相似三角形及黄金分割

相似三角形知识点

一、☆内容提要

1、比例的有关性质：

()b a

n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== 等比性质：0 的比例中项是c a b c a b c

b

b a ,2⇒⋅=⇒= 应用变形:

已知

d c c b a a d c b a +=+=:,求证，d

kd

c b kb a ±=

±。 证明:（1）∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴d c c

b a a +=

+ （2）d c b a = k d c k b a ±=±∴ d

kd

c b kb a ±=

±∴ 2、黄金分割的定义：

在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果

AC BC AB AC =

（整段大线段

大线段

小线段=）,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中

2

1

5-＝AB AC ≈0.618. A

B

C

推导黄金比：设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以

x

x

x -=

11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618

特别提示：1、一条线段有2个黄金分割点，它们关于原点对称。

2、黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段的比为黄金比。黄金比没有单位。

例：若矩形的两邻边长度的比值约为0.618，这个矩形称为黄金矩形；若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形仍是黄金矩形。

3、必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点。

涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

c

d a b = d

b c a a c b d ==或 合比性质：d

d

c b b a ±=

± ⇒=⇔=bc ad d c

b a （比例基本定理）

二、☆有关知识点：

1、相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2、相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3、相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4、相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成

的三角形与原三角形相似。

5、相似三角形的判定定理：

(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 类型 斜三角形 直角三角形

全等三角形的判定 SAS SSS

AAS （ASA ）

HL 相似三角形 的判定

两边对应成比例夹角相等

三边对应成比例 两角对应相等

一条直角边

与斜边对应成比例

从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。 6、直角三角形相似：

（1）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

射影定理：CD ²=AD ·BD ，

AC ²=AD ·AB ， BC ²=BD ·BA

（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.

7、相似三角形的性质定理： （1）相似三角形的对应角相等。 （2）相似三角形的对应边成比例。

（3）相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 （4）相似三角形的周长比等于相似比。

（5）相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8、 相似三角形的传递性

如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，那么△ABC ∽A 2B 2C 2

三、☆注意

1、相似三角形的基本定理，它是相似三角形的一个判定定理，也是后面学习的相似三角形的判定定理的基础，这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A ”型和“ Z ”型。

在利用定理证明时要注意A 型图的比例

AC

AE

BC DE AB AD =

=，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，尤其是要防止写成

EC

AE

BC DE DB AD =

=的错误。

2、相似三角形的几种基本图形:

Ⅰ、平行线：A 型 Z 型

图①为“A ”型图，条件是DE ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ；

图②为“X ”型图，条件是ED ∥BC ，基本结论是△ADE ∽△ABC ； Ⅱ、相交线

图③，图④是图①的变式；图⑤是图②的变式；

图⑥是“母子”型图，条件是CD 为斜边上的高，基本结论是△ACD ∽△ABC ∽△CBD 。 Ⅲ、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明 3、三角形相似及比例式或等积式。

4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

5、对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。

6、对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

四、☆实题演练

1.如图，已知DE//BC,EF//AB,则下列比例式中错误的是( ) A 、

AC AE AB AD = B 、FB EA CF CE = C 、BD AD BC DE = D 、CB

CF

AB EF =

2题图

2.如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连接AE 交CD 于F,则图中共有相似三角形 对。

3.三角形ABC 中，DE//BC,且AD:DB=2:1，那么DE:BC= 。

4.如图，已知DE//BC,CD 和BE 交于点O,若BE:BO=5:3，则AD:DB= 。

4题图

3题图

B

B

①

② A

③

C

⑥ A ④ A C

D B P

⑤