复数的开方
9.4三角形式下复数的乘除、乘方、开方运算(第2课时)高一数学(沪教版2020必修第二册)
3 cos + sin
⋅ 2 cos + sin
12
12
4
4
1
+ sin
⋅ 2 cos + sin
12
12
4
4
= 3 × 2 cos
+
+ sin
+
12 4
12 4
= 6 cos + sin
3
3
1
3
= 6
+
2
2
解 1
3 cos
6 3 2
=
+
2
2
4
4
4 cos 3 + sin 3
2
+
3
2
3
+
= 2 × 3
=
5
6(
6
2
3
+
= −3 3 + 3
+
3
2
3
6
5
)
6
6
+
6
6
6
3 +
+
2
3
+
6
两个复数三角形式相乘，把
模相乘作为积的模，把辐角相加
作为积的辐角，若遇到复数的代
= 2(150° + 150°)
=− 3+
除，则商还是一个复数，它
的模等于被除数的模除以除
120° + 120°
复数运算法则
复数运算法则复数是一个十分重要的数学概念，在很多种情况下都需要对其进行各种运算，复数运算法则就是专门用来解决这些运算问题的规则和方法。
一般来说，复数运算法则主要涉及到六大类：1、加减法：复数的加减法的计算原则是：实部加减，虚部加减。
比如：(2 + 3i) + (4 - 5i) = (2+4) + (3-5)i2、乘法：复数的乘法的计算原则是：实部乘虚部的和，实部的平方加虚部的平方的差。
比如：(2 + 3i) * (4 - 5i) = (2*4 + 3*(-5)) + (2*(-5) + 3*4)i3、除法：复数的乘法原则是：实部乘虚部的和，实部的平方减虚部的平方的差，除以实部乘虚部的差。
比如：(2 + 3i) / (4 - 5i) = (2*4 - 3*(-5)) / (2*(-5) - 3*4)i 4、复数乘方：复数乘方的原则是：复数的实部和虚部都相乘，然后求幂，再乘以复数的模的n次方。
比如：(2 + 3i)^3 = (2^3 + 3^3i) * (5^3)5、复数的模：复数的模定义为复数的实部和虚部的平方和的开方，比如：|2 + 3i| = (2^2 + 3^2) =136、复数的余弦定理：复数的余弦定理表达式为：(a + bi)^2 = (a^2 - b^2) + (2ab)i，这个定理可以用来解决很多问题，比如求复数的平方根之类的。
复数运算法则的应用复数运算法则不仅仅可以用在数学上，同样可以用在物理、电子、信号处理等等领域。
在物理中，复数可以用来描述力学领域的各种系统，例如震动振荡系统，复数运算法则可以用来解决这类系统的特定问题。
在电子学中，复数运算法则可以用来描述各种电路系统，例如滤波器系统，它可以用来解决一些特定的问题，比如电子设计中噪声抑制、信号削弱等，也可以用来求解一些复杂的电路系统。
此外，复数运算法则也可以用于信号处理领域，比如滤波、图像处理、数据压缩等，都可以使用复数运算法则来解决各种问题。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
复数知识点总结数学
复数知识点总结数学一、复数的定义1. 复数的引入复数是在解决二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 时引入的，因而对于该方程抽象出来的解 -b/2a 即不存在，于是引入了虚数单位 i（i^2 = -1）。
因此，考虑了实数范围外的概念：负数的平方根。
2. 复数的定义复数由实部和虚部组成，一般表示为 a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
当a=0时，复数为纯虚数；当b=0时，复数为实数。
3. 复数的性质复数具有共轭、实部、虚部等性质。
共轭：复数 a+bi 的共轭为 a-bi；实部：复数 a+bi 的实部为 a；虚部：复数 a+bi 的虚部为 b。
4. 复数的绝对值和幅角复数 a+bi 的绝对值定义为|a+bi| = √(a²+b²)；复数 a+bi 的幅角定义为 arg(a+bi) =arctan(b/a)。
二、复数的运算1. 复数的加法和减法复数的加法和减法都是按照实部和虚部进行赋值运算。
2. 复数的乘法复数的乘法是按照展开式进行计算的，需要注意 i² = -1。
3. 复数的除法复数的除法需要将分母有理化，然后乘以共轭复数得到结果。
4. 复数的乘方和开方复数的乘方需要注意按照展开式进行计算；复数的开方需要注意共轭复数和幂次根的计算。
三、复数的代数方程1. 一元二次方程一元二次方程的解一般为复数，根据判别式可以判断方程有几个实根、虚根或不等实根。
2. 一元高次方程一元高次方程的根可能为复数，可以根据综合定理推导出复数根的情况。
3. 复数系数方程对于复数系数方程，可以使用复数的性质进行求解，得到复数解。
四、复数平面1. 复数的几何表示在复数平面中，实部和虚部分别对应坐标轴上的 x 轴和 y 轴，复数 a+bi 对应于点 (a,b)。
2. 复数的运算复数的几何表示可以利用向量的方法进行解释，加法和乘法对应于向量的平移和旋转。
3. 复数的几何性质复数的绝对值对应于复数到原点的距离，复数的幅角对应于复数到 x 轴的角度。
41.复数模的几何意义及实系数一元二次方程及复数的开方运算 【学生版】(正式版)(含答案)
复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算【课前预习】 一、知识梳理1.复数的模的几何意义：复数),(R b a bi a z ∈+=的模22||b a z +=，它的几何意义是 .2.复数减法的模的几何意义：12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈， 在复平面上对应的向量分别是12,OZ OZ，122112||||||z z Z Z Z Z -===，所以复数12,z z 在复平面上两点间的距离就是： .3.常见几何图形的复数表达式：复数1z 、2z 为定值，且21z z ≠，12,z z 在复平面上所应的点分别是12,Z Z(1)线段21Z Z 的垂直平分线方程： ； (2)以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程： ；(3)以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为)0(2>a a 的椭圆方程： ， 其中a z z 2||021<-<；(4)以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为)0(2>a a 的双曲线方程： ，其中a z z 2||21>-.4.一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠(1)0∆>⇔方程有两个不相等的实数根 ; (2)0∆=⇔方程有两个不相等的实数根 ; (3) 0∆<⇔方程有两个共轭虚根 .注:①实系数一元二次方程的根只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根; ②解实系数一元二次方程,首先要判断∆的符号,以确定根是实数还是虚数，选用不同的求根公式.5.实系数一元二次方程根与系数的关系:方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠的两根为12,x x C ∈,则1212x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪⎪⎩(*)注:①12,x x R ∈时(*)式成立,12,x x 为虚数时(*)式也成立;②若1x 为虚数,则21x x =,且21211212Re ;||b c x x x x x x a a+==-==6.复数的开方运算(1)复数的平方根如果复数a bi +和(,,,)c di a b c d R +∈满足: ,称a bi +是c di +的一个平方根.(2)复数的立方根若复数12,z z 满足:312z z =,则称1z 是2z 的一个立方根.1的立方根是21,,ωω.其中ω= ，具有性质3221,,10ωωωωω==++=.二、基础练习1.(1)已知||1z =，||z i -的最大值为 ． (2)已知复数z 满足|1|1z -=,那么z 的轨迹是 ．（用文字描述） 2.(1)在复数集内,方程2230x x ++=的解集为 . (2)在复数集内分解因式:223x x -+(3)若实系数一元二次方程的根为1x =则这个方程为( ) A. 2220x x -+= B.2240x x -+= C.2220x x ++= D.2240x x ++= 3.(1)若32i +是方程220(,)x bx c b c R ++=∈的一个根,则c 等于 .(2)方程22810()x x t t R -++=∈,则t = .4.512i +的平方根为 .5.设ω是方程210x x ++=的根,则231001ωωωω+++++= .6.(1)方程42560x x --=在复数集内的根的个数为( ) A.2 B.3 C. 4 D.5(2)“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件7.(1)若复数z 满足|3|z +=||z 的最大值是________，最小值是_______．(2)若复数z 满足||||2z i z i ++-=，则|1|z i ++的最大值是_______，最小值是________． (3)集合{||1|1,},{|||||,}M z z z C P z z i z i z C =+=∈=+=-∈，则M P = ．8.方程2236(1)10x m x m --++=的两个根均为虚数,且两个根的模之和为2,则实数m 的值为__________.【例题解析】例1.在复数集中解关于x 的方程：22(1)2340;(2)40x x x mx ++=++=．()m ∈R例2.已知方程012=+-px x （R p ∈）的两根为21x x ，，若1||21=-x x ， 求实数p 的值.例3.已知t R ∈且关于x 的方程220x x t ++=的两个根分别为,αβ，求||||αβ+．例4.已知关于x 的方程2(12)(31)0x i x m i ++--=有实根，求纯虚数m 的值.例5.已知两个复数集合},,2|{},2|2||{11R b A z b iz z z B z z A ∈∈+==≤-=。
41.复数模的几何意义及实系数一元二次方程及复数的开方运算 【教师版】(正式版)
复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根及复数的开方运算（教师版）（正式版）【课前预习】一、知识梳理1.复数的模的几何意义：复数),(R b a bi a z ∈+=的模22||b a z +=，它的几何意义是点),(b a Z 到原点)0,0(O 的距离。
2.复数减法的模的几何意义：12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈， 在复平面上对应的向量分别是12,OZ OZ，122112||||||z z Z Z Z Z -== ，所以复数12,z z 在复平面上两点间的距离就是：12||z z -3.常见几何图形的复数表达式：复数1z 、2z 为定值，且21z z ≠，12,z z 在复平面上所应的点分别是12,Z Z(1)线段21Z Z 的垂直平分线方程：||||21z z z z -=-；(2)以1Z 为圆心，半径为r 的圆方程：r z z =-||1；(3)以1Z 、2Z 为焦点，长轴长为)0(2>a a 的椭圆方程：a z z z z 2||||21=-+-，其中a z z 2||021<-<；(4)以1Z 、2Z 为焦点，实轴长为)0(2>a a 的双曲线方程：a z z z z 2||||||21=---，其中a z z 2||21>-。
4.一元二次方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠ (1)0∆>⇔方程有两个不相等的实数根1,2x =(2) 0∆=⇔方程有两个不相等的实数根1,22b x a-=; (3) 0∆<⇔方程有两个共轭虚根1,222b x a a=-±. 注:①实系数一元二次方程的根只可能是两个都是实数根或两个共轭虚根;②解实系数一元二次方程,首先要判断∆的符号,以确定根是实数还是虚数，选用不同的求根公式.5.实系数一元二次方程根与系数的关系:设方程20(,,,0)ax bx c a b c R a ++=∈≠的两根为12,x x C ∈,则1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(*) 注:①12,x x R ∈时(*)式成立,12,x x 为虚数时(*)式也成立;②若1x 为虚数,则21x x =,且21211212Re ;||b c x x x x x x a a+==-== 6.复数的开方运算(1)复数的平方根如果复数a bi +和(,,,)c di a b c d R +∈满足:2()a bi c di +=+,称a bi +是c di +的一个平方根.(2)复数的立方根若复数12,z z 满足:312z z =,则称1z 是2z 的一个立方根.1的立方根是21,,ωω.其中ω=12-，具有性质3221,,10ωωωωω==++=. 二、基础练习 1.(1)已知||1z =，||z i -的最大值为 ．(2)已知复数z 满足|1|1z -=,那么z 的轨迹是 ．（用文字描述）以复数1z =所对点(1,0)为圆心，1为半径的圆2.(1)在复数集内,方程2230x x ++=的解集为_____{11-+-_______.(2)在复数集内分解因式:223x x -+=____2(x x ____. (3)若实系数一元二次方程的根为1211x x ==,则这个方程为( B ) A. 2220x x -+= B.2240x x -+= C.2220x x ++= D.2240x x ++=3.(1)若32i +是方程220(,)x bx c b c R ++=∈的一个根,则c 等于___26___.(2)方程22810()x x t t R -++=∈则t =____9______.4.512i +的平方根为_(32)i ±+__.5.设ω是方程210x x ++=的根,则231001ωωωω+++++=__12__. 6.(1)方程42560x x --=在复数集内的根的个数为( C )A.2B.3C. 4D.5(2)“22a -≤≤”是“实系数一元二次方程210x ax ++=有虚根”的( A )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.(1)若复数z满足|3|z +=||z 的最大值是___________，最小值是___________．(2)若复数z 满足||||2z i z i ++-=，则|1|z i ++的最大值是_______，最小值是________．(3)集合{||1|1,},{|||||,}M z z z C P z z i z i z C =+=∈=+=-∈，则M P = _______． 解：(1) |3|z +=，即|(3z --表示以点(A -为圆心，半径的圆．||z 表示圆上的点Z 与原点O之间的距离，||OA =所以所求最大值是(2) ||||2z i z i ++-=表示线段,(0,1),(0,1),|1|BC B C z i -++表示线段BC 上的点Z 到点(1,1)D --1．(3)集合M 表示以点(1,0)E -为圆心，以1为半径的圆，集合P 表示实轴，实轴与圆交于点(0，0)和(-2，0)，则M P = {0,2}-．8.方程2236(1)10x m x m --++=的两个根均为虚数,且两个根的模之和为2,则实数m 的值为【例题解析】例1. 在复数集中解关于x 的方程： 22(1)2340;(2)40x x x mx ++=++=．)(R m ∈分析 解实系数一元二次方程要首先计算判别式，以确定根的情况．2解 (1)24230b ac ∆=-=-< ，所以该方程有一对共轭虚根，所以方程的根为：1233,44x x =-+=-． (2)216m ∆=-， 当0∆>时，即4m >或4m <-时，1,2x = 当0∆=时，即4m =±，若4,2m x ==-；若4,2m x =-=；当0∆<时，即44m -<<时，1,22m x =-．例2. 已知方程012=+-px x （R p ∈）的两根为21x x ，，若1||21=-x x ，求实数p 的值.解：（1）当042≥-=p ∆，即22-≤≥p p 或时，24,242221-+=--=p p x p p x 则4||221-=-p x x ，由5142±=⇒=-p p （2）当042<-=p ∆，即22<<-p 时，24,242221i p p x i p p x -+=--= 则2214||p x x -=-，由3142±=⇒=-p p 综上35±±=或p 。
复数开方计算方法
§5.5.4 复数的开方一、引入1、复习复数的乘方公式[](cos sin (cos sin )nn r i r n i n θθθθ+=+ de Moiver 公式2、复数能开方吗？说到乘方我们自然想到开方，首要的问题是能不能开方.因为我们记得在实i =，即引入虚数.那么复数能不能开方呢？需不需要引入新的数呢？n 次方根有几个呢？我们这节课就来研究这个问题.二、复数的开方公式1、问题：为了方便我们假设复数是可以开方的，即设(cos sin )i ωρϕϕ=+是复数(cos sin )z r i θθ=+的n 次方根，那么求?ω=即是求?ρ=和?ϕ=2、问题的解决：由n 次方根的定义和de Moivre 公式，得[](cos sin )(cos sin (cos sin )nn r i i n i n θθρϕϕρϕϕ+=+=+ 根据复数相等的含义，两个复数模相等，辐角相差2,k k Z π∈，从而2,n rn k k Z ρϕθπ⎧=⎨=+∈⎩即：2,k k Z n ρθπϕ⎧=⎪⎨+=∈⎪⎩由于k 的取值是无限多的，所以ϕ是无限多值的，难道ω有无限多吗？现在我们看看ϕ的变化对ω的影响：我们可以看出0ω到1n ω-各不相同，但是n ω02)sin(2)]sin )i i n n n n θθθθππω+++=+=112222[cos(2)sin(2)]sin )n i i n n n nθπθπθπθπωππω+++++=+++=+= …………………………………………………………………………..………………………………………………………………………….. 当k 取到n 以后就ω出现了重复，即呈周期性变化，所以我们只需要看前面n 个值就可以了.从上面的探讨我们知道，任意复数的开方是可以实现的，不需要引入新的数，并且任意复数的n 次方根恰有n 个，即是上述k 取0到n-1时的值.3、复数的开方公式复数(cos sin )z r i θθ=+的n 次方根恰有n 个，即：22sin )k k i n nθπθπ+++其中0,1,2,...,1k n =- 注：口诀：（n 次）方根恰有n 个，先化三角再开方，模作开方角平均.简记：模开方，角平均.（模取次算术根，角指的是辐角2,k k Z θπ+∈，形式上n 个根平分辐角.）三、例题例1、求i 的平方根. 解：z i =的三角形式为：cossin22z i ππ=+， 所以z i =的平方根是：2222cos sin 22k k i ππππ+++ 0,1k =即：cossin44i ππ+，和55cossin44i ππ+注：验证：两根分别为：22+和22--，易验证他们的平方是i 例2、求1i -的立方根.解：1i -77sin )44i ππ+，所以它的立方根是：772244sin )33k k i ππππ+++ 0,1,2k =77sin )1212i ππ+55sin )44i ππ+2323sin )1212i ππ+E ：1）求i -的平方根. 2）求1i +的立方根.五、作业：1、求12-+的平方根.2、求复数-16的四次方根.3、在复数范围内分解因式：327x -（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
复数的开方运算公式
复数的开方运算公式复数的开方运算公式，这可是数学世界里一个有点小神秘但又超级有趣的部分。
咱们先来说说啥是复数。
比如说，3 + 4i 就是一个复数，其中 3 叫实部，4 叫虚部，i 呢就是那个神奇的虚数单位，满足 i² = -1 。
那复数的开方运算公式到底是咋回事呢？其实啊，就像是给一个神秘的密码解锁一样。
比如说，咱要给一个复数z = r(cosθ + isinθ) 开方，这里的 r 是复数的模，θ 是辐角。
那它的平方根就有两个，分别是±[r^(1/2)][cos(θ/2 + kπ) + isin(θ/2 + kπ)] ，其中 k = 0 或者 1 。
听起来是不是有点晕乎？别着急，我给您举个例子。
比如说有个复数4(cosπ/2 + isinπ/2) ，要给它开方。
先算模 r = 4 ，辐角θ = π/2 。
那它的平方根就是±[4^(1/2)][cos(π/4 + kπ) + isin(π/4 + kπ)] ，当 k = 0 时，就是2(cosπ/4 + isinπ/4) ，也就是√2 + √2i ；当 k = 1 时，就是2(cos5π/4 + isin5π/4) ，也就是 -√2 - √2i 。
记得我当年教学生这部分知识的时候，有个小同学总是搞不明白。
我就问他：“你咋就迷糊了呢？”他皱着眉头说：“老师，这东西太抽象了，我感觉在云里雾里飘着呢！”我一听，心里想，得想个招让这孩子明白。
于是，我就给他画了个图，把复数当成是在平面上的一个向量，开方就像是把这个向量分成两半。
我一点点地给他讲，看着他那似懂非懂的小眼神，我心里也着急啊。
不过，经过反复地讲解和练习，这孩子终于开窍了！后来考试的时候，他这部分的题做得可溜了，还跟我说：“老师，多亏您当时没放弃我！”我这心里啊，别提多有成就感了。
所以说啊，学习复数的开方运算公式，一开始可能会觉得有点难，但只要多琢磨，多练习，就一定能掌握。
复数三角形式的乘方和开方
复数三角形式的乘方和开方复数是由实部和虚部组成的数。
在复数的表示中，我们经常用复数三角形式来表示一个复数。
复数的三角形式由一个模长和一个幅角组成。
在复数的乘方运算中，复数三角形式有着很大的优势。
设复数z的模长为r，幅角为θ，那么z的乘方可以表示为z^n=r^n* (cos(nθ)+i*sin(nθ))。
复数的乘方可以通过模长的乘法和幅角的加法来实现。
这种表示形式的优势在于简化了复数的乘方运算。
通过复数的三角形式，我们可以直接通过模长和幅角进行运算，而不需要进行复数的乘法运算。
这大大简化了计算的复杂度，提高了计算的效率。
在复数的开方运算中，复数三角形式同样发挥了重要的作用。
设复数z的模长为r，幅角为θ，那么z的开方可以表示为√z=√r* (cos(θ/2)+i*sin(θ/2))。
复数的开方可以通过模长的开方和幅角的除以2来实现。
复数的开方运算也可以通过复数的三角形式来简化计算。
通过复数的三角形式，我们可以直接通过模长和幅角进行运算，而不需要进行复数的开方运算。
这样不仅简化了计算的复杂度，还减少了计算的误差。
复数三角形式的乘方和开方在实际问题中有着广泛的应用。
在电路分析、信号处理、物理学等领域中，复数的三角形式常常被用来表示和计算复数的乘方和开方。
它们的应用可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
总之，复数三角形式的乘方和开方是一种简化复数运算的有效方法。
通过复数的三角形式，我们可以直接利用模长和幅角进行运算，而不需要进行复数的乘法和开方运算。
这种表示形式的优势在于简化了计算的复杂度，提高了计算的效率。
同时，复数三角形式的乘方和开方在实际问题中也有着广泛的应用。
复数开方根公式
复数开方根公式复数开方根公式这玩意儿，听起来是不是有点让人头大？别急，咱们一起来好好捋捋。
先来说说啥是复数。
复数啊，就像是数学世界里的“变形金刚”，它由实部和虚部组成，一般写成 a + bi 的形式，其中 a 是实部，b 是虚部，i 呢就是那个神奇的虚数单位，i² = -1 。
那复数开方根公式是啥呢？咱先举个例子感受感受。
比如说要给 4+ 3i 开平方根。
这时候就得请出咱们的复数开方根公式啦。
公式是这样的：若复数 z = a + bi ，那么它的平方根是±[√((|z| + a) / 2) + sign(b)i√((|z| - a) / 2)] ，其中 |z| 是复数 z 的模，sign(b) 是 b 的符号函数。
是不是有点晕乎？别慌，咱们慢慢消化。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这公式到底咋用啊？感觉好难啊！”我就跟他说：“别着急，咱们一步一步来。
”就拿刚才那个 4 + 3i 来说，先算它的模，|z| = √(4² + 3²) = 5 。
然后把 a = 4 ，b = 3 ，|z| = 5 代入公式。
先算正的平方根：√((5 + 4) / 2) + sign(3)i√((5 - 4) / 2)= √(9 / 2) + i√(1 / 2)= 3√2 / 2 + i√2 / 2再算负的平方根：- √((5 + 4) / 2) - sign(3)i√((5 - 4) / 2)= - 3√2 / 2 - i√2 / 2你看，这样就把 4 + 3i 的平方根给算出来啦。
在学习复数开方根公式的过程中，大家可别死记硬背，得理解着来。
多做几道练习题，熟练掌握公式的运用。
就像学骑自行车一样，刚开始可能摇摇晃晃，但多练几次，就能稳稳当当上路啦。
总之，复数开方根公式虽然有点复杂，但只要咱们有耐心，多琢磨，多练习，一定能把它拿下！相信自己，加油！。
复数的性质与运算的学习与应用
航空航天工程中的应用
飞机设计：利用复 数计算飞机机翼的
空气动力学特性
导航系统：利用复 数进行信号处理和 数据处理，实现精
确导航
卫星轨道：通过复 数计算卫星轨道的 稳定性与变化规律
火箭发射：利用复 数分析火箭推进系 统的燃烧效率和稳
定性
添加标题
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土木工程和机械工程中的应用
土木工程中，复数可用 于分析结构振动、稳定 性等问题，以及优化设
复数还可以用于计算药物分子的吸 收和分布，从而为药物设计和开发 提供依据。
在生物医学成像技术中，复数可以 用来描述信号的相位信息和振幅信 息，从而提高成像的分辨率和准确 性。
在社会学和心理学中的应用
复数在社会学中可用于描述和分析复杂的社会现象和关系，例如人口统计学、社会网络分析等。 在心理学中，复数可以用来研究人类认知和行为，例如通过复数分析人类情绪、记忆和思维模式等。 复数在经济学中可用于描述和分析金融市场和经济发展，例如股票价格、经济增长趋势等。 在物理学中，复数可以用来描述波动和振动现象，例如声波、电磁波等。
计。
机械工程中，复数可以 用于控制系统的分析和 设计，例如电气系统和
液压系统。
复数在信号处理和通信 工程中也有广泛应用， 例如频谱分析和调制解
调。
在电力工程中，复数 用于计算交流电的各 种参数和性能指标。
计算机科学和软件工程中的应用
复数在信号处理中的应用，如 滤波、频谱分析等
复数在电气工程中的应用，如 电路分析、控制系统等
共轭复数和复数的模
共轭复数的定义：一个复数和它的共轭复数有一个实部和一个虚部，虚部符号相反。 共轭复数的性质：两个共轭复数的和是实数，它们的乘积是正数。 复数的模的定义：一个复数到原点的距离，表示为|z|。 复数的模的性质：任何复数的模都大于等于0，等于0的只有0本身。
复数的开方运算
复数的开方运算
复数的开方运算是指求解复数的平方根。
复数的平方根有两个解，可以用公式进行计算。
设复数z=a+bi（其中a、b为实数），则其平方根为±√(a+bi)。
计算步骤如下：
1. 将复数z写成极坐标形式z=r(cosθ+isinθ)，其中r=√(a²+b²)，θ=tan^(-1)(b/a)。
2. 对于复数的开方运算，只需将r的开方结果作为模长，相应的角度除以2作为幅角即可。
3. 计算模长的开方结果为√r。
4. 计算相应角度的一半，即θ/2。
5. 根据模长的开方结果和相应角度的一半，得到复数的两个平方根：
第一个平方根为√r(cos(θ/2)+isin(θ/2))。
第二个平方根为-√r(cos(θ/2)+isin(θ/2))。
注意：根据复数的性质，平方根有两个解，分别对应于对应的正负号。
所以，复数的开方运算有两个解。
复数的三角形式与指数形式
其次，幅角θ应该占据
y a 中指数x的位置, x
对于虚数单位i，如果放到系数y的位置会怎样？
由于
(i ra x )2 r 2a2x
等式右边是实数，对于任意虚数而言，这是不可能的。
因此幅角θ也应该占据指数的位置。
这样第二个问题就产生了：它与幅角一起在指数的位置上是什么关系？（相加？相乘？）
4.2、复数的指数形式
3、复数的乘方。 利用复数的乘法不难得到
zn r n (cos n i sin n )
这说明，复数的n次方等于它模的n次方，幅角的n倍。
4.1、复数的三角形式
二、复数三角形式的运算法则
3、复数的乘方。
zn r n (cos n • i sin n )
这个运算在几何上可以用下面的方法进行：
将向量z1的模变为原来的n次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角nθ，就得到zn。
•
这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现：
对数函数与指数函数
axa y axy
loga ( xy) loga x loga y
前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和 。
从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切些：
z1z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
z rai
现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合
4.2、复数的指数形式
z1z2 (r1ai1 )(r2ai2 ) (r1r2 )a i(12 ) z1 z2 (r1ai1 ) (r2ai2 )• (r1 r2 )ai(12 )
zn (rai )n r nai(n )
乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的n次方、幅角的n倍”的本质特征
浅谈关于复数开方的教学
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教 师 ： 种方 法很 好 ， 路 自然 ， 这 思 但求 得 的 在 ③
中 ｋ的 取 值 范 围扩 大 了 ， 是 什 么 原 因 ？ 这 学 生 认 真 检 查 推 导 过 程 中 的 各 步 ， 将 的 立 方 并 进 行 验 算 ， 后 得 出 结 论 ： ８有 无 穷 多 个 立 方 根 ． 此 最 一 （ 时学 生洋 洋得 意 ， 为 问题解 决 了 ） 以 教 师 ： 把 这 些 立 方 根 在 复 平 面 内 表 示 出 来 ． 对 请 （ 学 生 进行 集 中思维 的训 练 ） 学 生 算 出 复 数 ， ， …后 ，大 吃 一 惊 ． 们 发 现 他 当 ｋ 取 ３， ５等 整 数 值 时 ， 又 重 复 取 得 ， ， 的 ４， 值 （ 横 向揭 示 了 规 律 ） 这 是 为 什 么 ？ （ 生 对 直 观 感 从 ． 学 觉 到 的知 识一 时还缺 乏理 解 ） 教 师 ： 比较 一 下 复 数 与 ， ＋ 与 ， ＋ 与 ： ∈Ｚ） 它 们 的 模 与 辐 角 各 有 什 么 关 系 ？ ， 学 生 ： 们 的 模 都 是 ２ 辐 角 都 相 差 ２ Ｔ的 整 数 倍 ． 它 ， １ （ 纵 向揭 示 了规律 ） 从 教 师 ： 题 就 在 这 里 ， 于 正 弦 、 弦 函 数 的 周 期 问 由 余 都 是 ２Ｔ １ ，所 以 复数 ， ， 与 ， ， 是 分 别相 等 的． Ｚ Ｚ 想 想 ： 式 所 表示 的无 穷 多个 复数 中不 相等 的有 几 个 ？ ③ 学 生 通 过 比 较 与 鉴 别 ，很 快 得 出 结 论 ：只 有 三 个 ． （ 生 揭 示 了 课 题 的 本 质 属 性 ， 破 了难 点 ） 学 突 教 师 ： ， 们 在 学 习 中要 善 于 透 过 现 象 看 到 本 质 ． 对 我 从 形 式 上 看 ， ８有 无 穷 多 个 立 方 根 ， 但 实 质 上 一 的 立 一 ８ 方 根 有 且 仅 有 三 个 不 同 值 ． 惯 上 用 ， ， 三 个 值 习
(整理)复数开方计算方法.
§5.5.4 复数的开方一、引入1、复习复数的乘方公式[](c o s s i n (c o s s i n )n n r i r n i n θθθθ+=+ de Moiver 公式 2、复数能开方吗？说到乘方我们自然想到开方，首要的问题是能不能开方.因为我们记得在实i =，即引入虚数.那么复数能不能开方呢？需不需要引入新的数呢？n 次方根有几个呢？我们这节课就来研究这个问题.二、复数的开方公式1、问题：为了方便我们假设复数是可以开方的，即设(cos sin )i ωρϕϕ=+是复数(cos sin )z r i θθ=+的n 次方根，那么求?ω=即是求?ρ=和?ϕ=2、问题的解决：由n 次方根的定义和de Moivre 公式，得[](cos sin )(cos sin (cos sin )nn r i i n i n θθρϕϕρϕϕ+=+=+根据复数相等的含义，两个复数模相等，辐角相差2,k k Z π∈，从而 2,n r n k k Z ρϕθπ⎧=⎨=+∈⎩即：2,k k Z n ρθπϕ⎧=⎪⎨+=∈⎪⎩由于k 的取值是无限多的，所以ϕ是无限多值的，难道ω有无限多吗？现在我们看看ϕ的变化对ω的影响：我们可以看出0ω到1n ω-各不相同，但是n ω02)sin(2)]sin )i i n n n nθθθθππω+++=+=112222[cos(2)sin(2)]sin )n i i n n n nθπθπθπθπωππω+++++=+++=+= ………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………..当k 取到n 以后就ω出现了重复，即呈周期性变化，所以我们只需要看前面n 个值就可以了.从上面的探讨我们知道，任意复数的开方是可以实现的，不需要引入新的数，并且任意复数的n 次方根恰有n 个，即是上述k 取0到n-1时的值.3、复数的开方公式复数(cos sin )z r i θθ=+的n 次方根恰有n 个，即： 22sin )k k i n nθπθπ+++ 其中0,1,2,...,1k n =-注：口诀：（n 次）方根恰有n 个，先化三角再开方，模作开方角平均. 简记：模开方，角平均.（模取次算术根，角指的是辐角2,k k Z θπ+∈，形式上n 个根平分辐角.）三、例题例1、求i 的平方根.解：z i =的三角形式为：cos sin 22z i ππ=+， 所以zi =的平方根是：2222cos sin 22k k i ππππ+++ 0,1k = 即：cos sin 44i ππ+，和55cos sin 44i ππ+ 注：验证：两根分别为：22+和22--，易验证他们的平方是i例2、求1i-的立方根.解：1i-77sin)44iππ+，所以它的立方根是：772244sin)33k kiππππ+++0,1,2k=77sin)1212iππ+55sin)44iππ+2323sin)1212iππ+E：1）求i-的平方根.2）求1i+的立方根.五、作业：1、求122i-+的平方根.2、求复数-16的四次方根.3、在复数范围内分解因式：327x-。
复数的运算坐标系判断方法
复数的运算坐标系判断方法复数是由实部和虚部构成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1在复数的运算中，可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
为了判断复数的运算结果，需要了解复数在复平面上的表示，复平面由实轴和虚轴组成。
实部在实轴上表示，虚部在虚轴上表示。
下面分别介绍复数的运算判断方法：1. 复数的加法：将两个复数的实部和虚部分别相加即可。
例如，对于复数a+bi和c+di，它们的和为(a+c)+(b+d)i。
2. 复数的减法：将第二个复数的实部和虚部取负，然后与第一个复数的实部和虚部相加。
例如，对于复数a+bi和c+di，它们的差为(a-c)+(b-d)i。
3. 复数的乘法：用第一个复数的实部和虚部分别乘以第二个复数的实部和虚部，并将结果相加。
例如，对于复数a+bi和c+di，它们的乘积为(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 复数的除法：先将除数的共轭复数乘以除数的共轭复数，得到一个实数，然后用被除数的实部和虚部分别乘以这个实数的倒数。
例如，对于复数a+bi和c+di的除法，首先将c+di的共轭复数(c-di)乘以c+di，得到一个实数c^2 + d^2，然后将(a+bi)乘以1/(c^2 + d^2)即可。
在复数的运算中，虚数单位i的平方为-1，这一特性是复数运算的基础。
根据这一特性，可以通过平方和开方来进行复数的运算。
例如，对于复数a+bi的平方，可以计算出(a+bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2 = a^2- b^2 + 2abi。
同时，对于复数的开方运算，可以通过解方程来求解。
例如，对于复数的开方，可以解方程z^2 = a+bi来求解复数z。
总结起来，复数的运算可以通过实部和虚部的加减乘除来进行，同时可以利用虚数单位i的平方和开方来完成复数的运算。
通过在复平面上表示复数，并按照复数的运算规则进行计算，可以得到复数运算的结果。
复数的开方
复数的开方教案1教学目标1．掌握求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的法则．2．通过复数开方公式的推导和运用，培养推理能力和运算能力．3．通过对复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根几何意义的探求，培养和发展数形结合的意识和能力．教学的重点与难点重点：复数开方公式的推导与运用．教学过程设计(一)从解方程引入复数开方师：由研究方程x2=－1的解引入虚数单位的概念，进而建立复数集．在复数集中方程x2=－a(a＞0)的解是什么？师：在复数集中x3=1的解有几个，是什么？生甲：可能有3个，一个是x=1，另外两个不知道．师：你怎么知道的？师：对．类似这样的问题，如x3=1－i，x4=－1的解是什么？为解决这一类问题要研究求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根．(二)探求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根，并推导开方公式师：(提出课题)求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根．如何研究这一问题呢？首先，我们对复数的n次方根有几个值能有一个预测吗？生：我认为有n个．师：这只是预测，这要通过求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根来证实或否定．如何求复数的n次方根？要解决“如何求”，首先要弄清什么是复数n次方根？让学生回忆实数集中方根的概念．复数n次方根的意义：如果x n=z(n∈N+，z∈C)，那么x叫做z的n次方根．因为复数的n次方是复数，所以一个复数的n次方根也是复数．师：在建立复数n次方根概念的基础上，如何推导复数开n次方的公式呢？由上面分析可知，复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根仍是复数，设它为ρ(cos＋isin)，那么这两个复数有什么联系呢？生：r(cosθ＋isinθ)=[ρ(cos＋isin)]n(n∈N+)．师：求复数的n次方根的问题，就转化为在上面等式中求出ρ和．①这样就得到两个用三角形式表示的复数．两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么？生：它们的模相等，辐角可以相差2π的整数倍．师：由①式可得由此可知，因此r(cosθ＋isinθ)的n次方根是由复数n次方根的意义和复数相等的条件，得到复数n次方根的表达式，下面的工作是什么？生甲：用公式解题．生乙：这个公式还没有推导完，它表示几个值？各是什么？还要对公式进一步认识．师：对．首先要认识公式．对一个数学公式通常从以下几个方面认识：公式的推导；公式成立的条件；公式所反映的数量关系；公式的使用．对公式的推导，不是停留在重复推导过程上，而是要求提炼推导的基本想法和所运用的基础知识．本公式是运用复数n次方根的概念和复数相等条件，建立方程求解方程推导的．公式成立的条件是：n∈N+，也就是说，我们研究的是复数开正整数次方．对公式数量关系的认识：②个给定的自然数；式中的k∈Z它可以取任何整数，随着k的不同取值②式表示多少个不同的复数？为什么？(让学生讨论)生甲：表示无数个不同的复数．生乙：表示n个不同的复数．师：哪个对，为什么？生丙：表示n个不同的复数对，因为一个复数的n次方根有n个值．师：到目前为止，一个复数的n次方根有n个值这只是我们的推测，并没有证明．但我们可以肯定地说，它不会是无穷多个不同的值，而是有限个，你们说对吗？为什么？生丁：对．由三角函数的周期性它不会是无穷多个不同的值．师：这启发我们用三角函数的周期性研究复数n次方根的个数．为研究方便，把③显然，k=n与k=0时，这两个角相差2π，由于正弦、余弦函数的周期都是2π，所在公式②中它们表示同一个复数．同理，k=n＋1，n＋2，…，n＋(n－1)与k=1，2，…，n－1所表示的复数对应相等．因此，当k取0，1，…，n－1各值时，就可以得到②式的n个值．由于正弦、余弦函数的周期都是2π，当k取n，n＋1以及其他各整数值时，又重复出现k取0，1，…，n－1时的结果，所以复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根是让学生叙述复数开n次方的法则，教师概括如下：复数的n(n∈N+)次方根是n个复数，它们的模都等于这个复数的模的n次算术根，它们的辐角分别等于这个复数的辐角与2π的0，1，…，n－1倍的和的几分之一．(三)运用复数开方公式，在运用中深化对复数n次方根的认识例1 求1－i的立方根．即1－i的立方根是下面三个复数：解题后让学生概括求复数n次方根的步骤，教师进行归纳总结：1．将复数z化为三角形式(辐角一般取主值)；2．代入开方公式；4．分别求出复数z的n个n次方根．几点说明：1．将复数z化为三角形式时辐角取主值使答案规范．如例1中，将1－1的辐次方根的辐角有规律性的认识，这正是我们要进一步研究的．练习在复数集C中解方程x4＋1=0．请学生板演．解：将方程变形为x4=－1=cosπ＋isinπ，教师讲评：解方程x4=－1就是求－1的4次方根．在实数集中无解，在复数集中它有4个虚数根．进一步深化对复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的认识．提出以下问题：师：问题1复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根有几个，它们的模等于什么？师：问题2复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的几个辐角有什么规律？学生讨论，教师归纳总结．师：问题3复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的几何意义是什么？学生讨论，教师概括总结．复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的几何意义是：这n个n次方根对应于复平面例2 在复数集C中解方程x3=1，并证明它的三个根在复平面内是一个正三角形的三个顶点．解：原方程就是x3=cos0＋isin0，如图8－14，三个根x1，x2，x3在复平面内对应点分别为A，B，C．因为|x1|=|x2|=|x3|，则三点A，B，C在以原点为圆心的单位圆上．故|AB|=|BC|=|AC|，△ABC为正三角形．解题后思考以下问题：(1)1的立方根在实数集中有几个值？在复数集中有几个值？各是什么？1的立方根在实数集中有1个值，是1．在复数集C中，1的立方根有3个值，有一个实数两个虚数，其中实数为1，两个虚数是一对有很多特征的共轭复数(2)方程x3=1除用复数开方公式求解，还有其他解法吗？(因式分解法，本节不展开)(四)小结由实数集扩充到复数集我们对一个数的n次方根的认识有了发展．在复数集C中，复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根有n个值．这n个值可由复数开方公式得到．它(五)作业1．高中代数下册P214～215练习第3，第4题．2．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是[ ] 3．求证虚数的平方根仍是虚数．4．已知ε0，ε1，…，εn-1是非零复数z=r(cosθ＋isinθ)的n个不同的n次方根(n≥3)．(1)求证：ε0，ε1，…，εn-1组成等比数列；(2)求和S n=ε0＋ε1＋ε2＋…εn-1．作业答案或提示2．由复数开方运算的几何意义，画出－i的3个立方根在复平面内的对应点，得出选D．3．用反证法．假设虚数的平方根是实数，则它的平方也是实数，这与原数为虚数矛盾．课堂教学设计说明本节课设计的指导思想是：激发兴趣、注重过程、发展思维、指导学法．1．复数的有关知识比较抽象，离生产、生活实际较远．在复数教学中如何激发学生的学习兴趣，这是值得思考的问题．本节以解方程引入，通过对复数开方公式的推导得出公式，又回到在复数集中解方程x3=1，求出它的一个实根两个虚根，发展了在实数集中方程x3=1只有一根为1的认识．从学生熟悉的数学问题引入，提出问题，分析问题，解决问题，通过问题解决发展学生的认识，引起学生学习兴趣．2．注重对复数开方公式推导过程的教学．复数开方公式推导是本节课的重点也是难点．在教学中是分四个层次展开的：由解方程引入；由n次方根的意义切入；通过复数相等求解；由正弦、余弦函数的周期性确定复数的n次方根有n个值完成公式的推导．在推证过程中启发学生探求，发展思维，培养推理能力．3．指导学法，会学公式．在学习数学过程中学生遇到许多数学公式，如何认识数学公式，学好公式，会学公式是指导学生学法的一个重要方面．本节课通过对复数开方公式的分析，从公式推导、公式成立的条件、公式的数量关系、公式所反映的几何意义等方面去认识公式，从公式的运用中深化对公式的认识．这对学习其他数学公式也是有指导意义的．。
I复数的四种表示形式
第八讲 复数知识、方法、技能I ．复数的四种表示形式 代数形式：∈+=b a bi a z ,(R ）几何形式:复平面上的点Z （b a ,）或由原点出发的向量OZ . 三角形式：∈≥+=0,0),sin (cos r i r z θθR . 指数形式：θi re z =。
复数的以上几种形式，沟通了代数、三角、几何等学科间的联系,使人们应用复数解决相关问题成为现实。
II ．复数的运算法则 加、减法:;)()()()(i d b c a di c bi a ±+±=+±+ 乘法:;)()())((i ad bc bd ac di c bi a ++-=++ )];sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222111θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r除法：).0(2222≠++-+++=++di c i d c adbc d c bd ac bi c bi a)].sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222111θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r乘方：∈+=+n n i n r i r nn)(sin (cos )]sin (cos [θθθθN )；开方：复数n i r 的)sin (cos θθ+次方根是).1,,1,0)(2sin 2(cos -=+++n k nk i nk r n πθπθIII ．复数的模与共轭复数 复数的模的性质①|;)Im(|||,)Re(|||z z z z ≥≥ ②|;|||||||2121n n z z z z z z ⋅=⋅ ③);0(||||||22121≠=z z z z z④12121|,|||||||z z z z z 与复数+≤-、2z 对应的向量1OZ 、2OZ 反向时取等号； ⑤||||||||2121n n z z z z z z +++≤+++ ，与复数n z z z ,,,21 对应的向量n OZ OZ OZ ,,21 同时取等号。
负数的平方根
负数的平方根平方根是数学中一个概念，它是一个复数，其平方是给定的实数。
也就是说，如果一个实数a的平方根是一个复数b，那么b的平方等于a。
二.方根的用法平方根在人们生活中广泛应用，它可以帮助我们更好地理解数学问题并且解决一些棘手的数学问题。
它的定义是这样的：若给定一个数字a，那么它的平方根b满足b的平方等于a。
三、负数的平方根负数是一个负值，它的平方根也是负值。
负数的平方根可以通过使用实数理论和代数来求解。
实数理论告诉我们，任何实数的平方根都是一个实数，而负数的平方根也是一个实数。
例如，负二的平方根是正根号2，-3的平方根是正根号3。
即使一个负数的平方根是负值，它仍然是一个实数，因为它仍然是一个有界的值。
四、怎样求解负数的平方根1.解负数的平方根的最简单方法是使用数轴。
只需要将负数的平方根看作是它对应的正数的相反数就可以了。
例如，-4的平方根是2，它的相反数就是-2。
2. 也可以使用方程的求根法来求解负数的平方根。
这里，我们将负数的平方根作为未知数放入到一个平方等式中，然后利用化简法来求解，最终得到负数的平方根。
例如，若我们想求-5的平方根，则用方程x^2=-5，解出x=-根号5。
3.时，也可以使用函数的求根法来求解负数的平方根。
首先，我们需要确定函数的图像，然后，在图像中找到负数的平方根，最后利用代数的直观表示法来求解。
这种方法尤其适用于求解更复杂的负数平方根。
例如，若我们想求解-7的平方根，则用函数y=x^2+7，在图像中寻找，可以得到y=-7时x=-根号7。
五、负数的平方根有什么作用1.数的平方根可以用来计算曲线上点的坐标。
它们可以帮助我们确定图表上的坐标点，从而精确地绘制出图形。
2.们可以用来解决一些不等式的问题。
例如，如果利用负数的平方根可以帮助我们确定一些不等式的根，那么可以解决一些比较复杂的不等式问题。
3.它们可以用来解决方程组问题。
由于方程组中的方程可以用平方形式来表示，因此，负数的平方根可以帮助我们解决把方程变成最简单形式的问题。
根号里有负数怎么开方
根号里有负数怎么开方
实数范围内负数没有平方根。
在复数范围内，负数有两个虚数平方根。
如根号下负36等于正负6i，其中i为虚数单位。
复数开平方：先写正负，然后将实部开平方，最后再写出虚数单位。
开方的计算步骤
1．将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为一段，用“ ' ”这个符号分开（竖式中的11’56），分成几段，表示所求平方根是几位数；
2．根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位上的数（竖式中的3）；
3．从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数（竖式中的256）；
4．把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数，所得的最大整数作为试商（20×3除256，所得的最大整数是4，所以试商是4）；
5．用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商，如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小之后再试（竖式中（20×3+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；
6．用相同的方法，继续求平方根的其余各位上的数。
如碰到开不尽的情况，可根据所要求的精确度求出它的近似值。
例如求其近似值（精确到0.01），可列出上面右边的竖式，并根据这个竖式得到。
笔算开平方运算较复杂，在实际中直接应用较少，但用这个方法可求出一个数的平方根的具有任意精确度的近似值。
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复数的开方教案1
教学目标
1．掌握求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的法则．
2．通过复数开方公式的推导和运用，培养推理能力和运算能力．
3．通过对复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根几何意义的探求，培养和发展数形结合的意识和能力．
教学的重点与难点
重点：复数开方公式的推导与运用．
教学过程设计
(一)从解方程引入复数开方
师：由研究方程x2=－1的解引入虚数单位的概念，进而建立复数集．在复数集中方程x2=－a(a＞0)的解是什么？
师：在复数集中x3=1的解有几个，是什么？
生甲：可能有3个，一个是x=1，另外两个不知道．
师：你怎么知道的？
师：对．类似这样的问题，如x3=1－i，x4=－1的解是什么？为解决这一类问题要研究求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根．
(二)探求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根，并推导开方公式
师：(提出课题)求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根．
如何研究这一问题呢？首先，我们对复数的n次方根有几个值能有一个预测吗？
生：我认为有n个．
师：这只是预测，这要通过求复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根来证实或否定．如何求复数的n次方根？要解决“如何求”，首先要弄清什么是复数n次方根？让学生回忆实数集中方根的概念．
复数n次方根的意义：如果x n=z(n∈N+，z∈C)，那么x叫做z的n次方根．
因为复数的n次方是复数，所以一个复数的n次方根也是复数．
师：在建立复数n次方根概念的基础上，如何推导复数开n次方的公式呢？
由上面分析可知，复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根仍是复数，设它为ρ(cos＋isin)，那么这两个复数有什么联系呢？
生：r(cosθ＋isinθ)=[ρ(cos＋isin)]n(n∈N+)．
师：求复数的n次方根的问题，就转化为在上面等式中求出ρ和．
①
这样就得到两个用三角形式表示的复数．两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么？
生：它们的模相等，辐角可以相差2π的整数倍．
师：由①式可得
由此可知，
因此r(cosθ＋isinθ)的n次方根是
由复数n次方根的意义和复数相等的条件，得到复数n次方根的表达式，下面的工作是什么？
生甲：用公式解题．
生乙：这个公式还没有推导完，它表示几个值？各是什么？还要对公式进一步认识．
师：对．首先要认识公式．对一个数学公式通常从以下几个方面认识：公式的推导；公式成立的条件；公式所反映的数量关系；公式的使用．
对公式的推导，不是停留在重复推导过程上，而是要求提炼推导的基本想法和所运用的基础知识．本公式是运用复数n次方根的概念和复数相等条件，建立方程求解方程推导的．
公式成立的条件是：n∈N+，也就是说，我们研究的是复数开正整数次方．
对公式数量关系的认识：
②
个给定的自然数；式中的k∈Z它可以取任何整数，随着k的不同取值②式表示多少个不同的复数？为什么？
(让学生讨论)
生甲：表示无数个不同的复数．
生乙：表示n个不同的复数．
师：哪个对，为什么？
生丙：表示n个不同的复数对，因为一个复数的n次方根有n个值．
师：到目前为止，一个复数的n次方根有n个值这只是我们的推测，并没有证明．但我们可以肯定地说，它不会是无穷多个不同的值，而是有限个，你们说对吗？为什么？
生丁：对．由三角函数的周期性它不会是无穷多个不同的值．
师：这启发我们用三角函数的周期性研究复数n次方根的个数．为研究方便，把
③
显然，k=n与k=0时，这两个角相差2π，由于正弦、余弦函数的周期都是2π，所在公式②中它们表示同一个复数．
同理，k=n＋1，n＋2，…，n＋(n－1)与k=1，2，…，n－1所表示的复数对应相等．
因此，当k取0，1，…，n－1各值时，就可以得到②式的n个值．由于正弦、余弦函数的周期都是2π，当k取n，n＋1以及其他各整数值时，又重复出现k取0，1，…，n－1时的结果，所以复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根是
让学生叙述复数开n次方的法则，教师概括如下：
复数的n(n∈N+)次方根是n个复数，它们的模都等于这个复数的模的n次算术根，它们的辐角分别等于这个复数的辐角与2π的0，1，…，n－1倍的和的几分之一．
(三)运用复数开方公式，在运用中深化对复数n次方根的认识
例1 求1－i的立方根．
即1－i的立方根是下面三个复数：
解题后让学生概括求复数n次方根的步骤，教师进行归纳总结：
1．将复数z化为三角形式(辐角一般取主值)；
2．代入开方公式；
4．分别求出复数z的n个n次方根．
几点说明：
1．将复数z化为三角形式时辐角取主值使答案规范．如例1中，将1－1的辐
次方根的辐角有规律性的认识，这正是我们要进一步研究的．
练习在复数集C中解方程x4＋1=0．
请学生板演．
解：将方程变形为x4=－1=cosπ＋isinπ，
教师讲评：解方程x4=－1就是求－1的4次方根．在实数集中无解，在复数集中它有4个虚数根．
进一步深化对复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的认识．提出以下问题：
师：问题1复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根有几个，它们的模等于什么？
师：问题2复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的几个辐角有什么规律？
学生讨论，教师归纳总结．
师：问题3复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的几何意义是什么？
学生讨论，教师概括总结．
复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根的几何意义是：这n个n次方根对应于复平面
例2 在复数集C中解方程x3=1，并证明它的三个根在复平面内是一个正三角形的三个顶点．
解：原方程就是
x3=cos0＋isin0，
如图8－14，三个根x1，x2，x3在复平面内对应点分别为A，B，C．
因为|x1|=|x2|=|x3|，则三点A，B，C在以原点为圆心的单位圆上．
故|AB|=|BC|=|AC|，△ABC为正三角形．
解题后思考以下问题：
(1)1的立方根在实数集中有几个值？在复数集中有几个值？各是什么？
1的立方根在实数集中有1个值，是1．在复数集C中，1的立方根有3个值，有一个实数两个虚数，其中实数为1，两个虚数是一对有很多特征的共轭复数
(2)方程x3=1除用复数开方公式求解，还有其他解法吗？(因式分解法，本节不展开)
(四)小结
由实数集扩充到复数集我们对一个数的n次方根的认识有了发展．在复数集C中，复数r(cosθ＋isinθ)的n次方根有n个值．这n个值可由复数开方公式得到．它
(五)作业
1．高中代数下册P214～215练习第3，第4题．
2．复数－i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是
[ ]
3．求证虚数的平方根仍是虚数．
4．已知ε0，ε1，…，εn-1是非零复数z=r(cosθ＋isinθ)的n个不同的n次方根(n≥3)．
(1)求证：ε0，ε1，…，εn-1组成等比数列；(2)求和S n=ε0＋ε1＋ε2＋…εn-1．
作业答案或提示
2．由复数开方运算的几何意义，画出－i的3个立方根在复平面内的对应点，得出选D．
3．用反证法．假设虚数的平方根是实数，则它的平方也是实数，这与原数为虚数矛盾．
课堂教学设计说明
本节课设计的指导思想是：激发兴趣、注重过程、发展思维、指导学法．
1．复数的有关知识比较抽象，离生产、生活实际较远．在复数教学中如何激发学生的学习兴趣，这是值得思考的问题．本节以解方程引入，通过对复数开方公式的推导得出公式，又回到在复数集中解方程x3=1，求出它的一个实根两个虚根，发展了在实数集中方程x3=1只有一根为1的认识．从学生熟悉的数学问题引入，提出问题，分析问题，解决问题，通过问题解决发展学生的认识，引起学生学习兴趣．
2．注重对复数开方公式推导过程的教学．复数开方公式推导是本节课的重点也是难点．在教学中是分四个层次展开的：由解方程引入；由n次方根的意义切入；通过复数相等求解；由正弦、余弦函数的周期性确定复数的n次方根有n个值完成公式的推导．在推证过程中启发学生探求，发展思维，培养推理能力．
3．指导学法，会学公式．在学习数学过程中学生遇到许多数学公式，如何认识数学公式，学好公式，会学公式是指导学生学法的一个重要方面．本节课通过对复数开方公式的分析，从公式推导、公式成立的条件、公式的数量关系、公式所反映的几何意义等方面去认识公式，从公式的运用中深化对公式的认识．这对学习其他数学公式也是有指导意义的．。