均值不等式常见题型整理
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均值不等式
一、 基本知识梳理
1.算术平均值:如果a ﹑b ∈R +,那么 叫做这两个正数的算术平均值.
2.几何平均值:如果a ﹑b ∈R +,那么 叫做这两个正数的几何平均值
3.重要不等式:如果a ﹑b ∈R ,那么a 2+b 2
≥ (当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理:如果a ﹑b ∈R +,那么
2
a b
+≥ (当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理可叙述为: 4.变式变形:
()()()
()()()
()22
2
2
221;2
2;
230;4252.
a b ab a b b a ab a b
a b a b +≤
+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
+≥>+⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
≤+;
5.利用均值不等式求最值,“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。 注意三个条件:“一正,二定,三相等”即:(1)各项或各因式非负;(2)和或积为定值; (3)各项或各因式都能取得相等的值。
6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性。
有时为了达到利用均值不等式的条件,需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段,创设一个应用均值不等式的情景。
二、 常见题型:
1、分式函数求最值,如果)(x f y =可表示为B x g A
x mg y ++
=)
()(的形式,且)(x g 在定义域内恒正或恒负,,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。
例:求函数)01(11
2>->+++=
a x x x ax y 且的最小值。 解:1
)1(11112++-+=++-+=+++=x a
a ax x x ax ax x x ax y
1212211
)1(=-+≥-+++
+=a a a x a
x a
当1
)1(+=
+x a
x a 即x=0时等号成立,1min =∴y 2、题在给出和为定值,求和的最值时,一般情况都要对所求式子进行变形,用已知条件进行代换,变形之后再利用均值不等式进行求最值。
例:已知19
1,0,0=+>>b
a b a 且
,求b a +的最小值。 解法一:169210991=+≥+++=+b
a
a b b a
思路二:由19
1=+b
a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--
b a b a 然后将b a +变形。
解法二:16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a 可以验证:两种解法的等号成立的条件均为12,4==b a 。
此类题型可扩展为:
设321a a a 、、均为正数,且m a a a =++321,求3
21111a a a S ++=
的最小值。 )111)((13
21321a a a a a a m S ++++=
)]()()(3[1
3
22331132112a a a a a a a a a a a a m ++++++=
m
m 9
)2223(1=+++≥
,等号成立的条件是321a a a ==。 3、题中所求的式子中带有根式,而且不能直接用均值不等式来求解,则可采用逆向思维来
求解,对不等式逆向转换,本类题型一般情况都给出来x 的取值范围,根据取值范围来进行逆向转换。 例:求函数]3,2
1
[,37∈-=
x x x y 的最小值。 思路:由于所给函数的形式为无理式,直接求解较困难,从所给区间]3,2
1
[∈x 入手,可得
一个不等式0)3)(21(≤--x x (当且仅当21
<
x 或3=x 时取等号),展开此式讨论即可。
解:,0)3)(2
1(≤--x x 即,372,03722
2-≤∴≤+-x x x x
,3
72,0x
x x -≤
∴> 得2m in =y 4、不等式的变形在证明过程中或求最值时,有广泛应用,如:当0>ab 时,ab
b a 22
2
≥+
同时除以ab 得
2≥+b a a b 或b
a a
b -≥-11。 例:已知a,b,
c 均为,求证:c b a a
c c b b a ++≥++2
22。 证明:c b a ,, 均为正数,a c a c c b c b b a b a -≥-≥-≥∴2,2,2222, c b a a c c b b a a
c c b b a ++=-+-+-≥++∴)2()2()2(2
22 总之,均值不等式是高中数学的重要内容之一,它是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。在应用均值不等式时,不论怎样变形,均需满足“一正二定三相等”的条件。 【巩固练习】
1、若,0,0>>b a 求函数b
ax x
y +=2
最值。 答案:ab ab y ab ab y 2,2max min =-= 2、求函数)0(1
32
<++=
x x x x
y 的值域。 答案:[-3,0] 3、已知正数y x ,满足,12=+y x 求
y
x 1
1+的最小值。答案:223+ 4、已知z y x ,,为正数,且2=++z y x ,求2111++=
y x S 的最小值。答案:2
9 5、若)0](,1
[>∈a b a x ,求x
b
x ab y -+=
)1(的最小值。答案:a
6、设c b a ,,为整数,求证:2
222c
b a b a
c a c b c b a ++≥+++++。
三、利用不等式解题的典型例题解析:
题型一:利用均值不等式求最值(值域)
例1、(1)已知0>x ,求x x x f 312
)(+=
的最小值 (2)已知3 34 )(的最大值 变式1: 1、若R x ∈,求x x x f +-= 3 4 )(的值域 2、函数()022>-=x x x y 的最大值为