1-1 质点运动的描述

3 位移 r
平 面运动 : rA xAi
rB xBi
yA yB
j， j，
r rB rA
(xB xA)i ( yB yA) j
y
A
r
yB yA
B
rA
rB
o
x
xB xA
三维运动:
r (xB xA )i ( yB yA ) j (zB zA )k
第一章 质点运动学
2v02 g
sin
cos
dd0 2v02 cos 2 0 d g
当 π，
4
y 实际路径 真空中路径
d0m v02 g
由于空气阻力，实际 o
射程小于最大射程．
d d0
x
26
第一章 质点运动学
26
数理学院 School of Mathematics & Physics
1-1 质点运动的描述
质点运动学两类基本问题
加速度分量
ax
dvx dt
d2x dt 2
a
y
dv y dt
d2 y dt 2
a
方向的确定与速度类似.
第一章 质点运动学
数理学院 School of Mathematics & Physics
ax2 ay2
16 16
1-1 质点运动的描述
例1 某质点作曲线运动，运动方程为
r (t) a costi bsintj（SI）. 求：
(1)质点的运动轨迹； (2)质点在第2s内的平均速度； (3)质点任意时刻 t 的速度和加速度.
解 (1)从运动方程可得分量参数方程为
x a cost
y b sin t
由此可得
cos t x ,sin t y
a
b
两式平方相加，得
x2 y2 1
a2 b2
（椭圆）
第一章 质点运动学
数理学院 School of Mathematics & Physics
14 14
1-1 质点运动的描述
1 直角坐标系
二维
v dr d xi yj
dt dt
速度分量 速率
v vxi vy j
vx
dx dt
vy
dy dt
v vx2 v2y
方向
可由 v 与Ox 轴夹角确定
arctan vy
vx
第一章 质点运动学
15
数理学院 School of Mathematics & Physics
9
数理学院 School of Mathematics & Physics
1-1 质点运动的描述
讨论 一运动质点在某瞬
时位于位矢 r(x, y) 的
y
y
端点处，其速度大小为
dr （A） dt
（B）ddrt o
r (t)
x
（C） d r （D） (dx)2 (dy)2
dt
dt
dt
注意
dr dr
解 a dv 1.0v dt
v
dv
t
dt
v v0
0
v v0et
v
dy dt
v0et
y
0 dy v0
t etdt
0
y 10（1 et）
29
第一章 质点运动学
数理学院 School of Mathematics & Physics
o
v0
y
29
v v0e1.0t
v/m s-1 v0
v
v x
o
x
若质点在三维空间中运动，其速度 v vxi vy j vzk
第一章 质点运动学
数理学院 School of Mathematics & Physics
88
1-1 质点运动的描述
当
t
0
时,
dr
ds
v
ds dt
et
速度方向 切线向前
速度大小 v ds
速度
v
的值
dt
速率
9
第一章 质点运动学
11 11
1-1 质点运动的描述
2 (瞬时)加速度
a lim v dv d2 r t0 t dt d t 2
a
dvx
i
dv y
j
dvz
k
dt
dt
dt
a axi ay j azk
12
第一章 质点运动学
Baidu Nhomakorabea
12
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加速度大小
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44
1-1 质点运动的描述
4 路程(s)
从P1到P2：
路程 s P1P2
位移与路程的区别
y
s'
P1
r (t1
s r
)
r
(t2
)
P2
(1) 两点间位移是唯
O
z
一的．
(2) 一般情况 Δr s ．
x P1(x1, y1, z1)
P2 (x2 , y2 , z2 )
(3) 位移是矢量，路程是标量．
5
第一章 质点运动学
5
数理学院 School of Mathematics & Physics
1-1 质点运动的描述
注意
r ， r ，r
y
P1 r
P2
的意义不同．
r
xi
yj
zk
r1
r2
r
O
r
x2 y2 z2 z
a
a
加速度方向
直线运动
a
//
v
曲线运动 指向凹侧
说明：矢量性 瞬时性 相对性
1-1 质点运动的描述
ax2
a
2 y
az2
v1
a2
v2
a1
13
第一章 质点运动学
13
数理学院 School of Mathematics & Physics
1-1 质点运动的描述
五 速度和加速度在几种常用坐标系中
的表示
1 直角坐标系
三维
v dr d xi yj zk dt dt
速度分量 速率
v vxi vy j vzk
vx
dx dt
vy
dy dt
vz
dz dt
v vx2 v2y vz2
方向
由方向余弦确定
第一章 质点运动学
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v rxixyij t t
y t
o
j
vxi
vy
j
x
第一章 质点运动学
数理学院 School of Mathematics & Physics
77
1-1 质点运动的描述
2
v
瞬时速度（简 称速度） r dr
lim
t0 t dt
v d x
i
d
y
j
dt dt
vxi vy j
y v y
一 由质点的运动方程可以求得质点在 任一时刻的位矢、速度和加速度；
二 已知质点的加速度以及初始速度和 初始位置, 可求质点速度及其运动方程．
r(t)
求导
v(t )
求导
a (t )
积分
积分
第一章 质点运动学
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27 27
1-1 质点运动的描述
1-1 质点运动的描述
加速度在直角坐标系中的表达式为
三维 加速度分量
二维
a axi ay j azk ax ay az
ax
dvx dt
d2x dt 2
a
y
dv y dt
d2 y dt 2
az
dvz dt
d2z dt 2
a
a axi ay j ax ay
ax2 ay2 az2
21 21
1-1 质点运动的描述 (2)由图可知，点M的坐标为
x asin
y
bcos
消去参数 即可得点M的轨迹方 程为
x2 a2
y2 b2
1
（椭圆）
图示的装置叫做椭圆规尺.
第一章 质点运动学
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22 22
1-1 质点运动的描述
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30 30
1-1 质点运动的描述
五 速度和加速度在几种常用坐标系中
的表示
y
2 平面极坐标系
x r cosθ
x
Δr x22 y22 z22 x12 y12 z12
第一章 质点运动学
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66
1-1 质点运动的描述
三 速度
1 平均速度
在 t 时间内，质点
y
r(t t)
B
s
位移为
r
r r (t t) r (t)
A
r (t)
解得：
x v0 cos t
y
v0
sin
t
1 2
gt2
轨迹方程为：
y
x
tan
2v02
y cos2
x2
y voy
v0
v y v
v x
v x
o
α
vox
d0
v y
vx
25
第一章 质点运动学
25
数理学院 School of Mathematics & Physics
1-1 质点运动的描述
求最大射程
d0
17 17
1-1 质点运动的描述
(2)第2s内的平均速度为 v r r (2) r (1) t 2 1
a[cos2cos]i b[sin2sin]j
(3)任意时刻的速度和加速度分别为
v dr a sinti b costj
dt
a
dv dt
d2r dt 2
2
acosti bsintj
2r
质点加速度与位矢成正比，但方向相反.
第一章 质点运动学
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18 18
1-1 质点运动的描述
例2 如图A、B
两物体由一长为 l 的
刚性细杆相连，A、B 两物体可在光滑轨道 上滑行．如物体 A以
恒定的速率 v 向下滑
行. 求 30 时, 物体B的速率为多少？
例4 有一个球体在某液 体中竖
直下落, 其初速度 液体中的加速度为
av0110.0jv，j，它问在：
(1)经过多少时间后可以认为小球已
停止运动；
(2)此球体在停止运动前经历的路程
有多长？
o
v0
y
第一章 质点运动学
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28 28
1-1 质点运动的描述
dt dt
第一章 质点运动学
数理学院 School of Mathematics & Physics
x
10 10
1-1 质点运动的描述
四 加速度
反映速度大小和 方向随时间变化快慢 的物理量
1 平均加速度
a v t
a 与v 同方向
y vA
vB
AB
O
x
vA v
vB
第一章 质点运动学
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2
运动方程
r (t)
x(t)i
y(t)
j
z(t)k
x x(t) 分量式 y y(t)
z z(t)
y y(t) r(t) P
从上式中消
o
x(t)
去参数 t 得质点
z(t)
x
的轨迹方程．
z
3
第一章 质点运动学
3
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1-1 质点运动的描述
1-1 质点运动的描述
二 位置矢量 运动方程 位移
1 r
位置矢量 r
xi yj zk
大小：
y
y
r
*P
r
x2 y2 z2
z
o
x
方向：
zx
cos x
r
cos y
r
cos rz
第一章 质点运动学
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22
1-1 质点运动的描述
1-1 质点运动的描述
y 10（1 e ） 1.0t
y/m
10
O
t/s O
t/s
v
t/s
y/m
v0/10
2.3 8.997 4
v0/100 v0 /1 000
4.6
6.9
9.899 5 9.989 9
v0 /10 000 9.2
9.999 0
t 9.2 s, v 0, y 10 m
第一章 质点运动学
设M为细杆上一点，且 MA a ，MB b .求点M轨迹.
第一章 质点运动学
数理学院 School of Mathematics & Physics
19 19
1-1 质点运动的描述
解
vA
vy
j
dy dt
j
v j
vB
vxi
dx i dt
x2 y2 l2
两边求导得 2x dx 2 y dy 0 dt dt
1-1 质点运动的描述
一 质点 参考系
1 质点 ➢ 物体能否抽象为质点，视具体情况而定．
物响太体可阳大忽小 略和 时地形 的球 状 理的 想地地变 模球—化 型16..35半—对 ．7××径日1其0：间18运0距3k动m：km的影
2 参考系 为描述物体运动而选的标准物．
第一章 质点运动学
1
数理学院 School of Mathematics & Physics
解
a
ay
g
g
j
ax 0
y
v0t
r
v0t
1 2
gt
2
按已知条件，t=0时，有 O
rv0
1
gt
2
2
P
x
vox v0 cos
ax 0
voy v0 sin
ay g
24
第一章 质点运动学
24
数理学院 School of Mathematics & Physics
1-1 质点运动的描述
20
第一章 质点运动学
20
数理学院 School of Mathematics & Physics
即
dx y dy dt x dt
1-1 质点运动的描述
vB
y x
dx dt
i
dy v
dt
vB v cot i
当 30时，vB 3v
vB 沿 x 轴正向
第一章 质点运动学
数理学院 School of Mathematics & Physics
例3 如图一抛体在
地O以球初表速面v附0 沿近与，水从平原面点
y
v0t
上Ox轴的正向成角抛
出．如略去抛体在运动
rv0
过程中空气的阻力作用，O
1
gt
2
2
P
x
求抛体运动的轨 迹方程和最大射程．
23
第一章 质点运动学
23
数理学院 School of Mathematics & Physics
1-1 质点运动的描述