上篇 工程力学部分 第10章 组合变形
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工程力学10组合变形
•一、强度计算：
•1.外力分解：
•2.内力计算 ：
•
•应力计算：
• 最大应力 ：
•强度条件：
•
二、挠度计算：
梁在斜弯曲情况下的挠度，也用叠加原理求得。如上例
•总挠度为： •设挠度f与轴的夹角为α,则可用下式求得：
•
例10-1 悬臂梁如图示。全梁纵向对称平面内承受均布荷载 q=5KN/m，在自
由端的水平对称平面内受集中力P=2KN的作用。已知截面为25a工字钢,材
•强度条件：
•
四、截面核心：
• 即将矩形截面对称轴等分三段，外力作用在三分段中间段 内时截面上无拉应力。此时，中性轴由截面边缘移出。类似可 确定其它截面的截面核心。
•
•例10-3 图示为一厂房的牛腿柱，设由房顶传来的压力P1=100KN，由吊 车梁传来压力P2=30KN，已知e=0.2m，b=0.18m，问截面边h为多少时，截 面不出现拉应力。并求出这时的最大压应力。
•
工程力学10组合变形
2020年5月23日星期六
•
•变形 轴向拉压 •外力 轴向力
四种基本变形计算：
剪切 扭转 横向力 外力偶
平面弯曲A 横向力或外力偶
•内力 轴力(Ｎ)
(M)
•应力 正应力
剪力(Q) 剪应力
扭矩(Ｍz)
剪力(Q) 弯矩
剪应力 剪应力 正应力
•分 布规
律
•计算 公式
•
第一节 概述
•一、概念：
•解：1.求内力： •M=P2 e=6KN.m •N=P1+P2=100+30=130KN
•2.求应力：
•
小结
一、组合变形的计算方法：
1. 分别计算各基本变形时内力、应力和变形的结 果，然后叠加。
•1.外力分解：
•2.内力计算 ：
•
•应力计算：
• 最大应力 ：
•强度条件：
•
二、挠度计算：
梁在斜弯曲情况下的挠度，也用叠加原理求得。如上例
•总挠度为： •设挠度f与轴的夹角为α,则可用下式求得：
•
例10-1 悬臂梁如图示。全梁纵向对称平面内承受均布荷载 q=5KN/m，在自
由端的水平对称平面内受集中力P=2KN的作用。已知截面为25a工字钢,材
•强度条件：
•
四、截面核心：
• 即将矩形截面对称轴等分三段，外力作用在三分段中间段 内时截面上无拉应力。此时，中性轴由截面边缘移出。类似可 确定其它截面的截面核心。
•
•例10-3 图示为一厂房的牛腿柱，设由房顶传来的压力P1=100KN，由吊 车梁传来压力P2=30KN，已知e=0.2m，b=0.18m，问截面边h为多少时，截 面不出现拉应力。并求出这时的最大压应力。
•
工程力学10组合变形
2020年5月23日星期六
•
•变形 轴向拉压 •外力 轴向力
四种基本变形计算：
剪切 扭转 横向力 外力偶
平面弯曲A 横向力或外力偶
•内力 轴力(Ｎ)
(M)
•应力 正应力
剪力(Q) 剪应力
扭矩(Ｍz)
剪力(Q) 弯矩
剪应力 剪应力 正应力
•分 布规
律
•计算 公式
•
第一节 概述
•一、概念：
•解：1.求内力： •M=P2 e=6KN.m •N=P1+P2=100+30=130KN
•2.求应力：
•
小结
一、组合变形的计算方法：
1. 分别计算各基本变形时内力、应力和变形的结 果，然后叠加。
工程力学之组 合 变 形
工程力学第10章组合变形学习目标(1)了解组合变形的概念及其强度问题的分析方法；(2)掌握斜弯曲、拉伸(压缩)与弯曲和偏心压缩的应力及强度计算。
10.1 组合变形的概念例如，烟囱的变形，除自重W引起的轴向压缩外，还有水平风力引起的弯曲变形，同时产生两种基本变形，如图10-1(a)所示。
又如图10-1(b)所示，设有吊车的厂房柱子，作用在柱子牛腿上的荷载F，它们合力的作用线偏离柱子轴线，平移到轴线后同时附加力偶。
此时，柱子既产生压缩变形又产生弯曲变形。
再如图10-1(c)所示的曲拐轴，在力F作用下，AB 段同时产生弯曲变形和扭转变形。
10.1 组合变形的概念图10-110.1 组合变形的概念上述这些构件的变形，都是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。
研究组合变形问题依据的是叠加原理，进行强度计算的步骤如下：(1)将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形的荷载分量。
(2)分别计算各个荷载分量所引起的应力。
(3)根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来荷载共同作用下构件所产生的应力。
(4)判断危险点的位置，建立强度条件。
10.2例如图10-2(a)所示的横截面为矩形的悬臂梁，外力F作用在梁的对称平面内，此类弯曲称为平面弯曲。
斜弯曲与平面弯曲不同，如图10-2(b)所示同样的矩形截面梁，外力F的作用线通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为斜弯曲。
斜弯曲是两个平面弯曲的组合，本节将讨论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
10.2图10-210.210.2.1 正应力计算斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和切应力，但因切应力值很小，一般不予考虑。
下面结合图10-3（a）所示的矩形截面梁说明斜弯曲时正应力的计算方法。
图10-310.2.1 正应力计算10.2.1.1 外力的分解由图10-3(a)可知：10.2.1.2 内力的计算如图10-3(b)所示，距右端为a 的横截面上由F y 、F z 引起的弯曲矩分别是：10.2 10.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算由M z 和M y (即F y 和F z )在该截面引起K 点的正应力分别为：F y 和F z 共同作用下K 点的正应力为：10.210-110.210.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算通过以上分析过程，我们可以将组合变形问题计算的思路归纳为“先分后合”，具体如下：10.210.2.2 正应力强度条件同平面弯曲一样，斜弯曲梁的正应力强度条件仍为：10-2即危险截面上危险点的最大正应力不能超过材料的许用应力［σ］。
精品课件-精品课件--工程力学-10 第10章 选上变形能 莫尔积分
注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证分段 相同，并且每段自变量的基准点相同
A
C
P
D
B
考虑 ：求C点铅垂位移yc
计算莫尔积分的图乘法
一、推导：
l
y
M
(x)M EI
(x)
dx，若EI为常量，则公式可变形
为：
M (x) x tg
1 EI
l
M
(x)M
(x)dx
M (x)M (x)dx x tg M (x)dx
2a2a )2a3 a3)M 3
3
)
a
5Pa3
12EI
P
A
1
I
2I
5、求 A 施加单位载荷：
B
a
a
1
2
Pa
（图 1）
（图3）
C
6、画单位载荷引起的内力
图
7、图乘：
2Pa
A
1 EI
(1
M1)
1 2EI
(2
M2)
1 1 Pa a 1 EI 2
1 (Pa 2Pa) a 1) Pa 2
P
例5：求 D
aa
2a
解：1、画原载荷引起的内
BC D
A
BC D
A
1
Pa
2 MC
M图
2、3、求画 D单施力位加图载单荷位引力起偶的内 力图
4、图乘方法（1）
1
3Pa
D
1 EI
(1
MC1
2
MC2)
1 (1 a Pa 0 Pa 3Pa 2a 1)
BC D BC D
1
A
EI 2
A
组合变形(工程力学课件)
偏心压缩（拉伸）
轴向拉伸（压缩）
偏心压缩
F2 F2e
轴向压缩（拉伸）和 弯曲两种基本变形组合
偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
双向偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
外力
内力
平移定理
应力
+
=
弯矩
轴力
max
min
FN A
Mz Wz
【例 1】求横截面上的最大正应力
F 50 kN
e 10 mm
组合变形的概念 及其分析方法
杆件的四种基本变形
轴向拉压 剪切 扭转
F
F
F
F
Me
Me
沿轴线的伸长或缩短 相邻横截面相对错动 横截面绕轴线发生相对转动
Me
弯曲
Me
F
轴线由直线变为曲线 横截面发生相对的转动
两种或两种以上基本变形的组合，称为组合变形
常见的 组合变形
（1）拉（压）弯组合 （2）斜弯曲（弯、弯组合） （3）偏心压缩（拉伸） （4）弯扭组合
24 106 401.88 103
64
4.3 59.7 64 [ ] 满足强度要求
59.7 55.4
斜弯曲
平面弯曲
作用线与截面的 纵向对称轴重合
梁弯曲后挠曲线位于外力F所在的纵向对称平面内
斜弯曲
作用线不与截面 的对称轴重合
梁弯曲后挠曲线不再位于外力F所在的纵向平面内
图示矩形截面梁，应用叠加原理对其进行分析计算：
3、应力分析
( z,y)
横截面上任意一点 （ z, y） 处 的正应力计算公式为
Mz
z
O
x
1.拉伸正应力
N
建筑力学(10章) 组 合 变 形
第十章 组 合 变 形§10-1组合变形的概念前面已经知道，杆件在荷载作用下产生的变形，可分为轴向拉伸（压缩）、剪切、扭转 和弯曲四种基本形式。
在工程实际中，有些秆件受力后产生的变形不是单一的基本变形，而 是同时产生两种或两种以上的基本变形，这类变形称为组合变形。
例如，图10-1（a)所示的设有吊车厂房的柱子，作用在柱子上的荷载P1和P2，它们 合力的作用线一般不与柱子的轴线重合，此时，柱子既产生压缩变形又产生弯曲变形，即 同时产生两种基本变形。
又如，图10-1 (b)所示的烟囱，除自重引起压缩变形外，水平风 力使其产生弯曲变形，也是同时产生两种基本变形。
再如，图10-1 (c)所示的曲拐轴，在 P 作用下，AB 段既受弯又受扭，即同时产生弯曲变形和扭转变形。
本章主要讨论杆件在组合变形下的应力和强度计算。
§10-2 斜 弯 曲前面第九章讨论了梁的平面弯曲，例如图10-2 (a)所示的矩形截面悬臂粱，外力P 作 用在粱的对称平面内，梁弯曲后，其挠曲线位于粱的纵向对称平面内，此类弯曲为平面弯曲。
本节讨论的斜弯曲与平面弯曲不同，例如，图l0-2（b ）所示的同样的矩形截面梁，外力的作用线通过截面的形心但不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于粱的纵向对称平面内，这类弯曲称为斜弯曲。
斜弯曲是两个平面弯曲的组合变形，这里将讨论斜弯曲时的正应力和正应力强度计算。
一、正应力计算斜弯曲时，梁的横截面上一般是同时存在正应力和剪应力，因剪应力值很小，一般不予考虑。
下面结合图10-3（a ）所示的矩形截面粱说明正应力的计算方法。
计算某点的正应力时，是将外力P 沿横截面的两个对称轴方向分解为y P 和z P ，分别计 算y P 和z P 单独作用下该点的正应力，再代数相加。
y P 和z P 单独作用下梁的变形分别为在 xy 面内和在xz 面内发生的平面弯曲，也就是说，计算弯曲时的正应力，是将斜弯曲分解为 两个平面弯曲，分别计算每个平面弯曲下的正应力，再进行叠加。
工程力学 第二版 (范钦珊 唐静静 著) 高等教育出版社 课后答案 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
网
FP a2
ww w
5
.k hd
b
m
上表面
∴
σa 4 = σb 3
习题 10－7 图
和 ε 2 。证明偏心距 e与 ε1 、 ε 2 之间满足下列关系：
FP
网
ww w
e=
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
课
后 答
案
FP
M = FP e
习题 10－8 图
解：1，2 两处均为单向应力状态，其正应力分别为： 1 处：
第10章
组合变形与变形杆件的强度计算
10－1 根据杆件横截面正应力分析过程， 中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析 下列答案中哪一个是正确的。 （A）My = 0 或 Mz = 0， FN ≠ 0 ； （B）My = Mz = 0， FN ≠ 0 ； （C）My = 0，Mz = 0， FN ≠ 0 ； （D） M y ≠ 0 或 M z ≠ 0 ， FN = 0 。 正确答案是 D 。 解：只要轴力 FN x ≠ 0 ， 则截面形心处其拉压正应力一定不为零， 而其弯曲正应力一定为零， 这样使其合正应力一定不为零，所以其中性轴一定不通过截面形心，所以答案选（D） 。 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。 （A）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心； （D）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。 正确答案是 D 。 解：中性轴上正应力必须为零。由上题结论中性轴不一定过截面形心；另外当轴力引起的 拉（压）应力的绝对值大于弯矩引起的最大压（拉）应力的绝对值时，中性轴均不在截面内， 所以答案选（D） 。 并且垂 10－3 图示悬臂梁中， 集中力 FP1 和 FP2 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内， 直于梁的轴线，如图所示。已知 FP1＝1.6 kN，FP2＝800 N，l＝1 m，许用应力 σ ＝160 MPa。 试确定以下两种情形下梁的横截面尺寸： 1．截面为矩形，h＝2b； 2．截面为圆形。
材料力学-第10章组合变形.
2017/9/29 22
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
例题1
z
Fy
800
Fz 800
图示矩形截面铸铁悬臂梁，承 受载荷 Fy 与 Fz 作用，且 Fy ＝ Fz ＝ F ＝ 1kN，截面高度80mm，宽度40mm，许 用应力[σ ]=160MPa，校核该梁强度。
y
2017/9/29
材料力学－第10章 组合变形
组合变形的一般步骤
计算简图
剪力图、弯矩图 － 确定危险截面，危险点
危险点处应力状态分析
2017/9/29
13
材料力学－第10章 组合变形
§ 8－ 2
两相互垂直平面内的弯曲 （斜弯曲）
2017/9/29
14
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
对于圆形截面，杆的变形与弯矩作用平面在同一平面内
z
2. 分别考虑各弯矩分量产生的应力
M
y
Myz Iy
M
z
M
Mz y Iz
Myz Iy Mz y Iz
3. 叠加，得到矩形截面内任一点的弯曲正应力 y
M M M
y z
2017/9/29
18
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
矩形截面应力分析：
矩形截面内任一点的弯曲正应力
材料力学
第十章 组合变形
2017/9/29
1
材料力学－第10章 组合变形
概述
组合变形的概念 ：
杆件的基本变形 – 杆件的轴向拉伸（压缩）变形 – 杆件的自由扭转变形 – 杆件的平面弯曲变形
工程实际中，构件在外载荷的作用下，经常发生 两种或两种以上的基本变形
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
例题1
z
Fy
800
Fz 800
图示矩形截面铸铁悬臂梁，承 受载荷 Fy 与 Fz 作用，且 Fy ＝ Fz ＝ F ＝ 1kN，截面高度80mm，宽度40mm，许 用应力[σ ]=160MPa，校核该梁强度。
y
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材料力学－第10章 组合变形
组合变形的一般步骤
计算简图
剪力图、弯矩图 － 确定危险截面，危险点
危险点处应力状态分析
2017/9/29
13
材料力学－第10章 组合变形
§ 8－ 2
两相互垂直平面内的弯曲 （斜弯曲）
2017/9/29
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材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
对于圆形截面，杆的变形与弯矩作用平面在同一平面内
z
2. 分别考虑各弯矩分量产生的应力
M
y
Myz Iy
M
z
M
Mz y Iz
Myz Iy Mz y Iz
3. 叠加，得到矩形截面内任一点的弯曲正应力 y
M M M
y z
2017/9/29
18
材料力学－第10章 组合变形
两相互垂直平面内的弯曲
矩形截面应力分析：
矩形截面内任一点的弯曲正应力
材料力学
第十章 组合变形
2017/9/29
1
材料力学－第10章 组合变形
概述
组合变形的概念 ：
杆件的基本变形 – 杆件的轴向拉伸（压缩）变形 – 杆件的自由扭转变形 – 杆件的平面弯曲变形
工程实际中，构件在外载荷的作用下，经常发生 两种或两种以上的基本变形
第十章 组合变形
w
wy
14
三、结论 1、“σ ”代数叠加，“τ ”和变形矢量叠加。 2、对有棱角的截面，棱角处有最大的正应力
M z max M y max max Wz Wy
15
例 ：矩形截面木檩条如图，跨长L=3.3m,受集度为 q=800N/m 的均布力作用， []=12MPa，许可挠度为：L/200 ，E=9GPa， q 试校核此梁的强度和刚度。
（3）叠加： k k
Mz
k
My
M z yk M y z k Iz Iy
12
y b
y b
y
a
a
x
x
z
d
c
z
d
c
My
z
F
3、强度计算 危险截面——固定端
M z max Fyl ,
M y max Fz l
危险点——“b”点为最大拉应力点，“d”点为最大压应力点。
M z max ymax M y max zmax M z max M y max max max Iz Iy Wz Wy
24
M z max FN max Wz A
c
例 ：槽型截面梁 AB如图， []=140MPa。 试选择槽型截面梁的型号。 解：1、外力分解 3m A
0
1m
B 300 C Z Fy 300 FNCD C F=40kN
25
M
A
0 8 F 3
0
4 F 3FNCD sin 30 FNCD
第四强度理论 r 4 2 3 2
M 2 z max 0.75T 2 max WZ
29
例：图示结构，q=2 kN/m2，[]=60 MPa，试用第三强度理论确 定空心柱的厚度 t （外径D=60 mm）。 x 解：1、外力的简化 q B 1 3 2 F qA 2 10 500 392 ( N ) 500 4 800
建筑力学10组合变形
MPa
(1.875 1.875)MPa 3.75MPa
§10－3
弯曲与扭转的组合变形
作弯矩图和扭矩图， 可知危险截面为固定端 截面：
A
B
M Fl, T Fa
图
图
危险截面上的1点和2点有最大弯曲正 应力和最大扭转切应力：
Fl W
Fa WP
P
R
Ｍ
弯扭组合
P
斜弯曲组合
处理组合变形问题的方法： 1.将构件的组合变形分解为基本变形； 2.计算构件在每一种基本变形情况下的应力； 3.将同一点的应力叠加起来，便可得到构件在组合 变形情况下的应力。 叠加原理是解决组合变形计算的基本原理
二、组合变形的研究方法 ——
叠加原理
①、外力分析：外力向形心(或弯心)简化，确定各基本变形；
(10-1)
= ′+ 〞=
M( cos Iz
· y
sin + Iy
· ) (10-1) ′ z
a c b d e A K Pz y Py y y z K(z,y) z
P
z
二、正应力强度条件
max ≤ [ ]
· max + y M ymax Iy · max z
max = ′+ 〞max = max
P A
xM
y
Myz Iy
xM
z
Mz y Iz
P M y z Mz y x A Iy Iz
(10-6)
例 图示不等截面与等截面杆，受力P=350kN，试分别求出两柱 内的绝对值最大正应力。 解：两柱均为压应力 e
100
1max
工程力学组合受力与变形时的强度计算
FN A
M W
3103
d 2
8 103
d 3
81.1
MPa
81.9
4
32
位置？
例题：图示钢板受集中力P=128KN作用，当板在
一侧切去深4cm的缺口时，求缺口截面的最大正应 力？若在板两侧各切去深4cm的缺口时，缺口截面 的最大正应力为多少?(不考虑应力集中) 10
P
360
求： 1．链环直段部分横截面上 的最大拉应力和最大压应力； 2. 中性轴与截面形心之间 的距离。
解：根据平衡，截面上将
作用有内力分量FNx 和Mz
Fx 0 M C 0
得到 FNx＝800 N
Mz＝ 12 N·m
x FNx
FNx A
4FNx πd 2
π
4 800 122 106
简支梁在中点受力的情
形下，最大弯矩
Mmax=FPl / 4。得到两个 平面弯曲情形下的最大
d
弯矩：
c
M max
FPz
FPx l FPsin l
4
4
M max
(FPy )
FPy l 4
FP
cos l 4
在Mmax(FPy)作用的截面上，截面上边缘的角点 a、b 承受最大压应力；下边缘的角点c、d 承受最 大拉应力。
Pz P cos
以y为中性轴弯曲 M y Pz (l x)
P cos(l x) M cos
M z Py (l x)
P sin(l x) M sin
M z y M y sin M y z M z cos
第十章 组合变形
解： (2）杆中的最大压应力 危险截面：固定端面 轴力： FN F1 6kN 弯矩： M max F2l 2kN 2m 4kN.m
max
FN A
M max Wz
FN bh
6F2l bh2
6 103 0.12 0.15
6 4103 0.12 0.152
解： （1）分析梁的变形:
F1
BC段：在F2 作用下只在水平 对称平面内发生平面弯曲;
AB 段：在F2、F1 作用下发生斜弯曲 组合变形。
（2）危险截面是固端截面 M zmax F1l1 2 103 1N.m=2kN.m
Mymax F2l2 1103 2N.m=2kN.m
20
Wz
FN bh
F2a
1 6
bh2
6103 0.12 0.15
6 2.4103 0.12 0.152
5MPa
同理：B 点的正应力
B
FN A
M Wz
FN bh
6M bh2
5.7MPa
26
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
[例10 – 3] 矩形截面杆受力如图所示,F1 的作用线与杆的轴线重合,F2 作用在杆的 对称平面内。已知F1 = 6 kN,F2 = 2 kN,a = 1 .2 m,l = 2 m,b= 120 mm, h = 150 mm。 试求:(1)n - n 截面上A 点和B 点的正应力;(2)杆中的最大压应力。
中性轴仍与加载（合成载荷）轴垂直，但挠度曲线不再为加载面内的平面曲线。
12
第二节 斜弯曲
一、正应力计算 斜弯曲时,梁的横截面上一般是同时存在正应力和切应力, 切应力忽略不计！ [例题] 计算矩形截面悬臂梁K点的正应力。
max
FN A
M max Wz
FN bh
6F2l bh2
6 103 0.12 0.15
6 4103 0.12 0.152
解： （1）分析梁的变形:
F1
BC段：在F2 作用下只在水平 对称平面内发生平面弯曲;
AB 段：在F2、F1 作用下发生斜弯曲 组合变形。
（2）危险截面是固端截面 M zmax F1l1 2 103 1N.m=2kN.m
Mymax F2l2 1103 2N.m=2kN.m
20
Wz
FN bh
F2a
1 6
bh2
6103 0.12 0.15
6 2.4103 0.12 0.152
5MPa
同理：B 点的正应力
B
FN A
M Wz
FN bh
6M bh2
5.7MPa
26
第三节 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形
[例10 – 3] 矩形截面杆受力如图所示,F1 的作用线与杆的轴线重合,F2 作用在杆的 对称平面内。已知F1 = 6 kN,F2 = 2 kN,a = 1 .2 m,l = 2 m,b= 120 mm, h = 150 mm。 试求:(1)n - n 截面上A 点和B 点的正应力;(2)杆中的最大压应力。
中性轴仍与加载（合成载荷）轴垂直，但挠度曲线不再为加载面内的平面曲线。
12
第二节 斜弯曲
一、正应力计算 斜弯曲时,梁的横截面上一般是同时存在正应力和切应力, 切应力忽略不计！ [例题] 计算矩形截面悬臂梁K点的正应力。
工程力学第10章 组合变形
28
10.3 图示悬臂木梁，在自由端受集中力 F =2 kN，F 与 y轴夹角 φ =10°，木材的许用正应力［σ］=10 MPa， 若矩形截面 h/b=3，试确定截面尺寸。
29
30
10.4 承受均布荷载的矩形截面简支梁如图所示，q 的作用线通过截面形心且与 y轴成15°角，已知l=4m， b=80mm，h=120mm，材料的许用正应力［σ］=10MPa。 试求梁容许承受的最大荷载qmax。
2
3
10.1.2 组合变形的求解方法 在小变形、线弹性材料的前提下，杆件同时存在的 几种基本变形，它们的每一种基本变形都是彼此独立的， 即在组合变形中的任一种基本变形都不会改变另外一种 基本变形相应的应力和变形。这样，对于组合变形问题 就能够用叠加原理来进行计算。具体的方法及步骤是： （1）找出构成组合变形的所有基本变形，将荷载 化简为只引起这些基本变形的相当力系。 （2）按构件原始形状和尺寸，计算每一组基本变 形的应力和变形。 （3）叠加各基本变形的解（矢量和），得组合变 形问题的解，然后进行强度和刚度校核。
22
23
10.5 弯曲与扭转的组合变形
一般机械传动轴，大多同时受到扭转力偶和横向力 的作用，而发生弯曲与扭转的组合变形。下面以图10.14 （a）所示的圆形截面杆件为例，说明弯、扭组合变形 时的强度计算方法。 10.5.1 内力与应力分析 图10.14（a）中，Me使杆件受扭，扭矩图如图10.14 （b）所示；F1使杆件在Oxz平面内发生平面弯曲，弯矩 图My如图10.14（c）所示；F2使杆件在Oxy平面内发生平 面弯曲，弯矩图Mz如图10.14（d）所示。
19
20
21
10.4.2 截面核心 从式（10.10）看到，对偏心受压杆来说，当偏心压 力F的作用点变化时，中性轴在坐标轴上的截距也随之 变化。可见只要偏心压力F的作用点在截面形心附近的 某一区域时，中性轴就与截面相切或相离，这样，在偏 心压力作用下，截面上只产生压应力，而不出现拉应力。 通常将该区域称为截面核心（coreofacrosssection）。
第10章 扭转与弯曲
工程力学
10.1 斜弯曲
如图10-2（a）所示，双对称截面梁在水平和垂直两纵向对
称平面内同时承受横向外力作用的情况，这时梁在F1和F2作用下 ，分别,在水平对称面和铅垂对称面内发生对称弯曲。
由叠加原理，在F1和F2同时作用下，截面 应力为
上C点处的正
工程力学
10.1 斜弯曲
由于中性轴上各点处的正应力均为零，令
性轴和横截面边界相切，从而使横截面上只有压应力，此作用区
域称为截面核心。
工程力学
10.3 扭转与弯曲
工程力学
10.3 扭转与弯曲
由该单元体的应力如图10-9（e），可以解得该点处的三个 主应力分别为
对于塑性材料制成的轴，应选用第三或第四强度理论来建立 强度条件。若用第三强度理论，则相当应力表达式
代表中性
轴上任一点的坐标，则由式（10-1）可得中性轴方程为
由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。设其与 y轴的夹角为θ而合成弯矩矢量和y轴的夹角为φ，如图10-2（b ）所示，则有
由式（10-2）可知 时，中性轴和合成弯矩的所在的平 面并不相互垂直，不属于平面弯曲，一般称为斜弯曲。
工程力学
第10章 组合变形
1 斜弯曲 2 拉伸(压缩) 与弯曲 3 流扭转与弯曲
工程力学
第10章 组合变形
若几种变形形式所引起的应力为同一数量级，则此时不能忽 略其中的任何一种变形形式。像这种由外力引起的变形中包含两 种或两种以上基本变形的变形形式称为组合变形，如图10-1。
计算组合变形杆件的强度问题时，在线弹性范围内，小变形 条件下计算内力、应力、位移等一般可应用叠加原理。
10.2 拉伸（压缩）与弯曲
设中性轴在y、z轴上截距分别为
10.1 斜弯曲
如图10-2（a）所示，双对称截面梁在水平和垂直两纵向对
称平面内同时承受横向外力作用的情况，这时梁在F1和F2作用下 ，分别,在水平对称面和铅垂对称面内发生对称弯曲。
由叠加原理，在F1和F2同时作用下，截面 应力为
上C点处的正
工程力学
10.1 斜弯曲
由于中性轴上各点处的正应力均为零，令
性轴和横截面边界相切，从而使横截面上只有压应力，此作用区
域称为截面核心。
工程力学
10.3 扭转与弯曲
工程力学
10.3 扭转与弯曲
由该单元体的应力如图10-9（e），可以解得该点处的三个 主应力分别为
对于塑性材料制成的轴，应选用第三或第四强度理论来建立 强度条件。若用第三强度理论，则相当应力表达式
代表中性
轴上任一点的坐标，则由式（10-1）可得中性轴方程为
由上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线。设其与 y轴的夹角为θ而合成弯矩矢量和y轴的夹角为φ，如图10-2（b ）所示，则有
由式（10-2）可知 时，中性轴和合成弯矩的所在的平 面并不相互垂直，不属于平面弯曲，一般称为斜弯曲。
工程力学
第10章 组合变形
1 斜弯曲 2 拉伸(压缩) 与弯曲 3 流扭转与弯曲
工程力学
第10章 组合变形
若几种变形形式所引起的应力为同一数量级，则此时不能忽 略其中的任何一种变形形式。像这种由外力引起的变形中包含两 种或两种以上基本变形的变形形式称为组合变形，如图10-1。
计算组合变形杆件的强度问题时，在线弹性范围内，小变形 条件下计算内力、应力、位移等一般可应用叠加原理。
10.2 拉伸（压缩）与弯曲
设中性轴在y、z轴上截距分别为
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第二节
斜 弯 曲
外力F的作用线只通过横截面的形心而不 与截面的对称轴重合，梁弯曲后的挠曲线不再 位于梁的纵向对称平面内，这类弯曲称为斜弯 斜弯 曲。斜弯曲是两个平面弯曲的组合，下面将讨 论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
一、正应力计算
斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和剪应力，但因剪应 力值很小，一般不予考虑。 斜弯曲梁的正应力计算的思路可以归纳为“先分后合”，具体 计算过程如下： 1．外力的分解：由图10-3（a）可知：Fy=Fcosφ，Fz=Fsinφ 2．内力的计算 距右端为l1的横截面上由Fy、Fz引起的弯矩分别是： Mz=Fya=Facosφ My=Fza=Fasinφ 3．正应力的计算 由Mz和My在该截面引起K点正应力分别为σ’=±Mzy/Iz ， σ’’=±Myz/Iy Mz和My共同作用下K点的正应力为
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
图10-7(a)所示的偏心受拉杆，平行于轴线的拉力 的作用点不在截面的任何一个对称轴上，与z轴、y轴 的距离分别为ey和ez，此变形称为双向偏心拉伸 双向偏心拉伸，当F 双向偏心拉伸 为压力时，称为双向偏心压缩 双向偏心压缩。 双向偏心压缩 双向偏心压缩（拉伸）实际上是轴向压缩（拉伸） 与两个平面弯曲的组合变形。任一点的正应力由三部 分组成，计算这类杆件任一点正应力的方法，与单向 偏心压缩（拉伸）类似。 三者共同作用下，横截面上ABCD上任意点K的总 正应力为以上三部分叠加，即 F Mz y M yz / // /// (10-6) σ = σ +σ +σ = ± ± A Iz Iy
Mz FN (b) _ h (a) +
σN
b
+
_
=
_
σM
σ
图10-6
(c)
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一、单向偏心压缩（拉伸）时的 单向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
计算应力时，将压力F平移到截面的形心处，使其作 用线与杆轴线重合，如图10-6（b）所示。横截面上任一 点的正应力为 F Mzy
σ =σ N +σM = −
一、单向偏心压缩（拉伸）时 单向偏心压缩（拉伸） 的正应力计算
F O z z F Mz e y O y
图10-6（a）所示为 矩形截面偏心受压杆， 平行于杆件轴线的压力 F的作用点距形心O为， 并且位于截面的一个对 称轴上，称为偏心距， 这类偏心压缩称为单向 单向 偏心压缩。当F为拉力 偏心压缩 时，则称为单向偏心拉 单向偏心拉 伸。
σ max = − F ±
Mz My ± A Wz W y F Mz My = ± ± A Wz W y
（双向偏心压缩） （双向偏心拉伸）
或
σ max
正应力强度条件为：
σ max
F Mz My =± ± ± A Wz W y
（10-7）
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
σ ′′ =
M z 6 Fe max = Wz bh 2
欲使横截面不出现拉应力，应使FN和Mz共同作用下 横截面左边缘处的正应力等于零，
σ = σ ′ + σ ′′ = −
F 6 Fe max F Mz + =0 + =0即 2 bh bh A Wz
解得 emax=h/6 ，即最大偏心距为h/6。
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= 100 × (150) 6 × 1.5 × 10 6
2
+
150 × (100)
6 × 1.2 × 10 6
2
= 8.8MPa
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偏心压缩（拉伸） 第三节 偏心压缩（拉伸）
当作用于杆件上的外力作用线只平行于轴线而不与轴线重 合时，则称为偏心压缩（拉伸）。偏心压缩（拉伸）可分解为 偏心压缩（ 偏心压缩 拉伸） 轴向压缩（拉伸）和平面弯曲两种基本变形。 偏心压缩（拉伸）分为单向偏心压缩（拉伸）和双向偏心 压缩（拉伸）。
y F1= 0.5kN d a c F2= 0.8kN 1.5m (a) 1.5m x y z
150mm
z
b
100mm (b)
图10-4
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二、正应力强度条件
解：此梁受铅垂力F1与水平力F2共同作用，产生双向 弯曲变形，其应力计算方法与前述斜弯曲相同。该梁危险 截面为固定端截面。 （1）内力的计算：Mzmax=F1l=0.5×3=1.5kN·m ， Mymax=F2×0.5l=0.8×1.5=1.2kN·m （2）梁上的最大拉应力位于固定端截面上角点d，其 值为 M z max M y max 6 M z max 6 M y max σ max = + = + 2 Wz Wy bh hb 2
σ = σ +σ
/
//
Mz y M yz =± ± Iz Iy
（10-1）
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一、正应力计算
式（10-1）就是梁发 生斜弯曲 斜弯曲变形时横截面 斜弯曲 上任一点的正应力计算 公式。式中Iz和Iy分别为 截面对z轴和y轴的惯性矩； y和z分别为所求应力点到 z轴和y轴的距离。 用式(10-1)计算正应 力时，仍将式中的Mz、 My 、y、z以绝对值代 入,σ‘ 和σ’’ 的正负，根据 梁的变形和所求应力点 的位置直接判定（拉为 正、压为负）。
σ max =
z max
Wz
+
Wy
（10-2） 10-2
则斜弯曲梁的强度条件为
σ max
M z max M y max = + ≤ [σ ] Wz Wy
（10-3）
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二、正应力强度条件
根据这一强度条件，同样可以解决工程中常见的三 类问题，即强度校核、截面设计和确定许可荷载。在选 择截面（截面设计）时应注意：因式中存在两个未知量 Wz和Wy，所以，在选择截面时，需先设定一个 比值（对矩形截面
A ±
（10-4）
Iz
单向偏心拉伸时，上式的第一项取正值。 显然最大正应力发生在截面的左右边缘处，其值为
σ max = −
F Mz ± A Wz F M = ± z A Wz
（单向偏心压缩） （单向偏心拉伸）
或
σ max
正应力强度条件为：
σ max = ±
F MZ ± ≤ [σ ] A WZ
（10-5）
z
(c)
图10-3
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二、正应力强度条件
斜弯曲梁的正应力强度条件为危险截面上危险点的 危险截面上危险点的 最大正应力不能超过材料的许用应力。 最大正应力不能超过材料的许用应力。 工程中常用的工字形、矩形等对称截面梁，斜弯曲 时梁内最大正应力都发生在危险截面的角点处，其最大 正应力为 M y max M
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
e F F Mz
【例10-3】单 向偏心受压杆，横 截面为矩形b×h， 如图10-8(a)所示， 力F的作用点位于横 截面的y轴上。试求 杆的横截面不出现 拉应力的最大偏心 距emax。
Mz FN _ z
b
σ
¡ä ¡å ¡ä ¡å
F z ey K y C B A My O D B y C Mz My K O y A F Mz z z D
ez
O
FN
(a)
(b) z C
(c)
C B
K A
D B
C
K A
D B
K A
D y
C + + B (d)
+ K +
D
C
_ _
+ K +
D
C + _
+ K _
D
A
B (e)
A
B (f )
A
图 10-7
第十章 组合变形
知识目标： 知识目标：
了解组合变形的基本概念 理解斜弯曲杆的特点及熟练掌握强度计算 熟练掌握偏心压缩杆的内力、应力、 熟练掌握偏心压缩杆的内力、应力、强度计算问题 熟悉截面核心的概念
能力目标： 能力目标：
会确定构件在斜弯曲和偏心压缩（拉伸） 会确定构件在斜弯曲和偏心压缩（拉伸）时的危险截面和危险点的位置 能熟练应用叠加法求解斜弯曲与偏心压缩的应力 会应用斜弯曲和偏心压缩杆的强度条件解决实际的强度计算问题 能熟练地描述矩形、 能熟练地描述矩形、圆形的截面核心
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
式（10-6）也适用于双向偏心压缩。只是式中第一项 为负。式中的第二项与第三项的正负，仍根据点的位置， 由变形直接确定。对于矩形、工字形等具有两个对称轴的 横截面，最大拉应力或最大压应力都发生在横截面的角点 处，其值为：
Wz 1 2 = bh Wy 6 1 2 h hb = = 1.2 ~ 2 6 b Wz Wy
的
，对工字形
截面取），然后再用式（10-2）计算所需的Wz值，确定 截面的具体尺寸，最后再对所选截面进行校核，确保其 满足强度条件。
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二、正应力强度条件
【例10-1】矩形截面悬臂梁如图10-4所示，已知 F1=0.5kN，F2=0.8kN，b=100mm，h=150mm。试计 算梁的最大拉应力及所在位置。
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第四节
截面核心的概念
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第四节 截面核心的概念
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第二节
斜 弯 曲
外力F的作用线只通过横截面的形心而不 与截面的对称轴重合，梁弯曲后的挠曲线不再 位于梁的纵向对称平面内，这类弯曲称为斜弯 斜弯 曲。斜弯曲是两个平面弯曲的组合，下面将讨 论斜弯曲时的正应力及其强度计算。
一、正应力计算
斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和剪应力，但因剪应 力值很小，一般不予考虑。 斜弯曲梁的正应力计算的思路可以归纳为“先分后合”，具体 计算过程如下： 1．外力的分解：由图10-3（a）可知：Fy=Fcosφ，Fz=Fsinφ 2．内力的计算 距右端为l1的横截面上由Fy、Fz引起的弯矩分别是： Mz=Fya=Facosφ My=Fza=Fasinφ 3．正应力的计算 由Mz和My在该截面引起K点正应力分别为σ’=±Mzy/Iz ， σ’’=±Myz/Iy Mz和My共同作用下K点的正应力为
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
图10-7(a)所示的偏心受拉杆，平行于轴线的拉力 的作用点不在截面的任何一个对称轴上，与z轴、y轴 的距离分别为ey和ez，此变形称为双向偏心拉伸 双向偏心拉伸，当F 双向偏心拉伸 为压力时，称为双向偏心压缩 双向偏心压缩。 双向偏心压缩 双向偏心压缩（拉伸）实际上是轴向压缩（拉伸） 与两个平面弯曲的组合变形。任一点的正应力由三部 分组成，计算这类杆件任一点正应力的方法，与单向 偏心压缩（拉伸）类似。 三者共同作用下，横截面上ABCD上任意点K的总 正应力为以上三部分叠加，即 F Mz y M yz / // /// (10-6) σ = σ +σ +σ = ± ± A Iz Iy
Mz FN (b) _ h (a) +
σN
b
+
_
=
_
σM
σ
图10-6
(c)
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一、单向偏心压缩（拉伸）时的 单向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
计算应力时，将压力F平移到截面的形心处，使其作 用线与杆轴线重合，如图10-6（b）所示。横截面上任一 点的正应力为 F Mzy
σ =σ N +σM = −
一、单向偏心压缩（拉伸）时 单向偏心压缩（拉伸） 的正应力计算
F O z z F Mz e y O y
图10-6（a）所示为 矩形截面偏心受压杆， 平行于杆件轴线的压力 F的作用点距形心O为， 并且位于截面的一个对 称轴上，称为偏心距， 这类偏心压缩称为单向 单向 偏心压缩。当F为拉力 偏心压缩 时，则称为单向偏心拉 单向偏心拉 伸。
σ max = − F ±
Mz My ± A Wz W y F Mz My = ± ± A Wz W y
（双向偏心压缩） （双向偏心拉伸）
或
σ max
正应力强度条件为：
σ max
F Mz My =± ± ± A Wz W y
（10-7）
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
σ ′′ =
M z 6 Fe max = Wz bh 2
欲使横截面不出现拉应力，应使FN和Mz共同作用下 横截面左边缘处的正应力等于零，
σ = σ ′ + σ ′′ = −
F 6 Fe max F Mz + =0 + =0即 2 bh bh A Wz
解得 emax=h/6 ，即最大偏心距为h/6。
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= 100 × (150) 6 × 1.5 × 10 6
2
+
150 × (100)
6 × 1.2 × 10 6
2
= 8.8MPa
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偏心压缩（拉伸） 第三节 偏心压缩（拉伸）
当作用于杆件上的外力作用线只平行于轴线而不与轴线重 合时，则称为偏心压缩（拉伸）。偏心压缩（拉伸）可分解为 偏心压缩（ 偏心压缩 拉伸） 轴向压缩（拉伸）和平面弯曲两种基本变形。 偏心压缩（拉伸）分为单向偏心压缩（拉伸）和双向偏心 压缩（拉伸）。
y F1= 0.5kN d a c F2= 0.8kN 1.5m (a) 1.5m x y z
150mm
z
b
100mm (b)
图10-4
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二、正应力强度条件
解：此梁受铅垂力F1与水平力F2共同作用，产生双向 弯曲变形，其应力计算方法与前述斜弯曲相同。该梁危险 截面为固定端截面。 （1）内力的计算：Mzmax=F1l=0.5×3=1.5kN·m ， Mymax=F2×0.5l=0.8×1.5=1.2kN·m （2）梁上的最大拉应力位于固定端截面上角点d，其 值为 M z max M y max 6 M z max 6 M y max σ max = + = + 2 Wz Wy bh hb 2
σ = σ +σ
/
//
Mz y M yz =± ± Iz Iy
（10-1）
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一、正应力计算
式（10-1）就是梁发 生斜弯曲 斜弯曲变形时横截面 斜弯曲 上任一点的正应力计算 公式。式中Iz和Iy分别为 截面对z轴和y轴的惯性矩； y和z分别为所求应力点到 z轴和y轴的距离。 用式(10-1)计算正应 力时，仍将式中的Mz、 My 、y、z以绝对值代 入,σ‘ 和σ’’ 的正负，根据 梁的变形和所求应力点 的位置直接判定（拉为 正、压为负）。
σ max =
z max
Wz
+
Wy
（10-2） 10-2
则斜弯曲梁的强度条件为
σ max
M z max M y max = + ≤ [σ ] Wz Wy
（10-3）
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二、正应力强度条件
根据这一强度条件，同样可以解决工程中常见的三 类问题，即强度校核、截面设计和确定许可荷载。在选 择截面（截面设计）时应注意：因式中存在两个未知量 Wz和Wy，所以，在选择截面时，需先设定一个 比值（对矩形截面
A ±
（10-4）
Iz
单向偏心拉伸时，上式的第一项取正值。 显然最大正应力发生在截面的左右边缘处，其值为
σ max = −
F Mz ± A Wz F M = ± z A Wz
（单向偏心压缩） （单向偏心拉伸）
或
σ max
正应力强度条件为：
σ max = ±
F MZ ± ≤ [σ ] A WZ
（10-5）
z
(c)
图10-3
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二、正应力强度条件
斜弯曲梁的正应力强度条件为危险截面上危险点的 危险截面上危险点的 最大正应力不能超过材料的许用应力。 最大正应力不能超过材料的许用应力。 工程中常用的工字形、矩形等对称截面梁，斜弯曲 时梁内最大正应力都发生在危险截面的角点处，其最大 正应力为 M y max M
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
e F F Mz
【例10-3】单 向偏心受压杆，横 截面为矩形b×h， 如图10-8(a)所示， 力F的作用点位于横 截面的y轴上。试求 杆的横截面不出现 拉应力的最大偏心 距emax。
Mz FN _ z
b
σ
¡ä ¡å ¡ä ¡å
F z ey K y C B A My O D B y C Mz My K O y A F Mz z z D
ez
O
FN
(a)
(b) z C
(c)
C B
K A
D B
C
K A
D B
K A
D y
C + + B (d)
+ K +
D
C
_ _
+ K +
D
C + _
+ K _
D
A
B (e)
A
B (f )
A
图 10-7
第十章 组合变形
知识目标： 知识目标：
了解组合变形的基本概念 理解斜弯曲杆的特点及熟练掌握强度计算 熟练掌握偏心压缩杆的内力、应力、 熟练掌握偏心压缩杆的内力、应力、强度计算问题 熟悉截面核心的概念
能力目标： 能力目标：
会确定构件在斜弯曲和偏心压缩（拉伸） 会确定构件在斜弯曲和偏心压缩（拉伸）时的危险截面和危险点的位置 能熟练应用叠加法求解斜弯曲与偏心压缩的应力 会应用斜弯曲和偏心压缩杆的强度条件解决实际的强度计算问题 能熟练地描述矩形、 能熟练地描述矩形、圆形的截面核心
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二、双向偏心压缩（拉伸）时的 双向偏心压缩（拉伸） 正应力计算
式（10-6）也适用于双向偏心压缩。只是式中第一项 为负。式中的第二项与第三项的正负，仍根据点的位置， 由变形直接确定。对于矩形、工字形等具有两个对称轴的 横截面，最大拉应力或最大压应力都发生在横截面的角点 处，其值为：
Wz 1 2 = bh Wy 6 1 2 h hb = = 1.2 ~ 2 6 b Wz Wy
的
，对工字形
截面取），然后再用式（10-2）计算所需的Wz值，确定 截面的具体尺寸，最后再对所选截面进行校核，确保其 满足强度条件。
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二、正应力强度条件
【例10-1】矩形截面悬臂梁如图10-4所示，已知 F1=0.5kN，F2=0.8kN，b=100mm，h=150mm。试计 算梁的最大拉应力及所在位置。
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第四节
截面核心的概念
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第四节 截面核心的概念