均值不等式常见题型整理

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均值不等式

一、 基本知识梳理

1.算术平均值:如果a ﹑b ∈R +,那么 叫做这两个正数的算术平均值.

2.几何平均值:如果a ﹑b ∈R +,那么 叫做这两个正数的几何平均值

3.重要不等式:如果a ﹑b ∈R ,那么a 2+b 2

≥ (当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理:如果a ﹑b ∈R +,那么

2

a b

+≥ (当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理可叙述为: 4.变式变形:

()()()

()()()

()22

2

2

221;2

2;

230;4252.

a b ab a b b a ab a b

a b a b +≤

+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

+≥>+⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

≤+;

5.利用均值不等式求最值,“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。 注意三个条件:“一正,二定,三相等”即:(1)各项或各因式非负;(2)和或积为定值; (3)各项或各因式都能取得相等的值。

6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性。

有时为了达到利用均值不等式的条件,需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段,创设一个应用均值不等式的情景。

二、 常见题型:

1、分式函数求最值,如果)(x f y =可表示为B x g A

x mg y ++

=)

()(的形式,且)(x g 在定义域内恒正或恒负,,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。

例:求函数)01(11

2>->+++=

a x x x ax y 且的最小值。 解:1

)1(11112++-+=++-+=+++=x a

a ax x x ax ax x x ax y

1212211

)1(=-+≥-+++

+=a a a x a

x a

当1

)1(+=

+x a

x a 即x=0时等号成立,1min =∴y 2、题在给出和为定值,求和的最值时,一般情况都要对所求式子进行变形,用已知条件进行代换,变形之后再利用均值不等式进行求最值。

例:已知19

1,0,0=+>>b

a b a 且

,求b a +的最小值。 解法一:169210991=+≥+++=+b

a

a b b a

思路二:由19

1=+b

a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--

b a b a 然后将b a +变形。

解法二:16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a 可以验证:两种解法的等号成立的条件均为12,4==b a 。

此类题型可扩展为:

设321a a a 、、均为正数,且m a a a =++321,求3

21111a a a S ++=

的最小值。 )111)((13

21321a a a a a a m S ++++=

)]()()(3[1

3

22331132112a a a a a a a a a a a a m ++++++=

m

m 9

)2223(1=+++≥

,等号成立的条件是321a a a ==。 3、题中所求的式子中带有根式,而且不能直接用均值不等式来求解,则可采用逆向思维来

求解,对不等式逆向转换,本类题型一般情况都给出来x 的取值范围,根据取值范围来进行逆向转换。 例:求函数]3,2

1

[,37∈-=

x x x y 的最小值。 思路:由于所给函数的形式为无理式,直接求解较困难,从所给区间]3,2

1

[∈x 入手,可得

一个不等式0)3)(21(≤--x x (当且仅当21

<

x 或3=x 时取等号),展开此式讨论即可。

解:,0)3)(2

1(≤--x x 即,372,03722

2-≤∴≤+-x x x x

,3

72,0x

x x -≤

∴> 得2m in =y 4、不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当0>ab 时,ab

b a 22

2

≥+

同时除以ab 得

2≥+b a a b 或b

a a

b -≥-11。 例:已知a,b,

c 均为,求证:c b a a

c c b b a ++≥++2

22。 证明:c b a ,, 均为正数,a c a c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,2222, c b a a c c b b a a

c c b b a ++=-+-+-≥++∴)2()2()2(2

22 总之,均值不等式是高中数学的重要内容之一,它是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。在应用均值不等式时,不论怎样变形,均需满足“一正二定三相等”的条件。 【巩固练习】

1、若,0,0>>b a 求函数b

ax x

y +=2

最值。 答案:ab ab y ab ab y 2,2max min =-= 2、求函数)0(1

32

<++=

x x x x

y 的值域。 答案:[-3,0] 3、已知正数y x ,满足,12=+y x 求

y

x 1

1+的最小值。答案:223+ 4、已知z y x ,,为正数,且2=++z y x ,求2111++=

y x S 的最小值。答案:2

9 5、若)0](,1

[>∈a b a x ,求x

b

x ab y -+=

)1(的最小值。答案:a

6、设c b a ,,为整数,求证:2

222c

b a b a

c a c b c b a ++≥+++++。

三、利用不等式解题的典型例题解析:

题型一:利用均值不等式求最值(值域)

例1、(1)已知0>x ,求x x x f 312

)(+=

的最小值 (2)已知3

34

)(的最大值 变式1: 1、若R x ∈,求x x x f +-=

3

4

)(的值域 2、函数()022>-=x x x y 的最大值为

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