切向加速度和法向加速度

θ =θ0 +ω t
匀变速圆周运动
x = x0 +Vt
匀加速直线运动
ω =ω0 + βt
1 2 θ −θ0 =ω0t + βt 2 2 ω2 −ω0 = 2β(θ −θ0 )
V =V0 + at
1 2 x − x0 =V0t + at 2 V 2 −V02 = 2a(x − x0 )
**********************************************************************************
ds d dθ x V = dt = dt (Rθ) = R dt dθ 角速度， ：角速度， rad/ s ω= dt dV dω d2θ at = =R =R 2 dt dt dt
讨论： 讨论： 1、 ω不变，匀角速圆周运动 不变，
dω β= =0 dt θ t dθ ω= ⇒dθ =ωdt ⇒ ∫ dθ = ∫ωdt dt 0 θ0
an
ρ 讨论：（ ：（1 直线运动， 讨论：（1）直线运动，ρ = ∞ an = 0 ,
dt
r r r a = atτ + ann
r a指向轨迹凹的一侧
dV V2 a = 0, an = 匀速率圆周运动， （2）匀速率圆周运动， t = ：向心加速度 R dt
（3）一般曲线运动及变速率圆周运动，at ≠ 0 一般曲线运动及变速率圆周运动， , V2 V2 （4） an = ⇒ρ = ：计算曲率半径
r dV r = a ：质点在 S 系中的加速度（绝对加速度） 系中的加速度（绝对加速度） dt r dV′ r = a′：质点在 S′ 系中的加速度（相对加速度） 系中的加速度（相对加速度） dt r dV0 r 点的加速度（牵连加速度） = a0 ：O′点相对于 O 点的加速度（牵连加速度） dt
角位移： 角位移： 不变： 2、 β 不变：匀变速圆周运动 ω
（匀速率圆周运动，匀速圆周运动） 匀速率圆周运动，匀速圆周运动）
∆θ =θ −θ0 =ωt, θ =θ0 +ωt
dω β= dt
⇒ dω = βdt,
ω −ω0 = βt ⇒ω =ω0 + βt
dθ ω= =ω0 + βt dt
∫dω = ∫ βdt ω
an ≠ 0
ρ
an
例： R= 800m的圆形轨道，汽车，静止开始， 800m的圆形轨道，汽车，静止开始， 的圆形轨道
r 求： t= 2（分）， a, a , a 2（ n t
解：设 =20/180=1/9， k =20/180=1/9，
速率均匀增加， 3（ 速率均匀增加，t = 3（分），V= 20m/s t=3（ =180s， V = kt, t=3（分）=180s， = 20m/s V
则
′ t2 = t2
′ ′ 2 ′ (x2, y2, z′ ,t2)
y′
∆t = ∆t′
（3）长度（两点间距离） ）长度（两点间距离）
S
u
A
x′ 1 ′ x2
B
x′
′ ′ 0 静止长度（固有长度） x2 − x1 = L ： 静止长度（固有长度）
x
运动物体的长度= 运动物体的长度=同时测得物体两端的坐标差
r r r dr d r dr r de1 V = = (re1) = e1 +r dt dt dt dt dr r dθ r = e1 +r e2 dt dt
dt
=
dt
e2 ，
r = re1
S
O
θ
r
r r e2
r V e r A 1
x
第7节 伽利略变换
一、绝对时空观 场所” 独立存在， 空间： 广延性， 场所 空间： 广延性，“场所”，独立存在，永恒 不变，绝对静止， 容器” 不变，绝对静止，“容器” 时间： 持续性， 绝对的、真正的、数学的， 时间： 持续性， 绝对的、真正的、数学的， “流水”，在永恒地、均匀地流逝着 流水” 在永恒地、 流水 彼此独立 互不相关
第6 节
一、极坐标系
Ox 轴：极轴
OA= r ：矢径
t
极坐标系 径向速度与横向速度 r e2
A
s
O
r
θ
r e 1
A
r与 x 轴的夹角 θ ：幅角
规定：逆时针方向为正 规定： （ r， ） ⇔ 质点的位置 θ （ r， ）： θ 质点的极坐标 单位径向量 单位横向量
x
运动方程： 运动方程： r = r(t) ， =θ(t) θ
y′ = y
z = z′
t = t′
z′ = z t′ = t
讨论： 讨论： （1）同时性 事件1 事件1 事件2 事件2
′ 因为 t1 = t1 ，
′ t2 = t2
S ：(x1, y1, z1,t1)
′ ′ ′ ′ S′：(x1, y1, z1,t1)
(x2, y2, z2,t2)
若：1 = t2 ，则：t1 = t2 t ′ ′ 同时性是绝对的
长度是绝对的
x2 − x = L 1
L= L0
三、伽利略速度变换
P
r r
S
O
r r dr =V ：质点在 S 系中的速度（绝对速度） 系中的速度（绝对速度） dt r dr ′ r =V′ ：质点在 S′系中的速度（相对速度） 系中的速度（相对速度） dt r dr0 r =V0 ：O 点相对于 O点的速度（牵连速度） 点的速度（牵连速度） ′ dt
第4 节
一、自然坐标系 自然坐标系 r 沿轨道 单位切向量 ， 切线指向质点运动方向 r 单位法向量 n，沿轨道
切向加速度和法向加速度 r
τ
τ
r V
r n
r a
r n
y
法向指向凹的一侧 r，r ：自然坐标系 ( n)
τ
S
O
r t n(t) P r r C t + ∆t Q τ (t + ∆t) n(t + ∆t) r r r r τ (t + ∆t) ∆τ =τ (t + ∆t) −τ (t)：矢量 r n(t + ∆t) r ∆ τ 1 r ∆θ αr r ， ∆ θ τ (t) α = (π −∆θ) ∆τ = 2sin n(t)∆θ 2 2 Q ∆t →0 时 ， ∆θ →0 r r r r r τ (t) P 向 ∆ τ ∆ r方 ： τ⊥ (t)， τ // n(t) θ + ∆θ θ ∆τ r ∆θ 小 ∆τ ≈ ∆θ x 大 ： = 2sin
θ = 63.4o
例：甲舰自北向南以速率 V 行驶，乙舰自南向北以速率 V 行驶， 行驶， 行驶， 2 1 两舰联线和航线垂直时，乙舰向甲舰发射炮弹， 两舰联线和航线垂直时，乙舰向甲舰发射炮弹，发射速率为V 0 求发射方向与航线所成的夹角。 求发射方向与航线所成的夹角。 炮弹为研究对象，已知： 弹 解：炮弹为研究对象，已知：V 乙 =V ，方向为所求， 方向为所求， 0
α
at
r a
an
R O
V= t
9
dV 2 at = =1/ 9 = 0.111 m/ s ) ( dt
=2（ =120s， t =2（分）=120s，
V =120/9(m/s)
V2 r r r 2 an = = 0.222m/ s ， a = 0.111 +0.222n τ R
2 a = at2 +an = 0.248m/ s2, tgα = an / at = 2, α = 63.4o
r r
r
r
dτ V r = ⋅n dtHale Waihona Puke Baiduρ
r r V =V ⋅τ
r
二、切向加速度和法向加速度
r r r a = atτ + ann
r r r dV d r dV r dτ dV r V2 r a= = (Vτ ) = τ +V = τ+ n dt dt dt dt dt ρ
dV d 2s at = = 2 ：切向加速度，速率变化引起的 切向加速度， dt dt
0
t
0
⇒ dθ = (ω0 + βt)dt
∫dθ = ∫(ω + βt)dt θ
0
0
θ
t
1 2 角位移： θ 角位移： ∆ =θ −θ0 =ω t + βt 0 2 2 ω2 −ω0 = 2β(θ −θ0 )
匀速圆周运动 匀速直线运动
0
**********************************************************************************
2
r τ (t)
τ
r
dτ dτ dθ dτ dθ ds dτ r ds = ρ ds =V = ⋅ = ⋅ ⋅ , dθ = n , dθ , dt dt dθ dt dθ ds dt
r r ∆τ ≈ ∆θ ⋅ n r r r dτ r ∆ τ ∆ ⋅n r θ lim ∆θ →0, ∆θlim ∆θ =θ →0 ∆θ = n ⇒ dθ = n →0 ∆
S： t ， A：x1 ， B：x2 ， x2 − x1 = L
事件1 事件1 事件2 事件2
S ： (x1,t)
′ S′： (x1,t′)
(x2,t)
t = t′ ′ x1 = x1 −ut
′ x2 = x2 −ut
′ (x2,t′)
′ ′ x2 − x1 = x2 − x1
′ ′ 0 x2 − x1 = L
′ 2 2 ′ (x2, y′ , z′ ,t2)
（2）时间间隔 ） 事件1 事件1 事件2 事件2
′ ′ ∆t = t2 −t1 ， ∆t′ = t2 −t1
S ：(x1, y1, z1,t1)
′ ′ ′ ′ S′ (x1, y1, z1,t1)
y
S′
(x2, y2, z2,t2)
′ 因为 t1 = t1 ，
r r r dV dV′ dV0 = + dt dt dt
r r r aB对A = aB −aA
例：汽车以20 汽车以20
m/ s
速度向东行驶， 速度向东行驶，
雨滴在空气中以10 雨滴在空气中以10 m/ s 速度下 落，求雨滴相对于汽车的速度 解：地面： , 汽车： ′系 地面： 汽车： S S 车对地面的速度为牵连速度 大小
二、伽利略变换
y
y′
u
S O ut
S′
ut′
m (x, y, z,t) (x′, y′, z′,t′)
′ O
z
z′
x′
xx′
′ 重合时， OO 重合时， t =t′ = 0
1.事件： 1.事件：某时刻在空间某点上发生的一件事情 事件
2、伽利略变换
t = t′
x = x′ +ut′
y = y′
x′ = x −ut
消去时间变量可得轨迹方程： 消去时间变量可得轨迹方程：
r e ：沿矢经方向 1 r r e2：垂直于 e 指向 θ ↑的方向 1
r = r(θ)
r r r 二、径向速度与横向速度 V =Vr e1 +V e2 θ r r r de1 dθ r
r V
V θ
dr dθ Vr = ：径向速度 ， V = r ：横向速度 θ dt dt y r 例：质点位于 P(x, y), 速度大小为 V r dr dr A， B， dt dt r P(x, y) r r dr D， (dx)2 + (dy)2 C， x O dt dt dt
r r 0
S′
′ O
r r′
r r r ∆r = ∆r′ + ∆r0 r r r dr dr′ dr0 = + dt dt dt
r r r r = r′ + r 0
r r r 绝对速度=相对速度+ V =V′ +V0 ：绝对速度=相对速度+牵连速度
r r r V 对 =V −VA B B A
r r r 绝对加速度=相对加速度+ a = a′ + a0 ：绝对加速度=相对加速度+牵连加速度 r r r 系作匀速直线运动， 如果 S′系相对于 S 系作匀速直线运动，则 a0 = 0 a = a′ ,
第5节 节
圆周运动的角量表示
角坐标， θ ：角坐标， rad， s = Rθ θ =θ(t) s = s(t)
y
r P r s θ R O A
V =ωR,
dω d 2θ ：角加速度， 角加速度， rad /s2 = 2 β= dt dt V 2 ω2R2 = =ω2R at = Rβ, an = R R
dV d 2s 切向加速度， at = = 2 ：切向加速度，速率变化引起的 dt dt r r方向， V V ↑, at > 0, 沿 τ 方向， ↓, at < 0,与 τ 反方向
an = V2
ρ
法向加速度， >0：法向加速度，速度方向变化引起的 沿法线指向曲率中心
at
α
r dV 2 V2 2 2 a a = at2 +an = ( ) +( ) , tgα = an / at
雨滴 20m/ s
10m/ s
V0 = 20m/ s
r V 0
雨滴对地的速度为绝对速度 大小
V =10m/ s
雨滴对车的速度为相对速度
rθ r V V′
V0 tgθ = = 2 V
r r r r r r 根据 V =V′ +V , V′ =V −V 0 0
V′ = V +V = 22.4m/ s
2 2 0