二项式定理

第二节 二项式定理[最新考纲] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)； (2)通项公式：T r ＋1＝C r n an －r b r ，它表示第r ＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C 0n ，C 1n ，…，C n n .2．二项式系数的性质(1)0≤r ≤n 时，C r n 与C n －r n 的关系是C r n ＝C n －r n .(2)二项式系数先增后减中间项最大当n 为偶数时，第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为.3．各二项式系数和(1)(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式中的第r 项． ( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( ) (4)通项T r ＋1＝C r n an －r b r 中的a 和b 不能互换． ( )[答案](1)× (2)× (3)√ (4)√二、教材改编1．(1－2x )4展开式中第3项的二项式系数为( ) A ．6 B ．－6 C ．24 D ．－24A [(1－2x )4展开式中第3项的二项式系数为C 24＝6.故选A.] 2．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中x 3y 2的系数是( )A ．5B ．－20C ．20D ．－5A [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－r(－2y )r .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5－r ＝3，r ＝2，解得r ＝2.所以x 3y 2的系数是C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫123×(－2)2＝5.故选A.] 3.C 02 019＋C 12 019＋C 22 019＋…＋C 2 0192 019C 02 020＋C 22 020＋C 42 020＋…＋C 2 0202 020的值为( ) A ．1 B ．2C ．2 019D ．2 019×2 020A [原式＝22 01922 020－1＝22 01922 019＝1.故选A.]4．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为 ． 8 [令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8.]考点1 二项式展开式的通项公式的应用 形如(a ＋b )n 的展开式问题 求二项展开式中的项的3种方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项一般需要建立方程求r ，再将r 的值代回通项求解，注意r 的取值范围(r ＝0,1,2，…，n )．(1)第m 项：此时r ＋1＝m ，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．(1)(2018·全国卷Ⅲ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80(2)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝ .(3)(2019·浙江高考)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是 ；系数为有理数的项的个数是 ．(1)C (2)－2 (3)162 5 [(1)T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝C r 52r x 10－3r，由10－3r ＝4，得r ＝2，所以x 4的系数为C 25×22＝40.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r·x 10－52r ，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2.(3)由题意，(2＋x )9的通项为T r ＋1＝C r 9(2)9－r x r(r ＝0,1,2…9)，当r ＝0时，可得常数项为T 1＝C 09(2)9＝162；若展开式的系数为有理数，则r ＝1,3,5,7,9，有T 2, T 4, T 6, T 8, T 10共5个项．]已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k ＋1项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．[教师备选例题]1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( )A ．－1B ．1C ．－87D ．87B [1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.]1.在(x 2－4)5的展开式中，含x 6的项为 ．160x 6 [因为(x 2－4)5的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k(－4)k ＝(－4)k C k 5x10－2k ， 令10－2k ＝6，得k ＝2，所以含x 6的项为T 3＝(－4)2·C 25x 6＝160x 6.]2．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为( )A ．±2 B.12 C ．－2D ．±12形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题求解形如(a ＋b )n (c ＋d )m 的展开式问题的思路(1)若n ，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a ＋b )2(c ＋d )m ＝(a 2＋2ab ＋b 2)(c ＋d )m ，然后展开分别求解．(2)观察(a ＋b )(c ＋d )是否可以合并，如(1＋x )5(1－x )7＝[(1＋x )(1－x )]5(1－x )2＝(1－x 2)5(1－x )2.(3)分别得到(a ＋b )n ，(c ＋d )m 的通项公式，综合考虑．(1)(2017·全国卷Ⅰ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35(2)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3D ．4(1)C (2)B [(1)因为(1＋x )6的通项为C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4.因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为30.故选C.(2)(1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x )．于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3.] 求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．1.(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3D [能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x 2项，第二个因式取1x 2项得x 2×1x2×C 45(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×C 55＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D.]2．若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12 C ．1D ．2D [由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x 10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k＝C k 10x 10－2k ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.]形如(a ＋b ＋c )n 的展开式问题求三项展开式中某些特定项的系数的方法(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解． (2)两次利用二项式定理的通项公式求解．(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．(1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43展开后，常数项是 ．(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋y 6的展开式中，x 3y 3的系数是 ．(用数字作答) (3)设(x 2－3x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 1等于 ． (1)－160 (2)－120 (3)－240 [(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x －43＝⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6展开式的通项是C k 6(x )6－k ·⎝⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－2)k ·C k 6x 3－k. 令3－k ＝0，得k ＝3.所以常数项是C 36(－2)3＝－160.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋y 6表示6个因式x 2－2x ＋y 的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y ，其余的3个因式中有2个选x 2，剩下一个选－2x ，即可得到x 3y 3的系数．即x 3y 3的系数是C 36C 23×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.(3)(x 2－3x ＋2)5＝(x －1)5(x －2)5，其展开式中x 的系数a 1＝C 45(－1)4×(－2)5＋(－1)5C 45(－2)4＝－240.]二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．1.(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2项的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60C [法一：利用二项展开式的通项公式求解． (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2项的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：利用组合知识求解．(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.]2.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x －y 6的展开式中含xy 的项的系数为( )A ．30B ．60C ．90D ．120B [展开式中含xy 的项来自C 16(－y )1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5展开式通项为T r ＋1＝(－1)r C r 5x 5－43r ，令5－43r ＝1⇒r ＝3，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5展开式中x 的系数为(－1)3C 35，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x －y 6的展开式中含xy 的项的系数为C 16(－1)C 35(－1)3＝60，故选B.]考点2 二项式系数的和与各项的 系数和问题赋值法在求各项系数和中的应用(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.(1)在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x 2的系数为( )A ．50B ．70C ．90D ．120(2)(2019·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为 ．(1)C (2)－3或1 [(1)令x ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x n ＝4n ，所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以4n 2n ＝2n＝32，解得n ＝5.二项展开式的通项T r ＋1＝C r 5x5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝C r 53rx 5－32r ，令5－32r ＝2，得r ＝2， 所以x 2的系数为C 2532＝90，故选C.(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1.](1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)．(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．1.在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为()A．－960 B．960C．1120 D．1680C[因为偶数项的二项式系数之和为2n－1＝128，所以n－1＝7，n＝8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(1－2x)8的展开式的通项T r＋1＝C r8(－2x)r ＝C r8(－2)r x r，所以T5＝C48(－2)4x4，其系数为C48(－2)4＝1120.]2．在(1－x)(1＋x)4的展开式中，含x2项的系数是b.若(2－bx)7＝a0＋a1x＋…＋a7x7，则a1＋a2＋…＋a7＝.－128[在(1－x)(1＋x)4的展开式中，含x2项的系数是b，则b＝C24－C14＝2.在(2－2x)7＝a0＋a1x＋…＋a7x7中，令x＝0得a0＝27，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝0.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝0－27＝－128.]3．(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝ .3 [设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.]考点3 二项式系数的性质 二项式系数的最值问题求二项式系数的最大值，则依据(a ＋b )n 中n 的奇偶及二次项系数的性质求解．1.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为( )A ．3B ．5C ．6D ．7D [根据⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n ＝20，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋13x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 20·(3x )20－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r＝(3)20－r ·C r 20·x 20－4r3，要使x 的指数是整数，需r 是3的倍数，∴r ＝0,3,6,9,12,15,18，∴x 的指数是整数的项共有7项．]2．(2019·南昌模拟)设m 为正整数，()x ＋y 2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，()x ＋y 2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若15a ＝8b ，则m ＝ . 7 [()x ＋y 2m 展开式中二项式系数的最大值为a ＝C m 2m ，()x ＋y 2m ＋1展开式中二项式系数的最大值为b ＝C m ＋12m ＋1，因为15a ＝8b ，所以15C m 2m ＝8C m ＋12m ＋1，即15(2m )！m ！m ！＝8(2m ＋1)！m ！(m ＋1)！，解得m ＝7.] 3．已知(1＋3x )n 的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为 ．C 715(3x )7和C 815(3x )8 [由已知得C n －2n ＋C n －1n ＋C n n ＝121，则12n ·(n －1)＋n ＋1＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T 8＝C 715(3x )7和T 9＝C 815(3x )8.] 二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C 0n ，C 1n ，…，C n n ，它只与各项的项数有关，而与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a ，b 的值有关．项的系数的最值问题二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，则在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中，二项式系数最大的项为 ，系数的绝对值最大的项为 ．－8 064 －15 360x 4 [由题意知，22n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0，故2n ＝32，解得n ＝5.由二项式系数的性质知，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T 6＝C 510(2x )5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064. 设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k C k 10·210－k ·x 10－2k ， 令⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1， 得⎩⎪⎨⎪⎧C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110， 即⎩⎪⎨⎪⎧11－k ≥2k ，2(k ＋1)≥10－k解得83≤k ≤113. ∵k ∈Z ，∴k ＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T 4＝－C 310·27·x 4＝－15 360x 4.] 展开式中项的系数一般不同于二项式系数，求解时务必分清．[教师备选例题]已知(x 23＋3x 2)n 的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等．(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[解](1)易知n ＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．所以T 3＝C 25(x 23)3·(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2·(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第r ＋1项的系数最大．T r ＋1＝C r 5(x 23)5－r ·(3x 2)r ＝C r 5·3r ·x 10 ＋ 4r 3，故有⎩⎪⎨⎪⎧C r 5·3r ≥C r －15·3r －1，C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1， 即⎩⎨⎧ 3r ≥16－r .15－r ≥3r ＋1.解得72≤r ≤92.因为r ∈N ， 所以r ＝4，即展开式中第5项的系数最大．T 5＝C 45·x 23·(3x 2)4＝405x 263. 若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n 的展开式中第6项系数最大，则不含x 的项为( )A ．210B ．10C ．462D ．252 A [∵第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，∴n 的值可能是9,10,11.设常数项为T r ＋1＝C r n x 3(n －r )x －2r ＝C r n x3n －5r ， 则3n －5r ＝0，其中n ＝9,10,11，r ∈N ，∴n ＝10，r ＝6，故不含x 的项为T 7＝C 610＝210.]。