【人教A版】高中数学选修1-1第二章课后习题解答

新课程标准数学选修1—1第二章课后习题解答
第二章圆锥曲线与方程 2．1椭圆 练习（P36）
1、根据椭圆的定义，1220PF PF +=，因为16PF =，所以214PF
=. 2、（1）22116x y +=；（2）22
116y x +=；（3）2213616x y +
=或2213616y x +=. 3、由已知，5,4a b ==，所以3c ==. （1）△1AF B 的周长1212AF AF BF BF =+++. 由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a += 所以，△1AF B 的周长420a ==.
（2）如果AB 不垂直于x 轴，△1AF B 的周长不变化.
这是因为①②两式仍然成立，△1AF B 的周长4a =，这是定值. 4、解：设点M 的坐标为(,)x y ，由已知，得
直线AM 的斜率1AM y
k x =+(1)x ≠-； 直线BM 的斜率1
BM y k x =-(1)x ≠； 由题意，得
2AM
BM
k k =，所以211y y x x =⨯+-(1,0)x y ≠±≠ 化简，得3x =-(0)y ≠
因此，点M 的轨迹是直线3x =-，并去掉点(3,0)-.
练习（P41）
1、以点2B （或1B ）为圆心，以线段2OA （或1OA 为半径画圆，圆与x 轴的两个交点分别为12,F F . 点12,F F 就是椭圆的两个焦点.
这是因为，在22Rt B OF ∆中，2OB b =，22B F OA =所以，2OF c =. 同理有1OF c =.
2、（1）焦点坐标为(8,0)-，(8,0)； （2）焦点坐标为(0,2)，(0,2)-.
3、（1）2213632x y +=；（2）2212516
y x +=.
4、（1）22194
x y +=（2）
22110064x y +=，或22
110064y x +=.
5、（1）椭圆2
2
936x y +=的离心率是3
，椭圆2211612x y +
=的离心率是12，
因为1
32>，所以，椭圆2211612x y +
=更圆，椭圆22936x y +=更扁；
（2）椭圆2
2
936x y +=的离心率是3，椭圆221610x y +=
>
221610x y +=更圆，椭圆22936x y +=更扁. 习题2.1 A 组（P42）
1、解：由点(,)M x y 10=以及椭圆的定义得，
点M 的轨迹是以1(0,3)F -，2(0,3)F 为焦点，长轴长为10的椭圆.
它的方程是
22
12516
y x +=. 2、（1）2213632x y +=；（2）221259y x +=；（3）
2214940x y +=，或22
14940y x +=. 3、（1）不等式22x -≤≤，44y -≤≤表示的区域的公共部分；
（2）不等式x -≤≤1010
33
y -
≤≤表示的区域的公共部分. 图略.
4、（1）长轴长28a =，短轴长24b =，离心率e =
焦点坐标分别是(-，，顶点坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(0,2)-，(0,2)；
（2）长轴长218a =，短轴长26b =，离心率e =
焦点坐标分别是(0,-，，顶点坐标分别为(0,9)-，(0,9)，(3,0)-，(3,0).
5、（1）22185x y +=；（2）22
19x y +=，或221819y x +=；
（3）
221259x y +=，或22
1259y x +=. 6、解：由已知，椭圆的焦距122F F =.
因为12PF F ∆的面积等于1，所以，121
12
P F F y ⨯⨯=，解得1P y =.
代入椭圆的方程，得21154x +=
，解得2x =±所以，点P
的坐标是(1)2
±
±，共有4个. 7、解：如图，连接QA . 由已知，得QA QP =. 所以，QO QA QO QP OP r +=+==. 又因为点A 在圆内，所以OA OP <
根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,O A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.
8、
22
22
13.525 2.875x y +=. 9、地球到太阳的最大距离为81.528810⨯km ，最下距离为81.471210⨯km. 习题2.1 B 组（P78）
1、解：设点M 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，
则0x x =，032y y =
. 所以0x x =，02
3
y y =……①. 因为点00(,)P x y 在圆上，所以22
004x y +=……②.
将①代入②，得点M 的轨迹方程为2
2
449x y +=，即22149
x y +
= 所以，点M 的轨迹是一个椭圆
与例2相比可见，椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.
2、解：设d 是点M 到直线8x =的距离，根据题意，所求轨迹就是集合12MF P M d ⎧⎫==⎨
⎬⎩
⎭
（第7题）
（第4题）
1
2
= 将上式两边平方，并化简，得2
2
3448x y +=，即22
11612
x y +=
所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为8，.
3、解：如图，以O 为原点，HF 所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴建立坐标系.
由已知，得(0,3)E -，(4,0)F ，(0,3)G ，(4,0)H -.
因为,,R S T 是线段OF 的四等分点，
,,R S T '''是线段CF 的四等分点， 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；
933(4,),(4,),(4,)424R S T '''.
直线ER 的方程是33y x =-；
直线GR '的方程是3
316y x =-
+. 联立这两个方程，解得3245
,1717x y ==.
所以，点L 的坐标是3245
(,)1717.
同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621
(,)2525
.
由作图可见，可以设椭圆的方程为22
221x y m n +=(0,0)m n >>……①
把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得
22114m =，22
11
3n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为22
1169
x y +
=. 把点N 的坐标代入22169
x y +，得22196121
()()11625925⨯+⨯=，
所以，点N 在22
1169
x y +
=上. 因此，点,,L M N 都在椭圆22
1169
x y +
=上.。