湖南省怀化市溆浦县江维中学高中数学课件：131函数的单调性1新人教A版必修

填一填·知识要点、记下疑难点
第1课时
(3)如果函数 y＝f(x)在区间 D 上是____增__函__数____或 ___减__函__数_____，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有 __(严__格__的__)_单__调__性___，区间 D 叫做 y＝f(x)的__单__调__区___间___． 2．k>0 时，y＝kx＋b 在 R 上是___增_____函数．
可以作商fx1与 fx2
1
比较．
观认识．再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自 变量的增大(减小)的规律，在经历从直观到抽象，以图识 数的过程中，得出增(减)函数单调性的定义，体验数学概 念的形成过程的真谛，掌握用定义证明函数单调性的步骤.
填一填·知识要点、记下疑难点
第1课时
1．函数的单调性 一般地，设函数 f(x)的定义域为 I： (1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的 值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是___增__函__数_____． (2)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的 值 x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数 f(x) 在区间 D 上是减函数．
课 栏
由 x1，x2∈(0，＋∞)得，x学1.x科.网2>0，又 x1<x2，得 x2－x1>0，
目 开
∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)．
∴f(x)＝1x在(0，＋∞)上是减函数．
小结 运用定义证明函数的单调性时，要牢记五大步骤：
取设→作差→变形→判号→定论．
第1课时
例 3 已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数， 且 f(1－a)<f(2a－1)，求 a 的取值范围．
第1课时
解 y＝f(x)的单调区间有[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]．
其中 y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区
本
间[－2,1)，[3,5]上是增函数．
课
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栏 小结 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，
目
开 单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间
练一练·当堂检测、目标达成落实处 1. 求函数 f(x)＝x2 的单调区间
第1Байду номын сангаас时
2. 已知函数 y＝f(x)的是 R 上的增函数，若 f(1－a)<f(2a－1)， 求实数 a 的取值范围。
解 ∵y＝f(x)的定义域为 R，且为增函数，f(1－a)<f(2a－1)， ∴1－a<2a－1，即 a>23， ∴所求 a 的取值范围是23，＋∞.
第1课时
1．3.1 单调性与最大(小)值 第 1 课时 函数的单调性
【读一读学习要求，目标更明确学.科】.网 1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念； 2.掌握增(减)函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和
研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间．
第1课时
【看一看学法指导，学习更灵活】 通过观察一些函数图象的特征，形成增(减)函数的直
解 由题意可知－ －11<<12－ a－a<1<11 ，解得 0<a<1 ①
又 f(x)在(－1,1)上是减函数，且 f(1－a)<f(2a－1)
∴1－a >2a－1，即
a<
2 3
②
由①②可知，0<a<23，
即所求 a 的取值范围是 0<a<23.
第1课时
小结 不等式 f(1－a)<f(2a－1)为抽象不等式，不能直接求 解．考虑到函数的单调性，可将函数值的不等关系转化为 自变量取值的不等关系，即转化为具体不等式来求解．
第1课时
3． 熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，
反比例函数等．
本 课
4．若 f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义
栏
域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调
目
开
递增，②－f(x)单调递减，③f1x单调递减(f(x)≠0)．
5．对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x)，证明单调性时，也
第1课时
问题 根据增函数或减函数的定义，你认为证明函数 f(x)在 区间 D 上单调性的一般步骤有哪些？ 答 (1)取设：设任意 x1，x2∈D，且 x1<x2；
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(2)作差：f(x1)－f(x2)； (3)变形：通常通过因式分解、配方与通分等途径将
结果化为积或商的形式； (4)判号：判断差 f(x1)－f(x2)的正负； (5)定论：指出函数 f(x)在给定区间 D 上的单调性．
第1课时
预习测评 根据下图说出函数在每一单调区间上，函数是增 函数还是减函数．
解 函数在[－1,0]上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4] 上是减函数，在[4,5]上是增函数．
课内讲练互动
第1课时
例 1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数 y＝f(x)，根据图象 说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增 函数还是减函数？
第1课时
1．若 f(x)的定义域为 D，A⊆D，B⊆D，f(x)在 A 和 B 上都 单调递减，未必有 f(x)在 A∪B 上单调递减．
2．对增函数的判断，当 x1<x2 时，都有 学.科.网 f(x1)<f(x2)，也可以 用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 或fxx11－ －fx2x2>0.对减函数的判断， 当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)，相应地也可用一个不等式 来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0 或fxx11－－fx2x2<0.
时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以
用“和”来表示；在单调区间 D 上函数要么是增函数，要
么是减函数，不能二者兼有．
第1课时
例 2 证明函数 f(x)＝1x在(0，＋∞)上是减函数． 证明 设任意 x1、x2∈(0，＋∞)，且 x1＜x2，
本
则 f(x1)－f(x2)＝x11－x12＝x2x－1xx2 1，