上海市七宝中学2018-2019学年高一上学期12月月考数学试卷及答案
2019-2020学年上海市闵行区七宝中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)
本题考查了函数奇偶性的应用，需熟记奇偶性的定义，属于基础题.
9．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 时， ，则 时， ________
【答案】
【解析】设 ，可得 ，代入 时表达式，利用 即可求解.
【详解】
设 ，则 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，所以 .
故答案为：
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性求解析式，需掌握奇偶性的定义，属于基础题.
【详解】
当 时， ， ；
当 时， 是减函数， ，要满足 ，此时应满足 ，即
故答案为：
【点睛】
本题考查根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题
16．已知函数 满足 ，则 的最大值是________
【答案】
【解析】令 ， ， ，解不等式可得 ，进而得出答案.
【详解】
【答案】
【解析】令 ，使 在区间 上有根，等价于 在区间 上有交点，在区间 上作出 与 的函数图像，利用数形结合即可求解.
【详解】
令 ，
根据题意可知 在区间 上有根，
即 在区间 上有解，
令 ， ，在区间 上分别作出两函数的图像，如图：
在区间 上最大值为 ；最小值为 ，
两函数有交点，则 ，
所以实数 的取值范围是
【详解】
恒成立，
函数关于 对称，
函数 在 上单调递增，
函数在 单调递减，
关于 的不等式 ，
，
解得 ，
即 或 ，解得 ，
故不等式的解集为 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查解抽象函数的不等式，考查可对称性的应用，考查了转化与化归的思想，属于中档题.
13．已知函数 在区间 上有零点，则实数 的取值范围是________
上海市七宝中学2018-2019学年高一上学期12月月考数学试题(解析版)
对于 ，对任意 ，都有 ，不满足函数单调性定义中的任意性，不符合题意；
对于 ，当 为常数函数时，对任意 ，都有 ，不是增函数，不符合题意；
对于 ，对任意 ，设 ，若 ，必有 ，则函数在 上为增函数，符合题意；
【答案】
【解析】
【分析】
函数 有四个不同的零点等价于 与 的图象有四个交点，将两个函数的图象在同一坐标系画出，即可观察出 的取值范围.
【详解】函数 有四个不同的零点等价于 与 的图象有四个交点，
的图象如图所示：
由图可知： .
故答案为 .
【点睛】本题考查函数的零点与方程的根之间的等价关系，考查利用数形结合思想解决问题，注意作图过程中利用偶函数的性质，画出关于 轴对称的函数的图象.
A.28B.100C.34D.36
【答案】D
【解析】
分析】
取x∈（2m，2m+1），则 ∈（1，2]；f（ ）=2﹣ ，从而f（x）=2m+1﹣x，根据f（2020）=f（a）进行化简，设a∈（2m，2m+1）则f（a）=2m+1﹣a=28求出a的取值范围．
【详解】取x∈（2m，2m+1），则 ∈（1Байду номын сангаас2]；f（ ）=2﹣ ，从而
（1）指出 在 上的单调性，并证明你的结论；
（2）求 的反函数 ．
【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2） ， ．
【解析】
【分析】
（1）利用分子分离法把函数化成 ，从而得到函数 在 上单调递减，再利用定义证明；
（2）反解出 ，再对调 与 ，同时标上反函数的定义域．
2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期分班考试数学试题
2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期分班考试数学试题一选择题1．已知a>b>0则下列不等式不一定成立的是（）A.ab>bcB. a+c>b+cC. 1a<1bD. ac>bc2.若不等式组2113xx a-⎧⎪⎨⎪⎩ff的解为x>2，则a的取值范围是（)A. a>2B. a≥2C. a<2 D a≤23．若M（-12，y1）、N（-14，y2）、P（12，y3）三点都在函数(0)ky kx=p的图像上，则y1、y2、y3大小关系为A. y2> y1> y3B. y2> y3> y1C. y3> y1> y2D. y3> y2> y14．已知y= 2x2的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式为（)A. y=2(x-2)2+2B. y=2(x+2)2-2C. y=2(x-2)2-2D. y=2(x+2)2+25．中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在20个商标中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一张苦脸，若翻到它就不得奖，参加这个游戏的观众有三次翻牌的机会，某观众前两次翻牌均得若干奖金，如果翻过的牌不能再翻，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率为（)A.14B.16C.15D.3206．将水匀速注入一个容器，时间（t)与容器水位（h)的关系如图，则容器形状是（) 二、填空题7.2(3)0n-=，则2009(3)m n+-=8．已知a:b:c=4:5:7,a + b + c = 240，则2b-a+c =9．将一张坐标纸折叠一次，使得点（0,2)与(-2,0)重合，则点（-12，0)与点＿重合10．对于整数a、b、c、d，符号a bd c表示运算ac bd-，已知1134bdp p，则b+d的值为11．定义“＊”:A ＊B (1)(1)X Y A B A B =++++，若1*2=3,2*3= 4，则3*4= 12．分式方程133x m x x +=--有增根，则m= 13．如图是一个有规律排列的数表，请用含n 的代数式 (n 为正整数）表示数表中第n 行第n 列的数：14.已知a-b=b-c=35,a 2+b 2+c 2=1,则ab+bc+ca=15.若2610x x -+=,则2211x x +-= 16．如图，AB//CD, ∠BAP=600-α, ∠APC=45+α, ∠PCD=300-α，则α=17．关于x 的一元二次方程mx 2-x +1=0有实根，则m 的取值范围是＿18．如图，点A. B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程长度是 .19．二次函数y = x 2- 2x -3与二轴两交点之间的距离为＿20．已知α、β是方程x 2- x -1=0的两个实数根，则代数式22(2)ααβ+-==_ 21．如图，在三角形纸片ABC 中，∠C=900, ∠A=300, AC=3，折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、 AC 分别相交于点E 和点D ，则折痕DE 的长为22．已知x 、y 、z 为实数，满足2623x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，那么x 2+y 2+z 2的最小值是三 解答题23.一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．24．如图，线段AB=5，点E在线段AB上，且AE=3, GB与以AE为半径的GA相交于点C,CE 的延长线交GB于点F.(1)当直线AC是GB的切线时，求证，BF⊥AB;(2）求EF:CE的值；(3）设EF = y,BF=x，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域．25．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB=1, OB=万，矩形ABOC绕点。
上海市七宝中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题(含解析) (1)
祝您成绩进步，生活愉快！12018-2019学年上海市七宝中学高一上学期数学期中考试注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题 1．如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是A ．B ．C ．D ．2．下列各组函数中，表示同一函数的是 A ．与B ．与C ．与D ．（）与（）3．已知，则“”是“”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题5．函数的定义域为________6．已知集合，，则________7．不等式的解集是________8．“若且，则”的否命题是__________________． 9．已知，则的取值范围是________10．若，，且，则的取值范围是_11．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____12．若函数，则________此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号13．若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__14．已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________15．当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________16．已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）三、解答题17．设集合，集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.18．练习册第21页的题“，，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），∴.学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明.19．某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.20．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.21．已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.2祝您成绩进步，生活愉快！2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期数学期中考试数学答案参考答案1．C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S ，属于集合S的补集,即是C U S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩(∁U S).故选：C．【点睛】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．2．D【解析】【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．【详解】对于A选项， f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故选D.【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属于基础题．3．A【解析】【分析】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论分别是什么．然后结合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件，看是否正确即可获得问题解答．【详解】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b ）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答的过程当中充分体现了不等式的知识、充要条件的判断问题以及问题转化的思想．4．D【解析】试题分析：对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故选D.考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.5．【解析】【分析】根据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式组，解得定义域. 【详解】由题意得，即定义域为【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力.6．【解析】【分析】求出集合A,B，即可得到.【详解】由题集合集合故.故答案为.【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题7．【解析】【详解】不等式，则故答案为.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．8．若或，则【解析】【分析】根据原题与否命题的关系，写出否命题即可.【详解】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【点睛】本题考查根据原命题写出否命题，属基础题.9．【解析】【分析】作出可行域，目标函数z=a-b 可化为b=a-z ，经平移直线可得结论．【详解】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．10．【解析】【分析】祝您成绩进步，生活愉快！对a进行分类讨论，根据A与B 的交集为空集确定出a 的范围即可．【详解】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．11．【解析】略12．【解析】【分析】设,求出的解析式，再将代入即可.【详解】设,则则即即答案为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，涉及换元和函数的性质，属中档题．13．【解析】【分析】关于的不等式在上恒成立，即求，将不等式式配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得的最小值．【详解】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a 的最小值为．故答案为．【点睛】本题考查函数的恒成立问题，以及应用基本不等式求最值．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法进行处理，转化成函数的最值问题．在应用基本不等式求最值的时候，要特别注意不等式取等号的条件．属于基础题．14．【解析】【分析】通过f（x）＞1和g（x）＜0，求出集合A、B，利用A∩B=∅，求出a的范围即可．【详解】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，故a 的取值范围是{a|a≤-2或-≤a＜0}．即答案为.【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．15．【解析】【分析】本题考查归纳推理，要先考查前几个不等式，总结出规律再研究推广后的式子中的p值【详解】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p 位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是理解归纳推理的规律--从所给的特例中总结出规律来，以之解决问题，归纳推理是一个很重要的思维方式，熟练应用归纳推理猜想，可以大大提高发现新问题的效率，解题时善用归纳推理，可以为一题多解指明探究的方向16．②③④【解析】【分析】利用a i +a j 与a j-a i两数中至少有一个属于A．即可判断出结论．【详解】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5，a5-a2=a4，a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a 4=2a3，即答案为②③④.【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．17．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由“”是“”的必要条件，得B⊆A，然后分，m＞三种情况讨论求解实数m的取值范围；祝您成绩进步，生活愉快！（2）把中只有一个整数，分，m＞时三种情况借助于两集合端点值间的关系列不等式求解实数m 的取值范围．【详解】(1)若“”是“”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；综上所述，所求m的取值范围是．(2)∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若(∁R A)∩B 中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m 当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是.【点睛】在集合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再结合数轴进行集合的运算，若端点位置不定时，要注意对端点的位置进行讨论求解，此题是中档题．18．(1)见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据题设例题证明过程，类比可得证明；（2）根据题设例题证明过程，类比可得证明；【详解】（1），∴，当且仅当时等号成立；（2）故.当且仅当时等号成立；【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查求函数的最值，属于中档题．19．（1），；（2）.【解析】【分析】（1）列出f（x）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论．【详解】（1）设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，；（2）因为定义域中函数在上单调递减，故.【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．20．(1) ，;(2)见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；（2）可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A中元素的个数，=1，求出x的值，从而求出集合A．【详解】（1）证明：若x ∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，；（2），，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；（3）由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．21．（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）代入利用基本不等式即可得出；（2），若，即方程没有实根或没有正实根，由此可求的取值范围；（3）由于b＞a＞0，可得＞＞0．由三角形的三边的大小关系可得对x＞0恒成立，结合即可得出．【详解】（1）。
2018-2019学年上海市七宝中学第一学期高一12月月考试卷(解析版)
上海市七宝中学2018-2019学年第一学期高一12月月考试卷一、选择题（本大题共4小题）1.已知是定义在上的函数，根据下列条件，可以断定是增函数的是A. 对任意，都有B. 对任意，都有C. 对任意，，且，都有D. 对任意，，且，都有【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，有函数，，对任意，都有，但函数为减函数，不符合题意；对于B，对任意，都有，不满足函数单调性的定义，不符合题意，对于C，当为常数函数时，对任意，，都有，不是增函数，不符合题意；对于D，对任意，，设，若，必有，则函数在上为增函数，符合题意；故选：D．根据题意，结合函数单调性的定义，依次分析选项，综合即可得答案．本题考查函数单调性的定义以及判断，关键是掌握函数单调性的定义，属于基础题．2.如果函数的反函数是，则函数反函数是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：由得，，故选：A．由得，，本题考查了反函数，属基础题．3.对于函数，下列命题：时，为奇函数；的图象关于中心对称；，时，方程只有一个实根；方程至多有两个实根，其中正确的个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】解：当时，，，为奇函数，即正确，由函数的图象是将上下平移个单位，又由得的图象关于点对称，则函数的图象关于点中心对称，即正确，，时，，为奇函数，且为单调增函数，当时，，即方程只有一个实根正确，即正确，方程至多有两个实根，错误，例：，，则方程的根为：0、1、，即错误．故选：C．时，，，为奇函数，由函数的图象是将上下平移个单位，又由得的图象关于点对称，则函数的图象关于点中心对称，，时，，为奇函数，且为单调增函数，当时，，即方程只有一个实根正确，例：，，则方程的根为：0、1、，本题考查了函数图象的平移，及函数的奇偶性，属中档题．4.已知函数满足：对任意，恒有成立；当时，若，则满足条件的最小的正实数a的值为A. 28B. 34C. 36D. 100【答案】C【解析】解：取，则；，从而，其中，，1，2，，，设则，，即，，满足条件的最小的正实数a是36．故选：C．取，则；，从而，根据进行化简，设则求出a的取值范围．本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了计算能力，分析问题解决问题的能力，转化与划归的思想，属于中档题．二、填空题（本大题共12小题）5.若幂函数是奇函数，则实数m的最小值是______．【答案】1【解析】解：幂函数是奇函数，是奇数，，实数m的最小值是1．故答案为：1．由幂函数是奇函数，得到m是奇数，再由，能求出实数m的最小值．本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.设，，则______．【答案】【解析】解：，；．故答案为：．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算．7.已知函数是奇函数，当时，，，则______．【答案】5【解析】解：函数是奇函数，而则将代入小于0的解析式得解得故答案为5先根据函数的奇偶性求出的值，然后将代入小于0的解析式，建立等量关系，解之即可．本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及待定系数法求函数解析式，属于基础题．8.已知为常数，，，则的最小值是______．【答案】【解析】解：，，则，当且仅当时，取最小值，故答案为：．由已知可得，，从而有利用基本不等式即可求解．本题主要考查了对数的运算性质及基本不等式的简单应用，属于基础试题9.若函数有四个不同的零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数有四个不同的零点等价于与的图象有四个交点，的图象如右：由图可知：故答案为函数有四个不同的零点等价于与的图象有四个交点，本题考查了函数的零点与方程的根的关系属中档题．10.如果对于任意实数x，表示不超过x的最大整数例如，，那么“”是“”的______条件．【答案】充分不必要【解析】解：令，，，，即，，推不出；；是的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题以简易逻辑为载体，考查了取整的性质，考查了推理能力，属中档题．11.若是定义域为R，周期为4的偶函数，在上单调递增，且，则在上的解集是______．【答案】【解析】解：根据题意，在上单调递增，且，则在上，，在上，，又由为偶函数，则在上，，在上，，又由函数是周期为4的周期函数，也是函数的对称轴，则在上，，在，，在区间和上，，在上，，且，则有；故答案为：．根据题意，由函数的单调性分析可得在上，，在上，，结合函数的奇偶性可得上，，在上，，结合函数的周期性可得在上，，在，，进而可得在区间和上，，在上，，又由且，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，关键是分析的符号．12.设为，的反函数，则的最大值为______．【答案】4【解析】解：由在上为增函数，得其值域为，可得在上为增函数，因此在上为增函数，的最大值为．故答案为：4．由在上为增函数可得其值域，得到在上为增函数，由函数的单调性求得的最大值．本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．13.已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据题意，函数在R上是增函数，则有，解可得：，即实数a的取值范围为；故答案为：．根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的单调性，关键是理解函数单调性的定义．14.设常数，则方程的解的个数组成的集合是______．【答案】【解析】解：由|x+a|•2x=2018，得：|x+a|=，设：f（x）=，g（x）=|x+a|，在直角坐标系中分别画f（x），g（x）的图象由图①②③可得解．故答案为：由|x+a|•2x=2018，得：|x+a|=，设：f（x）=，g（x）=|x+a|，在直角坐标系中分别画f（x），g（x）的图象观察可得解．本题考查了数形结合的思想方法和作图能力，属中档题15.知函数，，若恰有两个不同的实根，则实数k的取值范围是______．【答案】（，【解析】解：设t=+x（x＞0）则此函数在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，值域为[2，+∞），g（t）=t2+kt+9（t≥2）f（x）=0恰有两个不同的实根，即t2+kt+9=0在[2，+∞）只有一个解，即△=0（k＜0）或g（2）＜0，即k2-36=0（k＜0）或2k+13＜0，即k=-6或k＜-故答案为：（，设t=+x（x＞0），结合该函数性质可得：f（x）=0恰有两个不同的实根，即t2+kt+9=0在[2，+∞）只有一个解，即△=0（k＜0）或g（2）＜0，可得解．本题考查了函数零点与方程根的关系，属中档题16.已知函数对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，关于点对称，若是关于的“对称函数”且恒成立，则实数b的取值范围是______．【答案】【解析】解：由题意可得，由恒成立，可得在恒成立，设，由，均在递减，可得函数在递减，可得的最小值为，即有，即，可得b的范围是．故答案为：．由题意求得，即有在恒成立，设，判断单调性可得最小值，即可得到所求范围．本题考查新定义的理解和运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.设函数．指出在上的单调性，并证明你的结论；求的反函数．【答案】解：在上单调递减，证明：任取，，，，，，，在上单调递减，，，．【解析】减函数，用定义证明；反解出x，再对调x与，注意定义域．本题考查了反函数、函数单调性得定义属基础题．18.上海自贸区某种进口产品的关税税率为t，其市场价格单位：千元，与市场供应量单位：万件之间近似满足关系式：．请将p表示为关于x的函数，并根据下列条件计算：若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件试确定t的值；当时，经调查，市场需求量单位：万件与市场价格x近似满足关系式：为保证市场供应量不低于市场需求量，试求市场价格x的取值范围．【答案】解：由，得，，则，即；由，得，由，得，由指数函数的单调性可得，即．解得：．市场价格x的取值范围为不低于3千元，不超过9千元．【解析】由已知求得p，再由已知求得t；化对数式为指数式求得q，由可得关于x的指数不等式，求解得答案．本题考查根据实际问题选择函数模型，考查对数式与指数式的互化，训练了指数不等式的解法，是中档题．19.己知定义域为R的函数是奇函数．求函数的解析式，并判断函数的单调性无需证明；若对任意的，恒成立求实数k的取值范围．【答案】解：是奇函数，，解得．又由知，解得，．，，在上为减函数；是奇函数，不等式等价于，函数在上为减函数，由上式推得，即对一切有，从而判别式△ ，解得．【解析】由已知得，，由此能求出a，b，可得函数的解析式；利用导数判断、证明函数的单调性；根据函数的单调性，结合奇函数的性质把不等式转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．20.已知函数．若，求的解析式；求的值域，设，为实数，求在时的最大值；对中，若对的所有实数a及恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：由且，得，所以函数的定义域为，又；，由，由，得，令，则 ，， ， 由题意知 即为函数 ， 的最大值．注意到直线 是抛物线 的对称轴，因为 时，函数 ， 的图象是开口向下的抛物线的一段，若 ，即，则 ； 若 ，即 ，则 ； 若 ，即 ，则 ，综上有； 由 的解析式可得 时， ；时， ； 可得 ，由 对 对 恒成立，即要使 恒成立，，令 ，对所有的 ， 成立，只需 ，即有 或或 ， 解得m 的取值范围是 ，或 ．【解析】 由 且 可求得定义域，可得 的解析式； ，令 ，则 ，由此可转化为关于t 的二次函数，按照对称轴 与t 的范围 的位置关系分三种情况讨论，借助单调性即可求得其最大值；先由 求出函数 的最小值， 对 对 恒成立，即要使 恒成立，从而转化为关于t 的一次不等式，再根据一次函数的单调性可得不等式组，解出即可．本题考查函数恒成立问题，考查函数定义域、值域的求法，考查对问题的转化能力，恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．21. 已知函数 在区间 上的最大值为4，最小值为1．求实数a 、b 的值；记，若在上是单调函数，求实数k的取值范围；对于函数，用1，2，，n，将区间任意划分成n个小区间，若存在常数，使得和式对任意的划分恒成立，则称函数为上的有界变差函数记，试判断函数是否为在上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．参考公式：【答案】解：函数，因为，所以在区间上是增函数，又函数故在区间上的最大值为4，最小值为1，，即，解得，；由已知可得，，，若在上是单调函数，若，即，在递增；当，即，若在递增，只需在恒成立，可得的最小值，即有即；若在递减，只需在恒成立，可得的最大值，即有即．解得或；函数为上的有界变差函数．因为函数为递增，递减，上的单调递增函数，且对任意划分T：，有恒成立，且对任意划分T：，有恒成立，且对任意划分T：，有，恒成立，由可得，存在常数M，使得恒成立，M的最小值为6．【解析】由已知中在区间的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a，b的方程组，解得a，b的值；由的解析式可得的解析式，求得导数，讨论的符号，结合参数分离和单调性可得k的范围；根据有界变差函数的定义，我们先将区间进行划分，进而判断是否恒成立，进而得到结论．本题考查的知识点是函数恒成立问题，二次函数在闭区间上的最值，新定义，其中的关键是分析出函数的单调性，要用转化思想将其转化为恒成立问题，的关键是真正理解新定义的含义．。
七宝中学高一12月月考数学试卷
B. 对任意 x 0 ，都有 f ( x 1) f ( x) C. 对任意 x1 , x2 [0, ) ，且 x1 x2 ，都有 f ( x1 ) f ( x2 ) D. 对任意 x1 , x2 [0, ) ，且 x1 x2 ，都有
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 x1 x2
log 2 p . 1 t
（1）请将 p 表示为关于 x 的函数，并根据下列条件计算：若市场价格为 7 千元，则市场供 应量约为 2 万件，试确定 t 的值； （2）当 t
3 时，经调查，市场需求量 q （单位：万件）与市场价格 x 近似满足关系式： 2
x log 4 (
4 ) ，为保证市场供应量不低于市场需求量，试求市场价格 x 的取值范围. q2
20. 已知函数 f ( x) 1 x 1 x . （1）若 h( x) [ f ( x)]2 f 2 ( x) ，求 h( x) 的解析式； （2）求 f ( x) 的值域，设 F ( x) 的最大值 g (a) ； （3） 对 （2） 中 g (a) ， 若 m2 2 t m 求实数 m 的取值范围.
g ( x) k ，若 y h( x) 在 [1,2] 上时单调函数，求实数 k 的取值范围； x
（3）对于函数 y m( x) （ p x q ），用 xi （ i 0,1,2, , n ， p x0 x1 xn q ） 将区间 [ p, q] 任意划分成 n 个小区间， 若存在常数 M 0 ， 使得和式
h( x) g ( x) 恒成立，则实数 b 的取值范围是
二. 选择题 13. 已知 f ( x) 是定义在 [0, ) 上的函数，根据下列条件，可以断定 f ( x) 是增函数的是 （ ） A. 对任意 x 0 ，都有 f ( x) f (0)
上海市七宝中学2018_2019学年高一数学上学期期中试题(含解析)
������ +
������”除了用比较法证明外，还可
������ ������
以有如下证法： ������ + ������ +
Байду номын сангаас
������ +
������
≥
(
������ ������
+
������)
+
(
������ ������
+
������) ≥ 2 ������ + 2 ������（当且仅当������ = ������时等号成立），
{ { C．������(������) =
������ + 1 ������ ― 1
(������ (������
> ≤
0) 0)
与������(������)
=
������ + 1 ������ ― 1
(������ ≥ 0) (������ < 0)
D．������(������) = 2������（������ ∈ {1}）与������(������) = 2|������| （������ ∈ {1}） 3．已知������,������ ∈ ������，则“������2 + ������2 < 1”是“������������ + 1 > ������ + ������”的
【解析】
【分析】
本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论
≥
2，������
+
4 ������2
=
������ 2
【100所名校】上海市七宝中学2018--2019学年高一上学期数学期中考试+Word版含解析
析式，∴是同一函数 . 故选 D.
【点睛】 本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属于基础题．
3． A 【解析】 【分析】
本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论
分别是什么．然后结合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件，看是否正确即可获得问题
号 位
封座
密
号
不
场 考
2018-2019 学年上海市七宝中学
高一上学期数学期中考试
数学
注意事项：
1 ．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘
贴在答题卡上的指定位置。
2 ．选择题的作答：每小题选出答案后，用
2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
，且
，则 的取值范围是 _
的解集是 ，则实数 的取值范围是 ____
，则
________
在
上恒成立，则实数 的最小值是 __
14 ．已知函数
，
（
），若不存在实数 使得
和
同时成立，则 的取值范围是 ________
15 ．当
时，可以得到不等式
，
， ，由此可以推广为
，则 ________
16 ．已知数集
二、填空题
5．函数 6．已知集合 7．不等式
的定义域为 ________ ，
的解集是 ________
，则
________
8． “若
且
，则
9．已知
，则
10 ．若
，
11．若关于 的不等式
上海市重点高中七宝中学高一数学上学期12月月考试题.doc
2018学年七宝中学高一年级12月份月考试卷一、填空题 1. 若幂函数()*3m y xm -=∈N 是奇函数，则实数m 的最小值是____________．2. 设{}234,2x A x y x B y y ⎧⎫⎪⎪====⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B =____________．3. 已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，()2f x x ax =+，且()26f =，则实数a =____________．4. 已知log log 2a a x y +=（a 为常数，0,1a a >≠），则11x y+的最小值是____________． 5. 若函数()22f x x x a =--有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是____________． 6. 如果对于任意实数[],x x 表示不超过x 的最大整数．例如[][]3.23,0.61=-=-，那么“[][]x y =”是“1x y -<”的____________条件．7. 若()f x 是定义域为R ，周期为4的偶函数，在[]0,2上单调递增，且()10f =，则()0xf x >在[]13,7--上的解集是____________． 8. 设()1fx -为()[]22,0,22x xf x x -=+∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值是____________．9. 已知函数()()25,15,1x a x f x a x x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是____________．10. 设常数a ∈R ，则方程22018xx a +⋅=的解的个数组成的集合是A =____________． 11. 已知函数()()221111,0,f x x k x x x x ⎛⎫=++⋅++∈+∞ ⎪⎝⎭，若()0f x =恰有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．12. 已知函数()()y f x x =∈R ．对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点()()()(),,,x h x x g x 关于点()(),x f x 对称．若()h x 是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x <恒成立，则二、选择题13. 已知()f x 是定义在[)0,+∞上的函数，根据下列条件，可以断定()f x 是增函数的是（ ） A. 对任意0x >，都有()()0f x f > B. 对任意0x ≥，都有()()1f x f x +>C. 对任意[)12,0,x x ∈+∞，且12x x ≥，都有()()12f x f x ≥D. 对任意[)12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-14. 如果函数()(),y f x x y =∈R 的反函数是()()1,y f x x y -=∈R ，则函数()()11y f x x -=-∈R 反函数是（ ）A. ()()1y f x x =+∈RB. ()()1y f x x =-∈RC. ()()1y f x x =+∈RD. ()()1y f x x =-∈R15. 对于函数()f x x x px q =++，下列命题：①0q =时，()f x 为奇函数； ②()y f x =的图像关于()0,q 中心对称； ③0,0p q =>时，方程()0f x =只有一个实根； ④方程()0f x =至多有两个实根，其中正确的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 已知函数()f x 满足：①对任意()0,x ∈+∞，恒有()()22f x f x =成立； ②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-．若()()2020f a f =，则满足条件的最小正实数a 的值为（ ）三、解答题 17. 设函数()()132x f x x x +=>-． （1）指出()f x 在()3,+∞上的单调性，并证明你的结论； （2）求()f x 的反函数()1f x -．18. 上海自贸区某种进口产品的关税税率为t ，其市场价格x （单位：千元，0x >）与市场供应量p （单位：万件）之间近似满足关系式：()22log 51px t-=-． （1）请将p 表示为关于x 的函数，并根据下列条件计算：若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．试确定t 的值；（2）当32t =时，经调查，市场需求量q （单位：万件）与市场价格x 近似满足关系式：424log x q ⎛⎫= ⎪⎝⎭．为保证市场供应量不低于市场需求量，试求市场价格x 的取值范围．19. 已知定义域为R 的函数()122x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求函数()y f x =的解析式，并判断函数的单调性（无需证明）；（2）若对任意的t ∈R ，()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．20. 已知函数()f x = （1）若()()()22h x f x fx ==⎡⎤⎣⎦，求()h x 的解析式；（2）求()f x 的值域；设()()()222a F x f x f x ⎡⎤=⋅-+⎣⎦（a 为实数），求()F x 在0a <时的最大值()g a ；（3）对（2）中()g a，若()22m tm g a -+<对0a <的所有实数a 及[)1,1t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．21. 已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上的最大值为4，最小值为1．（1）求实数a 、b 的值；（2）记()()g x kh x x+=，若()y h x =在[]1,2上是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）对于函数()()y m x p x q =≤≤，用()010,1,2,,,i n x i n p x x x q ==<<<=将区间[],p q 任意划分成n 个小区间，若存在常数0M >，使得和式()()11ni i i m x m x M -=-≤∑对任意的划分恒成立，则称函数()m x 为[],p q 上的有界变差函数。
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. 与3.已知a，b R+，那么“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）4.函数的定义域为______5.已知集合，B={y|y=x2}，则A∩B=______6.不等式＞的解集是______7.“若a＞1且b＞2，则a+b＞3”的否命题是______8.已知-1＜a＜b＜1，则a-b的取值范围是______9.若A={x||x|＜a}，B={x|x＜-2}，且A∩B=∅，则a的取值范围是______10.若不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0的解集为R，则实数a的取值范围是______．11.若函数f（x-2）=x2-x+1，则f（2x+1）=______12.已知关于x的不等式2x+≥7在x（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为______．13.已知函数，g（x）=x2-3ax+2a2（a＜0），若不存在实数x使得f（x）＞1和g（x）＜0同时成立，则a的取值范围是______14.当x R+时，可以得到不等式，，…，由此可以推广为，则P=______15.已知数集A={a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3）具有性质P：对任意i、j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j-a i两数中至少有一个属于集合A，现给出以下四个命题：①数集{0，1，3，5，7}具有性质P；②数集{0，2，4，6，8}具有性质P；③若数集A具有性质P，则a1=0；④若数集A={a1，a2，…，a5}（0≤a1＜a2＜…＜a5）具有性质P，则a1+a3=2a2；其中真命题有______（填写序号）三、解答题（本大题共5小题，共72.0分）16.练习册第21页的题“a＞0，b＞0，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当a=b时等号成立），∴．学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若a＞0，b＞0，c＞0，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到n（n≥2）个正数a1、a2、…、a n-1、a n的情形，并证明．17.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：①y与10-x和x的乘积成正比；②当x=5时，y=100；③，其中t为常数，且，．（1）设y=f（x），求出f（x）的表达式，并求出y=f（x）的定义域；（2）求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．18.已知x＞0，设a=x2+2x+1，b=x2+7x+1，c=mx（m＞0，m为常数）．（1）求的最小值及相应的x的值；（2）设A={x|a-c=0}，若A∩R+=∅，求m的取值范围；（3）若对任意x＞0，以、、为三边长总能构成三角形，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是C I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故选：C．先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：A．f（x）=x的定义域为R，g（x）=的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；B.的定义域为{x|x≤-2，或x≥2}，的定义域为{x|x≥2}，定义域不同，不是同一函数；C.，f（0）=-1，，g（0）=1；（0，-1）是f（x）图象上的点，不在g（x）的图象上，不是同一函数；D．f（x）=2x（x{1}）表示点（1，2），g（x）=2x2（x{1}）表示点（1，2），函数图象相同，是同一函数．故选：D．通过求函数定义域，可判断出选项A，B都错误，根据f（x），g（x）的解析式看出，点（0，-1）在f（x）图象上，而不在g（x）的图象上，从而这两函数不是同一函数，只能选D．考查函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相同．3.【答案】A【解析】解：由题意可知：a，b R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故选：A．本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论并分别是什么．然后结合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件，看是否正确即可获得问题解答．本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答的过程当中充分体现了不等式的知识、充要条件的判断问题以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．4.【答案】[0，1）（1，2]【解析】解：由，解得0≤x≤2且x≠1．∴函数的定义域为[0，1）（1，2]．故答案为：[0，1）（1，2]．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5.【答案】[0，1]【解析】解：解1-x2≥0得，-1≤x≤1；∴A=[-1，1]；又x2≥0；∴B=[0，+∞）；∴A∩B=[0，1]．故答案为：[0，1]．可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．6.【答案】，【解析】解：∵，∴＞0，即＜0，解得：-＜x＜0，故不等式的解集是（-，0），故答案为：（-，0）移项，求出不等式的解集即可．本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．7.【答案】若a≤1或b≤2，则a+b≤3【解析】解：命题“若a＞1且b＞2，则a+b＞3”的否命题是“若a≤1或b≤2，则a+b≤3”，故答案为：若a≤1或b≤2，则a+b≤3根据四种命题的定义，结合原命题，可得其否命题．本题考查的知识点是四种命题，正确理解四种命题的定义，是解答的关键．8.【答案】（-2，0）【解析】解：∵-1＜a＜1，-1＜b＜1∴-1＜-b＜1，∴-1-1＜a-b＜1+1∴-2＜a-b＜2，又a＜b，∴a-b＜0故答案为：（-2，0）由b的范围得-b的范围，然后两个不等式同向相加．本题考查了不等关系与不等式．属基础题．9.【答案】（-∞，2]【解析】解：根据题意得，A={x|-a＜x＜a}；B={x|x＜-2}，且A∩B=∅，∴-a≥2，∴a≤-2，故答案为（-∞，2]．运用交集的定义可求得参数的取值范围．本题考查集合的交集和参数的取值范围．10.【答案】（-2，2]【解析】解：由题意，a=2时，不等式为-4＜0恒成立，满足题意，所以a=2成立；a≠2时，不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0的解集为R，等价于，解得-2＜a＜2；综上得到a的范围是（-2，2]；故答案为：（-2，2]．观察不等式，二次项系数为a-2，故讨论系数，得到不等式解集为R的a的范围．本题考查了不等式恒成立问题的加法；关键是注意讨论的二次项系数．11.【答案】4x2+10x+7【解析】解：令x-2=t，则x=t+2，∴f（t）=（t+2）2-（t+2）+1=t2+3t+3，∴f（2x+1）=（2x+1）2+3（2x+1）+3=4x2+10x+7，故答案为：4x2+10x+7．先换元令x-2=t，得x=t+2，求出f（t）后，将t换成2x+1即可．本题考查了函数解析的求解及换元法．属基础题．12.【答案】【解析】解：∵x＞a，∴x-a＞0，∴2x+=2（x-a）++2a≥2+2a=2a+4，即2a+4≥7，所以a≥，即a的最小值为当且仅当x=a+1时取等号．故答案为．将不等式配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件即可．本题考查不等式恒成立问题，合理利用基本不等式给解题带来“便捷”，关键要注意等号成立的条件，属于基础题．13.【答案】 ，，【解析】解：由f（x）＞1，得＞1，化简整理得＜0，解得-2＜x＜-1或2＜x＜3，即f（x）＞1的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为：B={x|2a＜x＜a，a＜0}，由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，故a的取值范围是{a|a≤-2或-≤a＜0}，故答案为：（-∞，-2][-，0）．通过f（x）＞1和g（x）＜0，求出集合A、B，利用A∩B=∅，求出a的范围即可．本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．14.【答案】n n【解析】解：∵x R+时可得到不等式，，…，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方∴p=n n故答案为：n n本题考查归纳推理，要先考查前几个不等式，总结出规律再研究推广后的式子中的p值．本题考查归纳推理，解题的关键是理解归纳推理的规律--从所给的特例中总结出规律来，以之解决问题，归纳推理是一个很重要的思维方式，熟练应用归纳推理猜想，可以大大提高发现新问题的效率，解题时善用归纳推理，可以为一题多解指明探究的方向．15.【答案】②③④【解析】解：①数集A={0，1，3，5，7}，由于7-5=2，7+5=12，2，12∉A，故不具有性质P；②数集A={0，2，4，6，8}，由于0，2，4，6，8构成等差数列，首项为0，公差为2，具有性质P；③若数集A具有性质P，可令i=j可得2a i与0两数中至少有一个属于集合A，当i=n时，2a n∉A，即有0A则a1=0正确；④若数集A={a1，a2，…，a5}（0≤a1＜a2＜…＜a5）具有性质P，由③可得a1=0，令j=n，i＞1，则∵“a i+a j与a j-a i两数中至少有一个属于A”，∴a i+a j不属于A，∴a n-a i属于A．令i=n-1，那么a n-a n-1是集合A中某项，a1不行，是0，a2可以．如果是a3或者a4，那么可知a n-a3=a n-1，那么a n-a2＞a n-a3=a n-1，只能是等于a n 了，矛盾．所以令i=n-1可以得到a n=a2+a n-1，即有a3=2a2，则a1+a3=2a2，故④正确．故答案为：②③④．由新定义考虑7-5=2，7+5=12不在数集中，可判断①；考虑A中的数构成等差数列，结合新定义可判断②；由i=j，结合新定义可判断③；j=n，i＞1，结合a1=0，以及新定义，推理可判断④．本题考查命题的真假判断，考查等差数列的定义通项公式、新定义，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】证明：（1）∵，∴，当且仅当a=b=c时等号成立；（2）∵+a2++a3+…++a1≥2a1+2a2+…+2a n-1+2a n，∴．当且仅当a1=a2=…=a n-1=a n时取等号【解析】（1）根据题设例题证明过程，类比b++c++a+可得证明，（2）根据题设例题证明过程，类比b++c++a+可得证明本题考查了基本不等式的应用，考查了不等式的证明和类比的思想，属于中档题17.【答案】解：（1）由题意可设y=k（10-x）x，∵当x=5时，y=100，∴k（10-5）×5=100，∴k=4，∴y=f（x）=4x（10-x），∵，t[，1]，∴x[0，]，（2）由（1）可知y=4x（10-x）=-4（x-5）2+100，∵x[0，]，t[，1]，令f（t）=，则f（t）=10•=10（）=10（1-），显然f（t）在[，1]上是单调递增，∵f（）=5，∴≥5，∴y=-（x-5）2+25，x（0，]，当x=5时，y max=25，因此售价y的最大值为25万元，此时的技术改造投入的资金为5万元【解析】（1）可设y=k（10-x）x，代值计算即可，再根据函数的性质求出定义域，（2）由（1）可知y=4x（10-x）=-4（x-5）2+100，即可求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）由已知得==（2x++9），∵x＞0，∴x+≥2，∴的最小值为，当x=1时取等号；（2）A={x|a-c=0}，即有A={x|x2+2x+1=mx}，由m＞0，x2+2x+1=（x+1）2≥0，可得x＞0，由m=x++2≥2+2=4，当且仅当x=1时，取得等号，又A∩R+=∅，可得m＜4，即m的范围是（-∞，4）；（3）∵b＞a＞0，∴＞＞0．∴ ＞＞，即＞＞对x＞0恒成立．∴＞＜对x＞0恒成立，∵+≥+=5（x=1取得等号），∴5＞，即m＜25．又∵-=≤=1，∴＞1，即m＞1．综上得1＜m＜25．【解析】（1）化简所求式子，运用基本不等式即可得到所求最小值和x的值；（2）由题意可得x＞0，运用基本不等式和A中无正数解，可得m的范围；（3）运用三角形的三边的关系和基本不等式，以及不等式恒成立问题解法，即可得到所求范围．本题考查了基本不等式、三角形的三边大小关系、恒成立问题等基础知识与基本技能方法，属于难题．第11页，共11页。
上海市七宝中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
上海市2018-2019学年七宝中学高一上学期数学期中考试一. 填空题1.函数的定义域为________【答案】【解析】【分析】根据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式组，解得定义域.【详解】由题意得，即定义域为【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力.2.已知集合，，则________【答案】【解析】【分析】求出集合A,B，即可得到.【详解】由题集合集合故.故答案为.【点睛】本题考查集合的交集运算，属基础题3.不等式的解集是________【答案】【解析】【详解】不等式，则故答案为.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．4.“若且，则”的否命题是__________________．【答案】若或，则【解析】【分析】根据原题与否命题的关系，写出否命题即可.【详解】“若且，则”的否命题是“若或，则”.即答案为：若或，则【点睛】本题考查根据原命题写出否命题，属基础题.5.已知，则的取值范围是________【答案】【解析】【分析】作出可行域，目标函数z=a-b可化为b=a-z，经平移直线可得结论．【详解】作出所对应的可行域，即（如图阴影），目标函数z=a-b可化为b=a-z，可看作斜率为1的直线，平移直线可知，当直线经过点A（1，-1）时，z取最小值-2，当直线经过点O（0，0）时，z取最大值0，∴a-b的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．6.若，，且，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】对a进行分类讨论，根据A与B的交集为空集确定出a的范围即可．【详解】由题，，且，当时，，则；当时，，则可得故的取值范围是.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是____【答案】【解析】略8.若函数，则________【答案】【解析】【分析】设,求出的解析式，再将代入即可.【详解】设,则则即即答案为.【点睛】本题考查函数解析式的求解，涉及换元和函数的性质，属中档题．9.若关于的不等式在上恒成立，则实数的最小值是__【答案】【解析】【分析】关于的不等式在上恒成立，即求，将不等式式配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得的最小值．【详解】∵关于的不等式在上恒成立，∴，∵x＞，∴，当且仅当，即时取等号，∴，∴，解得，，∴实数a的最小值为．故答案为．【点睛】本题考查函数的恒成立问题，以及应用基本不等式求最值．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法进行处理，转化成函数的最值问题．在应用基本不等式求最值的时候，要特别注意不等式取等号的条件．属于基础题．10.已知函数，（），若不存在实数使得和同时成立，则的取值范围是________【答案】【解析】【分析】通过f（x）＞1和g（x）＜0，求出集合A、B，利用A∩B=∅，求出a的范围即可．【详解】由f（x）＞1，得＞1，化简整理得，解得即的解集为A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2-3ax+2a2＜0，即（x-a）（x-2a）＜0，g（x）＜0的解集为B={x|2a＜x＜a，a＜0}．由题意A∩B=∅，因此a≤-2或-1≤2a＜0，故a的取值范围是{a|a≤-2或-≤a＜0}．即答案为.【点睛】本题考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，集合的交集运算，考查分析问题解决问题的能力．11.当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则________【答案】【解析】【分析】本题考查归纳推理，要先考查前几个不等式，总结出规律再研究推广后的式子中的p值【详解】∵x∈R+时可得到不等式，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方即答案为.【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是理解归纳推理的规律--从所给的特例中总结出规律来，以之解决问题，归纳推理是一个很重要的思维方式，熟练应用归纳推理猜想，可以大大提高发现新问题的效率，解题时善用归纳推理，可以为一题多解指明探究的方向12.已知数集（，）具有性质：对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，现给出以下四个命题：①数集具有性质；②数集具有性质；③若数集具有性质，则；④若数集（）具有性质，则；其中真命题有________（填写序号）【答案】②③④【解析】【分析】利用a i+a j与a j-a i两数中至少有一个属于A．即可判断出结论．【详解】①数集中，，故数集不具有性质；②数集满足对任意、（），与两数中至少有一个属于集合，故数集具有性质；③若数列A具有性质P，则a n+a n=2a n与a n-a n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，∵0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3，而2a n不是该数列中的项，∴0是该数列中的项，∴a1=0；故③正确；④当 n=5时，取j=5，当i≥2时，a i+a5＞a5，由A具有性质P，a5-a i∈A，又i=1时，a5-a1∈A，∴a5-a i∈A，i=1，2，3，4，5∵0=a1＜a2＜a3＜a4＜a5，∴a5-a1＞a5-a2＞a5-a3＞a5-a4＞a5-a5=0，则a5-a1=a5，a5-a2=a4，a5-a3=a3，从而可得a2+a4=a5，a5=2a3，故a2+a4=2a3，即答案为②③④.【点睛】本题考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题．二. 选择题13.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P的子集，但不属于集合S，属于集合S的补集，然后用关系式表示出来即可．【详解】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集,即是C U S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩(∁U S).故选：C．【点睛】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．14.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【解析】【分析】若两个函数是同一个函数，则函数的定义域以及函数的对以关系都得相同，所以只要逐一判断每个选项中定义域和对应关系是否都相同即可．【详解】对于A选项， f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故选D.【点睛】本题主要考查了函数三要素的判断，只有三要素都相同，两函数才为同一函数，属于基础题．15.已知，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】【分析】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答时，要先判断准条件和结论分别是什么．然后结合不等式的知识分别由条件推结论和由结论推条件，看是否正确即可获得问题解答．【详解】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查的是必要条件、充分条件与充要条件的判断问题．在解答的过程当中充分体现了不等式的知识、充要条件的判断问题以及问题转化的思想．16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】试题分析：对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故选D.考点：1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.【此处有视频，请去附件查看】三. 解答题17.设集合，集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由“”是“”的必要条件，得B⊆A，然后分，m＞三种情况讨论求解实数m的取值范围；（2）把中只有一个整数，分，m＞时三种情况借助于两集合端点值间的关系列不等式求解实数m的取值范围．【详解】(1)若“”是“”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；综上所述，所求m的取值范围是．(2)∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，若(∁R A)∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m的取值范围是.【点睛】在集合运算中，不等式的解集、函数的定义域、函数的值域问题，能解的先解出具体的实数范围，再结合数轴进行集合的运算，若端点位置不定时，要注意对端点的位置进行讨论求解，此题是中档题．18.练习册第21页的题“，，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），∴.学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据题设例题证明过程，类比可得证明；（2）根据题设例题证明过程，类比可得证明；【详解】（1），∴，当且仅当时等号成立；（2）故.当且仅当时等号成立；【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查不等式的证明，考查求函数的最值，属于中档题．19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：① 与和的乘积成正比；② 当时，；③，其中为常数，且.（1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）列出f（x）的表达式，求函数的定义域时，要注意条件③的限制性．（2）本题为含参数的二次函数在特定区间上求最值，结合二次函数的图象及单调性解决，注意分类讨论．【详解】（1）设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，；（2）因为定义域中函数在上单调递减，故.【点睛】本题考查函数的应用问题，函数的解析式、二次函数的最值及分类讨论思想，牵扯字母太多，容易出错．20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】(1) ，;(2)见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据集合的互异性进行求解，注意条件2∈A，把2代入进行验证；（2）可以假设A为单元素集合，求出其等价条件，从而进行判断；（3）先求出集合A中元素的个数，=1，求出x的值，从而求出集合A．【详解】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，；（2），，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合；（3）由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【点睛】本题考查了元素和集合的关系，考查集合的含义，分类讨论思想，是一道中档题．21.已知，设，，（，为常数）.（1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）代入利用基本不等式即可得出；（2），若，即方程没有实根或没有正实根，由此可求的取值范围；（3）由于b＞a＞0，可得＞＞0．由三角形的三边的大小关系可得对x＞0恒成立，结合即可得出．【详解】（1）。
上海市七宝中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题
………○学………○绝密★启用前上海市七宝中学2018-2019学年高三上学期12月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．若直线l 的一个法向量(3,1)n =r，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为（ ）A ．(1,3);arctan 3d α==rB ．(1,3);arctan(3)d α=-=-rC ．(1,3);arctan 3d απ==-rD ．(1,3);arctan 3d απ=-=-r【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题设可知直线的一个方向向量是(1,3)d =-r,其斜率,即,故,应选D ．考点：直线的法向量和反正切函数． 2．“2sin cos 1x x =+”是“1tan 22x =”的（ ） A ．必要非充分条件 B ．充分非必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】试卷第2页，总19页【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合三角函数的关系式进行判断即可． 【详解】解：由1tan 22x =，得2sin2sin cos1sin 222tan 221cos cos 222x x xx xx x x cos====+即2sin 1cos x x =+成立，即必要性成立当x π=时，满足2sin cos 1x x =+但tan2x无意义，即充分性不成立， 则“2sin cos 1x x =+”是“1tan 22x =”的必要不充分条件， 故选：A 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的关系式是解决本题的关键．3．已知向量a b c r r r 、、满足0a b c ++=r r r r ，且222a b c r r r ＞＞，则a b b c c a r r r r r r g g g 、、中的最小值是（ ） A ．a b r rg B ．b c r rgC ．c a r rgD ．不能确定【答案】A 【解析】 【分析】根据零向量与任何向量的数量积为零，得到关于a b b c c a r r r r r rg g g 、、的关系式，再利用222a b c r r r ＞＞，的到不等式，即可得到答案。
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷一.填空题1．函数f（x）＝的定义域为．2．已知集合，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝3．不等式＞2的解集是4．“若a＞1且b＞2，则a+b＞3”的否命题是5．已知﹣1＜a＜b＜1，则a﹣b的取值范围是6．若A＝{x||x|＜a}，B＝{x|x＜﹣2}，且A∩B＝∅，则a的取值范围是7．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为R，则实数a的取值范围是．8．若函数f（x﹣2）＝x2﹣x+1，则f（2x+1）＝9．已知关于x的不等式2x+≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为．10．已知函数，g（x）＝x2﹣3ax+2a2（a＜0），若不存在实数x使得f（x）＞1和g（x）＜0同时成立，则a的取值范围是11．当x∈R+时，可以得到不等式，，…，由此可以推广为，则P＝12．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}（0≤a1＜a2＜…＜a n，n≥3）具有性质P：对任意i、j（1≤i≤j≤n），a j+a i与a j﹣a i两数中至少有一个属于集合A，现给出以下四个命题：①数集{0，1，3，5，7}具有性质P；②数集{0，2，4，6，8}具有性质P；③若数集A具有性质P，则a1＝0；④若数集A＝{a1，a2，…，a5}（0≤a1＜a2＜…＜a5）具有性质P，则a1+a3＝2a2；其中真命题有（填写序号）二.选择题13．如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．（M∩P）∩S B．（M∩P）∪S C．（M∩P）∩∁I S D．（M∩P）∪∁I S14．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝x与B．与C．与D．f（x）＝2x（x∈{1}）与g（x）＝2x2（x∈{1}）15．已知a，b∈R+，那么“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油三.解答题17．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，集合B＝{x|2m＜x＜1}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围；（2）若B∩∁R A中只有一个整数，求实数m的取值范围．18．练习册第21页的题“a＞0，b＞0，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当a＝b时等号成立），∴．学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若a＞0，b＞0，c＞0，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到n（n≥2）个正数a1、a2、…、a n﹣1、a n的情形，并证明．19．某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：①y与10﹣x和x的乘积成正比；②当x＝5时，y＝100；③，其中t为常数，且．（1）设y＝f（x），求出f（x）的表达式，并求出y＝f（x）的定义域；（2）求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．20．设数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则．（1）若2∈A，试证明A中还有另外两个元素；（2）集合A是否为双元素集合，并说明理由；21．已知x＞0，设a＝x2+2x+1，b＝x2+7x+1，c＝mx（m＞0，m为常数）．（1）求的最小值及相应的x的值；（2）设A＝{x|a﹣c＝0}，若A∩R+＝∅，求m的取值范围；（3）若对任意x＞0，以、、为三边长总能构成三角形，求m的取值范围．2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试卷解析一.填空题1．【解答】解：由，解得0≤x≤2且x≠1．∴函数的定义域为[0，1）∪（1，2]．故答案为：[0，1）∪（1，2]．2．【解答】解：解1﹣x2≥0得，﹣1≤x≤1；∴A＝[﹣1，1]；又x2≥0；∴B＝[0，+∞）；∴A∩B＝[0，1]．故答案为：[0，1]．3．【解答】解：∵，∴＞0，即＜0，解得：﹣＜x＜0，故不等式的解集是（﹣，0），故答案为：（﹣，0）4．【解答】解：命题“若a＞1且b＞2，则a+b＞3”的否命题是“若a≤1或b≤2，则a+b≤3”，故答案为：若a≤1或b≤2，则a+b≤35．【解答】解：∵﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜1∴﹣1＜﹣b＜1，∴﹣1﹣1＜a﹣b＜1+1∴﹣2＜a﹣b＜2，又a＜b，∴a﹣b＜0故答案为：（﹣2，0）6．【解答】解：根据题意得，A＝{x|﹣a＜x＜a}；B＝{x|x＜﹣2}，且A∩B＝∅，当A＝∅时，a≤0；当A≠∅时，有﹣a≥﹣2，∴a≤2，所以a的取值范围为（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．7．【解答】解：由题意，a＝2时，不等式为﹣4＜0恒成立，满足题意，所以a＝2成立；a≠2时，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0的解集为R，等价于，解得﹣2＜a＜2；综上得到a的范围是（﹣2，2]；故答案为：（﹣2，2]．8．【解答】解：令x﹣2＝t，则x＝t+2，∴f（t）＝（t+2）2﹣（t+2）+1＝t2+3t+3，∴f（2x+1）＝（2x+1）2+3（2x+1）+3＝4x2+10x+7，故答案为：4x2+10x+7．9．【解答】解：∵x＞a，∴x﹣a＞0，∴2x+＝2（x﹣a）++2a≥2+2a＝2a+4，即2a+4≥7，所以a≥，即a的最小值为当且仅当x＝a+1时取等号．故答案为．10．【解答】解：由f（x）＞1，得＞1，化简整理得＜0，解得﹣2＜x＜﹣1或2＜x＜3，即f（x）＞1的解集为A＝{x|﹣2＜x＜﹣1或2＜x＜3}．由g（x）＜0得x2﹣3ax+2a2＜0，即（x﹣a）（x﹣2a）＜0，g（x）＜0的解集为：B＝{x|2a＜x＜a，a＜0}，由题意A∩B＝∅，因此a≤﹣2或﹣1≤2a＜0，故a的取值范围是{a|a≤﹣2或﹣≤a＜0}，故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[﹣，0）．11．【解答】解：∵x∈R+时可得到不等式，，…，∴在p位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方∴p＝n n故答案为：n n12．【解答】解：①数集A＝{0，1，3，5，7}，由于7﹣5＝2，7+5＝12，2，12∉A，故不具有性质P；②数集A＝{0，2，4，6，8}，由于0，2，4，6，8构成等差数列，首项为0，公差为2，具有性质P；③若数集A具有性质P，可令i＝j可得2a i与0两数中至少有一个属于集合A，当i＝n时，2a n∉A，即有0∈A则a1＝0正确；④若数集A＝{a1，a2，…，a5}（0≤a1＜a2＜…＜a5）具有性质P，由③可得a1＝0，令j＝n，i＞1，则∵“a i+a j与a j﹣a i两数中至少有一个属于A”，∴a i+a j不属于A，∴a n﹣a i属于A．令i＝n﹣1，那么a n﹣a n﹣1是集合A中某项，a1不行，是0，a2可以．如果是a3或者a4，那么可知a n﹣a3＝a n﹣1，那么a n﹣a2＞a n﹣a3＝a n﹣1，只能是等于a n了，矛盾．所以令i＝n﹣1可以得到a n＝a2+a n﹣1，即有a3＝2a2，则a1+a3＝2a2，故④正确．故答案为：②③④．二.选择题13．【解答】解：图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是∁I S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁I S故选：C．14．【解答】解：A．f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；B.的定义域为{x|x≤﹣2，或x≥2}，的定义域为{x|x≥2}，定义域不同，不是同一函数；C.，f（0）＝﹣1，，g（0）＝1；（0，﹣1）是f（x）图象上的点，不在g（x）的图象上，不是同一函数；D．f（x）＝2x（x∈{1}）表示点（1，2），g（x）＝2x2（x∈{1}）表示点（1，2），函数图象相同，是同一函数．故选：D．15．【解答】解：由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a＝b＝2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故选：A．16．【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确；故选：D．三.解答题17．【解答】解：（1）因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以“x∈B“是“x∈A“的充分条件，所以B⊆A，所以或2m≥1，解得：﹣≤m或m≥，所以m；（2）因为A＝[﹣1，2]，所以∁R A＝（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞），又B∩∁R A中只有一个整数，所以这个整数必定是﹣2，故2m∈[﹣3，﹣2），所以m∈[﹣，﹣1）18．【解答】证明：（1）∵，∴，当且仅当a＝b＝c时等号成立；（2）∵+a2++a3+…++a1≥2a1+2a2+…+2a n﹣1+2a n，∴．当且仅当a1＝a2＝…＝a n﹣1＝a n时取等号19．【解答】解：（1）由题意可设y＝k（10﹣x）x，∵当x＝5时，y＝100，∴k（10﹣5）×5＝100，∴k＝4，∴y＝f（x）＝4x（10﹣x），∵，t∈[，1]，∴x∈[0，]，（2）由（1）可知y＝4x（10﹣x）＝﹣4（x﹣5）2+100，∵x∈[0，]，t∈[，1]，令f（t）＝，则f（t）＝10•＝10（）＝10（1﹣），显然f（t）在[，1]上是单调递增，∵f（）＝5，∴≥5，∴y＝﹣4（x﹣5）2+25，x∈（0，]，当x＝5时，y max＝25，因此售价y的最大值为25万元，此时的技术改造投入的资金为5万元20．【解答】证明：（1）∵数集A由实数构成，且满足：若x∈A（x≠1且x≠0），则．2∈A，∴＝﹣1∈A，＝，∈A，∴A中还有另外两个元素﹣1，．解：（2）∵x∈A，，，，，，故集合A中至少有3个元素，∴集合A不是双元素集合．21．【解答】解：（1）由已知得＝＝（2x++9），∵x＞0，∴x+≥2，∴的最小值为，当x＝1时取等号；（2）A＝{x|a﹣c＝0}，即有A＝{x|x2+2x+1＝mx}，由m＞0，x2+2x+1＝（x+1）2≥0，可得x＞0，由m＝x++2≥2+2＝4，当且仅当x＝1时，取得等号，又A∩R+＝∅，可得m＜4，即m的范围是（0，4）；（3）∵b＞a＞0，∴＞＞0．∴，即对x＞0恒成立．∴对x＞0恒成立，∵+≥+＝5（x＝1取得等号），∴5＞，即m＜25．又∵﹣＝≤＝1，∴＞1，即m＞1．综上得1＜m＜25．。
七宝中学高一月考(2018.12)好题详解(1)(1)
2018学年七宝中学高一（上）12月月考数学试卷好题2018.12一、填空题6．（3分）如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数.例如[3.2]3=，[0.6]1-=-，那么“[][]x y =”是“||1x y -<”的条件．7．（3分）若()f x 是定义域为R ，周期为4的偶函数，在[0,2]上单调递增，且(1)0f =，则()0xf x >在[13,7]--上的解集是．8．（3分）设1()fx -为2()22x x f x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为．9．（3分）已知函数(25),1()5,1x a x f x a x x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是．10．（3分）设常数a R ∈，则方程||22018xx a += 的解的个数组成的集合是A =．11．（3分）知函数2211()()11f x x k x x x=++++ ，(0,)x ∈+∞，若()0f x =恰有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是．12．（3分）已知函数()()y f x x R =∈．对函数()()y g x x D =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称，若()h x 是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x <恒成立，则实数b 的取值范围是．二、选择题15．（3分）对于函数()||f x x x px q =++，下列命题：①0q =时，()f x 为奇函数；②()y f x =的图象关于(0,)q 中心对称；③0p =，0q >时，方程()0f x =只有一个实根；④方程()0f x =至多有两个实根，其中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【变式】⑤方程()0f x =至多有三个实根.16．（3分）已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1,2]x ∈时，()2f x x =-．若()(2020)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 的值为()A ．28B ．34C ．36D ．100三、解答题20．已知函数()f x =．（1）若22()[()]()h x f x f x ==，求()h x 的解析式；（2）求()f x 的值域，设2()[()2]()2a F x f x f x =-+ ，(a 为实数），求()F x 在0a <时的最大值()g a ；（3）对（2）中()g a ，若22()m tm g a -++<对0a <的所有实数a 及[1,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1．（1）求实数a 、b 的值；（2）记()()g x kh x x+=，若()y h x =在[1,2]上是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）对于函数()()y m x p x q =≤≤，用(0,1,2,,i x i n = ，01)n p x x x q =<<⋯<=将区间[,]p q 任意划分成n 个小区间，若存在常数0M >，使得和式11|()()|nii i m x m xM -=-≤∑对任意的划分恒成立，则称函数()m x 为[p ，]q 上的有界变差函数．记()(||)f x g x =，试判断函数()f x 是否为在[1,3]-上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由．（参考公式：1231()()()()())nini f x f x f x f x f x ==+++⋯+∑2018学年七宝中学高一（上）12月月考数学试卷好题详解2018.12一、填空题6．（3分）如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数.例如[3.2]3=，[0.6]1-=-，那么“[][]x y =”是“||1x y -<”的条件．【答案】充分不必要【解答】令 1.1x =，0.9y =，|1.10.9|0.21-=<，[0.9]0[1.1]1=≠=，即||1x y -<，[][]x y ≠，||1x y ∴-<推不出[][]x y =；[][]||1x y x y =⇒-< [][]x y ∴=是||1x y -<的充分不必要条件．7．（3分）若()f x 是定义域为R ，周期为4的偶函数，在[0,2]上单调递增，且(1)0f =，则()0xf x >在[13,7]--上的解集是．【答案】(13,11)(9,7)---- 【解答】()0xf x > ，且[13,7]x ∈--()0f x ∴<如图，在)2,2[-一个周期内，当且仅当(1,1)x ∈-时，()0f x <)11,13()7,9(----∈⇒ x 时，()0f x <所以()0xf x >在[13,7]--上的解集是(13,11)(9,7)---- 8．（3分）设1()f x -为2()22x x f x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为．【答案】4【解答】2()22x x f x -=+在[0,2]x ∈上为增函数，∴值域为1[(0),(2)][,2]4f f =，可得1()y fx -=在1[,2]4上为增函数，因此1()()y f x f x -=+在1[,2]4上为增函数，1()()y f x f x -∴=+的最大值为1(2)(2)f f -+224=+=．9．（3分）已知函数(25),1()5,1x a x f x a x x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是．【答案】1[,0)2-【解答】根据题意，有251255a a a a ->⎧⎪<⇒⎨⎪-≤+⎩102a -≤<，即实数a 的取值范围为1[,0]2-10．（3分）设常数a R ∈，则方程||22018xx a += 的解的个数组成的集合是A =．【答案】{1,2,3}【解答】由||22018xx a += ，得2018||2xx a +=，设2018()2x f x =，()||g x x a =+，在直角坐标系中分别画()f x ，()g x 的图象由图①②③可得解．故答案为{1,2,3}11．（3分）知函数2211()()11f x x k x x x=++++ ，(0,)x ∈+∞，若()0f x =恰有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是．【答案】}6{)213,(---∞ 【解答】设1(0)t x x x=+>，则此函数在区间(0,1]为减函数，在区间[1,)+∞为增函数，值域为[2，)+∞，由29()090f x t kt k t t=⇒++=⇒=--令9(),h t t y k t=--=，则两图像在),2[+∞∈t 上只有一个交点，由图知，}6{213,()}3({))2(,(---∞=-∞∈ h h k 12．（3分）已知函数()()y f x x R =∈．对函数()()y g x x D =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称，若()h x是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x <恒成立，则实数b 的取值范围是．【答案】(,12)-∞-【解答】由题意可得()2()()h x f x g x =-62x b =+-，由()()h x g x <恒成立，可得26b x <在(,4]-∞恒成立，设()6m x x =-，则()m x 在(,4]-∞递减，可得()m x 的最小值为(4)24m =-，即有224b <-，即12b <-，二、选择题15．（3分）对于函数()||f x x x px q =++，下列命题：①0q =时，()f x 为奇函数；②()y f x =的图象关于(0,)q 中心对称；③0p =，0q >时，方程()0f x =只有一个实根；④方程()0f x =至多有两个实根，其中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【变式】⑤方程()0f x =至多有三个实根.【答案】C【解答】①0q =时，()||f x x x px =+，()||()f x x x px f x -=--=-，()f x ∴为奇函数，即①正确，②由函数()||f x x x px q =++的图象是将()||g x x x px =+上下平移||q 个单位，又由①得()||g x x x px =+的图象关于点(0,0)对称，则函数()||f x x x px q =++的图象关于点(0,)q 中心对称，即②正确，③0p =，0q >时，()||f x x x q =+的图象关于(0,)q 中心对称，且为单调增函数，即方程()0f x =只有一个实根正确，即③正确，④错误，反例：若0q =，1p =-，则方程的根为0、1、1-，故选C ．【变式】⑤假设方程()0f x =有四个实根，01≥x 时，20x px q ++=，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>->-=∆002042q pq p ，即⎩⎨⎧<≥>0042p q p 时，方程有2个不同的非负根；02<x 时，20x px q --=，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>+=∆00242q pq p ，即⎪⎩⎪⎨⎧<<->0042q p q p 时，方程有2个不同的正根，综上，21、不能同时满足条件∴假设错误，⑤正确.16．（3分）已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1x ∈，2]时，()2f x x =-．若()(2020)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 的值为()A ．28B ．34C ．36D ．100【答案】C【解答】取(2mx ∈，1]()2m m N +∈，则(12m x ∈，2]；()222m mx xf =-，从而212()2()2()2(2222m m m x x x f x f f f x +=====- ，10112020(2020)2()2202028()1024f f f a ⇒==-==，设(2m a ∈，12)m +，则()f a 1228m a +=-=，1228m a +∴=-1128228222m m m m ++-<⇒<⇒<，即5m ≥，min 3636a a ≥⇒=三、解答题20．已知函数()f x =．（1）若22()[()]()h x f x f x ==，求()h x 的解析式；（2）求()f x 的值域，设2()[()2]()2a F x f x f x =-+ ，(a 为实数），求()F x 在0a <时的最大值()g a ；（3）对（2）中()g a，若22()m tm g a -++<对0a <的所有实数a 及[1,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】（1）由10x +≥且10x -≥，得11x -≤≤，所以函数的定义域为[1,1]-，故2()[()]211)h x f x x ==+-≤≤；（2）2()[()2]()2a F x f x f x =-+=+，由()[2,4]h x ∈，由()0f x ≥，得()2]f x ∈，2]，令()t f x ==2112t =-，2211()()(1)22F x m t a t t at t a ∴==-+=+-，2]t ∈，由题意知()g a 即为函数21()2m t at t a =+-，2]t ∈的最大值．⇒直线10t a=->是抛物线的对称轴，①若1t a=-∈，即22a ≤-，则()g a m ==②若12]t a =-∈，即122a -<≤-，则11()(2g a m a a a =-=--；③若1(2,)t a =-∈+∞，即102a -<<，则()(2)2g a m a ==+，综上有()ga 12,0211,22222a a a a a a ⎧+-<<⎪⎪⎪=---<≤-⎨⎪≤-；（3）由()g a 的解析式可得102a -<<时，()g a 3(,2)2∈；2122a -<≤-时，()g a >=，可得()min g a =，由22()m tm g a -++<对0a <恒成立2min 2()m tm g a ⇒-++<=220m tm ⇒->，令2()2t mt m ϕ=-+，对所有的[1t ∈-，1)，()0t ϕ>成立，只需22(1)20(1)20m m m m ϕϕ⎧-=+>⎨=-≥+⎩，即有0220m m m m ><-⎧⎨≥≤⎩或或，解得m 的取值范围是2m <-或2m ≥．21．已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1．（1）求实数a 、b 的值；（2）记()()g x kh x x+=，若()y h x =在[1,2]上是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）对于函数()()y m x p x q =≤≤，用(0,1,2,,i x i n = ，01)n p x x x q =<<⋯<=将区间[,]p q 任意划分成n 个小区间，若存在常数0M >，使得和式11|()()|nii i m x m xM -=-≤∑对任意的划分恒成立，则称函数()m x 为[p ，]q 上的有界变差函数．记()(||)f x g x =，试判断函数()f x 是否为在[1,3]-上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由．（参考公式：1231()()()()())nini f x f x f x f x f x ==+++⋯+∑【解答】（1） 函数2()21g x ax ax b =-++，因为0a >，所以()g x 在区间[2,3]上是增函数，又 函数()g x 故在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，(2)1(3)4g g =⎧∴⎨=⎩，即11314b a b +=⎧⎨++=⎩，解得1a =，0b =；（2）由已知可得2()21g x x x =-+，()1()2g x k kh x x x x++==+-，①若10k +≤，即1k ≤-，()h x 在[1,2]递增；②若10k +>，即1k >-，（a)若()h x 在[1,2]递增，法一：则0111≤≤-⇒≤+k k法二：21()1k h x x +'=-，只需2110kx +-≥在[1,2]恒成立，可得x ≤的最小值，即11k +≤，即10k -<≤；(b)若()h x 在[1,2]递减，法一：则34121≥⇒≥+⇒≥+k k k法二：只需2110kx +-≤在[1，2]x 的最大值，即有14k +≥即3k ≥．综上，得0k ≤或3k ≥；（3）函数()f x 为[1,3]-上的有界变差函数．因为函数2()(||1)f x x =-在[1,0]-上递增，[0,1]递减，[1,3]上递增，①对任意划分01:10i n T x x x x -=<<⋯<<⋯<=，有010(1)()()()()(0)1i n f f x f x f x f x f =-=<<<<<== ∴1102111|()()|()()()()()()ni i n n i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-+⋯+-∑0()()(0)(1)1n f x f x f f =-=--=恒成立，①②对任意划分01:01i n T x x x x =<<<<<= ，有011(0)()()()()(1)0i n f f x f x f x f x f ==>>>>>== ∴0111211|()()|()()()()()()ni i n n i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑ 0()()(0)(1)n f x f x f f =-=-1=恒成立，②③对任意划分01:13i n T x x x x =<<<<<= ，有0(1)f =01()()()()(3)i n f x f x f x f x f =<<⋯<<⋯<=4=，∴1102111|()()|()()()()()()ni i n n i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑ 0()()(3)(1)4n f x f x f f =-=-=恒成立，③∴对任意划分01:13i n T x x x x -=<<<<<= ，由①②③，可得11|()()|1146ni i i f x f xM -=-≤++=≤∑，∴存在常数M ，使得11|()()|n i i i f x f x M -=-≤∑恒成立，M 的最小值为6．2018学年上海市七宝中学高一（上）12月月考数学试卷2018.12一、填空题1．（3分）若幂函数3(*)my xm N -=∈是奇函数，则实数m 的最小值是．2．（3分）设34{|}A x y x ==，2{|2}x B y y ==，则AB =．3．（3分）已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()()f x x ax a R =+∈，f （2）6=，则a =．4．（3分）已知log log 2(a a x y a +=为常数，0a >，1)a ≠，则11x y+的最小值是．5．（3分）若函数2()2||f x x x a =--有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是．6．（3分）如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数.例如[3.2]3=，[0.6]1-=-，那么“[][]x y =”是“||1x y -<”的条件．7、（3分）若()f x 是定义域为R ，周期为4的偶函数，在[0,2]上单调递增，且(1)0f =，则()0xf x >在[13,7]--上的解集是．8．（3分）设1()fx -为2()22x x f x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为．9．（3分）已知函数(25),1()5,1x a x f x a x x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是．10．（3分）设常数a R ∈，则方程||22018xx a += 的解的个数组成的集合是A =．11、（3分）知函数2211()()11f x x k x x x=++++ ，(0,)x ∈+∞，若()0f x =恰有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是．12、（3分）已知函数()()y f x x R =∈．对函数()()y g x x D =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称，若()h x是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x <恒成立，则实数b 的取值范围是．二、选择题13．（3分）已知()f x 是定义在[0，)+∞上的函数，根据下列条件，可以断定()f x 是增函数的是()A ．对任意0x >，都有()(0)f x f >B ．对任意0x ≥，都有(1)()f x f x +>C ．对任意1x ，2[0x ∈，)+∞，且12x x ≥，都有12()()f x f x ≥D ．对任意1x ，2[0x ∈，)+∞，且12x x ≠，都有1212()()f x f x x x ->-14．（3分）如果函数()(y f x x =，)y R ∈的反函数是1()(y f x x -=，)y R ∈，则函数1(1)()y f x x R -=-∈反函数是()A ．()1()y f x x R =+∈B ．()1()y f x x R =-∈C ．(1)()y f x x R =+∈D ．(1)()y f x x R =-∈15．（3分）对于函数()||f x x x px q =++，下列命题：①0q =时，()f x 为奇函数；②()y f x =的图象关于(0,)q 中心对称；③0p =，0q >时，方程()0f x =只有一个实根；④方程()0f x =至多有两个实根，其中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【变式】⑤方程()0f x =至多有三个实根.16．（3分）已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1x ∈，2]时，()2f x x =-．若()(2020)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 的值为()A ．28B ．34C ．36D ．100三、解答题17．设函数1()(3)2x f x x x +=>-．（1）指出()f x 在(3,)+∞上的单调性，并证明你的结论；（2）求()f x 的反函数1()f x -．18．上海自贸区某种进口产品的关税税率为t ，其市场价格x （单位：千元，0)x >与市场供应量p （单位：万件）之间近似满足关系式：22(5)1log px t-=-．（1）请将p 表示为关于x 的函数，并根据下列条件计算：若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．试确定t 的值；（2）当32t =时，经调查，市场需求量q （单位：万件）与市场价格x 近似满足关系式：424log ()x q=．为保证市场供应量不低于市场需求量，试求市场价格x 的取值范围．19．已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）试判断函数()f x 的单调性，并加以证明；（3）若对于任意实数t ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．20．已知函数()f x =．（1）若22()[()]()h x f x f x ==，求()h x 的解析式；（2）求()f x 的值域，设2()[()2]()2a F x f x f x =-+ ，(a 为实数），求()F x 在0a <时的最大值()g a ；（3）对（2）中()g a ，若22()m tm g a -++<对0a <的所有实数a 及[1,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．21．已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1．（1）求实数a 、b 的值；（2）记()()g x kh x x+=，若()y h x =在[1,2]上是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）对于函数()()y m x p x q =≤≤，用(0,1,2,,i x i n = ，01)n p x x x q =<<⋯<=将区间[,]p q 任意划分成n 个小区间，若存在常数0M >，使得和式11|()()|nii i m x m xM -=-≤∑对任意的划分恒成立，则称函数()m x 为[p ，]q 上的有界变差函数．记()(||)f x g x =，试判断函数()f x 是否为在[1,3]-上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由．（参考公式：1231()()()()())nini f x f x f x f x f x ==+++⋯+∑2018学年上海市七宝中学高一（上）12月月考数学试卷答案2018.12一、填空题1．（3分）若幂函数3(*)m y x m N -=∈是奇函数，则实数m 的最小值是．【答案】1【解答】 幂函数3(*)my xm N -=∈是奇函数，m ∴是奇数，*m N ∈ ，∴实数m 的最小值是1．2．（3分）设34{|}A x y x ==，2{|2}x B y y ==，则A B =．【答案】[1，)+∞【解答】[0A = ，)+∞，[1B =，)+∞[1A B ∴= ，)+∞．3．（3分）已知函数()y f x =是奇函数，当0x <时，2()()f x x ax a R =+∈，f （2）6=，则a =．【答案】5【解答】 函数()y f x =是奇函数(2)(2)6f f ∴-=-=-将2x =-代入小于0的解析式，得(2)426f a -=-=-，解得5a =4．（3分）已知log log 2(a a x y a +=为常数，0a >，1)a ≠，则11x y+的最小值是．【答案】2a【解答】log log 2a a x y += ，2xy a ∴=，则2112xy x y x y xy xy a++=≥=，当且仅当x y a ==时，取最小值2a，5．（3分）若函数2()2||f x x x a =--有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是．【答案】(1,0)-【解答】函数2()2||f x x x a =--有四个不同的零点等价于22||y x x =-与y a =的图象有四个交点，22||y x x =-的图象如右，由图可知：10a -<<6．（3分）如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数.例如[3.2]3=，[0.6]1-=-，那么“[][]x y =”是“||1x y -<”的条件．【答案】充分不必要【解答】令 1.1x =，0.9y =，|1.10.9|0.21-=<，[0.9]0[1.1]1=≠=，即||1x y -<，[][]x y ≠，||1x y ∴-<推不出[][]x y =；[][]||1x y x y =⇒-< [][]x y ∴=是||1x y -<的充分不必要条件．7．（3分）若()f x 是定义域为R ，周期为4的偶函数，在[0,2]上单调递增，且(1)0f =，则()0xf x >在[13,7]--上的解集是．【答案】(13,11)(9,7)---- 【解答】()0xf x > ，且[13,7]x ∈--()0f x ∴<如图，在)2,2[-一个周期内，当且仅当(1,1)x ∈-时，()0f x <)11,13()7,9(----∈⇒ x 时，()0f x <所以()0xf x >在[13,7]--上的解集是(13,11)(9,7)---- 8．（3分）设1()f x -为2()22x x f x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为．【答案】4【解答】2()22x x f x -=+在[0,2]x ∈上为增函数，∴值域为1[(0),(2)][,2]4f f =，可得1()y fx -=在1[,2]4上为增函数，因此1()()y f x f x -=+在1[,2]4上为增函数，1()()y f x f x -∴=+的最大值为1(2)(2)f f -+224=+=．9．（3分）已知函数(25),1()5,1x a x f x a x x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是．【答案】1[,0)2-【解答】根据题意，有251255a a a a ->⎧⎪<⇒⎨⎪-≤+⎩102a -≤<，即实数a 的取值范围为1[,0]2-10．（3分）设常数a R ∈，则方程||22018xx a += 的解的个数组成的集合是A =．【答案】{1,2,3}【解答】由||22018xx a += ，得2018||2x x a +=，设2018()2xf x =，()||g x x a =+，在直角坐标系中分别画()f x ，()g x 的图象由图①②③可得解．故答案为{1,2,3}11．（3分）知函数2211()()11f x x k x x x=++++ ，(0,)x ∈+∞，若()0f x =恰有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是．【答案】}6{)213,(---∞ 【解答】设1(0)t x x x=+>，则此函数在区间(0,1]为减函数，在区间[1,)+∞为增函数，值域为[2，)+∞，由29()090f x t kt k t t=⇒++=⇒=--令9(),h t t y k t=--=，则两图像在),2[+∞∈t 上只有一个交点，由图知，}6{213,()}3({))2(,(---∞=-∞∈ h h k 12．（3分）已知函数()()y f x x R =∈．对函数()()y g x x D =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称，若()h x 是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x <恒成立，则实数b 的取值范围是．【答案】(,12)-∞-【解答】由题意可得()2()()h x f x g x =-62x b =+-，由()()h x g x <恒成立，可得26b x <在(,4]-∞恒成立，设()6m x x =-，则()m x 在(,4]-∞递减，可得()m x 的最小值为(4)24m =-，即有224b <-，即12b <-，二、选择题13．（3分）已知()f x 是定义在[0，)+∞上的函数，根据下列条件，可以断定()f x 是增函数的是()A ．对任意0x >，都有()(0)f x f >B ．对任意0x ≥，都有(1)()f x f x +>C ．对任意1x ，2[0x ∈，)+∞，且12x x ≥，都有12()()f x f x ≥D ．对任意1x ，2[0x ∈，)+∞，且12x x ≠，都有1212()()f x f x x x ->-【答案】D【解答】根据题意，依次分析选项：对于A ，有函数1(2xy =，[0x ∈，)+∞，对任意0x >，都有()(0)f x f >，但函数为减函数，不符合题意；对于B ，对任意0x ≥，都有(1)()f x f x +>，不满足函数单调性的定义，不符合题意，对于C ，当()f x 为常数函数时，对任意1x ，2[0x ∈，)+∞，都有12()()f x f x =，不是增函数，不符合题意；对于D ，对任意1x ，2[0x ∈，)+∞，设12x x >，若1212()()0f x f x x x ->-，必有12()()0f x f x ->，则函数在[0，)+∞上为增函数，符合题意；故选D．14．（3分）如果函数()(y f x x =，)y R ∈的反函数是1()(y f x x -=，)y R ∈，则函数1(1)()y f x x R -=-∈反函数是()A ．()1()y f x x R =+∈B ．()1()y f x x R =-∈C ．(1)()y f x x R =+∈D ．(1)()y f x x R =-∈【答案】A【解答】由1(1)y f x -=-得1()x f x -=，()1x f x ∴=+，故选A ．15．（3分）对于函数()||f x x x px q =++，下列命题：①0q =时，()f x 为奇函数；②()y f x =的图象关于(0,)q 中心对称；③0p =，0q >时，方程()0f x =只有一个实根；④方程()0f x =至多有两个实根，其中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【变式】⑤方程()0f x =至多有三个实根.【答案】C【解答】①0q =时，()||f x x x px =+，()||()f x x x px f x -=--=-，()f x ∴为奇函数，即①正确，②由函数()||f x x x px q =++的图象是将()||g x x x px =+上下平移||q 个单位，又由①得()||g x x x px =+的图象关于点(0,0)对称，则函数()||f x x x px q =++的图象关于点(0,)q 中心对称，即②正确，③0p =，0q >时，()||f x x x q =+的图象关于(0,)q 中心对称，且为单调增函数，即方程()0f x =只有一个实根正确，即③正确，④错误，反例：若0q =，1p =-，则方程的根为0、1、1-，故选C ．【变式】⑤假设方程()0f x =有四个实根，01≥x 时，20x px q ++=，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥>->-=∆002042q p q p ，即⎩⎨⎧<≥>0042p q p 时，方程有2个不同的非负根；02<x 时，20x px q --=，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>+=∆002042q p q p ，即⎪⎩⎪⎨⎧<<->0042q p q p 时，方程有2个不同的正根，综上， 21、不能同时满足条件∴假设错误，⑤正确.16．（3分）已知函数()f x 满足：①对任意(0,)x ∈+∞，恒有(2)2()f x f x =成立；②当(1x ∈，2]时，()2f x x =-．若()(2020)f a f =，则满足条件的最小的正实数a 的值为()A ．28B ．34C ．36D ．100【答案】C 【解答】取(2m x ∈，1]()2m m N +∈，则(12m x ∈，2]；()222m mx x f =-，从而212()2()2()2(2222m m m x x x f x f f f x +=====- ，10112020(2020)2()2202028()1024f f f a ⇒==-==，设(2m a ∈，12)m +，则()f a 1228m a +=-=，1228m a +∴=-1128228222m m m m ++-<⇒<⇒<，即5m ≥，min 3636a a ≥⇒=三、解答题17．设函数1()(3)2x f x x x +=>-．（1）指出()f x 在(3,)+∞上的单调性，并证明你的结论；（2）求()f x 的反函数1()fx -．【解答】（1）()f x 在(3,)+∞上单调递减，证明：任取123x x <<，1221121212115()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x ++--=-=----，123x x << ，210x x ∴->，120x ->，220x ->，12()()f x f x ∴>，()f x ∴在(3,)+∞上单调递减（2）3()1(3)2f x x x =+>-，()(1f x ∈，4)，121()1x f x x -+=-，(14)x <<．18．上海自贸区某种进口产品的关税税率为t ，其市场价格x （单位：千元，0)x >与市场供应量p （单位：万件）之间近似满足关系式：22(5)1log p x t-=-．（1）请将p 表示为关于x 的函数，并根据下列条件计算：若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．试确定t 的值；（2）当32t =时，经调查，市场需求量q （单位：万件）与市场价格x 近似满足关系式：424log ()x q =．为保证市场供应量不低于市场需求量，试求市场价格x 的取值范围．【解答】（1）由22(5)1log p x t-=-，得22(1)(5)log p t x =--2(1)(5)2(0)t x p x --⇒=>，则2(1)(75)22t --=，即34t =；（2）由2142244log ()44x x x q q q-=⇒=⇒=⇒12x q -=，由p q ≥，得21(5)1222x x ---≥21(5)12x x ⇒-≥--，即221025)2(12270392x x x x x x -+≥-⇒--+≤⇒≤≤．∴市场价格x 的取值范围为不低于3千元，不超过9千元．19．已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数．（1）求函数()f x 的解析式；（2）试判断函数()f x 的单调性，并加以证明；（3）若对于任意实数t ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】（1）12()2x x b f x a +-+=+ 是奇函数，1(0)02b f a-+∴==+，解得1b =．又由(1)f (1)f =--，知1121241a a -+-+=++，解得2a =，121()22x x f x +-+∴=+．（2）121(21)211()222(21)221x x x x x f x +-+-++===-++++，法一：12+x 在R 上单调递增，且012>+x 121+∴x 在R 上单调递减)(x f ⇒R 上单调递减.法二：222()0(21)x x ln f x ∴'=-<+，()f x ∴在(,)-∞+∞上为减函数；（3）()f x 是奇函数，∴不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f t k -<--=-+，函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，∴由上式推得2222t t t k ->-+，即对一切t R ∈有2320t t k -->，从而判别式4120k ∆=+<，解得13k <-．20．已知函数()f x =．（1）若22()[()]()h x f x f x ==，求()h x 的解析式；（2）求()f x 的值域，设2()[()2]()2a F x f x f x =-+ ，(a 为实数），求()F x 在0a <时的最大值()g a ；（3）对（2）中()g a，若22()m tm g a -++<对0a <的所有实数a 及[1,1]t ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】（1）由10x +≥且10x -≥，得11x -≤≤，所以函数的定义域为[1,1]-，故2()[()]211)h x f x x ==+-≤≤；（2）2()[()2]()2a F x f x f x =-+=+，由()[2,4]h x ∈，由()0f x ≥，得()2]f x ∈，2]，令()t f x ==2112t =-，2211()()(1)22F x m t a t t at t a ∴==-+=+-，2]t ∈，由题意知()g a 即为函数21()2m t at t a =+-，2]t ∈的最大值．⇒直线10t a=->是抛物线的对称轴，①若1t a=-∈，即22a ≤-，则()g a m ==②若12]t a =-∈，即2122a -<≤-，则11()(2g a m a a a=-=--；③若1(2,)t a =-∈+∞，即102a -<<，则()(2)2g a m a ==+，综上有()ga 12,02121,2222a a a a a a ⎧+-<<⎪⎪⎪=---<≤-⎨⎪≤-；（3）由()g a 的解析式可得102a -<<时，()g a 3(,2)2∈；2122a -<≤-时，()g a >=，可得()min g a =，由22()m tm g a -++<对0a <恒成立2min 2()m tm g a ⇒-++<=220m tm ⇒->，令2()2t mt m ϕ=-+，对所有的[1t ∈-，1)，()0t ϕ>成立，只需22(1)20(1)20m m m m ϕϕ⎧-=+>⎨=-≥+⎩，即有0220m m m m ><-⎧⎨≥≤⎩或或，解得m 的取值范围是2m <-或2m ≥．21．已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1．（1）求实数a 、b 的值；（2）记()()g x k h x x+=，若()y h x =在[1,2]上是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）对于函数()()y m x p x q =≤≤，用(0,1,2,,i x i n = ，01)n p x x x q =<<⋯<=将区间[,]p q 任意划分成n 个小区间，若存在常数0M >，使得和式11|()()|n i i i m x m xM -=-≤∑对任意的划分恒成立，则称函数()m x 为[p ，]q 上的有界变差函数．记()(||)f x g x =，试判断函数()f x 是否为在[1,3]-上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由．（参考公式：1231()()()()())n i ni f x f x f x f x f x ==+++⋯+∑【解答】（1） 函数2()21g x ax ax b =-++，因为0a >，所以()g x 在区间[2,3]上是增函数，又 函数()g x 故在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1，(2)1(3)4g g =⎧∴⎨=⎩，即11314b a b +=⎧⎨++=⎩，解得1a =，0b =；（2）由已知可得2()21g x x x =-+，()1()2g x k k h x x x x++==+-，①若10k +≤，即1k ≤-，()h x 在[1,2]递增；②若10k +>，即1k >-，（a)若()h x 在[1,2]递增，法一：则0111≤≤-⇒≤+k k法二：21()1k h x x +'=-，只需2110k x +-≥在[1,2]恒成立，可得x ≤的最小值，即11k +≤，即10k -<≤；(b)若()h x 在[1,2]递减，法一：则34121≥⇒≥+⇒≥+k k k法二：只需2110k x +-≤在[1，2]x 的最大值，即有14k +≥即3k ≥．综上，得0k ≤或3k ≥；（3）函数()f x 为[1,3]-上的有界变差函数．因为函数2()(||1)f x x =-在[1,0]-上递增，[0,1]递减，[1,3]上递增，①对任意划分01:10i n T x x x x -=<<⋯<<⋯<=，有010(1)()()()()(0)1i n f f x f x f x f x f =-=<<<<<== ∴1102111|()()|()()()()()()ni i n n i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-+⋯+-∑0()()(0)(1)1n f x f x f f =-=--=恒成立，①②对任意划分01:01i n T x x x x =<<<<<= ，有011(0)()()()()(1)0i n f f x f x f x f x f ==>>>>>== ∴0111211|()()|()()()()()()ni i n n i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑ 0()()(0)(1)n f x f x f f =-=-1=恒成立，②③对任意划分01:13i n T x x x x =<<<<<= ，有0(1)f =01()()()()(3)i n f x f x f x f x f =<<⋯<<⋯<=4=，∴1102111|()()|()()()()()()ni i n n i f x f x f x f x f x f x f x f x --=-=-+-++-∑ 0()()(3)(1)4n f x f x f f =-=-=恒成立，③∴对任意划分01:13i n T x x x x -=<<<<<= ，由①②③，可得11|()()|1146n ii i f x f xM -=-≤++=≤∑，∴存在常数M ，使得11|()()|ni i i f x f x M -=-≤∑恒成立，M 的最小值为6．。
上海市高一上学期12月月考数学试题(解析版)
高一上学期12月月考数学试题一、填空题1．已知，则=________． 2log 3a =4a 【答案】9【分析】根据对数的概念，把对数式化为指数式，由指数幂的运算法则即可求解. 【详解】由，得，2log 3a =23a=所以， ()22242239a a a ====故答案为：9.2．已知，设幂函数的图象关于原点成中心对称，且与轴及轴均无交点，则Z n ∈223n n y x +-=x y n的值为______.【答案】或##或2-002-【分析】分析可得，求出的可能取值，结合幂函数为奇函数即可得解.2230n n +-≤n 223n n y x +-=【详解】因为幂函数与轴及轴均无交点，故，解得.223nn y x +-=x y 2230n n +-≤31n -≤≤又因为，故或或或或. Z n ∈3n =-2n =-1n =-0n =1n =当或时，幂函数为偶函数，不合乎题意；3n =-1n =0y x =当或时，幂函数为奇函数，其图象关于原点成中心对称； 2n =-0n =3y x -=当时，幂函数为偶函数，不合乎题意. 1n =-4y x -=故的值为或. n 2-0故答案为：或.2-03．已知，，，若式子表示一个常数，则r =______.0x >*N r ∈5r ≤5rr-⎛ ⎝【答案】2【分析】根据分数指数幂的运算法则化简，再令的指数为，即可得到方程，求出参数的值； x 0【详解】解：因为表示一个常数，则()()()55105533262333rr r r r rrr r r x x xx ------⎛=-⋅=-=- ⎝，解得. 10506r-=2r =故答案为：24．已知函数，（且）的图像恒过点，则点的坐标是___________.()2221x f x a -=+0a >1a ≠P P 【答案】()1,3【分析】由题设及指数函数的性质知：可得x 、y 值，即可确定定点坐标. 01a =【详解】当，即时，，故过定点， 220x -=1x =(1)3f =()f x (1,3)∴的坐标是. P (1,3)故答案为：(1,3)5．已知，则___________.（用表示） 82log 9,log 5a b ==lg3=a b 、【答案】322ab+【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解 【详解】解：由，，8log 9a =2log 5b =则，即328222log 9log 3log 33a ===233log 2a =所以 ()2222222223log 3log 3log 3log 333lg 3log 10log 25log 2log 51log 2122512aa ab b b =======⨯+++++故答案为：. 322ab+6．若函数在区间上单调，则实数a 的取值范围是______．()12a f x x -=-1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】(][),23,-∞⋃+∞【分析】利用此绝对值函数的对称轴不在所给区间可得结论．【详解】因为函数在区间上是单调的，且其图象的对称轴为直线， ()f x 1,12⎛⎫⎪⎝⎭12a x -=所以或，解得或．所以实数a 的取值范围是． 1122a -≤112a -≥2a ≤3a ≥(][),23,-∞⋃+∞故答案为：(][),23,-∞⋃+∞7．函数的值域是________.()20.4log 34y x x =-++【答案】[)2,-+∞【解析】先求出函数的定义域为，设，，根据()1,4-()223253424f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭()1,4x ∈-二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出的单调性，从而可求出值域.()20.4log 34y x x =-++【详解】解：由题可知，函数，()20.4log 34y x x =-++则，解得：， 2340x x -++>14x -<<所以函数的定义域为，()1,4-设，，()223253424f x x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭()1,4x ∈-则时，为增函数，时，为减函数，31,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()f x 3,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 可知当时，有最大值为，32x =()f x 254而，所以， ()()140f f -==()2504f x <≤而对数函数在定义域内为减函数， 0.4log y x =由复合函数的单调性可知，函数在区间上为减函数，在上为增函数，()20.4log 34y x x =-++31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭，0.425log 24y ∴≥=-∴函数的值域为.()20.4log 34y x x =-++[)2,-+∞故答案为：.[)2,-+∞【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力. 8．已知函数（），若函数，当时最小值为，则实数a 的()1x f x x a+=+1a ≠()y f x ={}3,4,5x ∈()4f 取值范围为______ 【答案】 ()5,4--【分析】，由函数的单调性求解即可 ()()111,1x af x a x a x a+-==+≠++【详解】因为， ()()111,1x af x a x a x a+-==+≠++利用函数的单调性和图象可知：（1），解得；1045a a ->⎧⎨<-<⎩54a -<<-（2），此时无解；1034a a -<⎧⎨<-<⎩所以实数的取值范围是， a ()5,4--故答案为：()5,4--9．若函数（且）在上最大值是最小值的2倍，则______.()xf x a =0a >1a ≠[]1,2=a 【答案】2或12【分析】将分成两种情况，根据的单调性以及函数最大值是最小值的两倍列方a 01,1a a <<>()f x 程，解方程求得的值.a 【详解】当时，函数为上的减函数，故，即，解得. 01a <<()xf x a =R ()()122f f =22a a =12a =当时，函数为上的增函数，故，即，解得.1a >()xf x a =R ()()221f f =22a a =2a =故的值为或. a 212故填：或.212【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题. 10．已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，，则的解析式是()f x 0x <2()1f x x x =-++()f x ___________．【答案】 221,0()0,01,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩【分析】根据奇函数的定义对 分段求解.()f x 【详解】由函数是定义在R 上的奇函数得； ()f x (0)0f =当时， ，∴．0x >0x -<22()()()()11f x f x x x x x =--=----=+-综上，；221,0()0,01,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩故答案为：. 221,0()0,01,0x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩11．已知表中的对数值有且只有一个是错误的． x35689lg x 2a －b a ＋c －1 1＋a －b －c 3(1－a －c ) 2(2a －b )试将错误的对数值加以改正为________． 【答案】lg5a c =+【分析】先判断正确，然后判断正确，所以错误，利用计算出. lg 3,lg 9lg 6,lg8lg 5lg 2lg 5【详解】，所以正确. ()lg 32,lg 92lg 322a b a b =-==-lg 3,lg 9，1lg 6lg 3lg 2,lg 2lg 6lg 3lg83=+=-=而，，lg 6lg 3121a b c a b a c -=+---+=--1lg813a c =--所以正确. lg 6,lg8所以错误的为， lg 5正确的. ()10lg 5lg1lg 2112a c a c ==-=---=+故答案为：lg5a c =+12．已知函数若，是互不相同的正数，且42log ,04()1025,4x x f x x x x ⎧<=⎨-+>⎩…a b c d ，，，，则的取值范围是_____．()()()()f a f b f c f d ===abcd 【答案】()24,25【分析】画出函数的图象，运用对数函数的图象，结合对数运算性质，可得，由二次y f x ＝（）1ab ＝函数的性质可得，运用基本不等式和二次函数的性质，即可得到所求范围．10c d +＝【详解】先画出函数的图象，如图所示：42log ,04()1025,4x x f x x x x ⎧<=⎨-+>⎩…因为互不相同，不妨设，且， a b c d ,,,a b c d <<<()()()()f a f b f c f d ===而，即有，可得，则，44log log b -=44log log 0a b +=1ab =abcd cd =由，且，可得，10c d +＝c d <2252c d cd +⎛⎫<= ⎪⎝⎭且，2(10)(5)25cd c c c =-=--+当时，，此时，但此时b ，c 相等， 4c =6d =24cd =故的范围为．abcd (24,25)故答案为．2425（，）【点睛】本题考查了利用函数图象分析解决问题的能力，以及对数函数图象的特点，注意体会数形结合思想在本题中的运用．二、单选题13．函数，则函数图象（ ）()3311f x x x =++-()f x A ．关于原点对称 B ．关于直线对称 y x =C ．关于轴对称 D ．关于轴对称x y 【答案】D【解析】利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，由此可得出结论.()f x 【详解】函数的定义域为，()3311f x x x =++-R ，()()()()3333331111=11f x x x x x x x f x -=-++--=-++---++=所以，函数为偶函数，该函数的图象关于轴对称. ()f x y 故选：D.【点睛】本题考查函数图象对称性的判断，本质上考查函数奇偶性的判断，属于基础题.14．则（ ） 442,0(),5log (1),0xx f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩12[(log 5)]f f =A ．B ．C ．D ．34122-0【答案】B 【分析】先判断，代入的解析式求得，再代入解析式可求得答案.12log 50<0x ≤12(log 5)1f =0x >【详解】1122log 5log 10<= ，则，12log 512414(log 5)21555f ∴=+=+=1421((log 5)(1)log 22f f f ===故选：B ．15．已知函数的定义域为（ ）()2f x -=fA ．B ．C ．D ．[)0,∞+[]0,16[]0,4[]0,2【答案】B【分析】由已知可得的定义域即函数的定义域为，可得答案． ()2y f x =-()f x []0,4[]0,4【详解】由，解得，240x -…22x -……即的定义域是，则， ()2y f x =-[]22-,[]20,4x -∈即函数的定义域为， ()f x []0,4，解得， []0,4[]0,16x ∈则函数的定义域为．y f =[]0,16故选：B ． 16．已知函数，则的解集为（ ） 11()22xf x x =-()(2)0f x f x ≤+A ． B ． C ． D ．[3,1]-[1,1]-[3,1]--[3,)-+∞【答案】A【分析】先探究得到：当或时，；当时，. 然后将不等式1x ≤-1x ≥()0f x ≤11x -≤≤()0f x ≥等价为或，进而可得结果.()(2)0f x f x ≤+()0(2)0f x f x ≤⎧⎨+≥⎩()0(2)0f x f x ≥⎧⎨+≤⎩【详解】显然，函数是定义域为的偶函数. ()f x R 当时，，所以是减函数，且； [)0,x ∈+∞11()22xf x x =-()f x (1)0f =所以当时，是增函数，且.(),0x ∈-∞()f x (1)0f -=因此，当或时，；当时，.1x ≤-1x ≥()0f x ≤11x -≤≤()0f x ≥所以，或 ()0()(2)0(2)0f x f x f x f x ≤⎧+≤⇔⎨+≥⎩()0(2)0f x f x ≥⎧⎨+≤⎩或 11121x x x ≤-≥⎧⇔⎨-≤+≤⎩或112121x x x -≤≤⎧⎨+≤-+≥⎩或或. 31x ⇔-≤≤-11x -≤≤31x ⇔-≤≤故的解集为. ()(2)0f x f x ≤+[]3,1-故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是探究得到：当或时，；当时，1x ≤-1x ≥()0f x ≤11x -≤≤.()0f x ≥三、解答题17．我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天365(11%)+3651.01365(11%)-的“落后”率都是1%，一年后是.利用计算工具计算并回答下列问题： 3650.99（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？ 【答案】（1）1480.7倍（2）115天、230天、345天【解析】（1）根据所给条件，利用指数幂的性质变形，最后利用计算器计算可得. （2）根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，分别利用计算器计算可得. 【详解】解：（1）.3653653651.01 1.011480.70.990.99⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭∴一年后“进步”的大约是“落后”的倍1480.7（2）由得1.01100.99x x = 1.01100.99x⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1000.9lg101log 101151.01 1.01lg lg 0.990.99x ∴===≈∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.11510由得. 1.011000.99xx = 1.012100,2301.010.99lg 0.99xx ⎛⎫==≈ ⎪⎝⎭∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.230100由得解得 1.0110000.99x x = 1.0110000.99x⎛⎫= ⎪⎝⎭33451.01lg 0.99x =≈∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.3451000【点睛】本题考查指数和对数的互化，计算器的应用，属于基础题. 18．已知函数， ()121x af x =-+(1)若，求的值域；a<0()f x (2)问为何值，该函数具有奇偶性，并证明其奇偶性． a ()f x 【答案】(1) (1,1)a --(2)见解析【分析】（1）根据指数函数的性质，结合不等式性质求出函数的值域； ()f x （2）讨论，结合奇函数和偶函数的定义求的值. a a 【详解】（1）函数的定义域为， ()121xaf x =-+()-∞+∞，因为指数函数在上的值域为，故， 2x y =()-∞+∞，()0+∞，()211,x +∈+∞所以，因为，所以， 1(0,1)21x ∈+a<0(,0)21x aa ∈+故，所以函数的值域为； ()()11,121xaf x a =-∈--+()f x ()1,1a --（2）当时，此时函数，，，， 0a =()1f x =-()1f x -=-()()f x f x -=()()f x f x -≠-所以函数为偶函数，()f x 当时，， 0a ≠()1212121xx x a a f x --=-=++则． ()()121121212112xx x x xa a a f x --------=-==+++令可得，解得，与矛盾，()()f x f x -=()12112x xa a --=--0a =0a ≠即不可能是偶函数．()f x 令，可得，解得． ()()f x f x =--()112122121xxx xa a ----=++2a =故时，是奇函数，当且时，为非奇非偶函数． 2a =()f x 2a ≠0a ≠()f x 所以当时，是奇函数，当时，函数为偶函数， 2a =()f x 0a =()f x 当且时，为非奇非偶函数．2a ≠0a ≠()f x 19．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为万()*x x N ∈310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高.()0a >0.2%x （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？ 【答案】（1）500名；（2）.(0,5]【解析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解；1000x -（2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，从事原来产业的员工的年总310500⎛⎫- ⎪⎝⎭x a x利润为万元，列出不等关系，在（1）的条件下求出的范围． 110(1000)1500⎛⎫-+⎪⎝⎭x x a 【详解】解：（1）由题意，得， ()()10100010.2%101000x x -+≥⨯即，又，所以. 25000x x -≤0x >0500x <≤即最多调整500名员工从事第三产业.（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，310500⎛⎫- ⎪⎝⎭x a x 从事原来产业的员工的年总利润为万元， 110(1000)1500⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x x 则， 311010(1000)1500500x a x x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…所以.223110002500500x ax x x x -+--…所以，即在时恒成立. 221000500++x ax x …210001500++x a x …(0,500]x ∈因为， 210004500x x+=…当且仅当，即时等号成立，所以， 21000500x x=500x =5a ≤又，所以.所以a 的取值范围为.0a >05a <≤(0,5]【点睛】本题考查函数的应用，已知函数模型，直接根据函数模型列出不等式求解即可，考查了学生的数学应用意识，运算求解能力．20．已知二次函数的图象过点，对任意满足，且有最小值是. ()f x ()0,4x ()()3f x f x -=74（1）求的解析式；()f x （2）在区间上，的图象恒在函数的图象上方，试确定实数m 的取值范[1,3]-()y f x =2y x m =+围.【答案】（1）；（2）. ()234f x x x =-+94m <-【解析】（1）根据题意可知函数关于直线对称，设二次函数的顶点式，然后利用待定系()f x 32x =数法求解；（2）将函数的解析式代入，使在上横成立，只需使在()f x ()2f x x m >+[1,3]-()min 2m f x x <-⎡⎤⎣⎦上恒成立.[1,3]-【详解】解：（1）由题知二次函数图象的对称轴为，又最小值是 32x =74则可设()()237024f x a x a ⎛⎫=-+≠ ⎪⎝⎭又图象过点， (0)4，则，解得， 2370424a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭1a =∴. ()22373424f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭（2）由已知，对恒成立，()2f x x m >+[1,3]x ∈-∴在恒成立，254m x x <-+[1,3]x ∈-∴.()()2min 5[]341,x m x x -∈-<+∵在上的最小值为. ()254g x x x =-+[1,3]x ∈-94-∴. 94m <-【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，考查根据不等式的成立问题求参数的取值范围，难度一般.21．已知函数.()()log 0,1a f x x a a =>≠（1）若，求实数a 的取值范围；()()43f a f a +≤（2）设，函数.2a =()()()()()232201g x f x m f x m m =-+-++<≤（i ）若，证明：； 1,2m x ⎡⎤∈⎣⎦()103g x ≤（ii ）若，求的最大值. 1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x ()h m 【答案】（1）或（2）（i ）证明见解析（ii ） 01a <<2a ≥()214,021712,142m m h m m m m ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-+≤<⎪⎩【分析】（1）对底数分类讨论，根据对数函数的单调性可解得结果；a （2）（i ）若，则，令，则，所以1,2m x ⎡⎤∈⎣⎦()[0,]f x m ∈()t f x =0t m ≤≤，，根据对称轴与区间的中点值之间的关系求出最223217224m y t m m -⎡⎤=--+-+⎢⎥⎣⎦0t m ≤≤[0,]m 大值，对最大值配方可证不等式成立； （ii ）若，则，令，则，所以1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()[1,1]f x ∈-()t f x =[1,1]t ∈-()g x =，，分类讨论对称轴可得的最值,比较最值的绝对值223217()224m t t m m ϕ-⎡⎤=--+-+⎢⎥⎣⎦[1,1]t ∈-()t ϕ与端点值的绝对值的大小可得结果.【详解】（1）当时，为递减函数，等价于，解得， 01a <<()f x ()()43f a f a +≤0143a a a <<⎧⎨+≥⎩01a <<当时，为递增函数，等价于，解得， 1a >()f x ()()43f a f a +≤143a a a >⎧⎨+≤⎩2a ≥综上所述：或.01a <<2a ≥（2）因为，所以为增函数，2a =2()log f x x =（i ）若，则，令，则，1,2m x ⎡⎤∈⎣⎦()[0,]f x m ∈()t f x =0t m ≤≤所以，， 223217224m y t m m -⎡⎤=--+-+⎢⎥⎣⎦0t m ≤≤当，即时，， 3202m m -≤≤314m ≤≤max y =21724m m -+213(1)4m =-+103<当，即时，当时，， 322m m ->304m <<t m =2max 342y m m =-++2210103(333m =--+≤所以. ()103g x ≤（ii ）若，则，令，则， 1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()[1,1]f x ∈-()t f x =[1,1]t ∈-所以，， ()g x =223217()224m t t m m ϕ-⎡⎤=--+-+⎢⎥⎣⎦[1,1]t ∈-因为，所以， 01m <≤1323222m -≤<当，即时，，，，132122m -≤≤112m ≤≤(1=ϕ-）32m -1[,1]2∈-|(1)|[0,1]ϕ-∈(1)40m ϕ=->，此时的最大值为， 23217137()2[,]2442m m m ϕ-=-+∈|()||()|g x t ϕ=21724m m -+当，即时，在上单调递增，，3212m ->102m <<()t ϕ[1,1]-min ()(1)32t m ϕϕ=-=-1(2,)2∈--，， min 1|()||(1)|(,2)2t ϕϕ=-∈max 7()(1)4(,4)2t m ϕϕ==-∈所以此时的最大值为，|()||()|g x t ϕ=4m -综上所述：. ()214,021712,142m m h m m m m ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-+≤<⎪⎩【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了分类讨论求二次函数在闭区间上的最值，考查了换元法，正确分类并利用二次函数的图象是解题关键，属于难题.。
上海市七宝中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题
上海市七宝中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题一、填空题1．若函数()2x y a =-在R 上是严格减函数，则实数a 的取值范围是.2．函数()ln 21y x =++的定义域是.3．函数432x y x -=-的图像的对称中心是.4．已知4433(3)(21)a a ---<+，则实数a 的取值范围是.5．已知函数2220242025,02025,0x x x y ax x x ⎧+>=⎨-<⎩是偶函数，则实数a =.6．若直线3y a =与函数1|2|(0,1)x y a a a +=->≠图像有两个公共点，则实数a 的取值范围是.7．关于x 的方程1936(5)0x x k k k +⋅-⋅+-=在[0,2]上有解，则k 的取值范围为.8．已知函数()()()ln 1ln 1f x ax x =++-的值域为R ，则实数a 的取值范围是.9．设函数22,2()26,2x x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩关于x 的方程()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则123223x x x ++的取值范围是.10．对于方程组()2128log 22log 1024y y x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中0x y >、，则方程组的解为.11．设a为实数，函数()f x x =（0a ≠），若()f x a =有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为．12．已知函数()f x 在区间[)1,+∞是增函数，且()N f x ∈，若()()()()()()()()12320241232024f f f f f f f f ++++=⋅⋅⋅⋅ ，则()2024f 的最大值为.二、单选题13．下列图形中，可以表示函数=的是（）A ．B ．C ．D ．14．已知()11f x x x =++-，有()()212a a f f a -=-，则实数a 的值有（）个A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个15．已知函数()lg f x x =，若实数,a b 满足0b a >>，且()()f a f b =，则下列说法不正确的是（）A ．()23,a b +∈+∞B ．a b +C ．()220,111a b a b +∈++D ．对于任意符合条件的,a b ，都有b aa b ≠16．已知常数,0m n >，函数()()()211f x m x m n x n =+-+-+，命题P ：对任意的1x >，都有()0f x >成立的充要条件为3n m -≤；命题Q ：若方程()f x x =无实数解，则方程()()f f x x =也一定没有实数解.则以下说法正确的是（）A ．命题P 为真命题，命题Q 为真命题B ．命题P 为假命题，命题Q 为真命题C ．命题P 为真命题，命题Q 为假命题D ．命题P 为假命题，命题Q 为假命题三、解答题17．已知函数2()a f x x x=+（0x ≠，常数a R ∈）(1)讨论()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若1a =，将()f x 的图像向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.18．已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠.(1)若2023,2024a b ==，判断函数()f x 的单调性，并用定义进行证明；(2)若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 的取值范围.19．今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数与()f x 时刻(x 时)的函数关系为()()25log 121f x x a a =+-++，[]024x ∈，，其中a 为空气治理调节参数，且()01a ∈，．(1)若12a =，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；(2)规定每天中()f x 的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？20．已知函数8e ()e 1x x f x m =++是奇函数．（e 是自然对数的底）(1)求实数m 的值；(2)若0x >时，关于x 的不等式(2)2()f x kf x ≤恒成立，求实数k 的取值范围；(3)设()4()4()f xg x f x +=-，对任意(0,]a b c t ∈,,，若以a ，b ，c 为长度的线段可以构成三角形时，均有以()g a ，()g b ，()g c 为长度的线段也能构成三角形，求实数t 的最大值．21．已知非空集合A ⊆R ，函数=的定义域为D ，若对任意t A ∈且x D ∈，不等式()()f x f x t ≤+恒成立，则称函数()f x 具有“QB ”性质.(1)当(],A a ∞=-，0a <，()11f x x x x =---++，∈，若()f x 具有“QB ”性质，请直接写出实数a 的最大值（不要求计算过程）；(2)当()0,1A =，()1f x x x=+，[),x a ∞∈+，若()f x 具有“QB ”性质，求a 的取值范围；(3)当{}()3,A m m =-∈Z ，若D 为整数集，且具有“QB ”性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的m 的值.。