湖南省高一上学期12月月考数学试卷
湖南省衡阳市2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案
2024年高一上第一次月考数学（答案在最后）一､选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知集合{2,3,4,5,7},{2,3},{3,5,7}U A B ===，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{2,3,5,7}B.{2,3,4}C.{2} D.{2,3,4,7}【答案】C 【解析】【分析】由集合的交集与补集运算求解即可.【详解】因为{}{}2,3,3,5,7A B ==，所以{3}A B ⋂=，图中阴影部分表示的集合A 中除去{3}A B ⋂=，故阴影部分表示的集合为{2}.故选：C.2.下列各式正确的个数是（）①{}00=；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}(){}0,10,1=A.2 B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可.【详解】对于①，元素与集合的关系用∈符号，应为{}00∈，故①错误；对于②，任何集合都是本身的子集，故②正确；对于③，空集是任何集合的子集，故③正确；对于④，集合{}0,1是数集，有2个元素，集合(){}0,1是点集，只有1个元素，故④错误；所以正确的个数有2个.故选：A.3.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.4.下列命题中正确的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则22a b >C.若0,0a b m >>>，则b m ba m a+<+D.若a b >且0ab >，则11a b<【答案】D 【解析】【分析】举反例说明AB 是错误的，利用作差法可证C 是错误的，利用不等式的性质可证D 是正确的.【详解】对A ：当0c =时，由a b >⇒22ac bc =，故A 错误；对B ：当1a =，1b =-，则满足a b >，但22a b >不成立，故B 错误；对C ：根据不等式的性质，若0,0a b m >>>，则 㤵㔠㤵㔠，也就是b m ba m a+>+，故C 错误；对D ：若a b >且0ab >，则a b ab ab >即11b a>，故D 正确.故选：D 5.已知条件1:1p x<，则使得条件p 成立的一个充分不必要条件是（）A.1x <-B.1x ≥ C.0x <或1x > D.0x ≠【答案】A【分析】解不等式得到1x >或0x <，使得条件p 成立的一个充分不必要条件应为1x >或0x <的真子集，从而得到答案.【详解】11x<，解得1x >或0x <，故使得条件p 成立的一个充分不必要条件应为1x >或0x <的真子集，其中1x <-满足要求，其他选项不满足.故选：A 6.已知集合(){}(){}2,1,,1,,A x y y x B x y x my m A B C ==-==+∈⋂=R ∣∣，若C 为单元素集合时，则（）A.12m =B.2m =C.0m =或12m = D.0m =或2m =【答案】C 【解析】【分析】由题意可得两集合组成的方程组只有唯一解，再结合方程的性质以及判别式求解即可；【详解】因为集合(){}(){}2,1,,1,,A x y y x B x y x my m A B C ==-==+∈⋂=R ∣∣，若C 为单元素集合，则方程组211y x x my ⎧=-⎨=+⎩只有唯一解，所以()211y my =+-，整理可得()22210m y m y +-=，当0m =时，方程变为00y y -=Þ=，此时1x =，符合题意；当0m ≠时，()221214002m m m D =--´=Þ=，所以0m =或12m =，故选：C.7.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（）A.6钱B.7钱C.8钱D.9钱【解析】【分析】根据题意设买大竹子x ，每根单价为m ，可得()()576781mx x m =+--，由078x ≤≤，解不等式组即可求解.【详解】依题意可设买大竹子x ，每根单价为m ，购买小竹子78x -，每根单价为1m -，所以()()576781mx x m =+--，即78654m x +=，即()610913x m =-，因为078x ≤≤，所以()10910913013610913789613m m m m⎧≤⎪-≥⎧⎪⇒⎨⎨-≤⎩⎪≤⎪⎩961091313m ⇒≤≤，根据选项8m =，30x =，所以买大竹子30根，每根8元.故选：C【点睛】本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.8.对于集合A ，B ，定义A \B ={|x x A ∈且}x B ∉，则对于集合A ={|65N x x n n =+∈，}，B ={|37N y y m m =+∈，}，|C x x A=∈B 且1000}x <，以下说法正确的是（）A.若在横线上填入”∩”，则C 的真子集有212﹣1个.B.若在横线上填入”∪”，则C 中元素个数大于250.C.若在横线上填入”\”，则C 的非空真子集有2153﹣2个.D.若在横线上填入”∪N ð”，则N ðC 中元素个数为13.【答案】B 【解析】【分析】根据各个选项确定相应的集合C ，然后由集合与子集定义得结论．【详解】653(21)2x n n =+=⨯++，373(2)1y m m =+=++，集合,A B 无公共元素，选项A 中，集合C 为空集，没有真子集，A 错；选项B 中，由651000n +<得51656n <，由371000m +<得331m <，因此C 中元素个数为166331497+=，B 正确；选项C 中，C 中元素个数为166，非空真子集个数为16622-，C 错；选项D 中，()()N NN NN N NC A B A B A B ===痧痧痧，而N B A ⊆ð，因此其中元素个数为331个，D 错．故选：B ．二､多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.已知集合A={1，2，2a }，B={1，2a +}，若B A ⊆，则a 的可能取值为（）A.1-B.0C.1D.2【答案】BD 【解析】【分析】利用B A ⊆，可得22a +=或22a a +=，再验证即可．【详解】因为B A ⊆，又集合{1A =，2，2}a ，{1B =，2}a +，所以22a +=或22a a +=，解得0a =或2a =或1a =-，当1a =-时，不满足集合元素的互异性，所以0a =或2a =．故选：BD ．10.已知实数x ，y 满足16x <<，23y <<，则（）A.39x y <+<B.13x y -<-<C.218xy <<D.1621xy <<-【答案】ACD 【解析】【分析】由不等式的性质直接求解.【详解】因为16x <<，23y <<，则39x y <+<，218xy <<，故A 、C 正确；由题32y -<-<-，故24x y -<-<，B 错误；112y <-<，则11121y <<-，故1621xy <<-，D 正确；故选：ACD.11.已知a >0，b >0，且3a +b =2，则（）A.ab 的最大值为13B.113a b+的最大值是2C.2219a b+的最小值是18 D.12a b a b+++的最小值是2【答案】AC 【解析】【分析】结合基本不等式的应用，但要只有等号能不能取，B 要用乘1法，D 减少变量后用基本不等式.【详解】因为0,0a b >>，且32a b +=，所以2≤，所以13ab ≤，当且仅当31a b ==时，等号成立，则A 正确；由题意可得()111111313222323232⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b a a b a b a b a b ，当且仅当3a b ==1时，等号成立，则B 错误；因为13ab ≤，所以2219618+≥≥a b ab ，当且仅当31a b ==时，等号成立，则C 正确；由32a b +=，得23b a =-，对于D ，由0230a b a >⎧⎨=->⎩，得023a <<，()()111123222222222322++=++-=+-=+--≥-++---a b a a a a a b a a a a，当且仅当()1222a a =--，当222a =±时，22223±>，矛盾，故等号取不到，故D 错误.故选：AC.三､填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12.已知集合{}0,1,2A =，写出一个满足{}1,0,1,2,3A B ⋃=-的集合：B =_____________.【答案】{}1,3-(答案不唯一)【解析】【分析】写出满足{}{}1,31,0,1,2,3B -⊆⊆-的集合即可.【详解】解：根据题意，只要是满足{}{}1,31,0,1,2,3B -⊆⊆-的集合即可所以B ={}1,3-故答案为：{}1,3-13.已知命题[]2:1,2,20p x x x a ∃∈--≤是假命题，则实数a 的取值范围是______.【答案】1a <-【解析】【分析】写出命题的否定为真命题，得到()2min2a x x <-，求出221y x x =-≥-，得到实数a 的取值范围.【详解】由题意，命题¬ 쳌䁠쳌 䁠 䁠 是真命题，所以()2min2a x x<-，其中()222111y x x x =-=--≥-，当且仅当1x =时，等号成立.故答案为：1a <-.14.已知关于x 的不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为()4,1-，则29c a b++的取值范围为______.【答案】(],6∞--【解析】【分析】根据一元二次不等式解集的形式，判断,,a b c 的关系及a 的符号，再结合基本（均值）不等式求式子的最大值即可.【详解】解：关于x 的不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为()4,1-，所以0a <，且4-和1是关于x 的方程20ax bx c ++=的两实数根，由根与系数的关系知，144b ac a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3,4b a c a ==-，所以2291699434c a a a b a a a ++==+++，因为0a <，所以()9464a a ⎛⎫-+-≥= ⎪⎝⎭即296c a b+≤-+故答案为：(],6∞--.四､解答题（共5小题，满分77分）15.已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{|1B x x =≤或 ．（1）当3a =时，求A B ⋂；（2）若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈ð”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|11x x -≤≤或}45x ≤≤（2）()0,1【解析】【分析】（1）当3a =时，求得{}15A xx =-≤≤∣，结合集合的交集的运算，即可求解；（2）根据题意，转化为A R B ð，根据集合之间的包含关系，列出不等式组，即可求解.【小问1详解】解：当3a =时，集合{}|22A x a x a =-≤≤+{}15xx =-≤≤∣，因为集合{|1B x x =≤或 ，所以{|11A B x x ⋂=-≤≤或}45x ≤≤.【小问2详解】解：由集合{|1B x x =≤或 ，可得{}|14B x x =<<R ð，因为{}|22(0)A x a x a a =-≤≤+>，且“x A ∈”是“R x B ∈ð”充分不必要条件，可得AR B ð，则21240a a a ->⎧⎪+<⎨⎪>⎩，解得01a <<，即实数a 的取值范围是()0,1.16.已知函数2()2h x ax ax =++．（1）若对于任意R x ∈，不等式()1h x >-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a<0时，解关于x 的不等式()(1)4h x a x <-+．【答案】（1）[)0,12；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）讨论0a =或0a ≠两种情况，由不等式恒成立，求参数的取值范围；（2）首先不等式整理为(1)(2)0ax x -+<，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式.【小问1详解】()1h x >-即为230ax ax ++>，所以不等式230ax ax ++>对于任意 R 恒成立，当0a =时，得30>，显然符合题意；当0a ≠时，得2Δ120a a a >⎧⎨=-<⎩，解得012a <<．综上，实数a 的取值范围是[)0,12．【小问2详解】不等式()(1)4h x a x <-+即为2(21)20ax a x +--<，即(1)(2)0ax x -+<．又a<0，不等式可化为1(2)0x x a-+>，若12a<-，即102a -<<时，得1x a <或2x >-，即解集为1{|x x a <或2}x >-；若12a=-，即12a =-时，得2x ≠-，即解集为{|2}x x ≠-；若12a >-，即12a <-时，得<2x -或1x a>，即解集为{|2x x <-或1}x a >．综上可知，当102a -<<时，解集为1{|x x a <或2}x >-；当12a =-时，解集为{|2}x x ≠-；当12a <-时，解集为{|2x x <-或1}x a >．17.根据要求完成下列问题：（1）已知4x y +=，是否存在正实数x ，y 使得5x y ⋅=？若存在，求出x ，y 的值；若不存在，请说明理由；（2）已知,,,R a b c d ∈，比较2222()()a b c d ++与2()ac bd +的大小并说明理由；（3）利用（2）的结论解决下面问题：已知m ，n 均为正数，且225m n +=，求2m n +的最大值．【答案】（1）不存在，理由见解析（2）22222()()()a b c d ac bd ≥+++，理由见解析（3）5【解析】【分析】（1）由基本不等式说明4x y ⋅≤即可；（2）用作差法比较大小即可；（3）由（2）的结论得22222(21)()(2)m n m n ++≥+，即可求解．【小问1详解】不存在，∵0x >，0y >，∴x y +≥4x y +=，∴4≥∴4x y ⋅≤，∴不存在x 、y 使得5x y ⋅=．【小问2详解】22222()()()a b c d ac bd ≥+++，证明如下：2222222222()()()2()0a b c d ac bd a d b c abcd ad bc ++-+=+-=-≥，当且仅当ad bc =时等号成立，∴22222()()()a b c d ac bd ≥+++．【小问3详解】由（1）得22222(21)()(2)m n m n ++≥+，∴2(2)5525m n +≤⨯=，∴25m n +≤，当且仅当2m n =，即2m =，1n =时等号成立，∴2m n +的最大值为5．18.某工厂生产某种产品，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21204000010y x x =-+.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨.（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润.【答案】（1）年产量为200吨时，平均成本最低为20万元；（2）年产量为220吨时，最大利润为840万元.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出平均成本的关系式，再利用基本不等式求解即得.（2）求出年利润关于年产量x 的函数关系，再利用二次函数求出最大值.【小问1详解】依题意，生产每吨产品的平均成本为[]400020,150,25010y x x x x=+-∈，而400020202010x x +-≥-=，当且仅当400010x x =，即200x =时取等号，所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元.【小问2详解】设利润为()W x ，则221()24(204000)220)8401010x W x x x x =--+=--+，而150250x ≤≤，因此当220x =时，max ()840W x =，所以年产量为220吨时，最大利润为840万元.19.已知正整数集合{}()1212,,,2,N ,0n n S a a a n n a a a =≥∈<<<< ,对任意,i j a a S ∈，定义()11,i j i j d a a a a =-.若存在正整数k ，使得对任意(),i j i j a a S a a ∈≠，都有()21,i j d a a k≥,则称集合S 具有性质k F .记()d S 是集合中的(){},,i j i j d a a a a S ∈最大值.（1）判断集合{}1,2,3A =和集合{}4,6B =是否具有性质3F ，直接写出结论；（2）若集合S 具有性质4F ，求证：()116n d S -≥；（3）若集合S 具有性质k F ，求n 的最大值.【答案】（1）集合{}1,2,3A =具有性质3F ；集合{}4,6B =不具有性质3F ；（2）证明见解析（3）21k -【解析】【分析】（1）根据定义直接判断得到答案.（2）确定()111n d S a a =-，变换()11223111111111n n nd S a a a a a a a a -=-=-+-++- ，计算得到证明.（3）确定()2,n i d a a n i k -≥，得到21i n i a k ->，确定21n i i k ->，再根据均值不等式计算最值得到答案.【小问1详解】{}1,2,3A =，则()()12211111,,2912d a a d a a ==-=≥；()()32231111,,6932d a a d a a ==-=≥；()()13311121,,3913d a a d a a ==-=≥，故集合{}1,2,3A =具有性质3F ；{}4,6B =，故()()1221461111,,129d b b b b d ==-=<，故集合{}4,6B =不具有性质3F ；【小问2详解】{}()1212,,,2,N ,0n n S a a a n n a a a =≥∈<<<< ，故121110n a a a >>>> ，故()max 111,i j n d a a a a =-，即()111nd S a a =-，集合S 具有性质4F ，故()161,i j d a a ≥，()11223111111111111116161616n n n n d S a a a a a a a a --=-=-+-++-≥+++= .【小问3详解】集合S 具有性质k F ，则()21,i j d a a k ≥，11a ≥，i a i ≥，*N i ∈，()211211*********,i i n i i n n i i i n n d a a a a a a a a a a a a n i k+++-=-=-=-++-≥--+ ，故21i n i a k->，又i a i ≥，故11i a i ≤，即21n i i k ->，*N i ∈，()22224i n i n k i n i +-⎛⎫>-≥= ⎪⎝⎭，当n 为偶数时当且仅当i n i =-，即2n i =时等号成立，当n 为奇数时等号不成立，()2max 14n i n i -⎡⎤-=⎣⎦，故2214n k ->，即2241n k <+，故21n k ≤-，综上所述：21n k ≤-，故n 的最大值为21k -.【点睛】关键点睛：本题考查了集合综合应用，意在考查学生的计算能力，转换能力和综合应用能力，其中根据集合中元素的大小关系，确定121110n a a a >>>> ，再利用绝对值的性质计算是解题的关键.。
湖南省长沙市雅礼中学2023届高三上学期月考数学试卷(四)参考答案
雅礼中学2023届高三月考试卷（四）一、单项选择题：1．答案C 解析A ∩B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8，x ，y ∈N *，y ≥x }＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．2．答案B 解析由等差中项的性质可得，a 3＋a 6＋a 8＋a 11＝4a 7＝12，解得a 7＝3，∵a 7＋a 11＝2a 9，∴2a 9－a 11＝a 7＝3.3.答案C 解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1，所以2a ＋12b ＝12(a ＋b＋a 2b ＋≥12×＝94，4.答案C 解析如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长的最小值为242＋102＝26(尺)，即为2丈6尺．5.答案B 解析直线x ＋ay －a －1＝0可化为(x －1)＋a (y －1)＝0，则当x －1＝0且y －1＝0，即x ＝1且y ＝1时，等式恒成立，所以直线恒过定点M (1,1)，设圆的圆心为C (2,0)，半径r ＝2，当MC ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|MC |2＝24－2＝22，此时弦长AB 对的圆心角为π2，所以劣弧AB 的长为π2×2＝π.6．答案D 解析由题意，得x ＝15×(20＋30＋40＋50＋60)＝40，y ＝15×(25＋27.5＋29＋32.5＋36)＝30，则k ＝y －0.25x ＝30－0.25×40＝20，故A 正确；由经验回归方程可知，b ^＝0.25>0，变量x ，y 呈正相关关系，故B 正确；若x 的值增加1，则y 的值约增加0.25，故C 正确；当x ＝52时，y ^＝0.25×52＋20＝33，故D 不正确．7.答案A 解析设事件A 表示“有一名主任医师被选派”，事件B 表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为P (B |A )＝n (AB )n (A )＝C 24C 13C 35C 24－C 34C 23＝1848＝38.8．答案B 解析∵c cos A ＋a cos C ＝2，由余弦定理可得c ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2，整理可得b ＝2，又AC 边上的高为3，∴12×2×3＝12ac sin B ，即ac ＝23sin B，∵cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac＝1－2ac ，当且仅当a ＝c 时取等号，∴cos B ≥1－33sin B ，即3sin B ＋3cos B ≥3，即≥32，∵B ∈(0，π)，∴B ＋π3∈B ＋π3∈，2π3，∴B ，π3，故∠ABC 的最大值为π3.二、多项选择题：9．答案AD 解析f (x )＝2cos 2x －x 1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin x对于A ，由y ＝2sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度，得到y ＝2sin 2＝2sin x 故选项A 正确；对于B ，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )B 不正确；对于C ，令f (x )＝0，得2x ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π8，k ∈Z ，因为x ∈[0，π]，所以k ＝1，x ＝38π；k ＝2，x ＝78π，所以f (x )在[0，π]上有2个零点，故选项C 不正确；对于D ，因为x ∈－π2，0，所以2x ＋π4∈－3π4，π4，所以x ∈－1，22，所以f (x )∈[－2，1]，所以f (x )在－π2，0上的最小值为－2，故选项D 正确．10.答案BCD 解析A 项，当M ，B 重合时，FM (即BF )与BD 是相交直线，故A 错误；B 项，由已知可得B 1F ⊥A 1C 1，又平面ABC ⊥平面CAA 1C 1，所以B 1F ⊥平面CAA 1C 1.在矩形AEFA 1中，△DEF 的面积S ＝12×EF ×A 1F ＝12×2×1＝1.又B 1F ＝12A 1C 1＝1，所以三棱锥D －MEF 的体积V M －DEF ＝13S ×B 1F ＝13×1×1＝13，所以B 正确；C 项，由AA 1⊥平面A 1B 1C 1，得AA 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1B 1，A 1B 1∩AA 1＝A 1，A 1B 1，AA 1⊂平面A 1B 1BA ，所以B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ，因为BD ⊂平面A 1B 1BA ，所以B 1C 1⊥BD ，所以C 正确；D 项，由题意可得四边形BB 1FE 为矩形，连接BF (图略)，则矩形BB 1FE 外接圆的圆心为BF 的中点O 1，且O 1F ＝O 1B ＝52.过O 1作O 1N ⊥EF ，垂足为N ，连接DN ，O 1D ，则O 1N ＝12，DN ＝1，O 1N ⊥DN ，故O 1D ＝52，所以O 1是四棱锥D －BB 1FE 的外接球的球心，外接球的半径为R ＝52，则外接球的表面积为S ＝4π＝5π，所以D 正确．11．答案AD 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋p 2，＝my ＋p 2，2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2.对于A ，OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 212p ·y 222p ＋y 1y 2＝p 24－p 2＝－34p 2，故A 正确；对于B ，根据抛物线的定义可知|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，故|AF |·|BF |12(my 1＋p )(my 2＋p )＝m 2y 1y 2＋pm (y 1＋y 2)＋p 2＝－m 2p 2＋2p 2m 2＋p 2＝p 2(m 2＋1)＝4p 2，所以m 2＋1＝4，解得m ＝±3，所以直线l 的斜率k ＝1m ＝±33，故B 不正确；对于C ，由题意可知2＋p 2＝3，解得p ＝2，则抛物线的方程为y 2＝4x ，故C 不正确；对于D ，由题意可知p ＝2，所以y 1＋y 2＝4m .易得sin ∠PMN ＝d r，其中d 是点P 到y 轴的距离，r 为以AB 为直径的圆的半径，且d ＝x 1＋x 22，r ＝|PM |＝|AB |2＝x 1＋x 2＋22.又x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1，且y 1＋y 2＝4m ，所以d ＝2m 2＋1，r ＝2m 2＋2，所以sin ∠PMN ＝d r ＝2m 2＋12m 2＋2＝1－12(m 2＋1)，当m ＝0时，sin ∠PMN 取得最小值12，故D 正确．12.答案ABC 解析由题意，原不等式可变形为1e x －1x ≤x a －a ln x ，即1e x －1ln e x ≤x a －ln x a ，设f (x )＝x －ln x ，则当x ≥e 时，1e x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤f (x a )恒成立，因为f ′(x )＝1－1x ＝x －1x，所以函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，因为x ≥e ，a >0，所以1e x>1，x a >1，因为f (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以要使1e x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤f (x a )，只需1e x ≤x a ，两边取对数，得1x ≤a ln x ，因为x ≥e ，所以a ≥1x ln x.令h (x )＝x ln x (x ∈[e ，＋∞))，因为h ′(x )＝ln x ＋1>0，所以h (x )在[e ，＋∞)上单调递增，所以h (x )min ＝h (e)＝e ，所以0<1x ln x ≤1e ，则a ≥1e ，故正实数a 的最小值为1e .三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．13．答案23解析方法一设z 1－z 2＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，因为z 1＋z 2＝3＋i ，所以2z 1＝(3＋a )＋(1＋b )i ，2z 2＝(3－a )＋(1－b )i.因为|z 1|＝|z 2|＝2，所以|2z 1|＝|2z 2|＝4，所以(3＋a )2＋(1＋b )2＝4，①(3－a )2＋(1－b )2＝4，②①2＋②2，得a 2＋b 2＝12.所以|z 1－z 2|＝a 2＋b 2＝2 3.方法二设复数z 1，z 2在复平面内分别对应向量OA →，OB →，则z 1＋z 2对应向量OA →＋OB →.由题意知|OA →|＝|OB →|＝|OA →＋OB →|＝2，如图所示，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则z 1－z 2对应向量BA →，且|OA →|＝|AC →|＝|OC →|＝2，可得|BA →|＝2|OA →|sin 60°＝23.故|z 1－z 2|＝|BA →|＝23.14.答案－2解析如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝AD →＋14AB →·34AB →－AD →＝12AB →·AD →－AD →2＋316AB →2＝12×8－9＋316×42＝－2.15.答案y ＝e x 或y ＝x ＋1解析设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)，则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ，∴f ′(x 1)＝1e x ，∴切点为(x 1，1e x )，切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x－x 1)，即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)，∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1，即(1－x 1)(1e x－1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.16．答案如图，设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，焦距为2c ，由椭圆定义可得m ＋n ＝2a ，由双曲线定义可得m －n ＝2a 1，解得m ＝a ＋a 1，n ＝a －a 1，当|F 1F 2|＝4|MF 2|时，可得n ＝12c ，即a －a 1＝12c ，可得1e 1－1e 2＝12，由0<e 1<1，可得1e 1>1，可得1e 2>12，即1<e 2<2，则e 1e 2＝2e 222＋e 2，可设2＋e 2＝t (3<t <4)，则2e 222＋e 2＝2(t －2)2t＝＋4t －f (t )＝t ＋4t －4在(3,4)上单调递增，可得f (t )e 1e 2四、解答题：17.解(1)由题意，设数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝5，a 1a 2＝2a 4，1＋2d ＝5，1·(a 1＋d )＝2(a 1＋3d )，整理得(5－2d )(5－d )＝2(5＋d )，即2d 2－17d ＋15＝0，解得d ＝152或d ＝1，因为{a n }为整数数列，所以d ＝1，又由a 1＋2d ＝5，可得a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2.(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2，又由数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，根据题意，得新数列{c n }，b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，则T 4n ＋3＝b 1＋a 1＋a 2＋b 2＋b 3＋a 3＋a 4＋b 4＋…＋b 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋b 2n ＋b 2n ＋1＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n ＋1)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n ＋2)＝2×(1－22n ＋1)1－2＋(3＋2n ＋4)(2n ＋2)2＝4n ＋1＋2n 2＋9n ＋5.18.解（1）由题设，sin sin a C BD ABC =∠，由正弦定理知：sin sin c b C ABC =∠，即sin sin C c ABC b =∠，∴ac BD b=，又2b ac =，∴BD b =，得证.（2）由题意知：2,,33b b BD b AD DC ===，∴22222241399cos 24233b b b c c ADB b b b +--∠==⋅，同理2222221099cos 2233b b b a a CDB b b b +--∠==⋅，∵ADB CDB π∠=-∠，∴2222221310994233b bc a b b --=，整理得2221123b a c +=，又2b ac =，∴42221123b b a a +=，整理得422461130a a b b -+=，解得2213a b =或2232a b =，由余弦定理知：222224cos 232a c b a ABC ac b+-∠==，当2213a b =时，7cos 16ABC ∠=>不合题意；当2232a b =时，7cos 12ABC ∠=；综上，7cos 12ABC ∠=.19.(1)证明因为E ，F 分别是AC 和CC 1的中点，且AB ＝BC ＝2，所以CF ＝1，BF ＝5.如图，连接AF ，由BF ⊥A 1B 1，AB ∥A 1B 1，得BF ⊥AB ，于是AF ＝BF 2＋AB 2＝3，所以AC ＝AF 2－CF 2＝2 2.由AB 2＋BC 2＝AC 2，得BA ⊥BC ，故以B 为坐标原点，以BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B (0,0,0)，E (1,1,0)，F (0,2,1)，BF →＝(0,2,1)．设B 1D ＝m (0≤m ≤2)，则D (m ，0,2)，于是DE →＝(1－m ，1，－2)．所以BF →·DE →＝0，所以BF ⊥DE .(2)解易知平面BB 1C 1C 的一个法向量为n 1＝(1,0,0)．设平面DFE 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )·n 2＝0，·n 2＝0，又DE →＝(1－m ，1，－2)，EF →＝(－1,1,1)1－m )x ＋y －2z ＝0，x ＋y ＋z ＝0，令x ＝3，得y ＝m ＋1，z ＝2－m ，于是平面DFE 的一个法向量为n 2＝(3，m ＋1,2－m )，所以cos 〈n 1，n 2设平面BB 1C 1C 与平面DFE 的夹角为θ，则sin θ＝1－cos 2〈n 1，n 2〉，故当m ＝12时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 夹角的正弦值最小，为33，即当B 1D ＝12时，平面BB 1C 1C 与平面DFE 夹角的正弦值最小．20.解(1)进行一次试验，获得0分的概率为12×13＋12×23＝12，获得1分的概率为12×23＝13，获得2分的概率为12×13＝16，进行两次试验，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，P (X ＝4)＝16×16＝136，P (X ＝3)＝13×16×2＝19，P (X ＝2)＝12×16×2＋13×13＝518，P (X ＝1)＝13×12×2＝13，P (X ＝0)＝12×12＝14.所以分数X 的分布列为X01234P 141351819136E (X )＝0×14＋1×13＋2×518＋3×19＋4×136＝43.(2)①G (2)＝16＋13×13＝518，②据题意有，G (n )＝16G (n －2)＋13G (n －1)，其中n ≥3，设G (n )－λG (n －1)＝16G (n －2)＋13G (n －1)－λG (n －1)＝16G (n －2)(n －1)G (n －1)－λG (n －2)]＝16，解得λ＝1±76，所以{G (n )－λG (n －1)}是公比为13－λ的等比数列，其中n ∈N *，n ≥2，λ＝1±76.21.解(1)设y 由P (4,0)，可得|AP |2＋y 20＝y 4016－y 20＋16＝116(y 20－8)2＋12≥12，当y 0＝±22时，|AP |取得最小值23.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝my ＋t ，2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0，即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3,0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.22.解(1)f ′(x )＝2x sin x －(x 2－a )cos x sin 2x，f π，所以f (x )f y ＝πx ，所以f ＝π22，即π24－a －2＝π22，a ＝－π24－2.(2)因为x ∈(0，π)，所以sin x >0，所以x 2－a sin x－2＝0可转化为x 2－a －2sin x ＝0，设g (x )＝x 2－a －2sin x ，则g ′(x )＝2x －2cos x ，当x ∈π2，g ′(x )>0，所以g (x )在区间π2，x h (x )＝g ′(x )＝2x －2cos x ，此时h ′(x )＝2＋2sin x >0，所以g ′(x )在x又g ′(0)＝－2<0，g π>0，所以存在x 0g ′(x )＝0且x ∈(0，x 0)时g (x )单调递减，x ∈x 0g (x )单调递增．综上，对于连续函数g (x )，当x ∈(0，x 0)时，g (x )单调递减，当x ∈(x 0，π)时，g (x )单调递增．又因为g (0)＝－a <0，所以当g (π)＝π2－a >0，即a <π2时，函数g (x )在区间(x 0，π)上有唯一零点，当g (π)＝π2－a ≤0，即a ≥π2时，函数g (x )在区间(0，π)上无零点，综上可知，当0<a <π2时，函数f (x )在(0，π)上有1个零点；当a ≥π2时，函数f (x )在(0，π)上没有零点．。
湖南省长沙市2025届高三上学期第二次月考数学试卷含答案
湖南2025届高三月考试卷（二）数学（答案在最后）命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是（）A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-，所以其虚部为12-，故C 正确.故选：C.2.已知a 是单位向量，向量b 满足3a b -= ，则b 的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b -= ，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b -= ，即3OA OB BA -== ，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a 是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即 b 的最大值为4.故选：B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（）A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选：D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩，当0x <时，()e 33xf x a =+-单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增，只需1330a a +-≤+，解得1a ≥.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD -的体积为83，则圆柱的表面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB -=⋅△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===，取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，解得=1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为1,0，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，不妨设120y y >>，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，故221212144y y x x =⋅=，又B =1+2=1+1，2212p BF x x =+=+，则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12,23x x ==时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++，因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+，当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =是=的一条对称轴，所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象，当3π4=-x 时，3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，11113π3π4164y --=⨯(-=-<-，当5π4x =时，5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π14111461y =⨯-=->-，当9π4x =时，9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11119π9π4416y =⨯-=-<，当17π4x =时，17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示，可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3，故C 正确.故选：C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=，则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x -，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g -=-，再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f -⋅=，解得()00f =，故A 错；对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-，得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，即()()f y x f x y -=--，故()f x 为奇函数，故B 错；对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==，即()()()()()00000g g f f g -=，()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴-=-，由题知：()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦，令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦，()()1112f g += ，()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦，即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦，令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦，又()()111g f -=，即()()()()11f x g x f x g x -+-=+，即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x -- ，1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确；对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+，则（）A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-，可知()g x 为奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于0,2中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b '=-，当30b a ->时，取1,1a b =-=-，当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b '=-，当0ab >时，()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根，所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +-=，圆心为0,1，()sin 1f x x =+的图象也过0,1，且0,1是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩，与圆交于点()1,0-，1,0，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ，所以()f x 为奇函数，由()30f x kx kx =-=，得0x =或1x =±，所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2624222110k x k x k x -++-=，令2t x =，则()232222110k t k t kt -++-=，即()()222110t k t k t --+=，得1t =或22210k t k t -+=，当1t =时，1x =±，当22210k t k t -+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k=-=-，若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈-时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈-，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =-，则12y x'=-，则11x y ='=，曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，当0a ≠时，则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩，得()2110ax a x -++=，由2Δ(1)40a a =+-=，得1a =.故答案为：1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a =，12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=，又由于12PF F 的内切圆的半径为3c，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅，所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c ca c a =+⋅，整理得：22230a ac c --=，两边同除以2a ，得2320e e +-=，所以23e =或1-，又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b +>恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x ->，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=+=，设事件A =“不等式()f x b >恒成立”，则事件A 包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC 的面积为334，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3B =（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由.112333BD BC CA BA BC =+=+，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y -=（2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和3e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程；（2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y -=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCDS AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得22243c e a ==，则有223a b =，又点(在双曲线E 上，故229213-=b b，解得221,3b a ==，故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--，其中0k ≠，因为12,l l 均与E 的右支有两个交点，所以313,33k k >->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--，所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭，同理)22313k BD k +=-，所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+，所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭，当112t =，即1k =±时，等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，2,P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P 为11A B 中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥.又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ，所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,0,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=，()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===，则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈，设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩，取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+，则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=，即()()21670λλ-+=，所以12λ=或76λ=-（舍），故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小问1详解】（i ）因为21n a n =-单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立，所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质P .（ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ，两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ，即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--，所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ，若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②，2n c -=①②，即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时，0121p <-<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-，()2233g x x ax a a =-+--（a ∈R 且2a <）.（1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++，定义域为{}0xx ≠∣，所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-'，所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>'，所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增，又()20F '=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x '>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥-，要证()()f x g x ≥，只需证()x g x -≥，即证()223130x a x a a -+++≥，令()()22313G x x a x a a =-+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <，则对称轴31425a x +=<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由（1）知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增，又()13a ϕ'=-.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增，所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=-<'，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++'，令()124e(1)a m a a -=-+，则()()()14e 21a m a a h a -=-+='，则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数，令()0h a '=得1ln2a =-，当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减，当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增，又()()10,00m m ='<'，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a '<单调递减，当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a '>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+，所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ'=，即()0200204e 12230x x x a x ---+-=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥，符合题意.若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。
湖南省永州市蓝山县第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷
湖南省永州市蓝山县第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷一、单选题1．若集合{}{}26,2,,2A B m m =-=--，且A B =，则实数m 的值为 （ ）.A ．23-或B ．2C ．3D ．23-或2．已知集合{}0P x x =<，{}21Q x x =≥，则P Q =I （ ）A ．{}1x x <B ．{}1x x ≤-C ．{}1x x >D ．{}1x x ≥-3．设p : 5x <，q : 15x -<<，则p 是q 成立的（ ）. A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设集合{}260A x x x =--<，{}B x x a =>且{}13A B x x ⋂=<<，则a =（ ）A ．1或2-B ．1C ．2-D ．35．命题p : 2R,60x x x ∀∈-+<，则p ⌝是（ ）. A ．2R,60x x x ∀∈-+≥ B ．2R,60x x x ∀∈-+> C ．2R,60x x x ∃∈-+>D ．2R,60x x x ∃∈-+≥6．已知 0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．11a b> B ．2ab b < C ．22a b < D ．2a ab >7．若102x <<，则 x 1−2x 的最大值是（ ）A ．14B C ．12D 8．不等式20ax bx c ++>的解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则不等式20cx bx a ++>的解集为（ ）.A ．{2x x <-或13x ⎫>⎬⎭B ．123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．13x x ⎧<-⎨⎩或x >2二、多选题9．对于任意的实数a b c d ，，，，下列命题错误的有（ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，c d >，则ac bd > C ．若22ac bc >，则a b >D ．若a b >，则11a b> 10．下列不等式，其中正确的有（ ）A ．()222,R a b ab a b +≥∈B ．()232R x x x +>∈C ．()2221a b a b +≥--D 2a b+ 11．设a 为实数，则关于x 的不等式()()120-+>ax x 的解集可能是（ ）A ．{}|0x x =B ．{1|x x a >或}2x <-C ．12x x a ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭D ．12x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭三、填空题12．已知实数,x y 满足12,01x y -≤<<≤，则2x y -的取值范围是． 13．不等式256x x -+>的解集是．14．关于x 的方程220x ax a -+=两根在1的两侧，则实数a 的取值范围是.四、解答题15． 已知全集U 是实数集R ，集合{}2120A x x x =+-<，集合{}2430B x x x =-+>.(1)求A B ⋂； (2)求()()U U C A C B ⋂.16．已知函数22,0y x x a y =-+<的解集为{}|1x x t -<<. (1) 求,a t 的值；(2) 当c 为何值时，()()2210c a x c a x +++-<的解集为R .17．已知x ，y 都是正数．（1）若3212x y +=，求xy 的最大值；（2）若23x y +=，求11x y+的最小值．18．某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为x 米()16x ≤≤，乙工程队给出的整体报价为()18002a x x+元(0)a >，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍. (1)若10a =，问学校该怎样选择；(2)在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数a 的最大值.19．设()212y mx m x m =+-+-(1) 若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围；(2) 已知0m <，解关于x 的()2121mx m x m m +-+-<-.。
湖南省永州市东安天成实验学校2013-2014学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含答案湘教版
考场座位号 班级 _姓名 考号 ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆东安天成实验学校2013年12月月考高一年级数学试卷满分150分；考试用时120分钟。
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1、已知集合{1,2,3,4,5,6},{134}U A ==，，，，则U C A =（ ）（A ）{5,6} （B ）{1,2,3,4} （C ）{2,5,6} （D ）{2,3,4,5,6} 2．下列命题中，错误的是（ ）A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．平行于同一条直线的两个平面平行C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交3. 正方体1111D C B A ABCD -的对角线1AC 的长为3cm ，则它的体积为（ ）A ．34cm B ． 38cm C .372112cm D ．333cm 4. 如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥， 则棱锥的体积与原长方体的体积之比为 （ ）A. 1﹕3B. 1﹕4C. 1﹕5D. 1﹕6 5、把函数1y x=的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的解析式应为（ ） （A ）321x y x -=- （B ）211x y x -=- （C ）211x y x +=-+ （D ）231x y x +=+6、函数()212log 45y x x =--的递减区间为（ ）（A ）()-∞，2 （B ）()2+∞，（C ）()--1∞， （D ）()5+∞，7、函数2223()(1)m m f x m m x --=-- 是幂函数，且在(0,)x ∈+∞ 是减函数，则实数m =（ ）（A ）2（B ）3 （C ）1 （D ）-18．设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若γα⊥，γβ⊥，则//αβ；②若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，α⊂l ，则//l β； ④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，//l γ，则//m n ．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9、函数()f x =的定义域为______. 10、若一次函数()f x x b =+有一个零点2，那么函数2()+g x bx x =的零点是 . 11. 用一平面去截球所得截面的面积为π2cm 2，已知球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积是 cm 3.12、已知0<a<1,则方程log x a a x =的解的个数为 个 .13、定义集合运算{|,,}{12},{02}A B z z xy x A y B A B *==∈∈==，设，，， 则集合A B *的所有元素之和为 .14．一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 成60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD ． 其中正确结论的序号是________．15、已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①,x R ∈任意的有()0f x <或()0g x < ； ②存在(,4)x ∈-∞- ,使得()()0f x g x < .则()0g x <的解集是 ， m 的取值范围是_______.三、解答题：（本大题共6小题，共75分） 16、（满分12分）计算下列各式的值.（1） ()()1223021329.63 1.548--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭---+（2） 2lg5lg 20(lg 2)⋅+17、（满分12分）已知()f x 是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足条件以下条件：()()()f xy f x f y =+,(2)1f =.（1）求证：(8)3f =.(2)求不等式()3(2)f x f x >+-的解集.18．(本小题满分12分)如图为一个几何体的三视图，求这个几何体的表面积和体积．19. (本小题满分13分)如图，正方体1111D C B A ABCD -中， E 是1DD 的中点． （1）求证：1BD ∥平面AEC ； （2）求1BC 与平面11A ACC 所成的角.B A CBA20、（本小题满分13分）如图，在矩形ABCD 中，AB=33，BC=3，沿对角线BD 将BCD折起，使点C 移到点C ˊ，且C ˊ在平面ABD 的射影O 恰好在AB 上 （1）求证：BC ˊ⊥面ADC ˊ； （2）求二面角A —BC ˊ—D 的正弦值。
湖南省株洲市2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(解析版)
湖南省株洲市2024年下半年高一年级第一次月考数学试卷（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一､单选题1.集合{}1238,x x x -≤+≤∈N 用列举法表示为（）A.{}2,1,0,1,2-- B.{}1,0,1,2- C.{}0,1,2 D.{}1,2【答案】C 【解析】【分析】首先解不等式组，再用列举法表示即可.【详解】由1238x -≤+≤，解得522x -≤≤，所以{}{}51238,2,0,1,22x x x x x x ⎧⎫-≤+≤∈=-≤≤∈=⎨⎬⎩⎭N N .故选：C2.下列命题的否定为真命题的是（）A.,x y ∃∈R ，使得方程259x y +=有整数解B.x ∀∈R ，2210x x -+≥C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形D.x ∀∈R ，方程20ax bx c ++=是一元二次方程【答案】D 【解析】【分析】根据命题的否定的定义以及真命题的定义逐一判断各个选项即可.【详解】原命题的否定为“,x y ∀∈R ，方程25x y +=9没有整数解”，令2x =，则1y =，此时方程有整数解，即原命题的否定为假命题，A 错误；原命题的否定为“2,210x x x ∃∈-+<R ”，()222110x x x -+=-≥，当且仅当1x =时等号成立，即原命题的否定为假命题，B 错误；原命题的否定为“存在一组邻边相等的平行四边形不是菱形”，为假命题，C 错误；原命题的否定为“x ∃∈R ，方程20ax bx c ++=不是一元二次方程”，当0a =时，原方程为0bx c +=是一元一次方程，即原命题的否定为真命题，D 正确．故选：D.3.已知x ∈R ，则“12x -≤≤”是“021x x ≤-+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】求不等式021x x ≤-+的解集，根据集合的关系进行判断.【详解】由021x x ≤-+⇒12x -<≤，设集合{}|12A x x =-≤≤，{}|12B x x =-<≤，则B 为A 的真子集.所以“12x -≤≤”是“021x x ≤-+”的必要不充分条件.故选：B4.已知)13fx +=+，则()1f x +的解析式为（）A.()()140f x x x +=+≥B.()()2131f x x x +=+≥C.()()21241f x x x x +=-+≥ D.()()2130f x x x +=+≥【答案】D 【解析】【分析】令1,1t t =≥，利用换元法求出函数()224f t t t =-+()1t ≥，从而直接代入即可求出()1f x +的解析式.【详解】因为)13fx +=+，所以令1,1t t =+≥，则()21x t =-，所以()()221324=-+=-+f t t t t ()1t ≥，所以()()()22112143f x x x x +=+-++=+，因为1t ≥，所以11x +≥，即0x ≥，所以()213f x x +=+()0x ≥.故选：D.5.已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则32x y -的取值范围是（）A.2328x y ≤-≤B.3328x y ≤-≤C.2327x y ≤-≤D.53210x y ≤-≤【答案】A 【解析】【分析】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，利用待定系数法求得,m n ，利用不等式的性质即可求32x y -的取值范围．【详解】设()()()()32x y m x y n x y m n x m n y -=+--=-++，所以32m n m n -=⎧⎨+=-⎩，解得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即可得()()153222x y x y x y -=++-，因为11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，所以2≤()()153222x y x y x y -=++-8≤，故选：A ．6.已知0a b c >>>，则下列结论正确的是（）A.11a b a b +>+ B.b ab a a b+<+C.c ba c ab >-- D.b c ba c a->-【答案】B 【解析】【详解】直接由作差法逐一判断即可.【分析】对于A ：()()()()11111a b ab b a a b a b a b a b ab abab ---⎛⎫+--=-+=--=⎪⎝⎭，因为0a b >>，则0ab >，0a b ->，所以，当1ab >时，11a b a b+>+，当1ab <时，11a b a b +<+，当1ab =时，11a b a b+=+，A 错误；对于B ：因为0a b >>，则0b a -<，0ab >，0ab a b ++>，则()()()220b a ab a b b a b a b a b a a b ab ab-++-+--=-+=<，所以b ab a a b+<+，B 正确；对于C ，因为0a b c >>>，则0c b -<，0a c ->，0a b ->，由题意()()()()()()()0c a b b a c a c b c ba c ab ac a b a c a b -----==<------，即c b a c a b<--，故C 错误；对于D ，由题意()()()()()0a b c b a c c b a b c b a c a a a c a a c ------==<---，即b c ba c a-<-，故D 错误.故选：B.7.已知函数()()2314,16,1a x a x f x x ax x ⎧-+<=⎨-+≥⎩满足：对任意12,x x ∈R ，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是（）A.[)2,+∞ B.1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦D.[]1,2【答案】C 【解析】【分析】利用增函数的定义并结合一次函数与二次函数性质列出不等式求解即可.【详解】对任意12,R x x ∈，当12x x ≠时都有1212()()0f x f x x x ->-成立，所以函数2(31)4,1()6,1a x a x f x x ax x -+<⎧=⎨-+≥⎩在R 上是增函数，所以3101231416a aa a a ->⎧⎪⎪≤⎨⎪-+≤-+⎪⎩，解得113a <≤，所以实数a 的取值范围是1,13⎛⎤⎥⎝⎦.故选：C.8.已知集合{}2,3,4,5,6,7,8S =，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素k 都乘以(1)k -再求和，例如{2,3,8}A =，则可求得和为238(1)2(1)3(1)87-⋅+-⋅+-⋅=，对S 的所有非空子集，这些和的总和为（）A.920.B.924C.308D.320【答案】D 【解析】【分析】分析出2,3,4,5,6,7,8在集合S 的所有非空子集中分别出现了62次，从而列出式子，求出这些和的总和.【详解】S 的子集个数有72个，其中每个元素均出现62次，故元素2,3,4,5,6,7,8在集合S 的所有非空子集中分别出现了62次，则对S 的所有非空子集中，元素k 执行乘以()1k-再求和操作，则这些和的总和为()()()()()()()23456786212131415161718⎡⎤⨯-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎣⎦()642345678320=⨯-+-+-+=.故选：D二､多选题9.有以下判断，其中是正确判断的有（）A.()xf x x =与()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数B.函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个C.()221f x x x =-+与()221g t t t =-+是同一函数D.函数()y f x =的定义域为[]2,3，则函数()21y f x =-的定义域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD 【解析】【详解】对于A ，先求出两函数定义域，由两函数定义域不同即可判断；对于B ，由函数定义分函数()y f x =在1x =处有没有定义即可判断；对于C ，由函数的定义域和对应关系即可判断；对于D ，先由函数()1y f x =+定义域为[]1,2得213≤+≤x ，从而得函数()21y f x =-有2213x ≤-≤，解该不等式即可得解.【分析】对于A ，函数()xf x x =的定义域为{}0x x ≠，函数()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域为R ，故函数()f x 和()g x 不是同一函数，故A 错误；对于B ，若函数()y f x =在1x =处有定义，则()y f x =的图象与直线1x =的交点有1个，若函数()y f x =在1x =处没有定义，则()y f x =的图象与直线1x =的没有交点；所以函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个，故B 正确；对于C ，因为函数()221f x x x =-+与()221g t t t =-+的定义域均为R ，且两函数对应关系相同，所以函数()f x 与()g t 是同一函数，故C 正确；对于D ，对函数()y f x =，其定义域为[]2,3，所以对函数()21y f x =-有2213x ≤-≤，解得322x ≤≤，所以函数()21y f x =-的定义域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.10.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a +b ，宽为内接正方形的边长d ．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形的对角线AE ，过点A 作AFBC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（）A.由题图（1）和题图（2）面积相等得2ab d a b=+B.由AE AF ≥2a b+≥C.由AD AE ≥211a b≥+D.由AD AF ≥可得222a b ab +≥【答案】BCD 【解析】【分析】根据题图（1），（2）面积相等，可求得d 的表达式，从而判断A 选项的正误，由题意可求得题图（3）中AD ，AE ，AF 的表达式，逐一分析B ，C ，D 选项，即可得答案．【详解】对于A ，由题图（1），（2）面积相等得()S ab a b d ==+⨯，所以abd a b=+，故A 错误．对于B ，因为AF BC ⊥，所以12a b AF ⨯⨯=，所以AF =，设题图（3）中内接正方形的边长为t ，根据三角形相似可得a t t ab -=，解得abt a b=+，所以2AE a b==+．因为AE AF ≥，所以2ab a b ≥+2a b+≥，故B 正确．对于C ，因为D 为斜边BC的中点，所以2AD =，因为AD AE ≥，所以22a b≥+211a b≥+，故C 正确．对于D ，因为AD AF ≥≥222a b ab +≥，故D 正确．故选：BCD11.定义在()0,∞+上的函数()f x 满足下列条件：（1）()()x f yf x xf y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）当1x >时，()0f x >，则（）A.()10f =B.当01x <<时，()0f x <C.()()22f xf x ≥D.()f x 在()1,+∞上单调递减【答案】AB 【解析】【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，A ，取1x y ==可得；B ，取1x =，再由条件当1x >时，()0f x >推理可得；对于C ，虽能用基本不等式，但因()f x 在0,+∞上的符号不定，得不出结论；对于D ，运用单调性定义法推导得出相反结论，排除.【详解】对于A 项，由()()x f yf x xf y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，取1x y ==，得，(1)(1)(1)0f f f =-=，故A 项正确；对于B 项，由()()x f yf x xf y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取1x =，因1=0，故1(()f f y y =-，即1()()f f x x =-，当01x <<时，11x>，则1()0f x >，故()0f x ->，即()0f x <，故B 项正确；对于C 项，由()()x f yf x xf y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，取2x y =，可得，22()()()f y yf y y f y =-，整理得，21()()()f y y f y y=+，因0y >，12y y+≥，当且仅当1y =时取等号，但因()f y 的符号不能确定，故不一定有2()2()f y f y ≥，即2()2()f x f x ≥不一定成立，故C 项错误；对于D 项，任取121x x >>，则121x x >，依题意，12(0xf x >，而()()121122x f x f x x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()()21120x f x x f x ->，即()()1212f x f x x x >，即()()f x g x x=在(1,)+∞上是增函数.于是，对于()()f x xg x =，任取121x x >>，因12()()0g x g x >>，则1122()()x g x x g x >，即12()()f x f x >，即函数()f x 在1,+∞上单调递增，故D 项错误.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质判断和应用，属于难题.解决此类题的关键在于观察已知抽象函数式的特征，巧用赋值代入法，对称取值法和定义推导法进行推理判断，即可得出正确结论.三､填空题12.若{}210,,21m m m ∈-+，则m =__________．【答案】2【解析】【分析】分类讨论结合互异性即可得出答案.【详解】因为{}210,,21m m m ∈-+，所以1m =或2211m m -+=，若1m =，2210m m -+=，不满足互异性；若22110m m m -+=⇒=或2，又0m ≠，所以2m =，故答案为：2.13.已知,a b +∈R ，41a b +=，则aba b+的最大值是________．【答案】19【解析】【分析】先求出11a b+的最小值，再将aba b +化为111a b+，即可求得答案.【详解】因为,a b +∈R ，41a b +=，故()111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=，结合41a b +=，即11,63==a b 时等号成立，所以11119ab a b a b =≤++，即ab a b +的最大值是19，故答案为：1914.如图，在等边三角形ABC 中，AB =6.动点P 从点A 出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A 点，记P 运动的路程为x ，点P 到此三角形中心O 距离的平方为f (x )，给出下列三个结论：①函数f (x )的最大值为12；②函数f (x )的图象的对称轴方程为x =9；③关于x 的方程()3f x kx =+最多有5个实数根.其中，所有正确结论的序号是____.【答案】①②【解析】【分析】写出P 分别在,,AB BC CA 上运动时的函数解析式2()f x OP =，利用分段函数图象可解.【详解】P 分别在AB 上运动时的函数解析式22()3(3),(06)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在BC 上运动时的函数解析式22()3(9),(612)f x OP x x ==+-≤≤，P 分别在CA 上运动时的函数解析式22()3(15),(1218)f x OP x x ==+-≤≤，22223(3),(06)()||3(9),(612)3(15),(1218)x x f x OP x x x x ⎧+-≤≤⎪==+-≤≤⎨⎪+-≤≤⎩，由图象可得，方程()3f x kx =+最多有6个实数根故正确的是①②.故答案为：①②【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.四､解答题15.已知函数1()1x f x x +=-.（1）证明：函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减；（2）当(1,)x ∈+∞时，求函数221()1x x g x x ++=-最小值【答案】（1）证明见解析；（2）8【解析】【分析】（1）利用函数单调性定义，推理论证即可.（2）利用配凑思想，结合基本不等式求出最小值.【小问1详解】函数122()111x f x x x -+==+--，1212,(1,),x x x x ∀∈+∞<，则211212122()22()()11(1)(1)x x f x f x x x x x --=-=----，当121x x <<时，122110,10,0x x x x ->->->，则12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减.【小问2详解】当(1,)x ∈+∞时，2[(1)2]4()144811x g x x x x -+==-++≥=--，当且仅当411x x =--，即3x =时取等号，所以当3x =时，()g x 取得最小值8.16.已知集合(){}{}2140,1A xx m x B x x =+++==∈≤Z ∣∣.（1）求证：A 至少有2个子集的充要条件是5m ≤-，或3m ≥.（2）若“,x B x A ∃∈∈”为假命题，求m 的取值范围；【答案】（1）证明见解析（2）()()(),66,44,-∞--+∞ 【解析】【分析】（1）根据充分条件，必要条件的定义证明即可；（2）结合题意可得{}1,0,1B =-，A B =∅ ，进而分A =∅，A ≠∅两种情况讨论求解即可.【小问1详解】证明：先证明充分性：当5m ≤-，或3m ≥时，2Δ(1)160m =+-≥，方程()2140x m x +++=有解，则集合(){}2140A xx m x =+++=∣至少有1个元素，A 至少有2个子集，充分性得证；再证明必要性：若A 至少有2个子集，则2Δ(1)160m =+-≥，解得5m ≤-或3m ≥，必要性得证.综上所述，A 至少有2个子集的充要条件是5m ≤-或3m ≥.【小问2详解】由已知，集合{}1B x x =∈≤Z∣，所以集合{}1,0,1B =-.因为“,B x A ∃∈∈”为假命题，所以A B =∅ .当A =∅时，2Δ(1)160m =+-<，解得53m -<<；当A ≠∅时，要使A B =∅ ，则Δ0,1A ≥-∉，且0,1A A ∉∉，即()()()()222Δ0(1)1140010*******m m m ≥⎧⎪-++⨯-+≠⎪⎨++⨯+≠⎪⎪++⨯+≠⎩，解得6m <-或65m -<≤-或34m ≤<或4m >.综上所述，实数m 的取值范围为()()(),66,44,-∞--+∞ .17.一个生产公司投资A 生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该公司通过引进先进技术，在生产线A 投资减少了x 万元，且每万元的利润提高了0.5%x ；若将少用的x 万元全部投入B 生产线，每万元创造的利润为131.5()1000a x -万元，其中0a >，0x >．（1）若技术改进后A 生产线的利润不低于原来A 生产线的利润，求x 的取值范围；（2）若生产线B 的利润始终不高于技术改进后生产线A 的利润，求a 的最大值．【答案】（1）0300x <≤（2）5.5【解析】【分析】（1）分别列出技术改造前后利润根据题意列出不等关系求解即可．（2）题中不高于可转化为式子之间的恒成立问题，通过参变分离结合基本不等式求最值，从而得参数范围．【小问1详解】由题设可得()()1.550010.5% 1.5500x x -+≥⨯，整理得：23000x x -≤，而0x >，故0300x <≤.【小问2详解】由题设得生产线B 的利润为131.51000a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭万元，技术改进后，生产线A 的利润为()()1.550010.5%x x -+万元，则()()131.5 1.550010.5%1000a x x x x ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，故235001252x ax x ≤++，而0x >，故50031252x a x ≤++，而5004125x x+≥，当且仅当250x =时等号成立，故0 5.5a <≤，故a 的最大值为5.5.18.已知函数()11mx f x =++，()()21g x x x a =++.（1）当0a =，1m =-时，解关于x 的不等式()()f x g x ≥；（2）当0m =时，对任意[)1,x ∞∈+，关于x 的不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）当0m <，0a <时，若点()111,P x y ，()222,P x y 均为函数()y f x =与函数()y g x =图象的公共点，且12x x ≠，求证：()1221223a x x --<+<.【答案】（1）15150,122⎡⎡⎫-+---⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭（2）[)0,+∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）即解不等式2101--≥+x x x x ，分0x =、0x >、0x <且1x ≠-讨论，解不等式可得答案；（2）转化为2111x a x x -≥=-+在[)1,x ∞∈+上恒成立，求得1x -的最大值可得答案；（3）由()()f x g x =得()()()32121101x a x a x a m x +++-+--=≠-，化简方程得()()()()22212121211214x x x x a x x a x x ++++++-=<，令21=+t x x ，结合一元二次不等式求解可得答案.【小问1详解】当0a =，1m =-时，即解不等式2111-+≥+x x ，可得2101--≥+x x x x ，当0x =时，00≥成立，当0x >时，得2101--≥+x x x ，即解210--≥x x ，解得1502-+<≤x ；当0x <且1x ≠-时，得2101--≤+x x x ，解得112--≤<-x ，综上所述，不等式的解集为110,,122⎡⎡⎫-+-⋃-⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭；【小问2详解】当0m =时，可得()1f x =，()()21g x x a x =++，对任意[)1,x ∞∈+，关于x 的不等式()()f x g x ≤恒成立，即()211x a x ++≥在[)1,x ∞∈+上恒成立，即2111x a x x -≥=-+在[)1,x ∞∈+上恒成立，即当[)1,x ∞∈+时，1x -的最大值为0，所以0a ≥，所以实数m 的取值范围[)0,∞+；【小问3详解】由()()f x g x =，可得()2111mx a x x +=+++，可得()()()32121101x a x a x a m x +++-+--=≠-，因为点()111,P x y ，()222,P x y 均为函数=与函数=图象的公共点，可得()()3211112110x a x a x a m +++-+--=，()()3222212110x a x a x a m +++-+--=，两式相减得()()()()33222121211210x x a x x a x x -++-+--=，因为12x x ≠，所以()()222211211210x x x x a x x a ++++++-=，可得()()()()22212121211214x x x x a x x a x x ++++++-=<，令21=+t x x ，则()221214t t a t a +++-<，整理得()2312104t a t a +++-<，解得()21223a t --<<，所以()2121223a x x --<+<.【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是化简方程得()()()()22212121211214x x x x a x x a x x ++++++-=<，令21=+t x x ，结合一元二次不等式求解可得答案.19.已知整数,3m n ≥，集合(){}12,,,{0,1},1,2,,n niX x x x x i n =∈= ∣，对于nX 中的任意两个元素()12,,,n A a a a = ，()12,,,n B b b b = ，定义A 与B 之间的距离为1(,)ni i i d A B a b ==-∑．若12,,,m n A A A X ∈ 且()()()12231,,,m m d A A d A A d A A -=== ，则称是12,,,m A A A 是n X 中的一个等距序列．（1）若1234(1,0,0,0),(1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,1)A A A A ====，判断1234,,,A A A A 是否是4X 中的一个等距序列？（2）设A ，B ，C 是3X 中的等距序列，求证：(,)d A C 为偶数；（3）设12,,,m A A A 是6X 中的等距序列，且161(1,1,,1)A = 个，60(0,0,,0)m A = 个，()12,5d A A =．求m的最小值．【答案】（1）1234,,,A A A A 不是4X 中的一个等距序列（2）见解析（3）7【解析】【分析】（1）算出()12,d A A 与()23,d A A 验证不相等；（2）()(),,d A B d B C =结果为0,1,2,3来讨论；（3）分析从1变成0经过变换次数的规律，根据()12,5d A A =知道每次需要变换几个对应坐标.【小问1详解】()4121,110100001i i i d A A a b ==-=-+-+-+-=∑ ()4231,101101002i i i d A A a b ==-=-+-+-+-=∑()()1223,,d A A d A A ∴≠所以1234,,,A A A A 不是4X 中的一个等距序列【小问2详解】设()()()123123123,,,,,,A a a a B b b b C c c c ===把123123123,,a a a b b b c c c 分别称作()()()123123123,,,,,,A a a a B b b b C c c c ===的第一个，第二个，第三个坐标，若(){},,0,1,2,3d A B x x =∈则,A B 中有x 个对应坐标不相同，例如当(),1d A B =时，说明,A B 中有1个对应坐标不相同，其中()()1,1,0,1,1,1A B ==就是符合(),1d A B =的一种情况.①当()(),,0d A B d B C ==得A B C ==，所以(),0d A C =是偶数②当()(),,1d A B d B C ==，则,A B 中有1个对应坐标不相同，并且,B C 中有1个对应坐标不相同，所以,A C 中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A C =则(),0d A C =，当有2个对应坐标不相同时，(),2d A C =，都满足(),d A C 为偶数.③当()(),,2d A B d B C ==则,A B 中有2个对应坐标不相同，并且,B C 中有2个对应坐标不相同，所以,A C 中有0或2个对应坐标不相同，当有0个对应坐标不相同时，即A C =则(),0d A C =，当有2个对应坐标不相同时，(),2d A C =，都满足(),d A C 为偶数.④当()(),,3d A B d B C ==则,A B 中有3个对应坐标不相同，并且,B C 中有3个对应坐标不相同，所以,A C 中有0个对应坐标不相同，即A C =则(),0d A C =，满足(),d A C 为偶数.综上：A ，B ，C 是3X 中的等距序列，则(,)d A C 为偶数【小问3详解】根据第二问可得()12,5d A A =，则说明12,A A 中有5个对应坐标不相同由i A 变换到1i A +需改变5个坐标，保留1个不变，又因为从1变成0经过奇数次变化，所以从161(1,1,,1)A = 个变到60(0,0,,0)m A = 个至少经过6次变换，每个坐标变换5次，故m 的最小值为7.。
湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高三上学期月考 数学
长郡中学2023届高三月考试卷数 学本试卷共8页。
时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合||1|1,{} ==--∈A y y x x R ，{}3|log 1,=≥B x x ，则A∩=RBA ．{|1}≥-x xB ．{}|3<x xC ．}{|13-≤≤x xD ．{}|13-≤<x x2.若复数z 满足||2,3-=⋅=z z z z ，则2z 的实部为A -2B ．-1C ．1D ． 2★3.函数()()241--=-x x x e e f x x 的部分图象大致是★4.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，其对称中心O 平分线段MN ，且2MN BC =，点E 为DC 的中点，则⋅=EM ENA ． 12-B ．32-C ． -2D ．-3★5.随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升。
某校为提升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的主力军”，开设了“陆地冰壶”“陆地冰球”“滑冰”“模拟滑雪”四类冰雪运动体验课程，甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件A=“甲乙两人所选课程恰有一门相同”事件B=“甲乙两人所选课程完全不同”，事件C=“甲乙两人均未选择陆地冰壶课程”，则 A ． A 与B 为对立事件 B ．A 与C 互斥 C ． B 与C 相互独立D ． A 与C 相互独立★6.已知三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，底面△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，且23，π=∠=BC BCA ，三棱锥P-ABC的体积为3，过点A 作⊥AM PB 于M ，过M 作MN ⊥PC 于N ，则三棱锥P-AMN 外接球的体积为A ．323π B．3C．3D ．43π 7.若sin 2sin ,sin()tan()1αβαβαβ=+⋅-=，则tan tan αβ=A ．2B ．32C ． 1D ．128.已知函数f （x ），g （x ）的定义域为R 。
湖南省邵阳市邵东市第一中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题(含答案)
邵东一中2022年下学期高一第一次月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一､单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.）1.已知集合,A B ，下列四个表述中，正确的个数是（ ） ①若()∈⋃a A B ，则∈a A ； ①若()∈⋂a A B ，则()∈⋃a A B ； ①若⊆A B ，则⋃=A B B ； ①若⋃=A B A ，则⋂=A B B . A.1 B.2 C.3 D.42.设集合{31}∣=-<A xx m ，若1∈A 且2∉A ，则实数m 的取值范围是（ ） A.25<<m B.25≤<m C.25<≤m D.25≤≤m3.已知集合20,6∣-⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭x A xx Z x ，则集合A 中元素个数为（ ）A.3B.4C.5D.64.已知1>x ，则221+-x x 的最小值是（ ）A.2B.2C.D.25.若223>-x m 是14-<<x 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A.{}33∣-mm B.{3∣-m m 或3}m C.{1∣-mm 或1}m D.{}11∣-m m 6.王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传颂至今：“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还.”由此推断，最后一句“攻破楼兰”是“返还家乡”的（ ） A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.已知0,0>>a b ，且141+=a b，则下列结论正确的是（ ） ①1>a①ab 的最小值为16①+a b 的最小值为8 ①191+-a b的最小值为2 A.①① B.①①① C.①①① D.①①8.关于x 的不等式22(1)-<ax x 恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A.3423-<≤-a 或4332<≤a B.3423-<≤-a 或4332≤<aC.3423-≤<-a 或4332<≤aD.3423-≤<-a 或4332≤<a二､多项选择题（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4.5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，本大题共4个小题，共20分.）9.下列命题中，是真命题的是（ ） A.2,2340∀∈-+>x x x R B.{}1,1,0,210∀∈-+>x x C.至少有一个实数x ，使20≤x D.两个无理数的和必是无理数10.下列选项中的两个集合相等的有（ ）.A.{}(){}2,,21,∣∣==∈==+∈P x x n n Q x x n n Z Z B.{}{}21,,21,∣∣++==-∈==+∈P xx n n Q x x n n N N C.{}21(1)0,,2∣∣⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭n P xx x Q x x n Z D.{}(){}1,,1∣∣==+==+P xy x Q x y y x 11.设全集+=U R，集合{∣==M xy 和{}22∣==+N y y x ，则下列结论正确的是（ ）A.{2}∣⋂=>M N x xB.{1}∣⋃=>M N xx C.()(){02}UU M N x x ⋃=<<∣ D.()(){01}UU M N x x ⋂=<<∣12.生活经验告诉我们，a 克糖水中有b 克糖(0,0>>a b ，且>a b ），若再添加c 克糖(0)>c （假设糖全部溶于水），则糖水会更甜，于是得出一个不等式+>+b c ba c a.下列说法一定正确的是（ ） A.若0,0>>>a b m ，则++b m a m 与ba大小关系不随m 的变化而变化 B.若0,0>>-<<a b b m ，则+<+b b ma a mC.若0,0>>>>a b c d ，则++<++b d b ca d a c D.若0,0>>ab ，则111+<+++++a b a ba b a b三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上）13.已知{}{}2260,20∣∣=+-==++=A xx px B x x qx ，且(){}2A B ⋂=R，则+p q 的值等于__________.14.含有三个实数的集合既可表示成,,1⎧⎫⎨⎬⎩⎭b a a ，又可表示成{}2,,0+a a b ，则20222022-a b __________. 15.关于x 的方程221++=ax x 0至少有一个负的实根的充要条件是__________. 16.对任意正数,x y ，不等式333+≤++x yk x y x y恒成立，则实数k 的取值范围是__________.四､解答题（本大题共6小题，17题10分，18至22每题12分，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.甲､乙两位同学在求方程组232+=⎧⎨-=-⎩ax by cx y 的解集时，甲解得正确答案为()(){},1,1∣-x y ，乙因抄错了c 的值，解得答案为()(){},2,6∣x y ，求-a ac b的值. 18.已知,,a b c 均为正实数.（1）若3++=ab bc ca ，求证：3++≥a b c ； （2）若3++=a b ab ，求ab 的最大值. 19.在①⋃=A B A ，①()⋂=∅A B R，①()⋂=B A R R 三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答.设集合(){}22120,()52∣⎧⎫--⎪⎪===+=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭x x A xB x x a x ，__________，求实数a 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20.某厂家拟在2021年举办某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元()0≥m 满足4(1=-+kx k m 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入是8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816+xx元来计算）， （1）将该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？21.已知命题{}:04,02∣∀∈≤≤≤<p x xx x a ，命题2:,20∃∈-+<q x x x a R . （1）若命题⌝p 和命题q 有且只有一个为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若命题p 和命题q 至少有一个为真命题，求实数a 的取值范围. 22.（1）当[]2,3∈x 时，不等式210-+-ax x a 恒成立，求a 的取值范围 （2）解关于x 不等式()2325-+>-∈ax x ax a R答案一､单项选择题，1.答案：C解析：①因为()∈⋃a A B ，则∈a A 或∈a B 或∈⋂a A B ，故错误； ①因为()∈⋂a A B ，则∈a A 且∈a B ，则()∈⋃a A B ，故正确； ①因为⊆A B ，所以⋃=A B B ，故正确；①因为⋃=A B A ，所以⊆B A ，即⋂=A B B ，故正确2.【答案】C 因为集合{31}∣=-<A xx m ，而1∈A 且2∉A ， 311∴⨯-<m 且321⨯-≥m ，解得25<≤m .故选：C. 3.【答案】B 由206-≥-x x 得206-≤-x x ，解得26≤<x ， 所以{}20,{26,}2,3,4,56x A xx Z x x x Z x -⎧⎫=≥∈=≤<∈=⎨⎬-⎩⎭∣∣.故选：B 4.答案：A()2222121322221,10.111-++-++-++>∴->∴==---x x x x x x x x x x x x ()2(1)2133122,11-+-+==-++≥--x x x x x（当且仅当311-=-x x ，即1=x 㫝，等号成立） 5.答案：D解析：因为223>-x m 是14-<<x 的必要不充分条件，所以{14}xx -<<∣ {}223x x m >-∣， 所以2231--m ，解得11-m .故选D 6.答案：B由题意知“返还家乡”可推出“攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返还家乡”的必要条件. 7.答案：C ①140,0,11,1>>=-∴a b a a b，故①正确；①14411,164+=≥∴≤∴≥ab a b ab （当且仅当2,8==a b 时成立），故①正确； ①()14459⎛⎫+=++=++≥⎪⎝⎭b a a b a b a b a b （当且仅当3,6==a b 时成立），故①错误；①141,4+=∴=-b a a b b 代入191+-a b ，得19911214+=+-≥=-b a b b （当且仅当6=b 时成立），故①正确. 8.答案：B解析：不等式22(1)-<ax x 即不等式22(1)0--<ax x ，即不等式()()11110⎡⎤⎡⎤+---<⎣⎦⎣⎦a x a x 恰有2个整数解，()()110∴+->a a ，解得1>a 或1<-a .当1>a 时，不等式的解集为1111∣⎧⎫<<⎨⎬+-⎩⎭xx a a ， 110,,212⎛⎫∈∴ ⎪+⎝⎭a 个整数解为1，2， 1231∴<≤-a ，即22133-<≤-a a ，解得4332≤<a ； 当1<-a 时，不等式的解集为1111∣⎧⎫<<⎨⎬+-⎩⎭xx a a ， 11,0,212⎛⎫∈-∴ ⎪-⎝⎭a 个整数解为1,2--， 1321∴-≤<-+a ，即()()21131-+<≤-+a a ，解得3423-<≤-a .综上所述，实数a 的取值范围是3423-<≤-a 或4332≤<a 二､多项选择题9.答案：AC解析：对选项A ，因为Δ932230=-=-<，所以2,2340∀∈-+>x x x R 是真命题；对选项B ，当1=-x 时，210+<x ，故该命题为假命题；对选项C ，当0=x 时，20=x 成立，所以是真命题；对选项D (0=，所以是假命题.故选A C. 10.答案：AC 11.答案：CD因为{{}{}{}21,22∣∣∣∣===≥==+=≥M xy x x N y y x y y ，所以{}2∣⋂=≥M N x x ，{}1∣⋃=≥M N x x ，故A ，B 不正确；又{01}U M xx =<<∣， ()()()(){02},{02},{01}∣∣∣=<<⋃=<<⋂=<<UU U U U N y y M N x x M N x x ，故C ，D 正确.12.答案：ACD解析：对于A ，由题目中信息可知，若0,0>>>a b m ，则+>+b m ba m a，故A 正确； 对于()()()()()B,+-+-+-==+++b a m a b m m b a b b m a a m a a m a a m ，因为0,a b b m >>-<，所以0,0b a a m b m -<+>+>，故0+->+b b m a a m ，即+>+b b m a a m，故B 错误；对于C ，若0,0>>>>a b c d ，则0,0->+>+>c d a d b d ， 由题目中信息可知，++-+>++-+b d c d b d a d c d a d ，即++<++b d b c a d a c，故C 正确；对于D ，若0,0>>a b ，则110,110++>+>++>+>a b a a b b ，所以1111,1111<<++++++a b a a b b ，所以1111+<+++++++a b a b a b a b a b ，即111+<+++++a b a ba b a b，故D 正确.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.答案：143(){}22,2,2260R A B A p ⋂=∴∈∴+-=，解得1=p ，{}{}2602,3∣∴=+-==-A x x x ，又(){}2⋂=A B R ，23,3,(3)320∴-∉∴-∈∴--+=C B B q R ，解得111114,1333=+=+=q p q 14.答案：1由,,1⎧⎫⎨⎬⎩⎭b a a ，可得0,1≠≠a a （否则不满足集合中元素的互异性）. 所以210a a b a b a ⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪=⎩或210a a a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩解得10a b =-⎧⎨=⎩或10=⎧⎨=⎩a b 经检验1,0=-=a b 满足题意.15.答案：1≤a（1）当0=a 时，原方程化为210+=x ，故102=-<x ，符合. （2）当0≠a 时，原方程2210++=ax x 为一元二次方程， 它有实根的充要条件为Δ0≥，即440-≥a ，所以1≤a . ①当0<a 时，2210++=ax x 至少有一个负实根恒成立. ①当01<≤a 时，2210++=ax x 至少有一个负实根，则202-<a，可得01<≤a . 综上，若方程2210++=ax x 至少有一个负的实根，则1≤a ， 反之，若1≤a ，则方程至少有一个负的实根.因此，关于x 的方程2210++=ax x 至少有一个负的实根的充要条件是1≤a . 16.令3,3=+=+A x y B x y ， 则()()113,388=-=-x A B y B A ，故3313333282⎛⎫+=-+≤= ⎪++⎝⎭x y B A x y x y A B ，=B 时等号成立，故333+++x y x y x y≥k . 四､解答题（本大题共6小题，17题10分，18至22每题12分，共70分.17.答案：74-=a ac b解析：将11=⎧⎨=-⎩x y 代入方程组，得232a b c -=⎧⎨+=-⎩①②将26=⎧⎨=⎩x y 代入2+=ax by ，得262+=a b ①. 联立①①①，解得71,,544==-=-a b c ，所以74-=a ac b 18.答案：证明：（1）2222222,2,2+≥+≥+≥a b ab b c bc c a ca ，三式相加可得222++≥++a b c ab bc ca ，()()2222()2222∴++=+++++≥+++++a b c a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca ()39=++=ab bc ca ，又,,a b c 均为正整数，3∴++≥a b c 成立.（2）3,3++=+≥∴≥+a b ab a b ab即230+≤1.1≤∴≤ab .即ab 的最大值为1.19.答案：若选①，由⋃=A B A ，得⊆B A .由题意，(){}21201,2⎧⎫--⎪⎪===⎨⎬⎪⎪⎩⎭x x A x， {}(){}222()522150∣∣=+=-=+++-=B x x a x x x a x a当集合=∅B 时，关于x 的方程()222150+++-=x a x a 没有实数根，()22Δ4(1)450∴=+--<a a ，解得3<-a ；当集合≠∅B 时，若集合B 中只有一个元素，则()22Δ4(1)450=+--=a a ，解得3=-a ，此时{}{}24402∣=-+==B xx x ，符合题意； 若集合B 中有两个元素，则{}22220,1,2,430,⎧+-==∴⎨++=⎩a a B a a 无解.综上可知，实数a 的取值范围为{}3∣≤-aa . 若选①，由()RA B ⋂=∅，得⊆B A . 若选①，由()RB A ⋂=R ，得⊆B A .同理，可得实数a 的取值范围为{}3∣≤-aa . 20.答案：（1）()163601=--≥+y m m m （2）3 解析：（1）如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是2万件，即当0=m 时，2=x ，将其代入41=-+kx m 中，求得：2=k 即241=-+x m ，所以()()816161.513601+=⨯--=--≥+x y x m m m x m （2）由（1）得：()163601=--≥+y m m m 即()1637137291⎡⎤=-++≤-=⎢⎥+⎣⎦y m m当且仅当()1611=++m m ，即3=m 时，等号成立，故该厂家2021年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大21.答案：（1）若命题{}:04,02∣∀∈≤≤≤<p x xx x a 为真命题，则24>a ，即2>a . 所以若⌝p 为真命题，则2≤a .若命题2:,20∃∈-+<q x x x a R 为真命题， 则2Δ(2)410=--⨯⨯>a ，即1<a . 若⌝q 为真命题，则1≥a .①当⌝p 为真，q 为假时，⌝q 为真，即2,1,≤⎧⎨≥⎩a a 所以12≤≤a ；①当⌝p 为假，q 为真时，p 为真，即2,1,>⎧⎨<⎩a a 无解，舍去. 综上所述，当命题⌝p 和命题q 有且只有一个为真命题时，a 的取值范围为{}12∣≤≤aa . （2）解法一：①当p 真q 假时，⌝q 为真，即2,1,>⎧⎨≥⎩a a 所以2>a ；①当p 假q 真时，⌝p 为真，即2,1,≤⎧⎨<⎩a a 所以1<a ；①当p 真q 真时，2,1,>⎧⎨<⎩a a 无解，舍去.综上所述，a 的取值范围为{1∣<aa 或2}>a . 解法二：考虑,p q 至少有一个为真命题的反面，即,p q 均为假命题，即⌝p 为真，且⌝q 为真，则2,1≤⎧⎨≥⎩a a 解得12≤≤a ，即{}12∣≤≤aa ， 故,p q 至少有一个为真命题时，a 的取值范围为{}12∣≤≤aa 的补集.故a 的取值范围为{1∣<aa 或2}>a . 22.（1）由题意不等式210-+-ax x a 化为()211--a x x ，当[]2,3∈x 时，[]11,2-∈x ，且[]13,4+∈x ， 所以原不等式可化为a 一恒成立，设()[]2,3-∈f x x ，则()f x 的最小值为()134=f ， 所以a 的取值范围是1,4∞⎛⎤- ⎥⎝⎦.解：（2）不等式2325-+>-ax x ax 可化为()2330+-->ax a x ，即()()130+->x ax ，①当0=a 时，原不等式的解集为{1}∣<-xx ； ①当0≠a 时，方程的两根为1-和3a； 当0>a 时，不等式的解集为{1∣<-xx 或3⎫>⎬⎭x a ； 当0<a 时， （i ）若31>-a ，即3<-a ，原不等式的解集为31∣⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭xx a ； （ii ）若31<-a ，即30-<<a ，原不等式的解集为31∣⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭xx a ； （iii ）若31=-a，即3=-a ，原不等式的解集为∅， 综上所得：当0=a 时，原不等式的解集为{1}∣<-xx ； 当0>a 时，不等式的解集为{1∣<-xx 或3⎫>⎬⎭x a ； 当3<-a 时，原不等式的解集为31∣⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭xx a ； 当30-<<a 时，原不等式的解集为31∣⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭x x a ； 当3=-a 时，原不等式的解集为∅.。
2024届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考数学试卷(三)及答案
大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学得分：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1i z =-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则1z的值为A ．1BC ．12D2．设全集U R =，{A x y ==，{}2,x B y y x R ==∈，则()U A B =ðA ．{}x x <B ．{}01x x <≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x >3．已知向量a ，b满足7a b += ，3a = ，4b = ，则a b -=A ．5B ．3C ．2D ．14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如30723=+，633=+，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是A ．14B ．13C ．29D ．385．若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点，则实数a 的取值范围是A ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c<<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．b a c<<7．已知tan tan 3αβ+=，()sin 2sin sin αβαβ+=，则()tan αβ+=A ．6-B ．32-C ．6D ．48．已知函数()()32sin 4x f x x x x π=-+的零点分别为1x ，2x ，…，n x ，*n N ∈），则22212n x x x +++= A ．12B ．14C ．0D ．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知随机变量X 服从正态分布()2100,10N ，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-+≈≤≤，()220.9545P μσξμσ-+≈≤≤，()330.9973P μσξμσ-+≈≤≤）A ．()100E X =B ．()10D X =C ．()900.84135P X ≈≥D ．()()12090P X P X =≤≥10．下列说法正确的是A ．若不等式220ax x c ++<的解集为{}12x x x <->或，则2a c +=B ．若命题p ：()0,x ∀∈+∞，1ln x x ->，则p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，1ln x x -<C ．在△ABC 中，“sin cos sin cos A A B B +=+”是“A B =”的充要条件D ．若2320mx x m ++<对[]0,1m ∀∈恒成立，则实数x 的取值范围为()2,1--11．已知函数()()sin 4f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，08πϕ<<）的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再将所得图象向右平移6π个单位长度，可得函数()g x 的图象，则下列说法正确的是A ．函数()f x 的解析式为()12sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．函数()g x 的解析式为()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．函数()f x 图象的一条对称轴是3x π=-D ．函数()g x 在区间4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增12．已知三棱锥P -ABC 内接于球O ，PA ⊥平面ABC ，8PA =，AB ⊥AC ，4AB AC ==，点D 为AB 的中点，点Q 在三棱锥P -ABC 表面上运动，且4PQ =，已知在弧度制下锐角α，β满足：4cos 5α=，cos β=A ．过点D 作球的截面，截面的面积最小为4πB ．过点D 作球的截面，截面的面积最大为24πC ．点Q 的轨迹长为44αβ+D ．点Q 的轨迹长为48αβ+第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为 ．14．已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的一动点，则PF PA +的最小值为 ．15．若1nx ⎫-⎪⎭的展开式中第4项是常数项，则7n除以9的余数为 ．16．已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且()[)()[)()[)221,0,1log 3,1,222,2,x x f x x x f x x ⎧-∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩，函数()()122x g x f x -=-在区间[]0,a 内的所有零点为i x （1i =，2，3，…，n ）．若116nii x==∑，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）半径为R 的圆内接△ABC，AB =，∠ACB 为锐角．（1）求∠ACB 的大小；（2若∠ACB 的平分线交AB 于点D ，2CD =，2AD DB =，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为21n n +．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）如图①，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，224CD AB EF ===，M 为DF 的中点．现将四边形BEFC 沿EF 折起，使平面BEFC ⊥平面AEFD ，得到如图②所示的多面体．在图②中，图①图②（1）证明：EF ⊥MC ；（2）求平面MAB 与平面DAB 夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）已知函数()2ln x xf x =+．（1）讨论函数()y f x x =-零点的个数；（2）是否存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立．21．（本小题满分12分）某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为13，上两级的概率为23，设他上到第n 级的概率为n P ．（1）求他上到第10级的概率10P （结果用指数形式表示）；（2）若他上到第5级时，求他所用的步数X 的分布列和数学期望．22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，其左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是坐标平面内一点，且1234OP PF PF =⋅=（O 为坐标原点）．（1）求椭圆C 的方程；（2过点10,3S ⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标和△MAB 面积的最大值；若不存在，说明理由．大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案BDDCCBAAACADABDABD2．D【解析】易知{}02A x x =≤≤，{}0B y y =>，∴{}02U A x x x =<>或ð，故(){}2U A B x x => ð．故选D ．3．D【解析】由条件a b a b +=+ 知a ，b 同向共线，所以1a b a b -=-=，故选D ．4．C【解析】不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，中位数为11，任取两个数含有1l 的概率为182982369C p C ===，故选C ．5．C【解析】由题意()2'1f x x ax =-+在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，∴1a x x =+，1,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1023a <≤，又当2a =时，()()2'10f x x =-≥，()f x 单调，不符合，∴2a ≠，∴1023a <<，故选C．6．B【解析】∵2333332log 3log log log 23c a ===>==，∴c a >，又23442log 4log 3c ===<44ln 3log log 3ln 4b ===，∴c b <，∴a c b <<．故选B ．7．A【解析】由条件知cos cos 0αβ≠，sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβ⇒+=，两边同除以cos cos αβ得：tan tan 2tan tan αβαβ+=，∴3tan tan 2αβ=，从而()tan tan tan 61tan tan αβαβαβ++==--，故选A ．8．A【解析】由()()210sin 04f x x x x x π⎡⎤=⇒-⋅+=⎢⎥⎣⎦，0x =为其中一个零点，令()()21sin 4g x x x x π=-+，∵()00g ≠，∴令()()2140sin x g x x xπ+=⇒=，∵()1sin 1x π-≤≤∴2141x x +≤，∴214x x +≤，∴2102x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，∴12x =±，所以()f x ）共有三个零点12-，0，12，∴2221212n x x x +++=，故选A ．9．AC【解析】∵随机变量X 服从正态分布()2100,10N ，正态曲线关于直线100X =对称，且()100E X =，()210100D X ==，从而A 正确，B 错误，根据题意可得，()901100.6827P X ≈≤≤，()801200.9545P X ≈≤≤，∴()1900.50.68270.841352P X ≈+⨯=≥，故C 正确；()120P X ≤与()90P X ≥不关于直线100X =对称，故D 错误．故选AC ．10．AD【解析】对于A ，不等式220ax x c ++<解集为{}12x x x <->或，则方程220ax x c ++=的两根为1-，2，故212a c a⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则2a =-，4c =，所以2a c +=，故A 正确；对于B ，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定应是小于等于，故B 不正确；对于C ，sin cos sin cos 2sin A A B B A+=+⇒cos 2sin cos sin 2sin 2A B B A B ⋅=⋅⇒=，又0222A B π<+<，所以2A B π+=或A B =，显然不是充要条件，故C 错误；对于D ，令()()223f m x m x =++，则()0f m <，对[]0,1m ∀∈恒成立，则()()20301320f x f x x =<⎧⎪⎨=++<⎪⎩，解得21x -<<-，故D 正确，故选AD ．11．ABD【解析】由图知，2A =，4T π=，∴24T ππω==，得12ω=．故()12sin 42f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．∵点()0,1在函数图象上，∴2sin 41ϕ=，即1sin 42ϕ=．又∵08πϕ<<，∴042πϕ<<，∴46πϕ=．故函数()f x 的解析式为()12sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故A 正确；将()f x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，可得2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将所得图象向右平移6π个单位长度，可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故B 正确；当3x π=-时，2sin 003f π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，不是最值，故直线3x π=-不是()f x 图象的一条对称轴，故C 不正确；当4,3x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,2662x πππππ⎡⎤-∈-+⎢⎥⎣⎦，则()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在4,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦还上单调递增，故D 正确，故选ABD ．12．ABD【解析】三棱锥P -ABC 的外接球即为以AB ，AC ，AP 为邻边的长方体的外接球，∴2R ==，∴R =，取BC 的中点1O ，∴1O 为△ABC 的外接圆圆心，∴1OO ⊥平面ABC ，如图．当OD ⊥截面时，截面的面积最小，∵OD ===，此时截面圆的半径为2r ==，∴最小截面面积为24r ππ=，A 对；当截面过球心时，截面圆的面积最大为224R ππ=，B 对；由条件可得BPC α∠=，BPA CPA β∠=∠=，则点Q 的轨迹分别是以点P 为圆心，4为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为α，两段弧圆心角为β，弧长为()2448αβαβ+⨯=+，D 对．故选ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14【解析】因为70107100⨯=为整数，所以第70百分位数为第7个数13和第8个数15的平均值14．14．9【解析】因为F 是双曲线221412x y -=的左焦点，所以()4,0F -，设其右焦点为()4,0H ，则由双曲线定义得224459PF PA a PH PA a AH +=+++=+=+=≥．15．1【解析】由题知，()5111rn rn rr r rr r nn T C C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因第4项为常数项，所以当3r =时，3305n --=，所以18n =，则()1818792=-，而()61862891==-，1除9的余数为1，所以7n 被9除余1．16．[)7,9【解析】函数()()122x g x f x -=-的零点转化为()y f x =与122x y -=的交点的横坐标，作出函数()f x 和122x y -=（0x >）的图象可知，11x =，23x =，35x =，47x =，…，若116nii x==∑，则4n =，所以实数a 的取值范围为[)7,9．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解析】（1）由正弦定理2sin sin AB R C C =⇒=C 为锐角，所以3C π=．（2）∵CD 为∠ACB 的平分线，2AD DB =，∴2b a =，又∵ACD BCD ABC S S S ∆∆∆+=，∴1112sin 2sin sin 262623b a a b πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，则有232a =，∴a =，∴1sin 23ABC S ab π∆==18．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，令1n =，得12113a a =，所以123a a =．①令2n =，得12231125a a a a +=，所以2315a a =．②解①②得11a =，2d =，所以21n a n =-．（2）由（1）知21224n n n b n n -=⋅=⋅，所以1214244nn T n =⨯+⨯++⨯ ，所以231414244n n T n +=⨯+⨯++⨯ ，两式相减，得12134444nn n T n +-=+++-⋅ ()11414134441433n n n n n ++--=-⋅=⨯--．所以()1143143144999n n n n n T +++--=⨯+=．19．【解析】（1）证明：由题意，可知在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EF ⊥CD ．∴折叠后，EF ⊥DF ，EF ⊥CF ．∵DF CF F = ，DF ，CF ⊂平面DCF ，∴EF ⊥平面DCF ．又MC ⊂平面DCF ，∴EF ⊥MC ．（2）∵平面BEFC ⊥平面AEFD ，平面BEFC 平面AEFD EF =，且平面DF ⊥EF ，DF ⊂平面AEFD ，∴DF ⊥平面BEFC ，又CF ⊂平面BEFC ，∴DF ⊥CF ，∴DF ，CF ，EF 两两垂直．以F 为坐标原点，分别以FD ，FC ，EF 所在直线为．x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系F -xyz ．由题意知1DM FM ==．∴()1,0,0M ，()2,0,0D ，()1,0,2A ，()0,1,2B ．∴()0,0,2MA = ，()1,1,0AB =- ，()1,0,2DA =-．设平面MAB ，平面ABD 的法向量分别为()111,,m x y z = ，()222,,n x y z =，由00MA m AB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得111200z x y =⎧⎨-+=⎩，取11x =，则()1,1,0m =为平面MAB 的一个法向量．由00DA n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2222200x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，取22x =，则()2,2,1n =为平面ABD 的一个法向量．∴cos ,m n m n m n⋅<>===，平面MAB 与平面DAB．20．【解析】（1）设()()g x f x x =-，则()222171224'10x g x x x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=--=-<，可知()g x 在()0,+∞上单调递减，又()110g =>，()2ln 210g =-<，所以方程()0g x =有且仅有一个根，即函数()y f x x =-有且只有1个零点．（2）令()f x kx >得2ln x kx x +>（0x >），即22ln x k x x+>（0x >）．设()22ln x h x x x =+，()0,x ∈+∞，则()()32341ln 1'ln 4x h x x x x x x x -=-+=--，设()ln 4H x x x x =--，()0,x ∈+∞，则()()3'H x h x x =，因为()'1ln 1ln H x x x =--=-，当01x <<时，()'ln 0H x x =->，当1x >时，()'ln 0H x x =-<，所以函数()H x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 110430H x H ==--=-<，则()()3'0H x h x x=<恒成立，所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减，又x →+∞，()0h x →，所以不可能存在正实数k ，使得()22ln x h x k x x=+>恒成立．21．【解析】（1）由条件知113P =，22217339P ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，且121233n n n P P P --=+（2n ≥）．所以112212221333n n n n P P P P P P ---+=+==+= ，所以1323535n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又134515P -=-，∴13425153n n P -⎛⎫-=-⨯- ⎪⎝⎭，∴223535nn P ⎛⎫=⨯-+ ⎪⎝⎭．∴1010223535P ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭．（2）由（1）知此人上到第5级的概率为55223133535243P ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭，X 的可能取值为3，4，5()21312108333133133243C P X ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，()3142124334133133243C P X ⎛⎫ ⎪⎝⎭===，()15133P X ==所以X 的分布列为X345P 108133241331133所以()108241425345133133133133E X =⨯+⨯+⨯=．22．【解析】（1）设()00,P xy ，()1,0F c -，()2,0F c ，则由OP =220074x y +=，由1234PF PF ⋅= 得()()00003,,4c x y c x y ---⋅--=，即2220034x y c +-=．所以1c =．又因为c a =，所以22a =，21b =．因此所求椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设动直线l 的方程为：13y kx =-，由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2241621039k x kx +--=．设()11,A x y ，()22,B x y ．则()1224321k x x k +=+，()12216921x x k =-+．假设在y 上存在定点()0,M m ，满足题设，则()11,MA x y m =- ，()22,MB x y m =- ．()()()21212121212MA MB x x y m y m x x y y m y y m ⋅=+--=+-++。
高一(上)12月月考数学试卷 (1)
高一（上）12月月考数学试卷一．选择题：1.已知，集合，，则A. B. C. D.2.有个命题：三点确定一个平面．梯形一定是平面图形．平行于同一条直线的两直线平行．垂直于同一直线的两直线互相平行．其中正确命题的个数为（）A. B. C. D.3.函数的图象是（）A. B.C. D.4.已知直线与直线垂直，面，则与面的位置关系是（）A. B.C.与相交D.以上都有可能5.如图的正方体中，异面直线与所成的角是（）A. B. C. D.6.已知、为两条不同的直线、为两个不同的平面，给出下列四个命题①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中真命题的序号是（）A.①②B.③④C.①④D.②③7.若函数，则函数的定义域为（）A. B. C. D.8.设是定义在上的奇函数，且当时，，则的值等于（）A. B. C. D.9.定义在上的函数满足：对任意的，，有，则（）A. B.C. D.10.一长方体的长，宽，高分别为，，，则该长方体的外接球的体积是（）A. B.C. D.11.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）A. B. C. D.12.已知两条直线和，与函数的图象从左至右相交于点，，与函数的图象从左至右相交于，．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为（）A. B. C. D.二．填空题：13.函数的值域是________．14.一个圆锥的底面半径是，侧面展开图为四分之一圆面，一小虫从圆锥底面圆周上一点出发绕圆锥表面一周回到原处，其最小距离为________．15.函数的零点个数是________．16.所在的平面，是的直径，是上的一点，，分别是点在，上的射影，给出下列结论：① ；② ；③ ；④ 平面．其中正确命题的序号是________．三．解答题17.17.. . ．18.如图为一个几何体的三视图画出该几何体的直观．求该几何体的体积．求该几何体的表面积．19.如图，在正方体中．如图求与平面所成的角如图求证：平面．20.是定义在上的偶函数，当时，；当时，．当时，求满足方程的的值．求在上的值域．21.已知定义域为的函数是奇函数求，的值．判断的单调性，并用定义证明若存在，使成立，求的取值范围．22.已知函数，．求的最小值；关于的方程有解，求实数的取值范围．答案1. 【答案】A【解析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵或，∴ ，则，故选：2. 【答案】C【解析】由公理三及其推论能判断、的正误，由平行公理能判断的正误，垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，由此能判断的正误．【解答】解：不共线的三点确定一个平面，故错误；∵梯形中有一组对边互相平行，∴梯形一定是平面图形，故正确；由平行公理得平行于同一条直线的两直线平行，故正确；垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，故错误．故选：．3. 【答案】A【解析】由函数解析式，此函数是一个指数型函数，且在指数位置带有绝对值号，此类函数一般先去绝对值号变为分段函数，再依据此分段函数的性质来确定那一个选项的图象是符合题意的．【解答】解：，即由解析式可以看出，函数图象先是反比例函数的一部分，接着是直线的一部分，考察四个选项，只有选项符合题意，故选．4. 【答案】D【解析】以正方体为载体，利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：在正方体中，，平面，平面；，平面，平面；，平面，与平面相交．∴直线与直线垂直，面，则与面的位置关系是或或与相交．故选：．5. 【答案】C【解析】连接，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得即为异面直线与所成的角，连接后，解三角形即可得到异面直线与所成的角．【解答】解：连接，由正方体的几何特征可得：，则即为异面直线与所成的角，连接，易得：故故选6. 【答案】D【解析】，，则或与是异面直线；若，则垂直于中所有的直线，，则平行于中的一条直线，故，；若，，则；，，则，或，相交，或，异面．【解答】解：，，则或与是异面直线，故①不正确；若，则垂直于中所有的直线，，则平行于中的一条直线，∴ ，故．故②正确；若，，则．这是直线和平面垂直的一个性质定理，故③成立；，，则，或，相交，或，异面．故④不正确，综上可知②③正确，故答案为：②③．7. 【答案】B【解析】要使函数有意义，则有，解不等式组即可得.到答案．【解答】解：要使函数有意义，则，.解得：．∴函数的定义域为：．故选：．8. 【答案】B【解析】先根据是定义在上的奇函数，把自变量转化到所给的区间内，即可求出函数值．【解答】解：∵ 是定义在上的奇函数，∴ ，又∵当时，，∴ ，∴ ．故答案是．9. 【答案】D【解析】根据函数单调性的等价条件，即可到底结论．【解答】解：若对任意的，，有，则函数满足在上单调递减，则，故选：．10. 【答案】C【解析】长方体的对角线就是外接球的直径，求出长方体的对角线长，即可求出球的半径，外接球的体积可求．【解答】解：由题意长方体的对角线就是球的直径．长方体的对角线长为：，外接球的半径为：外接球的体积．故选：．11. 【答案】C【解析】可得，，由零点的判定定理可得．【解答】解：∵，∴ ，，满足，∴ 在区间内必有零点，故选：12. 【答案】C【解析】由题意设，，，各点的横坐标分别为，，，，依题意可求得为，，，的值，，，下面利用基本不等式可求最小值【解答】解：设，，，各点的横坐标分别为，，，，则，；，；∴ ，，，．∴ ，，∴又，∴，当且仅当时取“ ”号，∴，∴的最小值为．故选：．13. 【答案】【解析】根据复合函数单调性之间的性质进行求解即可．【解答】解：，∴，∵，∴，即函数的值域为．故答案为：．14. 【答案】【解析】根据已知，求出圆锥的母线长，进而根据小虫爬行的最小距离是侧面展开图中的弦长，可得答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，∵圆锥的侧面展开图是一个四分之一圆面，∴，∴ ，又∵小虫爬行的最小距离是侧面展开图中的弦长，如下图所示：故最小距离为：，故答案为：．15. 【答案】【解析】分段讨论，当时，解得，即在上有个零点，当时，在同一坐标系中，作出与，根据图象，易知有个交点，即可求出零点的个数．【解答】解：当时，，解得，即在上有个零点，当时，，即，分别画出与的图象，如图所示：由图象可知道函数，与函有个交点，函数的零点有个，综上所述，的零点有个，故答案为：．16. 【答案】①②③【解析】对于①②③可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明，对于④利用反证法进行证明，假设面，而面，则，显然不成立，从而得到结论．【解答】解：∵ 所在的平面，所在的平面∴ ，而，∴ 面，又∵ 面，∴ ，而，∴ 面，而面，∴ ，故③正确；而面，∴ ，而，∴ 面，而面，面∴ ，，故①②正确，∵ 面，假设面∴ ，显然不成立，故④不正确．故答案为：①②③．17. 【答案】（本题满分分）解：原式．; 原式．【解析】直接利用对数运算法则化简求解即可．; 利用有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】（本题满分分）解：原式．; 原式．18. 【答案】（本题满分分）解：由几何体的三视图得到几何体的直观图为一个三棱椎，如右图，其中平面，，，．; 由知，∴该几何体的体积．; 该几何体的表面积：．【解析】由几何体的三视图能作出几何体的直观图为一个三棱椎．; 先求出，由此能求出该几何体的体积．; 该几何体的表面积，由此能求出结果．【解答】（本题满分分）解：由几何体的三视图得到几何体的直观图为一个三棱椎，如右图，其中平面，，，．; 由知，∴该几何体的体积．; 该几何体的表面积：．19. 【答案】（本题满分分）．解：在正方体，连接交于点，连接，如图①，则又∵ 平面，平面，∴又∵ ，∴ 平面，∴ 是与平面所成的角，在中，，∴ ，∴ 与平面所成的角为．证明：; 连接交于点，连结，如图②则，又，∴∵ 平面，平面，∴ 平面．【解析】连接交于点，连接，则，，从而平面，是与平面所成的角，由此能求出与平面所成的角．; 连接交于点，连结，则，由此能证明平面．【解答】（本题满分分）．解：在正方体，连接交于点，连接，如图①，则又∵ 平面，平面，∴又∵ ，∴ 平面，∴ 是与平面所成的角，在中，，∴ ，∴ 与平面所成的角为．证明：; 连接交于点，连结，如图②则，又，∴∵ 平面，平面，∴ 平面．20. 【答案】解：当时，则，此时，∵ 是定义在上的偶函数，∴ ，即，当时，由得，即，即，则，即，解得．即方程的根．; ∵ 时，，∴当时，由得，若，则函数在上单调递减，则函数的值域为．若，此时函数在上的最大值为，最小值为，则函数的值域为．若，则此时，此时函数在在上的最大值为，最小值为，函数的值域为．【解析】当时，利用函数奇偶性的对称性求出函数的表达式，解对数方程即可求满足方程的的值．; 讨论的取值范围，结合对数函数和一元二次函数的性质即可求在上的值域．【解答】解：当时，则，此时，∵ 是定义在上的偶函数，∴ ，即，当时，由得，即，即，则，即，解得．即方程的根．; ∵ 时，，∴当时，由得，若，则函数在上单调递减，则函数的值域为．若，此时函数在上的最大值为，最小值为，则函数的值域为．若，则此时，此时函数在在上的最大值为，最小值为，函数的值域为．21. 【答案】解： ∵ 是上的奇函数，∴即∴∴即∴∴经验证符合题意．∴ ，;在上是减函数，证明如下：任取，，且，∵ ∴∴ 即∴ 在上是减函数．; ∵ ，是奇函数．∴又∵ 是减函数，∴ ∴设，∴问题转化为，∴【解析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解．; 利用函数单调性的定义进行证明即可．; 根据函数单调性和奇偶性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解： ∵ 是上的奇函数，∴即∴∴即∴∴经验证符合题意．∴ ，;在上是减函数，证明如下：任取，，且，∵ ∴∴ 即∴ 在上是减函数．; ∵ ，是奇函数．∴又∵ 是减函数，∴ ∴设，∴问题转化为，∴22. 【答案】解：令，则当时，关于的函数是单调递增∴，此时当时，当时，当时，．; 方程有解，即方程在上有解，而∴，可证明在上单调递减，上单调递增为奇函数，∴当时∴ 的取值范围是．【解析】先把函数化简为的形式，令，则可看作关于的二次函数，并根据的范围求出的范围，再利用二次函数求最值的方法求出的最小值．; 关于的方程有解，即方程在上有解，而把与分离，得到，则只需求出的范围，即可求出的范围，再借助型的函数的单调性求范围即可．【解答】解：令，则当时，关于的函数是单调递增∴，此时当时，当时，当时，．; 方程有解，即方程在上有解，而∴，可证明在上单调递减，上单调递增为奇函数，∴当时∴ 的取值范围是．。
2022-2023学年湖南省高一(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2022-2023学年湖南省高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={0,1,2}，B={1,2,3}，则A∪B=( )A. ⌀B. {1,2}C. {0,1,2}D. {0,1,2,3}2. 设集合A={x|3x−1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是( )A. 2<m<5B. 2≤m<5C. 2<m≤5D. 2≤m≤53. 已知集合A={x|2−xx−6≥0,x∈Z}，则集合A中元素个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知x>1，则x2+2x−1的最小值是( )A. 23+2B. 23−2C. 23D. 25. 若x>2m2−3是−1<x<4的必要不充分条件，则实数m的取值范围是( )A. {x|−3≤x≤3}B. {x|x≤−3，或x≥3}C. {x|x≤−1或x≥1}D. {x|−1≤x≤1}6. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件7. 设x>0，y>0，且xy=4，求1x+1y的最小值是( )A. 1B. 2C. −1D. −28. 若关于x的不等式(ax−1)2<x2恰有2个整数解，则实数a的取值范围是( )A. −32<a≤−43或43<a≤32B. −32<a≤−43或43≤a<32C. −32≤a<−43或43<a≤32D. −32≤a<−43或43≤a<32二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考(一)数学试题
湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期月考（一）数学试题一、单选题1．设集合[),A a =+∞，()1,2B =-，若A B =∅I ，则（ ） A ．1>-aB ．2a >C ．1a ≥-D ．2a ≥2．已知复数z 满足22z -=，z 的取值范围为（ ） A ．[]0,2B ．()0,2C ．[]0,4D ．()0,43．在ABC V 中，若2AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则AB BC=u u u v u u u vA ．1BCD 4．若函数()2211x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ,M 是线段ED 的中点，则A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线6．tan10tan50tan50︒+︒︒︒的值为（ ）A ．B C ．3D 7．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件M =“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与M 相互独立的是（ ） A ．第一次朝上面的数字是偶数 B ．第一次朝上面的数字是1 C ．两次朝上面的数字之和是8D ．两次朝上面的数字之和是78．一只蜜蜂从蜂房A 出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房A 只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用n a 表示蜜蜂爬到n 号蜂房的方法数，则10a =（ ）A ．10B ．55C ．89D ．99二、多选题9．已知一组样本数据1x ，2x ，…，()201220x x x x ≤≤≤L ，下列说法正确的是（ ） A ．该样本数据的第60百分位数为12xB ．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数C ．剔除某个数据i x （1i =，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差D ．若1x ，2x ，…，10x 的均值为2，方差为1，11x ，12x ，…，20x 的均值为6，方差为2，则1x ，2x ，…，20x 的方差为510．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()1,2M ，()11,A x y ，()22,B x y 都在抛物线上，且0FA FB FM ++=ruu r uu r uuu r ，则下列结论正确的是（ ）A ．抛物线方程为22y x =B ．F 是ABM V 的重心C ．6FA FM FB ++=u u u r u u u u r u u u rD ．2223AFO BFO MFO S S S ++=△△△11．已知函数()()()322,,R ,f x x ax bx c a b c f x =-++'∈是()f x 的导函数，则（ ）A ．“0a c ==”是“()f x 为奇函数”的充要条件B ．“0a b ==”是“()f x 为增函数”的充要条件C ．若不等式()0f x <的解集为{1xx <∣且1}x ?，则()f x 的极小值为3227-D ．若12,x x 是方程()0f x '=的两个不同的根，且12111x x +=，则0a <或3a >三、填空题12．点M 在椭圆221259x y +=上，F 是椭圆的一个焦点，N 为MF 的中点，3ON =，则MF =. 13．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()=E X .14．若函数()()52cos sin 2f x a x x x =-+在R 上单调递增，则a 的取值范围是.四、解答题15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(),sin m b a C =--u r，(),sin sin n c b A B =++r ，满足//m n u r r ． (1)求A ；(2)若角A 的平分线交边BC 于点D ，AD 长为2，求△ABC 的面积的最小值．16．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，120AOP ∠=o ，圆O 的直径4AB =，圆柱的高13OO =.（1）求点A 到平面1A PO 的距离； （2）求二面角1A PB O --的余弦值大小.17．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且ABD △是直角三角形． (1)求双曲线C 的方程；(2)M 、N 是C 右支上的两动点，设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，若122k k =-，求点A 到直线MN 的距离d 的取值范围．18．已知函数()()e xf x x a =-，a ∈R .(1)当1a =时，求()f x 的极值；(2)若函数()()ln g x f x a x =-有2个不同的零点1x ，2x . （i ）求a 的取值范围； （ii ）证明：12112e x x a x x +->. 19．已知集合{}()1,2,3,,,3A n n n =∈≥L N ，W A ⊆，若W 中元素的个数为()2m m ≥，且存在u ，()v W u v ∈≠，使得()2ku v k +=∈N ，则称W 是A 的()P m 子集.(1)若4n =，写出A 的所有()3P 子集；(2)若W 为A 的()P m 子集，且对任意的s ，()t W s t ∈≠，存在k ∈N ，使得2k s t +=，求m 的值；(3)若20n =，且A 的任意一个元素个数为m 的子集都是A 的()P m 子集，求m 的最小值.。
湖南省长沙市南雅中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题
【解析】
【分析】
容易得出 ，再根据对数函数的性质将b化为与c同底的对数，即可比较出大小.
【详解】
解： ， ， ，所以 .
故选：A.
【点睛】
本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.
6．C
【解析】
试题分析：函数 可看成由 和 合而成，那么由 （ ）得 ，所以函数 在 （ ）上单调递增，当 时， ，此时 ；故选C．
22．已知定义在 上的奇函数 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若存在 ，使不等式 有解，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）已知函数 满足 ，且规定 ，若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据题意先求出集合N，然后根据交集的定义求解即可.
【详解】
解： ，又 ，所以 .
故选：C.
考点：对数的计算
15．②③
【解析】
【分析】
利用正弦函数f（x）＝3sin（2x ）的性质，对①②③④四个选项逐一判断即可．
【详解】
∵f（x）＝3sin（2x ），
①：由2x kπ （k∈Z）得：x （k∈Z），
∴f（x）＝3sin（2x ）的对称轴方程为：x （k∈Z），
当k＝0时，x ，k＝﹣1时，x ，
④：将y＝3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到y＝3sin2（x ）＝3sin（2x ）≠3sin（2x ）＝f（x），故④错误．
综上所述，②③正确．
故答案为：②③．
【点睛】
本题考查正弦函数的周期性、对称性、单调性及函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，熟练掌握正弦函数的性质是解决问题之关键，属于中档题．
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三上学期月考(一)数学试题(原卷版)
（2）求 .
18.设各项均不为零的数列 的前 项和为 ，且对于任意 ，满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前99项和.
19.如图，在三棱锥 中，侧棱 底面 ，且 ，过棱 的中点 ，作 交 于点 ，连接 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，三棱锥 的体积是 ，求直线 与平面 所成角的大小.
11.如图，直线 与半径为1的圆 相切于点 ，射线 从 出发绕点 逆时针方向旋转到 ，在旋转过程中， 交 于点 ，设 为 （其中 ），射线 扫过的圆 内部的区域（阴影部分）的面积为 ，则下列说法正确的有（）
A.
B.函数 的单调递增区间为
C.函数 图象 对称中心为
D.函数 在 处的瞬时变化率最大
12.已知数列 满足 ，且对任意的正整数 ，都有 ，则下列说法正确的有（）
（1）在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于 ；
（2）若 ，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．
21.已知椭圆 左焦点为 ，点 到椭圆 上的点的距离最小值是1，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
A. B.数列 是等差数列
C. D.当 为奇数时，
三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知两圆 ，若圆 与圆 有且仅有两条公切线，则 的取值范围为__________.
14.在等差数列 中，若 ，且数列 的前 项和 有最大值，则使 成立的正整数 的最大值是__________.
（2）设点 是椭圆上关于 轴对称的两点， 交椭圆 于另一点 ，求 的内切圆半径的范围.
2023-2024学年湖南省永州市第一中学高一上学期第一次月考数学试卷及答案
永州一中2023年下期高一第一次月考试卷数学温馨提示：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并按规定贴好条形码.3.请将全部答案填写在答题卡上.一、单选题（每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）1. 已知{}2230A x x x =--≤，{}2,1,0,1B =--，则A B = （ ）A. {}1,1-B. {}1,3- C. {}1,0,1- D. {}2,1,0--2. 命题“a ∃∈R ，210ax +=有实数解”的否定是（ ）A. a ∀∈R ，210ax +≠有实数解 B. a ∃∈R ，210ax +=无实数解C. a ∀∈R ，210ax +=无实数解D. a ∃∈R ，210ax +≠有实数解3. 下列四组函数中，其中表示同一函数的是（ ）A. ()f x x =与()g x =B. ()21f x x =-与()21g t t =-C. ()21f x x =-与()21g x x =+ D. ()f x x =与()2x g x x=4. 函数()1f x x=的定义域是（ ）A. [)1,-+∞ B. [)1,0- C. [)()1,00,-+∞ D. ()(),00,∞-+∞U 5. 已知函数()22f x x x =-，若函数的定义域为[]0,m ，值域为[]1,0-，则m 的取值范围是（ ）A. []0,1 B. []0,2 C. []1,2 D. [)1,+∞6. 对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，例如：[]π3=，[]0.10=，[]2.13-=-，则“[][]x y >”是“x y >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知关于x 不等式20ax bx c ++>的解集为1132xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则不等式20cx bx a ++>的解集为（ ）.的A. 1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭B. {}23x x << C. {3x x 或}2x < D. {}32x x -<<-8. 已知集合()()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,1,0A =--，(){},2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素个数为（）．A. 77B. 49C. 45D. 30二、多选题（每小题5分，共20分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 已知集合2{|10}A x x =-=，则下列式子正确的是（ ）A. 1A∈ B. {1}A-∈ C. A∅⊆ D. {1,1}A-⊆10. 下列命题为真命题的是（ ）A 若11,a b a b<<，则0ab <B. 若0,0,0a b c d e >><<>，则e e a c b d>--C. 若0c a b >>>，则a bc a c b >--D. 若0a b c >>>，则a a cb b c+>+11. 下列说法正确的有（ ）A. 当a<0时，12a a+≥-B. 2x >是3x >的一个必要不充分条件C. 已知函数()y f x =的定义域为[]1,1-，则函数()1y f x =+的定义域为[]2,0-D. 已知{}17A x x =≤≤，{}11B x m x m =-≤≤+，若A B ⋂≠∅，则实数m 的范围是0m ≥12. 若实数m ，n >0，满足21m n +=．以下选项中正确的有（ ）A. mn 的最大值为18B.11m n+的最小值为C.2911m n +++的最小值为5 D. 224m n +的最小值为12三、填空题（每小题5分，共20分）13 已知函数()213f x x -=-，则()2f =_____.14. 已知14,28,a b <<<<则2a b -的取值范围为_________.的..15. 已知{}2,4A =，{}220B x ax x =-+=，且BA ⊆，则实数a 的取值范围为_________.16. 已知a ，b ，c 为正整数，方程20ax bx c ++=的两个实根为1x ，()212x x x ≠，且11x <，21x <，则a b c ++的最小值为________________.四、解答题（第17题10分，其余各题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）17. 设集合715A xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}121B x m x m =+≤≤-.（1）若4m =，求A B ⋃；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.18. （1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3129f x f x x +-=+，求()f x 的解析式；（2）已知)1fx =+，求()f x 的解析式；19. 已知实数0a >，0b >，8ab a b =++，求（1）a b +的取值范围；（2）11a b+的取值范围；20. 已知命题:R p x ∀∈，210mx mx -+>；命题:q x R ∃∈，2410x mx ++<.（1）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p ，q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.21. 五一放假期间高速公路免费是让实惠给老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某时间段内车流量y (单位:千辆/小时)与汽车的平均速度v (单位:千米/小时)之间满足的函数关系2184020v y v v c=++（0120,v c <≤为常数），当汽车的平均速度为100千米/小时时，车流量为10千辆/小时.（1）在该时间段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 达到最大值？（2）为保证在该时间段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？22. 已知函数2()(1)(1)1f x m x m x m =+--+-．（1）解关于x 的不等式()(1)f x m x ≥+；永州一中2023年下期高一第一次月考试卷数学温馨提示：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并按规定贴好条形码.3.请将全部答案填写在答题卡上.一、单选题（每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）1. 已知{}2230A x x x =--≤，{}2,1,0,1B =--，则A B = （ ）A. {}1,1-B. {}1,3- C. {}1,0,1- D. {}2,1,0--【答案】C 【解析】【分析】根据一元二次不等式化简集合，即可由集合的交运算求解.【详解】由{}2230A x x x =--≤得{}13A x x =-≤≤，又{}2,1,0,1B =--，所以A B = {}1,0,1-，故选：C2. 命题“a ∃∈R ，210ax +=有实数解”的否定是（ ）A. a ∀∈R ，210ax +≠有实数解 B. a ∃∈R ，210ax +=无实数解C. a ∀∈R ，210ax +=无实数解 D. a ∃∈R ，210ax +≠有实数解【答案】C 【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求解.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，a ∴∃∈R ，210ax +=有实数解的否定是a ∀∈R ，210ax +=无实数解，故选:C.3. 下列四组函数中，其中表示同一函数的是（ ）A. ()f x x =与()g x =B. ()21f x x =-与()21g t t =-C. ()21f x x =-与()21g x x =+D. ()f x x =与()2x g x x=【答案】B 【解析】【分析】根据函数定义的三要素即可判断.【详解】对于A ，()f x 的值域为R ，()g x 的值域为[0,)+∞，故A 错误；对于B ，()f x ，()g x 解析式，定义域，值域都相同，故B 正确；对于C ，()f x ，()g x 的解析式不相同，故C 错误；对于D ，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，故D 错误；故选：B4. 函数()1f x x=的定义域是（ ）A. [)1,-+∞B. [)1,0- C. [)()1,00,-+∞ D. ()(),00,∞-+∞U 【答案】C 【解析】【分析】根据根式和分式的性质，列不等式即可求解.【详解】()1f x x =的定义域需满足100x x +≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≥-且0x ≠，故定义域为[)()1,00,-+∞ ，故选：C5. 已知函数()22f x x x =-，若函数的定义域为[]0,m ，值域为[]1,0-，则m 的取值范围是（ ）A. []0,1B. []0,2 C. []1,2 D. [)1,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数图象，分类讨论即可求解值域求解.【详解】()()22211f x x x x =---=，且()11f =-，()00f =，()20f =当01m <<，此时()f x 在[]0,m 单调递减，此时值域为(),0f m ⎡⎤⎣⎦，不符合要求，当1m =，此时()f x 在[]0,1单调递减，此时值域为()[]1,01,0f ⎡⎤=-⎣⎦，符合要求，当21m ≥>，此时()f x 在[]0,1单调递减，在[]1,m 单调递增，此时值域为()[]1,01,0f ⎡⎤=-⎣⎦，符合要求，当m>2，此时()f x 在[]0,1单调递减，在[]1,m 单调递增，此时值域为()()1,f f m ⎡⎤⎣⎦，而()0f m >，不符合要求，综上可得：12m ≤≤，故选：C6. 对于任意实数x ，用[]x 表示不大于x 的最大整数，例如：[]π3=，[]0.10=，[]2.13-=-，则“[][]x y >”是“x y >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】对任意的x ∈R ，记{}[]x x x =-，则{}01x ≤<，利用题中定义、不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】对任意的x ∈R ，记{}[]x x x =-，则{}01x ≤<，若[][]x y >，则[][]1x y ≥+，即{}{}1x x y y -≥-+，则{}{}1x y x y -≥-+，因为{}01x ≤<，{}01y ≤<，则{}10y -<≤，由不等式的基本性质可得{}{}11x y -<-<，所以，{}{}012x y <-+<，所以，{}{}10x y x y -≥-+>，即x y >，所以，“[][]x y >”⇒“x y >”；若x y >，如取 2.5x =， 2.3y =，则[][]2x y ==，故“[][]x y >”⇐/ “x y >”.因此，“[][]x y >”是“x y >”的充分不必要条件.故选：A.7. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，则不等式20cx bx a ++>的解集为（ ）A. 1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭B. {}23x x << C. {3x x 或}2x < D. {}32x x -<<-【答案】B 【解析】【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集，可得11,32是方程20ax bx c ++=的根，得到,.a b c 的关系，再解20cx bx a ++>可得答案.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，可得11,32是方程20ax bx c ++=的根，所以a<0，且09342a bc a b c ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得56b c a c =-⎧⎨=⎩，由不等式20cx bx a ++>可得2560cx cx c -+>，由a<0得0c <，所以2560x x -+<，解得23x <<，则不等式20cx bx a ++>的解集为{}23x x <<.故选：B.8. 已知集合()()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,1,0A =--，(){},2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（）．A. 77B. 49C. 45D. 30【答案】C【解析】【分析】根据题意作出图示表示集合A 、B 所表示的点，由数形结合思想可得出A B ⊕表示的点集的横坐标和纵坐标的范围，从而可得出A B ⊕中元素的个数.【详解】集合A 中有5个元素，即5个点，如下图中黑点所示．集合(){},2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点），即下图中正方形ABCD 内部及正方形ABCD 边上的整点．所以123x x +=-或2-或1-或0或1或2或3，共7个值；所以123y y +=-或2-或1-或0或1或2或3，共7个值，所以集合()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈中的元素可看作下图中正方形1111D C B A 内部及正方形1111D C B A 边上除去四个顶点外的整点，共77445⨯-=（个）．故选C .【点睛】本题考查集合中的元素所表示的具体含义，关键在于理解新定义的集合中元素的构成，准确求出集合A 和集合B 所表示的点，借助平面直角坐标系更清楚地看出集合中元素的构成是解决此类问题的常用方法，属于难度题．二、多选题（每小题5分，共20分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 已知集合2{|10}A x x =-=，则下列式子正确是（ ）A. 1A ∈ B. {1}A-∈ C. A∅⊆ D. {1,1}A-⊆【答案】ACD 【解析】【分析】求出集合A ，即可依次判断.【详解】{}2{|10}1,1A x x =-==- ，的{}{}1,1,,1,1A A A A ∴∈-⊆∅⊆-⊆.故选：ACD.10. 下列命题为真命题的是（ ）A. 若11,a b a b<<，则0ab <B. 若0,0,0a b c d e >><<>，则e e a c b d>--C. 若0c a b >>>，则a bc a c b >--D. 若0a b c >>>，则a a cb b c+>+【答案】ACD 【解析】【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由11,a b a b<<，可得110b aa b ab --=<，所以0ab <，所以A 正确；对于B 中，若0,0a b c d >><<，0e >，则()()()()()()()0e b d e a c e b a c d e ea cb d ac bd a c b d ----+--==<------，所以e ea cb d<--，所以B 不正确；对于C 中，若0c a b >>>，则()()()()()()()0a c b b c a c a b a bc a c b c a c b c a c b -----==>------，所以C 正确；对于D 中，若0a b c >>>，则()()()()()0a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==>+++，所以D 正确．故选：ACD.11. 下列说法正确的有（ ）A. 当a<0时，12a a+≥-B. 2x >是3x >的一个必要不充分条件C. 已知函数()y f x =定义域为[]1,1-，则函数()1y f x =+的定义域为[]2,0-D. 已知{}17A x x =≤≤，{}11B x m x m =-≤≤+，若A B ⋂≠∅，则实数m 的范围是0m ≥的【答案】BCD 【解析】【分析】利用基本不等式即可求解A ，根据必要不充分的判定即可求解B,根据抽象函数的定义域即可求解C ，根据集合交集为空集时的范围，即可求解不为空集的范围，进而判断D.【详解】当a<0时，则0a ->，故12a a-+≥-，所以112a a a a ⎛⎫+=--+≤- ⎪-⎝⎭，当且仅当1a =-时取等号，故A 错误，2x >不能得到3x >，而3x >必然可得2x >，所以2x >是3x >的一个必要不充分条件，B 正确，函数()y f x =的定义域为[]1,1-，则函数()1y f x =+的定义域满足111x -≤+≤，故20x -≤≤，故()1y f x =+的定义域为[]2,0-，C 正确，已知{}17A x x =≤≤，{}11B x m x m =-≤≤+，若A B ⋂=∅，当B =∅时，则110m m m ->+⇒<，当B ≠∅，此时A B ⋂=∅，则需要11+11m m m -≤+⎧⎨<⎩或1117m m m -≤+⎧⎨->⎩，无解，综上可知当A B ⋂=∅时，0m <则，故A B ⋂≠∅时实数m 的范围是0m ≥，D 正确，故选：BCD12. 若实数m ，n >0，满足21m n +=．以下选项中正确的有（ ）A. mn 的最大值为18B.11m n+的最小值为C.2911m n +++的最小值为5 D. 224m n +的最小值为12【答案】AD 【解析】【分析】根据0,012m n m n >>∴=+≥ A 项()11112m n m n m n ⎛⎫+=+⨯+ ⎪⎝⎭展开基本不等式求解B 项.把n 用m 来表示得()294949011122131n m n m n n n +=+=+<<++++-+()()491493131431n n n n n n ⎛⎫+=+-++⎡⎤ ⎪⎣⎦-+-+⎝⎭验证C 项.证明()()21212a a b b ++≥，然后()()()2224112mn m n ++≥+验证D【详解】根据基本不等式0,012m n m n >>∴=+≥ 18mn ≤当且仅当1222114n m n m n m ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩时mn 有最大值18，所以A 正确.()111122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=+⨯+=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当210021n mn m n m m n ⎧=->⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=>⎪⎪+=⎩⎩时11m n +有最小值为3+，所以B 不正确.2112m n n m +=⇒=- ()294949011122131n m n m n n n ∴+=+=+<<++++-+()()()()4193491491311331431431n n n n n n n n n n +-⎡⎤⎛⎫+=+-++=++⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦-+-+-+⎝⎭⎣⎦令()()413411,3111n n t n n n -+-===-∈+++则()()()419349,1,331n n t t n n t+-+=+∈-+又因为4912t t +≥=当且仅当23t =时取得最小值，所以()()4193113431n n n n +-⎡⎤++⎢⎥-+⎣⎦的最小值为254，所以C 不正确.()()21212121212210,0,0,0,a a b b a a b b a b a b >>>>++-=+- 又根据基本不等式1221a b a b +⋅≥当且仅当1221a b a b =时取得等号，所以()()212120a a b b ++-≥即()()21212a a b b ++≥+()()()22241121m n m n ∴++≥+=当且仅当221441212m m n m n n ⎧=⎪⎧=⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩时取得等号.22142m n ∴+≥所以224m n +的最小值为12.故D 正确.故选：AD三、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知函数()213f x x -=-，则()2f =_____.【答案】6【解析】【分析】赋值求出答案.【详解】令3x =得()231336f -=-=，故()26f =.故答案为：614. 已知14,28,a b <<<<则2a b -的取值范围为_________.【答案】(15,0)-【解析】【分析】根据不等式的性质求解即可.【详解】28b << 1624b ∴-<-<-2116441205a b a b ∴---<⇒<-<-<故答案为：(15,0)-【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于中等题.15. 已知{}2,4A =，{}220B x ax x =-+=，且BA ⊆，则实数a 的取值范围为_________.【答案】18a ≥或0a =【解析】【分析】根据子集关系，对集合B 分类讨论，结合判别式即可求解.【详解】由于B A ⊆，若B =∅,则0Δ180a a ≠⎧⎨=-<⎩，解得18a >，若{}2,4B A ==，则0Δ180124,224a a a a ≠⎧⎪=->⎪⎪⎨+=⎪⎪⨯=⎪⎩，此时无解，若B 中只有一个元素，则0a =时，2x =，则{}2B =满足题意，或者01Δ1808a a a ≠⎧⇒=⎨=-=⎩，此时方程220ax x -+=的根为4x =,故{}4B =满足题意，综上可知：18a ≥或0a =，故答案为：18a ≥或0a =16. 已知a ，b ，c 为正整数，方程20ax bx c ++=的两个实根为1x ，()212x x x ≠，且11x <，21x <，则a b c ++的最小值为________________.【答案】11【解析】【分析】分析出()12,,10x x ∈-，结合根的判别式得到24b ac b a c c a ⎧>⎪<+⎨⎪<⎩，取1c =时，求出a b c ++取得的最小值为11，当2c ≥时，11a b c ++≥，从而求出答案.【详解】因为11x <，21x <，又12cx x a=，a ，b ，c 为正整数，所以()120,1cx x a=∈，又120bx x a+=-<，故()12,,10x x ∈-，令()2f x ax bx c =++，因为方程有两个不相等的实数根，故240b ac ∆=->，依题意，可知()21240101b ac f a b c c x x a ⎧⎪->⎪-=-+>⎨⎪⎪=<⎩，故24b ac b a c c a ⎧>⎪<+⎨⎪<⎩，又a ，b ，c 为正整数，取1c =，则1a b +>，a b ≥，所以2244a b ac a ≥>=，4a >.从而5a ≥，所以2420b ac >≥又516b <+=，所以5b =，因此a b c ++能取到最小值，最小值为15511c a b ++=++=，下面可证2c ≥时，3a ≥，从而2424b ac >≥，所以5b ≥，又5a c b +>≥，所以6a c +≥，所以11a b c ++≥.综上可得，a b c ++的最小值为11.故答案为：11.四、解答题（第17题10分，其余各题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）17. 设集合715A xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}121B x m x m =+≤≤-.（1）若4m =，求A B ⋃；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}27x x -<≤ （2）(),3-∞【解析】【分析】（1）由分式不等式的求解化简集合A ，即可由集合的并运算求解，（2）根据子集的包含关系，即可分两种情况求解.【小问1详解】由()()721025055xx x x x+>⇒>⇒+-<--，解得25x -<<，所以{}25A x x =-<<当4m =时，{}57B x x =≤≤，{}27A B x x ∴⋃=-<≤【小问2详解】B A B =Q I ，B A ∴⊆，当B =∅时，满足题意，此时121m m +>-，解得2m <；当B ≠∅时，21215121m m m m -<+⎧⎪-<⎨⎪+≤-⎩解得23m ≤<，∴实数m 的取值范围为(),3-∞.18. （1）已知()f x 是一次函数，且满足()()3129f x f x x +-=+，求()f x 的解析式；（2）已知)1fx =+，求()f x 的解析式；【答案】（1）()3f x x =+；（2）()()211f x x x =-≥【解析】【分析】（1）设出()()0f x ax b a =+≠，根据题目条件得到方程组，求出1a =，3b =，得到函数解析式；（2）换元法求出函数解析式，注意自变量取值范围.【详解】（1）由题意，设函数为()()0f x ax b a =+≠，()()3129f x f x x +-=+ ，()31329a x b ax b x ∴++--=+，即23229ax a b x ++=+，由恒等式性质，得22329a a b =⎧⎨+=⎩，1a ∴=，3b =，∴所求函数解析式为()3f x x =+（2）令1t =，则1t ≥，()21x t =-，因)1fx +=+，所以()()()221211f t t t t =-+-=-，所以()()211f x x x =-≥.19. 已知实数0a >，0b >，8ab a b =++，求（1）a b +的取值范围；（2）11a b+的取值范围；【答案】（1）8a b +≥ （2）111a b+≥【解析】【分析】对于（1），通过22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得到282a b a b +⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，解出关于a b +的不等式的解，从而得到a b +的取值范围；对于（2），可以将11a b+通分，得到1181a b ab +=-，通过a b +≥求出ab 的范围，从而得到11a b+的取值范围.【小问1详解】为由基本不等式的定义可知22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，又8ab a b =++即282a b a b +⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，解得8a b +≥或4a b +≤-（舍去）.所以a b +的取值范围为[)8,+∞【小问2详解】由基本不等式的定义可知a b +≥，又8a b ab +=-即8ab -≥，解得02<≤得04<≤ab 所以11881a b ab a b ab ab ab +-+===-，因为04<≤ab ，所以82ab ≥所以11811a b ab+=-≥所以11a b+的取值范围为[)1,+∞20. 已知命题:R p x ∀∈，210mx mx -+>；命题:q x R ∃∈，2410x mx ++<.（1）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p ，q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12m >或12m <-（2）12m <-或4m ≥或102m ≤≤【解析】【分析】（1）根据判别式即可求解,（2）分别求解,p q 为真命题时的范围，即可分两种情况求解.【小问1详解】由题意可知21640m ∆=->，得12m >或12m <-【小问2详解】命题p 为真命题时，若0m =时，显然满足，当0m ≠时，则240m m ∆=-<，解得04m <<，综上可得p 为真命题时，04m ≤<；当命题p 真q 假时，112204m m ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤<⎩，解得102m ≤≤；当命题p 假q 真时，112204m m m m ⎧><-⎪⎨⎪<≥⎩或或得12m <-或4m ≥所以当命题p ，q 中恰有一个为真命题时，实数m 的取值范围为12m <-或4m ≥或102m ≤≤.21. 五一放假期间高速公路免费是让实惠给老百姓，但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某时间段内车流量y (单位:千辆/小时)与汽车的平均速度v (单位:千米/小时)之间满足的函数关系2184020v y v v c=++（0120,v c <≤为常数），当汽车的平均速度为100千米/小时时，车流量为10千辆/小时.（1）在该时间段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 达到最大值？（2）为保证在该时间段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？【答案】（1）当汽车的平均速度80v =时车流量y 达到最大值。
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湖南省高一上学期12月月考数学试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高二下·温州期中) 设集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x+1＞0}，则集合A∩B等于（）
A . {x|﹣2≤x≤﹣1}
B . {x|﹣2≤x＜﹣1}
C . {x|﹣1＜x≤3}
D . {x|1＜x≤3}
2. （2分）已知角的终边过点，的值为（）．
A . －
B . －
C .
D .
3. （2分）下列四组函数中，表示同一个函数的是（）
A . f（x）=|x+1|，g（x）=
B . f（x）= ，g（x）=x﹣1
C . f（x）= ，g（x）=（） 2
D . f（x）=x，g（x）=
4. （2分）已知，且x是第三象限角，则的值为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2016高二上·大连开学考) 设函数f（x）= ，若函数g（x）=f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（）
A . （0，1）
B . [1，2]
C . （0，1]
D . （1，2）
6. （2分） (2019高一上·宿州期中) 已知，则的大小关系（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分）下列图形可以表示为以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数是（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分） (2019高三上·海淀月考) 已知曲线y＝2sin（x ）cos（）与直线y 相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P1 ， P2 ， P3 ，…，则|P1P5|等于（）
A . π
B . 2π
C . 3π
D . 4π
9. （2分） (2017高三上·赣州期末) 函数y= （x≠0）的图象大致是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）已知，，若对任意，都存在，使
，则a的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
11. （2分） (2016高二下·普宁期中) 下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（）
A . y=2|x|
B .
C . y=2x+2﹣x
D .
12. （2分） (2019高一上·杭州期中) 设函数，则函数的图像可能为（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分）(2017·山西模拟) 若幂函数y=（m2﹣4m+1）xm2﹣2m﹣3为（0，+∞）上的增函数，则实数m
的值等于________．
14. （1分）(2020·新高考Ⅰ) 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC= ，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2 ．
15. （1分）(2016·南通模拟) 已知函数f（x）=x2+ax（a∈R），g（x）= （f′（x）为f（x）的导函数），若方程g（f（x））=0有四个不等的实根，则a的取值范围是________．
16. （1分） (2019高一上·吉安月考) 下列结论中:
①定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数;②若f(2)=f(-2),则函数f(x)不是奇函数;③函数y=x-0.5是(0,1)上的减函数;④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同;⑤若x0是二次函数y=f(x)的零点,且m<x0<n,那么f(m)f(n)<0一定成立.
写出上述所有正确结论的序号:________.
三、计算题 (共1题；共10分)
17. （10分） (2016高三上·沈阳期中) 已知函数
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0， ]时，函数 y=f（x）的最小值为，试确定常数a的值．
四、解答题 (共4题；共40分)
18. （15分） (2016高一上·揭阳期中) 解答题。
（1）解方程4x﹣2x﹣2=0．
（2）求不等式 log2（2x+3）＞log2（5x﹣6）；
（3）求函数y=（），x∈[0，5）的值域．
19. （10分） (2019高三上·安义月考) 已知函数， .
（1）当时，讨论的单调性；
（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.
20. （5分）(2018·泉州模拟) 函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，若，求实数的取值范围.
21. （10分） (2019高一上·惠来月考) 已知函数 . （1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、考点：
解析：
三、计算题 (共1题；共10分)答案：17-1、
答案：17-2、
考点：
解析：
四、解答题 (共4题；共40分)答案：18-1、
答案：18-2、
答案：18-3、
考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、考点：
解析：
答案：21-1、答案：21-2、考点：
解析：。