )的联合分布律及边缘分布律.故(X , Y )的联合分布律为(X , Y )关于X 的边缘分布律为即)21 ,2(~b X .(X , Y )关于Y 的边缘分布律为即)21 ,3(~b Y .5. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤-=其它00,10)2(8.4),(xy x x y y x f , 求边缘概率密度. 解: ⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.40x dy x y x⎩⎨⎧≤≤-=其它010)2(4.22x x x ,⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它010)2(8.41y dx x y y⎩⎨⎧≤≤+-=其它010)43(4.22y y y y . 6. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它00),(y x e y x f y , 求边缘概率密度.解:⎰+∞∞-=dy y x f x f X ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰+∞-000x x dy e x y⎩⎨⎧≤>=-000x x e x . ⎰+∞∞-=dx y x f y f Y ),()(⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰-000y y dx e y y⎩⎨⎧≤>=-000y y ye y . 7. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它01),(22y x y cx y x f . (1)试确定常数c ; (2)求边缘概率密度. 解: (1)因为l =⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-+-∞+∞-===c dy y c ydx cx dy dxdy y x f yy 21432),(1025210,所以421=c .(2)X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=⎰其它011421)(~122x ydy x x f X x X⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其它011)1(82142x x x .X 的边缘概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰+-其它010421)(~2y ydx d y f Y y y Y⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它0102725y y .8. 将某一医公司9月份和8月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X 和Y , 据以往积累的资料知X 和Y 联合分布律为:(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件人布律.解: 在表中运算得(2)因为j ijj j i i i p p y Y P y Y x X P y Y x X P ⋅=======)() ,()|(, 并且P (Y =51)=0.28=p ⋅j , 所以28628.006.0)51|51(====Y X P ,28728.007.0)51|52(====Y X P ,28528.005.0)51|53(====Y X P ,28528.005.0)51|54(====Y X P ,28528.005.0)51|55(====Y X P ,故当8月份的订单数为51时, 9月份订单数的条件分布律为9. 以X 记某一医院一天出生的婴儿的个数, Y 记男婴的个数, 记X 和Y 的联合分布律为)!(!)86.6()14.7() ,(14m n m e m Y n X P mn m -===--(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n ;n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(1)求边缘分布律; (2)求条件分布律;(3)特别写出当X =20时, Y 的条件分布律. 解: (1)边缘分布律:∑∑=--=-=====nm mn m n m m n m e m Y n X P n X P 0140)!(!)86.6()14.7() ,()(∑=--⋅⋅⋅⋅=nm m n m m ne n C 014)86.6()14.7(!1 ∑=--⋅⋅=n m m n m mn C n e 014)86.6()14.7(! !14)86.614.7(!1414n e n e n n --⋅=+=(n =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). ∑∑∞=--∞=-=====0140)!(!)86.6()14.7() ,()(n mn m n m n m e m Y n X P m Y P∑∞=---=014)!()86.6(!)14.7(n mn m m n m e m m m e e m e )14.7(!!)14.7(14.786.614--==(m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).(2)条件分布律:m mn m m e m n m e m Y P m Y n X P m Y n X P )14.7(!)!(!)86.6()14.7()() ,()|(14.714----======= )!()86.6(86.6m n e mn -⋅=--(n =m , m +1, ⋅⋅⋅ ).当m =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ 时1414!14)!(!)86.6()14.7()() ,()|(----=======e n m n m e n X P m Y n X P n X m Y P nmn m m n m m n m n -⋅⋅-=)1486.6()1414.7()!(!! m m mn C -⋅⋅=20)49.0()51.0((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , n ). (3)当X =20时, Y 的条件分布为m m mC X m Y P -⋅===2020)49.0()51.0()20|((m =0, 1, ⋅⋅⋅ , 20).10. 求§1例1中的条件分布律: P (Y =k |X =i )=?解: 由于)(),()|(i X P i X k Y P i X k Y P ======, 而411) ,(⋅===i i X k Y P (i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),41)(==i X P ,所以ii X k Y P 1)|(===(i =1, 2, 3, 4, k ≤i ),即11. 在第7题中(1)求条件概率f X |Y (x |y ), 特别, 写出当21=Y 时X 的条件概率密度; (2)求条件概率密度f Y |X (y |x ), 特别, 分别写出当31=X , 21=X 时Y 的条件概率密度; (3)求条件概率P (Y ≥1/4|X =1/2), P (Y ≥3|X =1/2). 解: (1)当0<y ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他027421)(),()|(252|y x y y yx y f y x f y x f Y Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他023232y x y y x ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==-其他02121)21(23)21|(232|x x y x f Y X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他02121232x x .(2)当-1<x ≤1时,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他01)1(821421)(),()|(2422|y x x x y x x f y x f x y f X X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他01)1(222y x x y ,特别, ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0191))3/1(1(2)31|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01914081y y ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其他0141))2/1(1(2)21|(4|y y x y f X Y⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他01411532y y .(3))21|41()21|1()21|41(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P1153215324141141=-=⎰⎰ydy ydy ,)21|43()21|1()21|43(=<-=<==≥X Y P X Y P X Y P157153214341=-=⎰ydy .12. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其他010 ,||1),(x x y y x f , 求条件概率密度f Y |X (y |x ),f X |Y (x |y ). 解: f (x ,y )的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎰-其他0101)(x dy x f x x X ⎩⎨⎧<<=其他0102y x ,⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰其他0111)(1||y dx x f y Y ⎩⎨⎧<<--=其他011||1y y ,所以当0<x <1时,⎪⎩⎪⎨⎧<==其他0||21)(),()|(|x y xx f y x f x y f X X Y , 当|y |<1时,⎪⎩⎪⎨⎧<-==其他0||||11)(),()|(|x y y x f y x f x y f Y Y X , 13. (1)问第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立？(2)问第12题中的随机变量X 和Y 是否相互独立？(需说明理由) 解: (1)有放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 独立. 不放回抽样时, 由于ij =p i ⋅⋅p ⋅j , 所以X 和Y 不独立.(2)由于当|y |<x , 0<x <1时, f X (x )⋅f Y (y )=2x (1-|y |)≠f (x , y )=1, 故X 和Y 不独立.14. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合概率密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0, 试求a 有实根的概率.解: (1)按已知X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他0101)(x x f X .由于X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<=⋅=-其他0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)要使a 有实根, 必须方程a 2+2Xa +Y =0的判别式∆=X 2-Y ≥0,⎰⎰⎰---==≥-10202102)1(21)0(22dx e dy e dx Y X P x x y⎰⎰⎰∞--∞-----=-=02121022222121[211dx e dx e dx e x x x πππ 1445.0)]0()1([21=Φ-Φ-=π.15. 第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立. 解: 放回抽样的情况P (X =0, Y =0)=P (X =0)⋅P (Y =0)3625=P (X =0, Y =1)=P (X =0)⋅P (Y =1)365=P (X =1, Y =0)=P (X =1)⋅P (Y =0)3651210122=⋅=P (X =1, Y =1)=P (X =1)⋅P (Y =1)361122122=⋅=.在放回抽样的情况下, X 和Y 是独立的. 不放回抽样的情况:P (X =0, Y =0)66451191210=⋅=,P (X =0)651210==,P (X =0)=P (X =0, Y =0)+P (Y =0, X =1) 6511101121191210=⋅+⋅=,P (X =0)⋅P (Y =0)36256565=⨯=,P (X =0, Y =0)≠P (X =0)P (Y =0), 所以X 和Y 不独立.14. 设X , Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布. Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=00021)(2y y e y f y Y .(1)求X 和Y 的联合密度;(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0,试求有实根的概率. 解: (1)X 的概率密度为⎩⎨⎧∈=其它0)1 ,0(1)(x x f X ,Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00021)(2y y e y f y Y ,可见且知X , Y 相互独立, 于是(X , Y )的联合密度为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其它0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X .(2)由于a 有实根, 从而判别式∆=4X 2-4Y ≥0, 即Y ≤X 2. 记}0,10|),{(2x y x y x D <<<<=, ⎰⎰=≤Ddxdy y x f X Y P ),(}{2⎰⎰⎰⎰⎰----=-==10010102022222121x xx y y dx e de dx dy e dxdx e x ⎰-⋅-=00222121ππ)5.08413.0(21)]2()1([21--=Φ-Φ-=ππ 1445.08555.013413.05066312.21=-=⨯-=.15. 进行打靶, 设弹着眯A (X , Y )的坐标X 和Y 相互独立, 且都服从N (0, 1)分布, 规定点A 落在区域D 1={(x , y )|x 2+y 2≤1}得2分; 点A 落在D 2={(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}得1分; 点A 落在D 3={(x , y )|x 2+y 2>4}得0分, 以Z 记打靶的得分, 写出X , Y 的联合概率密度, 并求Z 的分布律.解: (1)因为X ~N (0, 1), Y ~N (0, 1), X 与Y 独立, 故(X , Y )的联合概率密度为22221),(y x e y x f +-=π(-∞<x <+∞, -∞<y <+∞).(2)Z 的可能取值为0, 1, 2.⎰⎰>++-=∈==421222221)),(()0(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π⎰⎰≤++--=422222211x x y x dxdy e π2202022211--=-=⎰⎰e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤+≤+-=∈==4122222221)),(()1(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π22120212221----==⎰⎰e e rdr e d r ππθ,⎰⎰≤++-=∈==121222221)),(()2(x x y x dxdy e D Y X A P Z P π21201021212---==⎰⎰e rdr e d r ππθ,故得Z 的分布律为16. 设X 和Y 是相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-000)(x x e x f x X λλ, ⎩⎨⎧≤>=-000)(y y e y f y Y μμ, 其中λ>0, μ>0是常数, 引入随机变量⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01.(1)求条件概率密度f X |Y (x |y ); (2)求Z 的分布律和分布函数. 解: (1)由X 和Y 相互独立, 故⎩⎨⎧>>=⋅=+-其他00 ,0)()(),()(y x e y f x f y x f y x Y X μλλμ.当y >0时,⎩⎨⎧≤>===-000)()(),()|(|x x e y f y f y x f y x f x X Y Y X λλ. (2)由于⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z 当当01,且 μλλλλμμλμλ+===≤⎰⎰⎰+∞+-+∞+∞+-0)(0)()(dx e dydx eY X P x xy x ,μλμμλλ+=+-=≤-=>1)(1)(Y X P Y X P ,故Z 的分布律为Z 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=111000)(z z z z F Z μλμ. 17. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为⎩⎨⎧<≤=其他0101)(x x f X , ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f y Y , 求随机变量Z =X +Y 的概率密度.解: 由于X 和Y 是相互独立的, 故⎩⎨⎧><≤=⋅=-其他00 ,10)()(),(y x e y f x f y x f y Y X , 于是Z =X +Y 的概率密度为⎰+∞∞--⋅=dx x z f x f z f Y X Z )()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-=⎰⎰其他01)()(10)()(100z dxx z f x f z dx x z f x f Y X x YX ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤=⎰⎰----其他011010)(0)(z dxe z dx e x z x x z ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-=--其他01)1(101z e e z e zz .18. 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t , 设各周的需要量是相互独立的, 试求: (1)两周需要量的概率密度; (2)三周需要量的概率密度.解: (1)设第一周需要量为X , 它是随机变量; 设第二周需要量为Y , 它是随机变量且与X 同分布, 其分布密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(t t te t f t . Z =X +Y 表示两周需要的商品量, 由X 和Y 的独立性可知:⎩⎨⎧>>=--其它00,0),(y x ye xe y x f y x .因为z ≥0, 所以当z <0时, f z (z )=0; 当z >0时, 由和的概率公式知 ⎰∞+∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(z yzy z e z dy ye ey z ----=⋅-=⎰6)(30)(, 所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z .(2)设Z 表示前两周需要量, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0006)(3z z e z z f z Z ,设ξ表示第三周需要量, 其概率密度为:⎩⎨⎧≤>=-000)(x x xe x f x ξ,Z 与ξ相互独立, η=Z +ξ表示前三周需要量, 则因为η≥0, 所以u <0, f η(u )=0. 当u >0时 ⎰∞+∞--=dy y f y u f u f )()()(ξηdy ye e y u y uy u ---⋅-=⎰0)(3)(61u e u -=1205, 所以η的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00120)(5u u e u u f u η.19. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他00,0)(21),()(y x e y x y x f y x .(1)问X 和Y 是否相互独立？ (2)求Z =X +Y 的概率密度. 解: (1)X 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=⎰∞++-000)(21)(0)(x x dy e y x x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21x x e x x ,同理Y 的边缘密度为⎪⎩⎪⎨⎧<>+=-000)1(21)(y y e y y f y Y .因为当x >0, y >0时,)()()1)(1(41)(21),()()(y f x f e y x e y x y x f Y X y x y x =++≠+=+-+-,所以X 与Y 不独立. (2)Z 的概率密度为z z x Z e z dx e x z x dx x z x f z f --+∞∞-=-+=-=⎰⎰2021)(21),()((z >0).当z <0时, f Z (z )=0, 所以⎪⎩⎪⎨⎧<>=-0021)(2z z e z z f z Z .20. 设X , Y 是相互独立的随机变量, 它们都服从正态分布N (0, σ 2), 试验证随机变量22Y X z +=具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧>≥=-其他0,0)(2222σσσz e z z f z Z ,称Z 服从参数为σ(σ>0)的瑞利(Rayleigh 分布.解: 因为X , Y 相互独立且均服从正态分布N (0, σ 2), 它们的概率密度分别为22221)(σσπx e x f -=, 22221)(σσπy e y f -= , σ>0,故X 和Y 的联合密度为2222221)()(),(σπσy x e y f x f y x f +-=⋅=.22Y X z +=的分布函数为⎰⎰≤+=≤+=≤=222),()()((z)22z y x Z dxdy y x f z Y X P z Z P F⎰⎰-=zd e d 022202221ρρπσθσρπ2222202211σσρρρσz z ed e---==⎰(z >0),当z ≤0时, F Z (z )=0.于是随机变量22Y X z +=的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≥==-其他00 ,0)()(2222σσσz e z dz z dF z f z Z Z .21. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他00 ,10),()(y x be y x f y x . (1)试确定义常数b ;(2)求边缘概率密度f X (x ), f Y (y );(3)求函数U =max(X , Y )的分布函数. 解: (1)由10)(1=⎰⎰+∞+-dy be dx y x , 即1)1(1010=-=⎰⎰+∞--e b dy e dx e b y x ,得1111-=-=-e e e b .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎰∞++-其他0101)(0)(x dy e e e x f y x X⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-其他0101x e e e x ,⎩⎨⎧≤>==-∞+∞-⎰000),()(y y e dx y x f x f y X . 显然X 与Y 独立.(3)⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=-1110)1(100)(x x e e e x x F x X⎩⎨⎧≤>-=-0001)(y y e x F y Y , 故U =max(X , Y )的分布函数为F U (u )=P (U ≤u )=P (max(X , Y )≤u ) =P (X ≤u , Y ≤u )=P (X ≤u )P (Y ≤u )⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<==--1110)1(100)()(2u eu e e e u u F u F uu Y X .22. 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160, 202)分布. 随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率.解: 设X 1, X 2, X 3, X 4为4只电子管的寿命, 它们相互独立, 同分布, 其概率密度为:22202)160(2021)(⨯--⋅=t T et f π,⎰∞-⨯-==<18022202)160(20121)180(}180{dt t F X f X π ⎰∞--=-======1220160221du e u ut π令 8413.0)2060180(=-Φ=.设N =min{X 1, X 2, X 3, X 4}, 则P {N >180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180} =P {X >180}4={1-p [X <180]}4 =(0.1587)4=0.00063.23. 对某种电子装置的输出测量了5次, 得到观察值X 1,X 2, X 3, X 4, X 5, 设它们是相互独立的随机变量且都服从参数σ=2的瑞种分布.(1)求Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数; (2)求P (Z >4).解: 由20题知, X i (i =1, 2, ⋅⋅⋅ , 5)的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他004)(82x e x x f x X ,分布函数为821)(x X e x F --=(x >0).(1) Z =max{X 1, X 2, X 3, X 4, X 5}的分布函数为 585m ax )1()]([)(2z e z F z F --== (z ≥0), 当z <0时, F max (z )=0.所以Z 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-000)1()(58m ax 2z z e z F z .(2)P (Z >4)=1-P (Z ≤4)=1-F Z (4)5167.0)1(1)1(1525842=--=--=--e e .24. 设随机变量X , Y 相互独立, 且服从同一分布, 试证明 P (a <min{X , Y }≤b )=[P (X >a )]2-[P (X >b )]2 . 解: 因为X 与Y 相互独立且同分布, 故P (a <min{X , Y }≤b )=P (min{X , Y }≤b )-P (min{X , Y }≤a ) =1-P (min{X , Y }>b )-[1-P (min{X , Y }>a )] =P (min{X , Y }>a )-P (min{X , Y }>b ) =P (X >a , Y >a )-P (X >b , Y >b ) =P (X >a )P (Y >a )-P (X >b )P (Y >b ) =[P (X >a )]2-[P (Y >b )]2 .25. 设X , Y 是相互独立随机变量, 其分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ). 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为∑=-==ik k i q k p i Z P 0)()()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ),证明: 因为X 与Y 独立, 且X 与Y 的分布律分别为 P (X =k )=p (k ) (k =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), P (Y =r )=q (r ) (r =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 故Z =X +Y 的分布律为∑==+===ik i Y X k X P i Z P 0) ,()( ∑=-===i k k i Y k X P 0) ,( ∑=-===i k k i Y P k X P 0)()( ∑=-=i k k i q k p 0)()( (i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ).26. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~π(λ1), Y ~π(λ2), 证明Z =X +Y ~π(λ1+λ2).证明: 因为X , Y 分别服从参数为λ1, λ2的泊松分布, 故X , Y 的分布律分别为 1!)(1λλ-==e k k X P k (λ1>0),2!)(2λλ-==e r r Y P r (λ2>0),由25题结论知, Z =X +Y 的分布律为 ∑=-====ik k i Y P k X P i Z P 0)()()(∑=----⋅=ik ki k e k i e k 02121)!(!λλλλ∑=-+-⋅-=i k k i k k i k i i e 021)()!(!!!21λλλλ i i e )(!21)(21λλλλ+=+-(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ ), 即Z =X +Y 服从参数为λ1+λ2的泊松分布.27. 设X , Y 是相互独立的随机变量, X ~b (n 1, p ), Y ~b (n 2, p ), 证明Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ).证明: Z 的可能取值为0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , 2n , 因为 {Z =i }={X +Y =i }={X =0, Y =0}⋃{X =1, Y =i -1}⋃ ⋅⋅⋅ ⋃{X =i , Y =0}, 由于上述并中各事件互不相容, 且X , Y 独立, 则∑=-====ik k i Y k X P i Z P 0) ,()(∑=-===ik k i Y P k X P 0)()(∑=+-----⋅-=ik k i n ki k i n k n k k n p p C p p C 02211)1()1( ∑=--+⋅-=ik ki n k n k n n i C C p p 02121)1( in i i n n p p C -+-=2)1(21(i =0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , n 1+n 2), 所以 Z =X +Y ~b (n 1+n 2, p ),即Z =X +Y 服从参数为2n , p 的二项分布.提示:上述计算过程中用到了公式i n n ik k i n k n C C C21210+=-=⋅∑,这可由比较恒等式2121)1()1()1(n n n n x x x ++=++两边x i 的系数得到.28. 设随机变量(X , Y )的分布律为(1)求P {X =2|Y =2), P (Y =3|X =0); (2)求V =max{X , Y }的分布律; (3)求U =min{X , Y }的分布律; (4)求W =V +U 的分布律. 解: (1)由条件概率公式)2()2,2()2|2(======Y P Y X P Y X P08.005.005.005.003.001.005.0+++++=2.025.005.0==.同理 31)0|3(===X Y P .(2)变量V =max{X , Y }.显然V 是一随机变量, 其取值为V : 0, 1, 2, 3, 4, 5. P (V =0)=P (X =0, Y =0)=0,P (V =1)=P (X =1, Y =0)+P (X =1, Y =1)+P (X =0, Y =1) =0.01+0.02+0.01=0.04,P (V =2)=P (X =2, Y =0)+P (X =2, Y =1)+P (X =2, Y =2) +P (Y =2, X =0)+P (Y =2, X =1)=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16, P (V =3)=P (X =3, Y =0)+P (X =3, Y =1) +P (X =3, Y =2)+P (X =3, Y =3)+P (Y =3, X =0)+P (Y =3, X =1)+P (Y =3, X =2), =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28 P (V =4)=P (X =4, Y =0)+P (X =4, Y =1) +P (X =4, Y =2)+P (X =4, Y =3) =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24, P (V =5)=P (X =5, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =5, Y =3) =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28. (3)显然U 的取值为0, 1, 2, 3.P (U =0)=P (X =0, Y =0)+ ⋅⋅⋅ +P (X =0, Y =3)+P (Y =0, X =1)+ ⋅⋅⋅ +P (Y =0, X =5)=0.28. 同理 P (U =1)=0.30, P (U =2)=0.25, P (U =3)=0.17. (4)W =V +U 的取值为0, 1, ⋅⋅⋅ , 8. P (W =0)=P (V =0, U =0)=0,P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0). 因为V =max{X , Y }=0又U =min{X , Y }=1 不可能上式中的P (V =0, U =1)=0,又 P (V =1, U =0)=P (X =1, Y =0)+P (X =0, Y =1)=0.2, 故 P (W =1)=P (V =0, U =1)+P (V =1, U =0)=0.2,P(W=2)=P(V+U=2)=P(V=2, U=0)+P(V=1,U=1) =P(X=2 Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.03+0.01+0.02=0.06,P(W=3)=P(V+U=3)=P(V=3, U=0)+P(V=2,U=1) = P(X=3,Y=0)+P(X=0,Y=3)+P(X=2,Y=1)+P(X=1,Y=2)=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13, P(W=4)=P(V=4, U=0)+P(V=3,U=1)+P(V=2,U=2) =P(X=4,Y=0)+ P(X=3,Y=1)+P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2 =0.19,P(W=5)=P(V+U=5)=P(V=5, U=0)+P(V=5,U=1)+P(V=3,U=2=P(X=5 Y=0)+P(X=5,Y=1)+P(X=3,Y=2)+P(X=2,Y=3) =0.24,P(W=6)=P(V+U=6)=P(V=5, U=1)+P(V=4,U=2) +P(V=3,U=3)=P(X=5,Y=1)+P(X=4,Y=2)+P(X=3,Y=3)=0.19,P(W=7)=P(V+U=7)=P(V=5, U=2)+P(V=4,U=3) =P(V=5,U=2)+P(X=4,Y=3)=0.6+0.6=0.12, P(W=8)=P(V+U=8)=P(V=5, U=3)+P(X=5,Y=3)=0.05.。
概率论与数理统计第三章习题及答案
概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。
概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答
习题3-11、设(,)X Y 的分布律为求a 。
解：由分布律的性质，得1,0iji jp a =>∑∑，即111111691839a +++++=，0a >， 解得，29a =。
注：考察分布律的完备性和非负性。
2、设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，试用(,)F x y 表示：（1）{,}P a X b Y c ≤≤<；（2）{0}P Y b <<；（3）{,}P X a Y b ≥<。
解：根据分布函数的定义(,){,}F x y P X x Y y =≤≤，得（1）{,}{,}{,}(,)(,)P a X b Y c P X b Y c P X a Y c F b c F a c ---≤≤<=≤<-<<=-； （2）{0}{,}{,0}(,)(,0)P Y b P X Y b P X Y F b F -<<=≤+∞<-≤+∞≤=+∞-+∞； （3）{,}{,}{,}(,)(,)P X a Y b P X Y b P X a Y b F b F a b ---≥<=≤+∞<-<<=+∞-。
3、设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，分布律如下：试求：（1）13{,04}22P X Y <<<<；（2）{12,34}P X Y ≤≤≤≤；（3）(2,3)F 。
解：由(,)X Y 的分布律，得 （1）1311{,04}{1,1}{1,2}{1,3}002244P X Y P X Y P X Y P X Y <<<<===+==+===++=； （2）{12,34}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ≤≤≤≤===+==+==+==1150016416=+++=；（3）(2,3){2,3}{1,1}{1,2}{1,3}F P X Y P X Y P X Y P X Y =≤≤===+==+==1119{2,1}{2,2}{2,3}000416416P X Y P X Y P X Y +==+==+===+++++=。
概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第三章
01 1/401/41/2习题4设(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解答：FZ(z)=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.当z<0时，FZ(z)=P(∅)=0;当z≥0时，FZ(z)=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f(x,y)dxdy=12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ=∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.故Z的分布函数为FZ(z)={1-e-z22,z≥00,z<0.Z的分布密度为fZ(z)={ze-z22,z>00,z≤0.习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12(x+y)e-(x+y),x>0,y>00,其它,(1)问X和Y是否相互独立？(2)求Z=X+Y的概率密度.解答：(1)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞12(x+y)e-(x+y)dy,x>00,x≤0\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0,显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0 即 {x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy=∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数. 解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b.∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为X与Y, 其概率密度分别为ϕ1(x)={αe-αx,x>00,x≤0,ϕ2(y)={βe-βy,y>00,y≤0,其中α>0,β>0,α≠β,试求系统L的寿命Z的概率密度.解答：设Z=min{X,Y},则F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z}=1-[1P{X<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]由于F1(z)={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0,F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0,故F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0,从而ϕ(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0.习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.解答：设min{X,Y}=Z,则P{a<min{X,Y}≤b}=FZ(b)-FZ(a),FZ(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}=1-[P{X>z}]2,代入得P{a<min{X,Y}≤b}=1-[P{X>b}]2-(1-[P{X>a}]2)=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.证毕.复习总结与总习题解答习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品, Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,试分别就(1),(2)两种情况，写出X和Y的联合分布律.解答：(1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536; P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536,P{X=0,Y=1}=10×212×12=536, P{X=1,Y=1}=2×212×12=136,(2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566, P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066,P{X=1,Y=0}=2×1012×11=1066, P{X=1,Y=1}=2×112×11=166,解答：X可取值为0,1,2,3,Y可取值0,1,2.P{X=0,Y=0}=P{∅}=0,P{X=0,Y=1}=C30C21C33/C84=2/70,P{X=0,Y=2}=C30C22C32/C84=3/70, P{X=1,Y=0}=C31C20C33/C84=3/70,P{X=1,Y=1}=C31C21C32/C84=18/70,P{X=1,Y=2}=C31C22C31/C84=9/70,P{X=2,Y=0}=C32C20C32/C84=9/70,P{X=2,Y=1}=C32C21C31/C84=18/70,P{X=2,Y=2}=C32C22C30/C84=3/70,P{X=3,Y=0}=C33C20C31/C84=3/70,P{X=3,Y=1}=C33C21C30/C84=2/70,P{X=3,Y=2}=P{∅}=0,所以，(X,Y)的联合分布如下：(3)由FX(x)=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij, 得(X,Y)关于X的边缘分布函数为：FX(x)={0,x<114+14,1≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2,同理，由FY(y)=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij, 得(X,Y)关于Y的边缘分布函数为FY(y)={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0.习题6设随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={c(R-x2+y2),x2+y2<R0,x2+y2≥R,求：(1)常数c; (2)P{X2+Y2≤r2}(r<R).解答：(1)因为1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dydx=∫∫x2+y2<Rc(R-x2+y)d xdy=∫02π∫0Rc(R-ρ)ρdρdθ=cπR33,所以有c=3πR3.(2)P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2<r23πR3[R-x2+y2]dxdy=∫02π∫0r3πR3(R-ρ)ρdρdθ=3r2R2(1-2r3R).习题7设f(x,y)={1,0≤x≤2,max(0,x-1)≤y≤min(1,x)0,其它,求fX(x)和fY(y).解答：max(0,x-1)={0,x<1x-1,x≥1, min(1,x)={x,x<11,x≥1,所以，f(x,y)有意义的区域(如图)可分为{0≤x≤1,0≤y≤x},{1≤x≤2,1-x≤y≤1},即f(x,y)={1,0≤x≤1,0≤y≤x1,1≤x≤2,x-1≤y≤1,0,其它所以fX(x)={∫0xdy=x,0≤x<1∫x-11dy=2-x,1≤x≤20,其它,fY(y)={∫yy+1dx=1,0≤y≤10,其它.习题8若(X,Y)的分布律为则α,β应满足的条件是¯, 若X与Y独立，则α=¯,β=¯.解答：应填α+β=13;29;19.由分布律的性质可知∑i⋅jpij=1, 故16+19+118+13+α+β=1,即α+β=13.又因X与Y相互独立，故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j}, 从而α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j},=(19+α)(14+α+β)=(19+α)(13+13)=29,β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}=(118+β)(13+α+β)=(118+β)(13+13)，∴β=19.习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={ce-(2x+y),x>0,y>00,其它,(1)确定常数c; (2)求X,Y的边缘概率密度函数；(3)求联合分布函数F(x,y); (4)求P{Y≤X}; (5)求条件概率密度函数fX∣Y(x∣y); (6)求P{X<2∣Y<1}.解答：(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1求常数c.∫0+∞∫0+∞ce-(2x+y)dxdy=c⋅(-12e-2x)\vline0+∞⋅(-e-y)∣0+∞=c2=1,所以c=2.(2)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0+∞2e-2xe-ydy,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0,fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0+∞2e-2xe-ydx,y>00,其它={e-y,y>00,y≤0.(3)F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dvdu={∫0x∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它={(1-e-2x)(1-e-y),x>0,y>00,其它.(4)P{Y≤X}=∫0+∞dx∫0x2e-2xe-ydy=∫0+∞2e-2x(1-e-x)dx=13.(5)当y>0时，fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)={2e-2xe-ye-y,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0.(6)P{X<2∣Y<1}=P{X<2,Y<1}P{Y<1}=F(2,1)∫01e-ydy=(1-e-1)(1-e-4)1-e-1=1-e-4.习题10设随机变量X以概率1取值为0, 而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立.解答：因为X的分布函数为F(x)={0,当x<0时1,当x≥0时, 设Y的分布函数为FY(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则当x<0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{∅∩(Y≤y)}=P{∅}=0=FX(x)FY(y);当x≥0时，对任意y, 有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x)∩(Y≤y)}=P{S∩(Y≤y)}=P{Y≤y}=Fy(y)=FX(x)FY(y),依定义，由F(x,y)=FX(x)FY(y)知，X与Y独立.习题11设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，试证P{X≤Y}=1/2.解答：因为X,Y独立，所以f(x,y)=fX(x)fY(y).P{X≤Y}=∫∫x≤yf(x,y)dxdy=∫∫x≤yfX(x)fY(y)dxdy =∫-∞+∞[fY(y)∫-∞yfX(x)dx]dy=∫-∞+∞[fY(y)FY(y)]dy=∫-∞+∞FY(y)dFY(y)=F2(y)2∣-∞+∞=12,也可以利用对称性来证，因为X,Y独立同分布，所以有P{X≤Y}=P{Y≤X},而P{X≤Y}+P{X≥Y}=1, 故P{X≤Y}=1/12.习题12设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为若X与Y相互独立，求参数a,b,c的值.解答：关于X的边缘分布为由于X和Y的地位平等，同法可得Y的边缘概率密度是：fY(y)={2R2-y2πR2,-R≤y≤R0,其它.(2)fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)注意在y处x值位于∣x∣≤R2-y2这个范围内，f(x,y)才有非零值，故在此范围内，有fX∣Y(x∣y)=1πR22πR2⋅R2-y2=12R2-y2,即Y=y时X的条件概率密度为fX∣Y(x∣y)={12R2-y2,∣x∣≤R2-y20,其它.同法可得X=x时Y的条件概率密度为fY∣X(y∣x)={12R2-x2,∣y∣≤R2-x20,其它.由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以X与Y不独立.习题15设(X,Y)的分布律如下表所示求：(1)Z=X+Y; (2)Z=max{X,Y}的分布律.解答：与一维离散型随机变量函数的分布律的计算类似，本质上是利用事件及其概率的运算法则. 注意，Z的相同值的概率要合并.概率(X,Y)X+YXYX/Ymax{X,Y}1/102/103/102/101/101/10 (-1,-1)(-1,1)(-1,2)(2,-1)(2,1)(2,2)--1-2-2241-1-1/2-221-于是(1)max{X,Y} -112pi 1/102/107/10习题16设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={1,0<x<1,0<y<2(1-x)0,其他，求Z=X+Y的概率密度.解答：先求Z的分布函数Fz(z)，再求概率密度fz(z)=dFz(z)dz.如右图所示.当z<0时，Fz(z)=P{X+Y≤z}=0;当0≤z<1时，Fz(z)=P{X+Y≤z}=∫∫x+y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0z-x1dy=∫0z(z-x)dx=z2-12x2∣0z=12z2；当1≤z<2时，Fz(z)=∫02-zdx∫0z-xdy+∫2-z1dx∫02(1-x)dy=z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2；当z≥2时，∫∫Df(x,y)dxdy=∫01dx∫02(1-x)dy=1.综上所述Fz(z)={0,z<012z2,0≤z<1z(2-z)-12(2-z)2+(z-1)2,1≤z<21,z≥2，故fz(z)={z,0≤z<12-z,1≤z<20,其它.习题17设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={2e-(x+2y),x>0,y>00,其它,求随机变量Z=X+2Y的分布函数.解答：按定义FZ(Z)=P{x+2y≤z},当z≤0时，FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫∫x+2y≤z0dxdy=0.当z>0时，FZ(Z)=∫∫x+2y≤zf(x,y)dxdy=∫0zdx∫0(z-x)/22e-(x+2y)dy=∫0ze-x⋅(1-ex-z)dx=∫0z(e-x-e-z)dx=[-e-x]∣0z-ze-z=1-e-z-ze-z,故分布函数为FZ(Z)={0,z≤01-e-z-ze-z,z>0.习题18设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为fX(x)={1,0≤x≤10,其它, fY(y)={Ae-y,y>00,y≤0,求：(1)常数A; (2)随机变量Z=2X+Y的概率密度函数.解答：(1)1=∫-∞+∞fY(y)dy=∫0+∞A⋅e-ydy=A.(2)因X与Y相互独立，故(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)={e-y,0≤x≤1,y>00,其它.于是当z<0时，有F(z)=P{Z≤z}=P{2X+Y≤z}=0;当0≤z≤2时，有F(z)=P{2X+Y≤z}=∫0z/2dx∫0z-2xe-ydy=∫0z/2(1-e2x-z)dx;当z>2时，有F(z)=P{2X+Y≤2}=∫01dx∫0z-2xe-ydy=∫01(1-e2x-z)dx.利用分布函数法求得Z=2X+Y的概率密度函数为fZ(z)={0,z<0(1-e-z)/2,0≤z<2(e2-1)e-z/2,z≥2.习题19设随机变量X,Y相互独立，若X与Y分别服从区间(0,1)与(0,2)上的均匀分布，求U=max{X,Y}与V=min{X,Y}的概率密度.解答：由题设知，X与Y的概率密度分别为fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={1/2,0<y<20,其它,于是，①X与Y的分布函数分别为FX(x)={0,x≤0x,0≤x<11,x≥1, FY(y)={0,y<0y/2,0≤y<21,y≥2,从而U=max{X,Y}的分布函数为FU(u)=FX(u)FY(u)={0,u<0u2/2,0≤u<1u/2,1≤u<21,u≥2,故U=max{X,Y}的概率密度为fU(u)={u,0<u<11/2,1≤u<20,其它.②同理，由FV(v)=1-[1-FX(v)][1-FY)]=FX(v)+FY(v)-FX(v)FY(v)=FX(v)+FY(v)-FU(v),得V=min{X,Y}的分布函数为FV(v)={0,v<0v2(3-v),0≤v<11,v≥1,故V=min{X,Y}的概率密度为fV(v)={32-v,0<v<10,其它.注：(1)用卷积公式，主要的困难在于X与Y的概率密度为分段函数，故卷积需要分段计算；(2)先分别求出X,Y的分布函数FX(x)与FY(y), 然后求出FU(u)，再求导得fU(u); 同理先求出FV(v), 求导即得fV(v).。
概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，31,1(-及)0,2(，且取这几组值的概率依次为61，31，121和125，求二维随机变量),(Y X 的联合分布律．解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则561)0,0(3833====C C Y X P ，569)1,0(381323====C C C Y X P ，569)2,0(382313====C C C Y X P ，561)3,0(3833====C C Y X P ，283)0,1(382312====C C C Y X P ，289)1,1(38131312====C C C C Y X P ，283)2,1(382312====C C C Y X P ，0)3,1(===Y X P ，563)0,2(381322====C C C Y X P ，563)1,2(381322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．),(Y X 的联合分布律为：(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求：(1)常数k ；(2))3,1(<<Y X P ；(3))5.1(<Y P ；(4))4(≤+Y X P ．解：方法1：(1)⎰⎰⎰⎰--==∞+∞-∞+∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰，∴81=k ．(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y ．(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰∞+∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y ．(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x ．方法2：(1)同方法1．(2)20<<x ，42<<y 时，⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=，其他，0),,(=y x F ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他．,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P ．(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F ．(4)同方法1．4．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他．,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞+--∞+∞-∞+∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰∞+∞+--=02d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=A ．(2)0>x ，0>y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=，其他，0),(=y x F ，∴⎩⎨⎧>>--=--其他．,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x ．5．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,10,10,),(y x Axy y x f 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-A y y x x A y x y x f ，∴4=A ．(2)10≤≤x ，10≤≤y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=，10≤≤x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=，10≤≤y ，1>x 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=，1>x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u ，其他，0),(=y x F ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他．,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F ．6．把一枚均匀硬币掷3次，设X 为3次抛掷中正面出现的次数，Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，3．易知0)1,0(===Y X P ，81)3,0(===Y X P ，83)1,1(===Y X P ，0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ，0)1,3(===Y X P ，81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为：7．在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固3只螺栓；二是焊接2处焊点，以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目，以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(Y X 具有联合分布律如下表：求：(1)在1=Y 的条件下，X 的条件分布律；(2)在2=X 的条件下，Y 的条件分布律．解：(1)因为)1,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=，所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ，81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ，101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ，401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ，故在1=Y 的条件下，X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=，所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ，41)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ，81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ，故在2=X 的条件下，Y 的分布律为：Y 012P8541818．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求：(1)常数c ；(2)X 的边缘概率密度函数；(3))2(<+Y X P ；(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞+∞++-∞+∞-∞+∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰∞+∞+--=02d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=c ．(2)0>x 时，⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(⎰∞++-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=，0≤x 时，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(2x x x f x X ，同理⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=20202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x ．(4)由条件概率密度公式得，当0>y 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ，同理，当0>x 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y ．9．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他．,0,0,10,3),(x y x x y x f 求：(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)10<<x 时，⎰∞+∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰，其他，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f X ，密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ，∴10<<y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10),1(23)(2y y y f Y ．(2)当10<<y 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他．其他．,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X ．当10<<x 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他．其他．,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y ．10．设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他．,0,10,3)|(32|y x y x y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P ．解：⎩⎨⎧<<<==其他．,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ，则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx ．11．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他．,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求：(1)),(Y X 的边缘概率密度；(2)X 与Y 是否独立；(3))),((D Y X P ∈，其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域．解：(1)10<<x 时，x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰∞+∞-，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,10,322)(2x x x x f X ，20<<y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,20,316)(y y y f Y ．(2)∵),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=，∴⎰⎰+=∈102222d d 3()),((xxx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x ．12．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他．,0,0,0,e )1(),(2y x y xy x f x试讨论X ，Y 的独立性．解：当0>x 时，xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002，当0≤x 时，0)(=x f X ，故⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(x x x x f x X ，同理，可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=．0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ，因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立．13．设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布，求X 与Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他．,0,,21),(2a y x a y x f ，当0<<-x a 时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-∞+∞-，当a x <≤0时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---∞+∞-，当a x ≥时，0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2，同理，由轮换对称性，可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2，显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立．14．设X 和Y 时两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率．解：(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f X ，因为X 与Y 相互独立，所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他．,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f y Y X ，(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤，记为D ，即}|),{(2X Y Y X D ≤=，设=A {a 有实根}，则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=12d e12x x ⎰--=12d e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=．15．设i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，求行列式4321X X X X X =的分布律．解：由i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，易知41X X ～)84.0,16.0(b ，32X X ～)84.0,16.0(b ．因为1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，所以41X X 与32X X 也相互独立，又32414321X X X X X X X X X -==，则X 的所有可能取值为1-，0，1，有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=，)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=，)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=，故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数．解：0≤z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；若0>x ，则0<-=x z y ，也有0),(=y x f ，即0≤z 时，0),(=y x f ，此时，0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F ．0>z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时，0),(≠y x f ，此时，⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1．综上⎩⎨⎧≤>--=--．0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ，所以⎩⎨⎧≤<='=-．0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z ．17．设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他．,0,10,1)(x x f X ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度．解：0<z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；若0≥x ，则0<-=x z y ，0)(=-x z f Y ，即0<z 时，0)()(=-x z f x f Y X ，此时，0d )()()(=-=⎰∞+∞-x x z f x f z f Y X Z ．10≤≤z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ，此时，z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(．1>z 时，若0<x ，0)(=x f X ；若1>x ，0)(=x f X ；若10≤≤x ，则0>-=x z y ，此时，0)()(≠-x z f x f Y X ，z x z Y X Z x x x z f x f z f ---∞+∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(．综上，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--．0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z ．18．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他．,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立？(2)求Y X Z +=的概率密度．解：(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(2)0≤z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；若0>x ，则0<-=x z y ，0),(=y x f ，此时，0d ),()(=-=⎰∞+∞-x x z x f z f Z ．0≥z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ，此时，⎰∞+∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e)(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ ．19．设X 和Y 时相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2σN ．证明：随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．证：因为X 与Y 相互独立，均服从正态分布),0(2σN ，所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y x f +-⋅=，(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时，有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ，此时，2222e)(σσz Z z z f -=；当0<z 时，=≤+}{22z Y X ∅，所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ，此时，0)(=z f Z ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．20．设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布，求},min{Y X Z =的概率密度．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,20,10,21),(y x y x f ，易证，X ～]1,0[U ，Y ～]2,0[U ，且X 与Y 相互独立，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=．1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=．2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ，可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．1,1,10,223,0,02z z z z z ，求导，得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,23)(z z z f Z ．21．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他．,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ；(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；(3)求函数},max{Y X U =的分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰∞++-∞+∞-∞+∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x⎰⎰∞+--=1d e d e y x b y x )e 1(|)e (|)e (1102-+∞---=-⋅=b b y x ，∴1e11--=b ．(2)10<<x 时，1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他．,0,10,e 1e )(1x x f xX ，0>y 时，⎰∞+∞-=x y x f y f Y d ),()(y y x x -+--=-=⎰e d e e1110)(1，0≤y 时，0)(=y f Y ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)0≤x 时，0)(=x F X ，10<<x 时，101e 1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ，1≥x 时，1)(=x F X ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--．1,1,10,e1e1,0,0)(1x x x x F x X ；0≤y 时，0)(=y F Y ，0>y 时，y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0，∴⎩⎨⎧≤>-=-．0,0,0,e 1)(y y y F y Y ，故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---．1,e 1,10,e1e1,0,01u u u uu ．。
概率论与数理统计第三、四章答案
第三章 习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。
解：由习题二第2题计算结果0112{0}={1}=33p p p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。
解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2()ER π来计算远面积的期望值，如果不能用，又该如何计算？其结果是什么？解（1）100.1110.4120.3130.211.6ER =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由数学期望的性质有(2)223.2E R ER πππ==（3）因为22()()E R E R ππ≠，所以不能用2()E R π来计算圆面积的期望值。
利用随机变量函数的期望公式可求得222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯= 或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=4． 连续随机变量ξ的概率密度为,01(,0)()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它又知0.75E ξ= ，求k 和a 的值 解 由1010()11324a a kx dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞-∞===+=⋅==+⎰⎰⎰解得 2,3a k ==5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16题）。
概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章
第三章 多维随机变量及其分布1.[一] 在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。
考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。
我们定义随机变量X ，Y 如下：⎪⎩⎪⎨⎧= 若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1,,0X ⎪⎩⎪⎨⎧=若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,,0Y 试分别就（1）（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律。
解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。
由独立性定义知。
P (X=i , Y=j )=P (X=i )P (Y=j ) P (X=0, Y=0 )=362512101210=⋅ P (X=0, Y=1 )=3651221210=⋅ P (X=1, Y=0 )=3651210122=⋅ P (X=1, Y=1 )=361122122=⋅ 或写成（2）不放回抽样的情况P {X=0, Y=0 }=66451191210=⋅ P {X=0, Y=1 }=66101121210=⋅P {X=1, Y=0 }=66101110122=⋅ P {X=1, Y=1 }=661111122=⋅ 或写成3.[二] 盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X 表示Y 的联合分布律。
解：（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C CP {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=05.[三] 设随机变量（X ，Y ）概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f（1）确定常数k 。
概率论与数理统计第3章课后题答案
概率论与数理统计第3章课后题答案第三章连续型随机变量3.1 设随机变数 的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率：（1）P( a)；（2）P( a)；（3）P( a)；（4）P( a) 解：（1）P( a) F(a 0) F(a)；（2）P( a) F(a 0)；（3）P( a)=1-F(a)；（4）P( a) 1 F(a 0)。
3.2 函数F(x) 11 x2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果（1） x（2）0 x ，在其它场合适当定义；（3）- x 0，在其它场合适当定义。
解：（1）F(x)在（- , ）设随机变数 具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x) p( x),证明：对任意的a 0,有（1）F( a) 1 F(a)12ap(x)dx；（2）P（ a) 2F(a) 1；（3）P( a) 2 1 F(a) 。
证：（1）F( a)ap(x)dx 1ap(x)dx=1ap( x)dx 1ap(x)dx=1 F(a) 1 （2）P( ap(x)dxap(x)dxa12a0ap(x)dx；ap(x)dx 2 p(x)dx，由（1）知1-F(a)故上式右端=2F(a) 1；12ap(x)dx。
（3）P( a) 1 P( a) 1 [2F(a) 1] 2[1 F(a)]3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a 0,b 0是两个常数，且a b 1。
证明F(x) aF1(x) b F2(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为F1(x)与F2(x1) F2(x2)，于是F(x1) aF1(x1) b F2(x1) aF1(x2) b F2(x2) F(x2)F2(x都是分布函数，当x1 x2时，F1(x1) F1(x2)，又xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] 0xlimF(x) lim[aF1(x) b F2(x)] a b 1xxF(x 0) aF1(x 0) b F2(x 0) aF1(x) b F2(x) F(x)所以，F(x)也是分布函数。
《概率论与数理统计》习题及答案 第三章
《概率论与数理统计》习题及答案第 三 章1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。
解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个数X 的分布列。
解 从a b +个球中任取r 个球共有ra b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k r kb a C C -，所以X 的分布列为()k r kb ara bC C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。
3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1(1,2,3)1i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。
解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。
则1231111(0)()23424P X P A A A ===⋅⋅=， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++111121113623423423424=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=， 123123123(2)()P X P A A A A A A A AA ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424=⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅=，20 1231236(3)()23424P X P A A A ===⋅⋅=. 即X 的分布列为01231611624242424XP. 4．一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为12，以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的概率分布。
《概率论与数理统计答案》第三章
习题参考答案与提示
第三章 随机变量的数字特征习题参考答案与提示
1．设随机变量 X 的概率分布为
X
－3 0.1
0 0.2
1 0.3
5 0.4
pk 试求 EX 。
答案与提示： EX = 2 。 2．已知随机变量 X 的分布列为
X
0 0.1
1
p
2 0.4
3 0.2
Pk
答案与提示：（1）由归一性， p = 0.3 ； （2） EX = 1.7 ； （3） DX = 0.81 3．已知随机变量 X 的分布列为
后
答
D X −Y = 1−
26．设灯管使用寿命 X 服从指数分布，已知其平均使用寿命为 3000 小时，现有
—5—
案
若一周 5 个工作日里无故障可获利 10 万元，发生一次故障仍获利 5 万元，发生二次2π网
。
ww w
3 ； 2
.k
hd a
EZ =
1 ， DZ = 3 ； 2
w. c
解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义( ρ XY =
第三章
习题参考答案与提示
求：（1） Y = 2 X 的数学期望；（2） Y = e −2 X 的数学期望。 答案与提示：（1） EY = E 2 X = 2 ；（2） EY = Ee −2 X = 1/ 3 。
1 11．试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过 。 4
答案与提示：事件在 n 次独立重复试验中发生的次数服从参数为 n ， p 的二项分 布 B ( n, p ) ，当然在一次试验中发生的次数应服从 B (1, p ) ，即为(0-1)分布。
f ( x) = 1 − x− β e 2α
概率论与数理统计第三、四章答案
概率论与数理统计第三、四章答案第三章 习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。
解：由习题二第2题计算结果112{0}={1}=33pp p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯=一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。
解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望ξ96 98 100 102 104p0.090.270.350.230.06960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2()ER π来计算远面积的期望值，如果不能22||201()2x x D E x e dx x e dx ξξ+∞+∞---∞===⎰⎰20|22x x x e xe dx +∞-+∞-=-+=⎰6题目略解 (1)15辆车的里程均值为1274(9050150)91.33153++⋅⋅⋅+=≈ (2) 记ξ为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则ξ的分布表如下表所示（a=188）ξ10 30 50 70 90 110 130 150 170p 5/a11/a 16/a 25/a 34/a 46/a 33/a 16/a 2/a故51124520103017096.1718818818847E ξ=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=≈ 7题目略解 记ξ为种子甲的每公顷产量，η为种子乙的每公顷产量，则45000.1248000.3851000.454000.14944E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 45000.2348000.2451000.354000.234959E η=⨯+⨯+⨯+⨯=8．一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响）？解 设i ξ为一盒中第i 个螺丝钉的重量(1,2,,100)i =⋅⋅⋅,则 题设条件为101,i i E g D g ξξ==且12100,,,ξξξ⋅⋅⋅相互独立。
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案
0x
0
x0
y 1
0
1x
y
1
0.25
0
0.5 1 x
y
1
1
= ⎜⎛ x 2 − 1 x 4 ⎟⎞ = 1 ； ⎝ 2 ⎠0 2
（4）当 x < 0 或 y < 0 时，F (x, y) = P (∅) = 0， 当 0 ≤ x < 1 且 0 ≤ y < 1 时，
0
1x
∫ ∫ ∫ ∫ F(x, y) = P{X ≤ x, Y ≤ y} =
⋅8 12
⋅4 11
=
40 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1, 1,
0)}
=
5 13
⋅4 12
⋅8 11
=
40 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1, 1, 1)}
=
5 13
⋅4 12
⋅3 11
=
5 143
；
（2）
P{( X1,
X2)
=
(0,
0)}
=
8 13
⋅7 12
=
14 39
，
P{( X1,
i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; j = 0, L, 5 − i ，
故 (X, Y ) 的联合分布列为
Y X
0 1 2 3 4 5
0
0.00032 0.004 0.02 0.05 0.0625 0.03125
1
0.0024 0.024 0.09 0.15 0.09375
0
2
0.0072 0.054 0.135 0.1125
概率论与数理统计(理工类第四版)第三章多维随机变量及其分布习题答案
第一章多维随机变量及其分布二维随机变量及其分布设（X打的分布律対1^6 19 1/181'3 M 19求口-解答=由分布律性质工A - L可知I 6+ 1/9^1 "lfi +1/3 +"+ 1/9-1, 解得£戸込I习題2（丄）2.ig {X, F）的分布ill數为Fa. J'）,试用尺工门表示:尸治Gf £仇F g匸}-尺机t）-尺“疋）,,习題2（2）I2.® （尤n的分布函勒为川斗理），试用/-UJ）表示:（2）p;o<y<忙；尸出町yg冇j =鬥+卫』）三尸（+ 00'0）・习題24）］2■设g y）的分布働対珂扎小试用表示;（3）門疋>0, y<^i *尸尸<郴=F（+<K上）—尸他［解答=1P{max|A； n ^0| -P{Y, 少•个夭于J'O}=pgo} + W20} -P{X20. y纫4 4 3 5**7 7 7 7习題5丨（Kn只取下列数值中的值:(0.0), (-1, I), 、(2.0)且相应釈率依次为扌，，缶存请列出（x,r）的畴分布表，并写出关于啲边缘分布・解答^（I ）因为所给的一组槪率实数显然均大于驭 且有1 + 1 +补+刍=1,故所给的一组实数必6 3 12 12是某二维随机变蚩（x,r ）的麻合概率分布.因（* D 只取上述四组可能值，故事件：-I, r^Ob <X ・0・ y=-h{X- 0, r-1 H |x= 2・ n {*■ 2. y -1},均为不可能事件，其概率必为®.因而得到下表！0 1/3（2）F{f ・0}«P{X=-i, Y 0} +P{X-o, y=o} +P{%・2, r-0} n I 5 7=0H — + —=—,6 12 12同祥可求得P W >I 3j关于的y 边缘分布见下表^0 1/3 712 1/12 1/3 设随机向量（A ； K ）服从二维正态分布M （）・（h 101101（））,其低率密度为1 "八"2«0n求 PIX^Y].解答=丨由于尸氐W Y] 4 P{x> r} = h 且由正态分布图形的对称性，知円 XS n = P{x> r\,故 P{*S Y} = ；.习題7设®机变*（& D 的概率密度为7（6-Jf-卩），0<1<2,2<v<4'-I 0. Mt则⑴确罡常数灯（2）求P{Xvl 』v3”（3）求PXvlS}; （4）求P{X+y<4}・1/65-42 1/12 0 0 1/3 012 p{y=】r,解答；1如s所示(I)由「J：/(x,y)心a”. I >确定常数人-JJ^Z:(6-X-yydydx = Hj6-Ixydx = 8A = I ,⑵ P{X< l,r<3) = 4寸；1(6 7-刃在u 扌・⑶ P{X<\.5}=£ rfx£i(6-j-y)</v=寻.(4) P{无4人42J施广i(6_x-y)妇扌.［习題8」_____________________________________已知财口y的联合密度为C 、'w.OSMl.O 幻 G f{x. V）= <■ K 0, 氏它试求：（I）常数（2）尢和y的联合分布跚凡2）.解答=1⑴由于TH ：/(x, y)dxdy =41 xytfxdy = ~，E = 4 .⑵当X M 0或y 5 0时,显然Fg y) = 0 J当x2 1,y2l日寸，显然F(x,>■) = H设OSM I、0^> < I 有E(x, y} = P J* /{u, v}duJ\ =4(严也卜也=巧》^;设05x<l , v>l；有F{x,y}= P[X< l,K< vJ = =jr)最后，设xA(b OMpSl,有F(jr,v)= P[X< I, y<v\ =4jjM寸;vdv = r. 函数F（儿y）在平面各区域的表达式0, x<0i^<0F, 0<.v< i.>-> lF(")=巧人0<x< 1、0<y< I .r，x>i,OSySI习題9设二维随机变量伉,D的柢率密度为£[4・8只丨-X）. 0<xS l.JT <y< 1心”0, ft它解答:人仗）■匚/Z）创f 4剛1 -x）a 几0, 其它2.4(l-F)(I-x), OSxSl ~1 0,其它♦_ 们4・8叩-x)dx, O£yW I0, H•它_ 2.4r(2-y), OSvSl0,其它•习a丄0 I设ee在邮刼"所ffl戒的区域仃里服从1祠分布J求联台廿布啻虜和边缘分布密度.E域G的面积月三J：b -论==,由题设知（X n的联合分布密度为6, 0盂』MhrWyW.Y/gm 二①11它”从而八h.v)fA =叮:创=(心rb s哲I,&0：—护h 0 W岸兰1.心卞)=J 3(),JI它同样的/ ") =「：rg处=或：必=6由-.V)，u^v< 1^即# f小刃-1■ '■ 1 0, R L ■条件分布与随机变量的独立性二维随机变量(尤n的分布律为0 17/15 7.307/30 1/15(1)y的边缘分布律J(2)求Pr=o|x=oh P w=iro}；⑶判定兀与y是否独立？解答：1⑴由(XJ)的分布律知b y只取0及1两个值・P{y=0} = P{x = 0j = 0} +Pb= l,j = 0；=«j^ +寺= 0.7,j-(j JO 15(2)P{y=Qx = 0}= P{x"0」"0} = ? ?* P{x = 0} 3⑶已知P{2 0,尸= 由⑴知Ptv=0i=0.7,樂以可得尸仪=0}-0.7.因^鬥20,尸0}*{.20}•氏2(1},所以*与y不独i・将某一医药公司9月份和8份的膏莖素针剂的订货里分别记为X与y.据以往积累的资科知X 和y的联合分布律为51 52 53 54z51 0.06 0.05 0.05 0.01 0.0152 0.07 0,05 0.01 0.01 0.0153 0,05 0.10 0.100.05 0.0554 0.05 0.02 0.01 0,01 0,030.05 QM005 0.01 0-03(1)求边缘分布律；(2)求X月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.解答=丨X5152 53 54 55 0J8 0.15 035 0.12 0.20 *对应丸的值，将每行的祗率相加b 可得円/"・}•对应y 的值(最上边的一行b 将S 列的柢率相加 可得p{y 可：•52 53 54 55~~6^2~0^~0.13 •⑵当y - 51B 寸'X 的条件分布律为鬥Ei,備宵严=粽，"5WK55.列表如口习题3 1 已乳(X n 的分布律如下表所示y-^ -1^LrL •(1) uy=i 的条件下，戈的条件分布律,(2) 在X«2的条件下，y 的条件分布律.f 解答=1由麻合分布律得关于X. y 的两个边缘分布律为故⑴在y-1条件下，尢的条件分布律为_0 1 23/11 8/11 0 ⑵在X=2的条件下.y 的条件分布律为4/7 0 3/7(I)边缘分布律丄 X "719/24 8/24 7/241024 11'24 3/24由尢与y 相互独立知PiX=x,. r=j ；j=P{X=xJP{y=yJ, /=l,2,3.4, 7=1,2.3, 从丽（A ； y ）的K 合祗率分布为P{X+y=\}= P{X«・ P{X«O, y=l}=—+ — = 16 4K 12P{X+ y*0} = I - P{X+ F 二0}= 】-P{X 二-b y=i}-p4x== -二2 2 1 I 32S12 6 4习題5丨丸与y 相互独立，其概率分布如表S ）及表⑹所示，求：（KK ）的联合概率分布, Pj%+r=iH P{*+y*o}・-20 1/2-1/2 1/4 1/3 142 1/31/21/4 1/4表3)解答： (I)由题设易知fk I人(-4—， I a M 尼又y 卜相互独立，故A ■与》的联合槪率密度为L tk 找它⑵因2有实根｝-:判另弑A=-4A^'-4ys()! - ｛用2鬥,I + y-yr舌则图所示得到:、 」■尸加有实根｝ =P ｛X-> Y ｝ = H “儿 ，曲T 町V 讪」/「 rr '%工=l - ； ."dr-r HLclx-二维随机变量函数的分布r?=1 一莎J 壮一丘『厂必■ ■ =]—血他⑴―山⑹，又tl>(IJ-0.MI.3 I 小(冊三2^于杲巾(I)-伽(0)-03413』所以 尸旧有实根！ = 1 — 血冲(I)—职仙] -2.51贰0加13 = (1」4工=-t（i ）z=r +y 酚布律为•2 0 A 1/10151/2 110 no-2 1/21/5 1/10 1/10 1/10J/2 1/51'5 3/10 151 10(4)Z.max1Xri 的分布律习那]设二维隨机向S （x, y ）眼从矩形区,或D “（2）IOSM 2・0<八H 的均匀分布，且 ■ , fo.xsy “ 3*s2yU=1 ； v=）J, x>2r解答：I依题(U 耳的概率分布为P{CZ=O, V^Q}^P{X^KX<Y\=P{X^Y}咖:扑w ，p{(7=o,I j = P{XM}；x>2r}M(bp {c/=i,r=o}=p {x>y,x<2y}=p<y<xs2Y}=例：5心，p{u-1, r-1}=1 -p{r=o, r=o|-P|c/=o, r= i }-p {u= i, r=o} = iz2,（3） Z 二*"的分布律-2 1/101/57/10[\.X> y求0与A 的联合概率分布.I习題4 I设（x,r）的联合分布密度为I E —e " 2n求2的分布密度.解答：依翹意，由_____当xO时，FX Z)=P(0)=O J当沦0时，F^z).P{X'+r'^z^)- JJ /{x.yydxdy・« ・1 ■p・5 =-j；x^ 曲» [g ,dp■ 1 - e •故2的分布函数为FQ・0, 2<02的分布密度为ze \ 2>0L 0, 2<0习題5〕颇机变量（X "师率密度为・a + v)<? A”, x>0.y>0r(x 丿” \ 2I 0,煤它（I ）冋;V 和y 是否相互独立？（2）求7«* †+ y 的概率密度• 解答=1（|）/7力=厂/（"曲依题童，x,y 的柢率密度分布为fl, Owl心0.其它'由卷积公式得Z«x+ y 的概率密度为//2)=匸：/(xteG ~x)dx,于是当 0<x<l, z-x>O01,广(x)j?U-x)*O,故兰 Ovx<Nv I 日寸，有 /'/z)=£t* '• m 办=1-t? r ；当沦I 时，有//z>=£e» *■ **rfr=e*即2的駅率密度为x> 0 一时，/(X. z-.v)*O,所 X<2-xe ^dx = —z^e :. ? 2习题6 1设随机变S* y相互独i,若刘艮从(0, I)上那咖布，｝服从参数I的指数分布，求随机变量z=x+y的率密度.解答=IQp八0鮒)0. «它■-e—e0＜二＜I习題7 I0. VMO01lt0, M<0 (1-C 于丁〒OS“vl ・设随机变量(X y)的槪率密度为bgWj 0<xvl,0<y<+80,具它(1)试确定常数切⑵求边缘概率密度/e), ⑶求函数U= max数.⑴由J 工 J{x,y}dxdy = 1 ,确定常数 b.J ；厶J ；仏 'e Py-W-e *)/(x.y} =-—e Ovx< 1,0vyV+8 e~'0, 其它(2)由边缘概率密度的定义得--- e 0,-e(叫几Ovxvl 淇它0. «它~e0•氏它I0,氏它⑶因为/(x,j)=/,Xx)/,<v),所以龙与y 独立，故F(W) = Pfmax {兀 Y] W i/} =P{X^ u, r<H J =fyw)FK■ f ] ■ JI其中 Fv(X)-£-j-^<// Ovxvl,所以0, H SO-eI -a-,Q<x< 1 •"1同理£c ⑷,0<y<+ « 1—严；0vy<4oo0, y<0习題7 I1 -<?',习題B设系统丄是由两个相互独立的子系统丄和E 职串联方式联接而成，人和丄，的寿命分另I 伪A 与 b 其概奉密度分另怙，隹(h ・)i(K .Y<0解答：设 Z-inin{y, V\ 则F(d = FM>二}-你miti{*= }= l-r|niiii(-\； }-r{X^2. } S J} =1-IIP""川 1 —珥 ^二}|= }-[}-F,[=]][}=由于* z>0认 z<nf I -r 巴 z>0 尺㈡* I 0, Z<n0, z<(l从而3>()习题9设随机变童疋湘互独立』且服从.同一分布』试证明；P {(t < niiniX 卄"2 ［鬥出］丄—［PiX> * 口»ff 答：设血i^F}二乙则尸旧wruMfJ ； F)"} =£//>) = ◎(&)』/7二尸尸{min f A ；打"} — 1 —鬥min |兀 冷“} -l-nX>z r>r^- I -F{#dz}P{FHz} 二丨TFfvr 门代入得/^{u<imii{A ； n 5； = I - If {人、忧F-(l -f汗}打""耐证毕.复习总结与总习题解答0. v<()苴中,』>{)，“〉(b 回，试束系?盍丄的寿命Z 的柢率密Rr) = *1 —严+吒£>0习題1丨在一箱子中装有12只开关，其中2只罡次品，在其中取两次，毎次任取一只，考虑两种试殓;（I ）放回抽样八2）不放回披样•我们走义随机变量X. y 如下:-0若第一次取出的是止品""：1■芳® —次取卅的走次品' 解答：（I ）有放回抽样,（X, n 分布律如下：p.v=o,r=o, = ^ = g,P{x=.,x=o, = ^ = l（2）不放回抽祥，（尤n 的分布律如下：P{X=（）. y=（）} =竺11 =竺，P{x=o,y=i} =史11 =凹12x11 66 12x11 66 P {灼，—“^二黑砒"—2二=£ 12x 11 66I2x II 66假设随机变量y 服从聲数为1的指数分布，随机变量母屮仟仏3求（兀冷的联合分布率与边缘分布率.0■若第二次取Hi 的是lE 品 1,若箔一次取出的是次跖 砂别就（I ），（2）两种谢兄，写出/和 > 的联合分布律•Y=<劭y服从劳数为啲指数分布，血=『电"|,所以有11,若 1= I} = P| y> I} = J* % ^dy = c ',f{y, = 0} = l-eP{X=I}= P{y>2}=J；l 'dy = e 2,P{Xj = O} =1 -e 2,= l)=P{y>2)=e SrjA^,= l,Yj = O( = f{X,= l}-r{X, = UXj = l} =e '-e P{X, = O,A；=O}=P{r^t!= !-<?*',p {/=o,& = H = Ptv,=o}-PM>o,y=o}=(), 故e，Ay联合分布率与边壕分布率如下表所示:在元旦茶话会上，每人发给一袋水果，内装3只橘子，2只苹果，3只香嵐今从袋中随机抽出4只，以乂记橘子数，y记苹果数，求gn的联合分布•解答=IX可取值为0,1,23 y可取值0, 1,2,则Ptv=o, r=o3=p{0( = o, P{Y=o, y=i}=c：c；c"c；=2/7o, 門X=o, y=2} =C；GC：/C：= 3/7O, = 1, r= GJ = CjC^Cj/C'； = 3/70,P{X= I, Y=\}= C；C；G/G = I 8/70, P {%= I, r=2} = C；C；C；/C = 9/70,P{X=2, r=<)}=qc^c5/C； = 9/7O, P{X = 2, r=|>=c^cjc；/q= 18/70, 門X=2,r=2}=C；C；C；/C； = 3/7(b P{X=3, r=()! =C；C；rl/C；=3/7O,P{X=3, r=l5=C；CX7C'； = 2/7O, P|Y=3, X=21=PJ0} = O,所以，(X, 合芬布如下：设斑机变量兀与y相互独立，下勵tt 了二维随机变量（x, n的联合分布律及关于尢与y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值《入表中的空a处：解答=]由题设X与y相互独立》即有"厂几几0- 1.2; R 1,2,3），又由独立性，有故化笃从而円产5・方-§，又由几产几P"即从而P产才类似的育I 1 3卩严亍如蔦'卩2蔦将上述数值填入衰中有(2)(x(一=呼Array n s鎗當墨(2)因窗賞J: 2X0-r叭工 <dsxa 一灶yAI-B 「FumnoJ◎脏一八 2yI -讥弋A o 畀-F(XQ )H P C SH一・y H—二 H -、4J 显X22、—-^ycoBq》 F (X ・S H 2X »一•y" — 二4P亠尢》2・y »— 二H5二2j显一人xa2;>0尹F (x・0»^x»-・ T—二*史XH 厂◎肛X W2;W O 尹/%R・Y )H P K H一・n H —二+2X H2・ PH I 二 + p 亠X H 厂 〉+解答：I 2应彳，£.由分布律的性质可知I 九=丨，故习題9 I _________________________ 设H 随机变量(尤naw 率密度函数为Ct?0,儿它⑴确定常数门(2) 求X"的边缘概率密度函数J (3) 羽联合分伟国数尸(X 』)； (4) 求 P{ysx}； (5) 求条件槪率密度函数 (6) 求P{X<2\Y<\} •I 解答=1⑴由匚工 /(X, y](ix(iy^ 1 求常数 f - i ：r-即0+0=■•3又因九与y 相互独立，故pjx=A r=ZJ = P^x=/iP{X=7b 从而 «・P{*・2, K-2}«P{r -i|P{r-/!r 1 VI 、V9 A4J2 *6，0 = P{X=3、X=2}=PJT=3JP{Y=2} fl I -+ -U 31+#]转1+0A3*3. 〔訂⑵A(x)=J y(x,v)Jv =■「2宀“ x>020・hx>O/Q) ■匸/(xj)必= J 「2eW 血y>00, «它严y>0 10, ySO(3)f J 〉■ r r /(“• v}dvdu< ■«! .rXJJ ：2° 叫'dvdu. x>0,r>0 0,氏它J(1-宀)(iy)・ x>0,y>0 "I 0.其它•(4) 門卩£卫=厂叫2€ % 7/1 =j^ 2e -'(I-e ")必=\(5) 当八0时，，2r — ♦<-x>0 J2e, x>0 0. x<Q to ，"0(6) P{X< 2|r<I} = P'Xu 2,F(2, 1) (\-e-■ --------- : --- = 1 — e?0. xSO二/（"）二J：e M 设随机变置以槪率I取值为(b而y是任—e意的随机变量，iiP加与丫相互独立.解答=I因为必的分布函数为0, %r<offfF(x)=< . 7〔1,畑側设y的分布因数为几0), (x, n的分布国数为Fgy),则兰工"时，对任意厂有F{x,y} = P{X<x, Y^y} = P{{X<x}r>(y<y}}= F{0C(F)}=F{0}=O= F3F3当20时，对任意F，有川儿卩)-PiX<x, Y<y} - P {(XS)c(FQ，)}- 勺刘-/>{〉<，} = FQ)=F/MO).依罡义,由Fg y) = F#r)厲仞知,北与V独立.设连续型随机变S(x,y)的两个弁S尢和*相互独立，且服从同一分布，试证P{X<Y\ = \fl.解答：I因为A； y独立，所咲/(X」)=//x)/)0).P伫r：=『心刃艸 =口/的/QMS•cSy jrSr■ {二［/0龙8^0皿皿・「：［/\0)尸0)］妙=J /^XvWv)=—L：=-.J" 2 2注：也可以利用对称性来证，因为X」独立同分布，所以有P\X<Y}=P\y<X\,而p{xs rj \ P{X2 Y} = \,故F{/Vsr}-I/I2.习題121设二维随机变量(A ； D 的联合分布律为“2 X 、 a 1/9 c? "9A13若久与y 相互独立,求参数a,人C 的值• 解答：］关于*的边缘分布为a + - A+ - C —9 93关于y 的边缘分布为,4 fl + c+ • b+ • 99 由于X 与y 独立，则有几2=P 、Pa 得 ( ./>= b4- /)+V 9八 由P\2訴P"得由式①得"二彳，代入式②得"右，由分布律的性质,rt + />4c + — + - -1—9 9 3代入"IV g?得心•易验证，所求绒也C 的值，对任倉的j 和/坷荐足甘化XPj.因此,所求依处的值为"丄，』，c=l18 96P K/ f9.习題14 I设(工K)的联合密度I 邂故为P ，『打匕用f(x,y)=< H R ・ ,0, K 它⑴求北与^的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问龙与y 是否独立？⑴当 *<-/?或^>/?时，f/x) = J ^/(x, y)</v=J *0命=0； 当一RS T WRE 寸,AW 叮并』如爲几4 =务戸• 于是'乍■尺"/Q) = 1宛斤V 0,兀它由于X 和y 具有对称性，同法可得y 的边缘#［率密度为/爲光厂,*曲0,其它值位于IM W J R ' -}2这个范围内,/'(儿y)才有非零JlR1/ 灿)=-7 —= / . 2 '即件1R 率密JS 为—r===, 1X |M JP ■“ /WMy)= 2j 用-尸0, 它同法可得X= X 时y 的条件祗率密度为f« 2{疋-£ .(),It 它 由于条fMR 率密度与边編R 率密度不相等，所以尢与y 不独立.⑵/>0卜)=少亠，注意到在y 处X ・/心)值，敌在此范團内，有霞 一5H H-心鼻働奮吐長o r n +y 叭Z)MOJ肛0览八一孚- Es«pbv+yn 一—=n (n d oe+r*r;令«z{2lz)l5(2lzr+ (hl-)2J吐ZW2鼻』=/'(XG)4zva ・nfuYfyxan一 • 3 0.2(21^13(21* I VN A O22搭AS H 一 2 I P匚P一从0人2・t 习題IT I设H 随机娈量(X X)的概率密度为2g52.q 2()j>00,其它 求随机变Sx-乂+2y 的分布佛.按定义/7Z) = P{x 千即当 ZM0时，F/Z)= JJ f{x,y}dx<iy = JJ 0厶妙=0.J( *2*" X * 2> S J 当-A O 时，F/Z)= JJ /(斗划厶亦I 叫幼 J *2yS ：=£e '(I - e" 9iZv=[(e “-e •)<Zx = [-e"*^|^-ze'* =l-g7-二 g7,0, 注0习題W 1设随机变MX 与y 相互独立，其概率密度函数分别为Ae^\y>010. yso驰(I)常数‘4; (2)随机变量Z-2X+ >的概率密度(酬•(1) 1 «「：/0)心《」「才吆 3" •(2) 因^与F 相互独立，故(A ；y)的联合概率密度为e"\ OS N M I, v>0 •， 0,氏它 于是当zwO 时，有F ⑵二P{2W Z }M P{2X+ r^r}=Oj当OS 注2时，有F(z) = P{2X +ysz}=['住% VvJ 如当A 2时，有F(z) = P{2X+ ys2}=f ：次匸 \ Vv =j^(l 仙.利用分布1跚法求^寻7亠2X+ y 删率密度a 数为0,匸<0(M -1)0 ¥2.沦 2{//*)= (l-e 9/2, O<2<2・/g)=故分布酗为F") M \1 ^-se •, z> 0 一、I.OSxSl 八、朋£・其它，如十习ai9 I is 阴机变量K.y 相互独立，若尤与y 分别服从区间（0, I ）与（仇2）上的均匀分布，求U= max{X 幷与 r-minM ； Y\«答=I由题设知，尢与F 的概率密度分别为1, 0<x<1 .0, It 它'于是，①尢与啲分布函数分另|］为0, xMO X. 0 M X V 1， I 1, 21从而U= max{A ； Y ］的分布为K w22故n 的柢率密度为W, 0<u<l/tO/) =②龍，由r,b')=i-[I -F A X 呱 1-®] =人何 + F") -FXv)F,{v) =尸3)+ 厲3)-耳3)， 得y=niin{X n 踽布瀏为f 0,OSv< I,故心min W}的概率密度为'3I - - V, 0<v< I.A （v ）=b ^,0, K 它注；（I ）用卷积公式，主S 的困难在于店丫的《?率密度为分段函数，故卷积需®分段计亀 ⑵先分别求出X 」的分布函数FQ ）与FQ ）,然后求出片何，再求导得/沖）；同理先求 出FQ ）,求导即得/a.ri/2.0<>-<2M 0.其它 0. > <0 y/2, OSy V2,F,4w) = FJw)F|-(w) =0, M<0ir/2, 0<«< 1w/2, 1 S w V 2vvO* — Xt习題IT I"如x>00, ,<0 r畔I-/e Wx>0-20. je<o-(X+ l)e \ x>0(),丫<0-（V + I）e \ y> 0由対称+蜘,显然I 0, pMO.Z'g"A（x）/Q），JC>0.y>0, 所以龙与y不独立.（2）用卷积公式求= 当｛即•当时，//r） = Oj 当"0吋，/血）=帛于是，z="+y的积率密度为12>0 zMO。
经济概率统计作业参考答案(第三章)
p{X
k} a , p{Y k} b , (k 1,2 ,3), 且
k
k2
X
与Y
相互独立，则
（ D ）。
( A) a 1, b 1；
(B) 11a 49 b 1 ； 6 36
(C) a, b 为任意实数 ；
(D) a 6 , b 36 。 11 49
三、计算
1、一盒子中装有 3 个黑球、2 个白球、2 个红球。在其中任意取四球，以 X 表示取到黑球 的个数，以Y 表示取到红球的个数，求（ X ， Y ）的联合分布列。
1 0 x 1
f
X
(x)
0
其他
fY ( y)
f (x, y)dx
当0
y
2
时，
f Y
( y)
11
0 2
dx
1 2
当 y 0 或 y 2 时， fY ( y) 0
1 / 2
f Y
( y)
0
0 y2 其他
5、已知随机变量 X 和 Y 的联合分布为：
（x , y） （0，0） （0，1） （1，0） （1，1） （2，0） （2，1）
答案： F(b, c) F(a, c) ， F(, a) F(,0) ， F(,b) F(a,b)
2、设二维随机变量的密度函数为
p(x)
4xy
0
,0 x 1, 0 y 1
,
其他
，
则 p(0 X 0.5)
。
答案： 1 4
3、随机变量 (X ,Y ) 的分布率如下表，则, 应满足的条件是
1/ 6
3
1/12 1/ 6
0
2. 二维随机变量（ X ,Y ）的联合密度函数为：
《概率统计》第三章习题解答
1
可知，放回不放回都是
（2）由
0
1
2
3
1
3
可知边缘分布为
7． 设二维随机变量的概率密度为
，求边缘概率密度。
解：
1
1
2
1/2
1/2
1
2
3
1/3
1/3
1/3
1
2
3
4
1/4
1/4
1/4
1/4
13．在第9题中，（1）求条件概率密度 ，特别当=1/2时，的条件概率密度；（2）求条件概率密度，特别写出当=1/3 ，=1/2 时，的条件概率密度；（3）求条件概率。
5． 设随机变量的概率密度为
； （1）确定常数；
（2）求 ；（3）求； （4）求。
解：（1）由 可知；
（2）；
（3）；
（4）。
6．（1）求第1题中随机变量的边缘分布律；（2）求第2题中的随机变量的边缘分布律。
解：（1）由，
0
1
0
1
。
18．设和是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：
，求随机变量的概率密度。
解：因为和相互独立，故 ，
则当时，，
当时，显然或，，故 ，
当时，
，
可知的概率密度为： 。
19．某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为： ，
设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周；（2）三周的需要量的概率密度。
解：（1） ，；
设两周的需要量为，当时
，故 。
（2）设为三周需要量，则=，当>0时，
概率论与数理统计第三章课后习题答案
概率论与数理统计第三章课后习题答案习题二1■将一硬币抛掷二次，以X表示在二次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和丫的联合分布律.【解】X和丫的联合分布律如表:2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和丫的联合分布律如表:3•设二维随机变量（X, F）的联合分布函数为求二维随机变量（x, y）在长方形域内的概率.4 6 3J【解】如图叫眈怎＜今空^求：（1）常数/；F (x, y)sin xsiny,0,0"岁詣其他.・Tt ■兀・兀■兀=sin —_sin ——sin —_sin ——4 3 4 6二#(dl).斗sin OLfeinK ■八■兀—+sinIksin —3 6JT7说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4•设随机变量（X, Y）的分布密度f（兀，y）j e-(3.r+4y)x >0, y >0, 其他.(2) 随机变量(X, Y)的分布函数;(3) P{0 «1, 0之<2}.【解】(1)由 f(x,y)dxdy° °Ae(3x4y)dxdy £ 1得A = 12(2) 由定义，有y xF (x, y)f (u, v)dudvy y(3u 4v)12e dudvo o0,(3) P{0 X 1,0 Y 2}P{0 X 1,0 Y 2}5. 设随机变量（X, Y ）的概率密度为(1 e 3x )(1 e 4y ) y 0,x 0,0,其他212e (3x 04y)dxdy(1 e 3)(1 e 8)0.9499.f(x ，y)=k(6 x y), 0,x 2,2 y 4,其他.(1)确定常数k ；(2)求 P{X v 1, Y v 3};(3)求 P{X<1.5};(4)求 P{X+Y W 4}.【解】(1)由性质有2 4f(x, y)dxdy ° 2 k(6 x y)dydx 8k 1,31-k(6 x y)dydx86.设X和丫是两个相互独立的随机变量，X在（0,0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为求：（1） X与Y的联合分布密度；（2）P{YN}.(2) P{X 1,Y 3} f (x, y)dydx(3)P{X(4)P{X1.5}x 1.5f (x, y)dxdy 如图 a f (x,y)dxdy1.5 4 10 dx -(6 x y)dy82732Y 4}Xf (x, y)dxdy如图 b f (x,y)dxdy(61 ) y)f Y（ y）5e5y, y 0,0, 其他.【解】（1）因X 在（0, 0.2） 上服从均匀分布，所以X 的密度函数为f x (X)10 x 0.2,0.2,0,其他.而f/y)5e 5y , y 0,0,其他.所以f (x, y)X,丫独立 fx(x)gf Y (y)⑵ P(Y X) f (x, y)dxdy 如图 25e 5y dxdyy xD丄 0.2 5e 5y0,25e 5y, 0 x 0.2且 y 0, 0, 其他•0.2 0dx25e -5ydy0.2 5x0 ( 5e5)dx■1=e 0.3679.7.设二维随机变量（X, Y ）的联合分布函数为F （ x ，y ）(1 e 4x)(1 e 2y), x 0,y 0,0,其他.求（X ，Y ）的联合分布密度2［解］ f(x,y)x y8e(4x 2y), x 0,y 0,0, 其他.8.设二维随机变量（X, Y ）的概率密度为f (x, y)=4.8y(2 x), 0 0,x 1,0 y x,其他.求边缘概率密度.【解】f x(x) f (x,y)dyx0 4.8y(2x)dy0,2.4X2(2 x), 0 x 1,0, 其他.f y(y) f (x,y)dx1=y4-8y(2x)dx 2.4y(3 4y y2), 0 y 1,0, 其他.,题8图9.设二维随机变量题9图X, Y)的概率密度为f (x, y) e y, 0 x y,0, 其他.求边缘概率密度.【解】f x(X) f (x, y)d yx0,e y dy xe , x 0,0, 其他.f Y(y) f (x,y)dxy e y dx0,ye x, y 0,0, 其他.y\i■v=xw p题10图10.设二维随机变量（X, Y）2f （x, y）= J试确定常数c;求边缘概率密度的概率密度为x2y 1,其他.(1)(2)【解】(1)f (x, y)dxdy如图Df (x,y)dxdy1 12-1dx x2cx ydy4c211.214f x(X) f(x,y)dy1 212 , xydyx 40, 212。
概率论与数理统计第三__课后习题答案
习题一：写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ωπ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207ππx x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ；(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
概率论与数理统计作业班级 姓名 学号 任课教师第三章 多维随机变量及其分布教学要求：一、了解多维随机变量的概念，了解二维随机变量的分布函数；二、了解二维离散型随机变量分布律的概念，理解二维连续型随机变量概率密度的概念； 三、理解二维随机变量的边缘概率分布； 四、理解随机变量的独立性概念；五、会求两个独立随机变量的简单函数的分布（和、极大、极小）.重点：二维离散型随机变量的联合分布律及二维连续型随机变量的边缘概率密度，随机变量的独立性.难点：边缘分布，随机变量的独立性，随机变量的函数的分布. 练习一 二维随机变量及其分布1．填空题(1)设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，且d c b a <<,，则=≤}{a X P ()+∞,a F ； =≥}{d Y P ()d F ,1∞+-； =≤<≤<},{d Y c b X a P ),(),(),(),(c a F c b F d a F d b F +--.(2)设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则其分布函数),(y x F =⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ),(；若G 是xoy 平面上的区域，则点),(Y X 落在G 内的概率，即}),{(G Y X P ∈⎰⎰=Gdxdy y x f ),(（3）若二维随机变量),(Y X 的概率密度为)1)(1(),(22y x Ay x f ++=)0,0(>>y x ， 则系数A =,42π=<}1{X P 21. （4）设二维随机变量),(Y X 的分布函数(),3arctan 2arctan,⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y C x B A y x F 则常数 A =21π， B =2π， C =2π.2.将2个球随机地放入3个盒子，设X 表示第一个盒子内放入的球数，Y 表示有球的 盒子个数.求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布.解：按古典概型，2个球随机地放入3个盒子中共有91313=C C 种取法，X 的所有可能取值为0，1，2，Y 的所有可能取值为1，2，则： 922194}0|1{}0{}1,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ， 922194}0|2{}0{}2,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ，0094}1|1{}1{}1,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ，94194}1|2{}1{}2,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ，91191}2|1{}2{}1,2{=⋅=======X Y P X P Y X P ，0091}2|2{}2{}2,2{=⋅=======X Y P X P Y X P ．分布律为： 3.设盒内产品有2件次品，3件正品，每次从中任取一件产品，不放回X 表示第一次取得次品地取两次。
用的件数，用Y 表示第二次取得次品的件数，求X和Y 的联合分布律.解:()Y X ,的所有可能取值为 ()0,0 ；()1,0 ；()0,1 ；()1,1 .由乘法公式可得：1034253}0|0{}0{}0,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ， 1034253}0|1{}0{}1,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ，1034352}1|0{}1{}0,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ，1014152}1|1{}1{}1,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ．所以()Y X ,的分布律为：维随机变量),(Y X 的概率4. 设二密度为()()⎩⎨⎧>>=+-其它；,0,0,0,,23y x Ae y x f y x （1）求系数A ；（2）求}20,10{≤<≤<Y X P ；（３）求分布函数),(y x F ．解：（1）由,1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 得所以 6=A ．（2）()dx e e dy e dx Y X P y x y x 2021312023][36}20,10{--+-⎰⎰⎰-==≤<≤< （3）()⎪⎩⎪⎨⎧>>==⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-+-∞-∞-其它；x y y y x x xydy dx y x dy e dx dy y x f dx y x F ,0,0,0,6),(),(02305．设二维随机变量),(Y X 的概率密度(6),02, 24,(,)0,k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它．(1)求常数k ；(2) 求}3,1{<<Y X P ；(3) 求}4{≤Y X P ＋.解：（1）由,1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 得[]1810422==-=k y y k .所以8/1=k（2）⎰⎰--=<<1032)6(81}3,1{dx y x dy Y X P（3） ⎰⎰=∈=≤Gdxdy y x f G Y X P X P ),(}),{(}4Y {＋练习二 二维随机变量的边缘分布1．填空（1）设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为且=≥}1{Y P 45.0．（2）设二维随机变量),(Y X 的分布律为， 则a =41，b =61,==}0{XY P 32,==}{Y X P 127. （3）设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它；,0,,10,),(2x y x x C y x f则常数C ＝6；边缘概率密度=)(x f X 其它．,10,0),(62<<⎩⎨⎧-x x x =)(y f Y 其它．,1y 0,0),y y (6<<⎩⎨⎧-（4）设二维随机变量),(Y X 的分布函数为其它．,0,0,0),1()1(),(2>>⎩⎨⎧-⋅-=--y x e e y x F y x则边缘分布函数=）（x F X ();0,12>--x e x，=）（y F Y ();0,1>--y e y ；边缘概率密度=)(x f X ⎩⎨⎧>-其它；，0,0,22x e x =)(y f Y ⎩⎨⎧>-.,0,0,其它y e y 2．盒子里装有3只黑球、2只白球、2只红球，在其中任取4只球．以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数．求X ,Y 的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律.解：按古典概型计算，从7只球中取4只，共有3547=C 种取法，在取的4只球中，黑球有i 只，红球有j 只（剩下j i --4只为白球）的取法为4,2,1,0,3,2,1,0,4223≤+==⋅⋅--j i j i C C C j i j i ，于是35135}2,0{222203====C C C Y X P , 35635}1,1{221213====C C C Y X P ,35635}2,1{122213====C C C Y X P , 35335}0,2{220223====C C C Y X P ,351235}1,2{121223====C C C Y X P , 35335}2,2{022223====C C C Y X P ,35235}0,3{120233====C C C Y X P , 35235}1,3{021233====C C C Y X P ．分布律为： 枚硬币掷三次，以X 表3. 将一示前两次中出现正面的次数，以Y 表示３次中出现正面的次X ,Y 的联合分布律以数，求),(Y X 的边缘分布律.及解：由于X 服从二项分布B(2,1/2), Y 所有可能取的值为0，1，2，3．当)2,1,0(==i i X 时，Y 取1,+i i 的概率都为1/2，而取1,+i i 以外的值是不可能的，故：0}0,1{}3,0{}2,0{=========Y X P Y X P Y X P ， 0}1,2{}0,2{======Y X P Y X P ，812141}0|0{}0{}0,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ， 812141}0|1{}0{}1,0{=⋅=======X Y P X P Y X P ，412121}1|1{}1{}1,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ，412121}1|2{}1{}2,1{=⋅=======X Y P X P Y X P ，812141}2|2{}2{}2,2{=⋅=======X Y P X P Y XP ，所得分布律为：二维随机变量(,)X Y 的概率密度为4．设⎩⎨⎧<<=-它．其，,00,),(y x e y x f y 率密度)(),(y f x f Y X ．求边缘概解：⎰⎰∞+∞--+∞-⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==.,0,0,,00,),()(其它其它，x e x dy e dy y x f x f x x y X5．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<<=它．其,0,10,6),(y x x y x f ，（1）求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； (2）求(1)P X Y +≤． 解：(1) 其它．其它，,10,0),1(6,0,10,6),()(1<<⎩⎨⎧-=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-x x x x xdy dy y x f x f x X(2) ⎰⎰⎰⎰-==≤+2/1016),(}1{xxGxdy dx dxdy y x f Y X P练习三 二维随机变量的条件分布(选做)1．填空（1）设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为 则===}0|1{Y X P .11655.030}0{}0,1{=====．Y P Y X P（2）设二维随机变量),(Y X 的概率密度为其它．,1,0,),(22<<⎩⎨⎧=y x y cx y x f则时，当10≤<y =)|(|y x f Y X 其它．,,0,23)(),(2/32y x y y x y f y x f Y <<-⎪⎩⎪⎨⎧=-==≥}21|41{X Y P 1. 2. 设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为： }0|1{==Y X P ，求}2|1{==Y X P ，}1|1{==X Y P .解： 2/12/14/1}0{}0,1{}0|1{========Y P Y X P Y X P ;5/224/512/1}2{}2,1{}2|1{========Y P Y X P Y X P ;3. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为()⎩⎨⎧<<<=.,0,10,,1,其它x x y y x f求条件概率密度)|(|x y f X Y ，)|(|y x f Y X ．解：由于所以当10<<x 时，⎪⎩⎪⎨⎧<==.,0,,21)(),()|(|其它x y x x f y x f x y f X X Y当1<y 时，⎪⎩⎪⎨⎧<<-==.,0,1,11)(),()|(|其它x y yy f y x f y x f Y Y X练习四 随机变量的相互独立性1．填空（1）设随机变量X 与Y 相互独立且服从同一分布：3/)1()()(+====k k Y P k X P ，1,0=k ，则==}{Y X P 95. （2）设随机变量X 与Y 的联合分布律为 =+b a 31.若X 与Y 相互独立，则则=a 92，=b 91. （3）设两个随机变量X 与Y 相互独立，X 服从均匀分布)51,0(U ，Y 服从指数分布)5(E ，则),(Y X 的概率密度=),(y x f ⎪⎩⎪⎨⎧><<-.,0,0,50,5其它y x e x2. 某班车在起点站的上车人数X 服从参数为)0(>λλ的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为)10(<<p p ，且乘客中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率. （2）二维随机变量),(Y X 的概率分布.解：(1) 由题设知，此条件概率服从二项分布，因此有 (2) 利用乘法公式，得nmn mmnn e p p C λλ!)1(---=，Λ,2,1,0,0=≤≤n n m 3.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为其它．，10,0,15),(2<<<⎩⎨⎧=y x y x y x f（1）求边缘概率密度)(x f X 和)(y f Y ；（2）判断X 与Y 是否相互独立.解：（1）()⎰∞+∞-⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧<<-=<<==.,0,10,1215,0,10,15),()(222其它其它，x x x x y x dy y x f x f X（2）由于),()()(y x f y f x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立.4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为,()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-;0,0,0,212y y e y f yY （1）求X 和Y 的联合概率密度(,)f x y ；（2）设含有t 的二次方程为022=++Y Xt t ，试求t 有实根的概率.解：（1）因为X 的概率密度为其它．,10,0,1)(<<⎩⎨⎧=x x f X且X 与Y 相互独立，故),(Y X 的概率密度为(2) t 的二次方程022=++Y Xt t 有实根的充要条件为判别式0442≥-=∆Y X ，亦即Y X ≥2.而{⎰⎰⎰⎰-==∈=≥122221),(}),{(}x yGdy e dx dxdy y x f G Y X P Y XP 练习五 两个随机变量的函数的分布1．填空（1X 的分布律为则随机变量),max(Y X Z =与Y X W +=的分布律分别为： （2）设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为),(y x f ，若X 与Y 相互独立，则Y X Z +=的分布函数=)(z F Z ⎰⎰≤+zy x dxdy y x f ),(；概率密度=)(z fZdy y f y z f Y X ⎰+∞∞--)()( 或=)(z f Z dx x z f x f Y X ⎰+∞∞--)()(（这两个公式也被称为卷积公式）.（3）设随机变量X 与Y 相互独立，且)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则~Y X +)21(，N ；=≤+}1{Y X P21． 2. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为 求随机变量Y X Z +=的概率密度． 解：利用公式dy y f y z f z f Y X Z ⎰+∞∞--=)()()(，按函数)(),(y f x f Y X 的定义知，仅当⎩⎨⎧≥≤-≤,0,10y y z 即0,1>≤≤-y z y z 时，上述积分才不等于零．所以3. 设随机变量(,)X Y 的概率密度为()()⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其它；,0,0,0,21),(y x e y x y x f y x（1）问X 和Y 是否相互独立? (2) 求Y X Z +=的概率密度.解：(1) ()()⎰⎰∞+∞-+∞+-⎪⎩⎪⎨⎧>+==.,0,0,21),()(0其它x dy e y x dy y x f x f y x X其中故 ⎪⎩⎪⎨⎧>+=-.,0,0,21)(其它x e x x f xX同理可求得 ()⎪⎩⎪⎨⎧>+=-.,0,0,21其它y e y y f yY显然),()()(y x f y f x f Y X ≠，所以X 和Y 不相互独立． (2) 由公式⎰+∞∞--=dy y y z f z f Z ),()(可知仅当⎩⎨⎧>>-,0,0y y z 即⎩⎨⎧><,0,y z y 时才不会等于零，所以4. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都在区间],[b a 上服从均匀分布，求 （1）),m ax (1Y X Z =的概率密度; （2）),m in(2Y X Z =的概率密度. 解：（1）由于X 与Y 相互独立且具有相同的分布，所以2)]([)()(}{}{z F z F z F z Y P z X P X Y X ==≤⋅≤=，而 ()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<=;,1,,,,0b z b z a ab az a z z F X则 ()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--===其它；0,,2)()(2)]'([)(211b z a a b a z z f z F z F z f X X Z Z(2) 由于X 与Y 相互独立且具有相同的分布，所以则 ()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=-⋅--==.,0,,2)]([)](1[2)]'([)(222其它b z a a b z b z f z F z F z f X X Z Z综合练习题一、填空题1. 已知随机变量X 与Y 的边缘分布律在下表中已给出，且1}0{==XY P ，请推断X 与Y 的联合分布律： 维随机变量),(Y X 的联合分布律2.设二为 事件}0{=X 与}1{=+Y X 相已知随机a =0.4,b =0.1.互独立，则维随机变量),(Y X 服从G 上的3. 设二由曲线2x y =与x y =所围，则),(Y X 均匀分布，区域G的概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它，,0,,,61),(G y x y x f ，=<}21{XP 721. 4. 设二维连续型随机变量),(Y X 的两个分量X 与Y 相互独立，且服从同一分布，则=<}{Y X P 21. 5. 设X 和Y 是两个随机变量，且73}0,0{=≥≥Y X P ，74}0{}0{=≥=≥Y P X P ， 则=≥}0),{max(Y X P }0),{max(1<-Y X P }0Y 0{}0,0{1≥≥=<<-=或X P Y X P}0,0{}0{}0{≥≥-≥+≥=Y X P Y P X P 7/37/47/4-+=75=. 二、计算题1. 8件产品中有5件一等品，2件二等品，1件三等品，从中任取4件，若X 为4件产品中的一等品件数，Y 为4件产品中的二等品件数. （1）求二维随机变量),(Y X 的联合分布律与边缘分布律；（2）判断X 与Y 是否相互独立；（3）求}0|1{==Y X P .解： （1） （2）不相互独立． （3）0}0|1{===Y X P ．3．设随机变量(,)X Y 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它．1,00,,),(y x Axy y x f ， （1）求常数A ；（2）求)1(≥+Y X P ；解： （1） 由(),8121),(1210110Adx x x A dy xy dx A dxdy y x f x =-===⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-得.8=A （2）(){}⎰⎰-==∈=≥+1211658,}1{y yxydx dy G Y X P Y X P ． 3．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它；,0,20,10,1),(x y x y x f（1）求(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ,并判断X 与Y 是否相互独立；（2）求Y X Z -=2的概率密度)(z f Z .解：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<<=<<==⎰⎰∞+∞-.,0,10,2,0,10,),()(20其它其它，x x x dy dy y x f x f xX(2) 由于),()()(y x f y f x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立. （3）由于dxdy y x f D Y X P z Y X P z Z P z F zD z Z ⎰⎰=∈=≤-=≤=),(}),{(}2{}{)(所以当20<<z 时， 41)(22012z z dy dx z F zx Z Z -=-=⎰⎰-，21)(z z f Z -=； 当2≥z 或当0≤z 时， ,0)(=z F Z 0)(=z f Z ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=.,0,20,21)(其它z zz f Z 4．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为⎩⎨⎧∞<<<<=+-其它．,1,000,,),()(y x be y x f y x ,（1）试确定常数b ；（2）求边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （3）判断X 与Y 是否相互独立；（4）求函数max{,}Z X Y =的概率密度．解： (1) 由,1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 可得 ()(),1110101=-=⋅=-+∞--+-+∞⎰⎰⎰⎰e b dy e dx e b dy be dx y x y x所以111--=e b ．于是(2) ()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<-==--∞++--∞+∞-⎰⎰.,0,10,1.,0,10,11),()(101其它其它x e e x e e dy y x f x f x y x X (3) 由于),()()(y x f y f x f Y X =，所以X 与Y 相互独立， (4) },{}),{m ax (}{)(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=)()(}{}{z F z F z Y P z X P Y X =≤⋅≤=，而 ⎰⎰∞-----⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<==zz z x X X z z e ez z z dx e e z dx x f z F .1,1,10,110,0,1,1,10,1,0,0)()(101 故()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---;1,1,10,11,0,012z e z e ez z F z z Z ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=----.1,,10,112,0,01z e z e e e z z f zz z Z ．。