上篇 工程力学部分 第10章 组合变形
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第二节
斜 弯 曲
外力F的作用线只通过横截面的形心而不 与截面的对称轴重合，梁弯曲后的挠曲线不再 位于梁的纵向对称平面内，这类弯曲称为斜弯 斜弯 曲。斜弯曲是两个平面弯曲的组合，下面将讨 论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
一、正应力计算
斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和剪应力，但因剪应 力值很小，一般不予考虑。 斜弯曲梁的正应力计算的思路可以归纳为“先分后合”，具体 计算过程如下： 1．外力的分解：由图10-3（a）可知：Fy=Fcosφ，Fz=Fsinφ 2．内力的计算 距右端为l1的横截面上由Fy、Fz引起的弯矩分别是： Mz=Fya=Facosφ My=Fza=Fasinφ 3．正应力的计算 由Mz和My在该截面引起K点正应力分别为σ’=±Mzy/Iz ， σ’’=±Myz/Iy Mz和My共同作用下K点的正应力为
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
图10-7(a)所示的偏心受拉杆，平行于轴线的拉力 的作用点不在截面的任何一个对称轴上，与z轴、y轴 的距离分别为ey和ez，此变形称为双向偏心拉伸 双向偏心拉伸，当F 双向偏心拉伸 为压力时，称为双向偏心压缩 双向偏心压缩。 双向偏心压缩 双向偏心压缩（拉伸）实际上是轴向压缩（拉伸） 与两个平面弯曲的组合变形。任一点的正应力由三部 分组成，计算这类杆件任一点正应力的方法，与单向 偏心压缩（拉伸）类似。 三者共同作用下，横截面上ABCD上任意点K的总 正应力为以上三部分叠加，即 F Mz y M yz / // /// (10-6) σ = σ +σ +σ = ± ± A Iz Iy
Mz FN (b) _ h (a) +
σN
b
+
_
=
_
σM
σ
图10-6
(c)
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一、单向偏心压缩（拉伸）时的 单向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
计算应力时，将压力F平移到截面的形心处，使其作 用线与杆轴线重合，如图10-6（b）所示。横截面上任一 点的正应力为 F Mzy
σ =σ N +σM = −
一、单向偏心压缩（拉伸）时 单向偏心压缩（拉伸） 的正应力计算
F O z z F Mz e y O y
图10-6（a）所示为 矩形截面偏心受压杆， 平行于杆件轴线的压力 F的作用点距形心O为， 并且位于截面的一个对 称轴上，称为偏心距， 这类偏心压缩称为单向 单向 偏心压缩。当F为拉力 偏心压缩 时，则称为单向偏心拉 单向偏心拉 伸。
σ max = − F ±
Mz My ± A Wz W y F Mz My = ± ± A Wz W y
（双向偏心压缩） （双向偏心拉伸）
或
σ max
正应力强度条件为：
σ max
F Mz My =± ± ± A Wz W y
（10-7）
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
σ ′′ =
M z 6 Fe max = Wz bh 2
欲使横截面不出现拉应力，应使FN和Mz共同作用下 横截面左边缘处的正应力等于零，
σ = σ ′ + σ ′′ = −
F 6 Fe max F Mz + =0 + =0即 2 bh bh A Wz
解得 emax=h/6 ，即最大偏心距为h/6。
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= 100 × (150) 6 × 1.5 × 10 6
2
+
150 × (100)
6 × 1.2 × 10 6
2
= 8.8MPa
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偏心压缩（拉伸） 第三节 偏心压缩（拉伸）
当作用于杆件上的外力作用线只平行于轴线而不与轴线重 合时，则称为偏心压缩（拉伸）。偏心压缩（拉伸）可分解为 偏心压缩（ 偏心压缩 拉伸） 轴向压缩（拉伸）和平面弯曲两种基本变形。 偏心压缩（拉伸）分为单向偏心压缩（拉伸）和双向偏心 压缩（拉伸）。
y F1= 0.5kN d a c F2= 0.8kN 1.5m (a) 1.5m x y z
150mm
z
b
100mm (b)
图10-4
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二、正应力强度条件
解：此梁受铅垂力F1与水平力F2共同作用，产生双向 弯曲变形，其应力计算方法与前述斜弯曲相同。该梁危险 截面为固定端截面。 （1）内力的计算：Mzmax=F1l=0.5×3=1.5kN·m ， Mymax=F2×0.5l=0.8×1.5=1.2kN·m （2）梁上的最大拉应力位于固定端截面上角点d，其 值为 M z max M y max 6 M z max 6 M y max σ max = + = + 2 Wz Wy bh hb 2
σ = σ +σ
/
//
Mz y M yz =± ± Iz Iy
（10-1）
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一、正应力计算
式（10-1）就是梁发 生斜弯曲 斜弯曲变形时横截面 斜弯曲 上任一点的正应力计算 公式。式中Iz和Iy分别为 截面对z轴和y轴的惯性矩； y和z分别为所求应力点到 z轴和y轴的距离。 用式(10-1)计算正应 力时，仍将式中的Mz、 My 、y、z以绝对值代 入,σ‘ 和σ’’ 的正负，根据 梁的变形和所求应力点 的位置直接判定（拉为 正、压为负）。
σ max =
z max
Wz
+
Wy
（10-2） 10-2
则斜弯曲梁的强度条件为
σ max
M z max M y max = + ≤ [σ ] Wz Wy
（10-3）
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二、正应力强度条件
根据这一强度条件，同样可以解决工程中常见的三 类问题，即强度校核、截面设计和确定许可荷载。在选 择截面（截面设计）时应注意：因式中存在两个未知量 Wz和Wy，所以，在选择截面时，需先设定一个 比值（对矩形截面
A ±
（10-4）
Iz
单向偏心拉伸时，上式的第一项取正值。 显然最大正应力发生在截面的左右边缘处，其值为
σ max = −
F Mz ± A Wz F M = ± z A Wz
（单向偏心压缩） （单向偏心拉伸）
或
σ max
正应力强度条件为：
σ max = ±
F MZ ± ≤ [σ ] A WZ
（10-5）
z
(c)
图10-3
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二、正应力强度条件
斜弯曲梁的正应力强度条件为危险截面上危险点的 危险截面上危险点的 最大正应力不能超过材料的许用应力。 最大正应力不能超过材料的许用应力。 工程中常用的工字形、矩形等对称截面梁，斜弯曲 时梁内最大正应力都发生在危险截面的角点处，其最大 正应力为 M y max M
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
e F F Mz
【例10-3】单 向偏心受压杆，横 截面为矩形b×h， 如图10-8(a)所示， 力F的作用点位于横 截面的y轴上。试求 杆的横截面不出现 拉应力的最大偏心 距emax。
Mz FN _ z
b
σ
¡ä ¡å ¡ä ¡å
F z ey K y C B A My O D B y C Mz My K O y A F Mz z z D
ez
O
FN
(a)
(b) z C
(c)
C B
K A
D B
C
K A
D B
K A
D y
C + + B (d)
+ K +
D
C
_ _
+ K +
D
C + _
+ K _
D
A
B (e)
A
B (f )
A
图 10-7
第十章 组合变形
知识目标： 知识目标：
了解组合变形的基本概念 理解斜弯曲杆的特点及熟练掌握强度计算 熟练掌握偏心压缩杆的内力、应力、 熟练掌握偏心压缩杆的内力、应力、强度计算问题 熟悉截面核心的概念
能力目标： 能力目标：
会确定构件在斜弯曲和偏心压缩（拉伸） 会确定构件在斜弯曲和偏心压缩（拉伸）时的危险截面和危险点的位置 能熟练应用叠加法求解斜弯曲与偏心压缩的应力 会应用斜弯曲和偏心压缩杆的强度条件解决实际的强度计算问题 能熟练地描述矩形、 能熟练地描述矩形、圆形的截面核心
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
式（10-6）也适用于双向偏心压缩。只是式中第一项 为负。式中的第二项与第三项的正负，仍根据点的位置， 由变形直接确定。对于矩形、工字形等具有两个对称轴的 横截面，最大拉应力或最大压应力都发生在横截面的角点 处，其值为：
Wz 1 2 = bh Wy 6 1 2 h hb = = 1.2 ~ 2 6 b Wz Wy
的
，对工字形
截面取），然后再用式（10-2）计算所需的Wz值，确定 截面的具体尺寸，最后再对所选截面进行校核，确保其 满足强度条件。
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二、正应力强度条件
【例10-1】矩形截面悬臂梁如图10-4所示，已知 F1=0.5kN，F2=0.8kN，b=100mm，h=150mm。试计 算梁的最大拉应力及所在位置。
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第四节
截面核心的概念
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第四节 截面核心的概念
当荷载作用在截面形心周围的一个区域内时，杆件整 个横截面上只产生压应力而不出现拉应力，这个荷载作用 的区域就称为截面核心 截面核心。常见的矩形、圆形和工字形截面 截面核心 核心如图10-9中阴影部分所示。
y y y
e1
e1
z
h
e1 e1
d A a c b l1 l (a) y z A K O
y
y K Fz Fy F ϕ _ l l1 z
y A K My Mz z
(b) y A + + + + K + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ Mz×÷ÓÃ (d) z y A _ _ + + _ _ K + + _ _ + + _ _ + + My×÷ÓÃ (e) z
+
_
σ
F h (a)
y
_
σ +σ
(b)图10-8源自上一页返回下一页二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
解：将力F平移到截面的形心处并附加一力偶矩 Mz=F·emax 。 FN单独作用下，横截面上各点的正应力
σ′ = −
F F =− A bh
Mz单独作用下截面上z轴的左侧受拉，最大拉应力发 生在截面的左边缘处，其值为
z e2 e
h
z
e2
e2 e2 2r b h _ b _ (a) e1= e= 6 2 6 b
2
£¬
r _ (b) e = 4
2i z ___ (c) e1= h
£¬
2i y ___ e2= b
2
图10-9
第十章
第一节
组合变形的概念
第二节
斜 弯 曲
第三节
偏心压缩（拉伸） 偏心压缩（拉伸）
第四节
截面核心的概念
第一节
组合变形的概念
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一、组合变形的概念
同时发生两种或两种以上基本 变形的变形称为组合变形 组合变形。 组合变形
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二、组合变形的解题方法
求解组合变形的基本方法是叠加法，所谓叠加法 叠加法就 叠加法 是将组合变形分解为几个基本变形的组合，从而对组合 变形问题进行强度计算的方法。其解题步骤如下： （1）将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种 基本变形的荷载分量； （2）分别计算各个荷载分量所引起的应力； （3）根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，得 到原来荷载共同作用下构件所产生的应力； （4）判断危险点的位置，建立强度条件；必要时， 对危险点处单元体的应力状态进行分析，选择适当的强 度理论，进行强度计算。 本章主要研究斜弯曲、偏心压缩（拉伸）等组合变 形构件的强度计算问题。
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第二节
斜 弯 曲
外力F的作用线只通过横截面的形心而不 与截面的对称轴重合，梁弯曲后的挠曲线不再 位于梁的纵向对称平面内，这类弯曲称为斜弯 斜弯 曲。斜弯曲是两个平面弯曲的组合，下面将讨 论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
一、正应力计算
斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和剪应力，但因剪应 力值很小，一般不予考虑。 斜弯曲梁的正应力计算的思路可以归纳为“先分后合”，具体 计算过程如下： 1．外力的分解：由图10-3（a）可知：Fy=Fcosφ，Fz=Fsinφ 2．内力的计算 距右端为l1的横截面上由Fy、Fz引起的弯矩分别是： Mz=Fya=Facosφ My=Fza=Fasinφ 3．正应力的计算 由Mz和My在该截面引起K点正应力分别为σ’=±Mzy/Iz ， σ’’=±Myz/Iy Mz和My共同作用下K点的正应力为
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
图10-7(a)所示的偏心受拉杆，平行于轴线的拉力 的作用点不在截面的任何一个对称轴上，与z轴、y轴 的距离分别为ey和ez，此变形称为双向偏心拉伸 双向偏心拉伸，当F 双向偏心拉伸 为压力时，称为双向偏心压缩 双向偏心压缩。 双向偏心压缩 双向偏心压缩（拉伸）实际上是轴向压缩（拉伸） 与两个平面弯曲的组合变形。任一点的正应力由三部 分组成，计算这类杆件任一点正应力的方法，与单向 偏心压缩（拉伸）类似。 三者共同作用下，横截面上ABCD上任意点K的总 正应力为以上三部分叠加，即 F Mz y M yz / // /// (10-6) σ = σ +σ +σ = ± ± A Iz Iy
Mz FN (b) _ h (a) +
σN
b
+
_
=
_
σM
σ
图10-6
(c)
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一、单向偏心压缩（拉伸）时的 单向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
计算应力时，将压力F平移到截面的形心处，使其作 用线与杆轴线重合，如图10-6（b）所示。横截面上任一 点的正应力为 F Mzy
σ =σ N +σM = −
一、单向偏心压缩（拉伸）时 单向偏心压缩（拉伸） 的正应力计算
F O z z F Mz e y O y
图10-6（a）所示为 矩形截面偏心受压杆， 平行于杆件轴线的压力 F的作用点距形心O为， 并且位于截面的一个对 称轴上，称为偏心距， 这类偏心压缩称为单向 单向 偏心压缩。当F为拉力 偏心压缩 时，则称为单向偏心拉 单向偏心拉 伸。
σ max = − F ±
Mz My ± A Wz W y F Mz My = ± ± A Wz W y
（双向偏心压缩） （双向偏心拉伸）
或
σ max
正应力强度条件为：
σ max
F Mz My =± ± ± A Wz W y
（10-7）
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
σ ′′ =
M z 6 Fe max = Wz bh 2
欲使横截面不出现拉应力，应使FN和Mz共同作用下 横截面左边缘处的正应力等于零，
σ = σ ′ + σ ′′ = −
F 6 Fe max F Mz + =0 + =0即 2 bh bh A Wz
解得 emax=h/6 ，即最大偏心距为h/6。
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= 100 × (150) 6 × 1.5 × 10 6
2
+
150 × (100)
6 × 1.2 × 10 6
2
= 8.8MPa
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偏心压缩（拉伸） 第三节 偏心压缩（拉伸）
当作用于杆件上的外力作用线只平行于轴线而不与轴线重 合时，则称为偏心压缩（拉伸）。偏心压缩（拉伸）可分解为 偏心压缩（ 偏心压缩 拉伸） 轴向压缩（拉伸）和平面弯曲两种基本变形。 偏心压缩（拉伸）分为单向偏心压缩（拉伸）和双向偏心 压缩（拉伸）。
y F1= 0.5kN d a c F2= 0.8kN 1.5m (a) 1.5m x y z
150mm
z
b
100mm (b)
图10-4
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二、正应力强度条件
解：此梁受铅垂力F1与水平力F2共同作用，产生双向 弯曲变形，其应力计算方法与前述斜弯曲相同。该梁危险 截面为固定端截面。 （1）内力的计算：Mzmax=F1l=0.5×3=1.5kN·m ， Mymax=F2×0.5l=0.8×1.5=1.2kN·m （2）梁上的最大拉应力位于固定端截面上角点d，其 值为 M z max M y max 6 M z max 6 M y max σ max = + = + 2 Wz Wy bh hb 2
σ = σ +σ
/
//
Mz y M yz =± ± Iz Iy
（10-1）
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一、正应力计算
式（10-1）就是梁发 生斜弯曲 斜弯曲变形时横截面 斜弯曲 上任一点的正应力计算 公式。式中Iz和Iy分别为 截面对z轴和y轴的惯性矩； y和z分别为所求应力点到 z轴和y轴的距离。 用式(10-1)计算正应 力时，仍将式中的Mz、 My 、y、z以绝对值代 入,σ‘ 和σ’’ 的正负，根据 梁的变形和所求应力点 的位置直接判定（拉为 正、压为负）。
σ max =
z max
Wz
+
Wy
（10-2） 10-2
则斜弯曲梁的强度条件为
σ max
M z max M y max = + ≤ [σ ] Wz Wy
（10-3）
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二、正应力强度条件
根据这一强度条件，同样可以解决工程中常见的三 类问题，即强度校核、截面设计和确定许可荷载。在选 择截面（截面设计）时应注意：因式中存在两个未知量 Wz和Wy，所以，在选择截面时，需先设定一个 比值（对矩形截面
A ±
（10-4）
Iz
单向偏心拉伸时，上式的第一项取正值。 显然最大正应力发生在截面的左右边缘处，其值为
σ max = −
F Mz ± A Wz F M = ± z A Wz
（单向偏心压缩） （单向偏心拉伸）
或
σ max
正应力强度条件为：
σ max = ±
F MZ ± ≤ [σ ] A WZ
（10-5）
z
(c)
图10-3
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二、正应力强度条件
斜弯曲梁的正应力强度条件为危险截面上危险点的 危险截面上危险点的 最大正应力不能超过材料的许用应力。 最大正应力不能超过材料的许用应力。 工程中常用的工字形、矩形等对称截面梁，斜弯曲 时梁内最大正应力都发生在危险截面的角点处，其最大 正应力为 M y max M
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
e F F Mz
【例10-3】单 向偏心受压杆，横 截面为矩形b×h， 如图10-8(a)所示， 力F的作用点位于横 截面的y轴上。试求 杆的横截面不出现 拉应力的最大偏心 距emax。
Mz FN _ z
b
σ
¡ä ¡å ¡ä ¡å
F z ey K y C B A My O D B y C Mz My K O y A F Mz z z D
ez
O
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(a)
(b) z C
(c)
C B
K A
D B
C
K A
D B
K A
D y
C + + B (d)
+ K +
D
C
_ _
+ K +
D
C + _
+ K _
D
A
B (e)
A
B (f )
A
图 10-7
第十章 组合变形
知识目标： 知识目标：
了解组合变形的基本概念 理解斜弯曲杆的特点及熟练掌握强度计算 熟练掌握偏心压缩杆的内力、应力、 熟练掌握偏心压缩杆的内力、应力、强度计算问题 熟悉截面核心的概念
能力目标： 能力目标：
会确定构件在斜弯曲和偏心压缩（拉伸） 会确定构件在斜弯曲和偏心压缩（拉伸）时的危险截面和危险点的位置 能熟练应用叠加法求解斜弯曲与偏心压缩的应力 会应用斜弯曲和偏心压缩杆的强度条件解决实际的强度计算问题 能熟练地描述矩形、 能熟练地描述矩形、圆形的截面核心
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
式（10-6）也适用于双向偏心压缩。只是式中第一项 为负。式中的第二项与第三项的正负，仍根据点的位置， 由变形直接确定。对于矩形、工字形等具有两个对称轴的 横截面，最大拉应力或最大压应力都发生在横截面的角点 处，其值为：
Wz 1 2 = bh Wy 6 1 2 h hb = = 1.2 ~ 2 6 b Wz Wy
的
，对工字形
截面取），然后再用式（10-2）计算所需的Wz值，确定 截面的具体尺寸，最后再对所选截面进行校核，确保其 满足强度条件。
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二、正应力强度条件
【例10-1】矩形截面悬臂梁如图10-4所示，已知 F1=0.5kN，F2=0.8kN，b=100mm，h=150mm。试计 算梁的最大拉应力及所在位置。
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第四节
截面核心的概念
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第四节 截面核心的概念
当荷载作用在截面形心周围的一个区域内时，杆件整 个横截面上只产生压应力而不出现拉应力，这个荷载作用 的区域就称为截面核心 截面核心。常见的矩形、圆形和工字形截面 截面核心 核心如图10-9中阴影部分所示。
y y y
e1
e1
z
h
e1 e1
d A a c b l1 l (a) y z A K O
y
y K Fz Fy F ϕ _ l l1 z
y A K My Mz z
(b) y A + + + + K + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ Mz×÷ÓÃ (d) z y A _ _ + + _ _ K + + _ _ + + _ _ + + My×÷ÓÃ (e) z
+
_
σ
F h (a)
y
_
σ +σ
(b)图10-8源自上一页返回下一页二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
解：将力F平移到截面的形心处并附加一力偶矩 Mz=F·emax 。 FN单独作用下，横截面上各点的正应力
σ′ = −
F F =− A bh
Mz单独作用下截面上z轴的左侧受拉，最大拉应力发 生在截面的左边缘处，其值为
z e2 e
h
z
e2
e2 e2 2r b h _ b _ (a) e1= e= 6 2 6 b
2
£¬
r _ (b) e = 4
2i z ___ (c) e1= h
£¬
2i y ___ e2= b
2
图10-9
第十章
第一节
组合变形的概念
第二节
斜 弯 曲
第三节
偏心压缩（拉伸） 偏心压缩（拉伸）
第四节
截面核心的概念
第一节
组合变形的概念
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一、组合变形的概念
同时发生两种或两种以上基本 变形的变形称为组合变形 组合变形。 组合变形
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二、组合变形的解题方法
求解组合变形的基本方法是叠加法，所谓叠加法 叠加法就 叠加法 是将组合变形分解为几个基本变形的组合，从而对组合 变形问题进行强度计算的方法。其解题步骤如下： （1）将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种 基本变形的荷载分量； （2）分别计算各个荷载分量所引起的应力； （3）根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，得 到原来荷载共同作用下构件所产生的应力； （4）判断危险点的位置，建立强度条件；必要时， 对危险点处单元体的应力状态进行分析，选择适当的强 度理论，进行强度计算。 本章主要研究斜弯曲、偏心压缩（拉伸）等组合变 形构件的强度计算问题。