第二章 线性时不变系统

循 环
（三）
求乘积
x[k]h[n k]
（四） 对每一个n求和
x[n]h[n] x[k]h[n k]
k
7
（3）不带进位的普通乘法
例4 x[n] 2,1,5 n 0,1,2 求 y[n] x[n]h[n] h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
解： 3 1 4 2 h[n] 2 1 5 x[n]
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卷积的计算
（1）由定义计算卷积积分
例：设某一线性时不变系统的输入为x(t)，其单位冲
激响应为h(t) x(t) eatu(t) , a 0 h(t) u(t)
试求 x(t) h(t)
x(t) h(t) ea u( )u(t )d
t ea d ,
0
t0
0,
t0
1 1 eat u(t) a
n
f (t) ai fi (t ti )
n
y(t) ai yi (t ti )
i 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
i 1
例1 一个线性时不变系统
L
L
3
2.1 离散时间LTI系统：卷积和
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
例2
x[k] [n k]
x[n] x[1][n 1] x[0][n] x[1][n 1]
利用多项式算法求卷积和的逆运算 已知 y[n] h[n] x[n] 已知 y[n] x[n] h[n]
9
例5 y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5 h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
y[n] x[n]h[n] 求 x[n]
2 t 5t2 x(t)
1
本章主要内容：
• 信号的时域分解——用 (n表) 示离散时间信号；用 表示 (连t) 续时间信号。
• LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。
• LTI系统的微分方程及差分方程表示。 • LTI系统的框图结构表示。 • 奇异函数。
2
2.0 引言 ( Introduction )
线性时不系统
fi (t) yi (t), i 1,2,3, ,n
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2.2 连续时间LTI系统：卷积积分
一. 用冲激信号表示连续时间信号
(t)
lim
0
(t
)
xˆ(t) x(k) (t k)
k
x(t)
x(t) lim xˆ(t)
0
x (t)
x(k)
x(t) x( ) (t )d
表明：任何连续时间信号 x(t都) 可以被t分解成移位
加权的单位冲0 激信号的k线 性(k 组1)合 。
h[n] 3,1,4,2 n 0,1,2,3
h(t) 3 t 4t2 2t3
y(t) x(t)h(t)
2 t 5t2 3 t 4t2 2t3
6 5t 24t2 13t3 22t4 10t5
y[n] 6,5,24,13,22,10,n 0,1,2,3,4,5
x[n] x[k] [n k] 离散的信号分解成脉冲
k
信号的 线性组合的形式
把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列 [n k]
的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]
4
二. 离散时间线性时不变系统卷积和表示
[n] h[n]
[n k] h[n k]
时不变
x[k] [n k] x[k]h[n k] 齐次性
3 t 4t2 2t3 6 5t 24t2 13t3 22t4 10t5 y(t)
h(t)
6 2t 8t2 4t3
3t 16t2 9t3 22t4 10t5
3t t2 4t3 2t4
15t2 5t3 20t4 10t5 15t2 5t3 20t4 10t5
0
x[n] 2,1,5,n 0,1,2
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二. 连续时间线性时不变系统的卷积积分表示
(t) h (t)
(t k)
x(k) (t k)
x(k) (t k)
k
h (t k)
时不变
x(k
)h
(t
k
)
齐次性
x(k)h (t k) 可加性
k
xˆ(t)
yˆ (t )
y(t) x( )h(t )d x(t) h(t)
x[n] nu[n]
h[n] u[n]
x[n]h[n] x[k]h[n k]
k
ku[k]u[n k]
k
k n k 0
k
k
,n
0
0 ,n 0
1 n1 u[n] 1
6
（2）图解法 图解法步骤
（一） h[n] h[k] （二） 平移
反折 h[k ]
h[n k] n
y(t) 0, t 3T
16
2.3 线性时不变系统的性质
（ Properties of Linear Time-Invariant Systems） 一. 卷积积分与卷积和的性质 1. 交换律：
x(t) h(t) h(t) x(t)
x[n]h[n] h[n] x[n]
x(t) h(t) x( )h(t )d
x[k] [n k] x[k]h[n k] 可加性
k
x[n]
k
y[n]
y[n] x[k]h[n k] x[n]h[n] 卷积和
k
K时刻的脉冲在n时刻的响应
系统在n时刻的输出包含所有时刻输入脉冲的影响
5
卷积和的计算
（1）利用基本定义计算
例3 已知输入x[n]和单位脉冲响应h[n]为 试求 x[n]h[n] ?
15 5 20 10
31 42 62 8 4
6 5 24 13 22 10 y[0] y[2] y[4]
y[1] y[3] y[5]
y[n] 6,5,24,13,22,10
n 0,1,2,3,4,5
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（4）多项式算法（适用于有限长度序列）
x[n] 2,1,5 n 0,1,2
x(t) 2 t 5t2
t
x(t )h()(d)
h()x(t )d
h(t) x(t)
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y[n] x[n]h[n] x[k ]h[n k ]
k
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（2）图解法
1、 t 0 y(t) 0, t 0
14
2、0 t T
y(t)
t
ABd
ABt
0
3、t T t 2T 0
T t 2T
T
y(t) 0 ABd ABT
4、0 t 2T T
2T t 3T
T
y(t) ABd AB(3T t) t2T
15
5、t 2T T t 3T