人教版九年级数学上册第二十四章圆直角三角形内切圆半径公式的应用同步辅导素材新版

直角三角形内切圆半径公式的应用

设直角三角形的两直角边为a ，b ，斜边为c ，其内切圆的半径为r ，我们可由切线长

定理可得到r=a+b-c 2

（具体推导过程同学们可自己完成）.利用这一公式可求解一些与直角三角形内切圆有关的计算问题.

一、求内切圆的直径

例1 （2016·德州）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的

数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股

（长直角边）长为15步，如图1，问该直角三角形能容纳的圆形（内

切圆）直径是多少？”

（ ）

A. 3步

B. 5步

C. 6步

D.8步

分析：先根据勾股定理求出斜边的长，再利用直角三角内切圆半径公式求内切圆的半径，即可得到内切圆的直径。

解：根据勾股定理得，斜边为82+152=17.

所以该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=8+15-172

=3（步）. 所以内切圆的直径为6步，故选C.

二、求线段的长度

例2（2016·遵义）如图2，矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，连接AC ，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是 （ ）

A. 52

B. 5

C. 52

D. 2 2 分析：根据矩形的性质可知⊙P 和⊙Q 的半径相等，利用直角三角

形内切圆半径公式即可求出⊙P 的半径r 的长度．连接点P ，Q ，过点Q

作QE ∥BC ，过点P 作PE ∥AB 交QE 于点E ，求出线段QE ，EP 的长，再

由勾股定理即可求出线段PQ 的长．

解：∵四边形ABCD 为矩形，

∴△ACD ≌△CAB.

∴⊙P 和⊙Q 的半径相等．

在Rt △ABC 中，AC=AB2+BC2=5.

∴⊙P 的半径r=AB+BC-AC 2 =3+4-52

=1． ∴⊙Q 的半径为1.

如图2，连接点P ，Q ，过点Q 作QE ∥BC ，过点P 作PE ∥AB 交QE 于点E ，则∠QEP=90°． 在Rt △QEP 中，QE=BC-2r=3-2=1，EP=AB-2r=4-2=2，

∴PQ=QE2+EP2=12+22=5．故选B

．