空间立体几何知识点归纳(文科)

第一章 空间几何体知识点归纳

1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体

⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式：

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱

柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

1、空间几何体的三视图和直观图

投影：中心投影 平行投影

（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。 （2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”

2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.

3、斜二测画法的基本步骤：

①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）

②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''

x O y ∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘

轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘

轴，且长度变为原来的一半；

4、空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：()S r R l π=+侧面

⑷体积公式：

h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体

； ()1

3

V h S S =+下台体上

⑸球的表面积和体积：

323

4

4R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证

1 、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

,,A l B l

l A B ααα

∈∈⎧⇒⊂⎨

∈∈⎩ 公理1的作用：判断直线是否在平面内

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

若A ，B ，C

不共线，则A ，B ，C 确定平面α

推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面

若A l ∉，则点A 和l 确定平面α

推论2：过两条相交直线有且只有一个平面

若m

n A =，则,m n 确定平面α

推论3：过两条平行直线有且只有一个平面

若m n ，则,m n 确定平面α

公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

,P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈且

公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。

4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.,a b c b a c ⇒ 5

,1212a a b b ''∠∠⇒∠∠且与方向相同＝

,1212180a a b b ''∠∠⇒∠+∠︒且与方向相反＝

作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。,,,a b a b A a b =异面

m

n

α

P

· α

L β

b b

a '

a '方向相反则∠1+∠2＝180°

方向相同则∠1＝∠2

212

a '

b '

（1）没有任何公共点的两条直线平行 （2）有一个公共点的两条直线相交

（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

7

、线面位置关系：直线在平面内、平行、相交

a α⊂ a α

a A α=

8、面面位置关系：平行、相交。

9、证明两直线平行的主要方法是：

①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半； ②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；

③线面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；

//a a

b

α

β

αβ⊂⋂=

④平行线的传递性：,a

b c b a c ⇒

⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；

a a

b b αβ

αγβγ=⇒=⎫

⎪

⎬⎪⎭

⑥垂直于同一平面的两直线平行；

a a

b b αα⊥⎫

⇒⎬⊥⎭

⑵直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；

（上面的③）

10、线面平行：（即直线与平面无任何公共点）

⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 （只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）

////a b a a b ααα⊄⎫

⎪

⊂⇒⎬⎪⎭

(1)

α

a

(2)

α

a

(3)

α

a

A

//a b