平方根、立方根 讲义
平方根、算术平方根、立方根重点 例题讲解
平方根、算术平方根、立方根重点例题讲解平方根、算术平方根、立方根，这三个概念听起来好像很高大上，但其实它们都是我们日常生活中经常用到的数学知识。
今天，我就来给大家讲解一下这三个概念，让你在生活中轻松运用数学。
我们来说说平方根。
平方根就是一个数的正平方根，也就是一个数的平方等于这个数本身的那个数。
比如说，4的平方根是2,因为2乘以2等于4;9的平方根是3,因为3乘以3等于9。
平方根在我们生活中有很多应用，比如说计算土地面积、测量身高等等。
你可能会问：“我怎么知道一个数的平方根是多少呢？”这就需要用到计算器或者手算的方法了。
如果你不会手算，也没关系，我可以教你一个简单的方法：把那个数想象成一个正方形，然后找到它的边长，边长的平方就是那个数的平方根。
我们来说说算术平方根。
算术平方根就是一个数的正平方根，但是它只考虑奇数的情况。
比如说，5的算术平方根是无理数，因为5不能表示成两个整数相乘的形式；而4的算术平方根是2,因为2乘以2等于4。
算术平方根在我们生活中也有很多应用，比如说计算房间面积、测量长度等等。
你可能会问：“我怎么知道一个数的算术平方根是多少呢？”这同样需要用到计算器或者手算的方法。
如果你不会手算，也可以试试下面的方法：把那个数想象成一个正方形，然后找到最短的那条边，这条边的长度就是那个数的算术平方根。
我们来说说立方根。
立方根就是一个数的三次方根，也就是一个数的三次方等于这个数本身的那个数。
比如说，8的立方根是2,因为2乘以2乘以2等于8;27的立方根是3,因为3乘以3乘以3等于27。
立方根在我们生活中也有很多应用，比如说计算体积、计算速度等等。
你可能会问：“我怎么知道一个数的立方根是多少呢？”这同样需要用到计算器或者手算的方法。
如果你不会手算，也可以试试下面的方法：把那个数想象成一个正方体，然后找到最短的那条棱，这条棱的长度就是那个数的立方根。
平方根、算术平方根、立方根这三个概念虽然看起来有点复杂，但是只要掌握了它们的规律和方法，就可以在生活中轻松运用数学了。
初中数学课件 实数(平方根与立方根)
方根就是算术平方根，0的平方根是0，负数没有平方根．
（2）符号 a 只有当 a≥0 时有意，a＜0 时无意义．
（3）当 a≥0 时， a 是一个非负数，它与a2 、a 统称为实数的“三大非负性”
（二）、立方根
（C）242
（D）88
,,
中,无理数的个数是
(A)1 个
(B)2 个
(C)3 个
(D)4 个
9．下列四个结论：（1）绝对值等于它本身的实数只有零；（2）相反数等于它本身的实数只
有零；（3）倒数等于它本身的实数只有 1；（4）算术平方根等于它本身的实数只有 1。其中
正确结论的个数是
（A）0 个 （B）1 个
（3） 3 1 35 3 8 2
27
27 3
例 6 若数m 的平方根 5 a 是 1
和a 1 9 ，求m 的值
解：由题意，知本题分两种情况来求解，
当m 0 时，其平方根为一对互为相反数，
则有： 5 a 1 a 1 9 0 故a ， 3
则，5a 1 16 ，a 19 16，故m 162 256 当m 0 时，其方根是 0，
16
（A）3 是 9 的算术平方 9 根，3 即 =
(B)4 和－4 都是 16 的平方根，1 6即
= 4
（C）－3 是 9 的平方根，即 (2) 2
3．
x 的1 算术平方根是
=－3
2
（A）2
(B) 22
(C)
(D)4 是 16 的负的平方根，即
2
(D)
=－4
4．如果 （A）81
=3，则(x+1) 等于
数的开方讲义
数的开方【教学内容】第十六章数的开方16.1 平方根16.2 立方根【知识点精析】一、平方根1．平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，即如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作x=a±，其中a叫被开方数。
2．平方根的性质（1）任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a 的平方根是a+与－a恰是一对相反数；±，其中a（2）零的平方根是零，即00=；（3）负数没有平方根。
3．算术平方根正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
4．开平方求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
5．求一个正数的平方根的基本方法和基本步骤（1）明确（或易求出）所要求的正数是哪一个数的平方的。
①先写出是哪个数的平方等于已知的数；②再求出这个正数的算术平方根；③最后求出这个正数的平方根。
（2）不易求出所要求的正数是哪个数的平方的。
方法1：利用数学用表的平方根表查。
方法2：利用计算器计算。
6．注意的问题（1）负数没有平方根；（2）a的非负性，即当a≥0时，a≥0，非负数的算术平方根一定是非负数；（3）用计算器求一个正数的平方根应注意精确度，或根据精确度取近似数。
二、立方根1．立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作：x=3a，其中a叫做被开方数，3叫做根指数。
2．立方根的性质任何一个正数的立方根是一个正数，即a>0时，3a>0；任何一个负数的立方根是一个负数，即a<0时，3a<0；零的立方根仍是零，即a=0时，3a=0。
3．开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方。
开立方与立方互为逆运算。
4．求一个数的立方根的基本方法和基本步聚（1）明确（或易求出）所要求的数是哪一个数的立方的；①先指出所要求立方根的那个数是哪个数的立方；②根据立方根的定义，求出这个数的立方根。
（2）不易求出所要求的那个数是哪个数的立方的：①利用数学用表中的立方根表查；②利用计算器计算。
无理数、平方根与立方根讲义
一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a ,那么这个数x 就叫做a 的立方根（cube root, 也叫做三次方根）．如：2是8的立方根，的立方根是－－273，0是0的立方根。
注：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
二、同步题型分析1、说说谁“有理”，谁“无理” 以下各数：－1,23,3.14,－π,3.⋅3,0,2,27,24,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1)其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________. 在上面的有理数中，分数有______________，整数有______________. 答案：有理数：－1，23，3.14,3.3,0,2,27,24. 无理数：－π,－0.2020020002…… 分数：23，3.3,27整数：－1，0，2，242、在“()05，3.14 ，-π，()23，0.123334， 0.212212221…”这6个数中，无理数的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3、下列语句正确的是（ ） A.3.78788788878888是无理数B.无理数分正无理数、零、负无理数C.无限小数不能化成分数D.无限不循环小数是无理数4、在直角△ABC 中，△C =90°，AC =23，BC =2，则AB 为（ ）A.整数B.分数C.无理数D.不能确定答案：B5、面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数.(填“是”或“不是”) 答案：不是，是）解：解：()28=±64±=即()2711=±）解：解：解：利用平方根来解下列方程．（2x-1）2-169=0变式训练：、下列计算正确的是（=±2 B ()0.02±0.0004±即()225=±11的平方根是（2）∵（x ﹣1）3=8， ∴x ﹣1=2， ∴x=3． 点评： 本题考查了学生开平方、立方的能力，也考查了解方程的方法，比较容易解答．变式训练1．求下列各式中的x ：（1）4x 2=9； （2）1﹣（x+1）3=1001． 解答：解：（1）∵x 2=， ∴；（2）∵1﹣（x+1）3=1001，∴（x+1）3=﹣1000，∴x+1=﹣10，∴=﹣11．1、判断题(1)－0.01是0.1的平方根.………………………………………………………… …( )(2)－52的平方根为－5.……………………………………………………………… （ ） (3)0和负数没有平方根.……………………………………………………………… （ ）（4）因为161的平方根是±41,所以161=±41.……………………………………… （ ）（5）正数的平方根有两个，它们是互为相反数.…………………………………… （ ） 2、选择题（1）下列各数中没有平方根的数是（ ）A.－(－2)3B.3－3C.aD.－（a 2+1）(2)2a 等于（ ）A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对（3）如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ）A.a 2=±mB.a =±m2C.a =±mD.±a =±m(4)若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ）A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a3、填空题(1)若9x 2－49=0,则x =________.(2)若12 x 有意义，则x 范围是________.(3)已知｜x －4｜+y x +2=0,那么x =________,y =________.(4)如果a ＜0,那么2a =________,(a -)2=________.4、已知一个正方形ABCD 的面积是4a 2 cm 2,点E 、F 、G 、H 分别为正方形ABCD 各边的中点，依次连结E 、F 、G 、H 得一个正方形.(1)求这个正方形的边长.(2)求当a =2 cm 时，正方形EFGH 的边长大约是多少厘米？（精确到0.1cm ）图1参考答案1.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(1)D (2)D (3)D (4)B3.(1)±37 (2)x ≥－21(3)x =4,y =－8 (4)－a ,－a 4.(1)2a cm (2)2.8 cm【巩固练习】1、算术平方根等于它本身的数是（ ）A 、 1和0B 、0C 、1D 、 1±和0 2、2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±6 3、满足53<<-x 的整数x 是（ ） A 、3,2,1,0,1,2-- B 、3,2,1,0,1- C 、3,2,1,0,1,2-- D 、2,1,0,1-4、下列说法错误的是（ ）A. 1的平方根是1B. –1的立方根是－1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根5、已知x ，y 是实数，且34x ++（y-3）2=0，则xy 的值是（ ） A ．4 B ．-4 C ．94 D ．-946、下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3B ．16的算术平方根是±2 C. 16的算术平方根是4 D. 16的平方根是±27、下列说法中，正确的是（ ）[来源:学&科&网Z&X&X&K]A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，18、已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm ，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm 3,求第二个纸盒的棱长. 答案：7cm。
讲解详细讲解平方根和立方根的概念运算规则和注意事项解答学生提出的疑问
讲解详细讲解平方根和立方根的概念运算规则和注意事项解答学生提出的疑问平方根和立方根是数学中重要的概念，它们在各个学科领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将详细讲解平方根和立方根的概念、运算规则以及需要注意的事项，以解答学生们提出的疑问。
一、平方根的概念和运算规则平方根是指一个数的平方等于该数的非负根。
即，对于任意非负数x和非负数a，若a的平方等于x，那么我们称a是x的平方根。
用符号表示，可以写作√x=a。
平方根的运算规则如下：1. 非负数的平方根是唯一的。
即，一个非负数x只有一个非负平方根。
2. 负数没有实数平方根。
平方根的定义要求平方根是非负的，因此负数没有实数平方根。
3. 平方根运算具有交换律和结合律。
即，对于任意非负数x和y，有√(x*y)=√x*√y和√(x/y)=√x/√y。
4. 平方根运算满足开方运算法则。
即，对于任意正数x和正整数n，平方根运算和幂运算可以互相转换，即√(x^n)=(√x)^n。
二、立方根的概念和运算规则立方根是指一个数的立方等于该数的非负根。
即，对于任意数值x 和非负数a，若a的立方等于x，那么我们称a是x的立方根。
用符号表示，可以写作³√x=a。
立方根的运算规则如下：1. 实数的立方根是唯一的。
即，一个实数x只有一个实立方根。
2. 负数的立方根是存在的。
与平方根不同，负数是存在实数立方根的，例如-8的立方根是-2，因为(-2)^3=-8。
3. 立方根运算具有交换律和结合律。
即，对于任意数值x和y，有³√(x*y)=³√x*³√y和³√(x/y)=³√x/³√y。
4. 立方根运算也满足开方运算法则。
即，对于任意正数x和正整数n，立方根运算和幂运算可以互相转换，即³√(x^n)=(³√x)^n。
三、注意事项在计算平方根和立方根时，需要注意以下几点：1. 平方根和立方根的符号。
平方根是指非负根，因此其结果为正数或零。
尖子生培优教材数学七年级上第四讲。平方根与立方根讲义及答案
尖子生培优教材数学七年级上第四讲。
平方根与立方根讲义及答案第四讲：平方根与立方根知识导引：平方根和立方根的概念在数学中起到了十分重要的作用。
这些概念是通过逆运算来建立的，并且有多种不同的情况。
因此，理解这些概念的最好方法是从平方和立方的概念开始。
此外，还应该学会使用平方根、立方根等知识去解决一些简单的实际问题。
1.有关平方根：1) 一个正数有正负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
2) 算术平方根a的双重非负性：a≥0；a≥0.3) a的三层含义：开方的运算符号，表示对a进行开方运算；特征符号，表示a的算术平方根；表示一种新的数，是开不尽方的数（即无理数）的表示形式。
2.有关立方根：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
因此，任何数都有立方根。
3.实数的几种非负形式：1) a≥0（a为实数）；2) a < 0，|a|≥0（a为实数）。
4.算术平方根的主要性质：1) (√a)²=a；2) a≥0，√(a²)=a；3) ab≥0，√(ab)=√a·√b（a≥0，b≥0）；4) a≥0，b>0，(√a/√b)²=a/b。
典例精析：例1：填空题：1) (-3)的算术平方根是______。
2) 平方根等于它本身的数是______。
3) 和数轴上的点一一对应的数是______。
例1-1：下列说法正确的有：(填入相应的序号)。
①-8是64的平方根；②4的算术平方根是2；③任何数都有立方根；④6根2是2；⑤根是±8；⑥9=±3.例1-2：已知x+2+y-3+(z+1)²=______，求x+y+z的平方根。
例2：比较大小：1) -23与-32.2) 1/2，x，x，x(<x<1)。
例2-1：设a=3-2，b=2-3，c=3-2，则a、b、c的大小关系是( )。
A、a>b>cB、a>c>bC、c>b>aD、b>c>a例3：观察下列等式：32/22=23，33=33=43，34.可得出一般规律是______。
平方根与算术平方根立方根无理数PPT课件
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个
正数的算术平方根只有一个。
（3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示
第9页/共32页
立方根：
1. 定义:
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a， 那么这个数x就叫做a的立方根．(也叫做三次方 根) 。
2.表示方法：
第10页/共32页
什么叫做开平方？那开立方呢？
无理数： 无限不循环小数
含有 ～ 的数
有规律但不循环的数
第25页/共32页
按性质分类： 实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
负实数
正实数
0
第26页/共32页
你能在数轴上找到表示 的点吗？
2
小结：
有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点 表示.
每一个无理数都能在数轴上表示出来. 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来， 数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的 点是一一对应的。
第21页/共32页
思考：
2 介于哪两个整数之间？你是根据什么考虑的？
A
1
2
B 4D
1
2
2C
1.42 __<__( 2)2 __<__1.52
1.4 ___<_ 2 __<__1.5
1.412 _<___( 2)2 __<__1.42 2
1.41 ___<_ 2 __<__1.42
1.414 2 _<___( 2)2 _<___1.415 2
第28页/共32页
12.1《平方根与立方根》ppt课件
自我评一评:
内 容
第1~4项内容，只要在等级栏里打“√ ” 。
自 我 评 价 需加油 良好
优
1、能理解平方根、算术平方根和 立方根的概念 2、会用乘方与开方的关系来求平 方根和算术平方根及立方根 3、能把自己的想法与他人分享 4、能认真倾听他人的想法、见解
5、本节课你的独特见解
6、本节课你还有疑惑的问题 7、你对老师的评价和建议
２、-27的立方根是多少？
2、立方根的表示方法
一个数a的立方根，用“ a ”表示（读作 “三次根号a”；其中a叫做被开方数。
3、求下列各数的立方根：(运用上述符号口答) （1）27； （2）-27； （3）0； （4） 0.125； （5）216； （6）64；（7）5； （8）1/125 （9）-0.064
3、我们把正数的正平方根和零的平方根，统 称为算术平方根。一个正数a（a≥0）的算术 平方根记作： a
二、平方根的性质：
2 1、一个正数的平方根有＿＿个，它们的关系 互为相反数 是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 1 0 2、0的平方根有＿＿个，它是＿＿； 没有 3、负数＿＿＿（填“有”或“没有”）平方 根． 1和0 4、一个数算术平方根等于本身的数有______ 三、开平方的概念：
3
六、思考：
我们在有理数里我们可以很快找到25的算术平 方根，但是有些找起来很困难，例如：1024的 算术平方根是多少？另外前的5的算术平方根是 多少？ 我们可以利用我 们手上的计算器 来解决
计算器的使用
1、用计算器求下列各数的算术平方根： （1）2809；（2）0.0529；（3）5； 例：利用计算器键入： “ ”、 “2” 、“8”、“0”、“9”、“=” 2、用计算器求下列各数立方根: （1）4913；（2）25； 例：利用计算器键入： “3”、 “SHIFT”、“ “=” ”、“4913”、
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平方根、立方根的运算
【知识回顾】
1、平方根：
2、立方根：
【例题精讲】
1、基础知识题
1、若a x =2，则（ ）
A 、x>0
B 、x ≥0
C 、a>0
D 、a ≥0
2、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ）
A 、大于0
B 、等于0
C 、小于0
D 、不能确定
3、一个正方形的边长为a ，面积为b ，则（ ）
A 、a 是b 的平方根
B 、a 是b 的的算术平方根
C 、b a ±=
D 、a b =
4、若a ≥0，则24a 的算术平方根是（ ）
A 、2a
B 、±2a
C 、a 2
D 、| 2a |
5、若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）
A 、0<a<1
B 、a>0
C 、a<1
D 、a>1
6、若n 为正整数，则121+-n 等于（ ）
A 、-1
B 、1
C 、±1
D 、2n+1
7、若a<0，则a
a 22
等于（ ） A 、21 B 、2
1- C 、±21 D 、0
8a 是正数，如果a 的值扩大100 ）
A 、扩大100倍；
B 、缩小100倍；
C 、扩大10倍；
D 、缩小10倍；
9、2008最接近的一个是（ ）
A ．43；
B 、44；
C 、45；
D 、46；
【变式练习】
1的平方根是 ，35
±是 的平方根．
2．在下列各数中0，254，21a +，31()3
--，2(5)--，222x x ++，|1|a -，||1a -根的个数是 个．
3， 144的算术平方根是 ，16的平方根是 ；
4、327= ， 64-的立方根是 ；
5、7的平方根为 ，21.1= ；
6、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；
7、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；
8、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；
9、7在整数 和整数 之间，5在整数 和整数 之间。
10、121的算术平方根是是 ，81
16的算术平方根是 。
11、 的算术平方根是它本身。
的平方根是它本身。
解方程
解方程步骤：
1、移项：把还有未知数的式子放到等式的左边，把常数项放到等式的右边；
2、去括号：方法通常为开平方；
3、未知数系数化为1.
【例题精讲】
1、解方程：
（1）0324)1(2=--x （2）125－83x ＝0
（3）264(3)90x --= （4）2(41)225x -=
（5）31
(1)802x -+=
（6）3125(2)343x -=-
（7）8)12(3-=-x
（8）4(x+1)2=8
【同步练习】
1、9x 2-256=0 2
、4(2x-1)2=25
3、2(23)2512x x -=- 4
、(2x-5)3=-27
5、(2x+1)2 -16=0
2、（1）|1（2
（3）（4）
化简求值【例题精讲】
112x
y
+
的值．
2．已知a x =M 的立方根，y =x 的相反数，且37M a =-，请你求出x 的平方根．
3、已知：ｘ－2的平方根是±2, 2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．
4．已知一个正方体的体积是10002cm ，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，截去后余下的体积是4882cm ，问截去的每个小正方体的棱长是多少？
5、通过计算不难知道：322322
=，833833=，15
441544=，则按此规律，下一个式子是＿＿＿；
6、已知：3+-y x 与1-+y x 互为相反数，求x+y 的算术平方根；
7、已知一个正数的平方根是2a-1和a-5,求a 的值。
8、实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图，且a b =
，化简a a b ++．
9、已知一个正数的平方根是3x-2 和 5x+6，则这个数是 。
【课后作业】
一、选择题（每小题4分，共16分）
1． 有下列说法中正确的说法的个数是（ ）
（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数；
（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示。
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．()20.7-的平方根是（ ）
A ．0.7-
B ．0.7±
C ．0.7
D ．0.49
3
．若，则a 的值是（ ） A ．78 B ．78- C ．78± D ．343512
- 4．若225a =，3b =，则a b +=（ ）
A ．-8
B ．±8
C ．±2
D ．±8或±2
二、填空题（每小题3分，共18分）
5．在-52，3π 3.14，01-，21中，其中： 整数有 ；无理数有 ；有理数有 。
62-的相反数是 ；绝对值是 。
7．在数轴上表示的点离原点的距离是 。
8．4． -7的平方的算术平方根是 ，3的平方的平方根是 。
910.1== 。
10．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是 。
三、解答题（本大题共66分） 11．计算（每小题5分，共20分）
（1） （2）-0. 01）；
（3； （4）)11-（保留三位有效数字）。
12．求下列各式中的x （每小题5分，共10分） （1）x 2 = 17； （2）x 2 -
12149 = 0。
13．比较大小，并说理（每小题5分，共10分）
（1与6；（2）1与
-。
2
14．写出所有适合下列条件的数（每小题5分，共10分）
（1）大于的所有整数；（2的所有整数。
15．（本题5分）
+-
13
16．（本题5分）
一个正数x的平方根是2a-3与5-a，则a是多少？
17．（本题6分）观察
====
===。