《用图象表示变量之间的关系(2)》参考教案
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［结果］发展学生的创新意识和丰富的想象，有条理的语言表达能力 . ●板书设计 §9.3 用图象表示变量之间的关系 一、读图： ①自变量、因变量是什么？ ②“上升线 ”——表示因变量随自变量的增大而增大 . “水平线 ”——表示因变量随自变量的增大不变或为 0. “下降线 ”——表示因变量随自变量增大而减小 . 二、课堂练习
解：从图中可以看出： （1）小明步行到小亮家用了 20min，小明家距小亮家 900m； （2）小明在小亮家停留 20min，回家用了 15min； （3）小明去小亮家的步行速度为 900÷20=45（ min）；
回家的速度为 900÷15=60（ min）. Ⅲ.随堂练习 1. 柿子熟了，从树上落下来 .下面哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中 （即落地前）的速度变化情况？
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（1）小明今天休息，上午 9 时骑自行车到新华书店买书 .去时以某一速度匀 速行进，用了 20 分钟到了书店； 在书店买书用了 30 分钟；随后为了早点赶回家， 加快了速度，但仍保持匀速行进，结果 15 分钟就赶回家 .回家后，小明想画出自 己骑自行车离开家的距离 s 千米与所用时间 t 分钟的关系的图象 .你能帮他画出 吗？
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早晨 7：30，小明开始向学校走，学校 8：00 开始上课 .下面的这张图描述了 小明在行走过程中速度的变化情况 .（横轴：时间（时） ；纵轴：速度（米 /秒））
（1）写一个故事来描述小明在上学路上的情况 .在你的故事中，描述小明在
不同的时间里都做了一些什么事情？
（2）在表格中写出图中至少 6 个关键点 .每个点和你的故事有什么关系？
（2）下课铃声刚响，小明就加速向家跑，跑了 5 分钟后，他又匀速跑了一 段，用了 2 分钟，快到家的时候，他开始减速，用了 3 分钟到家停下，你能画出 小明放学回家途中的速度 v 与时间 t 之间关系的图象吗？
［师］就上面两个问题，同学们可自己先思考，然后和同伴交流讨论 . （这两个问题有一定的难度， 教师应深入学生中给予指导或听一下学生的想 法 .） ［师］我刚才看了同学们在下面画的图象，对于第（ 1）小题，有这么几种 画法，同学们来判断一下哪一种能较好地反映题中所描述的情境 . 首先我们看同学 A 画的图象：
图 根据题意，我首先搞清楚了自变量是时间 t，因变量是速度 v.在这个变化过 程中，它告诉我们的是 v 是随 t 如何变化的 .在前 5 分钟，小明加速向家跑，说明 在这段时间里， v 随着 t 的增大而增大，应用 “上升的线 ”表示小明的速度在增加； 在中间 2 分钟，小明匀速向家跑即随着时间 t 的增大， v 不变，应用 “水平线 ”表 示小明在这段时间内速度不变；最后 3 分钟，小明减速向家跑，到家停下，说明 随着时间 t 的增大， v 在减小，应用 “下降的线 ”表示小明在这段时间内速度 v 逐 渐减小，直到停下，速度 v 变成 0. ［师］大家有不同见解吗？ ［生］没有 .
4/8Fra Baidu bibliotek
（4）可以这样描述这辆汽车的行驶情况：汽车一出发就加速行驶 2 分钟 .2 分钟后又以 30 千米 /时的速度匀速行驶 4 分钟，快到一加油站，然后减速行驶 2 分钟到加油站加油，过了 2 分钟，加满油 .出了加油站，又开始加速行驶 8 分钟， 时速达到 90 千米 /时，然后以 90 千米 /时的速度匀速行驶 4 分钟后，快到目的地， 开始减速行驶， 2 分钟后到达目的地，停下休息 .
时间
速度
［过程］ 写一个故事描述小明在上学路上的情况，同学们可大胆地想象，只 要合理、符合图象所表示出来的速度随时间变化的情况即可 .例如 7：30 小明一 出门，就看见小虎在前面， 然后他加快速度赶上小虎后， 两人相跟着匀速地走了 一段时间后，边走边玩，速度慢慢地减下来 . 7:35 到一个小店门口停下，小明到 店里买了一个本，看一看表已 7： 40，……
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图 ［生］我认为这个图象能更好地反映题中所描述的情境：前 20 分钟，随着 时间 t 的增大， 距离 s 也在增大； 中间 30 分钟，小明在书店买书， t 在逐渐增大， 而距离 s 不变；而后 15 分钟，小明从书店往家里返， t 在逐渐增大，距离 s 在逐 渐减小直至回家 s 变成 0. ［师］因此，我们用图象来表示两个变量之间关系时，一定要明白自变量、 因变量分别是什么？因变量是如何随着自变量的变化而变化的？下面我们看第 （ 2）个问题情境 .把握上面两点，我相信大家一定会画得很好 . ［生］老师，我画出来了 . ［师］你能展示给大家吗？并说明你这样画的理由 . ［生］可以，我是这样画的 .
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［师］这位同学分析得很到位 .
大家知道，每辆汽车上都有一个时速表来指示汽车当时的速度
.下面我们
再来研究一个问题 .
2.速度的变化
汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的 .下面的图象表示一辆汽车的速度
随时间变化而变化的情况 .
根据图象，回答问题：
（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？ （2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？ （3）出发后 8 分到 10 分之间可能发生了什么情况？ （4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况 . ［师］同样，我们先来注意一下横轴、纵轴所代表的变量是什么？ ［生］横轴是自变量时间，纵轴是因变量速度 . ［师］同学们可认真观察图象，可以看出图象中有 “水平线 ”“上升的线 ”下“ 降的线 ”，它们分别代表什么？ ［生］“水平线 ”表示在相应的时间段汽车的行驶速度不变即汽车匀速行驶或 静止； “上升的线 ”表示在相应的时段，汽车的速度在增加； “下降的线 ”表示在相 应的时段，汽车的速度在减小 . ［师］看来，同学们基本能读懂图象 .下面我们来共同讨论上面提出的问题 . ［师生共析］ （ 1）汽车从出发到最后停止共经过 24 分钟，汽车的最高 时速是 90 千米 / 时 . （2）大约在 2 分到 6 分， 18 分到 22 分之间汽车匀速行驶，速度分别是 30 千米 /时和 90 千米 /时； （3）出发后 8 分到 10 分速度为 0，所以汽车是静止的， 可能是遇到了红灯； 也可能是遇到了朋友；也可能停下来加油 .只要所说的情况合理即可 .
（这里主要是关注对变化过程的大致刻画，学生的答案合理即可） 3.例题讲解 例 1 小明从家步行去小亮家，聊了一段时间后回家 .小明和家的距离与他 离开家以后的时间之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： （1）小明用了多长时间步行到小亮家？小明家距小亮家多远？ （2）小明在小亮家停留了多长时间？回家用了多长时间？ （3）小明去小亮家和由小亮家回家的步行速度各是多少？
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图 ［生］我认为这个图象不能反映题中所描述的情境 .因为这个问题中的自变 量是离开家的时间 t，而因变量是小明离开家的距离 s，前 20 分钟，小明匀速行 驶，随着 t 的增大，距离 s 也在增大；然后 20 分钟到 50 分钟是小明在书店里买 书，时间 t 在增大，而距离 s 是不变的；这两部分表示的都对 .而 50 分钟到 65 分 钟，小明在从书店往家里返，所以随着时间 t 的增大，距离家应越来越近，即 s 应越来越小以至于变成 0，而这个图象在这一部分是上升的， 明显的与题意不符 . ［师］那么出现这种错误的原因是什么呢？ ［生］原因是没有弄明白在这个变化过程中，因变量是离家的距离 s，而不 是小明行驶的总路程 . ［师］我们再来看下一位同学画的 .
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图 ［师］根据生活的经验， 想象柿子从树上落下来的过程或利用手中的东西当 柿子试验一下，你发现了什么？ ［生］柿子下降的速度越来越快 . ［师］我们不妨先来分析一下这四个图象所表示的变量之间的关系 . ［生］这四个图象反映的都是速度随时间变化的情况， 其中（1）的图象是 “下 降的线 ”，说明速度随时间而减小，即速度随时间的增大而越来越慢，显然不正 确. （ 2）图象是一条 “水平线 ”，说明时间在逐渐增大而速度没变，即柿子在做 匀速直线运动，显然也不正确 . （ 3）图象是一条 “上升线 ”，而且起点是从零速度开始，说明柿子是从停止 随着时间的增大速度在逐渐加快 .显然是正确的 . （4）显然也不正确 .图象是 “下降的曲线 ”，说明速度在随着时间的增大在逐 渐减慢 . 2.一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶 .过了一段时间， 汽车到达下一个车站 .乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶 . 下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？
9.3 用图象表示变量之间的关系（ 2） ●教学目标 （一）教学知识点 1.通过速度随时间变化的实际情境， 进一步经历从图象中分析变量之间关系 的过程，加深对图象表示的理解 . 2.给出实际情境，能大致描绘出它的关系图 . （二）能力训练要求 1.进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力 . 2.用变化的观点去观察和解释身边发生的数学现象 . （三）情感与价值观要求 1.鼓励学生大胆、合理地解释实际情境，为学习数学树立信心，提高兴趣 . 2.发展学生应用数学的意识 . ●教学重点 1.进一步通过图象获取信息，分析变量之间的关系 . 2.用有条理的、合理的语言刻画现实情境 . ●教学难点 由图象描述变量关系和由实际情境描述大致图象 . ●教学方法 师生共同讨论法 ●教学过程 Ⅰ.提出问题，引入新课 ［师］表示变量之间关系的方法有几种？ ［生］三种 .分别是表格法，关系式和图象法 . ［师］我们知道图象表示变量之间的关系， 以其直观性有着其他表示形式所 不能替代的作用 .因此，我们这节课特别又对图象所表示的变量之间的关系进行 讨论 . Ⅱ.讲授新课 师生通过图象，共同讨论变量之间的关系 . 1. 根据下列情境的描述，你能用图象大致刻画变量之间的关系吗？
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图 （同学们根据题中的描述， 首先明确自变量、因变量分别是什么，是怎样的 一个变化过程 .） ［生］图（ 1）说明汽车先是匀速行驶，然后再减速，到达车站，接上客人， 又开始加速，然后匀速行驶 .显然不合题意 ; 图（ 2）说明汽车先加速度行驶，然后匀速行驶一段时间后减速行驶，到达 车站，乘客上下车后开始加速， 一段时间后又匀速行驶， 显然符合题意是正确的 . （3）（ 4）略 . Ⅳ.课时小结 ［师］同学们可以谈一下这节课的收获和体会 . ［生］通过速度随时间变化的情境， 经历从图象中分析变量之间的关系的过 程 .加深了对图象表示的理解 . ［生］我觉得这节课不仅要读懂文字语言，而且还要读懂图形语言 .例如在 速度随时间变化的图象中 “水平线 ”表示什么？ “上升的线 ”下“降的线 ”又代表什 么？ ［生］ 我觉得最关键的是搞清楚自变量、因变量，并且搞明白它们的变化关 系. ［师］看来同学们收获还真不小 . Ⅴ.课后作业 习题 9.4 2、3 Ⅵ.活动与探究
解：从图中可以看出： （1）小明步行到小亮家用了 20min，小明家距小亮家 900m； （2）小明在小亮家停留 20min，回家用了 15min； （3）小明去小亮家的步行速度为 900÷20=45（ min）；
回家的速度为 900÷15=60（ min）. Ⅲ.随堂练习 1. 柿子熟了，从树上落下来 .下面哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中 （即落地前）的速度变化情况？
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（1）小明今天休息，上午 9 时骑自行车到新华书店买书 .去时以某一速度匀 速行进，用了 20 分钟到了书店； 在书店买书用了 30 分钟；随后为了早点赶回家， 加快了速度，但仍保持匀速行进，结果 15 分钟就赶回家 .回家后，小明想画出自 己骑自行车离开家的距离 s 千米与所用时间 t 分钟的关系的图象 .你能帮他画出 吗？
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早晨 7：30，小明开始向学校走，学校 8：00 开始上课 .下面的这张图描述了 小明在行走过程中速度的变化情况 .（横轴：时间（时） ；纵轴：速度（米 /秒））
（1）写一个故事来描述小明在上学路上的情况 .在你的故事中，描述小明在
不同的时间里都做了一些什么事情？
（2）在表格中写出图中至少 6 个关键点 .每个点和你的故事有什么关系？
（2）下课铃声刚响，小明就加速向家跑，跑了 5 分钟后，他又匀速跑了一 段，用了 2 分钟，快到家的时候，他开始减速，用了 3 分钟到家停下，你能画出 小明放学回家途中的速度 v 与时间 t 之间关系的图象吗？
［师］就上面两个问题，同学们可自己先思考，然后和同伴交流讨论 . （这两个问题有一定的难度， 教师应深入学生中给予指导或听一下学生的想 法 .） ［师］我刚才看了同学们在下面画的图象，对于第（ 1）小题，有这么几种 画法，同学们来判断一下哪一种能较好地反映题中所描述的情境 . 首先我们看同学 A 画的图象：
图 根据题意，我首先搞清楚了自变量是时间 t，因变量是速度 v.在这个变化过 程中，它告诉我们的是 v 是随 t 如何变化的 .在前 5 分钟，小明加速向家跑，说明 在这段时间里， v 随着 t 的增大而增大，应用 “上升的线 ”表示小明的速度在增加； 在中间 2 分钟，小明匀速向家跑即随着时间 t 的增大， v 不变，应用 “水平线 ”表 示小明在这段时间内速度不变；最后 3 分钟，小明减速向家跑，到家停下，说明 随着时间 t 的增大， v 在减小，应用 “下降的线 ”表示小明在这段时间内速度 v 逐 渐减小，直到停下，速度 v 变成 0. ［师］大家有不同见解吗？ ［生］没有 .
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（4）可以这样描述这辆汽车的行驶情况：汽车一出发就加速行驶 2 分钟 .2 分钟后又以 30 千米 /时的速度匀速行驶 4 分钟，快到一加油站，然后减速行驶 2 分钟到加油站加油，过了 2 分钟，加满油 .出了加油站，又开始加速行驶 8 分钟， 时速达到 90 千米 /时，然后以 90 千米 /时的速度匀速行驶 4 分钟后，快到目的地， 开始减速行驶， 2 分钟后到达目的地，停下休息 .
时间
速度
［过程］ 写一个故事描述小明在上学路上的情况，同学们可大胆地想象，只 要合理、符合图象所表示出来的速度随时间变化的情况即可 .例如 7：30 小明一 出门，就看见小虎在前面， 然后他加快速度赶上小虎后， 两人相跟着匀速地走了 一段时间后，边走边玩，速度慢慢地减下来 . 7:35 到一个小店门口停下，小明到 店里买了一个本，看一看表已 7： 40，……
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图 ［生］我认为这个图象能更好地反映题中所描述的情境：前 20 分钟，随着 时间 t 的增大， 距离 s 也在增大； 中间 30 分钟，小明在书店买书， t 在逐渐增大， 而距离 s 不变；而后 15 分钟，小明从书店往家里返， t 在逐渐增大，距离 s 在逐 渐减小直至回家 s 变成 0. ［师］因此，我们用图象来表示两个变量之间关系时，一定要明白自变量、 因变量分别是什么？因变量是如何随着自变量的变化而变化的？下面我们看第 （ 2）个问题情境 .把握上面两点，我相信大家一定会画得很好 . ［生］老师，我画出来了 . ［师］你能展示给大家吗？并说明你这样画的理由 . ［生］可以，我是这样画的 .
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［师］这位同学分析得很到位 .
大家知道，每辆汽车上都有一个时速表来指示汽车当时的速度
.下面我们
再来研究一个问题 .
2.速度的变化
汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的 .下面的图象表示一辆汽车的速度
随时间变化而变化的情况 .
根据图象，回答问题：
（1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？ （2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？ （3）出发后 8 分到 10 分之间可能发生了什么情况？ （4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况 . ［师］同样，我们先来注意一下横轴、纵轴所代表的变量是什么？ ［生］横轴是自变量时间，纵轴是因变量速度 . ［师］同学们可认真观察图象，可以看出图象中有 “水平线 ”“上升的线 ”下“ 降的线 ”，它们分别代表什么？ ［生］“水平线 ”表示在相应的时间段汽车的行驶速度不变即汽车匀速行驶或 静止； “上升的线 ”表示在相应的时段，汽车的速度在增加； “下降的线 ”表示在相 应的时段，汽车的速度在减小 . ［师］看来，同学们基本能读懂图象 .下面我们来共同讨论上面提出的问题 . ［师生共析］ （ 1）汽车从出发到最后停止共经过 24 分钟，汽车的最高 时速是 90 千米 / 时 . （2）大约在 2 分到 6 分， 18 分到 22 分之间汽车匀速行驶，速度分别是 30 千米 /时和 90 千米 /时； （3）出发后 8 分到 10 分速度为 0，所以汽车是静止的， 可能是遇到了红灯； 也可能是遇到了朋友；也可能停下来加油 .只要所说的情况合理即可 .
（这里主要是关注对变化过程的大致刻画，学生的答案合理即可） 3.例题讲解 例 1 小明从家步行去小亮家，聊了一段时间后回家 .小明和家的距离与他 离开家以后的时间之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： （1）小明用了多长时间步行到小亮家？小明家距小亮家多远？ （2）小明在小亮家停留了多长时间？回家用了多长时间？ （3）小明去小亮家和由小亮家回家的步行速度各是多少？
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图 ［生］我认为这个图象不能反映题中所描述的情境 .因为这个问题中的自变 量是离开家的时间 t，而因变量是小明离开家的距离 s，前 20 分钟，小明匀速行 驶，随着 t 的增大，距离 s 也在增大；然后 20 分钟到 50 分钟是小明在书店里买 书，时间 t 在增大，而距离 s 是不变的；这两部分表示的都对 .而 50 分钟到 65 分 钟，小明在从书店往家里返，所以随着时间 t 的增大，距离家应越来越近，即 s 应越来越小以至于变成 0，而这个图象在这一部分是上升的， 明显的与题意不符 . ［师］那么出现这种错误的原因是什么呢？ ［生］原因是没有弄明白在这个变化过程中，因变量是离家的距离 s，而不 是小明行驶的总路程 . ［师］我们再来看下一位同学画的 .
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图 ［师］根据生活的经验， 想象柿子从树上落下来的过程或利用手中的东西当 柿子试验一下，你发现了什么？ ［生］柿子下降的速度越来越快 . ［师］我们不妨先来分析一下这四个图象所表示的变量之间的关系 . ［生］这四个图象反映的都是速度随时间变化的情况， 其中（1）的图象是 “下 降的线 ”，说明速度随时间而减小，即速度随时间的增大而越来越慢，显然不正 确. （ 2）图象是一条 “水平线 ”，说明时间在逐渐增大而速度没变，即柿子在做 匀速直线运动，显然也不正确 . （ 3）图象是一条 “上升线 ”，而且起点是从零速度开始，说明柿子是从停止 随着时间的增大速度在逐渐加快 .显然是正确的 . （4）显然也不正确 .图象是 “下降的曲线 ”，说明速度在随着时间的增大在逐 渐减慢 . 2.一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶 .过了一段时间， 汽车到达下一个车站 .乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶 . 下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？
9.3 用图象表示变量之间的关系（ 2） ●教学目标 （一）教学知识点 1.通过速度随时间变化的实际情境， 进一步经历从图象中分析变量之间关系 的过程，加深对图象表示的理解 . 2.给出实际情境，能大致描绘出它的关系图 . （二）能力训练要求 1.进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力 . 2.用变化的观点去观察和解释身边发生的数学现象 . （三）情感与价值观要求 1.鼓励学生大胆、合理地解释实际情境，为学习数学树立信心，提高兴趣 . 2.发展学生应用数学的意识 . ●教学重点 1.进一步通过图象获取信息，分析变量之间的关系 . 2.用有条理的、合理的语言刻画现实情境 . ●教学难点 由图象描述变量关系和由实际情境描述大致图象 . ●教学方法 师生共同讨论法 ●教学过程 Ⅰ.提出问题，引入新课 ［师］表示变量之间关系的方法有几种？ ［生］三种 .分别是表格法，关系式和图象法 . ［师］我们知道图象表示变量之间的关系， 以其直观性有着其他表示形式所 不能替代的作用 .因此，我们这节课特别又对图象所表示的变量之间的关系进行 讨论 . Ⅱ.讲授新课 师生通过图象，共同讨论变量之间的关系 . 1. 根据下列情境的描述，你能用图象大致刻画变量之间的关系吗？
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图 （同学们根据题中的描述， 首先明确自变量、因变量分别是什么，是怎样的 一个变化过程 .） ［生］图（ 1）说明汽车先是匀速行驶，然后再减速，到达车站，接上客人， 又开始加速，然后匀速行驶 .显然不合题意 ; 图（ 2）说明汽车先加速度行驶，然后匀速行驶一段时间后减速行驶，到达 车站，乘客上下车后开始加速， 一段时间后又匀速行驶， 显然符合题意是正确的 . （3）（ 4）略 . Ⅳ.课时小结 ［师］同学们可以谈一下这节课的收获和体会 . ［生］通过速度随时间变化的情境， 经历从图象中分析变量之间的关系的过 程 .加深了对图象表示的理解 . ［生］我觉得这节课不仅要读懂文字语言，而且还要读懂图形语言 .例如在 速度随时间变化的图象中 “水平线 ”表示什么？ “上升的线 ”下“降的线 ”又代表什 么？ ［生］ 我觉得最关键的是搞清楚自变量、因变量，并且搞明白它们的变化关 系. ［师］看来同学们收获还真不小 . Ⅴ.课后作业 习题 9.4 2、3 Ⅵ.活动与探究